Soal UN Matematika SMA Tahun 2014 dan Pembahasannya

Internet

hyronimus-lado
of 263
Description
Text
  • 1. 2013 Mudah Lulus UN 2014 HyronimusLado,S.Pd*MudahLulusUN2014*Modulmatematikatapel2013/2014 Hak cipta@Smpn Satu Atap Ilewutung email:smpnsatapilewutung@rocketmail.com
  • 2. 1 logika matematika Standar Kompetensi Lulusan (SKL) : I : Memahami pernyataan-pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk, serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan masalah. Ruang Lingkup Materi (RLM) : Logika matematika  Ingkaran suatu pernyataan  Penarikan kesimpulan (Tidak termasuk pernyataan berkuantor) Operasi RLM :  Nilai kebenaran dari suatu pernyataan  Ingkaran suatu pernyataan  Konvers  Kontraposisi dan pernyataan yang senilai  Penarikan kesimpulan PEMETAAN SKL 2 logika matematika A. Pernyataan kalimat terbuka serta ingkarannya.  Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Contoh : 1. 3 adalah bilangan ganjil (benar) 2. Kupang adalah ibu kota negara Indonesia (salah) Pernyataan dinotasikan dengan huruf p, q, r, s, ....  Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah), biasanya masih memuat peubah/variabel. Jika peubah atau variabel diganti dengan suatu fakta (nilai), maka menjadi suatu pernyataan. Contoh : 83  x jika x diganti 5 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar jika x diganti 2 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang salah  Ingkaran adalah pernyataan baru yang dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai pernyataan semula, dinotasikan dengan “” Contoh : 1. p : 6 > 2 (B) maka ingkaran dari p ditulis ~p : 6  2 (S) 2. p : 4 + 1  5 (S) maka ingkaran dari p ditulis ~p : 4 + 1 = 5 (B)  Ingkaran dari kata-kata: “semua” adalah “ada” “ada” adalah “beberapa” “beberapa” adalah “semua” MATERI
  • 3. 3 logika matematika B. Operasi Logika  Konjungsi Konjungsi dari dua pernyataan p dan q ditulis “p  q” Dua pernyataan p dan q (p  q) bernilai benar jika komponen p dan q bernilai benar. p q p  q B B S S B S B S B S S S  Disjungsi Disjungsi dari dua pernyataan p atau q ditulis “p  q” Disjungsi dari dua pernyataan p atau q bernilai benar jika salah satu unsur benar. p q p  q B B S S B S B S B B B S  Implikasi Implikasi dari dua pernyataan jika p maka q dinotasikan dengan “p  q” Implikasi p  q bernilai salah hanya jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah. p q p  q B B S S B S B S B S B B  Biimplikasi Biimplikasi dua pernyataan p jika dan hanya jika q ditulis “p  q” Biimplikasi p  q bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai sama 4 logika matematika p q p  q B B S S B S B S B S S B C. Pernyataan majemuk Dua pernyataan majemuk dikatakan ekivalen jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. 1. p  q  ~p  q p q p  q B B S S B S B S B S B B p q ~p ~p  q B B S S B S B S S S B B B S B B 2. p  ~q  ~ (q  ~p) p q ~q p  ~q B B S S B S B S S B S B S B S S p q ~p q  ~p ~( q  ~p) B B S S B S B S S S B B B S B B S B S S
  • 4. 5 logika matematika 3. ~( p  q)  p  ~q  ~ (q  ~p) 4. ~p  ~q  q  p 5. p  ~q  q  ~p 6. ~p  q  ~q  p Hukum De Morgan 1. ~(p  q)  ~p  ~q 2. ~(p  q)  ~p  ~q D. Penarikan kesimpulan 1. Modus ponens Premis 1 : p  q 2 : p  q 2. Modus tollens Premis 1 : p  q 2 : ~q  ~p 3. Silogisme Premis 1 : p  q 2 : q  r  p  r 6 logika matematika 1. Penarikan kesimpulan dari premis-premis dibawah ini adalah .... UAN 2003 Premis 1 : qp  2 : ~q .... a. p b. ~p c. q d. )( qp  e. ~q Penyelesaian : Premis 1 : qp  qp ~ 2 : ~q  ~(~p) = p Jawaban : a 2. Ingkaran dari pernyataan “semua makluk hidup perlu makan dan minum” adalah .... UAN 2004 a. Semua makluk hidup tidak perlu makan dan minum b. Ada makluk hidup yang tidak perlu makan atau minum c. Ada makluk hidup yang tidak perlu makan minum d. Semua makluk tidak hidup perlu makan dan minum e. Semua makluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum Penyelesaian : Ingkaran dari kata “semua” adalah “ada” Mis p : makluk hidup perlu makan q : makluk hidup perlu minum Maka model matematika dari pernyataan di atas adalah qp  ingkarannya adalah qpqp ~~)(~  “ada makluk hidup tidak perlu makan atau minum” Jawaban : b CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 5. 7 logika matematika 3. Diketahui premis-premis berikut : 1. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai 2. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian 3. Budi tidak lulus ujian Kesimpulan yang sah adalah .... UAN 2005 a. Budi menjadi pandai b. Budi rajin belajar c. Budi lulus ujian d. Budi tidak pandai e. Budi tidak rajin belajar Penyelesaian : Misalkan : p : Budi rajin belajar q : Budi menjadi pandai r : Budi lulus ujian Model matematikanya adalah : Premis 1 : p → q 2 : q → r 3 : ~r Dari premis pertama dan kedua dapat disimpulkan : Premis 1 : p → q 2 : q → r  p → r 3 : ~r  ~p “Budi tidak rajin belajar” Jawaban : e 4. Upik rajin belajar maka ia naik kelas Upik tidak naik kelas maka ia tidak dapat hadiah Upik rajin belajar Kesimpulannya adalah .... UAN 2006 a. Upik naik kelas b. Upik dapat hadiah c. Upik tidak dapat hadiah d. Upik naik kelas dan dapat hadiah e. Upik dapat hadiah atau naik kelas Penyelesaian : 8 logika matematika Mis : p : Upik rajin belajar q : Upik naik kelas r : Upik dapat hadiah Model matematikanya adalah : Premis 1 : p → q 2 : ~q → ~r 3 : p Dari premis 1 dan 3 dapat disimpulkan : Premis 1 : p → q 3 : p q Premis 2 : ~q → ~r ≡ r → q : q ~(~r) = r “Upik dapat hadiah” Jawaban : b 5. Diketahui pernyataan : 1. Jika guru matematika tidak datang, maka siswa senang 2. Jika suasana kelas tidak ramai, maka beberapa siswa tidak senang 3. Guru matematika tidak datang Kesimpulan yang sah adalah .... UAN 2007. B a. Semua siswa tidak senang b. Semua siswa senang dan suasana kelas tidak ramai c. Suasana kelas tidak ramai d. Suasana kelas ramai e. Beberapa siswa tidak senang Penyelesaian : Mis : p : guru matematika datang q : siswa senang r : suasana kelas ramai Maka model matematikanya adalah : Premis 1 : ~p → q 2 : ~r → ~q 3 : ~p Dari premis 1 dan 2 dapat disimpulkan Premis 1 : ~p → q
  • 6. 9 logika matematika 2 : ~r → ~q ≡ q → r  ~p → r 3 : ~p r “suasana kelas ramai” Jawaban : d 6. Diketahui pernyataan : 1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi 2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung 3. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah .... UAN 2007. A a. Hari panas b. Hari tidak panas c. Ani memakai topi d. Hari panas dan Ani memakai topi e. Hari tidak panas dan Ani tidak memakai topi Penyelesaian : Mis : p : hari panas q : Ani memakai topi r : Ani memakai payung Model matematikanya adalah : Premis 1 : p → q 2 : rq ~ 3 : ~r Dari premis 1 dan 2 dapat disimpulkan : Premis 1 : p → q 2 : rqrq ~ p → r 3 : ~r ~p “hari tidak panas” Jawaban : b 7. Diketahui premis-premis : 1. Jika hari hujan, maka udara dingin 2. Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat 10 logika matematika 3. Ibu tidak memakai baju hanngat Kesimpulan yang sah adalah .... UAN 2008 a. Udara tidak dingin b. Udara panas c. Hari tidak hujan d. Hari berawan e. Hari tidak hujan dan udara panas Penyelesaian : Mis : p : hari hujan q : udara dingin r : ibu memakai baju hangat Model matematikanya adalah .... Premis 1 : p → q 2 : q → r 3 : ~r Dari premis 1 dan 2 dapat disimpulkan : Premis 1 : p → q 2 : q → r p → r 3 : ~r ~p “hari tidak hujan” Jawaban : c 8. Ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” .... UAN 2008 a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap d. Beberapa bilangan genap bukan bilangan genap e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima Penyelesaian : Ingkaran dari kata “beberapa” adalah “semua” Jadi ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah : “semua bilangan prima bukan bilangan genap” Jawaban : c
  • 7. 11 logika matematika 1. Negasi atau ingkaran dari pernyataan “semua peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi dengan sungguh-sungguh” adalah .... a. Beberapa peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi tidak dengan sungguh-sungguh. b. Beberapa peserta ujian nasional tidak mengerjakan soal seleksi dengan sungguh-sungguh c. Ada peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi tidak dengan sungguh-sungguh d. Ada peserta ujian nasional tidak mengerjakan soal seleksi tidak dengan sungguh-sungguh e. Semua peserta ujian nasional mengerjakan soal seleksi tidak dengan sungguh-sungguh 2. Pernyataan yang senilai dengan pernyataan “jika 7 bilangan prima maka 12 bilangan komposit” adalah .... a. 7 bilangan prima atau 12 bilangan komposit b. 7 bilangan prima dan 12 bilangan komposit c. Jika 7 bukan bilangan prima maka 12 bukan bilangan komposit d. Jika 12 bilangan komposit maka 7 bukan bilangan prima e. Jika 12 bukan bilangan komposit maka 7 bukan bilangan prima 3. Diberikan premis-premis : 1. Jika Banu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka ayah membelikannya bola basket 2. Ayah tidak membelikan bola basket atau pergi ke pasar 3. Ayah tidak pergi ke pasar Kesimpulaan yang sah adalah .... a. Banu rajin belajar dan patuh kepada orang tua b. Banu tidak rajin belajar dan tidak patuh kepada orang tua c. Banu tidak rajin belajar atau tidak patuh kepada orang tua d. Banu tidak rajin belajar dan patuh kepada orang tua e. Banu rajin belajar atau tidak patuh kepada orang tua LATIHAN MANDIRI 12 logika matematika 4. Diketahui premis-premis sebagaiberikut : 1. Jika Ani rajin belajar, maka ia akan pandai 2. Jika Ani pandai, maka ia lulus ujian 3. Ia tidak lulus ujian Kesimpulan yang sah adalah .... a. Jika Ani tidak rajin belajar maka ia tidak lulus ujian b. Jika Ani rajin belajar maka ia pandai c. Ani tidak pandai atau lulus ujian d. Ani tidak rajin atau lulus ujian e. Ani tidak rajin belajar 5. Diketahui premis-premis : 1. Jika hujan turun, maka tanah basah 2. Jika tanah basah, maka udara lembab Kesimpulan yang sah (valid) adalah .... a. Jika hujan turun, maka tanah tidak basah b. Jika tanah basah, maka hujan turun c. Jika hujan turun maka udara lembab d. Hujan tidak turun e. Udara lembab 6. Ingkaran dari pernyataan “Semua peserta ebtanas berdoa sebelum mengerjakan soal” adalah .... a. Semua peserta ebtanas tidak berdoa sebelum mengerjakan soal b. Beberapa peserta ebtanas berdoa sebelum mengerjakan soal c. Beberapa peserta ebtanas tidak berdoa sebelum mengerjakan soal d. Semua peserta ebtanas berdoa sesudah mengerjakan soal e. Beberapa peserta ebtanas berdoa sesudah mengerjakan soal 7. Ingkaran dari pernyataan “Beberapa peserta ebtanas membawa kalkulator” adalah .... a. Beberapa peserta ebtanas tidak membawa kalkulator b. Bukan peserta ebtanas membawa kalkulator c. Semua peserta ebtanas membawa kalkulator d. Semua peserta ebtanas tidak membawa kalkulator e. Tiada peserta ebtanas tidak membawa kalkulator
  • 8. 13 logika matematika 8. Pernyataan “Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelam” ekuivalen dengan .... a. Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelam b. Jika laut pasang maka tiang dermaga tidak tenggelam c. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tenggelam d. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tidak tenggelam e. Jika tiang dermaga tidak tenggelam maka laut tidak pasang 9. Pernyataan “Jika anda rajin belajar maka anda lulus Ebtanas” ekuivalen dengan .... a. Jika anda lulus Ebtanas maka anda rajin belajar b. Jika anda tidak rajin belajar maka anda tidak lulus Ebtanas c. Jika anda tidak lulus Ebtanas maka anda tidak rajin belajar d. Jika anda tidak rajin belajar maka anda lulus Ebtanas e. Jika anda tidak lulus Ebtanas maka rajin belajar 10. Invers dari pernyataan (p  ~q) p adalah .... a. ~p (p  ~q) b. ~p (p  q) c. ~p (p  ~q) d. (~p  q) ~p e. (p  ~q) ~p 11. Pernyataan majemuk “Jika hari hujan maka sungai meluap” ekuivalen dengan .... a. Hari hujan dan sungai meluap b. Hari tidak hujan dan sungai tidak meluap c. Jika sungai meluap maka hari hujan d. Jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujan e. Jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap 12. Diketahui p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah. Implikasi dibawah yang bernilai salah adalah .... a. p  ~q b. ~p  q c. q  p d. q  ~p e. ~q  ~p 14 logika matematika 13. Negasi dari pernyataan “Jika Tia belajar maka ia lulus” adalah .... a. Jika Tia lulus maka ia belajar b. Jika Tia tidak lulus maka ia tidak belajar c. Jika Tia tidak belajar maka ia tidak lulus d. Tia belajar dan ia tidak lulus e. Tia tidak belajar tetapi ia lulus 14. Diketahui pernyataan “Jika harga bahan bakar naik, maka ongkos angkutan naik” “Jika harga kebutuhan pokok tidak naik, maka ongkos angkutan tidak naik” Bila kedua pernyataan itu bernilai benar, maka kesimpulan yang dapat diambil adalah .... a. Jika ongkos naik, maka harga bahan bakar naik b. Jika ongkos angkutan naik, maka harga kebutuhan pokok naik c. Jika ongkos angkutan tidak naik, maka harga bahan bakar tidak naik d. Jika harga bahan bakar naik, maka harga kebutuhan pokok naik e. Jika harga bahan tidak naik, maka harga kebutuhan pokok tidak naik 15. Pada tabel kebenaran di atas p dan q adalah pernyataan. B menyatakan Benar dan S menyatakan Salah. Nilai kebenaran yang tepat diisikan pada kolom pernyataan ~q  p yang ditulis dari kiri ke kanan adalah .... a. B S S S b. B S B B c. B B B S d. B B S B e. B S S B
  • 9. 15 logika matematika 16. Diketahui premis – premis sebagai berikut 1. Jika Rudi ke sekolah, maka Ia kehujanan 2. Jika Rudi kehujanan, maka Ia basah 3. Rudi tidak basah Kesimpulan yang sah adalah .... a. Jika Rudi ke sekolah, maka Ia basah b. Jika Rudi ke sekolah, maka Ia kehujanan c. Rudi tidak ke sekolah d. Rudi ke sekolah e. Rudi kehujanan 17. Pernyataan “Jika anda rajin belajar, maka anda lulus Ebtanas” ekuivalen dengan .... a. Jika anda lulus Ebtanas, maka anda rajin belajar b. Jika anda tidak rajin belajar, maka anda tidak lulus Ebtanas c. Jika anda tidak lulus Ebtanas, maka anda tidak rajin belajar d. Jika anda tidak rajin belajar, maka anda lulus Ebtanas e. Jika andatidak lulus Ebtanas, maka anda rajin belajar 18. Kesimpulan dari tiga premis : 1. p  ~q 2. ~r  q 3. ~r adalah .... a. ~p b. ~q c. q d. p  q e. r  ~q 19. penarikan kesimpulan dari premis – premis di bawah ini adalah .... p  q q .... a. p b. ~p c. q d. (p  q) e. ~q 16 logika matematika 20. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut adalah .... ~p  q q  r .... a. p  r b. ~p  r c. p  ~r d. ~p  r e. p  r
  • 10. Pangkat, akar dan logaritma1 Standar Kompetensi Lulusan (SKL) II : Memahami konsep yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya, suku banyak, sistem persamaan linier, program linier, matriks, vektor, transformasi geometri, barisan dan deret, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah Ruang Lingkup Materi (RLM) : Aljabar Operasional RLM :  Pangkat, akar dan logaritma  Fungsi aljabar sederhana o Grafik fungsi kuadrat o Fungsi komposisi invers o Fungsi eksponen dan logaritma  Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat  Persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya  Suku banyak  Sistem persamaan linier  Program linier  Matriks  Vektor  Transformasi geometri  Barisan dan deret 1. Pangkat, akar dan logaritma A. Pangkat # Jika Ra  dan n bilangan bulat > 1 maka aaaaan  .... # Jika Ra  dan n bilangan bulat < 1 maka n n a a 1  # Hubungan pangkat positif dan negatif n n a a   1 n n a a 1  # Sifat-sifat pangkat 1. qpqp aaa   2. qpqp aaa  : 3. pqqP aa )( 4. qpp aaab )( 5. 10 a MATERI
  • 11. Pangkat, akar dan logaritma2 1. Bentuk sederhana dari 253 ):(  qp adalah .... a. 6 10 p q b. 10 6 p q c. 6 10 q p d. 10 6 q p e. 610 pq Penyelesaian : 2523253 )(:)():(   qpqp 106 :   qp 106 1 : 1 qp  1 1 10 6 q p  6 10 p q  Jawaban : a 2. Bentuk 3 2 yx  senilai dengan .... a. 3 )(2   yx b. )(2 11   yx c. )(2 3 yx  d. )(2 3  yx e. 13 )(2   yx Penyelesaian : 3 2 yx  = 3 1 .2 yx  = 13 )(2   yx Jawaban : e 3. Diketahui 5p , 27q dan 4r , maka nilai dari 2 22 ) 1 () 1 ( 2 3 p r q p   adalah .... a. 25 144 CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 12. Pangkat, akar dan logaritma3 b. 5 c. 5 12 d. 2 e. 25 32 Penyelesaian : 2 23 2 2 ) 1 () 1 ( p r q p   = 2 23 2 2 )5( ) 4 1 ()27() 5 1 (   = 2 213 2 321 5 )4()3()5(   = 2 222 5 435  = 25 16925  = 25 50 = 2 Jawaban : d 4. Bentuk sederhana dari 6 5 18 )(   x adalah .... a. 30 x b. 3 x c. 3 x d. 15 x e. 30 x Penyelesaian : 6 5 18 )(   x = 53 )(  x = 15 x Jawaban : d 5. Bentuk 24 343 4 )2( yx yx   dapat disederhanakan menjadi .... a. 52 2       x y b. 52 2       x y c. 52 2 1       x y
  • 13. Pangkat, akar dan logaritma4 d. 5 10 2x y e. 5 14 2x y Penyelesaian :   24 343 4 2 yx yx   =     24 3433 4 2 yx yx   = 24 1293 4 2 yx yx   = 2 12 4 9 2 3 .. 2 2 y y x x   = 212)4(923 ..2  yx = 1055 2 yx =   105 2 yx  =   10 5 . 2 1 y x = 5 10 )2( x y = 52 2       x y Jawaban : a 6. Jika 216x dan 64y , maka nilai dari ....3 4 3 2   yx a. 3 1 21 b. 9 1 7 c. 9 7 d. 9 1 7 e. 9 1 21 Penyelesaian : 3 4 3 2 yx  =    3 4 3 2 64216  =     3 4 33 2 3 46  = 42 4.6 = 4 2 4. 6 1
  • 14. Pangkat, akar dan logaritma5 = 2 4 6 4 = 36 256 = 36 4 7 = 9 1 7 Jawaban : d 1. Bentuk sederhana dari 6 57 3 12 y yx adalah .... a. y x7 4 1 b. 7 4 1 x y c. y x7 4 d. y x 4 7 e. yx7 4 2. Bentuk 10 126 12 9 abc cab dapat disederhanakan menjadi .... a. 25 3 4 cb b. 52 3 4 cb c. 25 4 3 cb d. 52 4 3 cb e. 25 4 3 cb 3. Jika 16p dan 27q maka nilai 3 1 2 1 43   qp adalah .... a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 LATIHAN MANDIRI
  • 15. Pangkat, akar dan logaritma6 4. Jika 27y maka nilai dari 3 2 2  y adalah .... a. 9 1 b. 9 1  c. 9 2 d. 9 2  e. 9 2 1 5. Pangkat positip dari 1 32 11 qp qp2          adalah .... a. 2pq4 b. q p2 c. p2 q4 d. 4 q p2 e. 2q4 6. Bentuk sederhana dari 2 1 2 4 q4 p         adalah .... a. q p2 2 b. qp 2 2 c. q2 p2 d. 2 q2 p e. qp4 1 2 7. Bentuk sederhana dari (5a4 b-5 )(2a-3 b7 ) adalah .... a. 10ab2 b. 10a7 b2 c. 10ab12 d. 10a7 b12 e. 10ab
  • 16. Pangkat, akar dan logaritma7 B. Akar 1. Hubungan akar dan pangkat    aa n n     nn aa 1     n m n m aa  2. Penyederhanaan akar  nnn baab  Dengan catatan n a atau n b salah satu berasal dari kuadrat seempurnah (berpangkat n). Misalnya pangkat 2 maka kuadrat sempurnah dari 2n adalah : 222222 654321 1 4 9 16 25 36 .... dst  n n n b a b a     m n n m aa   mnn m aa  3. Merasionalkan penyebut Penyebut berbentuk akar dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan faktor lawan dari penyebut.  Bentuk b a faktor lawannya adalah b Menjadi b b b a   Bentuk ba c  faktor lawannya adalah ba  Menjadi ba ba ba c      Bentuk ba c  faktor lawannya adalah ba  Menjadi ba ba ba c      Bentuk ba dc   faktor lawannya adalah ba  Menjadi ba ba ba dc      MATERI
  • 17. Pangkat, akar dan logaritma8 4. Operasi aljabar berbentuk akar  Penjumlahan ayxayax )(   Pengurangan ayxayax )(   Perkalian      )(axy aaxyayax    Pembagian a y x ay ax  1. Bentuk sederhana dari 1127252  adalah .... a. 72 b. 73 c. 77 d. 79 e. 711 Penyelesaian : 1127252  = 7.1677.36  = 7.1677.36  = 74776  = 7)416(  = 79 Jawaban : d 2. Hasil dari ....75502782  a. 33 b. 233  c. 32 d. 63  e. 3224  Penyelesaian : 75502782  = 3.252.253.92.42  = 3.252.253.92.42  = 352533222  CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 18. Pangkat, akar dan logaritma9 = 353325222  = 3)53(2)521(  = 3224  Jawaban : e 3. Bentuk sederhana dari 123232822  adalah .... UAN 2007.B a. 3628  b. 3824  c. 3428  d. 3624  e. 32  Penyelesaian : 123232822  = 3.4322.162.422  = 3.4322.162.422  = 3232242222  = 3)22(2)422(  = 3428  Jawaban : c 4. Bentuk sederhana dari )504()231(  adalah .... UAN 2007.A a. 322  b. 522  c. 328  d. 328  e. 528  Penyelesaian : )504()231(  = 504231  = 2.254231  = 25233  = 2)53(3  = 283  = 328  Jawaban : c 5. Bentuk )18232(32243  dapat disederhanakan menjadi .... UAN 2008 a. 6 b. 62 c. 64 d. 66 e. 69
  • 19. Pangkat, akar dan logaritma10 Penyelesaian : )18232(32243  = )2.922.16(326.43  = )292216(32643  = )23.224(3262.3  = )2624(3266  = 6126866  = 6)1286(  = 62 Jawaban : b 6. Hasil dari 32712  adalah .... UAN 2008. B a. 6 b. 34 c. 35 d. 36 e. 312 Penyelesaian : 32712  = 33.93.4  = 33.93.4  = 33332  = 3)132(  = 34 Jawaban : b 7. Bentuk sederhana dari 53 4 adalah .... a. 5 5 1 b. 5 15 1 c. 5 15 2 d. 5 15 4 e. 15 15 5 Penyelesaian : 53 4 = 5 5 53 4  = 5.3 54
  • 20. Pangkat, akar dan logaritma11 = 15 54 = 5 15 4 Jawaban : d 8. Bentuk sederhana dari 53 4  adalah .... a. 53  b. 53  c. 53  d. 526  e. 526  Penyelesaian : 53 4  = 53 53 53 4     = 59 )53(4   = 4 5412  = 53  Jawaban : a 9. Bentuk sederhana dari 3553 3553   adalah .... a. 415  b. 415  c. 15 d. 215  e. 215  Penyelesaian : 3553 3553   = 3553 3553 3553 3553      = )3553)(3553( )3553)(3553(   = 3.255.9 3.25151515155.9   = 7545 75153045  
  • 21. Pangkat, akar dan logaritma12 = 30 1530120   = 154  = 415  1. Diketahui 25 p dan 25 q . Nilai pq adalah .... a. 3 b. 7 c. 10 d. 21 e. 29 2. Bentuk sederhana dari )8108()3275(  adalah .... a. 328  b. 326  c. 324  d. 324  e. 326  3. Hasil dari 32712  adalah .... a. 6 b. 34 c. 35 d. 36 e. 312 4. Bentuk sederhana dari 63 6  adalah .... a. )63(2  b. )63(2  c. )63(2  d. )63(2  e. )63(6  5. Bentuk sederhana dari 53 53   adalah .... a. 415  b. 415  c. 215  d. 215  e. 15 LATIHAN MANDIRI
  • 22. Pangkat, akar dan logaritma13 6. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 25 6   adalah .... a. )25(6  b. )25(3  c. )25(2  d. )25(2  e. )25(3  7. Dengan merasionalkan penyebut dari 52 52   , maka bentuk sederhananya adalah .... a. 5 9 4 1 b. 549  c. 549  d. 549  e. 5 9 4 1 8. Bentuk sederhana dari 53 4  adalah .... a. 53 b. 54  c. 53  d. 54  e. 53  9. Dengan merasionalkan penyebut pecahan 25 25   bentuk sederhananya adalah .... a. 23 21023  b. 23 21027  c. 23 21027  d. 27 21027 
  • 23. Pangkat, akar dan logaritma14 e. 27 21027  10. Bentuk sederhana dari 546486  adalah .... a. 68 b. 69 c. 610 d. 611 e. 612 11. Bentuk sederhana dari 52 3  adalah .... a. 538  b. 536  c. 52  d. 556  e. 536  12. Bentuk sederhana dari 72503218  adalah .... a. 213 b. 218 c. 219 d. 243 e. 286 13. Bentuk sederhana dari 22 4  adalah .... a. )62(2  b. )62(2  c. 64  d. )62(2  e. )62(2 
  • 24. Pangkat, akar dan logaritma15 14. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 105 6  adalah .... a. 5 5 3 5 3 2  b. 10 5 3 5 3 2  c. 15 5 2 10 5 3  d. 15 5 2 10 5 3  e. 15 5 2 10 5 3  15. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 23 7  adalah ..... a. 23  b. 23  c. 2721 d. 221 e. 2721 16. Bentuk sederhana dari 3383633243 2 1  adalah .... a. 3 2 57 213  b. 3 2 57 213  c. 3 2 57 213  d. 3 2 31 2  e. 3 2 31 2  17. Hasil dari   3232  adalah .... a. – 1 b. 0 c. 1 d. 3
  • 25. Pangkat, akar dan logaritma16 e. 32 18. Bentuk sederhana dari     ....32125075  a. 2937  b. 237  c. 2933  d. 2933  e. 233  19. Bentuk sederhana dari .... 23 7  a. 2 3 7 b. 2 5 7 c. 2 6 7 d. 2 9 7 e. 2 12 7 20. Bentuk sederhana dari 36 3  adalah .... a. 363  b. 6263  c. 3236  d. 36  e. 3362  C. Logaritma 1. Definisi Untuk 0a dan 1a , maka : baxb xa log Dimana 1log aa dan 01log a 2. Sifat – sifat logaritma  cbcb aaa loglog).(log   cb c b aaa loglog)(log   bnb ana loglog  MATERI
  • 26. Pangkat, akar dan logaritma17  b n m bnam loglog   ccb aba loglog.log   a b b c c a log log log  atau ab log 1  1. Nilai dari ....04,0log5  a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 Penyelesaian : Mis : x04,0log5 → 04,05 x 100 4 5 x 25 1 5 x 2 5 1 5 x 2 55  x 2x 204,0log5  Jawaban : a 2. Nilai dari ....27log3  a. -6 b. -5 c. 6 d. 5 e. 2 Penyelesaian : Mis : x27log3 → 27)3( x 32 1 3)3( x 32 33  x 3 2  x 6x CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 27. Pangkat, akar dan logaritma18 Jadi 627log3  Jawaban : c 3. Nilai dari ....3log.4log.5log 523  a. 1 b. 2 3 c. 2 d. 3 e. 4 Penyelesaian : 3log.4log.5log 523 = 4log.3log.5log 253 4log.3log 23  4log.1 2  Mis x4log2 → 42 x 2 22 x 2x Jadi 3log.4log.5log 523 = 2 Jawaban : c 4. Hasil dari ....48log3log.381log. 2 1 222  a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Penyelesaian : 48log3log.381log. 2 1 222  = x 48log3log81log 2322 1 2  = x 48log27log81log 222  = x 48log27log9log 222  = x        48 27 9 log2 = x 16log2 = x → 162 x 4 22 x 4x Jadi 448log3log.381log. 2 1 222  Jawaban : e 5. Diketahui m2log3 dan n5log2 . Nilai dari 5log3 = .... a. nm  b. mn
  • 28. Pangkat, akar dan logaritma19 c. nm  d. n m e. m n Penyelesaian : 5log3 = 3log 5log 2 2 = 2log 1 3 n = m n 1 = nm Jawaban : b 6. Nilai a3log2 dan b5log3 , maka 15log6 = .... UAN 2007.B a. ba  b. ab c. a ba   1 )1( d. b ab   1 )1( e. b ba   1 Penyelesaian : 15log6 = 6log 15log 3 3 = )32(log )35(log 3 3   = 3log2log 3log5log 33 33   = 1 3log 1 1 2  b = 1 1 1   a b = a a b   1 1
  • 29. Pangkat, akar dan logaritma20 = a ba   1 )1( Jawaban : c 7. Diketahui a7log2 dan b3log2 , maka nilai dari 14log6 = .... UAN 2008.B a. ba a  b. ba a  1 c. 1 1   b a d. )1( ba a  e. )1( 1 ba a   Penyelesaian : 14log6 = 6log 14log 2 2 = )23(log )27(log 2 2   = 2log3log 2log7log 22 22   = 1 1   b a Jawaban : c
  • 30. Pangkat, akar dan logaritma21 1. Nilai x yang memenuhi persamaan x log 4 = 2 1  adalah .... a. 16 1 b. 4 1 c. 2 1 d. 2 e. 4 2. Hasil dari 6log.22log.29log 666  = .... a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 3. Hasil dari 6 log 42 – 6 log 54 1 - 6 log 63 adalah .... a. – 6 b. – 2 c. 2 1 d. 2 e. 6 4. Apabila a3log2 dan b5log3 , maka nilai 75log6 adalah .... a. 1 )12(   a ba b. 1 2   a ba c. 1 12   a b d. 1  a ba e. 1 )(2   a ba 5. Diketahui p4log5 dan q5log3 , maka 80log3 = .... a. qp2 b. qp 2 c. pq p2 d. )12( pq LATIHAN MANDIRI
  • 31. Pangkat, akar dan logaritma22 e. p pq 2 6. Jika p3log5 , maka 75log5 = .... a. 2p b. 2p c. 2 1 p d. 2 1 p e. 2p p 7. Jika p2log3 dan q7log2 , maka 54log14 = .... a. 1 )3(   q qp b. 1 )3(   q qp c. 1 )3(   q qp d. )1( 3   qp p e. )1( 3   qp p 8. Bentuk sederhana 24 - log 32 + 2 log 9 1 + 2 4 1 adalah .... a. 3 4 1 b. 2 1 c. 4 3 d. 1 e. 2 1 2 9. Diketahui log p = a dan log q = b. Nilai dari log(p3 . q5 ) adalah .... a. 8ab b. 15ab c. 3ab d. 3a + 5b e. 5a + 3b 10. Jika 8 log b = 2 dan 4 log d = 1, hubungan antara nilai a dan b adalah .... a. 3 db 
  • 32. Pangkat, akar dan logaritma23 b. b = 3d c. b = 3 1 d d. b = 3 1 d e. b = d3 11. Diketahui 2 log 3 = x dan 2 log 25 = y, maka 2 log 345 = .... a. )25( 2 1 yx  b. )5( 2 1 yx  c. 5x + 2y d. x2 + y e. x2 + 2y 12. Diketahui 2 log 5 = p. Nilai 20 log 125 = .... a. P p 2 3 b. p p 3 3 c. p p 1 3 d. p p 1 e. p p3 13. Nilai x log 4 = 2 1  adalah .... a. 16 1 b. 4 1 c. 2 1 d. 2 e. 4 14. Nilai dari 2 . 3 log 4 - 2 1 . 3 log 25 + 3 log 10 – 3 log 32 adalah .... a. 3 1 b. 0 c. 1 d. 3 e. 9
  • 33. Pangkat, akar dan logaritma24 15. Diketahui 2 log 2 = p. Nilai 2 log 6 = .... a. p 2 1 b. p 2 1 c. p 1 1 d. p 2 e. p 1 16. Diketahui 2 log 3 = a dan 3 log 5 = b, maka nilai dari 15 log 6 adalah .... a. ba a  1 b. aba a  1 c. bab a  1 d. ab a1 e. aba  1 17. Diketahui 2 log 7 = a dan 2 log 3 = b, maka nilai dari 6 log 7 = .... a. ba a  b. b a 1 c. 1 1   b a d. )1( ba a  e. )1( 1 ba a   18. Jika 5 log 3 = p, maka 5 log 75 = .... a. p + 2 b. p – 2 c. 2 1 p d. 2 1 p
  • 34. Pangkat, akar dan logaritma25 e. 2p p 19. Diketahui 2 log 3 = p dan 3 log 5 = q, maka nilai dari 6 log 45 adalah .... a. 1 )2(   p qp b. 1 2   p qp c. 1 2   p q d. 1 2   p qp e. 1 )2(   p qp 20. Nilai dari 5 log 125 1 + 2 log 16 - 3 log 81 adalah .... a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14 21. Jika 3 1 3log8 x , maka nilai x adalah .... a. 30 b. 31 c. 32 d. 34 e. 35 D. Persamaan Eksponen 1. Jika 0)(1)(  xfa xf 2. Jika pxfaa pxf  )()( 3. Jika )()()()( xgxfaa xgxf  1. Nilai x yang memenuhi persamaan xx   39 255 adalah .... a. -5 b. 5 1  c. 2 1 MATERI CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 35. Pangkat, akar dan logaritma26 d. 2 e. 5 Penyelesaian : 9 5 x = x3 25 9 5 x = x32 )5( 9 5 x = x26 5  9x = x26  x3 = 15 x = 5 Jawaban : e 2. Nilai x yang memenuhi persamaan persamaan 123 42   xx adalah .... a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Penyelesaian : x3 2 = 12 4 x x3 2 = 122 )2( x x3 2 = 24 2 x x3 = 24 x 2 = x Jawaban : b 3. Nilai x yang memenuhi persamaan 52 23 3 1 9    x x adalah .... a. 8 b. 8 1 c. 8 2 d. 8 3 e. 8 4 Penyelesaian : 23 9 x = 52 3 1 x 232 )3( x =   152 3 x 46 3 x = 52 3  x 46 x = 52  x x8 = 1 x = 8 1 Jawaban : b
  • 36. Pangkat, akar dan logaritma27 4. Nilai x yang memenuhi persamaan 3 523 84   xx adalah .... a. 4 9 b. 2 5 c. 4 11 d. 4 e. 4 13 Penyelesaian : 3 4 x =   3/152 8 x 32 )2( x =   3 52 3 2 x 62 2  x = 52 2 x 62  x = 52 x 11 = x4 4 11 = x Jawaban : c 1. Nilai x yang memenuhi persamaan 315 273   xx adalah .... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 2. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 1 )32( x adalah .... a. 2 5  b. 5 2  c. 5 1 d. 5 3  e. 5 4 3. Nilai x yang memenuhi persamaan 17 246 x adalah .... a. -4 LATIHAN MANDIRI
  • 37. Pangkat, akar dan logaritma28 b. -2 c. 0 d. 2 e. 4 4. Nilai x yang memenuhi persamaan 3 1 27 12 x merupakan anggota himpunan dari .... a. {x -1 < x < 0} b. {x 0 < x < 1} c. {x 1 < x < 2} d. {x 2 < x < 3} e. {x 3 < x < 4} 5. Nilai x yang memenuhi persamaan 2433 742  xx adalah .... a. – 6 dan 2 b. – 4 dan 3 c. – 3 dan 4 d. – 2 dan 6 e. 3 dan 4 6. Nilai x yang memenuhi persamaan 3 3 1 9 x adalah .... a. – 4 b. – 1 c. 4 1  d. 4 1 e. 4 7. Nilai x yang memenuhi persamaan 3813 2 x adalah .... a. 2 1 2 b. 2 1 1 c. 2 1 1 d. 2 1 2 e. 2 1 6 8. Nilai x yang memenuhi persamaan 212 93   xx adalah .... a. -1 b. 0 c. 2 1
  • 38. Pangkat, akar dan logaritma29 d. 2 9 e. 9 9. Nilai x yang memenuhi persamaan 128 2 2 1 1412        xx adalah .... a. 4 1 b. 7 2 c. 4 3 d. 4 5 e. 3 5 10. Penyelesaian persamaan 22 813 2   xxx adalah  dan  , dengan  >  . Nilai  -  = .... a. 0 b. 3 c. 4 d. 5 e. 7 11. Himpunan penyelesaian dari persamaan berikut )33( 42 3 1 9          x x adalah .... a.       3 5 b. {-1} c. {0} d. {1} e.       3 4 12. Nilai x yang memenuhi persamaan 128 2 2 1 1412        xx , x  R adalah .... a. 4 1 b. 7 2 c. 4 3 d. 4 5
  • 39. Pangkat, akar dan logaritma30 e. 3 5 13. Penyelesaian persamaan 32352 273 2   xxx adalah  dan  . Nilai  = .... a. – 6 b. – 3 c. 1 d. 3 e. 6 E. Pertidaksamaan Eksponen 1. 10  a  Jika )()( xgxf aa  maka )()( xgxf   Jika )()( xgxf aa  maka )()( xgxf  2. 1a  Jika )()( xgxf aa  maka )()( xgxf   Jika )()( xgxf aa  maka )()( xgxf  1. Himpunan penyelesaian 4 42 2 27 1 9          x x adalah .... a.        3 10 2 xx b.         2 3 10 xx c.          2 3 10 xatauxx d.        3 10 2 xatauxx e.         2 3 10 xx Penyelesaian : 42 9 x  42 27 1        x 422 )3( x  4 3 2 3 1        x 84 3 x  123 2 3  x 84 x  123 2  x MATERI CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 40. Pangkat, akar dan logaritma31 2043 2  xx  0 ... x ... = -60 206103 2  xxx  0 ... + ... = 4    206103 2  xxx  0    1032103  xxx  0   1032  xx  0 2x atau 3 10 x Titik uji pada interval 3 10 x 4x → 020)4(4)4(3 2  02016)16(3  12  0 memenuhi Titik uji pada interval 23 10  x 0x → 020)0(4)0(3 2  02000  20  0 tidak memenuhi Titik uji pada interval 2 3x → 020)3(4)3(3 2  02012)9(3  19  0 memenuhi Jadi interval yang memenuhi adalah 23 10  xataux Sehingga himpunan penyelesannya adalah  23 10  xatauxx Jawaban : c 2. Himpunan penyelesaian dari 253 5 1 5 1 2              xxx adalah .... UAN 2008.B a.  13  xatauxx b.  31  xatauxx c.  31  xatauxx d.  31  xx e.  13  xx Penyelesaian : 253 5 1 5 1 2              xxx Karena a diantara 0 dan 1 maka )()( xgxf  532  xx  2 x 2532  xxx  0 • • 3 10  2
  • 41. Pangkat, akar dan logaritma32 322  xx  0 ... x ... = -3 )2)(1(  xx  0 ... + ... = -2 1x atau 2x Titik uji pada interval 1x 2x → 3)2(2)2( 2  > 0 344  > 0 5 > 0 memenuhi Titik uji pada interval 31  x 0x → 3)0(2)0( 2  > 0 300  > 0 3 > 0 tidak memenuhi Titik uji pada interval 3x 4x → 3)4(2)4( 2  > 0 3816  > 0 5 > 0 memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah 1x atau 3x Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah  31  xatauxx Jawaban : b 3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 54 23 2 2 27 3 1         xx xx adalah .... a. 61  xataux b. 16  xataux c. 16  x d. 61  x e. 61  x Penyelesaian : 2 23 3 1 xx       > 542 27  xx 2 231 )3( xx > 543 2 )3(  xx 2 23 3 xx > 15123 2 3  xx 2 23 xx  > 15123 2  xx 2 21012 xx  > 0 652  xx > 0 652  xx < 0 ... x ... = -6 )6)(1(  xx < 0 ... + ... = -5 1x atau 6x • • 1 3 -1 6
  • 42. Pangkat, akar dan logaritma33 Titik uji pada interval 1x 2x → 6)2(5)2( 2  < 0 6104  < 0 8 < 0 tidak memenuhi Titik uji pada interval 61  x 0x → 6)0(5)0( 2  < 0 600  < 0 -6 < 0 memenuhi Titik uji pada interval 6x 7x → 6)7(5)7( 2  < 0 63549  < 0 8 < 0 tidak memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi adalah 61  x Jawaban : e 1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 52 168   xx adalah .... a. 2x b. 5x c. 5 2 x d. 5 2 x e. 2 5 x 2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3618 3 3 2 2 64 8 1   x x x adalah .... a. x < - 14 b. x < - 15 c. x < - 16 d. x < - 17 e. x < - 18 3. penyelesaian pertidaksamaan 32 1 41 x adalah .... a. x < 2 1 1 b. x < 2 1 1 c. x > 2 1 1 d. x > 2 1 3 LATIHAN MANDIRI
  • 43. Pangkat, akar dan logaritma34 e. x < 2 1 3 4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x x          7 15 9 1 3 adalah .... a. x > 5 b. x > - 3 c. x > 8 1  d. x > - 2 e. x > 3 1 
  • 44. 237 Notasi sigma, barisan & deret 11. Barisan dan Deret 1. Notasi Sigma     n mp n mi pi     n mi n mi ikki , dengan k = konstanta       n mi n ai a mi iii 1     n mi n mi n mi likiliki )( 2. Barisan dan Deret Aritmetika a. Barisan aritmetika nUUUU ,....,,, 321 bnabababaa )1(,....,3,2,,  bnaUbaUbaUaU n )1(....,,2,, 321  Dengan : suku pertama = a Beda = b Suku ke n = nU b. Deret aritmetika nUUUU  ....321 ))1((....)2()( bnababaa  Dengan : Jumlah suku ke n adalah  nn Ua n S  2 =  bna n )1(2 2  Suku ke n adalah 1 nnn SSU MATERI 238 Notasi sigma, barisan & deret 3. Barisan dan Deret Geometri a. Barisan geometri nUUUU ,....,,, 321 n ararara ....,,,, 2 12 321 ,,,   n n arUarUarUaU Dengan : suku pertama : aU 1 Rasio : 1  n n U U r Suku ke n : 1  n n arU b. Deret geometri nUUUU  ...321 12 ...   n ararara Dengan: jumlah n suku pertama : 1 )1(    r ra S n n , 1r r ra S n n    1 )1( , 1r c. Deret tak hingga Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika 11  r , 0r r a S   1 Dengan : jumlah sampai tak hingga : S Suku pertama : a Rasio : r Jika jumlahnya tertentu misalkan sampai n maka rumusannya adalah : n n raS )1(  dengan 11  r , 0r
  • 45. 239 Notasi sigma, barisan & deret 1. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke tiga adalah 7 tahun dan usia anak ke lima adalah 12 tahun, maka jumlah usia ke enam anak tersebut adalah .... UAN 2003 a. 48,5 tahun b. 49 tahun c. 49,5 tahun d. 50 tahun e. 50,5 tahun Penyelesaian: bnaUn )1(  73 U → ba 2 = 7 125 U → ba 4 = 12 - -2b = -5 b = 5/2  72  ba 7)2/5(2 a 75 a 2a  baS )16(2 2 6 6  nS = )]2/5(5)2(2[ 2 6  = ]2/254[3  = ] 2 258 [3  = )2/33(3 = 99/2 = 49,5 Jawaban: c CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 240 Notasi sigma, barisan & deret 2. Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp.100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap 2 anak yang usianya berdekatan adalah Rp.5.000,00 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka jumlah yang diterima oleh si bungsu adalah .... UAN 2003 a. Rp.15.000,00 b. Rp.17.500,00 c. Rp.20.000,00 d. Rp.22.500,00 e. Rp.25.000,00 Penyelesaian: 4n 000.51  nn UUb   000.100000.5)14(2 2 4 4  aS ))5000(32(2 a = 100.000 000.152 a = 50.000 a2 = 65.000 a = 32.500 baU )14(4  )5000(3500.324 U 000.15500.324 U 500.174 U Jawaban: b 3. Nilai   21 2 ....)65( n n UAN 2004 a. 882 b. 1030 c. 1040 d. 1957 e. 2060 Penyelesaian:
  • 46. 241 Notasi sigma, barisan & deret   21 2 )65( n nSn 4 + 9 + 14 + ... + 99 46)2(52  aU 996)21(521 U )994( 2 20 20 S )103(1020 S = 1030 Jawaban: b 4. Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari ke dua adalah 2 cm dan pada hari ke empat adalah 9 5 3 cm, maka tinggi tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah .... UAN 2004 a. 1 cm b. 3 1 1 cm c. 2 1 1 cm d. 9 7 1 cm e. 4 1 2 cm Penyelesaian: 22 U  2ar 34 U  9 5 33 ar  9 32 . 2 rar 9 32 2 2 r 242 Notasi sigma, barisan & deret 9 162 r 3 4 r aU 1  2ar 2 3 4       a 2 3 a 2 1 1a Jawaban: c 5. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, maka panjang keseluruhan tali tersebut adalah .... UAN 2005 a. 378 cm b. 390 cm c. 570 cm d. 762 cm e. 1530 cm Penyelesaian : 61  aU 3847 U  3846 ar 3846 6 r 646 r 66 2r 2r 1r 12 )12(6 6 7   S
  • 47. 243 Notasi sigma, barisan & deret = 1 )164(6  = 6(63) = 378 Jawaban: a 6. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan, tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp.50.000,00, bulan ke dua Rp.55.000,00, bulan ke tiga Rp.60.000,00 dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah .... UAN 2005 a. Rp.1.315.000,00 b. Rp.1.320.000,00 c. Rp.2.040.000,00 d. Rp.2.580.000,00 e. Rp.2.640.000,00 Penyelesaian: 50.000, 55.000, 60.000, ... , 24U 500012  UUb bnaUn )1(  )5000(23000.5024 U = 50.000 + 115.000 = 165.000  nn Ua n S  2 24S =  000.165000.50 2 24  = 12 (215.000) = 2.580.000 Jawaban: d 7. Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar Rp.1.000.000,00 pada suatu bank dengan bunga majemuk 15% per tahun. Jumlah modal tersebut setelah akhir tahun ke lima adalah .... UAN 2005 a. Rp.1.000.000(1,15)5 244 Notasi sigma, barisan & deret b. Rp.1.000.000 15,0 )115,1( 4  c. Rp.1.000.000 15,0 )115,1( 5  d. Rp.1.150.000 15,0 )115,1( 5  e. Rp.1.150.000 15,0 )115,1( 4  Penyelesaian: n = 5 r = 15% = 0,15 a = 1.000.000 modal pada akhir tahun ke lima adalah 5 5 )1( raS  5 5 )15,01(000.000.1 S = 5 )15,1(000.000.1 Jawaban: a 8. Seorang ibu mempunyai lima orang anak yang usianya membentuk barisan aritmetika. jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan usia si sulung 23 tahun maka jumlah usia ke lima orang anak tersebut adalah .... UAN 2006 a. 95 tahun b. 105 tahun c. 110 tahun d. 140 tahun e. 145 tahun Penyelesaian: 231  aU 155 U  nn Ua n S  2
  • 48. 245 Notasi sigma, barisan & deret  1523 2 5 5 S =  38 2 5 = 95 Jawaban: a 9. Pak Hasan menabung uang di bank sebesar Rp.10.000.000,00 dengan bunga majemuk 10% per tahun. Besar uang pak Hasan pada akhir tahun ke lima adalah .... UAN 2006 a. Rp.10.310.000,00 b. Rp.14.641.000,00 c. Rp.15.000.000,00 d. Rp.16.000.000,00 e. Rp.16.105.100,00 Penyelesaian: 000.000.10a 1,0%10 r 5 5 )1,01(000.000.10 S = 5 )1,1(000.000.10 = 10.000.000 (1,61051) = 16.105.100 Jawaban: e 10. Suku ke tiga suatu barisan aritmetika adalah 154. jumlah suku ke lima dan ke tujuh adalah 290. jumlah sepuluh suku pertama sama dengan .... UAN 2007. B a. 3.470 b. 1.735 c. 1.465 d. 1.425 e. 1.375 n (1,1)n 1 2 3 4 5 1,1 1,21 1,331 1,4641 1,61051 246 Notasi sigma, barisan & deret Penyelesaian: 1543 U  1542  ba ................... 1) 29075 UU  290)6()4(  baba ba 102  = 290 ba 5 = 145 .................... 2) 1542  ba 1455  ba - b3 = 9 b = 3 154)3(2 a 1546 a 160a  bna n Sn )1(2 2   )3(9)160(2 2 10 10 S = )27320(5  = 5 (293) = 1.465 Jawaban: c 11. Seutas tali di potong menjadi 8 bagian yang panjangnya masing-masing membentuk deret geometri. Apabila tali terpendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 384 cm, maka panjang tali semula adalah .... UAN 2007. B a. 387 cm b. 465 cm c. 486 cm d. 765 cm e. 768 cm Penyelesaian: 8n 31  aU 3847 8  arU  3843 7 r
  • 49. 247 Notasi sigma, barisan & deret 1287 r 77 2r 2r ; 1r 1 )1(    r ra S n n 8S = 12 )12(3 8   = 1 )1256(3  = 3 (255) = 765 Jawaban: d 12. Dari suatu barisan aritmetika, suku ke-3 adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah .... UAN 2007. A a. 840 b. 660 c. 640 d. 630 e. 315 Penyelesaian: 363 U  362  ba ................... 1) 14475 UU  144)6()4(  baba ba 102  = 144 ba 5 = 72 .................... 2) 362  ba 725  ba - b3 = 36 b = 12 36)12(2 a 3624 a 12a 248 Notasi sigma, barisan & deret  bna n Sn )1(2 2   )12(9)12(2 2 10 10 S = )10824(5  = 5 (132) = 660 Jawaban: b 13. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah 3 tahun? UAN 2007.A a. Rp.20.000.000,00 b. Rp.25.312.500,00 c. Rp.33.750.000,00 d. Rp.35.000.000,00 e. Rp.45.000.000,00 Penyelesaian: 000.000.801  aU 4/3r 2 3 arU  = 2 )4/3(000.000.80 = 80.000.000 (0,75)2 = 80.000.000 (0,5625) = 45.000.000 Jawaban: e 14. Diketahui suku ke-6 dan suku ke-15 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 4 dan 40. jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah .... UAN 2008. A a. 60 b. 120 c. 180 d. 240 e. 360
  • 50. 249 Notasi sigma, barisan & deret Penyelesaian: 46 U  45  ba 4015 U  4014  ba - b9 = 36 b = 4 4)4(5 a 420 a 16a  bna n Sn )1(2 2   )4(14)16(2 2 15 15 S = )5632( 2 15  = )24( 2 15 = 180 Jawaban: c 15. Diketahui lima orang bersaudara dengan selisih umur yang sama. Anak yang termuda berusia 13 tahun dan yang tertua 33 tahun. Jumlah usia mereka seluruhnya adalah .... UAN 2008. A a. 112 tahun b. 115 tahun c. 125 tahun d. 130 tahun e. 160 tahun Penyelesaian: 331  aU 135 U  nn Ua n S  2 250 Notasi sigma, barisan & deret  1333 2 5 5 S =  46 2 5 = 115 Jawaban: b 16. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku ke empat 48. Jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah .... UAN 2008.A a. 368 b. 369 c. 378 d. 379 e. 384 Penyelesaian: 61  aU 483 4  arU  486 3 r 3 r = 8 3 r = 3 2 r = 2; 1r 1 )1(    r ra S n n 12 )12(6 6 6   S = 12 )164(6   = 1 )63(6 = 378 Jawaban: c
  • 51. 251 Notasi sigma, barisan & deret 1. Suku pertama dan rasio dari suatu barisan geomtri berturut – turut adalah 2 dan 3. Jika jumlah n suku pertama deret tersebut = 80 maka, banyaknya suku dari barisan tersebut adalah .... a. 2 b. – 2 c. 3 d. – 3 e. 4 jawaban : b 2. Suku pertama dari barisan geometri adalah 25 dan suku kesembilan adalah 6400. Suku kelima deret tersebut adalah .... a. 100 b. 200 c. 400 d. 1600 e. 2500 jawaban : c 3. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah deret suku pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24. Suku yang ke 15 sama dengan .... a. 11 b. 25 c. 31 d. 33 e. 59 jawaban : c 4. Dalam deret geometri diketahui suku ke-2 = 10 dan suku ke-5 = 1250. Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah .... a. 2(5n – 1) b. 2(4n ) c. 2 1 (5n – 1) d. 2 1 (4n ) e. 4 1 (5n – 1) jawaban : c LATIHAN MANDIRI 252 Notasi sigma, barisan & deret 5. Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan rumus Un = 5n – 3. Jumlah 12 suku pertama barisan tersebut adalah .... a. 27 b. 57 c. 342 d. 354 e. 708 jawaban : d 6. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = n2 – n. Suku ke- 10 deret tersebut adalah .... a. 8 b. 11 c. 18 d. 72 e. 90 jawaban : 8 7. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah Sn = 2 1 n(3n – 1 ). Beda deret aritmetika tersebut adalah .... a. – 3 b. – 2 c. 2 d. 3 e. 4 jawaban : d 8. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + ... + 99. Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah .... a. 950 b. 1480 c. 1930 d. 1980 e. 2430 jawaban : d 9. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = 6 1 n(n + 2). Beda deret itu adalah .... a. 5/6 b. 1/2
  • 52. 253 Notasi sigma, barisan & deret c. 1/3 d. 1/4 e. 1/6 jawaban : c 10. Diketahui suku pertama dan suku kedelapan deret aritmetika masing – masing 3 dan 24. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah .... a. 460 b. 510 c. 570 d. 600 e. 630 jawaban : e 11. Jumlah deret geometri tak terhingga : 1 + 3 1 + 9 1 + 27 1 + 81 1 + ... adalah .... a. 3/2 b. 4/3 c. 3/4 d. – 2/3 e. – 3/4 jawaban : a 12. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = 3n2 – 4n, suku ke-11 deret tersebut adalah .... a. 19 b. 59 c. 99 d. 219 e. 319 jawaban : b 13. Jumlah tak hingga deret geometri 8 + 4 + 2 + 1 + ... adalah .... a. 15 b. 16 c. 18 d. 24 e. 32 jawaban : b 14. Suku ke-3 suatu deret geometri mempunyai nilai 20. Jumlah nilai suku ke- 5 dan ke-6 adalah -80. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah .... a. 45 b. 50 c. 55 254 Notasi sigma, barisan & deret d. 60 e. 65 jawaban : c 15. Suatu deret aritmetika dengan jumlah 7 suku pertama adalah 133 dan jumlah 6 suku yang pertama adalah 120. Suku ke-12 adalah .... a. 1 b. 3 c. 22 d. 25 e. 47 jawaban : b 16. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = 5n2 – 4n. Suku ke-2n deret tersebut sama dengan .... a. 10n – 9 b. 20n – 18 c. 20n – 9 d. 10n + 9 e. 20n + 18 jawaban : c 17. Jumlah tak hingga deret geometri 2 log x + 4 log x + 16 log x + ... adalah .... a. 2 1 log x b. 2.Log x c. 2 1 2 log x d. 2 log x e. 2.2 log x jawaban : e 18. Suku ke-10 dari barisan 3, 5, 7, 9, ... adalah .... a. 11 b. 15 c. 19 d. 21 e. 27 jawaban : d 19. Suku ke-n barisan aritmetika yang dinyatakan dengan rumus Un = 5n – 3. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah .... a. 27 b. 57 c. 342
  • 53. 255 Notasi sigma, barisan & deret d. 354 e. 708 jawaban : d 20. Suku ke-3 dari suatu barisan geometri adalah 18 dan suku ke-6 adalah 488. Suku ke-5 dari barisan tersebut adalah .... a. 27 b. 54 c. 81 d. 162 e. 243 jawaban : d 21. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun maka, jumlah usia 6 anak tersebut adalah .... a. 48,5 tahun b. 49,0 tahun c. 49,5 tahun d. 50,0 tahun e. 50,5 tahun jawaban : c 22. 256 Notasi sigma, barisan & deret
  • 54. 257 Notasi sigma, barisan & deret
  • 55. 75 fungsi 2. Fungsi A. Grafik Fungsi kuadrat 1. Bentuk umum : cbxaxyxf  2 )( ; Rcba ,, dan 0a 2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabol 3. Menggambar grafik fungsi kuadrat Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :  Menentukan nilai diskriminan  Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x dan sumbu y  Menentukan sumbu simetri a b x 2    Menentukan titik puncak        a D a b 4 , 2 4. Tanda-tanda grafik fungsi kuadrat : Tanda diskriminan D > 0 D = 0 D < 0 Tandaa a > 0 a < 0 Contoh melukis grafik fungsi kuadrat : 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y MATERI 76 fungsi 1. Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat 23)( 2  xxxf Penyelesaian : 2 3 1 )( 23)( 2 2           c b a cbxaxxf xxxf  acbD 42  )2)(1(4)3( 2 D 89  1  Titik potong sumbu x, y = 0 230 2  xx … x … = 2 )2)(1(0  xx … + … = - 3 10  x atau 20  x x1 x2 untuk 1x maka koordinat titiknya adalah (1, 0) untuk 2x maka koordinat titiknya adalah (2, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 2)0(3)0( 2 y 2y maka koordinat titiknya adalah (0, 2)  Sumbu simetri a b x 2   )1(2 )3( x 2 3 x  Titik puncak         a D a b p 4 _ , 2         )1(4 1 , )1(2 )3(
  • 56. 77 fungsi        4 1 , 2 3 grafiknya adalah : 2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat 742)( 2  xxxf Penyelesaian : 7 4 2 )( 742)( 2          c b a cbxaxxf xxxf  acbD 42  )7)(2(4)4( 2 D 5616  40 karena D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu x  Titik potong sumbu y, x = 0 7)0(4)0(2 2 y 7y maka koordinat titiknya adalah (0, 7) 0 x y (2, 0)(1, 0) (0, 2) 1 2 2 (3/2, -1/4) x =3/2 78 fungsi  Sumbu simetri a b x 2   )2(2 4 x 4 4 x 1x  Titik puncak         a D a b p 4 _ , 2         )2(4 )40( , )2(2 4         8 40 , 4 4 )5,1( grafiknya adalah : 5 x - 1 7
  • 57. 79 fungsi 5. Nilai maksimum atau minimum adalah a D 4  untuk a b x 2   , sehingga puncaknya atau titik balik maksimum dan minimum berada pada koordinat        a D a b P 4 , 2 6. Fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik balik maksimum dan minimum atau puncaknya di titik ),( qp adalah qpxay  2 )( 7. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x didua titik yang berbeda misalnya titik )0,( 1x dan )0,( 2x adalah ))(( 21 xxxxay  8. Nilai definitif positif atau negatif apabila       negatifdefinitifa positifdefinitifa danD 0 0 0 80 fungsi 1. Agar 65)32(2)2()( 2  pxpxpxf bernilai positif untuk semua x . Maka batas-batas nilai p adalah .... UAN 2003 a. 1p b. 32  p c. 3p d. 21  p e. 21  pataup Penyelesaian : 65 )32(2 )2( )( 65)32(2)2()( 2 2           pc pb pa cbxaxxf pxpxpxf Syarat definitif positif adalah : i). 0a 02 p 2p ii). 0D 042  acb   )65)(2(4)32(2 2  ppp < 0 )121065(4)32()2( 222  pppp < 0 )12165(4)9124(4 22  pppp < 0 486420364816 22  pppp < 0 12164 2  pp < 0 12164 2  pp > 0 342  pp > 0 ... x ... = 3 )3)(1(  pp > 0 ... + ... = - 4 1p atau 3p CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 58. 81 fungsi Titik uji pada interval 1p 0p → 3)1(4)1( 2  > 0 341  > 0 3 > 0 memenuhi Titik uji pada interval 31  p 2p → 3)2(4)2( 2  > 0 384  > 0 -1 > 0 tidak memenuhi Titik uji pada interval 3p 4p → 3)4(4)4( 2  > 0 31616  > 0 3 > 0 memenuhi Jadi nilai p yang memenuhi adalah 31  pataup Dari syarat i) dan ii) diperoleh : Sehingga nilai p yang memenuhi hanya 3p Jawaban : c 2. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum 3 untuk 1x dan grafiknya melalui titik (3, 1) memotong sumbu y di titik .... UAN 2003 a.       2 7 ,0 b. (0, 3) c.       2 5 ,0 d. (0, 2) 1 3 21 3 82 fungsi e.       2 3 ,0 Penyelesaian : )(xf mempunyai nilai maksimum 3 untuk 1x artinya puncaknya di titik (1, 3) dan melalui titik (3, 1). 3)1( 2  xay melalui (3, 1) 3)13(1 2  a 3)2(1 2  a 341  a a42  a 2 1 Jadi persamaan grafiknya adalah :   31 2 1 2  xy   312 2 1 2  xxy 3 2 1 2 1 2  xxy 2 5 2 1 2  xxy Tititk potong sumbu y artinya 0x , maka diperoleh : 2 5 0)0( 2 1 2 y 2 5 00 y 2 5 y Jadi koordinat titik potongnya adalah       2 5 ,0 Jawaban : c
  • 59. 83 fungsi 3. Perhatikan gambar ! Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah .... UAN 2007. B a. 43 2 1 2  xxy b. 46 2 1 2  xxy c. 432  xxy d. 462  xxy e. 862  xxy Penyelesaian : Grafik memotong sumbu x dititik (2, 0) dan (4, 0) dan memotong sumbu y di titik (0, 4) jadi persamaannya adalah : )4)(2(  xxay melalui (0, 4) )40)(20(4  a )4)(2(4  a a84  a 2 1 Karena 2 1 a maka persamaan grafiknya menjadi   42 2 1  xxy 20 4 4 84 fungsi  824 2 1 2  xxxy )86( 2 1 2  xxy 43 2 1 2  xxy Jawaban : a 4. Perhatikan gambar ! Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat .... UAN 2007. A a. 322  xxy b. 322  xxy c. 322  xxy d. 322  xxy e. 322  xxy Penyelesaian : Grafik mempunyai titik puncak di (1, 4) dan melalui (3, 0). Persamaannya adalah 4)1( 2  xay melalui (3, 0) 4)13(0 2  a 4)2(0 2  a a44  a1 10 4 3
  • 60. 85 fungsi Karena a1 maka persamaan grafiknya menjadi 4)1(1 2  xy 4)12( 2  xxy 4122  xxy 322  xxy Jawaban : e 5. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1, 0), B(3, 0) dan C(0, -6) adalah .... UAN 2008 a. 682 2  xxy b. 682 2  xxy c. 682 2  xxy d. 682 2  xxy e. 642  xxy Penyelesaian : Ilustrasi : Memotong sumbu x di titik (1, 0) dan (3, 0) maka persamaan grafiknya adalah )3)(1(  xxay melalui titik (0, - 6) )30)(10(6  a )3)(1(6  a a36  a 2 10 -6 3 86 fungsi Karena a 2 maka persamaan grafiknya menjadi )3)(1(2  xxy )33(2 2  xxxy )34(2 2  xxy 682 2  xxy Jawaban : b 6. Perhatikan gambar ! a.       3, 2 1 1 b.       2 1 4, 2 1 1 c.       2 1 3, 2 1 2 d. (2, 2) e. (2, 4) Penyelesaian : Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan y adalah qp, dan panjang persegi panjang yang sejajar sumbu y adalah y, sedangkan lebar yang sejajar dengan sumbu x adalah x, maka untuk membentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan 6 30 y x A(x,y)
  • 61. 87 fungsi pqpyqx  dan luas persegi panjang adalah xy seperti terlihat pada gambar di bawah ini : Sesuai dengan rumusan di atas maka persamaan grafiknya adalah 1836  yx  62  yx atau xy 26  dan misalkan luas persegi panjang xyxL )( . Jika xy 26  disubstitusi ke dalam persamaan xyxL )( akan diperoleh : )(xL = )26( xx  = 2 26 xx   2a , 6b , 0c Luas suatu daerah maksimum jika a D 4  untuk a b x 2   = )2(2 6   = 4 6   = 2 3 substitutsi 2 3 x ke dalam persamaan y = x26  diperoleh : =        2 3 26 = 6 – 3 6 30 y x A(x,y) q p x y y x 88 fungsi = 3 Jadi koordinat titik A adalah       3, 2 3 atau       3, 2 1 1 Jawaban : a 7. Suatu peluru ditembakan ke atas. Tinggi peluru pada t detik dirumuskan oleh 2 540)( ttth  (dalam meter). Tinggi maksimum yang dapat ditempuh oleh peluru tersebut adalah .... UAN 2004 a. 75 meter b. 80 meter c. 85 meter d. 90 meter e. 95 meter Penyelesaian : 2 540)( ttth  ; 5a , 40b , 0c Maksimum jika : a D 4  = a acb 4 )4( 2  = )5(4 ))0)(5(4)40(( 2   = 20 )1600(   = 80 Jawaban : b 8. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar di bawah ini. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah .... UAN 2005 p l l
  • 62. 89 fungsi a. 16 m b. 18 m c. 20 m d. 22 m e. 24 m Penyelesaian : Panjang kawat sama dengan keliling persegi panjang Keliling persegi panjang = 120 m lp 43  = 120 l4 = p3120  l = 4 3120 p Mis, luas persegi panjang adalah L(p) lppL 2)(  ) 4 3120 (2 p p   )3120( 2 1 pp  )( pL 2 2 3 60 pp  ; 2 3 a , ,60b 0c Luas maksimum jika a D 4  untuk a b p 2   ) 2 3 (2 60   p 3 60   p 20p Jawaban : c 9. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya perjam ) 120 8004( x x  ratusan ribu rupiah. Agar 90 fungsi biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu .... UAN 2005 a. 40 jam b. 60 jam c. 100 jam d. 120 jam e. 150 jam Penyelesaian : Biaya total = biaya perjam dikalikan dengan waktu Mis : biaya total = B(x) )(xB = x x x ) 120 8004(  = 1208004 2  xx ; 120,800,4  cba Biaya minimum untuk maksimumkan waktu jika a D 4  untuk a b x 2   )4(2 )800( x 8 800 x 100x Jawaban : c
  • 63. 91 fungsi 1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dengan puncak        8 1 10, 4 3 1 dan melalui titik (1, - 9) adalah .... a. 422  xxy b. 472 2  xxy c. 742 2  xxy d. 472  xxy e. 1124 2  xxy 2. Nilai maksimum dari fungsi kxkxxf 21)5(2)( 2  adalah 5. Nilai k yang memenuhi adalah .... a. -1 atau 7 b. 1 atau 7 c. -7 atau 1 d. -7 atau -1 e. -1 atau 1 3. Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah .... a. (2, 5) b.       2 5 ,2 c.       5 2 ,2 d.       2, 2 5 e.       2, 5 2 4 5 M(x,y) LATIHAN MANDIRI 92 fungsi 4. Perhatikan gambar ! Grafik fungsi di atas mempunyai persamaan .... a. 422 2  xxy b. 422 2  xxy c. 222  xxy d. 222  xxy e. 422  xxy 5. Sebuah peluru ditembakan vertikal ke atas dengan kecepatan 0v meter/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi 2 4 5 205)( ttth  . Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah .... a. 75 meter b. 85 meter c. 145 meter d. 160 meter e. 185 meter 20-1 -4
  • 64. 93 fungsi B. Fungsi komposisi 1. Fungsi komposisi atau komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi atau lebih secara berurutan. Komposisi fungsi f dilanjutkan g ditulis gfh  Untuk CzByAx  ,, zxhzyfyxg  )(,)(,)( ))(())(()( xgfxgfxh   2. Sifat-sifat komposisi fungsi  ))(())(( xfgxgf    ffIIf   , I fungsi identitas  )()( hgfhgf   3. Operasi komposisi fungsi  )()())(( xgxfxgf   )().())(.( xgxfxgf   )( )( )( xg xf x g f       x y z A B C f g h MATERI 94 fungsi 4. Menentukan komposisi fungsi Diketahui Ditanya )(xf dan )(xg ))(( xgf  )(xf dan )(xg ))(( xfg  )(xf dan ))(( xgf  )(xg )(xg dan ))(( xgf  )(xf )(xf dan ))(( xfg  )(xg )(xg dan ))(( xfg  )(xf
  • 65. 95 fungsi 1. Diketahui fungsi RRf : dengan 14)(  xxf dan fungsi RRg : dengan 2)( 2  xxg . Nilai dari )2)(( fg  adalah .... a. – 51 b. 51 c. – 50 d. 50 e. 49 Penyelesaian : ))(( xfg  = ))(( xfg = )14( xg = 2)14( 2 x = 21816 2  xx = 3816 2  xx )2)(( fg  = 3)2(8)2(16 2  = 3)2(8)4(16  = 31664  = 51 Jawaban : b 2. Diketahui 43)(  xxf dan 6)( 2  xxg . Nilai yang memenuhi agar 49))(( xgf  adalah .... UAN 2007. B a. – 6 atau 6 b. – 5 atau 5 c. – 4 atau 4 d. – 3 atau 3 e. – 2 atau 2 Penyelesaian : 43)(  xxf dan 6)( 2  xxg 49))(( xgf  ))(( xgf = 49 CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 96 fungsi 4)6(3 2 x = 49 4183 2 x = 49 223 2 x = 49 2 3x = 27 2 x = 9 x = 9 x = 3 Jawaban : d 3. Diketahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh 643)( 2  xxxf dan 12)(  xxg . Jika nilai 101))(( xgf  , maka nilai x yang memenuhi adalah .... UAN 2007. A a. 2 3 2 3 dan b. 2 3 2 3 dan c. 2 11 3 dan d. 2 3 2 3  dan e. 2 11 3  dan Penyelesaian : 643)( 2  xxxf 12)(  xxg 101))(( xgf  ))(( xgf = 101 6)12(4)12(3 2  xx = 101 6)12(4)144(3 2  xxx = 101 64831212 2  xxx = 101 132012 2  xx = 101
  • 66. 97 fungsi 882012 2  xx = 0 2253 2  xx = 0 ... + ... = - 66 221163 2  xxx = 0 ... + ... = - 5 )2211()63( 2  xxx = 0 )2(11)2(3  xxx = 0 )2)(113(  xx = 0 3 11 x atau 2x Jawaban : a 4. Diketahui fungsi x x xf 1 )(   dan 1)( 2  xxg maka nilai ....))((  xgf a. 3 2 1  b. 2 1 3  c. 2 1 3 3 1  d. 2 1 3  e. 2 1 3  Penyelesaian :   )(xgf  = )()( xgxf  = 1 1 2   x x x = x xxx 11 2  )2)(( gf  = 2 12212 2  98 fungsi = 2 1421  = 2 321 = 3 2 1  Jawaban : b 5. Jika 32)(  xxf dan 18164))(( 2  xxxfg  , maka ....)( xg a. 652  xx b. 1582  xx c. 3342  xx d. 24112  xx e. 322  xx Penyelesaian : 32)(  xxf 18164))(( 2  xxxfg ....................................... 1) Mis cbxaxxg  2 )( cxbxaxfg  )32()32())(( 2 = cxbxxa  )32()9124( 2 = cbbxaaxax  329124 2 = )39()212(4 2 cbaxbaax  ........ 2) Dari 1) dan 2) diperoleh )39(18 )212(16 44 )39()212(4))(( 18164))(( 2 2 cba ba a cbaxbaaxxfg xxxfg           144  aa )2)1(12(16 b → )212(16 b b21216  b24  b 2
  • 67. 99 fungsi cba  3918 → 18 = c )2(3)1(9 18 = 9 + 6 + c 18 = 15 + c 3 = c Jadi 32)( 2  xxxg Jawaban : e 6. Jika 28)(  xxf dan 24))((  xxgf  maka fungsi ....)( xg a. x 2 1 b. 1 3 2 x c. 1 2 1 x d. 2 1 2 1 x e. 2 2 1  x Penyelesaian : ))(( xgf  = 24 x ))(( xgf = 24 x ........................................... 1) )(xf = 28 x ))(( xgf = 2))((8 xg ................................... 2) Dari 1) dan 2) diperoleh 2))((8 xg = 24 x ))((8 xg = 44 x )(xg = 8 44 x )(xg = 2 1x Jawaban : d 100 fungsi 7. Suatu pemetaan RRf : , RRg : dengan 542))(( 2  xxxfg  dan 32)(  xxg , maka ....)( xf UAN 2004 a. 122  xx b. 222  xx c. 22 2  xx d. 242 2  xx e. 142 2  xx Penyelesaian : ))(( xfg  = 542 2  xx 32)(  xxg ?....)( xf ))(( xfg  = 542 2  xx ))(( xfg = 542 2  xx .......................................... 1) )(xg = 32 x ))(( xfg = 3)(2 xf ............................................... 2) Dari 1) dan 2) diperoleh 3)(2 xf = 542 2  xx )(2 xf = 242 2  xx )(xf = 2 242 2  xx )(xf = 122  xx Jawaban : a
  • 68. 101 fungsi 1. Diketahui 52)(  xxg dan 136))((  xxgf  , maka ....)3( f a. 11 b. – 11 c. 12 d. – 12 e. 13 2. Diketahui fungsi 52)(  xxg dan 23204))(( 2  xxxgf  , rumus fungsi )(xf adalah .... a. 22 x b. 12 2 x c. 2 2 1 2 x d. 2 2 1 2 x e. 1 2 1 2 x 3. Diketahui 36)(  xxf dan 45)(  xxg . Jika   81)( xgf  maka nilai x adalah .... a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 LATIHAN MANDIRI 102 fungsi 4. Jika nilai ))(())(( xfgxgf  , axxf  2)( dan 53)(  xxg , maka nilai a adalah .... a. 5 1  b. 5 2 c. 2 5  d. 2 5 e. – 5
  • 69. 103 fungsi C. Fungsi Invers 1. Fungsi f memiliki invers jika dan hanya jika fungsi f korespondensi satu- satu dan f adalah fungsi pada (fungsi 11f dan padaf ) Untuk CzByAx  ,, yxf )( → xyf  )(1 zyf )( → yzf  )(1 Invers yang berbentuk dcx bax xf   )(  dcx bax y     baxdcxy  )( baxdycxy  bdyaxcxy  bdyxacy  )( acy bdy yfx     )(1 acx bdx xf    )(1 2. Sifat-sifat fungsi invers Iffff    11 111 )(   fggf  x y z A B C )(xf )(1 yf  )(1 zg )(yg MATERI 104 fungsi 1. Diketahui 63)(  xxf maka ....)(1  xf a. )6( 3 1  x b. )6( 3 1  x c. )6( 3 1 x d. )6( 3 1 x e. 3x Penyelesaian : yxf )( = 63 x 6y = x3 )6( 3 1 y = xyf  )(1 )6( 3 1 x = )(1 xf  Jawaban : c 2. Invers dari fungsi 24 )1(log)(  xxf adalah ....)(1  xf a. x 41 b. x 2 1 21 c. x 41 d. 12 x e. 122 1  x CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 70. 105 fungsi Penyelesaian : 24 )1(log  xy → )1(log.2 4  xy )1(log 2 4  x y 142  x y xyf y   )(14 12 )(14 12 xf x   )(12 1 ) 2 (2 xf x   )(12 1 xfx   Jawaban : d 3. Fungsi invers dari fungsi eksponen 13)(  x xf adalah .... a. )1(log3 x b. )1(log3 x c. )1(log3 x d. )1(log_3 x e. )1(log_3 x Penyelesaian : 13)(  x xf 13  x y x y   31 atau )1(3  yx yx  13 baxb xa log xy  )1(log3 xy  )1(log_3 )()1(log_ 13 yfy   )()1(log_ 13 xfx   Jawaban : d 106 fungsi 4. Diberikan fungsi f dan g dengan 12)(  xxf dan 1 ))((   x x xgf  , 1x maka invers dari fungsi g adalah ....)(1  xg UAN 2003 a. 1, 1    x x x b. 0, 2 12   x x x c. 0, 1    x x x d. 2 1 , 12 2    x x x e. 0, 2 12    x x x Penyelesaian : 12)(  xxf ))(( xgf  = 1x x ))(( xgf = 1x x ......................................... 1) ))(( xgf = 1)(.2 xg ................................ 2) 1)(.2 xg = 1x x )(.2 xg = 1 1  x x = 1 )1(1   x xx = 1 1   x xx = 1 1   x
  • 71. 107 fungsi )(xg = 2 1 1   x = 2 1 1 1    x = 22 1   x 2,2,1,0  dcba )(1 xg = x x 2 12  = x x 2 )12(  = x x 2 12   Jawaban : e 5. Invers fungsi 5 8 , 85 23 )(     x x x xf adalah ....)(1  xf a. 35 28   x x b. 35 28   x x c. x x 53 28   d. x x 53 28   e. x x 53 28   Penyelesaian : 8 5 2 3 85 23 )(            d c b a x x xf 108 fungsi )(1 xf  = 35 28   x x = )53( )28( x x   = x x 53 28   Jawaban : d 6. Invers dari fungsi x x xf 52 83 )(    adalah ....)(1  xf a. 35 82   x x b. 38 52   x x c. 25 38   x x d. 58 32   x x e. 58 32   x x Penyelesaian : )(xf = 2 5 8 3 52 83           d c b a x x )(1 xf  = 35 82   x x = )35( )82(   x x = 35 82   x x Jawaban : a
  • 72. 109 fungsi 1. Diketahui fungsi 25 )1(log)(  xxf adalah ....)(1  xf a. x 51 b. 15 x c. x 2 1 51 d. 152 1  x e. x 51 2. Diketahui fungsi 0, 1 log)( 5    x x x xf , maka invers dari )(xf adalah .... a. 15 1 x b. 15 1 x c. 15 1 x d. 1 1 5 x e. 15 5 x 3. Diketahui xxf 3)(  , xxg 52)(  , maka nilai )()( 1 xgf   adalah .... a. 15 26 x b. 15 36 x c. 5 6 x LATIHAN MANDIRI 110 fungsi d. 15 6 x e. 15 26 x 4. Fungsi RRf : didefinisikan sebagai 3 4 , 43 12 )(     x x x xf . Invers dari fungsi f adalah ....)(1  xf a. 23 14   x x b. 23 14   x x c. x x 32 14   d. 23 14   x x e. 23 14   x x
  • 73. 164 matriks 8. Matriks Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. A. Matriks berordo 22 Misalkan : Matriks        dc ba A Matriks        hg fe B 1. Transpose matriks : Transpose matriks A adalah        db ca At Transpose matriks B adalah        hf ge Bt 2. Determinan :  Determinan matriks A adalah : bcadA det , dengan 0 bcad  Determinan matriks B adalah : fgehB det , dengan 0 fgeh  Jika determinan matriks sama dengan nol maka matriksnya disebut matriks singular 3. Adjoin matriks :  Adjoin matriks A adalah :          ac bd AAdj  Adjoin matriks B adalah :          eg fh BAdj 4. Invers matriks :  Invers matriks A adalah : Aadj A A det 11  MATERI 165 matriks           ac bd bcad A 11  Invers matriks B adalah : Badj B B det 11            eg fh fgeh B 11 5. Operasi aljabar pada matriks : Misalkan : Matriks        dc ba A Matriks        hg fe B  Penjumlahan matriks : BA  =             hg fe dc ba =         hdgc fbea  Pengurangan matriks : BA  =             hg fe dc ba =         hdgc fbea  Perkalian matriks : BA = 2222              hg fe dc ba
  • 74. 166 matriks = 22         dhdfdgce bhafbgae Ak. =       dc ba k =       dkck bkak 6. Identitas matriks : Identitas matriks berordo 22 adalah :        10 01 I 7. Persamaan matriks :  AIAAI   Jika BAX  dan kedua ruas dikalikan dengan 1 A maka akan diperoleh BAX 1   111 )(   ABAB Contoh : 1. Diketahui matriks         31 12 A dan matriks         12 41 B . Tentukanlah : a. BA  b. BA  c. BA. d. 2 A Penyelesaian : a. BA  =               12 41 31 12 =         1321 4112 167 matriks =        21 53 b. BA  =               12 41 31 12 =         )1(321 4112 =         43 31 c. AB =              12 41 31 12 =         )1)(3()4)(1()2)(3()1)(1( )1)(1()4)(2()2)(1()1)(2( =         3461 1822 =        75 74 d. 2 A = AA =              31 12 31 12 =         )3)(3()1)(1()1)(3()2)(1( )3)(1()1)(2()1)(1()2)(2( =         9131 3214 =        84 53
  • 75. 168 matriks 2. Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linier      765 1034 yx yx adalah .... Penyelesaian : 1034  yx 765  yx dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu :                    7 10 65 34 y x A X = B Dimana         65 34 A ,        y x X , dan        7 10 B Sehingga X dapat dicari dengan persamaan BAX 1  dimana Aadj A A det 11  Adet = )5)(3()6)(4(  = 1524  = 39 Aadj =        45 36 maka         45 36 39 11 A BAX 1        y x =              7 10 45 36 39 1 =         )7)(4()10)(5( )7)(3()10)(6( 39 1 =         2850 2160 39 1 169 matriks =       78 39 39 1       y x =       2 1 jadi 1x dan 2y B. Matriks berordo 33 Misalkan : Matriks            333231 232221 131211 aaa aaa aaa A Matriks            333231 232221 131211 bbb bbb bbb B 1. Transpose matriks : Transpose matriks A adalah            332313 322212 312111 aaa aaa aaa At Transpose matriks B adalah            332313 322212 312111 bbb bbb bbb Bt 2. Determinan :  Determinan matriks A adalah : Adet =           3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa + + + ___
  • 76. 170 matriks = 33.21.1232.23.1131.22.1332.21.1331.23.1233.22.11 aaaaaaaaaaaaaaaaaa  Jika determinan matriks sama dengan nol maka matriksnya disebut matriks singular 3. Matriks kofaktor : “Matriks kofaktor terbentuk jika terjadi penghapusan kolom dan baris” Jika  ijM adalah minor ija dari matriks A maka kofaktor dari ija dirumuskan dengan  ij ij ij MA )1( Dimana  ijM = det ijA i = menyatakan baris y = menyatakan kolom matriks kofaktor dapat ditemukan dengan : 11A =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa 21A =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa =         3332 232211 )1( aa aa =         3331 232112 )1( aa aa = )()1( 32233322 2 aaaa  = )()1( 31233321 3 aaaa  12A =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa 22A =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa =         3332 131221 )1( aa aa =         3331 131122 )1( aa aa = )()1( 32133312 3 aaaa  = )()1( 31133311 4 aaaa  13A =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa 23A =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa 171 matriks =         2322 131231 )1( aa aa =         2321 131132 )1( aa aa = )()1( 22132312 4 aaaa  = )()1( 21132311 5 aaaa  coba cari kofaktor lainnya : sehingga matriks kofaktor akan diperoleh sebagai berikut :            333231 232221 131211 AAA AAA AAA A 4. Adjoin matriks : Adjoin matriks berordo 33 adalah transpose dari matriks kofaktor diperoleh: Adjoin matriks kofaktor A adalah :            332331 322212 312111 AAA AAA AAA AAdj 5. Invers matriks : Invers matriks A adalah : Aadj A A det 11  6. Operasi aljabar pada matriks : Misalkan : Matriks            333231 232221 131211 aaa aaa aaa A Matriks            333231 232221 131211 bbb bbb bbb B  Penjumlahan matriks :
  • 77. 172 matriks BA  =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa +           333231 232221 131211 bbb bbb bbb =              333332323131 232322222121 131312121111 bababa bababa bababa  Pengurangan matriks : BA  =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa -           333231 232221 131211 bbb bbb bbb =              333332323131 232322222121 131312121111 bababa bababa bababa  Perkalian matriks : BA =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa           333231 232221 131211 bbb bbb bbb Ak. =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa k =           333231 232221 131211 kakaka kakaka kakaka 173 matriks 7. Identitas matriks : Identitas matriks berordo 33 adalah :            100 010 001 I 8. Persamaan matriks :  AIAAI   Jika BAX  dan kedua ruas dikalikan dengan 1 A maka akan diperoleh BAX 1   111 )(   ABAB Contoh : 1. Diketahui matriks            312 111 201 A dan              111 110 312 B , tentukan nilai : a. BA  b. BA  c. AB Penyelesaian : a. BA  =            312 111 201 +             111 110 312 =              131112 111101 321021 =            423 001 513
  • 78. 174 matriks b. BA  =            312 111 201 -             111 110 312 =              131112 )1(11101 32)1(021 =             201 221 111 c. AB =            312 111 201             111 110 312 =              316312304 113111102 203201202 =            827 513 514 2. Nilai x, y, z yang memenuhi sistem persamaan linier tiga variabel berikut :         0 32 632 zyx zyx zyx adalah .... Penyelesaian : 632  zyx ......................... 1) 32  zyx ......................... 2) 0 zyx ......................... 3) 175 matriks Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu :             111 112 321           z y x =           0 3 6 A X = B Sehingga BAX 1  Adet =             11 12 21 111 112 321 = )1)(2)(2()1)(1)(1()1)(1)(3()1)(2)(3()1)(1)(2()1)(1)(1(  = 413621  = 9 matriks kofaktornya adalah : 11A =             111 112 321 23A =             111 112 321 =          11 11 )1( 11 =          11 21 )1( 32 = ))1)(1()1)(1(()1( 2  = ))1)(2()1)(1(()1( 5  = )11(1  = )21(1  = 2 = 3 12A =             111 112 321 31A =             111 112 321 =           11 12 )1( 21 =          11 32 )1( 13 = ))1)(1()1)(2(()1( 3  = ))1)(3()1)(2(()1( 4 
  • 79. 176 matriks = )12(1  = )32(1  = 1 = 5 13A =             111 112 321 32A =             111 112 321 =          11 12 )1( 31 =          12 31 )1( 23 = ))1)(1()1)(2(()1( 4  = ))2)(3()1)(1(()1( 5  = )12(1  = )61(1  = 3 = 7 21A =             111 112 321 33A =             111 112 321 =         11 32 )1( 12 =         12 21 )1( 33 = ))1)(3()1)(2(()1( 3  = ))2)(2()1)(1(()1( 6  = )32(1  = )41(1  = 1 = 3 22A =             111 112 321 =          11 31 )1( 22 = ))1)(3()1)(1(()1( 4  = )31(1  = 4 matriks kofaktornya adalah : 177 matriks               375 341 312 A adjoin matriks t AA  dari matriks kofaktor adj A = At =              333 741 512 Aadj A A det 11                333 741 512 9 11 A BAX 1            z y x =              333 741 512 9 1           0 3 6 =              0918 0126 0312 9 1 =             27 18 9 9 1 =             3 2 1 jadi nilai 1x , 2y , 3z
  • 80. 178 matriks 1. Jika                     0 2 44 23 y x , maka ....2  yx UAN 2003 a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 2 Penyelesaian :                     0 2 44 23 y x A X B Maka : BAX 1  Dimana : Aadj A A det 11  )4)(2()4)(3(det A = 12 – 8 = 4 Aadj       34 24 1 A =       34 24 4 1 sehingga X =       34 24 4 1       0 2       y x =         08 08 4 1 =       8 8 4 1 CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 179 matriks =       2 2 jadi 2x dan 2y maka nilai yx 2 = )2(22  = 42  = 6 Jawaban : a 2. Diketahui matriks S =        31 02 dan M =        30 21 , jika fungsi 22 ),( MSMSf  , maka matriks ),( MSMSf  adalah .... UAN 2004 a.        404 204 b.        404 204 c.        304 204 d.         364 84 e.         364 84 Penyelesaian : Diketahui : S =        31 02 , M =        30 21 ),( MSf = 22 MS  ),( MSMSf  = 22 )()( MSMS  MS  =               30 21 31 02
  • 81. 180 matriks =         3301 2012 =        01 23 2 )( MS  = ))(( MSMS  =        01 23        01 23 =         0203 0629 =        23 67 MS  =               30 21 31 02 =         )3(301 2012 =         61 21 2 )( MS  = ))(( MSMS  =         61 21         61 21 =         36261 12221 =         387 243 ),( MSMSf  = 22 )()( MSMS  =        23 67 -         387 243 181 matriks =         38273 14637 =        404 204 Jawaban : a 3. Matriks X berordo 22 yang memenuhi             12 34 43 21 X adalah .... UAN 2005 a.        45 56 b.        54 65 c.        54 56 d.         13 24 e.        810 1012 Penyelesaian : X      43 21 =       12 34 A X = B X = BA 1 jadi BAadj A X . det 1  =                12 34 13 24 64 1
  • 82. 182 matriks =          19212 212416 2 1 =        810 1012 2 1 =        45 56 Jawaban : a 4. Diketahui matriks A =       02 yx , B =       20 12 dan C =         21 46 . Ct adalah transpose dari C. Jika AB = Ct maka nilai .... yx UAN 2006 a. – 2 b. – 1 c. 0 d. 1 e. 2 Penyelesaian : C =         21 46 , maka Ct =        24 16 A B = Ct       02 yx       20 12 =        24 16         0204 202 yxx =        24 16        24 22 yxx =        24 16 sehingga diperoleh : 62 x  3x 12  yx  123  y 22 y 2y 183 matriks yx  = 23  = - 2 Jawaban : a 5. Diketahui matriks A =         3 1 b d , B =         b3 54 , C =         131 53 aa cc , jika Ct = tranpose matriks C, maka nilai dcba  yang memenuhi persamaan B – A = Ct adalah .... UAN 2007.B a. – 8 b. – 3 c. 11/3 d. 9 e. 141/9 Penyelesaian : Jika C =         131 53 aa cc , maka Ct =         135 13 ac ac B – A = Ct         b3 54 -         3 1 b d =         135 13 ac ac         )3(3 )(514 bb d =         135 13 ac ac         33 53 bb d =         135 13 ac ac sehingga diperoleh : c33   c1 cb 53   53  b 2 b 2b 133  ab  32  = 13 a 5 = 13 a 6 = 3a 2 = a ad  15  d 5 = 1 – 2
  • 83. 184 matriks d 5 = 1 d = 4 jadi nilai dcba  = 2 + 2 + 1 + 4 = 9 Jawaban : d 6. Diketahui matriks A =        41 12 , B =        y yx 3 2 , C =       13 27 , apabila B – A = Ct , dan Ct transpose matriks C, maka nilai ....xy UAN 2007.A a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. 30 Penyelesaian : Jika C =       13 27 , maka Ct =       12 37 B - A = Ct        y yx 3 2 -        41 12 =       12 37         413 )1(22 y yx =       12 37         42 32 y yx =       12 37 sehingga diperoleh : 14 y  5y 72  yx  725 x 73 x 4x jadi nilai 5.4. yx = 20 Jawaban : c 185 matriks 7. Diketahui persamaan matriks :               b a 0 14 13 2 2 =             31 2 4 23 d c maka nilai dari dcba  = .... UAN 2008. A a. 11 b. 13 c. 15 d. 17 e. 19 Penyelesaian :               b a 0 14 13 2 2 =             31 2 4 23 d c        26 42a +        b0 14 =         )3)(4())(()1)(4()2)(( )3)(2())(3()1)(2()2)(3( dcc d         b a 206 1442 =         1242 6326 cdc d         b a 26 342 =         1242 638 cdc d sehingga diperoleh : 842 a  42 a 2a 633  d  d33  d1 426  c  c210  c 5 122  cdb  12)1)(5(2  b 1252  b 172  b 15b dcba  = 15152  = 11 Jawaban : a
  • 84. 186 matriks 8. Diketahui persamaan matriks :        c a 1 4 +        3 2 d b =        43 31       01 10 nilai dcba  = .... a. – 7 b. – 5 c. 1 d. 3 e. 7 Penyelesaian :        c a 1 4 +        3 2 d b =        43 31       01 10         31 42 cd ba =         )0)(4()1)(3()1)(4()0)(3( )0)(3()1)(1()1)(3()0)(1(         31 42 cd ba =       34 13 sehingga diperoleh : 32 a  5a 14  b  3b 41  d  5d 33 c  6c jadi nilai dcba  = 5635  = 3 Jawaban : d 9. Diketahui matriks A =           p p 387 654 21 adalah matriks singular. Nilai p adalah .... a. 1 b. 3 c. 9 d. 12 187 matriks e. 15 Penyelesaian : Suatu matriks dikatakan singular jika determinannya sama dengan nol : det A = 0           87 54 21 387 654 21 p p = 0 0)3)(4)(2()8)(6)(1()7)(5)(()8)(4)(()7)(6)(2()3)(5)(1(  pppp pppp 244835328415  = 0 488424353215  pppp = 0 3612  p = 0 p12 = 36 p = 3 Jawaban : b 10. Jika diketahui matriks A =        11 23 dan B-1 =        12 41 maka 11 )(  BA = .... a.       55 61 b.       55 61 c.         55 61 d.       53 101 e.         53 101 + + + ___
  • 85. 188 matriks Penyelesaian : 11 )(  BA = 111 )(  AB = AB 1 =        12 41        11 23 =         1416 4243 =         55 61 Jawaban : c 189 matriks 1. Jika A =         42 38 , B =        57 625 , dan C =         61 411 . Maka CBA 23  adalah .... a.         78 144 b.         511 1171 c.         515 1127 d.        1911 571 e.        511 527 2. Invers matriks A =       43 21 adalah .... a.           1 2 3 2 2 1 b.            2 1 2 3 3 1 2 LATIHAN MANDIRI
  • 86. 190 matriks c.            2 1 2 3 1 2 1 d.            2 2 3 1 2 1 e.           2 1 2 3 12 3. Diketahui matriks A =       0 2 y x , B =        43 21 dan C =         21 81 , maka nilai yx  yang memenuhi AB = C adalah .... a. – 2 b. – 1 c. 0 d. 1 e. 2 4. Diketahui matriks A =         15 4 a aa dengan 0a . Jika determinan matriks A sama dengan 1, maka invers matriks A adalah .... a.         75 118 b.         85 117 c.       85 117 d.         85 117 191 matriks e.       75 118 5. Jika       p3 14       7 1 q p =       203 151 , maka nilai dari ....)( 2  qp a. 1 b. 4 c. 16 d. 25 e. 36 6. Diketahui matriks A =       25 14 dan B =        23 10 . Invers dari matriks AB adalah .... a.         36 21 9 1 b.       36 21 9 1 c.         36 21 9 1 d.         36 21 9 1 e.        36 21 9 1 7. Diketahui matriks P =       12 82x , jika matriks P merupakan matriks singular, maka nilai x adalah .... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 8
  • 87. 192 matriks 8. Diketahui hasil kali matriks       21 34       b a 3 5 =       138 3217 , maka nilai .... ba a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10 9. Diketahui matriks A =        5 42 p dan B =         62 23 . Jika det A = det B, maka nilai p = .... a. – 3 b. – 2 c. 1 d. 3 e. 5 10. Diketahui matriks A =       43 21 , B =       1024 410 . Jika x adalah matriks berordo 22 dan AX = B, maka X = .... a.         43 21 b.         13 24 c.       31 42 d.       13 24 e.         41 32 193 matriks 11. Hasil kali matriks A        60 35 =         2735 3010 , maka matriks A adalah .... a.        74 11 b.         17 42 c.         17 24 d.        41 27 e.       14 27 12. Diketahui matriks A =       53 21 dan B =       2911 114 jika matriks AX = B, maka matriks X adalah .... a.       42 31 b.       41 32 c.       12 43 d.       23 14 e.       34 41
  • 88. 194 matriks 13. Diketahui matriks P =           1093 57 42 c b a dan Q =           1095 527 342 b a . Jika matriks P = Q, maka nilai c adalah .... a. 5 b. 6 c. 8 d. 10 e. 30 14. Diketahui matriks A =       102 321 dan B =           1 1 2 . Hasil dari A.B adalah .... a.  33 b.       3 3 c.         104 322 d.             13 02 42        11 11 e.         33 33 195 matriks 15. Diketahui matriks A =        42 31 dan B =         21 43 . Nilai detrminan dari 1 )(  AB adalah .... a. 20 5  b. 20 1  c. 20 1 d. 20 5 e. 20
  • 89. 112 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 3. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat A. Persamaan kuadrat 1. Bentuk umum 02  cbxax ; a, b, c R dan 0a 2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat Dengan beberapa cara :  Memfaktorkan Cara memfaktorkannya adalah cari dua bilangan jika dikalikan hasilnya ac dan jika dijumlahkan hasilnya b 02  cbxax ... x ... = ac ... + ... = b  Melengkapi kuadrat sempurnah Syarat melengkapi kuadrat sempurnah adalah a = 1 cbxax 2 = 0 a c x a b x 2 = 0 x a b x 2 = a c  2 2 2 1              a b x a b x = a c a b             2 2 1 2 2 2        a b x a b x = a c a b       2 2 2 2        a b x = a c a b 2 2 4 = 2 2 4 4 a acb  a b x 2  = 2 2 4 4 a acb   MATERI 113 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat x = 2 2 4 4 2 a acb a b   = a acb a b 2 4 2 2   = a acbb 2 42   Menggunakan rumus abc a acbb x 2 42 2,1   3. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat Jenis akar persamaan kuadrat ditentukan oleh bentuk akarnya (D) dimana acbD 42  Persamaan kuadrat 02  cbxax memiliki :  Akar real berlainan jika 0D  Akar sama atau kembar jika 0D  Akar tidak real jika 0D 4. Rumus jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 02  cbxax adalah 1x dan 2x dimana a acbb x 2 42 1   dan a acbb x 2 42 2   maka berlaku :  21 xx  = a b  21 xx  = a c 5. Sifat-sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat  Akar-akarnya berlawanan : b = 0  Akar-akarnya berkebalikan : a = c
  • 90. 114 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat  Salah satu akarnya sama dengan 0 : a b x 2  Kedua akarnya bertanda sama : 0 a c  Kedua akarnya berlainan tanda : 0 a c 6. Menyusun persamaan kuadrat yang diketaui akar-akarnya 1x dan 2x dengan :  Jika 1x dan 2x diketahui, maka persamaannya kuadratnya adalah perkalian faktor 0))(( 21  xxxx  Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 0.)( 2121 2  xxxxxx 115 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 1. Akar-akar persamaan kuadrat 01892  xx adalah .... a. – 3 dan 6 b. 3 dan 6 c. – 3 atau 6 d. 3 atau 6 e. – 6 dan 3 Penyelesaian : 1892  xx = 0 ... x ... = 18 )6)(3(  xx = 0 ... + ... = - 9 03 x dan 06 x 3x 6x Jawaban : b 2. Himpunan penyelesaian penyelesaian dari persamaan 04129 2  xx adalah .... a.        3 2 b.       3 2 c.       2 3 d.        2 3 e.  2 Penyelesaian : 4129 2  xx = 0 ... x ... = 36 4669 2  xxx = 0 ... + ... = - 12 0)46()69( 2  xxx 0)23(2)23(3  xxx )23)(23(  xx = 0 CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 91. 116 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 023 x dan 023 x 3 2 x 3 2 x Hp =       3 2 Jawaban : b 3. Jika 21 xdanx adalah akar-akar persamaan kuadrat : 0332 2  xx , maka nilai ..... 21 xx UAN 2008. BAHASA.A a. 2 b. 2 3  c. 2 3 d. 2 e. 3 Penyelesaian : 3 3 2 0 0332 2 2           c b a cbxax xx 21.xx = a c = 2 3 Jawaban : c 4. Jika  dan adalah akar-akar persamaan kuadrat 0652 2  xx , maka nilai ....21  xx a. 2 5 b. 2 5  117 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat c. 5 2 d. 5 2  e. 5 Penyelesaian : 6 5 2 0 0652 2 2           c b a cbxax xx 21 xx  = a b = 2 )5( = 2 5 Jawaban : a 5. Persamaan kuadrat 0322  xx mempunyai akar-akar 21 xdanx . Nilai dari .... 2 2 2 1  xx UAN 2008. BAHASA. A a. 10 b. 2 c. – 2 d. – 4 e. – 10 Penyelesaian : 3 2 1 0 032 2 2           c b a cbxax xx 21 xx  = a b = 1 2
  • 92. 118 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat = 2 21. xx = a c = 1 3 = 3 2 2 2 1 xx  = 21 )( 2 221 2 1 22 2 21 xxxxxx xx      =   21 2 21 2 xxxx  = )3(2)2( 2  = 4 + 6 = 10 Jawaban : a 6. Akar-akar persamaan kuadrat 023 2  xx adalah 1x dan 2x . Nilai .... 11 21  xx a. 9 1 b. 6 1 c. 3 1 d. 2 1  e. 3 2 Penyelesaian : 2 1 3 0 023 2 2           c b a cbxax xx 119 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 21 xx  = 3 1 21.xx = 3 2  21 11 xx  = 21 12 xx xx  = 21 21 xx xx  = 3 2 3 1  = 3 2 : 3 1  = 2 3 3 1  = 2 1  Jawaban : d 7. Hasil jumlah akar-akar persamaan kuadrat 06)2(5 2  xpx adalah 8. Nilai p = .... a. – 42 b. – 40 c. – 38 d. 38 e. 42 Penyelesaian : 6 2 5 0 06)2(5 2 2           c pb a cbxax xpx
  • 93. 120 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 21 xx  = a b 8 = 5 2p 40 = 2p 42 = p Jawaban : e 8. Akar-akar persamaan kuadrat 032  kxx adalah 1x dan 2x . Jika 27 2 2 2 1  xx , maka nilai k adalah .... a. – 18 b. – 16 c. – 12 d. 12 e. 18 Penyelesaian : kc b a cbxax kxx           3 1 0 03 2 2 321  xx kxx 21.  2 21 xx  = 2 221 2 1 2 xxxx  = 21 2 2 2 1 2 xxxx  =    2121 2 21 22 xxxxxx  = 21 2 21 4)( xxxx  = k4)3( 2  = k49  21 xx  = k49  2 2 2 1 xx  = ))(( 2121 xxxx  - 27 =  k493  121 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 3 27   = k49  9 = k49  9 = k49  2 )9( = 9 – 4k 81 = 9 – 4k 72 = 4k 4 72 = k 18 = k Jawaban : a 9. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah .... UAN 2003 a. 01072  xx b. 01072  xx c. 01032  xx d. 01032  xx e. 01032  xx Penyelesaian : 0))2()(5(  xx 0)2)(5(  xx 010522  xxx 01032  xx Jawaban : e 10. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 35  dan 35  adalah .... a. 022202  xx b. 022202  xx c. 022102  xx d. 022102  xx e. 022102  xx Penyelesaian :    0)35()35(  xx
  • 94. 122 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 0)35)(35()35()35(2  xxx 03332535352  xxxxx 0325552  xxx 022102  xx Jawaban : d 11. Persamaan kuadrat 0532  xx mempunyai akar-akar p dan q. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3p dan 3q adalah .... UAN 2008. BAHASA. A a. 045272  xx b. 045272  xx c. 04592  xx d. 04592  xx e. 04592  xx Penyelesaian : 5 3 1 0 053 2 2           c b a cbxax xx qp  = 1 )3( = 3 qp . = 1 5 = 5 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3p dan 3q adalah : qp 33  = )(3 qp  = 3(3) = 9 qp 3.3 = ).(9 qp = 9 (5) = 45     03.3332  qpxqpx 123 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 04592  xx Jawaban : e 12. Diketahui  dan akar-akar persamaan kuadrat 0164 2  xx . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya )12()12(   dan adalah .... UAN 2007. B a. 032  xx b. 0132  xx c. 0222  xx d. 0232 2  xx e. 022 2  xx Penyelesaian : 1 6 4 0 0164 2 2           c b a cbxax xx   = 4 )6( = 4 6 = 2 3  . = 4 1 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya )12()12(   dan adalah : )12()12(   = 1212   = 222   = 2)(2   = 2 2 3 2       = 3 – 2 = 1
  • 95. 124 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat )12)(12(   = 1224   = 1)(24   = 1 2 3 2 4 1 4              = - 1 – 3 + 1 = -3          0121212122  x 032  xx Jawaban : a 13. Persamaan kuadrat 09)2(2  xpx mempunyai akar-akar yang berlainan. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah .... a. 48  p b. 84  p c. 4p atau 10p d. 8p atau 4p e. 4p atau 8p Penyelesaian : 9 2 1 0 09)2( 2 2           c pb a cbxx xpx Akar-akar berlainan artinya 0D acb 42  > 0   )9)(1(42 2 p > 0 36)44( 2  pp > 0 36442  pp >0 3242  pp > 0 ... x ... = - 32 )8)(4(  pp > 0 ... + ... = - 4 4p atau 8p - 4 8 125 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat Titik uji pada interval 4p : p = - 5 → 32)5(4)5( 2  > 0 322025  > 0 13 > 0 memenuhi Titik uji pada interval 84  p : p = 0 → 32)0(4)0( 2  > 0 3200  > 0 - 32 > 0 tidak memenuhi Titik uji pada interval 8p : p = 9 → 32)9(4)9( 2  > 0 323681  > 0 13 > 0 memenuhi jadi nilai p yang memenuhi adalah 4p atau 8p Jawaban : e 14. Persamaan kuadrat 012)28()1( 2  xmxm mempunyai akar yang berlawanan, maka nilai m yang memenuhi adalah .... a. – 5 b. 5 c. – 4 d. 4 e. 3 Penyelesaian : 12 28 1 0 012)28()1( 2 2           c mb ma cbxax xmxm Karena akar-akarnya berlawanan, syaratnya adalah 0b m28  = 0 - 2m = - 8 m = 4 Jawaban : d
  • 96. 126 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 1 dan 2 adalah .... a. 0273 2  xx b. 0273 2  xx c. 0273 2  xx d. 0723 2  xx e. 0723 2  xx 2. Diketaui hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 0)1(64 2  mxx adalah 5. Nilai m adalah .... a. 19 b. 20 c. 21 d. 22 e. 23 3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya )31(  dan )31(  adalah .... a. 032  xx b. 032  xx c. 0222  xx d. 0322  xx e. 0222  xx 4. Persamaan kuadrat 0532 2  xx mempunyai akar-akar  dan  . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 32  dan 32  adalah .... a. 0892 2  xx b. 0892  xx c. 0892  xx d. 0892 2  xx e. 0892  xx LATIHAN MANDIRI 127 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 07103 2  xx adalah  dan  . Nilai dari   ....2 2   a. 9 7 15 b. 3 2 12 c. 9 7 9 d. 3 2 6 e. 9 4 6 6. Persamaan kuadrat 0)2()12()1( 2  axaxa mempunyai akar yang sama. Maka nilai a adalah .... a. 16 11  b. 16 9  c. 16 7  d. 16 5  e. 16 3  7. Akar-akar persamaan 0732 2  xx adalah 21 xdanx . Nilai dari ....88 2 2 2 1  xx a. – 38 b. – 20 c. – 10 d. 18 e. 36
  • 97. 128 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 8. Persamaan kuadrat 0)3(2 2  ppxx akar-akarnya berkebalikan, maka nilai p adalah .... a. – 5 b. 5 c. – 3 d. 3 e. 1 9. Salah satu akar persamaan 0102  mxx adalah 3 lebih dari akar yang lain, maka nilai m adalah .... a. m = -1 atau m = 1 b. m = -5 atau m = 5 c. m = - 6 atau m = 6 d. m = - 7 atau m = 7 e. m = - 9 atau m = 9 129 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat B. Pertidaksamaan 1. Interval Contoh : 1. 2. 3. 2. Pertidaksamaan linier dan grafiknya  Pertidaksamaan linier Bentuk operasi pertidaksamaan linier secara umum : 0 bax , ,  ,  Contoh : 1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 23 x < 0 adalah .... Penyelesaian : 23 x < 0 x3 < 2 x < 3 2 ○ ○ 0 3 0x 30  x 3x ● ○ 0 3 0x 30  x 3x ● ● 0 3 0x 30  x 3x ○ 3 2 3 2 x 3 2 x MATERI
  • 98. 130 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat Titik uji pada interval 3 2 x 0x → 02)0(3  02  memenuhi Titik uji pada interval 3 2 x 1x → 02)1(3  01  tidak memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi adalah 3 2 x Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah :        3 2 xx 2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2813  xx adalah .... Penyelesaian : 13 x 28  x xx 83  12  x5 3 x5 3 x 5 3  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah        5 3 xx  Grafik pertidaksamaan linier Garafik pertidaksamaan linier berbentuk garis lurus Langkah-langkah menggambar grafik :  Cari titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat  Gambar titik potong tersebut pada bidang kartesius  Hubungkan titik-titik tersebut 131 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat Contoh : 1. Gambarlah grafik 2 xy dan tentukan daerah penyelesaiannya Penyelesaian : Pembuat nol fungsi : 2 xy Titik potong sumbu x, maka y = 0, maka 0 = x + 2 - 2 = x Koordinat titik potongnya adalah (- 2, 0) Titik potong sumbu y, maka x = 0 y = 0 + 2 y = 2 Koordinat titik potongnya adalah (0, 2) Titik uji pada interval 2x dan 2y (- 3, 1) → 1  - 3 + 2 1  - 1 memenuhi Titik uji pada interval 2x dan 2y (1, 1) → 1  1 + 2 1  3 tidak memenuhi Jadi daerah penyelesaiannya adalah 2x dan 22  yatauy 0-2 x y 2● ●
  • 99. 132 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 2. Gambarlah grafik 42  yx dan tentukan daerah penyelesaiannya Pembuat nol fungsi : x – 2y = 4 Titik potong sumbu x, maka y = 0 x – 2(0) = 4 x = 4 Koordinat titik potongnya adalah (4, 0) Titik potong sumbu y, maka x = 0 0 – 2y = 4 - 2y = 4 y = 2 4  y = - 2 Koordinat titik potongnya adalah (0, -2) Titik uji pada interval 4x dan 2y (2, -3) → 2 – 2 (- 3)  4 2 + 6  4 8  4 memenuhi Titik uji pada interval 4x dan 2y (1, 1) → 1– 2 (1)  4 0 -2 x y 4 ● ● 133 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 1 - 2  4 - 1  4 tidak memenuhi Jadi daerah penyelesaiannya adalah 4x atau 4x dan 2y 3. Pertidaksamaan linier berbentuk pecahan Syaratnya penyebut tidak boleh sama dengan nol Contoh : 1. Diketahui pertidaksamaan 5 2  x x , maka himpunan penyelesaiannya adalah .... Penyelesaian : Syarat i) : 2x Syarat ii) : 2x x 5 05 2  x x 0 2 )2(5    x xx 0 2 105    x xx 0 2 104    x x 0104  x 104  x 104 x 4 10 x 2 5 x
  • 100. 134 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat Dari syarat i) dan ii) diperoleh : Titik uji pada interval 2x 0x → 5 21 1   51  tidak memenuhi Titik uji pada interval 2 5 2  x 1,2x → 5 21,2 1,2   5 1,0 1,2  521  memenuhi Titik uji pada interval 2 5 x 3x → 5 23 3   5 1 3  53  tidak memenuhi Jadi interval yang memenuhi adalah 2 5 2  x Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah        2 5 2 xxHp 2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4 12 2    x x adalah .... Penyelesaian : 4 12 2    x x 2 2 5 ○ ● 135 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat Syarat i) 2 1 x Syarat ii). 04 12 2    x x 0 12 )12(42    x xx 0 12 482    x xx 0 12 27    x x 027  x 27  x 27 x 7 2 x Dari syarat i) dan ii) Titik uji pada interval 7 2 x 0x → 4 1)0(2 20    4 1 2    42  memenuhi Titik uji pada interval 2 1 7 2  x 4,0x → 4 1)4,0(2 24,0    7 2 2 1  
  • 101. 136 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 4 10 2 10 16    4 2 10 10 16  48  tidak memenuhi Titik uji pada interval 2 1 x 1x → 4 1)1(2 21    4 1 1   41  memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi adalah 7 2 x atau 2 1 x 4. Pertidaksamaan berbentuk akar Definisi : a adalah bilangan non negatif sedemikian hingga   aa  2 dengan syarat ; i). Jika 0a maka a terdefinisi ii). Jika 0a maka a tidak terdefinisi Contoh : 1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 23 x adalah .... Syarat i). 03 x 3x Syarat ii). 23 x   22 23 x 43 x 7x Dari syarat i) dan ii) diperoleh 137 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat Titik uji pada interval 3x 2x → 232  21  2i tidak memenuhi Titik uji pada interval 73  x 4x → 234  21  21  memenuhi Titik uji pada interval 7x 8x → 238  25  2....,2  tidak memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi adalah 73  x 2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan xx  31 adalah .... Penyelesaian : xx  31 Syarat i). 01 x 1x Syarat ii). 03  x 3 x 3x Syarat iii).    22 31 xx  xx  31 13  xx 42 x 2x 3 7 ● ○
  • 102. 138 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat Dari syarat i), ii), dan iii) diperoleh : Titik uji pada interval 1x 0x → 0310  31  ,.....1i tidak memenuhi Titik uji pada interval 21  x 5,1x → 5,1315,1  5,25,0  ,....1,....0  tidak memenuhi Titik uji pada interval 32  x 5,2x → 5,2315,2  5,05,1  ,.....0,....1  memenuhi Titik uji pada interval 3x 4x → 4314  13  i,....1 tidak memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi adalah 32  x 5. Pertidaksamaan absolut atau harga mutlak Definisi : Nilai mutlak untuk Rx           0,0 0, 0, xjika xjikax xjikax x Secara umum,  2 xx  Jika ax  maka axa  Jika ax  maka ax  atau ax  1 ○ ● 2 3 ● 139 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat Contoh : 1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x Cara I : 2x 22 2x 042 x ... x ... = - 4 0)2)(2(  xx ... + ... = 0 2x atau 2x Titik uji pada interval 2x 3x → 23  23  tidak memenuhi Titik uji pada interval 22  x 0x → 20  20  memenuhi Titik uji pada interval 2x 3x → 23  23  tidak memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi adalah 22  x Cara II : 2x 22  x Jadi nilai x yang memenuhi adalah 22  x 2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32 x adalah .... Penyelesaian : Cara I : - 2 ○ 2 ○
  • 103. 140 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 32 x 22 3)2( x 9442  xx 0542  xx ... x ... = - 5 0)5)(1(  xx ... + ... = - 4 1x atau 5x Titik uji pada interval 1x 2x → 322  34  34  tidak memenuhi Titik uji pada interval 51  x 0x → 320  32  32  memenuhi Titik uji pada interval 5x 6x → 326  34  34  tidak memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi adalah 51  x Cara II : 32 x 323  x 232223  x 51  x Jadi nilai x yang memenuhi adalah 51  x - 1 ● 5 ● 141 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 6. Pertidaksamaan kuadrat Bentuk umum : 02  cbxax , bisa juga dalam bentuk , ,  Contoh : 1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat 0542  xx Penyelesaian : 0542  xx ... x ... = - 5 0)1)(5(  xx ... + ... = 4 5x atau 1x Titik uji pada interval 5x 6x → 05)6(4)6( 2  052436  07  memenuhi Titik uji pada interval 15  x 0x → 05)0(4)0( 2  0500  05  tidak memenuhi Titik uji pada interval 1x 2x → 05)2(4)2( 2  0584  07  memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi adalah 5x atau 1x 5 1 ○ ○
  • 104. 142 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat 0652  xx Penyelesaian : 0652  xx ... x ... = 6 0)2)(3(  xx ... + ... = 5 3x atau 2x Titik uji pada interval 3x 4x → 06)4(5)4( 2  062016  02  tidak memenuhi Titik uji pada interval 23  x 5,2x → 06)5,2(5)5,2( 2  065,1225,6  075,0  memenuhi Titik uji pada interval 2x 0x → 06)0(502  0600  06  tidak memenuhi Jadi nilai x yang memenuhi adalah 23  x - 3 ● -2 ● 143 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat 1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4)3(3  xxx adalah .... a. 11  x b. 43  x c. 11  x atau 43  x d. 11  x atau 43  x e. 11  x atau 43  x 2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 212 x adalah .... a.        2 1 xx b.        2 1 xx c.        2 5 xx d.        2 5 xx e.        2 5 xx 3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 0432  xx adalah .... a. 4x atau 1x b. 1x atau 4x c. 4x atau 1x d. 14  x e. 41  x 4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 0592 2  xx adalah .... a. 2 1 x atau 5x b. 5x atau 2 1 x LATIHAN MANDIRI
  • 105. 144 Persamaan & pertidaksamaan kuadrat c. 5x atau 2 1 x d. 2 1 5  x e. 5 2 1  x 5. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 1 2 12    x x adalah .... a. 3x b. 2x c. 32  x d. 3x atau 2x e. 2x atau 3x 6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 032 2  xx adalah .... a.  15,1  xatauxx b.  5,11  xatauxx c.  5,11  xatauxx d.  15,1  xx e.  5,11  xx 7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 632 x adalah .... a. 2 9 2 3  x b. 2 3 2 9  x c. 2 9 2 3  x d. 2 3 x atau 2 9 x e. 2 3 x atau 2 9 x
  • 106. 146 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 4. Persamaan lingkaran dan garis singgungnya 1. Persamaan lingkaran  Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r adalah: 222 ryx   Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah : 222 )()( rbyax   Bentuk umum persamaan lingkaran adalah : 022  CByAxyx Berpusat di        2 , 2 BA dan jari-jarinya adalah C BA r              22 22 2. Jari-jari lingkaran Lingkaran yang berpusat di (a, b) dan menyinggung garis 0 CByAx , jari-jarinya adalah 22 BA CBbAa r    3. Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui salah satu titik ),( 11 yx dan berjari-jari r adalah :  Berpusat di O (0,0) adalah : 2 11 ryyxx   Berpusat di (a, b) adalah : 2 11 ))(())(( ryyayaxax   Lingkaran 022  CByAxyx adalah :     0 22 1111  yy B xx A yyxx MATERI 147 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 4. Persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien m dan berjari-jari r adalah :  Berpusat di O(0,0) adalah : 2 1 mrmxy   Berpusat di (a, b) adalah : 2 1)( mraxmby   Lingkaran 022  CByAxyx karena pusat dan jari-jarinya dapat dicari maka persamaan garis singgungnya sama dengan persamaan garis singgung yang berpusat di (a, b) : 2 1)1( mrxmby  5. Gradien garis  Dua garis yang saling tegak lurus, hasil kali gradien-gradiennya sama dengan – 1 : 121  mm  Dua garis yang sejajar, gradiennya sama : 21 mm  6. Koordinat titik (x, y) dimana absisnya adalah x dan ordinatnya adalah y
  • 107. 148 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 1. Persamaan garis singgung pada lingkaran 044222  yxyx yang tegak lurus garis 015125  yx adalah .... UAN 2004 a. 041512  yx dan 037512  yx b. 041512  yx dan 037512  yx c. 041125  yx dan 037125  yx d. 041125  yx dan 037125  yx e. 041512  yx dan 037512  yx Penyelesaian : 4 4 2 0 0442 22 22           C B A CByAxyx yxyx Pusatnya : =        2 4 , 2 )2( =        2 4 , 2 2 =  2,1  Jari-jarinya : r = )4()2()1( 22  = 441  = 9 = 3 015125  yx 15512  xy )5(512  xy  5 12 5     xy CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 149 Persamaan lingkaran & garis singgungnya )5( 12 5  xy 12 5 1 m Karena  maka 121  mm 1 2 1 m m   12 5 1 2  m 5 12 12 m 5 12 2 m Persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat di (1, -2) dan jari- jari 3r dengan gradien 5 12 m adalah : 2 5 12 13)1( 5 12 )2(        xy 25 144 13)1( 5 12 2  xy 25 14425 3)1( 5 12 2   xy 25 169 3)1( 5 12 2  xy 25 169 3)1( 5 12 2  xy 5 13 .3 5 1212 2    x y
  • 108. 150 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 5 39 5 1212 2    x y 5 391212 2   x y 391212)2(5  xy 391212105  xy 391012125  xy 392125  xy 392125  xy dan 392125  xy 41125  xy 37125  xy 041512  yx 037512  yx Jawaban : a 2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) serta menyinggung garis 0243  yx adalah .... UAN 2005 a. 024322  yxyx b. 036422  yxyx c. 088222  yxyx d. 088222  yxyx e. 068222  yxyx Penyelesaian : 2 4 3 0 0243          C B A CByAx yx Persamaan lingkaran berpusat (1,4) dan menyinggung garis 0243  yx maka jari-jarinya dapat diperoleh dengan cara : r = 22 )4()3( )2()4)(4()1)(3(   = 169 2163   151 Persamaan lingkaran & garis singgungnya = 25 15 = 5 15 = 3 = 3 Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan berjari-jari r adalah : 222 3)4()1(  yx 916812 22  yyxx 09178222  yxyx 088222  yxyx Jawaban : d 3. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 2522  yx yang tegak lurus garis 032  xy adalah .... UAN 2005 a. 5 2 5 2 1  xy b. 5 2 5 2 1  xy c. 552  xy d. 552  xy e. 552  xy Penyelesaian : 5 25 25 2 22 222          r r yx ryx 032  xy 32  xy 2 3  x y
  • 109. 152 Persamaan lingkaran & garis singgungnya )3( 2 1  xy 2 1 1 m Karena tegak lurus maka 121  mm 1 2 1 m m   2 1 1 2  m 1 2 12 m 22 m Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (0,0), berjari-jari 5 dan bergradien – 2 adalah : 2 )2(152  xy 4152  xy 552  xy 552  xy dan 552  xy Karena salah satu, maka yang dipilih adalah 552  xy Jawaban : d 4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 01216622  yxyx dititik yang berabsis 5 adalah .... UAN 2006 a. 01992  yx b. 01392  yx c. 01994  yx d. 01326  yx e. 01926  yx Penyelesaian : Berabsis 5 artinya x = 5 153 Persamaan lingkaran & garis singgungnya Substitusi 5x ke dalam persamaan 01216622  yxyx maka : 01216)5(6)5( 22  yy 012163025 2  yy 0123025162  yy 017162  yy ... x ... = - 17 0)1)(17(  yy ... + ... = 16 17y atau 1y Untuk 5x dan 17y maka koordinat titiknya adalah (5, - 17) Persamaan garis singgung lingkaran 01216622  yxyx dan melalui )17,5(  adalah : 012)17( 2 16 )5( 2 6 175    yxyx 012)17(8)5(3175  yxyx 012568153175  yxyx 08381735  yyxx 08392  yx Untuk 5x dan 1y maka koordinat titiknya adalah (5, 1) Persamaan garis singgung lingkaran 01216622  yxyx dan melalui )1,5( adalah : 012)1( 2 16 )5( 2 6 5    yxyx 012)1(8)5(35  yxyx 012881535  yxyx 012815835  yyxx 01992  yx Karena salah satu, maka yang dipilih adalah 01992  yx Jawaban : a
  • 110. 154 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 5. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 02  yx serta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y negatif adalah .... UAN 2006 a. 0122  yxyx b. 0122  yxyx c. 012222  yxyx d. 012222  yxyx e. 012222  yxyx Penyelesaian : Menyinggung x positif dan y negatif maka yx  atau 0 yx ...............1) 02  yx atau 2 yx ................ 2) Pusat dari lingkaran terletak pada titik potong garis 2 yx dan 0 yx dari 1) dan 2) diperoleh : 2 yx 0 yx + 2x = 2 02  yx y x 0 ● 0 yx 1 - 1 2 - 2 155 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 2 2 x 1x Substitusi 1x kedalam salah satu persamaan akan diperoleh : 21  y 12  y 1 y 1y Jadi pusatnya adalah (1, - 1) dan karena jarak dari titik pusat ke sumbu x maupun y adalah 1 maka jari-jari lingkaran tersebut r = 1, Jadi persamaan lingkarannya adalah : 222 1))1(()1(  yx 1)1()1( 22  yx 11212 22  yyxx 122222  yxyx 012222  yxyx Jawaban : e 6. Persamaan garis singgung pada lingkaran 022222  yxyx yang sejajar dengan garis 2 xy adalah .... UAN 2007.B a. 22 xy b. 32 xy c. 52 xy d. 5 xy e. 53 xy Penyelesaian : 2 2 2 0 0222 22 22           C B A CByAxyx yxyx Pusatnya : p =        2 2 , 2 )2(
  • 111. 156 Persamaan lingkaran & garis singgungnya =        2 2 , 2 2 = )1,1(  Jari-jari : r )2()1()1( 22  211  4 2 Sejajar garis 2 xy maka m = -1 Karena // maka 121  mm Persamaan garis singgung yang bergradien m = -1, berjari-jari r = 2 dan berpusat pada (1, -1) adalah : 2 )1(12)1(1)1(  xy 112)1(1  xy 2211  xy 2211  xy 22 xy Jawaban : a 7. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran 13)1()2( 22  yx dititik yang berabsis -1 adalah .... UAN 2007. A a. 0323  yx b. 0523  yx c. 0923  yx d. 0923  yx e. 0523  yx Penyelesaian : Persamaan lingkaran 13)1()2( 22  yx , maka pusatnya (2, -1) dan 132 r Berabsis – 1 artinya x = - 1, substitusi x = - 1 ke dalam persamaan lingkaran 13)1()2( 22  yx maka akan diperoleh : 157 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 13)1()21( 22  y 1312)3( 22  yy 013129 2  yy 0131922  yy 0322  yy ... x ... = -3 0)1)(3(  yy ... + ... = 2 3y atau 1y Koordinat titiknya adalah (-1, -3) dan (-1,1) maka :  Persamaan garis singgung yang berpusat di (2, -1), berjari-jari r dan melalui (-1, -3) adalah : 13))1(3))(1(()21)(2(  yx 13)2)(1()3)(2(  yx 13)1(2)2(3  yx 132263  yx 0132623  yx 0923  yx jika persamaannya dikali dengan -1 maka : 0923  yx  Persamaan garis singgung yang berpusat di (2, -1), berjari-jari r dan melalui tititk (-1, 1) adalah : 13))1(1))(1(()21)(2(  yx 13)11)(1()3)(2(  yx 13)1(2)2(3  yx 0132263  yx 0132623  yx 0523  yx jika persamaannya dikali dengan -1 maka 0523  yx Karena salah satu maka yang dipilih adalah 0923  yx Jawaban : d
  • 112. 158 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 8. Persamaan garis singgung melalui titik (2, 3) pada lingkaran 1322  yx adalah .... UAN 2008 a. 1332  yx b. 1332  yx c. 1332  yx d. 1323  yx e. 1323  yx Penyelesaian : Persamaan lingkaran 1322  yx berpusat di (0,0) dan berjari-jari 132 r , maka persamaan garis singgung yang berpusat di (0,0), berjari- jari r dan melelui titik (2, 3) adalah : 2 11 ryyxx  13)3()2(  yx 1332  yx Jawaban : c 9. Diketahui titik A(-7, 4) dan B(3, 2). Jika titik A dan B ujung-ujung diameter lingkaran, maka persamaan lingkaran tersebut adalah .... a. 0136422  yxyx b. 0136422  yxyx c. 0696422  yxyx d. 0696422  yxyx e. 0136422  yxyx Penyelesaian : Ilustrasi : -7 0 2 x y 4 3  -2 1 5 3 (3, 2) (-7, 4) 159 Persamaan lingkaran & garis singgungnya Pusatnya : =        2 24 , 2 37 =        2 6 , 2 4 = (- 2, 3) Jari-jarinya adalah : r r2 = 22 15  = 25 + 1 = 26 sehingga persamaan lingkarannya adalah : 26)3()2( 22  yx 0269644 22  yyxx 0136422  yxyx Jawaban : e
  • 113. 160 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 4) dengan pusat (- 4, 1) adalah .... a. 0412822  yxyx b. 0412822  yxyx c. 0412822  yxyx d. 0412822  yxyx e. 0412822  yxyx 2. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan menyinggung garis 082  yx adalah .... a. 04222  yxyx b. 04222  yxyx c. 04222  yxyx d. 04222  yxyx e. 0222  yxyx 3. Persamaan garis singgung di titik (-3, 1) pada lingkaran 1022  yx adalah .... a. 103  xy b. 103  xy c. 103  xy d. 103  xy e. 10 xy LATIHAN MANDIRI 161 Persamaan lingkaran & garis singgungnya 4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 0516422  yxyx yang tegak lurus garis 01234  yx adalah .... a. 02243  yx b. 02843  yx c. 03443  yx d. 04643  yx e. 05843  yx 5. Persamaan garis singgung pada lingkaran 01361222  yxyx dan melalui titik A(-2, -1) adalah .... a. 052  yx b. 01  yx c. 042  yx d. 0423  yx e. 032  yx
  • 114. 135 Program linier 7. Program Linier A. Pertidaksamaan linier Langkah-langkah menggambar grafik pertiksamaan linier :  Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x dan sumbu y  Melukis koordinat titik-titik tersebut pada bidang kartesius  Menghubungkan titik-titik tersebut  Mencari daerah yang memenuhi dengan titik uji Contoh-contoh soal: 1. Daerah penyelesaian dari 2 yx adalah .... Penyelesaian : Pembuat nol fungsi 2 yx  Titik potong sumbu x , maka 0y 20 x 2x  Titik potong sumbu y , maka 0x 20  y 2y Maka grafiknya adalah : 2 2 x y MATERI 136 Program linier Untuk menentukan daerah penyelesaiannya digunakan titik uji : Titik uji (0, 0) → 200  20  memenuhi Titik uji (3, 4) → 243  27  tidak memenuhi Jadi yang merupakan daerah penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis 2 yx seperti daerah yang diarsir pada gambar di atas 2. Daerah penyelesaian dari 2 yx adalah .... Penyelesaian : Pembuat nol fungsi 2 yx  Titik potong sumbu x , maka 0y 20 x 2x  Titik potong sumbu y , maka 0x 20  y 2y Maka grafiknya adalah : Untuk menentukan daerah penyelesaiannya digunakan titik uji : Titik uji (0, 0) → 200  20  tidak memenuhi Titik uji (3, 4) → 243  27  memenuhi 2 2 x y
  • 115. 137 Program linier Jadi yang merupakan daerah penyelesaiannya adalah daerah di atas garis 2 yx seperti daerah yang diarsir pada gambar di atas B. Program linier  Program linier adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear(bentuk atau fungsi objektif atau fungsi tujuan) pada daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier.  Nilai optimal tersebut dapat ditentukan dengan cara: 1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. 2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut. 3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut tersebut. Catatan : dari kedua gambar di atas maka dapat disimpulkan bahwa daerah yang memenuhi untuk pertidaksamaan yang berbentuk  daerah yang arahnya ke kanan dan ke atas sedangkan untuk bentuk  daerah yang memenuuhi arahnya ke kiri dan ke bawah 138 Program linier 1. Daerah penyelesaian dari 2 yx , dengan syarat 0,0  yx adalah .... Penyelesaian : Pembuat nol fungsi 2 yx  Titik potong sumbu x , maka 0y 20 x 2x  Titik potong sumbu y , maka 0x 20  y 2y Maka grafiknya adalah : Untuk menentukan daerah penyelesaiannya digunakan titik uji : Titik uji (0, 0) → 200  20  memenuhi Titik uji (3, 4) → 243  27  tidak memenuhi Karena syarat 0,0  yx , maka daerah penyelesaiannya adalah daerah dibawah garis 2 yx dan dibatasi hanya pada kuadran I, seperti daerah yang diarsir pada gambar di atas 2 2 x y CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 116. 139 Program linier 2. Bentuk pertidaksamaan linier dari daerah yang arsir pada grafik di bawah ini adalah .... Penyelesaian : Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan y adalah qp, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untuk membentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx  , sedangkan pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yang diarsir (daerah penyelesaiannya) titik uji yang memenuhi. Sesuai dengan rumusan pqpyqx  maka pertidaksamaan grafik di atas adalah 3284  yx , sedangkan tanda  karena daerah yang diarsir berada di bagian kiri grafik, serta batasan 0x dan 0y karena daerah penyelesaiannya hanya berada pada kuadran I. 4 8 x y 4 8 x y q p 140 Program linier 3. Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier .... a. 82  yx , 1223  yx , 0x , 0y b. 82  yx , 1223  yx , 0x , 0y c. 82  yx , 1223  yx , 0x , 0y d. 82  yx , 1223  yx , 0x , 0y e. 82  yx , 1223  yx , 0x , 0y Penyelesaian : Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan y adalah srqp ,,, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untuk membentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx  atau rsrysx  , pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yang diarsir (daerah penyelesaiannya). 4 4 6 8 x y 4 4 6 8 x y p q r s
  • 117. 141 Program linier Sesuai dengan rumusannya maka pertidaksamaan garis pq adalah 2446  yx atau disederhanakan menjadi 1223  yx , sedangkan tanda  karena daerah yang diarsir berada di bagian kiri grafik. Pertidaksamaan garis rs adalah 3284  yx atau disederhanakan menjadi 82  yx , sedangkan tanda  karena daerah yang diarsir berada di bagian kiri grafik. Dan dengan syarat 0,0  yx , sehingga bentuk sistem pertidaksamaan linier dari grafik di atas adalah : 82  yx 1223  yx 0,0  yx Jawaban : b 4. Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier .... a. 70107  yx , 1648  yx , 0x , 0y b. 70107  yx , 82  yx , 0x , 0y c. 70107  yx , 82  yx , 0x , 0y d. 70107  yx , 82  yx , 0x , 0y e. 70107  yx , 1648  yx , 0x , 0y Penyelesaian : Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan y adalah srqp ,,, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untuk membentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx  4 7 8 10 x y 142 Program linier atau rsrysx  , pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yang diarsir (daerah penyelesaiannya). Serta batasan 0x dan 0y karena daerah penyelesaian dari program linier hanya berada pada kuadran I. Sesuai dengan rumusannya maka pertidaksamaan garis pq adalah 3248  yx atau disederhanakan menjadi 82  yx , sedangkan tanda  karena daerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik, Pertidaksamaan garis rs adalah 70107  yx , sedangkan tanda  karena daerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik, dan dengan syarat 0,0  yx , sehingga bentuk sistem pertidaksamaan linier dari grafik di atas adalah : 82  yx 70107  yx 0,0  yx Jawaban : b 5. Nilai minimum fungsi objektif yx 105  pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah terarsir gambar di bawah ini adalah .... a. 160 b. 200 c. 240 d. 320 e. 400 p q r s 4 7 8 10 x y
  • 118. 143 Program linier Penyelesaian : Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan y adalah utsrqp ,,,,, seperti terlihat pada gambar di bawah ini maka untuk membentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx  , rsrysx  , dan tutyux  . pertidaksamaannya ditentukan dari daerah yang diarsir (daerah penyelesaiannya). x y 32 24 16 16 36 48 x y 32 24 16 16 36 48 p q r s t u ● ● ● ● b a (6, 20) (24, 8) (0, 32) (48, 0) 144 Program linier Sesuai dengan rumusannya maka pertidaksamaan garis pq adalah 5121632  yx atau disederhanakan menjadi 322  yx , sedangkan tanda  karena daerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik, Pertidaksamaan garis rs adalah 8643624  yx atau bisa disederhanakan menjadi 7232  yx sedangkan tanda  karena daerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik, Pertidaksamaan garis tu adalah 7684816  yx atau bisa disederhanakan menjadi 483  yx sedangkan tanda  karena daerah yang diarsir berada di bagian kanan grafik, dan dengan syarat 0,0  yx , sehingga bentuk sistem pertidaksamaan linier dari grafik di atas adalah : 322  yx 7232  yx 483  yx 0,0  yx Titik yang perlu diuji adalah titik q, a, b, t, untuk titik q (0, 32), titik t (48, 0), untuk titik a adalah perpotongan garis 322  yx dengan garis 7232  yx , maka titik a dapat diperoleh dengan eliminasi x diperoleh dan substitusi y ke dalam salah satu persamaan diperoleh   7232 322 yx yx 402  y 20y Substitusi 20y ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh 32202 x 122 x 6x , sehingga titik a (6, 20) untuk titik b adalah perpotongan garis 7232  yx dengan garis 483  yx , maka titik b dapat diperoleh dengan eliminasi y diperoleh dan substitusi x ke dalam salah satu persamaan diperoleh   483 7232 yx yx
  • 119. 145 Program linier 24x Substitusi 24x ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh 48324  y 243 y 8y , sehingga titik b (24, 8) Titik uji q (0, 32)  )32(10)0(5  = 320 t (48,0)  )0(10)48(5  = 240 a (6, 20)  )20(10)6(5  = 230 b (24, 8)  )8(10)24(5  = 200 Jadi nilai minimumnya adalah 200 Jawaban : b 6. Nilai maksimum dari bentuk objektif k = 3x+ 4y, yang memenuhi sistem pertidaksamaan : 112  yx 102  yx 0x , 0y Dengan Ryx , adalah .... UAN 2003 a. 36 b. 32 c. 30 d. 27 e. 24 Penyelesaian : Pembuat nol fungsi Grafik persamaan 112  yx  Titik potong sumbu x, y = 0 1102 x 2 11 x  koordinat titiknya adalah       0, 2 11  Titik potong sumbu y, x = 0 11)0(2  y 110  y 11y  koordinat titiknya adalah (0, 11) 146 Program linier Grafik persamaan 102  yx  Titik potong sumbu x, y = 0 100 x 10x  koordinat titiknya adalah (10, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 1020  y 102 y 5y  koordinat titiknya adalah (0, 5) Titik a dapat ditentukan dengan mencari titik potong antara grafik 112  yx dan 102  yx caranya eliminasi x diperoleh :       2042 112 2 1 102 112 yx yx yx yx 93  y 3y substitusi 3y ke dalam salah satu persamaan di atas akan diproleh : 1132 x 82 x 4x  jadi koordinat a (4, 3) Fungsi objektif k = 3x+ 4y Titik uji (0,5)  )5(4)0(3 k 200  20 11/2 5 11 10 x y a (4,3) (0,5) (11/2, 0)
  • 120. 147 Program linier Titik uji (4, 3)  )3(4)4(3 k 1212  24 Titik uji (11/2, 0)  )0(4)2/11(3 k 2/33 2 1 16 Jadi nilai optimumnya adalah 24 Jawaban : e 7. Dengan persediaan kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter, seorang penjahit akan membuat 2 model pakayan jadi. Model I memerlukan 1 meter kain polos dan 1, 5 meter kain bergaris. Model II memerlukan 2 meter kain polos dan 0,5 kain bergaris. Bila pakayan tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp.15.000,00 dan model II memperoleh untung Rp.10.000,00. Laba maksimum y diperoleh adalah sebanyak .... UAN 2004 a. Rp.100.000,00 b. Rp.140.000,00 c. Rp.160.000,00 d. Rp.200.000,00 e. Rp.300.000,00 Penyelesaian : Untuk mempermudah membuat model matematikanya maka digunakan tabel sebagai berikut : Kain Polos (m) Bergaris (m) Model I (x) 1 1, 5 Model II (y) 2 0, 5 Persediaan 20 10 Model matematikanya adalah : 202  yx 105,05,1  yx 0,0  yx Dengan fungsi tujuan : Maksimumkan laba yxz 000.10000.15  Pembuat nol fungsi : 148 Program linier Untuk persamaan 202  yx  Titik potong sumbu x, y = 0 20)0(2 x 200 x 20x jadi koordinat titiknya (20, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 2020  y 202 y 10y jadi koordinat titiknya (0, 10) Untuk persamaan 105,05,1  yx  Titik potong sumbu x, y = 0 10)0(5,05,1 x 1005,1 x 105,1 x 10 10 15 x 10015 x 15 100 x 3 20 x jadi koordinat titiknya       0, 3 20  Titik potong sumbu y, x = 0 105,0)0(5,1  y 105,00  y 105,0 y 10 10 5 y 1005 y 20y jadi koordinat titiknya (0, 20)
  • 121. 149 Program linier Grafiknya adalah : Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 202  yx dan 105,05,1  yx 202  yx 105,05,1  yx  10 10 5 10 15  yx  10 2 1 2 3  yx persamaannya dikali 2 203  yx Dari dua persamaan jika di eliminasi y akan diperoleh :       4026 202 2 1 203 202 yx yx yx yx 205  x 4x Substitusi 4x pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh : 2024  y 162 y 8y Jadi koordinat titiknya adalah (4, 8) Sehingga titik ujinya adalah (0,10), (20/3, 0), (4, 8) Titik – titik uji : Untuk (0, 10)  )10(000.10)0(000.15 z 000.1000  000.100 20/3 10 20 20 x y a (4,8) (0,10) (20/3, 0) 150 Program linier Untuk (4, 8)  )8(000.10)4(000.15 z 000.80000.60  000.140 Untuk (20/3, 0) )0(000.10)3/20(000.15 z )20(5000 000.10 Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.140.000,00 Jawaban : b 8. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B 75 m2 . Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp.6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp.4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah .... UAN 2005 a. Rp.550.000.000,00 b. Rp.600.000.000,00 c. Rp.700.000.000,00 d. Rp.800.000.000,00 e. Rp.900.000.000,00 Penyelesaian : Rumah Luas tanah (m2 ) Unit Tipe I (x) 100 1 Tipe II (y) 75 1 Persediaan 10.000 125 Sehingga model matematikanya adalah : 000.1075100  yx  40034  yx 125 yx 0,0  yx Dengan fungsi tujuan memaksimumkan laba yxz 000.000.4000.000.6  Pembuat nol fingsi : Untuk persamaan 40034  yx  Titik potong sumbu x, y = 0 400)0(34 x
  • 122. 151 Program linier 40004 x 4004 x 100x Jadi koordinat titiknya adalah (100, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 4003)0(4  y 40030  y 4003 y 3 400 y Jadi koordinat titiknya adalah       3 400 ,0 Untuk persamaan 125 yx  Titik potong sumbu x, y = 0 1250 x 125x Jadi koordinat titiknya adalah (125, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 1250  y 125y Jadi koordinat titiknya adalah (0, 125) Grafiknya adalah : Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 125 yx dan 40034  yx 125 125 400/3 x y  a (25, 100) (100, 0) 100 (0, 125) 152 Program linier Dari dua persamaan jika di eliminasi x akan diperoleh :       40034 50044 1 4 40034 125 yx yx yx yx 100y Substitusi 100y pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh : 125100 x 25x Jadi koordinat titiknya adalah (25, 100) Sehingga titik ujinya adalah (0,125), (25, 100), (100, 0) Titik – titik uji : Untuk (0,125)  )125(000.000.4)0(000.000.6 z 000.000.5000  000.000.500 Untuk (25,100) )100(000.000.4)25(000.000.6 z 000.000.400000.000.150  000.000.550 Untuk (100, 0) )0(000.000.4)100(000.000.6 z 0000.000.600  000.000.600 Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.600.000.000,00 Jawaban : b 9. Seorang pedagangan minuman memiliki modal Rp.200.000,00. Ia berencana membeli 2 jenis minuman. Minuman A dibeli dengan harga Rp.6000,00 perbotol dan dijual dengan untung Rp.500,00 perbotol, minuman B dibeli dengan harga Rp.8000,00 perbotol dan dijual dengan untung Rp.1.000,00 perbotol. Bila tempatnya hanya bisa menampung 30 botol, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah .... UAN 2007.B a. Rp.30.000,00 b. Rp.25.000,00 c. Rp.20.000,00 d. Rp.16.000,00 e. Rp.15.000,00
  • 123. 153 Program linier Penyelesaian : Minuman Harga Tempat Jenis A (x) 6.000 1 Jenis B (y) 8.000 1 Persediaan 200.000 30 Model matematikanya adalah : 000.200000.8000.6  yx  10043  yx 30 yx 0,0  yx Dengan fungsi tujuan maksimumkan laba : yxz 1000500  Pembuat nol fungsi : Untuk persamaan 10043  yx  Titik potong sumbu x, y = 0 100)0(43 x 10003 x 1003 x 3 100 x jadi koordinat titiknya 0, 3 100  Titik potong sumbu y, x = 0 1004)0(3  y 10040  y 1004 y 25y jadi koordinat titiknya (0, 25) Untuk persamaan 30 yx  Titik potong sumbu x, y = 0 300 x 30x jadi koordinat titiknya (30, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 300  y 30y jadi koordinat titiknya (0, 30) 154 Program linier Grafiknya adalah : Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 10043  yx dan 30 yx Dari dua persamaan jika di eliminasi x akan diperoleh :       9033 10043 4 1 30 10043 yx yx yx yx 10y Substitusi 10y pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh 3010 x 20x Jadi koordinat titiknya adalah (20, 10) Sehingga titik ujinya adalah (0,25), (20, 10), (30, 0) Titik – titik uji : Untuk (0, 25)  )25(000.1)0(500 z 000.250  000.25 Untuk (20, 10)  )10(000.1)20(500 z 000.10000.10  000.20 Untuk (30, 0) )0(000.1)30(500 z 0000.15  000.15 30 (0,25) (20, 10) 30 100/3 (30, 0) 25 a
  • 124. 155 Program linier Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.25.000,00 Jawaban : b 10. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kilogram gula dan 9 kilogram tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A, dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B, dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp.4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp.3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue terebut adalah .... UAN 2008. A a. Rp.600.000,00 b. Rp.650.000,00 c. Rp.700.000,00 d. Rp.750.000,00 e. Rp.800.000,00 Penyelesaian : Karena 1 kg = 1.000 gr maka : Kue Gula Tepung Jenis A (x) 20 60 Jenis B (y) 20 40 Persediaan 4.000 9.000 Model matematikanya adalah : 000.42020  yx  200 yx 000.94060  yx  45023  yx 0,0  yx Dengan fungsi tujuan maksimumkan laba : yxz 30004000  Pembuat nol fungsi : Untuk persamaan 200 yx  Titik potong sumbu x, y = 0 2000 x 200x jadi koordinat titiknya (200, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 2000  y 200y jadi koordinat titiknya (0, 200) 156 Program linier Untuk persamaan 45023  yx  Titik potong sumbu x, y = 0 450)0(23 x 45003 x 4503 x 150x jadi koordinat titiknya (150, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 4502)0(3  y 45020  y 4502 y 225y Jadi koordinat titiknya (0, 225) Grafiknya adalah : Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 200 yx dan 45023  yx Dari dua persamaan jika di eliminasi y akan diperoleh :       45023 40022 1 2 45023 200 yx yx yx yx 50 x 50x Substitusi 50x pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh 225 (0, 200) (50, 150) 150 200 200 (150, 0) a
  • 125. 157 Program linier 20050  y 150y Jadi koordinat titiknya adalah (50, 150) Sehingga titik ujinya adalah (0,200), (50, 150), (150, 0) Titik – titik uji : Untuk (0,200)  )200(3000)0(4000 z 000.6000  000.600 Untuk (50, 150) )150(3000)50(4000 z 000.450000.200  000.650 Untuk (150, 0) )0(3000)150(4000 z 0000.600  000.600 Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.650.000,00 Jawaban : b 11. Luas daerah parkir 1.760 m2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp.1000,00/jam dan mobil besar Rp.2000,00/jam. Jika dalam 1 jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah .... UAN 2007 a. Rp.176.000,00 b. Rp.200.000,00 c. Rp.260.000,00 d. Rp.300.000,00 e. Rp.340.000,00 Penyelesaian : Jenis Luas rata-rata Daya tampung Mobil kecil (x) 4 1 Mobil besar (y) 20 1 Persediaan 1760 200 Model matematikanya adalah : 1760204  yx  4405  yx 200 yx 0,0  yx 158 Program linier Dengan fungsi tujuan maksimumkan laba : yxz 20001000  Pembuat nol fungsi : Untuk persamaan 4405  yx  Titik potong sumbu x, y = 0 440)0(5 x 4400 x 440x jadi koordinat titiknya (440, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 44050  y 4405 y 88y jadi koordinat titiknya (0, 88) Untuk persamaan 200 yx  Titik potong sumbu x, y = 0 2000 x 200x jadi koordinat titiknya (200, 0)  Titik potong sumbu y, x = 0 2000  y 200y Jadi koordinat titiknya (0, 200) Grafiknya adalah : 88 (0, 88) (140, 60) 200 400 200 (200, 0) a 
  • 126. 159 Program linier Titik a dapat diperoleh dari titik potong garis 4405  yx dan 200 yx Dari dua persamaan jika di eliminasi x akan diperoleh :   200 4405 yx yx 2404 y 60y Substitusi 60y pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh : 20060 x 140x Jadi koordinat titiknya adalah (140, 60) Sehingga titik ujinya adalah (0, 88), (140, 60), (200, 0) Titik – titik uji : Untuk (0, 88)  )88(2000)0(1000 z 000.1760  000.176 Untuk (140, 60) )60(2000)140(1000 z 000.120000.140  000.260 Untuk (200, 0) )0(2000)200(1000 z 0000.200  000.200 Jadi keuntungan maksimumnya adalah Rp.260.000,00 Jawaban : c 160 Program linier 1. Daerah yang diarsir pada gambar di atas menunjukkan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier : a. 0,0;1243;22  yxyxyx b. 0,0;1243;22  yxyxyx c. 0,0;1243;22  yxyxyx d. 0,0;1243;22  yxyxyx e. 0,0;1243;22  yxyxyx 2. Dari gambar di samping, daerah yang diarsir menunjukkan penyelesaian dari suatu sistem petidaksamaan. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif yxz  3 adalah .... a. 18 dan 0 b. 18 dan 1 c. 18 dan 3 d. 18 dan 7 e. 7 dan 3 2 1 4 3 y x 0 1 6 3 y x 0 LATIHAN MANDIRI
  • 127. 161 Program linier 3. Nilai minimum fungsi objektif yxyxf 23),(  dari daerah yang diarsir adalah .... a. 12 b. 13 c. 16 d. 17 e. 27 4. Nilai maksimum dari fungsi objektif yxz 500.4000.5  pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier 0,0;183;10  yxyxyx adalah .... a. 30.000 b. 45.000 c. 47.000 d. 50.000 e. 55.000 5. Nilai minimum 5128  yxz yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier berikut, dengan syarat 0,0;20;420  yxxyxy adalah .... a. 25 b. 45 c. 65 d. 85 e. 105 6 9 8 y x 0 6 162 Program linier 6. Sebuah perusahaan pengembang ingin membangun perumahan di atas tanah seluas 80 hektar. Jumlah rumah yang akan dibangun terdiri atas dua tipe rumah, yaitu tipe melati dan mawar dengan masing-masing luas tanah 200m2 dan 100m2 . Banyak rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 5.000 buah. Jika banyak rumah tipe melati x dan tipe mawar y buah, maka x dan y harus memenuhi syarat-syarat : a. 0,0;000.800100200;000.5  yxyxyx b. 0,0;000.800100200;000.5  yxyxyx c. 0,0;000.800200100;000.5  yxyxyx d. 0,0;000.800200100;000.5  yxyxyx e. 0,0;000.800100200;000.5  yxyxyx 7. Seorang pedagang sepeda hendak membeli 2 jenis sepeda dengan harga masing-masing Rp.30.000,00 untuk jenis I perbuahnya dan Rp.40.000,00 untuk jenis II perbuahnya. Modal yang tersedia sebesar Rp.840.000,00 dan daya tampung tokonya tak lebih dari 25 buah sepeda. Apabila ia mengharapkan keuntungan sebesar Rp.12.500,00 dan Rp.13.000,00 untuk tiap jenis perbuahnya maka keuntungan maksimal akan tercapai apabila ia membeli sepeda jenis I dan jenis II berturut-turut sebanyak .... a. 9 dan 16 b. 15 dan 10 c. 10 dan 10 d. 16 dan 9 e. 13 dan 12 8. Sebuah pesawat udara mempunyai 50 buah tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama bagasinya maksimum 40 kg dan setiap penumpang kelas ekonomi bagasinya maksimum 20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi yang beratnya 1.200 kg. Jika tiket untuk setiap penumpang kelas utama Rp.400.000,00 dan untuk kelas ekonomi Rp.300.000,00. pendapatan maksimum untuk satu kali penerbangan adalah .... a. Rp.20.000.000,00 b. Rp.16.000.000,00 c. Rp.15.000.000,00 d. Rp.14.000.000,00 e. Rp.12.000.000,00
  • 128. 163 Program linier 9. Harga tiket bus jakarta – bogor untuk kelas ekonomi Rp.25.000,00 dan kelas eksklusif Rp.65.000,00. Jika dari 200 tiket yang terjual diperoleh uang Rp.9.600,00, maka banyaknya penumpang kelas ekonomi dan eksklusif masing-masing adalah .... a. 75 orang dan 125 orang b. 80 orang dan 120 orang c. 85 orang dan 115 orang d. 110 orang dan 90 orang e. 115 orang dan 85 orang 10. Seorang pedagang membeli jeruk seharga Rp.1.200,00/buah dijual dengan laba Rp.300,00/buah. Sedangkan apel seharga Rp.1000,00/buah dijual dengan laba Rp.200,00/buah. Pedagang tersebut mampunyai modal Rp.340.000,00 dan kiosnya dapat menampung 300 buah, maka keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah .... a. Rp.75.000,00 b. Rp.78.000,00 c. Rp.80.000,00 d. Rp.83.000,00 e. Rp.85.000,00
  • 129. 106 Suku banyak 5. Suku banyak 1. Bentuk umum suku banyak : 01 2 2 1 1 ... axaxaxaxa n n n n n n      Dengan : a = konstanta n = bilangan cacah suku banyak sering dinyatakan dengan )(xf atau )(xp Contoh : 1. Diketahui suku banyak 76325)( 23456  xxxxxxxf , maka nilai 1, nn aa , ... , 01,aa adalah .... Penyelesaian : Karena 6 x maka dimulai dari 6a sampai 0a : 56 a , 25 a , 34 a , 13 a , 12 a , 61 a , 70 a 2. Diketahui suku banyak 53)( 235  xxxxf , maka nilai 1, nn aa , ... , 01,aa adalah .... Penyelesaian : Karena 5 x maka dimulai dari 5a sampai 0a : 15 a , 04 a , 33 a , 12 a , 01 a , 50 a 2. Menentukan hasil bagi dan sisa dari suku banyak dapat dilakukan dengan pembagian berekor atau bisa juga dengan metode Hörner. Jika suku banyak )(xf dibagi dengan )( ax  maka a merupakan pembagi untuk metode Hörner, dan jika )(xf dibagi oleh pembagi berderajat n maka sisanya berdejat n – 1 MATERI 107 Suku banyak 3. Teorema sisa Jika suku banyak )(xf dibagi dengan )( ax  maka sisanya adalah )(af , sehingga suku banyak bisa ditulis dalam bentuk SxHaxxf  )(.)()( . Dengan : )( ax  = Pembagi )(xH = Hasil bagi S = Sisa pembagian, dimana qpxafS  )( 4. Teorema faktor Suku banyak )(xf mempunyai faktor )( ax  jika dan hanya jika 0)( af
  • 130. 108 Suku banyak 1. Hasil bagi dan sisa dari suku banyak 424)( 23  xxxxf jika dibagi 1x adalah .... Penyelesaian : Cara I : Jadi hasil baginya adalah 352  xx dan sisanya adalah 7 Cara II : Jadi hasil pembagiannya adalah 352  xx bersisa 7 Buktikan bahwa 7)1( f 1x 352  xx 424 23  xxx 23 xx  425 2  xx xx 55 2  _ _ _ 43 x 33 x 7 yang dibagi sisa hasil bagi pembagi 1 1 4 -2 4 1 5 3 751 3 x3 x2 x1 x0 x2 x1 x0 CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 109 Suku banyak 2. Suku banyak 653)( 234  xxxxxf jika dibagi oleh 22  xx , sisanya adalah .... UAN 2004 a. 816 x b. 816 x c. 168  x d. 168  x e. 248  x Penyelesaian : Jadi sisa pembagian suku banyak adalah 168  x Atau bisa juga dengan teorema sisa : Misalkan 653)( 234  xxxxxf jika dibagi oleh 22  xx sisanya adalah qpx  maka : 22  xx = )2)(1(  xx Untuk )1( x → qpf  )1( qp  61)1(5)1(3)1( 234 qp  71531 qp  8 ..................................... 1) Untuk )2( x → qpf  2)2( qp  262)2(5)2(3)2( 234 qp  24202416 qp  232 ..................................... 2) Dari 1) dan 2) eliminasi q 22  xx 522  xx 653 234  xxxx 234 2xxx  632 23  xxx xxx 422 23  _ _ _ 635 2  xx 1055 2  xx 168  x
  • 131. 110 Suku banyak qp qp   232 8 p324  p  3 24 p 8 Substitusi p = - 8 ke dalam salah satu persamaan di atas : q )8(8 q 88 q 88 q16 Karena dimisalkan qpx  , dan p = - 8 , q = - 16 maka sisanya adalah 168  x Jawaban : d 3. Suatu suku banyak bila dibagi )2( x bersisa 11, dan bila dibagi oleh )1( x bersisa – 4. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh 22  xx bersisa .... UAN 2003 a. 5x b. 5x c. 215 x d. 15 x e. 15 x Penyelesaian : )(xf dibagi )2( x bersisa 11 → 11)2( f )(xf dibagi )1( x bersisa – 4 → 4)1( f Misalkan : )(xf dibagi 22  xx bersisa qpx  )2)(1(22  xxxx Untuk )1( x → qpf  )1( qp  4 .......................................... 1) Untuk )2( x → qpf  2)2( qp  211 ........................................... 2) 111 Suku banyak Dari 1) dan 2) eliminasi q qp qp   211 4 p315  p   3 15 p5 Substitusi p = 5 ke dalam salah satu persamaan di atas : q 54 q 54 q1 Karena dimisalkan qpx  , dan p = 5 , q = 1 maka sisanya adalah 15 x Jawaban : d 4. Suatu suku banyak )(xf dibagi dengan )4( x sisanya 14, dan dibagi dengan )36( x sisanya 2 1 3 . Jika suku banyak tersebut dibagi dengan )12276( 2  xx maka sisanya adalah .... UAN 2007. B a. 23  x b. 263  x c. 65  x d. 65  x e. 345  x Penyelesaian : )(xf dibagi )4( x sisanya 14 → 14)4( f )(xf dibagi )36( x sisanya 2 1 3 → 2 1 3 6 3       f 2 7 2 1       f )(xf dibagi )12276( 2  xx sisa qpx  12276 2  xx ... x ... = 72 123246 2  xxx ... + ... = 27
  • 132. 112 Suku banyak )123()246( 2  xxx )4(3)4(6  xxx )4)(36(  xx Untuk )36( x → qpf        6 3 6 3 qpf        2 1 2 1 qp  2 1 2 7 persamaan dikalikan dengan 2 qp 27  ....................................... 1) Untuk )4( x → qpf  4)4( qp  414 ....................................... 2) Dari 1) dan 2) eliminasi q qp qp qp qp 2828 27 2 1 414 27       p735  p  7 35 p 5 Substitusi p 5 ke dalam salah satu persamaan di atas q2)5(7  q257  q257  q212  q  2 12 q 6 Karena dimisalkan qpx  , dan p = - 5 , q = - 6 maka sisanya adalah 65  x Jawaban : d 113 Suku banyak 5. Jika )(xf dibagi dengan )2( x sisanya 24, sedangkan jika )(xf dibagi dengan )32( x sisanya 20. Jika )(xf dibagi dengan )32)(2(  xx sisanya adalah .... UAN 2007. A a. 88 x b. 88 x c. 88  x d. 88  x e. 68  x Penyelesaian : )(xf dibagi )2( x sisanya 24 → 24)2( f )(xf dibagi )32( x sisanya 20 → 20 2 3       f )(xf dibagi )32)(2(  xx sisanya qpx  Untuk )2( x → qpf  2)2( qp  224 ......................................... 1) Untuk )32( x → qpf       2 3 2 3 qp  2 3 20 persamaan dikalikan dengan 2 qp 2340  ........................................ 2) Dari 1) dan 2) eliminasi q qp qp qp qp 2340 2448 1 2 2340 224       p8 Substitusi p8 ke dalam salah satu persamaan di atas q )8(224 q 1624 q1624 q8 Karena dimisalkan qpx  , dan p = 8 , q = 8 maka sisanya adalah 88 x Jawaban : a
  • 133. 114 Suku banyak 6. Jika suku banyak bxxaxxxf  532)( 234 dibagi oleh 12 x bersisa 56 x , maka nilai ..... ba a. 4 b. – 4 c. 6 d. – 6 e. 5 Penyelesaian : )1(:)( 2 xxf bersisa 56 x )1)(1(12  xxx Untuk )1( x → 5)1(6)1( f 56)1(5)1(3)1()1(2 234  ba 15)1(3)1()1(2  ba 1532  ba 16  ba 5 ba .................................. 1) Untuk )1( x → 5)1(6)1( f 56)1(5)1(3)1()1(2 234  ba 115)1(3)1()1(2  ba 11532  ba 114  ba 7 ba .................................. 2) Dari 1) dan 2) eliminasi b maka 7 5   ba ba a2 2 1a Substitusi 1a kedalam salah satu persamaan di atas akan diperoleh 7 ba → 71  b 6b 115 Suku banyak Maka nilai 6.1. ba = 6 Jawaban : c 7. Salah satu faktor suku banyak 83011)( 23  xxxxp adalah ....UAN 2008. B a. 1x b. 1x c. 2x d. 4x e. 8x Penyelesaian : Faktor suatu suku banyak ditentukan dari nilai 0a dimana jika )( ax  merupakan faktor dari suku banyak )(xp , maka 0)( ap Faktor dari 8 : 4,2,8,1  1x → )1(p = 0 8)1(30)1(11)1( 23  = 0 830111  = 0 012  1x → )1(p = 0 8)1(30)1(11)1( 23  = 0 830111  = 0 050  2x → )2(p = 0 8)2(30)2(11)2( 23  = 0 860448  = 0 016  4x → )4(p = 0 8)4(30)4(11)4( 23  = 0 812017664  = 0 00  8x → )8(p = 0 8)8(30)8(11)8( 23  = 0
  • 134. 116 Suku banyak 8240704512  = 0 040  Jadi yang merupakan faktor adalah )4( x Jawaban : d 8. Salah satu faktor suku banyak nxxxxp  1015)( 24 adalah )2( x . Faktor lainnya adalah .... UAN 2008. A a. 4x b. 4x c. 6x d. 6x e. 8x Penyelesaian : Jika )2( x merupakan faktor dari )(xp , maka 0)2( p 0)2(10)2(15)2( 24  n 0206016  n 024  n 24n Sehingga 241015)( 24  xxxxp maka faktornya ditentukan oleh 24 24 = 6,4,8,3,12,2,24,1  4x → )4(p = 0 24)4(10)4(15)4( 24  = 0 2440240256  = 0 00  4x → )4(p = 0 24)4(10)4(15)4( 24  = 0 2440240256  = 0 080  6x → )6(p = 0 24)6(10)6(15)6( 24  = 0 24605401296  = 0 0840  117 Suku banyak 6x → )6(p = 0 24)6(10)6(15)6( 24  = 0 24605401296  = 0 0720  8x → )8(p = 0 24)8(10)8(15)8( 24  = 0 24809604096  = 0 03080  Jadi )4( x merupakan faktor dari )(xp Jawaban : a 9. Suku banyak abxxaxxp 2)1()( 23  habis dibagi )2( x , dibagi )2( x sisanya – 4. Jika )(xp dibagi )1( x maka hasil bagi dan sisanya berturut-turut adalah .... a. 8232 danxx  b. 8232 danxx  c. 8232 danxx  d. 8232  danxx e. 8232  danxx Penyelesaian : )(xp habis dibagi )2( x artinya : )2( x merupakan faktor dari )(xp Sehingga 0)2( p 02)2()2)(1()2( 23  aba 022)1(48  aba 022448  aba 0422  ba 422  ba 2 ba ......................................... 1) )2(:)( xxp bersisa – 4 maka 4)2( p 42)2()2)(1()2( 23  aba 422)1(48  aba
  • 135. 118 Suku banyak 422448  aba 41222  ba 1622  ba 8 ba ...................................... 2) Dari 1) dan 2) eliminasi a 8 2   ba ba b2 = 10 b = - 5 Substitusi 5b kedalam salah satu persamaan di atas, maka akan diperoleh 8 ba 85  a 3 a 3a Karena 3a dan 5b maka )3(2)5()13()( 23  xxxxp 652)( 23  xxxxp Sehingga )(xp dibagi )1( x Jadi hasil pembagiannya adalah 232  xx dan sisanya adalah – 8 Jawaban : a 1x 232  xx 652 23  xxx 23 xx  653 2  xx xx 33 2  _ _ _ 62  x 22  x 8 119 Suku banyak 1. Suku banyak )(xf jika dibagi )1( x sisanya 1, dan jika dibagi )23( x sisanya – 2. Jika suku banyak )(xf dibagi 253 2  xx , maka sisanya adalah .... a. 89  x b. 89  x c. 109  x d. 109 x e. 109 x 2. Sisa pembagian polinom )(xf oleh )12( x adalah – 1, dan bila dibagi oleh )4( x bersisa 8. Sisa pembagian )(xf oleh )472( 2  xx adalah .... a. x3 b. x2 c. 23 x d. 32 x e. 32 x 3. Diketahui )1( x adalah faktor dari 35)1()( 23  xxpxxf . Nilai dari p adalah .... a. – 10 b. – 3 c. 4 d. 8 e. 10 4. Diketahui )1( x adalah faktor dari suku banyak 222)( 234  xpxxxxf , salah satu faktor lainnya adalah .... a. 2x b. 2x c. 1x d. 3x e. 3x LATIHAN MANDIRI
  • 136. 120 Suku banyak 5. Suku banyak 2)( 23  bxaxxxf habis dibagi )1( x . Jika dibagi oleh )2( x bersisa – 36, maka nilai .... ba a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 6. Suatu suku banyak )(xf dibagi )2( x sisanya 3, dan jika dibagi )4( 2 x sisanya )2( px  . Nilai p yang tepat adalah .... a. – 3 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2
  • 137. 116 Sistem persamaan linier 6. System Persamaan Linier (SPL) A. Penyelesaian SPL 1. Substitusi 2. Eliminasi 3. Determinan 4. Matriks B. Bentuk Umum SPL 1. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)      222 111 cybxa cybxa Dengan cba ,, merupakan konstanta Contoh : 1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier      823 2 yx yx adalah Penyelesaian : Cara Substitusi : 2 yx ..................... 1) 823  yx ..................... 2) Dari persamaan 2 yx → xy  2 Substitusi y ke dalam pesamaan ke dua, diperoleh : 8)2(23  xx 8243  xx 84 x 4x Substitusi nilai x kedalam persamaan xy  2 , diperoleh : 42 y 2y Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  4,2 MATERI 117 Sistem persamaan linier Cara Eliminasi : 2 yx ..................... 1) 823  yx ..................... 2) Dari 1) dan 2) eliminasi x, diperoleh : 823 633 1 3 823 2       yx yx yx yx y = 2 Dari 1) dan 2) eliminasi y, diperoleh : 823 422 1 2 823 2       yx yx yx yx x = 4 x = 4 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  4,2 Cara III : Gabungan antara Eliminasi dan substitusi 2 yx ..................... 1) 823  yx ..................... 2) Dari 1) dan 2) eliminasi y, diperoleh : 823 422 1 2 823 2       yx yx yx yx x = 4 x = 4 Substitusi x = 4 ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh : 2 yx 24  y 2y Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  4,2 Catatan: ketiga cara yang dipergunakan ternyata yang lebih mudah adalah menggabungkan metode eliminasi dan substitusi (cara III).
  • 138. 118 Sistem persamaan linier 2. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)         3333 2222 1111 dzcybxa dzcybxa dzcybxa Dengan dcba ,,, merupakan konstanta Contoh : 1. Himpunan penyelesaian SPLTV         92 16323 2525 zyx zyx zyx adalah .... Penyelesaian : 2525  zyx ................ 1) 16323  zyx ................ 2) 92  zyx ............... 3) Dari 1) dan 2), eliminasi z , diperoleh 32646 756315 2 3 16323 2525       zyx zyx zyx zyx x21 y = 107 ........ 4) Karena 1) dan 2) eliminasi z maka 2) dan 3) juga harus yang dieliminasi adalah z. Dari 2) dan 3) eliminasi z, diperoleh : 27336 16323 3 1 92 16323       zyx zyx zyx zyx x9 y = 43 ........ 5) Dari 4) dan 5), eliminasi y, diperoleh : 439 10721   yx yx x30 = 150 5x + + + 119 Sistem persamaan linier Substitusi 5x ke dalam persamaan 4) atau 5). Dipilih persamaan 5) diperoleh : 439  yx 43)5(9  y 4345  y 2 y 2y Substitusi 5x dan 2y kedalam persamaan 1), 2) atau 3). Dipilih persamaan 1) diperoleh : 2525  zyx 2522)5(5  z 252225  z 25223  z 22 z 1z Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  1,2,5 3. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat (SPLK)      kuadratberbentukpersamaancxbxay linierberbentukpersamaanbxay 22 2 22 111 Dengan cba ,, merupakan konstanta      0 0 2222 2 2 2 2 111 fyexdxycybxa cybxa Contoh : 1. Himpunan penyelesaian SPLK      23 1 2 xxy xy adalah .... Penyelesaian : 1 xy persamaan berbentuk linier 232  xxy persamaan berbentuk kuadrat
  • 139. 120 Sistem persamaan linier Substitusi persamaan berbentuk linier ke dalam persamaan berbentuk kuadrat, diperoleh : 231 2  xxx 1230 2  xxx 340 2  xx atau 0342  xx ... x ... = 3 0)3)(1(  xx ... + ... = - 4 1x atau 3x Substitusi 1x atau 3x ke dalam persamaan linier, diperoleh : Untuk 1x → 11y 0y → )0,1( Untuk 3x → 13 y 2y → )2,3( Jadi himpunan penyelesaiannya adalah     2,3,0,1 2. Himpunan penyelesaian SPLK      025 01 22 yx yx adalah .... Penyelesaian : 01  yx bentuk linier 02522  yx bentuk kuadrat implisit Dari bentuk linier 01  yx → xy  1 Substitusi xy  1 ke dalam persamaan kuadrat implisit, diperoleh : 025)1( 22  xx 02521 22  xxx 0251222  xxx 02422 2  xx 0122  xx ... x ... = - 12 0)4)(3(  xx ... + ... = - 1 3x atau 4x 121 Sistem persamaan linier Substitusi nilai 3x atau 4x ke dalam persamaan linier : Untuk 3x → )3(1 y 31y 4y → )4,3( Untuk 4x → 41y 3y → )3,4(  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  )3,4(),4,3(  4. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)       22 2 22 11 2 11 cxbxay cxbxay Contoh : Himpunan penyelesaian dari SPLKK       3 12 2 2 xxy xy adalah .... Penyelesaian : 12 2 1  xy 32 2  xxy Jika 21 yy  maka, diperoleh : 312 22  xxx 0312 22  xxx 022  xx ... x ... = - 2 0)1)(2(  xx ... + ... = 1 2x atau 1x Substitusikan nilai 2x atau 1x ke dalam salah satu persamaan kuadrat maka, akan diperoleh : Untuk 2x → 1)2(2 2 y 1)4(2 y 18 y 9y → )9,2(
  • 140. 122 Sistem persamaan linier Untuk 1x → 1)1(2 2 y 1)1(2 y 12 y 3y → )3,1( Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  )3,1(),9,2( 1. Diketahui SPLDV      044 223 yx yx . Nilai dari ....2  yx UAN 2003 a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 2 Penyelesaian : 044 446 1 2 044 223       yx yx yx yx x2 = 4 2x Substitusi 2x ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh : 22)2(3  y 226  y 42  y 2y Sehingga nilai yx 2 = )2(22  = 42  = 6 Jawaban : a + CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 123 Sistem persamaan linier 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel :             2 11 0 132 4 111 yz zyx zyx adalah .... UAN 2004 a. {2, 1, - 1} b. {- 2, 1, 1} c.       1,1, 2 1 d.        1,1, 2 1 e.       1,1, 2 1 Penyelesaian : 4 111  zyx ........................ 1) 0 132  zyx ........................ 2) 2 11  yz ........................ 3) Misalkan : u x  1 v y  1
  • 141. 124 Sistem persamaan linier w z  1 Maka sistem persamaannya dapat dirubah kedalam bentuk : 4 111  zyx ........................ 1) 0 11 .3 1 .2  zyx ........................ 2) 2 11  yz ........................ 3) Sehingga menjadi : 4 wvu ........................ 1) 032  wvu ........................ 2) 2 vw ........................ 3) Karena pada persamaan 3) tidak ada variabel u maka pada persamaan 1) dan 2) perlu dieliminasi variabel u, maka dari 1) dan 2) diperoleh : 032 8222 1 2 032 4       wvu wvu wvu wvu wv 35  = 8 atau vw 53  = 8 ........... 4) Dari 3) dan 4), eliminasi w diperoleh :       853 633 1 3 853 2 vw vw vw vw 22 v 1v Substitusi v = 1 ke dalam salah satu persamaan di atas akan diperoleh : 21 w 1w Substitusi v = 1 dan 1w kedalam salah satu persamaan 1), 2) atau 3). Jika disubstitusi pada persamaan 1) maka akan diperoleh : 4)1(1 u 42 u 125 Sistem persamaan linier 2u Karena dimisalkan x u 1  , y v 1  , z w 1  maka : x u 1  y v 1  z w 1  x 1 2  y 1 1  z 1 1  12 x 1y 1 z 2 1 x 1z Jadi himpunan penyelesaiannya adalah       1,1, 2 1 Jawaban : c 3. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan         0 32 632 zyx zyx zyx adalah ....UAN 2006 a. – 3 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2 Penyelesaian : 632  zyx ......................... 1) 32  zyx ......................... 2) 0 zyx ......................... 3) Karena yang ditanya nilai x maka x tidak perlu dieliminasi agar langkah penyelesaiannya lebih singkat. Dari 1) dan 2), eliminasi z diperoleh :       9336 632 3 1 32 632 zyx zyx zyx zyx
  • 142. 126 Sistem persamaan linier x7 + y5 = 3 .......... 4) Karena pada persamaan 1) dan 2) telah dieliminasi z maka pada persamaan 2) dan 3) juga dieliminasi z, akan diperoleh :   0 32 zyx zyx x + y2 = 3 .................... 5) Dari 4) dan 5), eliminasi y diperoleh :       15105 61014 5 2 32 357 yx yx yx yx x9 = - 9 1x Jawaban : C 4. Andi membeli 3 buku tulis, 1 balpoint dan 2 pensil dengan harga Rp. 17.000,-. Sedangkan Eko membeli 1 buku tulis , 2 balpoint dan 1 pensil dengan harga Rp. 13.000,-. Budi membeli 2 buku tulis, 1 balpoint dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000,-. Merk barang tersebut ketiganya membeli di toko yang sama pula. Jika saya ingin membeli 1 buku tulis dan 1 balpoint, maka saya harus membayar sebesar .... UAN 2007. A a. Rp. 4000,- b. Rp. 5000,- c. Rp. 6000,- d. Rp. 7000,- e. Rp. 8000,- Penyelesaian : Misalkan : x = buku tulis y = balpoint z = pensil Maka model matematika dari persoalan di atas adalah : 000.1723  zyx ................................ 1) 000.132  zyx ................................ 2) 000.122  zyx ................................ 3) Yang ditanya adalah .... yx 127 Sistem persamaan linier Karena yang ditanya nilai x dan y maka x dan y tidak perlu dieliminasi, sehingga dari 1) dan 2), perlu eliminasi z diperoleh :       000.26242 000.1723 2 1 000.132 000.1723 zyx zyx zyx zyx x – y3 = 000.9 ........ 4) Dari 2) dan 3), eliminasi z diperoleh :   000.122 000.132 zyx zyx x + y = 1. 000 ............... 5) Dari 4) dan 5), eliminasi x diperoleh :   000.1 000.93 yx yx y2 = 000.8 000.4y Substitusi 000.4y ke dalam salah satu persamaan di atas, diperoleh : 000.1000.4  x 000.3 x 000.3x Jadi nilai yx  = 000.4000.3  = 7.000 Sehingga harga 1 buku tulis dan 1 balpoint adalah Rp. 7.000 Jawaban : d 5. Ani, Nia dan Ina pergi bersama-sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 67.000,-. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp.61.000,-. Ina membeli 1 kg apel, 3 kg anggur dan 2 kg jeruk harganya Rp.80.000,-. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk seluruhnya adalah .... UAN 2007. A a. Rp.37.000,- d. Rp.55.000,- b. Rp.44.000,- e. Rp.58.000,- c. Rp.51.000,- Penyelesian:
  • 143. 128 Sistem persamaan linier Misalkan : x =1 kg apel y =1 kg anggur z =1 kg jeruk Maka model matematikanya adalah: 000.6722  zyx ..................................... 1) 000.613  zyx ..................................... 2) 000.8023  zyx ..................................... 3) Ditanya .... zyx Dari 1) dan 2), eliminasi z diperoleh :   000.613 000.6722 zyx zyx 000.6 yx .......................... 4) Dari 2) dan 3), eliminasi z diperoleh :       000.8023 000.122226 1 2 000.8023 000.613 zyx zyx zyx zyx 5x – y = 42.000 ...... 5) Dari 4) dan 5), eliminasi y diperoleh :   000.425 000.6 yx yx x4 = 48.000 x = 12.000 Substitusi x = 12.000 ke dalam persamaan 4) atau 5), diperoleh : 000.6000.12  y 000.18y Substitusi x = 12.000 dan 000.18y ke dalam persamaan 1), 2) atau 3) diperoleh : 000.8023  zyx 000.802)000.18(3000.12  z 000.802000.54000.12  z 000.802000.66  z 000.142 z 000.7z 129 Sistem persamaan linier Jadi nilai zyx  = 000.7000.18000.12  = 000.37 Sehingga harga 1 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk adalah Rp. 37.000,- Jawaban : a 6. Pada tokoh buku “Murah”, Adi membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp.26.000,-. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga Rp.21.500,-. Citra membeli 3 buku, dan 1 pensil dengan harga Rp.12.500,-. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar .... UAN 2008.B a. Rp.5.000,- d. Rp.11.000,- b. Rp.6.500,- e. Rp.13.000,- c. Rp.10.000,- Penyelesaian: Misalkan : x = buku y = pulpen z = pensil Model matematikanya adalah : 000.26324  zyx ................................ 1) 500.2133  zyx ................................ 2) zx 3 = 12.500 ................................ 3) Ditanya : ....22  zy Karena pada persamaan 3) variabel y tidak ada maka dari 1) dan 2) perlu dieliminasi y. Dari 1) dan 2), eliminasi y diperoleh :       000.43266 000.789612 2 3 500.2133 000.26324 zyx zyx zyx zyx x6 + z7 = 35.000 ..... 4) Dari 3) dan 4), eliminasi x diperoleh :       000.3576 000.2526 1 2 000.3576 500.123 zx zx zx zx 000.105  z 000.2z Substitusi 000.2z ke dalam persamaan 3) atau 4), diperoleh : 500.12000.23 x
  • 144. 130 Sistem persamaan linier 300.123 x 500.3x Substitusi 500.3x dan 000.2z ke dalam persamaan 1), atau 2), diperoleh : 500.2133  zyx 500.21000.23)500.3(3  y 500.21000.23500.10  y 500.21500.123 y 000.93 y 000.3y Jadi nilai zy 22  = )000.2(2)000.3(2  = 000.4000.6  = 10.000 Sehingga yang harus dibayar Dina adalah Rp.10.000,- Jawaban : c 7. Di sebuah swalayan Rina dan Rini membeli apel dan mangga. Rina membeli 2 kg apel dan 1 kg mangga dengan harga Rp.4.000,00. Rini membeli 3 kg apel dan 4 kg mangga dengan harga Rp.8.500,00. Harga 1 kg apel adalah .... UAN 2008.A. Bahasa a. Rp.750,00 b. Rp.875,00 c. Rp.1.000,00 d. Rp.1.500,00 e. Rp.1.750,00 Penyelesian: Misalkan : x =1 kg apel y =1 kg mangga Maka model matematikanya adalah : 000.42  yx 500.843  yx Ditanya nilai x = .... Karena yang ditanya nilai x maka x tidak boleh dieliminasi. Dari 1) dan 2), eliminasi y diperoleh : 131 Sistem persamaan linier       500.843 000.1648 1 4 500.843 000.42 yx yx yx yx 500.75 x 500.1x Jadi nilai x = 1.500 Sehingga harga 1 kg apel adalah Rp.1.500,00 8. Nilai z dari sistem persamaan         1353 23822 42 zy zyx zyx adalah .... UAN 2008.A. d a. – 2 b. 2 c. 3 d. 7 e. 14 Penyelesaian : 42  zyx .......................... 1) 23822  zyx .......................... 2) 1353  zy .......................... 3) Karena persamaan 3) tidak ada variabel x maka dari 1) dan 2) perlu eliminasi x. Dari 1) dan 2), eliminasi x diperoleh :   23822 42 zyx zyx 199  zy ................. 4) Dari 3) dan 4), eliminasi y diperoleh :       57273 1353 3 1 199 1353 zy yy zy yy 4422  z 2z Jawaban : b
  • 145. 132 Sistem persamaan linier 1. Diketahui sistem persamaan linier         2433 122 12 zyx zyx zyx maka nilai zyx :: adalah .... a. 2:1:1 b. 3:2:1 c. 1:2:3 d. 9:1:3 e. 6:1:6 LATIHAN MANDIRI 133 Sistem persamaan linier 2. Diketahui sistem persamaan linier         012 1 222 yx zyx zyx Nilai y yang memenuhi adalah .... a. – 1 b. 1 c. – 3 d. 5 e. – 5 3. Jika ),,( 000 zyx adalah penyelesaian sistem persamaan linier         1 12 3 yx zy zx maka ....000  zyx a. 3 b. 4 c. 6 d. 8 e. 11 4. Diketahui sistem persamaan linier         92 3 15352 zy zy zyx maka himpunan penyelesaiannya adalah .... a.  16,4,1 b.  16,1,4 c.  4,16,1 d.  1,16,4 e.  1,4,16
  • 146. 134 Sistem persamaan linier 5. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier             4 342 2 13 8 21 zyx zx yx adalah  zyx ,, . Nilai dari .... zyx a. 12 1 1 b. 12 1 1 c. 12 1 2 d. 12 1 2 e. 12 1 6. Talita membeli 3 buku tulis dan 2 pensil dengan harga Rp.9.500,00. Satria membeli sebuah buku dan sebuah pensil dengan harga Rp.3.500,00 di toko yang sama, Cahaya membeli sebuah buku dan 2 pensil, maka Cahaya harus membayar .... a. Rp.3.500,00 b. Rp.4.500,00 c. Rp.5.000,00 d. Rp.6.000,00 e. Rp.7.000,00 135 Sistem persamaan linier 7. Harga 3 buah buku dan 2 pensil adalah Rp.9.500,00. Di toko yang sama harga 2 buku dan 5 pensil adalah Rp.10.000,00. Selisih harga sebuah buku dan harga sebuah pensil adalah .... a. Rp.500,00 b. Rp.1.000,00 c. Rp.1.500,00 d. Rp.2.500,00 e. Rp.3.500,00 8. A membeli 3 kg mangga, 1 kg jeruk dan 2 kg jambu seharga Rp.62.000,00. B membeli 1 kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 kg jambu seharga Rp.48.000,00. C membeli 2 kg mangga, 1 kg jeruk dan 1 kg jambu seharga Rp.42.000,00. Jika A, B dan C membeli di toko buah yang sama, maka harga 1 kg jeruk adalah .... a. Rp.8.000,00 b. Rp.10.000,00 c. Rp.12.000,00 d. Rp.14.000,00 e. Rp.16.000,00
  • 147. 219 Transformasi geometri 10. Transformasi Geometri 1. jenis-jenis tranformasi MATERI 220 Transformasi geometri
  • 148. 221 Transformasi geometri 222 Transformasi geometri 2. Komposisi transformasi a. Translasi (pergeseran) Komposisi dua translasi T1 dilanjutkan T2 dapat diganti dengan translasi tunggal. Misal : 1T =       b a dan 2T =       d c maka : )","(")','('),( 21 yxpyxpyxp TT  )","("),( 21 yxpyxp TT    b. Refleksi (pencerminan)  Refleksi dua sumbu yang sejajar terhadap sumbu x Misalnya : 1M : transformasi refleksi terhadap garis y = h dan 2M : transformasi refleksi terhadap garis y = k, maka : )","(")'',('),( yxpyxpyxp kyhy   atau )","("),( 21 yxpyxp MM     Refleksi dua sumbu yang sejajar terhadap sumbu y Misalnya : 1M : transformasi refleksi terhadap garis x = h dan 2M : transformasi refleksi terhadap garis x = k, maka : )","(")'',('),( yxpyxpyxp kxhx   atau )","("),( 21 yxpyxp MM     Refleksi dua sumbu yang saling tegak lurus Misalnya : 1M : transformasi refleksi terhadap sumbu x dan 2M : transformasi refleksi terhadap sumbu y, maka : )","(")'',('),( yxpyxpyxp yx  atau )","("),( 21 yxpyxp MM   
  • 149. 223 Transformasi geometri Catatan : dua refleksi secara berururtan terhadap sumbu x dan sumbu y ekivalen dengan rotasi setengah putaran yang berpusat di O(0,0)  Refleksi dua sumbu yang saling berpotongan ekivalen dengan sebuah rotasi tunggal, dimana : 1. Berpusat pada titik potong dua sumbu 2. Bersudut dua kali sudut antara dua sumbu 3. Arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua c. Rotasi (perputaran) Misalnya : 1 : Rotasi pertama, dan 2 : Rotasi kedua, maka : )","(")','('),( 21 yxpyxpyxp   )","("),( 21 yxpyxp     d. Komposisi transformasi dengan matriks Misalnya : 1M =       dc ba , dan 2M =       hg fe , maka : 21 MM  =       hg fe       dc ba dan 12 MM  =       dc ba       hg fe Sehingga 21 MM   12 MM  3. Luas bangun suatu hasil transformasi : Misalnya suatu bangun ditransformasikan dengan matriks       dc ba hasilnya 'A dengan luas : AluasbcadA ' 4. Peta suatu kurva oleh suatu transformasi : 224 Transformasi geometri Misalnya persamaan garis 0 cbyax ditrasformasikan oleh matriks A =       sr qp dan (x’, y’) adalah peta dari (x, y), maka :              y x A y x 1 ' ' 1. Bayangan titik A(x, y) karena refleksi terhadap garis x = - 2, dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 3 dan kemudian dilanjutkan rotasi pusat O bersudut  2 1 radian adalah (- 4, 6). Bayangan tersebut adalah .... UAN 2003 a. (2, - 10) b. (2, 10) c. (10, 2) d. (-10, 2) e. (10, -2) Penyelesaian : Titik A(x, y) dirotasikan terhadap garis x = - 2 dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 3 dan kemudian dirotasikan lagi dengan pusat (O, 2/1 ) adalah (-4, 6) maka :   )6,4('")2,("),('),( 232/,     AykxAyxAyxA xyO  atau   )4,6()6,4('),4(")6,4('" 2/,32 xyAyxAyxAA Oyx      akan diperoleh : - 4 = - 6 + y 6 = - 4 - x 2 = y 10 = - x - 10 = x Jadi A(- 10, 2) Jawaban : d CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 150. 225 Transformasi geometri 2. 1T adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 0 90 . 2T adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = - x. Bila koordinat peta titik A oleh transformasi 21 TT  adalah A’(8, 2-6), maka koordinat titik A adalah .... UAN 2004 a. (-6, -8) b. (-6, 8) c. (6, 8) d. (8, 6) e. (10, 8) Penyelesaian : 21 TT  merupakan transformasi 2T dilanjutkan 1T 1T =        01 10 adalah matriks yang bersesuaian dengan rotasi dengan sudut 0 90 2T =         01 10 adalah matriks yang bersesuaian dengan pencerminan xy  )6,8('),( 21   AyxA TT                        01 10 01 10 6 8       y x =         )0)(0()1)(1()1)(0()0)(1( )0)(1()1)(0()1)(1()0)(0(       y x =       10 01       y x =         ))(1())(0( ))(0())(1( yx yx =        y x Jadi 8 = x 226 Transformasi geometri - 6 = - y → 6 = y maka koordinat titiknya adalah (8, 6) Jawaban : d 3. Persamaan peta kurva 232  xxy karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah .... UAN 2004 a. 01893 2  xxy b. 01893 2  xxy c. 01893 2  xxy d. 01893 2  xxy e. 01892  xxy Penyelesaian : 1M =       10 01 adalah matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu x 2M =       30 03 adalah matriks yang bersesuaian dengan dilatasi pada pusat O dan faktor skala 3 )','('),( 21 yxpyxp MM          ' ' y x =       30 03       10 01       y x =        30 03       y x =        y x 3 3 Diperoleh : 'x = x3 → ' 3 1 x = x
  • 151. 227 Transformasi geometri 'y = y3 → ' 3 1 y = y Jadi bayangan kurva 232  xxy karena pencerminan terhadap sumbu x dan dilatasi (O, 3) adalah : ' 3 1 y = 2' 3 1 3' 3 1 2             xx ' 3 1 y = 2'' 9 1 2 xx (×9) '3y = 18'9'2  xx 0 = 18'9''3 2  xxy atau 18'9''3 2  xxy = 0 Jadi bayangannya adalah : 1893 2  xxy = 0 Jawaban : a 4. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut 2/ , dilanjutkan dilatasi (0, 2) adalah 2 2 yyx  . Persamaan kurva semula adalah .... UAN 2005 a. 4 2 1 2  xxy b. 4 2 1 2  xxy c. 4 2 1 2  xxy d. 12 2  xxy e. 12 2  xxy Penyelesaian : Misalkan persamaan kurva adalah : 2)2,0(]2/,0[ 2 yyxBA     maka AByyx     ]2/,0[)2/1,0(2 2  228 Transformasi geometri 1M =       2/10 02/1 adalah matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan faktor skala 1/2 2M =        01 10 adalah matriks yang bersesuaian dengan rotasi berpusat di O dan bersudut 2/ )','('),( 21 yxpyxp MM          ' ' y x =        01 10       2/10 02/1       y x =        02/1 2/10       y x =        x y 2/1 2/1 yx 2/1' → '2xy  xy 2/1'  → '2yx  Persamaan semulanya adalah: 2 )'2('22'2 xxy  2 '4'22'2 xxy  2 '2'1' xxy  1''2' 2  xxy atau 12 2  xxy Jawaban: e 5. Persamaan bayangan kurva 01223  yx oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks        01 10 , dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x adalah .... UAN 2006 a. 01232  yx b. 01232  yx
  • 152. 229 Transformasi geometri c. 01232  yx d. 01232  yx e. 01232  yx Penyelesaian : ),( yx M )','( yx x )","( yx ),( yx   xM  )","( yx        01 10 adalah matriks transformasi dan,       10 01 adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x       ' ' y x =       10 01        01 10       y x =       01 10       y x =       x y yx ' xy ' Maka persamaan bayangannya adalah: 012'2'3  xy atau 012'3'2  yx 01232  yx Jawaban: d 6. Persamaan bayangan kurva 12 2  xy jika dicerminkan terhadap garis xy  , dilanjutkan dengan rotasi pusat (0,0) sejauh 900 berlawanan arah jarum jam adalah .... UAN 2007. B a. 12 2  xy b. 2 21 xy  230 Transformasi geometri c. 12 2  xy d. 12 2  xy e. 2y Penyelesaian: ),( yx  xy )','( yx   ]90,[ 0 o )","( yx ),( yx   21 MM  )','( yx       ' ' y x =          00 00 90cos90sin 90sin90cos       01 10       y x =        01 10       01 10       y x =       10 01       y x =       y x xx ' → 'xx  yy ' → 'yy  1)'(2' 2  xy 1'2' 2  xy 12 2  xy Jawaban: a 7. Bayangan kurva 32  xy jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah .... UAN 2007. A a. 62/1 2  xy b. 62/1 2  xy c. 32/1 2  xy d. 2 2/16 xy 
  • 153. 231 Transformasi geometri e. 2 2/13 xy  Penyelesaian: ),( yx x )','( yx   )2,0( )","( yx ),( yx   21 MM  )","( yx       ' ' y x =       20 02       10 01       y x =        20 02       y x =        y x 2 2 xx 2' → '2/1 xx  yy 2'  → '2/1 yy  3)'2/1('2/1 2  xy 3'4/1'2/1 2  xy 6'2/1' 2  xy 6'2/1' 2  xy 62/1 2  xy Jawaban: d 8. Persamaan bayangan garis 35  xy karena rotasi dengan pusat O(0,0) bersudut 0 90 adalah .... UAN 2008. A a. 035  yx b. 035  yx c. 035  yx d. 035  yx e. 035  yx Penyelesaian: ),( yx    ]90,0[ 0 )','( yx 232 Transformasi geometri       ' ' y x =         )90cos()90sin( )90sin()90cos(       y x =        )90cos()90sin( )90sin()90cos(       y x =        01 10       y x =        x y yx ' → 'xy  xy ' → 'yx  Jadi persamaan bayangannya adalah: 3)'(5'  yx 3'5'  yx 03'5'  yx 035  yx Jawaban: d 9. Persamaan bayangan garis 0234  xy oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks        11 10 dilanjutkan matriks       11 11 adalah .... UAN 2008.A a. 0478  yx b. 0278  yx c. 022  yx d. 022  yx e. 0225  yx Penyelesaian: )','('),( 21 yxpyxp MM   
  • 154. 233 Transformasi geometri       ' ' y x =       11 11        11 10       y x =        21 01       y x =        yx x 2 xx ' → 'xx  yxy 2'  → '2 yxy  '2/12/1 yxy  Jadi persamaan bayangannya adalah : 02)'(3)'2/12/1(4  xyx 02'3'22  xyx 02'2'  yx 022  yx Jawaban: c 10. Persamaan bayangan garis 0423  yx karena rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar 2/ adalah .... UAN 2008. B a. 0432  yx b. 0432  yx c. 0432  yx d. 0423  yx e. 0423  yx Penyelesaian: )','(),( ]2/,0[ yxyx          ' ' y x =         )2/cos()2/sin( )2/sin()2/cos(         y x =        )2/cos()2/sin( )2/sin()2/cos(         y x 234 Transformasi geometri =        01 10       y x =        x y yx ' → 'xy  xy ' → 'yx  Jadi persamaan bayangannya adalah : 04)'(2)'(3  xy 04'2'3  xy → 0423  xy 0432  yx Jawaban: b 11. Lingkaran 16)2()1( 22  yx ditransformasikan oleh matriks        01 10 dilanjutkan oleh matriks       10 01 . Persamaan lingkaran tersebut adalah .... UAN 2008. B a. 0112422  yxyx b. 0112422  yxyx c. 0114222  yxyx d. 0112222  yxyx e. 0112422  yxyx Penyelesaian: )','('),( 21 yxpyxp MM          ' ' y x =       10 01        01 10       y x =        01 10       y x
  • 155. 235 Transformasi geometri =       x y yx ' → 'xy  xy ' → 'yx  Jadi persamaan bayangannya adalah : 16)2'()1'( 22  xy 164'4'1'2' 22  xxyy 165'2'4'' 22  yxyx 011'2'4'' 22  yxyx → 0112422  yxyx Jawaban: e LATIHAN MANDIRI 236 Transformasi geometri
  • 156. 195 vektor 9. Vektor 1. Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang dan arah Misalnya : Jika suatu titik A = ),,( 321 aaa dalam ruang (juga pada bidang) dan O titik pangkal, maka aOA  adalah bektor posisi dari titik A dan dapat ditulis : aOA  =           3 2 1 a a a atau aOA  = ),,( 321 aaa atau aOA  = kajaia 321  , dengan panjangnya adalah 2 3 2 2 2 1 )0()0()0(  aaaOA 2 3 2 2 2 1 aaa  2. Vektor dapat dijumlahkan dengan aturan jajar genjang atau aturan segitiga : OBABOA   AB = OAOB  =                            0 0 0 0 0 0 3 2 1 3 2 1 a a a b b b =                      3 2 1 3 2 1 a a a b b b ),,( 321 aaaA  ),,( 321 bbbB O MATERI 196 vektor =              33 22 11 ab ab ab dengan panjang, AB 2 33 2 22 2 11 )()()( ababab  OBOA  =              0 0 0 3 2 1 a a a +              0 0 0 3 2 1 b b b =           3 2 1 a a a +           3 2 1 b b b =              33 22 11 ba ba ba dan misalkan m adalah sebuah konstanta maka am =           3 2 1 am am am 2 ba  = cos2 22 baba  cos2 ba = 222 baba  cos  = ba baba 2 222   a b c a + b
  • 157. 197 vektor jika )( ba   c, maka )( ba  . c = 0 3. Jika aOA  = kajaia 321  dan bOB  = kbjbib 321  , dan P terletak diantara AB dengan perbandingan : AP : PB = m : n atau n m PB AP  PBmAPn  maka OP = P = nm OBmOAn   P = nm BmAn   4. Jika a =           3 2 1 a a a dan b =           3 2 1 b b b maka a .b = 332211 bababa  atau a .b = ),(cos baba  dimana : a = 3 3 2 2 2 1 aaa  b = 3 3 2 2 2 1 bbb  ),,( 321 aaaA  ),,( 321 bbbB  P n m O 198 vektor sehingga : ),(cos ba = ba ba . .  Jika ),(cos ba = 1 maka a dan b berimpit searah  Jika ),(cos ba = -1 maka a dan b berimpit berlawanan  Jika ),(cos ba = 0 maka a dan b saling tegak lurus, serta a . b = 0 5. Misalkan vektor c merupakan proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b Proyeksi vektor/proyeksi ortogonal : c = b b ba . . 2 Proyeksi skalar/panjang proyeksi : c = b ba. ),,( 321 aaaA  ),,( 321 bbbB  O ba, b O a O a O c O b O
  • 158. 199 vektor 1. Proyeksi vektor a = kji 32  pada vektor b = kji 245  adalah .... UAN 2003 a.            2 4 5 2 1 b.           1 4 2 4 1 c.             2 4 5 5 1 d.            3 2 4 2 1 e.              3 2 4 3 1 Penyelesaian : ilustrasi : a (1, 2, -3) c b (5, -4, 2) CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 200 vektor misalkan proyeksi a pada b adalah c maka : c = b b ba . . 2 =   )2,4,5( 2)4(5 )2,4,5)(3,2,1( 2 222    =   )2,4,5( 41625 685 2    = )2,4,5( 45 9   = )2,4,5( 5 1   atau = )2,4,5( 5 1  Jawaban : c 2. Jika vektor a =           3 2 1 , b =           1 4 5 , c =            1 1 4 , maka nilai dari a + 2b - 3 c = .... UAN 2004 a.             8 12 6 b.             2 12 1 c.             2 13 1
  • 159. 201 vektor d.            8 13 7 e.            8 11 6 Penyelesaian : a + 2b - 3c =           3 2 1 + 2           1 4 5 - 3            1 1 4 =           3 2 1 +            2 8 10 -            3 3 12 =              323 382 12101 =             2 13 1 Jawaban : c 3. Diketahui vektor u =            1 1 3 , dan vektor v =           2 2 p , jika proyeksi skalar vektor u pada vektor v sama dengan setegah vektor v , maka nilai p adalah .... UAN 2004 a. – 4 atau – 2 b. – 4 atau 2 202 vektor c. 4 atau – 2 d. 8 atau – 1 e. – 8 atau 1 Penyelesaian : Proyeksi skalar vektor u pada v = 2 1 v v 2 1 = v vu.  222 22 2 1  p = 222 22 2 2 1 1 3                       p p  44 2 1 2  p = 44 26 2   p p 2 8 2 p = 2 8 8 p p     22 88 pp  = )8(2 p  2 2 8 p = p216  2 8 p = p216  16822  pp = 0 u (3, -1, 1) v 2 1 v (2, p, 2)
  • 160. 203 vektor 822  pp = 0 ... x ... = - 8 )2)(4(  pp = 0 ... + ... = 2 4p atau 2p Jawaban : b 4. Diketahui A (1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C(7, 5, -3). Jika A, B dan C segaris (kolinier), maka perbandingan AB : BC = .... UAN 2005 a. 1 : 2 b. 2 : 1 c. 2 : 5 d. 5 : 7 e. 7 : 5 Penyelesaian : B = nm mCnA   Bnm )(  = mCnA             1 3 3 )( nm =                       3 5 7 3 2 1 mn              nm nm nm 33 33 =                       m m m n n n 3 5 7 3 2              nm nm nm 33 33 =              mn mn mn 33 52 7    BA C           3 2 1           1 3 3            3 5 7 m n 204 vektor pilih salah satu persamaan akan diperoleh nilai m : n nm  = mn 33  mm 3 = nn 3 m4 = n2 n m = 4 2 n m = 2 1 nm : = 2:1 Jawaban : a 5. Diketahui titik A(1, -3, 0), B(3, 4, 4) dan C(2, -1, 2). Panjang proyeksi vektor AB pada vektor AC adalah .... UAN 2006 a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 Penyelesaian : Misalkan panjang proyeksi vektor AB pada vektor AC adalah BC maka : BC = AC ACAB. AB = )04),3(4,13(  = (2, 7, 4) AC = )02),3(1,12(  = (1, 2, 2) B(3, 4, 4) C(2, -1, 2) A(1, -3, 0)
  • 161. 205 vektor BC = AC ACAB. = 222 221 )2,2,1)(4,7,2(  = 441 8142   = 9 24 = 3 24 = 8 Jawaban : e 6. Diketahui a = 6, b = 4 dan ba  = 72 . Besar sudut antara vektor a dan b adalah .... UAN 2006 a. 0 30 b. 0 60 c. 0 90 d. 0 120 e. 0 150 Penyelesaian : cos  = ba baba ..2 222   a b a + b  206 vektor = 4.6.2 )72(46 222  = 48 )7.4(1636  = 48 2852  = 48 24 = 2 1 cos  = cos 0 60  = 0 60   = 0 180 0 60 +  = 0 180  = 0 120 Jawaban : D 7. Diketahui segitiga dengan titik A(2, 1, 5), B(-2, 3, 2) dan C(1, 0, 3), besar sudut BAC = .... UAN 2007.A a. 0 30 b. 0 45 c. 0 60 d. 0 90 e. 0 120 Penyelesaian : AC = (1 – 2, 0 – 1, 3 – 5) A(2, 1, 5) B(-2, 3, 2) C(1, 0, 3) 
  • 162. 207 vektor = (- 1, - 1, - 2) AC = 222 )2()1()1(  = 411  = 6 AB = (- 1 – 2, 3 – 1, 2 – 5) = (- 3, 2, - 3) AB = 222 )3(2)3(  = 949  = 24 cos  = 24.6 )2)(2()2)(1()4)(1(  = 144 424  = 12 6 = 2 1 cos  = cos 0 60  = 0 60 Jawaban : c 8. Diketahui segitiga ABC, dengan A(-1, 3, 5), B(-4, 7, 4) dan C(1, -1, 1). Jika vektor u mewakili AB dan v mewakili AC , maka proyeksi vektor u pada v adalah .... UAN 2007 a. kji 2 1 2 3  b. kji 2 1 2 2 3  c. kji 12126  d. kji 22  208 vektor e. kji 22  Penyelesaian : AB = u = (- 4 - (-1), 7 – 3, 4 – 5 ) = (- 3, 4, -1) AC = v = (1 – ( - 3), -1 – 3, 1 – 5) = (4, - 4, - 4) Jika proyeksi vektor u pada v adalah w maka : w = v v vu . . 2 =   )4,4,2( )4()4(2 )4)(1()4)(4()2)(3( 2 222    =   )4,4,2( 16164 4166 2    =   )4,4,2( 36 18 2   = )4,4,2( 36 18   = )4,4,2( 2 1  = (-1, 2, 2) = kji 22  Jawaban : d B(-4, 7, 4) C(1, -1, 1)A(-1, 3, 5) v u w
  • 163. 209 vektor 9. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2) dan R(-1, 0, 2). Besar sudut PRQ = .... UAN 2007. A a. 0 120 b. 0 90 c. 0 60 d. 0 45 e. 0 30 Penyelesaian : RP = (0 – (-1), 1 – 0, 4 – 2) = (1, 1, 2) RP = 222 211  = 411  = 6 RQ = (2 – (-1), - 3 – 0, 2 – 2) = (3, -3, 0) RQ = 222 0)3(3  = 099  = 18 = 2.9 = 2.9 = 23 Q(2, -3, 2) P(0, 1, 4)R(-1, 0, 2) θ 210 vektor cos θ = 6.23 )2,1,1)(0,3,3(  = 123 033  = 32.3 00  = 36 0 = 0 cos θ = cos 0 90 θ = 0 90 Jawaban : b 10. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi ortogonal AB pada AC adalah .... UAN 2007. A a. kj  b. ki  c. ki  d. kji 2 1  e. ji  2 1 Penyelesaian : Misalkan proyeksi ortogonal AB pada AC adalah BD maka : B(2, 2, 0) C(0, 2, 2) A(0, 0, 0) D
  • 164. 211 vektor BD = AC AC ACAB . . 2 AB = (2 – 0, 2 – 0, 0 – 0) = (2, 2, 0) AC = (0 – 0, 2 – 0, 2 – 0) = (0, 2, 2) AC = 222 220  = 440  = 8 = 2.4 = 2.4 = 22 BD = )2,2,0(. )22( 040 2  = )2,2,0( 2.4 4 = )2,2,0( 8 4 = )2,2,0( 2 1 = (0, 1, 1) = kj  Jawaban : a 11. Diketahui vektor a = kjit 32  , b = kjit 52  dan c = kjtit 3 . Jika vektor ( ba  ) tegak lurus c maka nilai ....2 t UAN 2008.A a. – 2 atau 4/3 212 vektor b. 2 atau 4/3 c. 2 atau - 4/3 d. 3 atau 2 e. – 3 atau 2 Penyelesaian : a = (2t, -1, 3) b = (-t, 2, -5) c = (3t, t, 1) a + b = (2t – t, -1 + 2, 3 – 5) = (t, 1, - 2) Karena ba   c , maka : ( ba  ) .c = 0 (3t, t, 1)(t, 1, -2)= 0 23 2  tt = 0 ... × ... = - 6 2233 2  ttt = 0 ... + ... = 1 )22()33( 2  ttt = 0 )1(2)1(3  ttt = 0 )1)(23(  tt = 0 3 2 t atau 1t untuk 1t  t2 = 2(-1) = - 2 untuk 3 2 t  t2 = 2(2/3) = 4/3 Jawaban : a  a b c a + b
  • 165. 213 vektor 12. Diketahui a = (x, 2, 4) dan b = (3, 4, 0) panjang proyeksi vektor a pada b adalah 2/5. Nilai 2x = .... UAN 2008.A a. – 1 b. – 2 c. – 4 d. – 6 e. – 8 Penyelesaian : Panjang proyeksi vektor a pada b adalah 2/5 maka : c = b ba. 5 2 = 222 043 )0,4,3)(4,2,(  x 5 2 = 0169 083  x 5 2 = 25 83 x 5 2 = 5 83 x 2(5) = 5(3x + 8) 10 = 15x + 40 - 30 = 15x - 2 = x Nilai 2x = 2(-2) = - 4 b (0, 2, 2) a (x, 2, 4) c 214 vektor Jawaban : c 13. Jika vektor a = kjix 84  tegak lurus b = kjxix 322  maka nilai x yang memenuhi adalah .... UAN 2008.B a. – 2 atau 6 b. – 3 atau 4 c. – 4 atau 3 d. – 6 atau 2 e. 2 atau 6 Penyelesaian : a = (x, -4, 8) b = (2x, 2x, -3) Karena a  b maka : a . b = 0 (x, -4, 8)(2x, 2x, -3) = 0 2x2 – 8x – 12 = 0 x2 – 4x – 6 = 0 ... × ... = - 6 (x + 2)(x - 6) = 0 ... + ... = - 4 x = - 2 atau x = 6 Jawaban : a 14. Diketahui vektor a =           4 3 2 dan b =           3 0 x . Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5, maka salah satu nilai x adalah .... UAN 2008. B a. 6 b. 4 c. 2 a(x, -4, 8) b(2x, 2x, -3)
  • 166. 215 vektor d. – 4 e. – 6 Penyelesaian : Panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5 maka : c = b ba. 5 4 = 222 30 )3,0,)(4,3,2(   x x 5 4 = 9 1202 2   x x 5 4 = 9 122 2   x x 4( 92 x ) = 5(-2x + 12)  94 2 x = - 10x + 60  2 2 94 x =  2 6010  x )9(16 2 x = 100x2 – 1200x + 3600 16x2 + 144 = 100x2 – 1200x + 3600 0 = 84x2 – 1200x + 3456 atau 7x2 - 100x + 288 = 0 ... × ... = 2016 7x2 - 28x - 72 x + 288 = 0 (7x2 - 28x) – (72 x - 288) = 0 7x(x – 4) – 72( x - 4)= 0 (7x - 72)(x – 4) = 0 727 x = 0 atau 4x = 0 b (x, 0, 3) a (- 2, 3, 4) c 216 vektor 7 72 x 4x Jawaban : b 15. Diketahui vektor a dan b dengan a = 3, b = 5 dan ba  = 19 . Besar sudut antara vektor a dan b adalah .... a. 1350 b. 1200 c. 900 d. 750 e. 600 Penyelesaian : ba  = 19  )( ba  = 19 ba  = 19 a + b = 19 cos θ = ba baba ..2 222  =   5.3.2 1953 22  = 5.6 19259  = 30 15 = 2 1 cos θ = cos 600 θ = 600 Jawaban : e
  • 167. 217 vektor LATIHAN MANDIRI 218 vektor
  • 168. 253 Ruang dimensi tiga Standar Kompetensi Lulusan (SKL) III : Memahami sifat-sifat dan aturan geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis dan bidang, jarak dan sudut. Ruang Lingkup Materi (RLM) : Ruang Dimensi Tiga Operasional RLM :  Jarak  Sudut (jarak dan sudut yang sederhana) PEMETAAN SKL 254 Ruang dimensi tiga 1. Bagian-bagian bangun ruang a. Sisi : ABEF, CDGH, ABCD, EFGH, ADHE, BCFG b. Rusuk : AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, ADALAH, BC, FG, EH c. Titik sudut : A, B, C, D, E, F, G, H d. Diagonal ruang : AG, BH, CE, DF e. Diagonal bidang : AH, DE, BG, CF, AC, BD, EG, FH, AF, BE, CH, DG 2. Bentuk-bentuk bangun ruang a. Kubus Panjang diagonal bidang : 2s Panjang diagonal ruang : 3s Luas permukaan : 6  Luas alas Volume : 3 s MATERI
  • 169. 255 Ruang dimensi tiga b. Balok Luas permukaan =  )()()(2 tltplp  Volume = tlp  c. Limas adalah bangun ruang dengan bentuk alas segi – n dan sejumlah sisi tegak berupa segi tiga. Luas permukaan = Luas alas +  tegaksisiluas Volume = 3 1 Luas alas d. Kerucut adalah bangun limas yang alasnya berbentuk lingkaran Luas permukaan = Luas alas + luas selimut Luas selimut = rs Volume = Luas alas  tinggi = tr2 3 1  256 Ruang dimensi tiga e. Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang (alas dan atap) yang sama, dan saling sejajar. Luas permukaan = 2 luas alas + luas bidang tegak Volume = luas alas  tinggi f. Tabung Luas permukaan = 2 × Luas alas + Luas selimut Luas selimut = keliling lingkaran × tinggi = rt2 Volume = luas alas × tinggi = tr2 
  • 170. 257 Ruang dimensi tiga g. Bola Luas permukaan = 2 4 r Volume = 3 3 4 r 3. Kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang a. Jarak  Jarak antara dua titik  Jarak antara titik dan garis  Jarak antara titik dan bidang 258 Ruang dimensi tiga  Jarak antara dua garis yang sejajar  Jarak antara dua garis yang bersilangan  Jarak antara garis dan bidang yang sejajar  Jarak antara dua bidang yang sejajar
  • 171. 259 Ruang dimensi tiga b. Proyeksi  Proyeksi titik pada garis B adalah proyeksi titik A pada garis g  Proyeksi titik pada bidang 'AB adalah proyeksi dari AB pada bidang PQRS c. Sudut Sudut antara garis dan bidang Titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidang PQRS dan 'AB adalah proyeksi dari AB pada bidang PQRS, maka  (g, bidang PQRS) =  (BA,AB’) 4. Segi tiga sebarang dan lingkaran a. Aturan sinus ∆ ADC, sin A = AC CD ↔ CD = b sin A .......................... 1) 260 Ruang dimensi tiga ∆ BCD, sin B = BC CD ↔ CD = a sin B .......................... 2) Dari 1) dan 2) a sin B = b sin A ( BA sinsin 1  ) BA Ab BA Ba sinsin sin sinsin sin  B b A a sinsin  .......................... 3) ∆ ABE, sin A = AB BE ↔ BE = c sin A .......................... 4) ∆ BCE, sin C = BC BE ↔ BE = a sin C .......................... 5) Dari 4) dan 5) c sin A = a sin C ( CA sinsin 1  ) CA Ca CA Ac sinsin sin sinsin sin  A a C c sinsin  .......................... 6) Dari 3) dan 6) C c B b A a sinsinsin  b. Aturan cosinus Misalnya AD = x maka BD = c – x A B C D c b a c-xx
  • 172. 261 Ruang dimensi tiga ∆ ACD, AD2 = AC2 – AD2 = b2 – x2 ............. 1) ∆ BCD, AD2 = BC2 – BD2 = a2 – (c – x)2 = )2( 222 xcxca  = 222 2 xcxca  ............. 2) Dari 1) dan 2) b2 – x2 = 222 2 xcxca  b2 = cxca 222  atau a2 = cxcb 222  .......... 3) ∆ ADC, cos A = AC AD  b x A cos  xAb cos .......... 4) Dari 3) dan 4) a2 = b2 + c2 – 2c(b cos A) = b2 + c2 – 2bc cos A Dengan cara yang sama akan diperoleh : c. Lingkaran  Keliling lingkaran = r2  Luas lingkaran = 2 r  Panjang busur AB = r  2 360   Luas juring AOB= 2 360 r   a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C 262 Ruang dimensi tiga 1. Diketahui segi tiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm, dan  BCA =1200 . Keliling segi tiga ABC = .... ? a. 14 cm b. 15 cm c. 16 cm d. 17 cm e. 18 cm Penyelesaian: Cabbac cos2222  0222 120cos5..257 xx  xx 52549 2  xx 524 2  02452  xx (x – 8)(x – 3) = 0 8x atau 3x Karena jarak selalu positif, maka dipilih 3x Keliling = 5 + 7 + 3 = 15 Jawaban: b 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tegak EH, maka jarak titik P ke garis CF adalah .... UAN 2003 a. 20 b. 18 c. 14 d. 12 A B C b=5 c=7 a=x1200 CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 173. 263 Ruang dimensi tiga e. 8 Penyelesaian: Jawaban: b 264 Ruang dimensi tiga 3. Pada kubus ABCD. EFGH, α adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Nilai sin α = .... UAN 2003 a. 3 4 1 b. 6 3 1 c. 2 4 1 d. 3 3 1 e. 3 2 1 Penyelesaian: Pandang segi tiga BFP
  • 174. 265 Ruang dimensi tiga 4. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A = 600 . Panjang sisi BC = .... UAN 2004 a. cm192 b. cm193 c. cm194 d. cm292 e. cm293 Penyelesaian : 266 Ruang dimensi tiga a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A = 100 + 36 – 2(10)(6) cos 600 = 136 – 120 cos 60 = 136 – 120 (1/2) = 136 – 60 = 76 a = 76 = 194 = 194  = 192 Jawaban : a 5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. k adalah titik tengah rusuk ADALAH. Jarak titik k ke garis HC adalah .... UAN 2004 a. 64 b. 36 c. 24 d. 46 e. 56 Penyelesaian :
  • 175. 267 Ruang dimensi tiga Pandang segi tiga kCH HC = 212 Hk = kC = 22 CDkD  = 22 126  = 180 = 56 Ht = CT = CH 2 1 =  212 2 1 = 26 kt = 22 CtkC  = 22 )26()56(  = 72180  = 36 Jawaban : b 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi DE pada bidang BDHF adalah .... UAN 2004 a. 22 b. 62 c. 24 d. 64 e. 28 Penyelesaian : 268 Ruang dimensi tiga Pandang segitiga DEP EG = DE = 28 EP = )( 2 1 EG = )28( 2 1 = 24 DP = 22 EPED  = 22 )24()28(  = )2.16()2.64(  = 32128  = 96 = 64 Jawaban : d 7. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah …. UAN 2004 a. 150 b. 300 c. 450 d. 600 e. 750 Penyelesaian :
  • 176. 269 Ruang dimensi tiga Pandang segitiga ATC, dan misalkan rusuknya adalah x AC = BD = 2x Cos A = ct atc 2 222  = 2..2 )2( 222 xx xxx  = 2 2 22 2 x x = 2 1 = 2 2 1 Cos A = cos 450 A = 450 Jawaban : c 8. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal tersebut melanjutkan perjalanan dengan arah 300 sejauh 60 mil. Jarak terhadap posisi saat kapal berangkat adalah …. UAN 2005 a. 3710 mil b. 730 mil c. )225(30  mil d. )325(30  mil e. )325(30  mil Penyelesaian : 270 Ruang dimensi tiga ∟ B = 900 + 300 = 1200 b2 = a2 + c2 – 2ac cos B = 602 + 302 – 2.60.30 cos 120 = 3600 + 900 – 3600 (-1/2) = 4500 + 1800 = 6300 b = 6300 = 7.900 = 730 Jawaban : b 9. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terhadap bola luar dinyatakan dengan B1 dan bola dalam dinyatakan dengan B2. Perbedaan volum bola B1 dan volum bola B2 adalah … UAN 2005 a. 1:33 b. 1:32 c. 1:3 d. 1:33 e. 1:23 Penyelesaian :
  • 177. 271 Ruang dimensi tiga TR = a√3 TQ = a√2 DO = ½ a√3 OM = ½ a 3 23 4 3 13 4 2 1 r r VB VB    = 3 2 1 3 4 3 2 1 3 4 )( )3( a a   =   3 3 )1( 3 = 1 33 Jawaban : a 10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan T pada AD dengan panjang AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah …. UAN 2005 a. ½ cm b. 3 3 1 cm c. 3 2 1 cm d. 1 cm e. 3 3 2 cm Penyelesaian : 272 Ruang dimensi tiga Pandang segitiga ABT a2 = b2 + t2 – 2bt cos A = 12 + (√3)2 – 2.1. √3 cos 900 = 1 + 3 - 2√3(0) = 4 a = 2 oA = BT ATAB. = 3 2 1 Jawaban : c 11. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah α. Nilai tan α = …. UAN 2005 a. 2 8 3 b. 2 4 3 c. 2 d. 2 2 3 e. 1 Penyelesaian :
  • 178. 273 Ruang dimensi tiga Pandang segitiga BDQ Jawaban : e 12. Suatu lahan berbentuk segitiga dibatasi oleh tonggak A, B dan C. Jika jarak tonggak A dan C = 12 m, jarak tonggak B dan C = 16 m dan besar sudut ACB = 600 , maka jarak tonggak A dan B adalah …. UAN 2006 a. 134 cm b. 154 cm c. 194 cm d. 314 cm e. 374 cm Penyelesaian : c2 = a2 + b2 – 2ab cos C = 162 + 122 – 2.16.12. cos 600 = 256 + 144 – 192 274 Ruang dimensi tiga = 208 c = 4√13 Jawaban : a 13. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan bidang CFH, maka cos α = …. UAN 2006 a. 2 3 2 b. 2 3 1 c. 3 1 d. 2 3 1  e. 3 1  Penyelesaian : Pandang segitiga AOC AC = AH = AF = FH = CH = CF = 4√2 OF = ½ FH = ½ (4√2) = 2√2 AO = OC = 22 OFAF  = 22 )22()24(  = 24 = 2√6 Cos O = ab oba 2 222  = )62)(62(2 )24()62()62( 222  = 24.2 322424 
  • 179. 275 Ruang dimensi tiga = 48 16 = 3 1 Jawaban : c 14. Diketahui kubus ABCD.EFGH Jarak bidang AFH dan BDG adalah …. UAN 2007. B a. 4√2 cm b. 4√3 cm c. 6√2 cm d. 6√3 cm e. 8√3 cm Penyelesaian : Jarak antara bidang AHF dan BDG adalah : CE 3 1 CE = 12√3 ↔ t =  312 3 1 = 34 Jawaban : b 15. Pada suatu kubus ABCD.EFGH, besar sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah …. UAN 2007.B a. 150 b. 300 c. 450 d. 600 e. 900 276 Ruang dimensi tiga Penyelesaian : Pandang segitiga ACH & APH: AC = AH = CH = x2 AP = DP = ½ AC = ½ x2 sin H = AH AP = 2 22 1 x x = ½ sin H = sin 300 H = 300 Jawaban : b 16. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 40 mil dengan arah 300 dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 60 mil dengan arah 1500 dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A dan C adalah .... UAN 2007.B a. 220 mil b. 320 mil c. 520 mil d. 720 mil e. 1120 mil
  • 180. 277 Ruang dimensi tiga Penyelesaian: b2 = a2 + c2 – 2ac cos B = 602 + 402 – 2.60.40 cos 60 = 3600 + 1600 – 4800 (1/2) = 5200 – 2400 = 2800 b = 2800 = 7.400 = 720 Jawaban: d 17. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jarak  adalah sudut antara CG dengan bidang BDG, maka tan  = .... UAN 2008.A a. 22/1 b. 32/1 c. 2 d. 3 e. 62/1 Penyelesaian: 278 Ruang dimensi tiga Pandang segitiga CGP AC = a2 PC = ½ AC = ½ a2 tan  = a a 22/1 = ½2 Jawaban: a 18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm. Jarak titik A ke garis FH adalah .... UAN 2008.A a. 23 cm b. 6 2 3 cm c. 3 2 3 cm d. 2 2 3 cm e. 3/2 cm Penyelesaian: Pandang segitiga AFH HF = AF = AH = 32 FP = HP = ½ HF = 3/2 2 cos F = 23 2 2 3 = 2 1 cos F = cos 600 F = 60 sin F = AF AP AP = 32 sin 600 = 32( ½ 3) = 3/2 6 Jawaban: b
  • 181. 279 Ruang dimensi tiga 19. Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 600 dan ABM = 750 . Maka AM = .... UAN 2008.A a. 150 (1 + 3 ) cm b. 150 (2 + 3 ) cm c. 150 (3 + 3 ) cm d. 150 (2 + 6 ) cm e. 150 (3 + 6 ) cm Penyelesaian:  MAB +  ABM +  AMB = 1800 600 + 750 +  AMB = 1800 2350 +  AMB = 1800  AMB = 450 sin 750 = sin (450 + 300 ) = sin450 cos 300 + cos 450 sin300 = 2 1 2 1 2 1 2 1 .23.2  = 26 4 1 4 1  = )26(4 1  A a M m B b sinsinsin  M m B b sinsin  00 45sin 300 75sin  b 2 300 )26( 2 1 4 1   b b.22 1 = 300. )26(4 1  b = 2 )26(75 2 1  = 2 )26(150  = 2 2 2 )26(150   = 2 )412(150  = )232(75  = 75.2(3 + 1) = 150 (3 + 1) 280 Ruang dimensi tiga Jawaban: a 20. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD jika panjang AB = 10 cm, dan TA = 53 cm, maka nilai tangen sudut antara garis TA dengan bidang ABCD adalah .... UAN 2008.B a. 1/3 b. ½ c. 1/3 3 d. 1/2 2 e. 1/2 6 Penyelesaian: AC = 10 2 OA = ½ AC = ½ (10 2) = 5 2 TO = 22 AOTA  = 22 )25()35(  = 5075  = 25 = 5 tan A = AO TO = 25 5 = 2 1 = 2 2 1 Jawaban: d 21. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah .... UAN 2008.B a. 83 cm b. 82 cm c. 46 cm
  • 182. 281 Ruang dimensi tiga d. 43 cm e. 42 cm Penyelesaian: Pandang segitiga ACH AH = CH = AC = 82 AO = OC = ½ AH = ½ (82) = 42 OH = 22 AOAH  = 22 )24()28(  = 32128  = 96 =46 Jawaban: c 282 Ruang dimensi tiga 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dan bidang alas ABCD adalah , maka sin  adalah .... a. 3 2 1 b. 2 2 1 c. 3 3 1 d. ½ e. 2 3 1 2. Pada limas beraturan T.ABCD diketahui AB = 12 cm, TD = 10 cm dan P adalah titik tengah AB. Nilai cos  TPD = .... a. 5 10 1 b. 5 10 2 c. 5 10 3 d. 5 10 7 e. 5 10 9 3. Diketahui  PQR dengan sudut  P = 150 , R = 300 dan PQ = 4 cm. Panjang sisi PR = .... cm a. 43 b. 42 c. 23 d. 22 e. 2 LATIHAN MANDIRI
  • 183. 283 Ruang dimensi tiga 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah , maka sin  adalah .... a. 3 2 1 b. 2 2 1 c. 3 3 1 d. ½ e. 2 3 1 5. Diketahui  ABC dengan  A = 450 ,  B = 300 dan BC = 5 cm. Panjang sisi AB = .... cm a. )13(25  b. )13( 2 5  c. )13( 2 5  d. )13(2  e. )13(2 
  • 184. 284 trigonometri Standar Kompetensi Lulusan (SKL) IV : Memahami konsep perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, melakukan manipulasi aljabar untuk menyusun bukti serta menggunakannya dalam pemecahan masalah. Ruang Lingkup Materi (RLM) : Trigonometri Operasional RLM :  Aturan sinus dan kosinus  Rumus jumlah dan selisih dua sudut  Rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen  Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri PEMETAAN SKL 285 trigonometri A. Hubungan sinus, kosinus dan tangen, secan, cosecan dan cotangen 1. sin  = r y  y = r sin  2. cos  = r x  x = r sin  3. tan  = x y  tan  =   cos sin r r  tan  =   cos sin 4. sec  = x r  sec  = cosr r  sec  = cos 1 5. cosec  = y r  cosec  = sinr r  cosec  = sin 1 6. cotan  = y x  cotan  =   sin cos r r  cotan  =   sin cos 7. Phytagoras : 222 ryx  22 )sin()cos(  rr  = r2 r2 cos2  + r2 sin2  = r2 r2 (cos2  + sin2 ) = r2 cos2  + sin2  = 2 2 r r sin2  + cos2  = 1  r y x demi SIN sami COS desa TANGEN MATERI
  • 185. 286 trigonometri 8. Sec2  = 2 cos 1 9. Cosec2  = 2 sin 1 10. sin2  + cos2  = 1       2 cos 1     22 2 2 2 cos 1 cos cos cos sin    2 2 cos 1 1 cos sin        22 sec1tan  B. Menghitung panjang sisi dan luas segitiga sebarang 1. Aturan sinus : C c B b A a sinsinsin  2. Aturan cosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C 3. Luas segitiga : ½ ab sin C b A B C a c 287 trigonometri L = ½ bc sin A ½ ac sin B C. Rumus-rumus trigonometri 1. Jumlah dan selisih dua sudut  cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B  cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B  sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B  sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B  tan (A + B) = A BA 2 tan1 tantan    tan (A – B) = A BA 2 tan1 tantan   2. sudut ½ A  sin ½ A =  2 cos1 A = A2 12 cos1  cos ½ A =  2 cos1 A = A2 12 cos1  tan ½ A = A A cos1 cos1    = A A cos1 sin  = A A sin cos1
  • 186. 288 trigonometri 3. Sudut rangkap  sin 2A = 2 sin A cos A  cos 2A = cos2 A – sin2 A = 2 cos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A 4. Perkalian sinus dan kosinus  2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)  2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)  2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)  2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) 5. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus  cos A + cos B = 2 cos 2 1 (A + B) cos 2 1 (A – B)  cos A – cos B = – 2 sin 2 1 (A + B) sin 2 1 (A – B)  sin A + sin B = 2 sin 2 1 (A + B) cos 2 1 (A – B)  sin A – sin B = 2 cos 2 1 (A + B) sin 2 1 (A – B) D. Grafik fungsi trigonometri 1. )(cos)( bkxaxf  2. )(sin)( bkxaxf  Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri digunakan langkah – langkah sebagai berikut:  Gambar grafik xy cos atau xy sin  Kalikan semua ordinatnya dengan k  Menentukan periode grafik:  Untuk sinus dan cosinus : 2 atau 3600  Untuk tangen :  atau 1800  Nilai maksimum, jika cos (x - ) =  1 289 trigonometri k cos (x - ) fmaks = k(1) atau k (-1) fmin = k (1) atau k (-1)  Amplitudo (panjang gelombang) = ½ (fmaks – fmin) E. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri 1. Persamaan trigonometri a. Persamaan dasar trigonometri b. Persamaan yang dapat difaktorkan c. Persamaan yang berbentuk cxbxa  sincos Dapat dirubah menjadi : k cos (x - ) = c Dengan k = 22 ba  tan  = a b   dapat dicari 2. Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan :  Cara menggambar grafik  Menggunakan garis bilangan
  • 187. 290 trigonometri F. Tabel Trigonometri 291 trigonometri 1. Diketahui A adalah sudut lancip dan cos ½ A = x x 2 1 . Nilai sin A adalah .... UAN 2003 a. x x 12  b. 12 x x c. 12 x d. 12 x e. x x 12  Penyelesaian : sin ½ A = 2 cos1 A = A2 12 cos1 Dengan : cos ½ A = x x 2 1 cos2 ½ A = x x 2 1 jadi : sin ½ A = x x 2 1 1   sin 2A = 2 sin A cos A sin A = 2 sin ½ A cos ½ A = 2                   x x x x 2 1 2 1 = 2                       x x x x 2 1 2 1 = 2          2 2 4 1 x x = 2          x x 2 12 CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 188. 292 trigonometri = x xx 2 )1(2  = x xx 2 12  = x x 2 1 = x x 12  Jawaban : a 2. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos3sin 00  xx , 3600  x adalah .... UAN 2003 a. {15, 285} b. {75, 165} c. {105, 195} d. {165, 225} e. {195, 285} Penyelesaian : 00 cos3sin xx  = 2 00 sincos3 xx  = 2 a cos x + b sin x = c k = 22 1)3(  = 2 tan  = 3 1   )( )( )cos( )sin(      x y kuadran ii = 3 3 1   = 1500 2 cos (x – 1500 ) = 2 cos (x – 1500 ) = 2 2 1 a = 3 b = 1 c = 2 293 trigonometri cos (x – 1500 ) = cos 450 atau cos (x – 1500 ) = cos 3150 (x – 1500 ) =  450 + k.3600 x = 1500  450 + k.3600 = 1500 + 450 + k.3600 = 1950 + k.3600 atau = 1500 – 450 + k.3600 = 1050 + k.3600 untuk k = 0 x = 1950 atau x = 1050 untuk k = 1 x = 5550 atau x = 4650 (x – 1500 ) =  3150 + k.3600 x = 1500  3150 + k.3600 = 1500 + 3150 + k.3600 = 4650 + k.3600 atau = 1500 – 3150 + k.3600 = - 1650 + k.3600 untuk k = 0 x = 4650 atau x = -1650 untuk k = 1 x = 8250 atau x = 1950 Karena 0 < x < 360 maka, x yang memenuhi adalah : x = 105 dan x = 195 jadi HP = { 105, 195} Jawaban : c 3. Nilai sin 450 cos 150 + cos 450 sin 150 = .... UAN 2004 a. ½ b. ½ 2 c. ½ 3 d. 1/3 2 e. 3 Penyelesaian : sin A cos B + cos A sin B = sin (A + B) sin 450 cos 150 + cos 450 sin 150 = sin (450 + 150 ) = sin 600 = ½ 3 Jawaban : c 4. Persamaan fungsi grafik di bawah ini adalah .... UAN 2004
  • 189. 294 trigonometri a. )(cos2 6 1  xy b. )(cos2 6 1  xy c. )(cos2 3 1  xy d. )(cos2 3 2  xy e. )(cos2 3 1  xy Penyelesaian : Garfiknya berbentuk y = a cos (kx + b) Dimana : a = 2 dan periodenya ⅓ maka, persamaan grafiknya adalah y = 2 cos (x + ⅓) Jawaban : c 5. Penyelesaian pertidaksamaan sin (x – 450 ) > ½ 3 untuk 3600  x adalah .... UAN 2004 a. 75 < x < 105 b. 75 < x < 165 c. 105 < x < 165 d. 0 < x < 75 atau 165 < x < 360 e. 0 < x < 105 atau 165 < x < 360 Penyelesaian : sin (x – 45) > ½ 3 sin (x – 45) > sin 60 atau sin (x – 45) > sin 120 295 trigonometri Karena 3600  x maka x yang memenuhi adalah : Titik uji : Untuk interval x < 105 x = 90  sin (90 – 45) > ½ 3 sin 45 > ½ 3 ½ 2 > ½ 3 tidak memenuhi Untuk interval 105 < x < 165 x = 135  sin (135 – 45) > ½ 3 sin 90 > ½ 3 1 > ½ 3 memenuhi Untuk interval x > 165 x = 180  sin (180 – 45) > ½ 3 sin 135 > ½ 3 ½ 2 > ½ 3 tidak memenuhi Jadi daerah yang memenuhi adalah 105 < x < 165 atau sin (x – 45) > ½ 3 sin (x – 45) > sin 60 atau sin (x – 45) > sin 120 165105
  • 190. 296 trigonometri 60 < x – 45 < 120 105 < x < 165 Jawaban : c 6. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2sin6 00  xx untuk 3600  x adalah .... UAN 2004 a. {15,105} b. {75,345} c. {15,195} d. {105,345} e. {75,195} Penyelesaian : 00 cos2sin6 xx  = 2 00 sin6cos2 xx  = 2 a cos x + b sin x = c k = 22 )6()2(  = 62  = 22 tan  = 2 6  )( )( )cos( )sin(      x y kuadran i = 2 12 a = 2 b = 6 c = 2 297 trigonometri = 2 32 = 3  = 600 22 cos (x – 600 ) = 2 cos (x – 600 ) = 22 2 cos (x – 600 ) = 2 2 1 cos (x – 600 ) = cos 450 atau cos (x – 600 ) = cos 3150 Karena 0 < x < 360 maka, x yang memenuhi adalah : x = 15 dan x = 105 jadi HP = { 15, 105 } Jawaban : a 7. Nilai x yang memenuhi persamaan 031cos.sin2cos32 2  xxx , untuk 00 3600  x adalah .... UAN 2005 a. 150 , 300 , 900 , 2700 b. 150 , 300 , 2700 , 3200 c. 300 , 900 , 2100 , 2700 d. 300 , 900 , 3200 , 3600 e. 300 , 900 , 2700 , 3600
  • 191. 298 trigonometri Penyelesaian : 31cos.sin2cos32 2  xxx = 0 1cos.sin23cos32 2  xxx = 0 12sin)1cos2(3 2  xx = 0 12sin2cos3  xx = 0 xx 2sin2cos3  = -1 a cos x + b sin x = c k = 22 )1()3(  = 13  = 2 tan  = 3 1  )( )( )cos( )sin(      x y kuadran iv = 3 3 1   = 3000 2 cos (2x – 3000 ) = -1 cos (2x – 3000 ) = 2 1 cos (2x – 3000 ) = cos 1200 atau cos (2x – 3000 ) = cos 2400 a = 3 b = -1 c = -1 x = 2x 299 trigonometri Karena 00 3600  x maka, x yang memenuhi adalah : x = 300 , x = 900 , x = 2100 , dan x = 2700 jadi HP = {300 , 900 , 2100 ,2700 } Jawaban : c 8. Nilai dari cos 4650 – cos 1650 adalah .... UAN 2006 a. 2 2 1 b. 3 2 1 c. 3 d. 6 2 1 e. 6
  • 192. 300 trigonometri Penyelesaian : cos A – cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) cos 4650 - cos 1650 = -2 sin ½ (4650 +1650 ) sin ½ (4650 – 1650 ) = -2 sin ½ (6300 ) sin ½ (3000 ) = -2 sin 3150 sin 1500 = -2              2 1 2 2 1 = 2 2 1 Jawaban : a 9. Nilai dari 00 00 15cos75cos 15sin105sin   adalah .... UAN 2007.B a. 3 b. -1 c. ½ d. ½ 3 e. 3 Penyelesaian : sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) cos A – cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) 00 00 15cos75cos 15sin105sin   = )1575(sin)1575(sin2 )15105(sin)15105(cos2 00 2 100 2 1 00 2 100 2 1   = )60(sin)90(sin2 )90(sin)120(cos2 0 2 10 2 1 0 2 10 2 1  = 00 00 30sin45sin2 45sin60cos2  301 trigonometri = 2 1 2 1  = -1 Jawaban : b 10. Nilai dari cos 400 + cos 800 + cos 1600 = .... UAN 2007.A a. 2 2 1  b. – ½ c. 0 d. ½ e. 2 2 1 Penyelesaian : cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) cos 400 + cos 800 + cos 1600 = 2 cos ½ (400 + 800 ) cos ½ (400 – 800 ) + cos 1600 = 2 cos ½ (1200 ) cos ½ ( – 400 ) + cos 1600 = 2 cos 600 cos (– 200 ) + cos 1600 = 2 cos 600 cos 200 + cos 1600 = 2 (½ ) cos 200 + cos 1600 = cos 200 + cos 1600 = 2 cos ½ (200 + 1600 ) cos ½ (200 – 1600 ) = 2 cos ½ (1800 ) cos ½ ( – 1400 ) = 2 cos 900 cos (– 700 ) = 2 . (0) . cos 700 = 0 Jawaban : c 11. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x0 + 7 sin x0 – 4 = 0, 3600  x adalah .... UAN 2008.A a. {240,300} b. {210,330} c. {120,240} d. {60,120}
  • 193. 302 trigonometri e. {30,150} Penyelesaian : cos 2x0 + 7 sin x0 – 4 = 0 1 – 2 sin2 x0 + 7 sin x0 – 4 = 0 - 2 sin2 x0 + 7 sin x0 – 3 = 0 2 sin2 x0 – 7 sin x0 + 3 = 0 mis: sin x0 = p maka, 2p2 – 7p + 3 = 0 ... x ... = 6 2p2 – p – 6p + 3 = 0 ... + ... = - 7 (2p2 – p) + (– 6p + 3) = 0 p(2p – 1) – 3(2p – 1) = 0 (p – 3)(2p – 1) = 0 p = 3 dan p = ½ sin x0 = 3 dan sin x0 = ½ tdk memenuhi sin x0 = sin 300 atau sin x0 = sin 1500 x0 = 300  k.3600 x = 30 + k.360 atau x = 300 - k.3600 untuk k = 0 x = 30 atau x = 30 untuk k = 1 x = 390 atau x = -330 x0 = 1500  k.3600 x = 150 + k.360 atau x = 150 - k.360 untuk k = 0 x = 150 atau x = 150 untuk k = 1 x = 510 atau x = - 210 Karena 3600  x , maka nilai x yang memenuhi adalah 30, 150 Jadi Hp = {30, 150} Jawaban : e 12. Nilai dari cos 1950 + cos 1050 adalah .... UAN 2008.A a. 6 2 1 b. 3 2 1 303 trigonometri c. 2 2 1 d. 0 e. 6 2 1  Penyelesaian : cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) cos 1950 + cos 1500 = 2 cos ½ (1950 + 1500 ) cos ½ (1950 – 1500 ) = 2 cos ½ (3000 ) cos ½ ( 900 ) = 2 cos 1500 cos 450 = 2              2 2 1 3 2 1 = 6 2 1  Jawaban : e 13. Nilai cos 750 adalah .... UAN 2008.A a.  26 4 1  b.  26 4 1  c.  26 2 1  d.  26 2 1  e.  23 3 1  Penyelesaian : cos 750 = cos (450 + 300 ) = cos 450 cos 300 – sin 450 sin 300 =                         2 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1
  • 194. 304 trigonometri = 2 4 1 6 4 1  =  26 4 1  Jawaban : b 14. Himpunan penyelesaian dari cos 2x0 + 7 sin x0 + 3 = 0, 3600  x adalah .... UAN 2008.B a. {0,90} b. {90,270} c. {30,130} d. {210,330} e. {180,360} Penyelesaian : cos 2x0 + 7 sin x0 + 3 = 0 1 – 2 sin2 x0 + 7 sin x0 + 3 = 0 - 2 sin2 x0 + 7 sin x0 + 4 = 0 2 sin2 x0 – 7 sin x0 - 4 = 0 mis: sin x0 = p maka, 2p2 – 7p - 4 = 0 ... x ... = - 8 2p2 + p – 8p - 4 = 0 ... + ... = - 7 (2p2 + p) + (– 8p - 4) = 0 p(2p + 1) – 4(2p + 1) = 0 (p – 4)(2p + 1) = 0 p = 4 dan p = -½ sin x0 = 4 dan sin x0 = -½ tdk memenuhi, sin x0 = sin 2100 atau sin x0 = sin 3300 305 trigonometri Karena 3600  x , maka nilai x yang memenuhi adalah 210, 330 Jadi Hp = {210, 330} Jawaban : d 15. Nilai dari sin 1050 + sin 150 adalah .... UAN 2008.B a. 6 2 1 b. 3 2 1 c. 2 2 1 d. 2 1 e. 6 3 1 Penyelesaian : sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) sin 1050 + sin 150 = 2 sin ½ (1050 + 150 ) cos ½ (1050 - 150 ) = 2 sin ½ (1200 ) cos ½ (900 ) = 2 sin 600 cos 450 = 2             2 2 1 3 2 1 = 6 2 1 Jawaban : a 16. Jika tan  = 1 dan tan  = 1/3 dengan  dan  sudut lancip, maka sin ( - ) = .... UAN 2008.B a. 5 3 2 b. 5 5 1
  • 195. 306 trigonometri c. 2 1 d. 5 2 e. 5 1 Penyelesaian : tan  = 1 tan  = 3 1 sin  = 2 2 1 sin  = 10 10 1 cos  = 2 2 1 cos  = 10 10 3 sin ( - ) = sin  cos  - cos  sin  =                         10 10 1 2 2 1 10 10 3 2 2 1 = 20 20 1 20 20 3  = 20 20 13        = 52. 20 2 = 5 5 1 Jawaban : b 307 trigonometri LATIHAN MANDIRI
  • 196. 308 trigonometri
  • 197. 327 diferensial 2. Diferensial (Turunan) x y   = aha afhaf h    )( )()( lim 0 )(' af = aha afhaf h    )( )()( lim 0 y' = f’(x) = dx dy = dx df = h xfhxf h )()( lim 0   A. Turunan fungsi aljabar 1. f(x) = k f’(x) = 0 2. f(x) = x f’(x) = 1 3. f(x) = xn f’(x) = nxn-1 4. f(x) = axn f’(x) = anxn-1 B. Operasi aljabar fungsi turunan 1. y = u  v y' = u’  v’ 2. y = u . v y' = u’v + v’u 3. y = v u y' = 2 '' v uvvu  y x ∆y = f (a + h) – f (a) f (a + h) f(t) a + ha f (a) ∆x = (a + h) – a MATERI 328 diferensial C. Turunan fungsi trigonometri 1. y = sin x y' = cos x 2. y = cos x y' = - sin x 3. y = tan x y' = sec2 x 4. y = sec x y' = sec x tan x 5. y = cosec x y' = - cosec x cot x 6. y = cot x y' = cosec2 x D. Aturan rantai 1. )()'( xgfo = f’(g(x)).g’(x) dx dy = dx du du dy  '' 1 unuy n  2. )()'( xhgf oo = f’(g(h(x))).g’(h(x)).h’(x) dx dy = dx dv dv du du dy Suatu fungsi mempunyai nilai maksimum atau minimum jika, turunan pertama adalah nol E. Persamaan garis singgung menggunakan konsep turunan Persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) melalui titik (a, f(a)) adalah y – f(a) = f (a)(x – a) sin x cos x - sin x - cos x
  • 198. 329 diferensial 1. Suatu garis menyinggung kurva 523 23  xxxy di titik T (1, -3). Persamaan garis singgung tersebut adalah .... UAN 2003 a. y = 5x – 7 b. y = 5x – 10 c. y = 7x – 3 d. y = 7x – 5 e. y = 7x – 10 Penyelesaian : 523)( 23  xxxxf 263)(' 2  xxxf 7)1(' f Karena m = f’(1) maka, m = 7 Jadi persamaan garis singgungnya adalah : y – (- 3) = 7 (x – 1) y + 3 = 7x – 7 y = 7x – 10 Jawaban : e m = f’(x) (x, y) y = f(x) CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 330 diferensial 2. Diketahui g(x) = )( 32 xf x  , f’ adalah turunan pertama dai f dan g’ adalah turunan pertama dari g. Jika f(1) = f’(1) = 1 maka, g’(x) = .... UAN 2003 a. -3 b. -1 c. 1 d. 3 e. 4 Penyelesaian : g (x) = )( 32 xf x   g’ (x) =  2 )( )(')32()(2 xf xfxxf  f (x) = f’(x) = 1 g’ (1) =  2 )1( )1(')3)1(2()1(2 f ff  = 2 )1( )1)(1()1(2  = 3 Jawaban : d 3. suatu peluru ditembakan ke atas. Tinggi peluru pada t detik dirumuskan oleh h(t) = 40t – 5t2 (dalam meter). Tinggi maksimum yang dapat ditempuh oleh peluru tersebut adalah .... UAN 2004 a. 75 meter b. 80 meter c. 85 meter d. 90 meter e. 95 meter Penyelesaian : h(t) = 40t – 5t2  h’(t) = 0 40 – 10t = 0 40 = 10t 4 = t h(4)= 40 (4) – 5 (4)2 = 160 – 80 = 80 meter Jawaban : b
  • 199. 331 diferensial 4. Turunan pertama dari fungsi 5 5 )(    x x xf adalah .... UAN 2004 a. 2 )5( 10   x b. 2 )5( 5 x c. 2 )5( 10 x d. 2 )5( 5 x e. 2 )5( 10 x Penyelesaian : f (x)= 5 5   x x  f’(x) = 2 )5( )5(1)5(1   x xx = 2 )5( 55   x xx = 2 )5( 10 x Jawaban : c 5. Turunan pertama dari y = cos2 (2x - ) adalah .... UAN 2004 a. -2 sin (4x - 2) b. - sin (4x - 2) c. -2 sin (2x - ) cos (2x - ) d. 4 sin (2x - ) e. 4 sin (2x - ) cos (2x - ) Penyelesaian : y = cos2 (2x - ) = { cos (2x - )}2 Misalnya : u = cos v  y = u2 332 diferensial v = 2x -  du dy = u2  )2cos(2  x du dy dv du = - sin v  )2sin(  x dv du dx dv = 2 dx dy = dx dv dv du du dy =    )2()2sin()2cos(2   xx = - 2 {2 cos (2x - ) sin (2x - )} = - 2 {2 sin (2x - ) cos (2x - )} = - 2 {sin 2(2x - )} = - 2 sin (4x - 2) Jawaban : a 6. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar di bawah ini. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah .... UAN 2005 a. 16 m b. 18 m c. 20 m d. 22 m e. 24 m Penyelesaian : Panjang kawat sama dengan keliling persegi panjang Keliling persegi panjang = 120 m lp 43  = 120 l4 = p3120  p l l
  • 200. 333 diferensial l = 4 3120 p Mis, luas persegi panjang adalah L(p) lppL 2)(  ) 4 3120 (2 p p   )3120( 2 1 pp  )( pL 2 2 3 60 pp  Maksimum artinya turunan pertamanya harus = 0 L ‘(p) = 0 60 – 3p = 0 60 = 3p 20 = p Jawaban : c 7. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya perjam ) 120 8004( x x  ratusan ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu .... UAN 2005 a. 40 jam b. 60 jam c. 100 jam d. 120 jam e. 150 jam Penyelesaian : Biaya total = biaya perjam dikalikan dengan waktu Mis : biaya total = B(x) )(xB = x x x ) 120 8004(  = 1208004 2  xx Biaya minimum untuk maksimumkan waktu jika turunan pertamanya = 0 B’(x) = 0 334 diferensial 8x – 800 = 0 8x = 800 x = 100 Jawaban : c 8. Suatu peluru ditembakan vertikal ke atas dengan kecepatan V0 m/t. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi h(t) = 5 + 20t – 5/4 t2 . Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah .... UAN 2006 a. 75 m b. 85 m c. 145 m d. 160 m e. 185 m Penyelesaian : Misalkan volumenya  V(x) = p  l  t = (40 – 2x)(25 – 2x)(x) = (1000 - 80x - 50x + 4x2 )(x) = 1000x – 130x2 + 4x3 Maksimum berarti : V’(x) = 0 1000 – 260x + 12X2 = 0 3x2 - 65x + 250 = 0 ...  ... = 750 3x2 - 15x – 50x + 250 = 0 ... + ... = - 65 (3x2 – 15x) - (50x – 250) = 0 3x(x – 5) - 50(x – 5) = 0 (3x – 50)(x – 5) =0 x = 50/3 dan x = 5 Jawaban : b
  • 201. 335 diferensial 9. Turunan dari f(x) = 3 22 )53(cos xx  adalah f’(x) = .... UAN 2005 a. 2/3 cos -1/3 (3x2 +5x) sin (3x2 + 5x) b. 2/3 (6x + 5) cos -1/3 (3x2 +5x) c. - 2/3 cos -1/3 (3x2 +5x) sin (3x2 + 5x) d. - 2/3 (6x + 5) tan (3x2 +5x) 3 22 )53(cos xx  e. 2/3 (6x + 5) tan (3x2 +5x) 3 22 )53(cos xx  Penyelesaian : f (x)= 3 22 )53(cos xx  =  3 1 )53(cos 22 xx  =  3 1 22 )53cos( xx  =  3 2 )53cos( 2 xx  Misalkan, u = cos (3x2 + 5x)  f(x) = u2/3 u = cos v  v = 3x2 + 5x du dy = 3 1 3 2  u  3 1 )53cos( 3 2 2   xx du dy dv du = - sin v  )53sin( 2 xx dv du  dx dv = 6x + 5 dx dy = dx dv dv du du dy = )56))(53sin(()53cos( 3 2 22 3 1   xxxxx = 3 1 )53cos( ))53sin()(56( 3 2 2 2 xx xxx   = 3 1 )53cos( ))53(sin( )56( 3 2 2 2 xx xx x    336 diferensial Jawaban : d 10. Turunan pertama dari y = (x - 3)(4x - 1)1/2 adalah y’ = .... UAN 2006 a. 14 2 x b. 14 52   x x c. 14 76   x x d. 142 3   x x e. 142 52   x x Penyelesaian : y = (x – 3)(4x – 1)1/2 misalkan, u = x – 3  u’ = 1 v = (4x – 1)1/2 misalkan, w = 4x – 1 v = w1/2  v’ = '. 2 1 2 1 ww  = )4()14( 2 1 2 1  x = 2 (4x – 1)-1/2 y’ = u’v + v’u = 1(4x – 1)1/2 + 2 (4x – 1)-1/2 (x – 3) = 14 )3(2 14    x x x = 14 62 14    x x x = 14 6214   x xx
  • 202. 337 diferensial = 14 76   x x Jawaban : c 11. Salah satu persamaan garis singgung kurva y = x2 + x – 11 di titik yang berordinat 1 adalah .... UAN 2006 a. y = 7x – 2 b. y = 7x – 4 c. y = 7x – 12 d. y = 7x – 20 e. y = 7x – 22 Penyelesaian : Ordinat 1 artinya y = 1 y = x2 + x – 11 1 = x2 + x – 11 0 = x2 + x – 12 ...  ... = - 12 0 = (x + 4)(x – 3) ... + ... = 1 x = - 4 dan x = 3  (- 4, 1) dan (3, 1) gradien dari y = x2 + x – 11 adalah : m = y’ = 2x + 1 untuk (- 4, 1)  m = 2(- 4) + 1  y – 1 = -7(x – (-4)) = -8 + 1 y – 1 = -7x + 28 = - 7 y = -7x + 29 Untuk (3,1)  m = 2(3) + 1  y – 1 = 7(x – 3) = 6 + 1 y – 1 = 7x - 21 = 7 y = 7x - 20 Jawaban : d 12. turunan dari y = cos3 (3 -2x) adalah y’ = .... UAN 2007.B a. 3 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x) b. - 3 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x) c. 6 cos (3 -2x) sin2 (3 -2x) d. - 6 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x) e. 6 sin (3 -2x) cos2 (3 -2x) Penyelesaian : y = cos3 (3 -2x)  y = {cos(3 -2x)}3 misalkan, u = cos v, v = 3 -2x 338 diferensial y = u3  2 3u du dy   )23(cos3 2 x du dy  u = cos v  v dv du sin  )23sin( x dv du  v = 3 -2x  2 dx dv dx dy = dx dv dv du du dy = 3 cos2 (3 -2x)(- sin (3 -2x))(-2) = 3 cos2 (3 -2x) 2 sin (3 -2x) = 6 sin (3 – 2x) cos2 (3 – 2x) Jawaban : e 13. Perhatikan gambar ! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapau maksimum jika koordinat titik R adalah .... UAN 2007.B a. (1, 2/5) b. (1, 5/2) c. (5/2, 1) d. (1/2, 15) e. (1/2, 15/4) Penyelesaian : Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan y adalah qp, dan panjang persegi panjang yang sejajar sumbu y adalah y, sedangkan lebar yang sejajar dengan sumbu x adalah x, maka untuk membentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan
  • 203. 339 diferensial pqpyqx  dan luas persegi panjang adalah xy seperti terlihat pada gambar di bawah ini : Sesuai dengan rumusan di atas maka persamaan grafiknya adalah 5x + 2y = 10  2y = 10 – 5x atau y = 2 510 x dan misalkan luas persegi panjang xyxL )( . Jika y = 2 510 x disubstitusi ke dalam persamaan xyxL )( akan diperoleh : )(xL = x 2 510 x = 2 510 2 xx  = 2 2 5 5 xx  Maksimum jika L’(x) = 0 5 – 5x = 0 5 = 5x 1 = x y = 2 510 x = 2 510  = 5/2 Jawaban : b 340 diferensial 14. Jika f(x) = sin2 (2x + /6), maka nilai dari f’(0) = .... UAN 2007. A a. 32 b. 2 c. 3 d. 3 2 1 e. 2 2 1 Penyelesaian : f(x) = sin2 (2x + /6)  f(x) = {sin(2x + /6)}2 misalkan u = sin v  v = 2x + /6 f’(x) = u2  du dy = 2u  du dy = 2 sin (2x + /6) u = sin v  dv du = cos v  dv du = cos (2x + /6) v = 2x + /6  dx dv = 2 dx dy = du dy dv du dx dv = 2 sin (2x + /6). cos (2x + /6). 2 = 2 {2 sin (2x + /6). cos (2x + /6)} = 2 {sin 2 (2x + /6)} f’(x) = 2 sin (4x + /3) f’(0) = 2 sin (4(0) + /3) = 2 sin /3 = 2 sin 600 = 2       3 2 1 = 3 Jawaban : c
  • 204. 341 diferensial 15. Perhatikan gambar ! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapau maksimum jika koordinat titik M adalah .... UAN 2007.A a. (2, 5) b. (2, 5/2) c. (2, 2/5) d. (5/2, 2) e. (2/5, 2) Penyelesaian : Misalkan titik potong masing-masing garis dengan sumbu x dan y adalah qp, dan panjang persegi panjang yang sejajar sumbu y adalah y, sedangkan lebar yang sejajar dengan sumbu x adalah x, maka untuk membentuk grafik persamaan linier dirumuskan dengan pqpyqx  dan luas persegi panjang adalah xy seperti terlihat pada gambar di bawah ini : 342 diferensial Sesuai dengan rumusan di atas maka persamaan grafiknya adalah 5x + 4y = 20  4y = 20 – 5x atau y = x 4 5 5  dan misalkan luas persegi panjang xyxL )( . Jika y = x 4 5 5  disubstitusi ke dalam persamaan xyxL )( akan diperoleh : )(xL = x        x 4 5 5 = 2 4 5 5 xx  Maksimum jika L’(x) = 0 x 2 5 5  = 0 5 = x 2 5 10 = 5x x = 2 y = x 4 5 5  = )2( 4 5 5  = 2 5 5  = 2 510  = 2 5 Jadi maksimum jika M(2, 5/2) Jawaban : b
  • 205. 343 diferensial 16. Diketahui f(x) = 12 32   x x . Jika f’(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2 f’(0) = .... UAN 2008. A a. - 10 b. – 9 c. – 7 d. – 5 e. – 3 Penyelesaian : f(x) = 12 32   x x  f(0) = 1)0(2 3)0( 2   = 1 3 = 3 misalkan, u = x2 + 3  u’=2x v = 2x + 1  v’ = 2 f’(x) = 2 '' v uvvu  = 2 2 )12( )3(2)12(2   x xxx = 2 22 )12( 6224   x xxx = 2 2 )12( 622   x xx f’(0)= 2 2 )1)0(2( 6)0(2)0(2   = 2 )10( 600   = - 6 f(0) + 2 f’(0)= 3 + 2 (- 6) 344 diferensial = 3 – 12 = - 9 Jawaban : b 17. Suatu proyek direncanakan selesai dalam waktu x hari dan akan menelan biaya (3x + x 1200 - 60) ribu rupiah. Waktu yang dibutuhkan untuk proyek tersebut agar biayanya minimum adalah .... UAN 2008.A a. 10 hari b. 20 hari c. 30 hari d. 60 hari e. 80 hari Penyelesaian : Biaya perhari = (3x + x 1200 - 60) ribu rupiah Waktu = x hari Biaya total B(x) = waktu . biaya perhari = x (3x + x 1200 - 60) = 3x2 + 1200 – 60x atau = 3x2 – 60x + 1200 Meminimumkan biaya, artinya memaksimumkan waktu : Maksimum jika B’(x) = 0 6x – 60 = 0 6x = 60 x = 10 Jawaban : a 18. Turunan pertama dari y = 4 1 sin 4x adalah y’ = .... UAN 2008.A a. – cos 4x b. 16 1  cos 4x c. 2 1  cos 4x
  • 206. 345 diferensial d. cos 4x e. 16 1 cos 4x Penyelesaian : y = 4 1 sin 4x misalkan, y = 4 1 u  du dy = 4 1 u = sin v  dv du = cos v  dv du = cos 4x v = 4x  dx dv = 4 dx dy = du dy dv du dx dv = 4 1 (cos 4x)(4) = 4 1 (4) (cos 4x) = cos 4x Jawaban : d 19. Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai f’(3) = .... UAN 2008.B a. 85 b. 101 c. 112 d. 115 e. 125 Penyelesaian : f(x) = 3x3 + 4x + 8 f’(x) = 9x2 + 4 f’(3) = 9(3)2 + 4 = 9 (9) + 4 346 diferensial = 81 + 4 = 85 Jawaban : a 20. Turunan pertama y = cos (2x + 1) adalah y’ = .... UAN 2008.B a. – sin (2x + 1) b. – 2 sin (2x + 1) c. 2 1 sin (2x + 1) d. Sin (2x + 1) e. 2 sin (2x + 1) Penyelesaian : y = cos (2x + 1) misalkan u = cos v  v = 2x + 1 y = u du dy = 1 u = cos v dv du = - sin v  dv du = - sin (2x + 1) v = 2x + 1 dx dv = 2 dx dy = du dy dv du dx dv = 1{- sin (2x + 1)}{2} = 2{- sin (2x + 1)} = - 2 sin (2x + 1) Jawaban : b
  • 207. 347 diferensial 1. Pak bambang akan memagari kandang ayam berbentuk persegi panjang yang terletak di samping tembol rumahnya seperti pada gambar di bawah ini. Pagar kawat yang tersedia 100 m dan pada sisi tembok tidak diberi pagar. Ukuran luas kandang yang maksimum adalah .... a. 725 m2 b. 659 m2 c. 625 m2 d. 500 m2 e. 450 m2 2. Sehelai karton akan dibentuk kotak ABCD.EFGH tanpa tutup, dengan alas ABCD persegi. Jika semua jumalh luasnya sama dengan 432 cm2 , maka volume kotak terbesar adalah .... a. 432 cm3 b. 649 cm3 c. 720 cm3 d. 864 cm3 e. 972 cm3 3. Jika f(x) = 3 2 )23(sin x maka turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) = .... a. 3 )23sin( )23cos(   x x b. 3 )23sin(2 )23cos(   x x c. 3 )23sin(3 )23cos(   x x d. 3 )23sin( )23cos(2   x x e. 3 )23sin(3 )23cos(2   x x LATIHAN MANDIRI 348 diferensial 4. Turunan pertama dari f(x) = 1 12   x x adalah f’(x), maka nilai f’(2) adalah .... a. 4 b. 2 c. 1 d. – 1 e. – 2 5. Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 – 9x2 + 5x – 2 di titik yang berabsis 1 adalah .... a. x + 7y + 3 = 0 b. x + 7y - 3 = 0 c. 7x - y + 3 = 0 d. 7x + y - 3 = 0 e. 7x + 7y + 3 = 0 6. Diketahui fungsi f(x) = (x + sin 3x) dan g(x) = x2 . Jika u(x) = g(f(x)), maka turunan pertama dari u(x) adalah u’(x) = .... a. 2 (x + sin 3x + 3x sin 3x + 3 sin2 3x) b. 2x + 2 sin 3x + 6x cos 3x + 3 sin 6x c. 2x + 6 sin 3x + cos 3x d. 2(x + sin 3x + 3 sin 3x + sin2 3x) e. 2x + 6 sin 3x + 3x cos 3x + sin 3x cos 3x 7. Garis singgung pada parabola y = x2 – 4 yang tegak lurus pada garis y = x + 3 dan memotong sumbu y di titik .... a. (0, -13/4) b. (0, -15/4) c. (0, -17/4) d. (0, -19/4) e. (0, -21/4)
  • 208. 354 integral 4. Integral tak tentu & integral tertentu dari fungsi aljabar & fungsi tirgonometri A. Integral tak tentu   f(x) dx = F(x) + c   dx = x + c   a dx = a  dx = ax + c   axn dx = cx n a n   1 1   {f(x)  g(x)} dx =  f(x) dx   g(x) dx B. Integral tertentu  )()()()( aFbFxFdxxf b a b a     a b b a dxxfdxxf )()(    a a dxxf 0)(    c b b a c a dxxfdxxfdxxf )()()( , dengan a < b < c    b a b a dxxfkdxxkf )()(       b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( MATERI 355 integral C. Integral fungsi trigonometri   sin x dx = - cos x + c   cos x dx = sin x + c   sec2 x dx = tan x + c   sec x tan x dx = sec x + c   cosec x cotan x dx = - cosec x + c   sin (ax + b) dx = a 1  cos (ax + b) + c   cos (ax + b) dx = a 1 sin (ax + b) + c D. Integral substitusi  f(x) dx =  u du = F(x) + c Jika u = g(x), maka  f(g(x)).g’(x) dx = F(g(x)) + c E. Integral parsial  u dv = uv -  v du F. Integral tanzalin Jika fungsi u turunannya mencapai nol dan integral dari dv ada maka, dapat diselesaikan dengan cara tanzalin.
  • 209. 356 integral 1. Hasil dari 2 0 2 )sin(cos  dxxx = .... UAN 2003 a. 1/3 b. ½ c. 1/3  d. ½  e.  Penyelesaian : 2 0 cos  x sin2 x dx Misalkan : u = sin x  du = cos x dx 2 0 2 sin  x cos x dx = 2 0 2  u du = 2 0 3 3 1      u = 2 0 3 sin 3 1      x =  2 0 3 )(sin 3 1  x =  33 )0sin()2/sin( 3 1  =  33 )0()1( 3 1  = 3 1 CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 357 integral Jawaban : a 2.  2 1 sin x x dx = .... UAN 2003 a. Sin x2 + c b. Cos x + c c. Sin 1/x + c d. Cos 1/x + c e. Cos x2 + c Penyelesaian :  2 1 sin x x dx Misalkan : u = sin x 1  u = sin x-1 du = 2 1 x  dx  du = - x-2 dx - du = x-2 dx  sin x-1 x-2 dx =  u( – du) = -  u du = -  sin x-1 d(x-1 ) = - (- cos x-1 ) + c = cos x-1 + c = cos x 1 + c Jawaban : d 3.  x2 cos x dx = .... UAN 2003 a. x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + c b. x2 sin x - 2x cos x – 2 sin x + c c. x2 sin x - 2x cos x + 2 sin x + c
  • 210. 358 integral d. x2 cos x + 2x cos x – 2 cos x + c e. x2 cos x - 2x cos x – 2 cos x + c Penyelesaian :  x2 cos x dx misalnya : u = x2  du = 2x dv = cos x dx  v =  dv =  cos x dx = sin x  x2 cos x dx =  u dv = uv - v du = x2 (sin x) -  sin x 2x dx = x2 (sin x) -  2x sin x dx misalkan : u = 2x  du = 2 dv = sin x dx  v =  dv =  sin x dx = - cos x  2x sin x dx = 2x(- cos x) -  - cos x 2 dx = - 2x cos x - (- 2 cos x dx) = - 2x cos x +  2 cos x dx = - 2x cos x + 2  cos x dx = -2x cos x + 2 ( sin x) + c = - 2x cos x +2 sin x + c = x2 sin x – (- 2x cos x +2 sin x) + c = x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + c Atau dengan cara tanzalin : X2 cos x dx 2x 2 0 Sin x - cos x - sin x Tanda + - +  359 integral = x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + c Jawaban : a 4. Nilai dari 6 0 3cos7sin4  dxxx = .... UAN 2004 a. -3/20 b. -13/10 c. -5/7 d. 13/10 e. 17/20 Penyelesaian : 6 0 3cos7sin4  dxxx = 2 6 0 3cos7sin2  dxxx  2 sin A cos B = sin (A + B) sin (A - B) = 2 6 0 )4sin10(sin  dxxx = 2 { 6 0 10sin  dxx + 6 0 4sin  dxx } = 2 6 0 4cos 4 1 10cos 10 1       xx = - 2 6 0 4cos 4 1 10cos 10 1       xx = - 2                                )0(4cos 4 1 )0(10cos 10 1 6 4cos 4 1 6 10cos 10 1  = - 2                                0cos 4 1 0cos 10 1 3 2 cos 4 1 3 5 cos 10 1  = - 2                     0cos 4 1 0cos 10 1 120cos 4 1 300cos 10 1
  • 211. 360 integral = - 2                                )1( 4 1 )1( 10 1 2 1 4 1 2 1 10 1 = - 2                     4 1 10 1 8 1 20 1 = - 2                      40 104 40 52 = - 2         40 14 40 3 = - 2       40 17 = 20 17 Jawaban : e 5. Hasil dari  16 (x + 3) cos (2x - ) dx = .... UAN 2004 a. 8 (2x + 6) sin (2x - ) + 4 cos (2x - ) + c b. 8 (2x + 6) sin (2x - ) - 4 cos (2x - ) + c c. 8 (x + 3) sin (2x - ) + 4 cos (2x - ) + c d. 8 (x + 3) sin (2x - ) - 4 cos (2x - ) + c e. 8 (x + 3) cos (2x - ) + 4 sin (2x - ) + c Penyelesaian :  16 (x + 3) cos (2x - ) dx = 16  (x + 3) cos (2x - ) dx (x + 3) cos (2x - ) dx 1 0 ½ Sin (2x- ) ¼ cos (2x- ) Tanda + - = 16  (x + 3) cos (2x - ) dx = 16 [(x + 3) ½ sin (2x - ) + ¼ cos (2x - )] + c = 16 [ ½ (x + 3) sin (2x - ) + ¼ cos (2x - )] + c = 8 (x + 3)sin (2x - ) + 4 cos (2x - )] + c  361 integral Jawaban : c 6. Hasil dari  cos5 x dx = .... UAN 2005 a. -1/6 cos6 x sin x + c b. 1/6 cos6 x sin x + c c. - sin x + 2/3 sin3 x + 1/5 sin5 x + c d. sin x - 2/3 sin3 x + 1/5 sin5 x + c e. sin x + 2/3 sin3 x + 1/5 sin5 x + c Penyelesaian :  cos5 x dx =  cos4 x cos x dx = ( cos2 x)2 cos x dx =  (1 – sin2 x)2 cos x dx misalkan : u = sin x  du = cos x dx =  (1 – sin2 x)2 d(sin x) =  (1 – 2 sin2 x + sin4 x) d(sin x) = sin x - ⅔ sin3 x + ⅕ sin5 x + c Jawaban : d 7. Hasil dari dxxx  1 0 2 133 = .... UAN 2005 a. 7/2 b. 8/3 c. 7/3 d. 4/3 e. 2/3 Penyelesaian : dxxx  1 0 2 133 =   dxxx  1 0 2 1 2 133 =   dxxx 313 1 0 2 1 2   misalkan : u = 3x2 + 1  du = 6x dx 3x dx = ½ du
  • 212. 362 integral = duu 2 11 0 2 1  = duu 1 0 2 1 2 1 = ½ [ ⅔u3/2 ]1 0 = ⅓ [u3/2 ]1 0 = ⅓ [u1/2+2/2 ]1 0 = ⅓ [u1/2 u]1 0 = ⅓ [ u . u]1 0 = ⅓ [ 13 2 x . (3x2 + 1)]1 0 = ⅓ [{ 1)1(3 2  . (3(1)2 + 1)} - { 1)0(3 2  . (3(0)2 + 1)}] = ⅓ [{ 4 . (4)} - { 1 . (1)}] = ⅓ [{2(4)} - {1 (1)}] =⅓ [8 - 1] =⅓(7) = 7/3 Jawaban : c 8. Nilai 2 0 sin2cos  dxxx = .... UAN 2006 a. – 2/3 b. – 1/3 c. 0 d. 1/3 e. 2/3 Penyelesaian : 2 0 sin2cos  dxxx 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) Cos A sin B = ½ [sin (A + B) – sin (A – B)] = ½ [sin (2x + x) – sin (2x – x)] 363 integral = ½ [sin 3x – sin x] =   2 0 sin3sin 2 1  dxxx =   2 0 sin3sin 2 1  dxxx = 2 1 2 0 cos3cos 3 1       xx = 2 1                                 )0cos()0(3cos 3 1 2 cos 2 3cos 3 1  = 2 1                     0cos0cos 3 1 2 cos 2 3 cos 3 1  = 2 1                     1)1( 3 1 0)0( 3 1 = ½ [(0) – (- ⅓ + 3/3)] = ½ [0 – (⅔)] = ½ (-⅔) = - ⅓ Jawaban : b 9. Diketahui 50)4)(23( 1  t dppp . Nilai 3t = .... UAN 2007. B a. 12 b. 9 c. 6 d. 3 e. 2 Penyelesaian :   t dppp 1 )4)(23( = 50   t dpppp 1 2 )28312( = 50
  • 213. 364 integral   t dppp 1 2 )8103( = 50  t ppp 1 23 85  = 50 {t3 + 5t2 – 8t} – {13 + 5(1)2 – 8(1)} = 50 (t3 + 5t2 – 8t) – (1 + 5 – 8) = 50 t3 + 5t2 – 8t – (- 2) = 50 t3 + 5t2 – 8t + 2 = 50 t3 + 5t2 – 8t - 48 = 0 faktor dari 48 adalah :  1,  2,  3,  4,  6,  8,  12,  16,  24,  48 karena f(3) = 0 maka, faktornya adalah t = 3 jadi nilai 3t = 3.3 = 9 Jawaban : b 10. Diketahui   3 2 )123( a dxxx = 25. Nilai dari ½ a = .... UAN 2007 A a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2 Penyelesaian :   3 2 )123( a dxxx = 25  323 axxx  = 25 {33 + 32 + 3} – {a3 + a2 + a} = 25 {27 + 9 + 3} – a3 - a2 - a = 25 39 – a3 - a2 - a = 25 14 – a3 - a2 - a = 0 a3 + a2 + a – 14 = 0 faktor dari 14 adalah :  1,  2,  7,  14 karena f(2) = 0 maka, faktornya adalah a = 2 jadi nilai½ a = ½ (2) = 1 365 integral Jawaban : d 11. Hasil dari   0 1 532 )2( dxxx = .... UAN 2008 A a. 85/3 b. 75/3 c. 63/18 d. 58/18 e. 31/18 Penyelesaian :   0 1 532 )2( dxxx misalkan :   0 1 253 )2( dxxx u = x3 + 2  du = 3x2 dx x2 dx = ⅓ du  0 1 5 u ⅓ du = ⅓  0 1 5 u du = ⅓ [⅙u6 ] 0 1 = 1/18 [u6 ] 0 1 = 1/18 [(x3 + 2)6 ] 0 1 = 1/18 [{(03 + 2)6 } – {((-1)3 + 2)6 }] = 1/18 [(0 + 2)6 – (-1 + 2)6 ] = 1/18 [26 – 16 ] = 1/18 [64 – 1] = 1/18 [63] = 63/18 Jawaban : c 12. Hasil dari  cos2 x sin x dx adalah .... UAN 2008 A a. ⅓ cos3 x + c b. - ⅓ cos3 x + c c. - ⅓ sin3 x + c d. ⅓ sin3 x + c
  • 214. 366 integral e. 3 sin3 x + c Penyelesaian :  cos2 x sin x dx misalnya : u = cos x  du = - sin x dx sin x dx = - du  cos2 x sin x dx =  u2 – du = -  u2 du = - [⅓u3 ] + c = - [⅓cos3 x] + c = - ⅓ cos3 x + c Jawaban : b 13. Hasil dari  sin2 x cos x dx = .... UAN 2008 A a. ⅓ cos3 x + c b. - ⅓ cos3 x + c c. - ⅓ sin3 x + c d. ⅓ sin3 x + c e. 3 sin3 x + c Penyelesaian :  sin2 x cos x dx misalnya : u = sin x  du = cos x dx  sin2 x cos x dx =  u2 du = [⅓u3 ] + c = [⅓ sin3 x] + c = ⅓ sin3 x + c Jawaban : d 14. Hasil dari    4 1 2 3 dxx = .... UAN 2008 B a. 56 ½ b. 58 ½ c. 60 ½ d. 62 ½ e. 64 ½ 367 integral Penyelesaian :    4 1 2 3 dxx =    4 1 2 96)( dxxx =    4 1 96 dxxx =           4 1 2 1 96 dxxx = 4 1 2 3 2 94 2 1        xxx =               )1(9)1(4)1( 2 1 )4(9)4(4)4( 2 1 2 3 2 3 2 =               )1(9)1(4)1( 2 1 )4(9)2(4)16( 2 1 2 3 22 3 2 =               )1(9)1(4)1( 2 1 )4(9)2(4)16( 2 1 33 =          94 2 1 36328 = (76) -       2 27 = 2 27152  = 2 125 = 62 ½ Jawaban : d 15. Sebuah kurva y = f(x) melalui titik A(2, 0). Jika persamaan gradien di titik A adalah dx dy = 2x - 4 maka, persamaan kurva tersebut adalah ....
  • 215. 368 integral a. f(x) = x2 - 4x – 4 b. f(x) = x2 - 4x + 4 c. f(x) = x2 + 4x – 4 d. f(x) = x2 + 4x + 4 e. f(x) = - x2 - 4x + 4 Penyelesaian : dx dy = 2x - 4 dy = (2x – 4) dx  dy =  (2x – 4) dx y = x2 – 4x + c kurva melalui titik A(2, 0) artinya 0 = (2)2 – 4(2) + c 0 = 4 – 8 + c 0 = - 4 + c 4 = c Maka y = x2 – 4x + 4 Jawaban : b 16. Apabila gradien kurva f yang melalui titik (1, 1) diketahui f’(x) = 6x2 + 4, maka rumus fungsi f tersebut adalah .... a. f(x) = -2x3 + 4x + 5 b. f(x) = -2x3 + 4x – 5 c. f(x) = 2x3 + 4x + 5 d. f(x) = 2x3 + 4x – 5 e. f(x) = 2x3 - 4x – 5 Penyelesaian : f’(x) = 6x2 + 4 dx dy = 6x2 + 4 dy = (6x2 + 4) dx  dy =  (6x2 + 4) dx y = 2x3 + 4x + c kurva melalui titik A(1, 1) artinya 369 integral 1 = 2(1)3 + 4(1) + c 1 = 2 + 4 + c 1 = 6 + c - 5 = c Maka y = 2x3 + 4x - 5 Jawaban : d 17. Diketahui kecepatan suatu benda ialah v(t) = 6t2 – 8t dan posisi benda pada jarak – 5 untuk t = 0, maka rumus fungsi dari s(t) = .... a. s(t) = 2t3 + 4t2 + 5 b. s(t) = 2t3 + 4t2 – 5 c. s(t) = 2t3 - 4t2 – 5 d. s(t) = 2t3 - 4t2 + 5 e. s(t) = 2t3 - 4t2 – 5 Penyelesaian : v(t) = 6t2 – 8t v = s/t  v(t) = dt ds dt ds = 6t2 – 8t ds = (6t2 – 8t) dt  ds =  (6t2 - 8t) dt s = 2t3 - 4t2 + c posisi benda pada jarak – 5 untuk t = 0 artinya - 5 = 2(0)3 - 4(0)2 + c - 5 = 0 - 0 + c - 5 = 0 + c - 5 = c Maka s = 2t3 – 4t2 - 5 Jawaban : c
  • 216. 370 integral 1.    dx xx x 4 2 2 = .... a. (x2 + 4x)3/2 + c b. x2 + 4x + c c. (x2 + 4x)2/ 3 + c d. (x2 + 4x)1/2 + c e. (x2 + 4x)-1/2 + c 2. Nilai dari 4 0 3cos5cos  xdxx adalah .... a. ¼ b. ½ c. 2/3 d. 1 e. 3/2 3. Diketahui   t dppp 1 2 3)563( . Nilai 3t = .... a. 2 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15 4.  4 0 ....)cos3sin7(  dxxx a. 227  b. 247  c. 247  d. 227  e. 223  LATIHAN MANDIRI 371 integral 5. Hasil dari  3 sin (5x + 2) dx = .... a. – 3/5 cos (5x + 2) + c b. 5/3 cos (5x + 2) + c c. 3/5 cos (5x + 2) + c d. – 5/2 cos (5x + 2) + c e. 2/5 cos (5x + 2) + c 6. Hasil dari  x2 sin x dx = .... a. x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + c b. x2 cos x + 2x sin x - 2 cos x + c c. - x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + c d. - x2 cos x + 2x sin x - 2 cos x + c e. - x2 cos x - 2x sin x - 2 cos x + c 7. Persamaan polinom yang melalui (6, 4) menyinggung garis f”(x) = 2 (x - 1) dan titik tersebut sejajar dengan garis x + y – 3 = 0 adalah .... f(x) = 1/3x3 – x2 – 25x + 118 8. Gradien garis singgung disembarang titik pada suatu kurva ditentukan oleh rumus y’ = 3x2 – 6x + 2. Jika kurva tersebut melalui titik (1, - 5), maka persamaan kurvanya adalah .... y = x3 – 3x2 + 2x - 5
  • 217. 309 Limit fungsi Standar Kompetensi Lulusan (SKL) V : Memahami kosep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. Ruang Lingkup Materi (RLM) : Kalkulus Operasional RLM :  Limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri  Turunan fungsi  Nilai ekstrim dan aplikasinya  Integral tak tentu dan integral tertentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri  Luas daerah dan volum benda putar, fungsi aljabar yang sederhana PEMETAAN SKL 310 Limit fungsi 1. Limit A. Limit fungsi aljabar 1. Hasil yang harus dihindari dalam penyelesaian limit adalah : 0 0 ,   ,  ,  , 0 , 0 0 , 0  ,  a (hasilnya tidak tentu) 2. Untuk menghindarinya digunakan :  Metode pemfaktoran Mis, )( )( lim xg xf ax = )( )( ag af = 0 0 , maka dapat difaktorkan menjadi )( )( lim xg xf ax = )().( )().( lim xqax apax ax    = )( )( lim xq ap ax , dengan p(a)0 dan q(a)0  Mengalikan dengan faktor lawan  Mis, )( )( lim xg cxf ax   = )( )( ag caf  = 0 0 , dikalikan faktor lawannya )( )( lim xg cxf ax   = cxf cxf xg cxf ax      )( )( )( )( lim  Mis, cxg xf ax  )( )( lim = cag af )( )( = 0 0 , dikalikan faktor lawannya MATERI
  • 218. 311 Limit fungsi cxg xf ax  )( )( lim = cxg cxg cxg xf ax     )( )( )( )( lim 3. Limit fungsi aljabar ( x )  Membagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut Misalkan, )( )( lim xg xf x  = )()( )()( xgdaritertinggipangkatdengandibagixg xfdaritertinggipangkatdengandibagixf  Mengalikan dengan faktor lawan Misalkan,  )()(lim xgxf x   =               )()( )()( )()(lim xgxf xgxf xgxf x catatan 0lim   nx x a B. Teorema limit  )(lim xf ax = k   )()(lim xgxf ax   = )(lim xf ax  )(lim xg ax   )()(lim xgxf ax   = )(lim xf ax  )(lim xg ax         )( )( lim xg xf ax = )(lim )(lim xg xf ax ax    )(.lim xfc ax = c . )(lim xf ax   n ax xf )(lim  =  n ax xf )(lim   n ax xf )(lim  = n ax xf )(lim  , dengan 0)(lim   xf ax , untuk n bilangan genap 312 Limit fungsi C. Limit fungsi trigonometri  x x x sin lim 0 = x x x sin lim 0 = 1  x x x tan lim 0 = x x x tan lim 0 = 1  x x x tan sin lim 0 = x x x sin tan lim 0 = 1 Dari ketentuan di atas diperoleh :  bx ax x sin lim 0 = bx ax x sin lim 0 = b a  bx ax x tan lim 0 = bx ax x tan lim 0 = b a  bx ax x tan sin lim 0 = bx ax x sin tan lim 0 = b a
  • 219. 313 Limit fungsi 1. Nilai dari  )52()12)(52(lim   xxx x = .... UAN 2003 a. 2 b. 3 c. 7 d. 9 e. 14 Penyelesaian :  )52()12)(52(lim   xxx x =  22 )52(51024lim   xxxx x =  25204584lim 22   xxxx x = 25204584 25204584 25204584lim 22 22 22     xxxx xxxx xxxx x =    25204584 2520458425204584 lim 22 2222    xxxx xxxxxxxx x =     25204584 25204584 lim 22 22    xxxx xxxx x = 25204584 3012 lim 22    xxxx x x = 222 2 222 2 25204584 3012 lim xx x x x xx x x x xx x x    CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 314 Limit fungsi = 22 25204584 3012 lim xxxx x x    = 004004 012   = 44 12  = 22 12  = 4 12 = 3 Jawaban : b 2. )tan()(2 lim       xx x x = .... UAN 2003 a. ½ b. ¼ c. 2/4 d. ⅓ e. ⅖ Penyelesaian : )tan()(2 lim       xx x x =                                 x x x x x x x tan2 lim = 11.2 1 lim x
  • 220. 315 Limit fungsi = 3 1 Jawaban : d 3.          82 3 4 2 lim 222 xxxx = .... UAN 2004 a. 12 7  b. 4 1  c. 12 1  d. 24 1  e. 0 Penyelesaian :          82 3 4 2 lim 222 xxxx =          )4)(2( 3 )2)(2( 2 lim 2 xxxxx =          )4)(2)(2)(2( )2)(2(3)4)(2(2 lim 2 xxxx xxxx x =            )4)(2)(2)(2( )2(3)4(2)2( lim 2 xxxx xxx x =          )4)(2)(2( 6382 lim 2 xxx xx x =          )4)(2)(2( 2 lim 2 xxx x x 316 Limit fungsi =          )4)(2)(2( )2( lim 2 xxx x x =          )4)(2( 1 lim 2 xxx = )42)(22( 1   = )6)(4( 1 = 24 1 Jawaban : d 4. Nilai          103 )2sin()6( lim 22 xx xx x = .... UAN 2004 a. 4 3 b. 7 4 c. 5 2 d. 0 e. 1 Penyelesaian :          103 )2sin()6( lim 22 xx xx x =          )5)(2( )2sin()6( lim 2 xx xx x =             )2( )2sin( 5 )6( lim 2 x x x x x
  • 221. 317 Limit fungsi =          5 6 lim 2 x x x = 52 62   = 7 4  Jawaban : b 5. Nilai dari xx x x 2121 4 lim 0  = .... UAN 2005 a. -2 b. 0 c. 1 d. 2 e. 4 Penyelesaian : xx x x 2121 4 lim 0  = xx xx xx x x 2121 2121 2121 4 lim 0     =   )21()21( 21214 lim 0 xx xxx x    =   x xxx x 4 21214 lim 0    =  xx x 2121lim 0   = -  xx x 2121lim 0   = -1  0101  = -1  11  = -1 (1 + 1) 318 Limit fungsi = -1 (2) = -2 Jawaban : a 6. Nilai dari 30 2 2cos3sin3sin lim x xxx x   = .... UAN 2005 a. ½ b. ⅔ c. 3/2 d. 2 e. 3 Penyelesaian : 30 2 2cos3sin3sin lim x xxx x   = 30 2 )2cos1(3sin lim x xx x   =   3 2 0 2 )sin21(13sin lim x xx x   = 3 2 0 2 )sin2(3sin lim x xx x = 3 2 0 )(sin3sin lim x xx x = x x x x x x x sin . sin . 3sin lim 0 = x x x 3sin lim 0 = 3. 3 1 . 3sin lim 0 x x x = 3. 3 3sin lim 0 x x x = 3lim 0x
  • 222. 319 Limit fungsi = 3 Jawaban : e 7. Nilai 6 4223 lim 6    x xx x = .... UAN 2006 a. -1/4 b. -1/8 c. 0 d. 1/8 e. ¼ Penyelesaian : 6 4223 lim 6    x xx x = 4223 4223 6 4223 lim 6       xx xx x xx x =  4223)6( )42()23( lim 6    xxx xx x =  4223)6( 6 lim 6    xxx x x =  4223 1 lim 6  xxx =  4)6(22)6(3 1  = 1616 1  = 44 1  = 8 1 320 Limit fungsi Jawaban : d 8. Nilai 8 4 lim 3 2 2    x x x = .... UAN 2007.B a. 1/3 b. ½ c. 1 d. 3/2 e. 2 Penyelesaian : 8 4 lim 3 2 2    x x x = )42)(2( )2)(2( lim 22    xxx xx x = )42( )2( lim 22    xx x x = )4)2(22( )22( 2   = 444 4  = 12 4 = 3 1 Jawaban : a 9. Nilai x xx x 2cos21 tan lim 0  = .... UAN 2007.B a. -1 b. - ½ c. 0 d. ½
  • 223. 321 Limit fungsi e. 2 Penyelesaian : x xx x 2cos21 tan lim 0  = )sin21(1 tan lim 20 x xx x  = x xx x 20 sin2 tan lim  = )sin(sin2 tan lim 0 xx xx x = x x x x x sin tan sin lim 2 1 0 = 2 1 Jawaban : d 10. 154 6 lim 2 3    x xx x = .... UAN 2007.A a. -8 b. -6 c. 6 d. 8 e. ∞ Penyelesaian : 154 6 lim 2 3    x xx x = 154 154 154 6 lim 2 3       x x x xx x =   )15(16 154)2)(3( lim 3    x xxx x 322 Limit fungsi =   155 154)2)(3( lim 3    x xxx x =   )3(5 154)2)(3( lim 3    x xxx x =   5 154)2( lim 3    xx x =  154)2(lim 5 1 3   xx x =  1154)23( 5 1  =  164)5( 5 1  =  8)5( 5 1  = - 8 Jawaban : a 11. Nilai )tan( 2cos1 lim 2 10 xx x x   = .... UAN 2007. A a. -4 b. -2 c. 1 d. 2 e. 4 Penyelesaian : )tan( 2cos1 lim 2 10 xx x x   = )tan( )sin21(1 lim 2 1 2 0 xx x x  
  • 224. 323 Limit fungsi = )tan( sin2 lim 2 1 2 0 xx x x = )tan( sinsin2 lim 2 10 xx xx x = )tan( sinsin lim2 2 10 x x x x x = )2( 2 1 )tan( sin lim2 2 10 x x x = )2( tan sin lim2 0 x x x = x x x tan sin lim4 0 = 4 Jawaban : e 12. Nilai dari 3 98 lim 2 9    x xx x = .... UAN 2008.A a. 27 b. 30 c. 40 d. 60 e. 70 Penyelesaian : 3 98 lim 2 9    x xx x = 3 3 3 98 lim 2 9       x x x xx x =   9 398 lim 2 9    x xxx x 324 Limit fungsi =   9 3)1)(9( lim 9    x xxx x =  3)1(lim 9   xx x =  39)19(  =  33)10(  = (10)(6) = 60 Jawaban : d 13. Nilai dari 2 4 lim 3 2    x xx x = .... UAN 2008.B a. 32 b. 16 c. 8 d. 4 e. 2 Penyelesaian : 2 4 lim 3 2    x xx x = 2 )2)(2( lim 2 2    x xxx x = )2(lim 2 2 xx x   = )2(222  = 4 + 4 = 8 Jawaban : c
  • 225. 325 Limit fungsi 1. Nilai dari x xx x 2 11 lim 0   = .... a. ½ b. 1 c. 0 d. -1 e. – ½ 2. Nilai dari .... sin sin3sin lim 0    xx xx x a. -4 b. -2 c. 0 d. 2 e. 4 3. Nilai dari .... 88 lim 0    x xx x a. 2 4 1 b. 2 4 1  c. 2 2 1 d. 2 2 1  e. 2 LATIHAN MANDIRI 326 Limit fungsi 4. Nilai dari .... tan3 cos5cos lim 0    xx xx x a. 4 b. 3 c. 2 d. 0 e. - 4 5. Nilai .... 2cos4cos 2cos1 lim 0     xx x x a. 4 b. 3 c. 0 d. -1/3 e. -1/4 6. Nilai .... 82 73 lim 2 2 4     xx x x a. -2/9 b. -1/8 c. -2/3 d. 1 e. 2
  • 226. 349 Nilai ekstrim & aplikasinya 3. Nilai ekstrim dan aplikasinya A. Fungsi naik dan fungsi turun Syarat yang berkaitan dengan fungsi naik dan turun Jika f adalah fungsi yang kontinu dan diferensiable pada interval (a, b) maka :  Fungsi naik, jika f’(x) > 0  Fungsi turun, jika f’(x) < 0 B. Nilai stasioner Nilai stasioner adalah titik yang konstan, artinya mempunyai nilai fungsi yang tidak naik maupun turun dengan syarat : f’(x) = 0 C. Kecekungan fungsi Kecekungan suatu fungsi ditentukan oleh :  f”(x) > 0 cekung ke atas  f”(x) < 0 cekung ke bawah MATERI 350 Nilai ekstrim & aplikasinya 1. Nilai maksimum dari f(x) = 2x3 + 5x2 – 4x dalam interval - 3  x  - 1 adalah .... a. 28 b. 27 c. 19 d. 12 e. 7 Penyelesaian : f(x) = 2x3 + 5x2 – 4x stasioner : f’(x) = 0 6x2 + 10x – 4 = 0 3x2 + 5x – 2 = 0 ... x ... = - 6 3x2 + 6x – x – 2 = 0 ... + ... = 5 (3x2 + 6x) – (x + 2) = 0 3x (x + 2) – (x + 2) = 0 (3x – 1)(x + 2) = 0 3 1 x dan x = - 2 Nilai maksimum : f(- 2) = 2(-2)3 + 5(-2)2 – 4(-2) = 2(- 8) + 5(4) + 8 = - 16 + 20 + 8 = 12 Jawaban : D Tidak dalam interval CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 227. 351 Nilai ekstrim & aplikasinya 2. Interval fungsi turun dari f(x) = x3 – 3x2 – 9x – 7 adalah .... a. x < - 1 atau x > 3 b. x < 1 atau x > 3 c. – 1 < x < 3 d. 1 < x < 3 e. – 3 < x < - 1 Penyelesaian : f(x) = x3 – 3x2 – 9x – 7 syarat fungsi turun : f’(x) < 0 3x2 – 6x – 9 < 0 x2 – 2x – 3 < 0 ... x ... = - 3 (x + 1)(x - 3)< 0 ... + ... = - 2 x = - 1 dan x = 3 x < - 1  x = - 2  (-2)2 – 2(-2) - 3 < 0 4 + 4 – 3 < 0 5 < 0 tidak memenuhi - 1 < x < 3  x = 0  02 – 2(0) - 3 < 0 0 + 0 – 3 < 0 - 3 < 0 memenuhi x > 3  x = 4  42 – 2(4) - 3 < 0 16 – 8 – 3 < 0 5 < 0 tidak memenuhi Jadi interval yang memenuhi adalah – 1 < x < 3 Jawaban : C 3. Grafik fungsi f(x) = x3 + ax2 + bx + c hanya turun pada interval – 1 < x < 5. Nilai a + b = .... a. – 21 b. – 9 c. 9 d. 21 e. 24 - 1 3 x > 3x < - 1 - 1 < x < 3 352 Nilai ekstrim & aplikasinya Penyelesaian : f(x) = x3 + ax2 + bx + c f’(x) = 3x2 + 2ax + b interval – 1 < x < 5 f’(- 1) = 3(-1)2 + 2a(-1) + b = 3 – 2a + b - 3 = - 2a + b .................... 1) f’(5) = 3(5)2 + 2a(5) + b = 75 + 10a + b - 75 = 10a + b .................... 2) Dari 1) dan 2) diperoleh: - 3 = - 2a + b - 75= 10a + b - 72 = - 12a - 6= a - 3 = 12 + b - 15= b a + b = - 6 + (- 15) = - 6 – 15 = - 21 Jawaban : A
  • 228. 353 Nilai ekstrim & aplikasinya LATIHAN MANDIRI 354 Nilai ekstrim & aplikasinya
  • 229. 372 Luas daerah & volume benda putar 5. Luas Daerah & Volum Benda Putar A. Luas Daerah 373 Luas daerah & volume benda putar B. Volum benda putar 1. Volume kurva yang diputar mengelilingi sumbu x 2. Volume kurva yang diputar mengelilingi sumbu y 3. Volume dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu x
  • 230. 374 Luas daerah & volume benda putar V =    b a dxyy 2 2 2 1 =     dxxfxf b a  2 2 2 1 )()( 4. Volume dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu y V =    d c dyxx 2 2 2 1 =     dyyfyf d c  2 2 2 1 )()( 375 Luas daerah & volume benda putar 1. Jika f(x) = (x – 2)2 – 4 dan g(x) = - f(x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah .... UAN 2003 a. 3 2 10 satuan luas b. 3 1 21 satuan luas c. 3 2 22 satuan luas d. 3 2 42 satuan luas e. 3 1 45 satuan luas Penyelesaian : f(x) = (x – 2)2 – 4 = x2 – 4x + 4 – 4 = x2 – 4x .................. 1) g(x)= - f(x) = - (x2 – 4x) = - x2 + 4x .................. 2) Ilustrasi : g(x) - f(x) = (- x2 + 4x) – (x2 – 4x) f(x) = -x2 + 4x – x2 + 4x = - 2x2 + 8x Titik potong sumbu x, y = 0 0 = - 2x2 + 8x 0 = - 2x (x – 4) 0 = - 2x dan 0 = x – 4 0 = x 4 = x  (0, 0) dan (4, 0) Titik potong sumbu y, x = 0 y = - 2(0)2 + 8(0) CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 231. 376 Luas daerah & volume benda putar = 0  (0, 0)   dxxfxg  4 0 )()( atau f(x) = x2 + 4x a = 1, b = 4, c = 0 =  dxxxxx  4 0 22 )4()4( 377 Luas daerah & volume benda putar 2. Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, 0 ≤ x ≤  dan sumbu x. Jika daerah D diputar 3600 terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi adalah .... UAN 2003 a. 2 satuan luas b. ½  satuan luas c. ½ 2 satuan volum d.  satuan volum e. ½  satuan volum Penyelesaian : Ilustrasi : y = sin x V =    0 2 )( dxxf =     0 2 sin dxx cos 2x = 1 – 2 sin2 x =    0 2 sin dxx 2 sin2 x = 1 – cos 2x =          0 2 2cos1 dx x sin2 x = 2 2cos1 x =      0 2cos1 2 1 dxx =      0 2cos1 2 1 dxx
  • 232. 378 Luas daerah & volume benda putar =   0 2sin 2 1 2      xx =                     )0(2sin 2 1 02sin 2 1 2   =                     )0( 2 1 0)0( 2 1 2   =     0 2   =    2 = 2 2  Jawaban : C 3. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x – 3, garis 5x – 3y – 5 = 0, dan sumbu x adalah .... UAN 2004 a. 6 1 6 satuan luas b. 6 1 5 satuan luas c. 3 2 4 satuan luas d. 3 2 3 satuan luas e. 6 5 2 satuan luas Penyelesaian : Ilustrasi : y = x2 – 2x – 3 5x – 3y – 5 = 0  5x – 3y = 5 titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu x, y = 0 379 Luas daerah & volume benda putar x2 – 2x – 3 = 0 ... x ... = - 3 5x = 5 (x + 1)(x – 3) = 0 ... + ... = - 2 x = 1  (1, 0) x = - 1 dan x = 3  (-1,0) dan (3, 0) titik potong sumbu y, x = 0 titik potong sumbu y, x = 0 y = (0)2 – 2(0) – 3 -3y = 5 = - 3 (0, -3) y = - 5/3 (0, -5/3) titik potong kedua grafik diperoleh dengan cara : 5x – 3y – 5 = 0  5x – 5 = 3y 3 5 3 5 x = y y1 = y2 x2 – 2x – 3 = 3 5 3 5 x 3(x2 – 2x – 3) = 5x – 5 3x2 – 6x – 9 = 5x – 5 3x2 – 11x – 4 = 0 ... x ... = - 12 3x2 – 12x + x – 4 = 0 ... + ... = - 11 (3x2 – 12x) + (x – 4) = 0 3x(x – 4) + (x – 4) = 0 (3x + 1)(x – 4) = 0 x = - 1/3 dan x = 4 untuk x = -1/3  y = 3 5 3 1 3 5        untuk x = 4  y =   3 5 4 3 5  = 3 5 9 5   = 3 520  = 9 155  = 3 15 = 9 20  (-1/3, -20/9) = 5 (4, 5)
  • 233. 380 Luas daerah & volume benda putar Luas II = L  - Luas I = ½ (3)(5) -   4 3 2 )32( dxxx = ½ (15) - 4 3 23 3 3 1      xxx = 15/2 -                     )3(3)3()3( 3 1 )4(3)4()4( 3 1 2323 = 15/2 -                     99 3 27 1216 3 64 = 15/2 -               9 3 8464 = 15/2 -        3 2720 = 3 7 2 15  = 6 1445  = 6 31 381 Luas daerah & volume benda putar = 6 1 5 Jawaban : b 4. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah .... UAN 2005 a. 2 1 4 satuan luas b. 6 1 5 satuan luas c. 6 5 5 satuan luas d. 6 1 13 satuan luas e. 6 1 30 satuan luas Penyelesaian : Grafik parabol Grafik linier memotong sumbu x di (-1, 0) dan (1, 0) memotong sumbu x di (5, 0) y = a (x + 1)(x - 1) melalui (0, -1) memotong sumbu y di (0, 5) - 1 = a (1)(-1) 5x + 5y = 25 - 1 = - a x + y = 5 1 = a y = 5 – x y = 1 (x + 1)(x - 1) y = 1(x 2 – x + x – 1) y = x 2 – 1 perpotongan kedua grafik adalah : y1 = y2 x2 – 1 = 5 – x x2 + x – 6 = 0 ... x ... = -6 (x + 3)(x – 2) = 0 ... + ... = 1 x = - 3 dan x = 2 untuk x = - 3 maka y = 8  (-3, 8) untuk x = 2 maka y = 3  (2, 3)
  • 234. 382 Luas daerah & volume benda putar Luas total = Luas I + Luas II =   2 1 2 )3)(3( 2 1 )1( dxx = 2 9 3 1 2 1 3      xx = 2 9 1)1( 3 1 2)2( 3 1 33                = 2 9 1 3 1 2 3 8              = 2 9 3 2 3 2        = 2 9 3   = 3 278  = 6 35 = 6 5 5 Jawaban : c 383 Luas daerah & volume benda putar 5. Perhatikan gambar berikut ini Luas yang diarsir pada gambar adalah .... UAN 2006 a. 1/3 satuan luas b. 1/2 satuan luas c. 5/6 satuan luas d. 7/6 satuan luas e. 4/3 satuan luas Penyelesaian : Perpotongan kedua grafik adalah : y1 = y2 x2 – 4x + 4 = x x2 – 5x + 4 = 0 ... x ... = 4 (x-1)(x-4) = 0 ... + ... = -5 x = 1 dan x = 4 untuk x = 1 maka y = 1 untuk x = 4 maka y = 4 grafik y = x2 – 4x + 4 memotong sumbu x di : memotong sumbu x, maka y = 0 x2 – 4x + 4 = 0 ... x ... = 4 (x -2)(x -2)= 0 ... + ... = -4 x = 2 Luas total = Luas I + Luas II
  • 235. 384 Luas daerah & volume benda putar =   2 1 2 )44()1)(1( 2 1 dxxx = 2 1 23 42 3 1 2 1      xxx =               )1(4)1(2)1( 3 1 )2(4)2(2)2( 3 1 2 1 2323 =              42 3 1 88 3 8 2 1 = 3 7 3 8 2 1  = 3 1 2 1  = 6 23  = 6 5 Jawaban : c 6. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah .... UAN 2007.B a. 3/5 satuan b. 4/15 satuan c. 1/15 satuan d. 2/15 satuan e. 1/5 satuan Penyelesaian : Titik potong kedua grafik adalah : y1 = y2 x = x2 - x2 + x = 0 x2 – x = 0 385 Luas daerah & volume benda putar x(x – 1) = 0 x = 0 dan x = 1 V =    b a dxyy )( 2 2 2 1 =    1 0 222 ))(( dxxx =    1 0 42 )( dxxx =  1 0 53 5 1 3 1      xx =                      5353 )0( 5 1 )0( 3 1 )1( 5 1 )1( 3 1 =         5 1 3 1 =         15 35 = 15 2  Jawaban : d 7. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabol y = x2 + 1 dan garis y = - x + 3 adalah .... UAN 2007. B a. 11 ½ satuan luas b. 6 satuan luas c. 5 ½ satuan luas d. 5 satuan luas e. 4 ½ satuan luas Penyelesaian : Grafik parabol grafik linier Tidak berpotongan dengan sumbu x Titik potong sumbu x, y = 0 - x + 3 = 0 3 = x Titik potong sumbu y, x = 0 Titik potong sumbu y, x = 0 y = (0) 2 + 1 y = - 0 + 3
  • 236. 386 Luas daerah & volume benda putar y = 1 y = 3 titik potong kedua grafik adalah : y1 = y2 x2 + 1 = - x + 3 x2 + x – 2 = 0 ... x ... = - 2 (x + 2)(x - 1) = 0 ... + ... = 1 x = - 2 dan x = 1 untuk x = - 2 maka y = - 2 untuk x = 1 maka y = 1 Jawaban : e 387 Luas daerah & volume benda putar 8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah .... UAN 2007.A a. 54 satuan luas b. 32 satuan luas c. 6 5 20 satuan luas d. 18 satuan luas e. 3 2 10 satuan luas Penyelesaian : Grafik kuadrat Grafik linier y = x2 x + y = 6 titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu x, y = 0 0 = x2 x + 0 = 6 0 = x x = 6 Titik potong sumbu y, x = 0 Titik potong sumbu y, x = 0 y = (0)2 0 + y = 6 y = 0 y = 6 Titik potong kedua grafik adalah : y = x2 dan x + y = 6  y = - x + 6 y1 = y2 - x + 6 = x2 - x2 – x + 6 = 0 x2 + x – 6 = 0 ... x ... = -6
  • 237. 388 Luas daerah & volume benda putar (x + 3)(x - 2) = 0 ... + ... = 1 x = - 3 dan x = 2 Luas= dxyy b a )( 21  =    b dxxx 3 2 )()6( =   2 3 2 )6( dxxx = 2 3 23 6 2 1 3 1       xxx =               )3(6)3( 2 1 )3( 3 1 )2(6)2( 2 1 )2( 3 1 2323 =              18 2 9 912 2 4 3 8 =              2 9 910 3 8 =               6 2754 6 6016 =         6 81 6 44 = 6 125 = 6 5 20 atau y1 = y2 - x + 6 = x2 - x2 – x + 6 = 0; a = -1, b = -1, c = 6 D = (-1)2 – 4 (-1)(6) = 1 + 24 389 Luas daerah & volume benda putar = 25 Luas = 2 6a DD = )1(6 )5(25 = 6 5 20 Jawaban : c 9. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = - x2 + 4 dan y = - 2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu y adalah .... UAN 2007.A a. 8 satuan volume b. 13/2 satuan volume c. 4 satuan volume d. 8/3 satuan volume e. 5/48 satuan volume Penyelesaian : y = - x2 + 4 y = -2x + 4 titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu x, y = 0 0 = - x2 + 4 0 = -2x + 4 x2 = 4 2x = 4 x =  2 (-2,0) dan (2,0) x = 2 (2,0) titik potong sumbu y, x = 0 titik potong sumbu y, x = 0 y = (0)2 + 4 y = -2(0) + 4 y = 4 (0,4) y = 4 (0,4) perpotongan kedua grafik adalah : y1 = y2 -2x + 4 = -x2 + 4 x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 dan x = 2 untuk x = 0 maka, y = 4 (0,4)
  • 238. 390 Luas daerah & volume benda putar untuk x = 2 maka, y = 0 (2,0) y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 x2 = 4 – y 2x = 4 – y x = y4 x = 2 4 y x = y 2 1 2  Diputar mengelilingi sumbu y maka, V =   dyyfyf b a  2 2 2 1 ))(())(( =                         4 0 22 2 1 2 1 2)4( dyyy =  dyyyy                4 0 2 2 4 1 24)4( =          4 0 2 4 1 244 dyyyy =          4 0 2 4 1 dyyy 391 Luas daerah & volume benda putar =  4 0 32 12 1 2 1      yy =                      3232 )0( 12 1 )0( 2 1 )4( 12 1 )4( 2 1 =         3 16 8 =         3 1624 =        3 8 = 3 8  Jawaban : d 10. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 – 6x + 5, sumbu x, x = 2 dan x = 4 adalah .... UAN 2008.A a. 3 2 6 satuan luas b. 3 1 7 satuan luas c. 3 1 11 satuan luas d. 3 2 26 satuan luas e. 3 2 44 satuan luas Penyelesaian : y = x2 – 6x + 5 titik potong sumbu x, y = 0 x2 – 6x + 5 = 0 ... x ... = 5
  • 239. 392 Luas daerah & volume benda putar (x – 1)(x – 5) = 0 ... + ... = -6 x = 1 dan x = 5 titik potong sumbu y, x = 0 y = (0)2 – 6(0) + 5 y = 5 Luas =   4 2 2 )56( dxxx = 4 2 23 53 3 1      xxx =                     )2(5)2(3)2( 3 1 )4(5)4(3)4( 3 1 2323 =                    1012 3 8 2048 3 64 =                      3 68 3 8364 =        3 2 3 20 =        3 20 = 3 22 393 Luas daerah & volume benda putar = 3 1 7 Jawaban : b 11. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 1, x = 3 dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 , maka volume benda putar yang terjadi adalah .... UAN 2008.A a. 3 2 4  satuan volume b. 3 1 6  satuan volume c. 3 2 8  satuan volume d. 3 2 10  satuan volume e. 3 1 12  satuan volume Penyelesaian : y = 4 – x titik potong sumbu x, y = 0 0 = 4 – x x = 4 titik potong sumbu y, x = 0 y = 4 – 0 y = 4
  • 240. 394 Luas daerah & volume benda putar V =    3 1 2 )4( dxx =    3 1 2 )816( dxxx =  3 1 32 3 1 416      xxx =                      3232 )1( 3 1 )1(4)1(16)3( 3 1 )3(4)3(16 =                 3 1 41693648 =               3 37 21 =         3 3763 =        3 26 395 Luas daerah & volume benda putar = 3 26  = 3 2 8  Jawaban : c 12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 4x, sumbu x, garis x = 1 dan x = 3 adalah .... UAN 2008.B a. 3 2 3 satuan luas b. 3 1 5 satuan luas c. 3 1 7 satuan luas d. 3 1 9 satuan luas e. 3 2 10 satuan luas Penyelesaian : y = -x2 + 4x titik potong sumbu x, y = 0 titik potong sumbu y, x = 0 0 = -x2 + 4x y = -(0)2 + 4(0) 0 = -x(x - 4) y = - 0 + 0 0 = -x dan 0 = x – 4 y = 0 0 = x dan 4 = x titik potong sumbu y, x = 0 y = -(0)2 + 4(0) y = - 0 + 0 y = 0
  • 241. 396 Luas daerah & volume benda putar L = dxxx  3 1 2 )4( = 3 1 23 2 3 1      xx =               2323 )1(2)1( 3 1 )3(2)3( 3 1 =          2 3 1 189 =        3 5 9 = 3 527  = 3 22 = 3 1 7 Jawaban : c 13. Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, dan garis x = 3, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 . Volume benda putar yang terjadi adalah .... UAN 2008.B a. 36  satuan volume 397 Luas daerah & volume benda putar b. 54  satuan volume c. 63  satuan volume d. 72  satuan volume e. 81  satuan volume Penyelesaian : y = x + 3 titik potong sumbu x, y = 0 0 = x + 3 - 3 = x Titik potong sumbu y, x = 0 y = 0 + 3 y = 0 titik potong kurva y = x + 3 dan garis x = 3 adalah y = 3 + 3 y = 6 (3, 6) V =    3 3 2 )3( dxx =    3 3 2 )96( dxxx
  • 242. 398 Luas daerah & volume benda putar =  3 3 23 93 3 1       xxx =                      )3(9)3(3)3( 3 1 )3(9)3(3)3( 3 1 2323 =                     27 2 27 927 2 27 9 =                     2 27 36 2 27 36 =                      2 2772 2 2772 =                     2 45 2 99 =        2 144 = 72  Jawaban : d 399 Luas daerah & volume benda putar 1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 3x – 2 adalah .... a. 6 1 satuan luas b. 2 1 satuan luas c. 6 5 2 satuan luas d. 3 satuan luas e. 6 5 4 satuan luas 2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 2x dan y = x2 diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu y adalah .... a. 3 1 1  satuan volume b. 3 2 2  satuan volume c. 15 4 4  satuan volume d. 3 1 13  satuan volume e. 5 1 17  satuan volume LATIHAN MANDIRI
  • 243. 400 Luas daerah & volume benda putar 3. Luas daerah yang diarsir sama dengan .... 4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva x2 + y2 = 9 dan garis x+ y = 3 diputar 3600 mengelilingi sumbu x adalah .... a. 9  satuan volume b. 12  satuan volume c. 18  satuan volume d. 21  satuan volume e. 27  satuan volume 5. Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = -3x dan parabol y = -3x2 – 6x adalah .... a. 3/2 b. 1 c. ½ d. ¼ e. 1/5 6. Daerah yang dibatasi oleh y = x2 , y = 1, y = 3 dan sumbu y, diputar mengelilingi sumbu y. Volume benda putar yang terjadi adalah ... satuan volume a. 5,5  b. 4,5  c. 4  d. 3,5  e. 2,5 
  • 244. 401 peluang Standar Kompetensi Lulusan (SKL) V : Mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data dan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi dan peluang kejadian serta mempu menerapkan dalam pemecahan masalah. Ruang Lingkup Materi (RLM) : Peluang dan Statistik Operasional RLM : Peluang  Permutasi  Kombinasi  Peluang kejadian (tidak termasuk kejadian bersyarat) Statistik  Penyajian data dalam bentuk tabel, diagram grafik (termasuk ogive)  Ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran yang sederhana PEMETAAN SKL 402 peluang 1. Peluang A. Kaidah pencacahan Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p  q) cara. Faktorial n ! = n  n – 1  n – 2  n – 3  ...  3  2  1 dengan 0 ! = 1 1 ! = 1 B. Permutasi  Banyak permutasi (susunan terurut) r unsur dari n unsur adalah )!( ! rn n Prn   , n  r  Permutasi beberapa unsur yang sama Banyak susunan dari n unsur dengan p unsur yang sama, q unsur yang sama dan seterusnya adalah !! ! , qp n P qpn   Permutasi siklis untuk menghitung susunan berbeda yang tempatkan secara melingkar )!1(  nPsiklisn C. Kombinasi Banyak kombinasi (susunan) r unsur dari n unsur adalah !)!( ! rrn n Crn   , n  r D. Peluang suatu kejadian Peluang suatu kejadian (misalnya kejadian A) adalah MATERI
  • 245. 403 peluang )( )( )( Sn An AP  , dengan P(A) = peluang kejadian A n(A) = banyak anggota himpunan A n(B) = banyak anggota himpunan B E. Kisaran nilai peluang (0 ≤ P(A) ≤1) F. Frekuensi harapan  Frekuensi harapan suatu kejadian (misalnya kejadian A) adalah Fh(A) = P(A)  n Dengan Fh(A) = frekuensi harapan kejadian A P(A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan  Peluang komplemen kejadian (misalnya kejadian A) adalah P(Ac ) = 1 – P(A) Dengan P(Ac ) = peluang komplemen kejadian A P(A) = peluang kejadian A G. Peluang kejadian majemuk  Peluang gabungan dua kejadian P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Dengan P(AB) = peluang gabungan A atau B P(A) = peluangan kejadian A P(B) = peluangan kejadian B P(AB) = peluang kejadian A setelah B terjadi  Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas P(AB) = P(A) + P(B) Dengan P(AB) = peluang gabungan A atau B P(A) = peluangan kejadian A P(B) = peluangan kejadian B  Peluang kejadian yang saling bebas (stokastik) P(AB) = P(A)  P(B) Dengan P(A) = peluangan kejadian A P(B) = peluangan kejadian B P(AB) = peluang kejadian A setelah B terjadi  Peluang kejadian bersyarat (peluang kejadian A setelah B terjadi) 404 peluang P(AB) = )( )( BP BAP  Dengan P(AB) = peluang kejadian A setelah B terjadi P(AB) = peluang irisan kejadian A dan B P(B) = peluang kejadian B  Peluang pengambilan tanpa pengembalian P(AB) = P(A)  P(BA) Dengan P(BA) = peluang kejadian B setelah A terjadi P(AB) = peluang irisan kejadian A dan B P(B) = peluang kejadian B
  • 246. 405 peluang 1. Dua buah dadu dilempar undi bersama – sama. Peluang munculnya mata dadu 9 atau 10 adalah .... UAN 2003 a. 36 5 b. 36 7 c. 36 8 d. 36 9 e. 36 11 Penyelesaian : Misalnya, A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 9 B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 10 A = {(6,3),(5,4),(4,5),(3,6)}  n(A) = 4 B = {(6,4),(5,5),(4,6)}  n(A) = 3 S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) CONTOH SOAL & PEMBAHASAN 406 peluang (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)  n(S) = 36 P(A) = )( )( Sn An = 36 4 P(B) = )( )( Sn Bn = 36 3 P(AB) = P(A) + P(B) = 36 3 36 4  = 36 7 Jawaban : b 2. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. Dari masing – masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama adalah .... UAN 2003 a. 1/8 b. 5/16 c. 7/16 d. 9/16 e. 7/8 Penyelesaian : 5 M 3 K 1 2 M 6 K 1
  • 247. 407 peluang I II Misalnya : A = kejadian terambilnya bola merah pada kotak I dan kotak II B = kejadian terambilnya bola kuning pada kotak I dan kotak II Kejadian A : Kejadian B : Kotak I n(S) = 8 Kotak I n(S) = 8 n(A)= 5 n(A)= 3 P(A)= 8 5 P(A)= 8 3 Kotak II n(S)= 8 Kotak II n(S)= 8 n(B)= 2 n(B)= 6 P(B)= 8 2 P(B)= 8 6 P(AB) = P(A)  P(B) P(AB) = P(A)  P(B) = 8 2 8 5  = 8 6 8 3  = 32 5 = 32 9 Peluang keduanya merah atau kuning adalah : P(AB) = P(Im, IIm) + P(Ik,IIk) = 32 9 32 5  = 32 14 = 16 7 Jawaban : c 3. Dua dadu dilambungkan bersama – sama. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah .... UAN 2004 a. 5/36 b. 4/36 408 peluang c. 3/36 d. 2/36 e. 1/36 Penyelesaian : Misalnya A = kejadian muncul mata dadu 3 pada dadu I B = kejadian muncul mata dadu 5 pada dadu II Dadu I n(S) = 6 n(A)= 1 P(A)= 6 1 Dadu II n(S)=6 n(B)=1 P(B)= 6 1 P(AB) = P(A)  P(B) = 6 1 6 1  = 36 1 Jawaban : e 4. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak. peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah .... UAN 2005 a. 1/10 b. 5/36 c. 1/6 d. 2/11 e. 4/11 Penyelesaian : 5 M 4 B 3 K 3
  • 248. 409 peluang Misalnya A = kejadian terambilnya 2 bola merah pada pengambilan pertama B = kejadian terambilnya 1 bola biru pada pengambilan kedua n(S) = 12 P(AB) = 312 1425 C CC  5C2 = !2)!25( !5  4C1 = !1)!14( !4  12C3 = !3)!312( !12  = !2!3 !5 = !1!3 !4 = !3!9 !12 = 12 45   = 4 = 123 101112   = 10 = 220 P(AB) = 312 1425 C CC  = 220 410 = 22 4 = 11 2 Jawaban : d 5. Dari butir telur yang dijual terdapat 2 butir yang busuk. Ibu membeli 2 butir telur tampa memilih. Peluang ibu mendapat 2 butir telur yang baik adalah .... UAN 2006 a. 9/45 b. 11/45 c. 14/45 d. 18/45 e. 28/45 410 peluang Penyelesaian : Misalnya A = kejadian terambil 2 butir telur yang baik P(A) = 210 28 C C 8C2 = !2)!28( !8  10C2 = !2)!210( !10  = !2!6 !8 = !2!8 !10 = 12 78   = 12 910   = 28 = 45 P(A) = 210 28 C C = 45 28 Jawaban : e 6. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar undi bersama – sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya bilangan prima pada dadu dan gambar pada uang logam adalah .... UAN 2007.B a. 1/12 b. ¼ c. 1/3 d. ½ e. 2/3 Penyelesaian : Misalnya A = kejadian muncul bilangan prima pada dadu B = kejadian muncul sisi gambar pada uang logam Dadu : n(S) = 6 A = {1,2,3,5}  n(A)= 4 P(A) = 6 4
  • 249. 411 peluang uang logam : n(S)=2 n(B)=1 P(B) = 2 1 P(AB) = P(A)  P(B) = 2 1 6 4  = 3 1 Jawaban : c 7. Dalam kantong I terdapat 5 klereng merah dan 3 klereng putih, dalam kantong II terdapat 4 klereng merah dan 6 klereng hitam. Dari setiap kantong diambil 1 klereng secara acak. peluang terambilnya klereng putih dari kantong I dan klereng hitam dai kantong II adalah .... UAN 2007.A a. 39/40 b. 9/13 c. ½ d. 9/20 e. 9/40 Penyelesaian : I II Misalnya A = kejadian terambilnya klereng putih dari kantong I B = kejadian terambilnya klereng hitam dari kantong I Kantong I n(S) = 8 n(A)= 3 P(A)= 8 3 Kantong II n(S) = 10 n(B)=6 5 M 3 P 1 4 M 6 H 1 412 peluang P(B)= 10 6 P(AB) = P(A)  P(B) = 10 6 8 3  = 40 9 Jawaban : e 8. Pada pelemparan undi sebuah dadu, A adalah kejadian muncul angka lebih dari 4 dan B adalah kejadian muncul angka kurang dari 2. Peluang kejadian A atau B adalah .... UAN 2008.A a. 1/6 b. 1/3 c. ½ d. 3/5 e. ¾ Penyelesaian : S = {1,2,3,4,5,6}  n(S) = 6 A = kejadian muncul angka lebih dari 4 A = {5,6}  n(A) = 2 P(A) = 6 2 B = kejadian muncul angka kurang dari 2 B = {1}  n(B) = 1 P(B) = 6 1 P(AB) = P(A) + P(B) = 6 1 6 2  = 6 3
  • 250. 413 peluang = 2 1 Jawaban : c 9. Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah .... UAN 2008.B a. ½ b. ¼ c. 1/6 d. 1/8 e. 1/12 Penyelesaian : n(S) = 36 Misalnya A = kejadaian muncul jumlah mata dadu 9 A = {(6,3),(5,4),(4,5),(3,6)}  n(A) = 4 P(A) = 36 4 B = kejadian muncul jumlah mata dadu 11 B = {(6,5),(5,6)}  n(B) = 2 P(B) = 36 2 P(AB) = P(A) + P(B) = 36 2 36 4  = 36 6 = 6 1 Jawaban : c 414 peluang 10. Dari angka 1,2,3,4,5,6 akan dibentuk bilangan yang terdiri dai 3 angka dengan tidak ada angka berulang. Banyaknya bilangan tersebut adalah .... UAN 2008.A a. 18 b. 20 c. 90 d. 120 e. 216 Penyelesaian : x x atau 6P3 = )!36( !6  6 x 5 x 4 = 120 = !3 !6 = 456  = 120 Jawaban : d 11. Pengurus OSIS yang terdiri dari ketua, sekertaris dan bendahara akan dipilih dari 8 orang calon. Banyaknya cara untuk memilih pengurus OSIS tersebut adalah .... UAN 2008.A bahasa a. 336 b. 260 c. 240 d. 220 e. 210 Penyelesaian : 8P3 = )!38( !8  = !5 !8 = 8 x 7 x 5 = 336 Jawaban : a .... .... ....
  • 251. 415 peluang 12. Tiga keping uang dilempar undi bersama – sama satu kali. Peluang munculnya paling sedikit 1 sisi gambar adalah .... UAN 2008.A bahasa a. 1/8 b. ¼ c. ½ d. ¾ e. 7/8 Penyelesaian : S = GGG,GGA,GAA,GAG,AAA,AAG,AGG,AGA A = GGG,GGA,GAA,GAG,AAG,AGG,AGA n(S) = 8 n(A) = 7 P(A) = 8 7 Jawaban : e 13. Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola putih, kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing – masing kotak diambil sebuah bola, maka peluang yang terambil bola putih dari kotak A dan bola merah dari kotak B adalah .... UAN 2008.A bahasa a. 31/40 b. 2/5 c. 3/8 d. 3/20 e. 5/40 Penyelesaian : A B Misalnya A = kejadian terambilnya bola putih dari kotak A B = kejadian terambilnya bola merah dari kotak B Kantong I n(S) = 5 Kantong II n(S) = 8 n(A)= 3 n(B)=5 2 M 3 P 1 5 M 3 P 1 416 peluang P(A)= 5 3 P(B)= 8 5 P(AB) = P(A)  P(B) = 8 5 5 3  = 8 3 Jawaban : c 14. Seorang peserta ujian harus mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada. Banyak cara peserta memilih soal ujian yang harus dikerjakan adalah .... UAN 2008.A bahasa a. 210 b. 220 c. 230 d. 5.040 e. 5.400 Penyelesaian : 10C6 = !6)!610( !10  = !6!4 !10 = 1234 78910   = 210 Jawaban : a 15. Banyaknya susunan huruf – huruf pada kata “ANDALAN” adalah .... Try Out 2008 NTT a. 210 b. 420 c. 840 d. 2520
  • 252. 417 peluang e. 5040 Penyelesaian : 7P3+2 = !2!3 !7 = 12 4567   = 420 Jawaban : b 16. Di dalam sebuah kotak ada 9 tiket yang diberi nomor 1 sampai dengan 9. Apabila 2 tiket diambil secara acak tanpa pengembalian maka, peluang terambilnya 1 ganjil dan 1 genap adalah .... UAN Try Out 2008 NTT a. 6/18 b. 5/18 c. 4/18 d. 3/18 e. 2/18 Penyelesaian : Misalnya A = kejadian terambilnya 1 genap pada pengambilan pertama B = kejadian terambilnya 1 ganjil pada pengambilan kedua n(S) = 9 n(A)= 5 P(A)= 9 5 n(B)= 4 n(S)= 8 5 Ganjil 4 Genap 1 1 418 peluang P(BA) = )( )( Sn Bn = 8 4 = 2 1 P(AB) = P(A)  P(BA) = 2 1 9 5  = 18 5 Jawaban : b
  • 253. 419 peluang 1. Banyaknya susunan huruf – huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “STATISTIK” adalah .... a. 604.800 b. 100.800 c. 84.600 d. 76.800 e. 75.800 2. Dari 8 tangkai bunga yang berbeda – beda warnanya akan dibentuk rangkaian bunga yang terdiri dari 3 warna berbeda. Banyak cara menyusun rangkaian bunga berbeda tersebut adalah .... a. 24 b. 56 c. 72 d. 112 e. 336 3. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang logam dilempar undi satu kali secara bersama – sama. peluang untuk memperoleh sisi gambar pada mata uang logam dan bilangan ganjil pada dadu adalah .... a. 1/12 b. 1/6 c. 1/4 d. 1/3 e. 1/2 LATIHAN MANDIRI 420 peluang 4. Sebuah kotak berisi 3 bola merah dan 5 bola putih. Dari kotak itu diambil 1 bola berturut – turut dua kali tanpa pengembalian bola pertama ke dalam kotak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah .... a. 15/64 b. 9/64 c. 20/56 d. 15/56 e. 6/56 5. Dari 12 orang siswa terdiri dari 7 pria dan 5 wanita akan dibentuk sebuah team yang beranggotakan 3 orang. Peluang terbentuknya sebuah team yang terdiri dari sekurang – kurangnya 1 siswa wanita adalah .... a. 7/44 b. 21/44 c. 9/44 d. 30/44 e. 37/44 6. Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Jika soal nomor 3,5 dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia, maka banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan adalah .... a. 14 b. 21 c. 45 d. 66 e. 2520
  • 254. 420 Statistik 2. Statistik A. Data Tunggal 1. Rata – rata / mean Rata – rata suatu data diperoleh dengan : n x x i 2. Median Median adalah nilai tengah data Untuk n ganjil : 2 1  n Me , Untuk n genap : 2 n Me  3. Modus adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang frekuensinya lebih besar 4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data menjadi empat bagian yang sama besar Qi = n i 4 5. Jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil R = xmax – xmin 6. Jangkauan antar kuartil H = Q3 – Q1 7. Simpangan kuartil Qd = ½ H = ½ (Q3 – Q1) 8. Simpangan rata – rata SR = n xx  9. Ragam (variansi) MATERI 421 Statistik S =   n xx 2   10. Simpangan baku S = 2 s B. Data Berkelompok 1. Rata – rata / mean Rata – rata suatu data diperoleh dengan :   i ii f fx x 2. Median adalah nilai tengah data, dimana letak kelas median ditentukan oleh ½n c f fn TbMe km skm               2 1 dimana : Tb = Bb – 0,5 Ta = Ba + 0,5 C = Ta – Tb  skmf = frekuensi kumulatif sebelum kelas median fkm = frekuensi kelas median 3. Modus adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang frekuensinya lebih besar c dd d TbMo         21 1 dimana : Tb = Bb – 0,5 Ta = Ba + 0,5 C = Ta – Tb d1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
  • 255. 422 Statistik d2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya 4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data menjadi empat bagian yang sama besar c f fn i TbQ kk skk i               4 dimana : Tb = Bb – 0,5 Ta = Ba + 0,5 C = Ta – Tb  skkf = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fkk = frekuensi kelas kuartil 5. Jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil R = xmax – xmin 6. Jangkauan antar kuartil H = Q3 – Q1 7. Simpangan kuartil Qd = ½ H = ½ (Q3 – Q1) 8. Simpangan rata – rata SR = n xxfi  9. Ragam (variansi) S =   n xxfi 2   10. Simpangan baku S = 2 s Catatan :penyejian data dapat berupa diagram lingkaran, diagram garis, diagram batang, ogive dan tabel distribusi frekuensi. 423 Statistik 1. Diagram di atas menyajikan data berat badan (dalam Kg)dari 40 siswa, modusnya adalah .... UAN 2003 a. 46,1 b. 46,5 c. 46,9 d. 47,5 e. 48,0 Penyelesaian : Data dapat disajikan dalam tabel sebagai berikut, Kelas modus 45 – 49 Tb = 45 – 0,5 = 44,5 Ta = 49 + 0,5 CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
  • 256. 424 Statistik = 49,5 C = 49, 5 – 44,5 = 5 d1 = 12 – 6 = 6 d2 = 12 – 8 = 4 Mo = c dd d Tb         21 1 = 5 46 6 5,44         = 5 10 6 5,44        = 35,44  = 47,5 Jawaban : d 2. Simpangan kuartil dari data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8 adalah .... UAN 2003 a. 2 ½ b. 3 c. 3 ½ d. 4 e. 4 ½ Penyelesaian : Urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar seperti berikut : 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 14 Q2 = 2 86  Q1 = 2 43  Q3 = 2 129  = 7 = 2 7 = 2 21 Q1 Q2 Q3 425 Statistik Simpangan kuartil : ½ H= ½ (Q3 – Q1) = ½        2 7 2 21 =       2 14 2 1 = 2 7 = 3 ½ Jawaban : c 3. Modus dari data pada gambar di bawah ini adalah .... UAN 2004 a. 25,5 b. 25,8 c. 26 d. 26,5 e. 26,6
  • 257. 426 Statistik Penyelesaian : Data dapat disajikan dalam tabel Ta = 25 – 0,5 = 24,5 Tb = 29 + 0,5 = 29,5 C = 29,5 – 24,5 = 5 d1 = 16 – 14 = 2 d2 = 16 – 8 = 8 Mo = c dd d Tb         21 1 = 5 82 2 5,24         = 5 10 2 5,24        = 15,24  = 25,5 Jawaban : a 427 Statistik 4. Nilai rataan dari data pada diagram di atas adalah .... UAN 2005 a. 23 b. 25 c. 26 d. 28 e. 30 Penyelesaian : Data di atas dapat disajikan dalam diagram tabel sebagai berikut Rata – rata : x =   i ii f fx
  • 258. 428 Statistik = 50 1250 = 25 Jawaban : b 5. Perhatikan gambar berikut ! Nilai ulangan matematika dari suatu kelas dengan histogram seperti pada gambar. Median nilai tersebut adalah .... UAN 2006 a. 64,5 b. 65 c. 65,5 d. 66 e. 66,5 Penyelesaian : Kelas median diperoleh dari ½ n = ½ (40) = 20 Ta = 69 + 0,5 429 Statistik = 69,5 Tb = 65 – 0,5 = 64,5 C = 69,5 – 64,5 = 5 fskm = 18 fkm = 10 Me = c f fn Tb km skm               2 1 = 5 10 1820 5,64         = 5 10 2 5,64        = 64,5 + 1 = 65,5 Jawaban : c 6. Perhatikan tabel berikut ! Berat (kg) Frekuensi 0 – 9 5 10 – 19 15 20 – 29 30 30 – 39 40 40 – 49 30 50 – 59 15 60 – 69 5 Nilai median data pada tabel tersebut adalah .... UAN 2007.B a. 31,72 kg b. 33,50 kg c. 34,50 kg d. 35,40 kg
  • 259. 430 Statistik e. 54,50 kg Penyelesaian : Berat (kg) fi fk 0 – 9 5 5 10 – 19 15 20 20 – 29 30 50 30 – 39 40 90 40 – 49 30 120 50 – 59 15 135 60 – 69 5 140 Kelas median diperoleh dari ½ n = ½ (140) = 70 Ta = 39 + 0,5 = 39,5 Tb = 30 – 0,5 = 29,5 C = 39,5 – 29,5 = 10 fskm = 50 fkm = 40 Me = c f fn Tb km skm               2 1 = 10 40 5070 5,29         = 10 40 20 5,29        = 29,5 + 5 = 34,5 Jawaban : c Kelas median 431 Statistik 7. Perhatikan tabel berikut ! Berat (kg) Frekuensi 31 – 36 4 37 – 42 6 43 – 48 9 49 – 54 14 55 – 60 10 61 – 66 5 67 – 72 2 Modus data pada tabel tersebut adalah .... UAN 2007.A a. 49,06 kg b. 50,20 kg c. 50,70 kg d. 51,33 kg e. 51, 83 kg Penyelesaian : Berat (kg) fi fk 31 – 36 4 4 37 – 42 6 10 43 – 48 9 19 49 – 54 14 33 55 – 60 10 43 61 – 66 5 48 67 – 72 2 50 Ta = 54 – 0,5 = 53,5 Tb = 49 + 0,5 = 49,5 C = 49,5 – 53,5 = 6 d1 = 14 – 9 = 5 d2 = 14 – 10 = 4 Kelas modus
  • 260. 432 Statistik Mo = c dd d Tb         21 1 = 6 45 5 5,49         = 6 9 5 5,49        = 49,5 + 3, 33 = 51,83 Jawaban : e 8. Perhatikan data berikut ! Berat badan Frekuensi 50 – 54 5 55 – 59 6 60 – 64 7 65 – 69 10 70 – 74 8 75 – 79 4 Kurtil atas dari data pada tabel tersebut adalah .... UAN 2008.A a. 69,50 b. 70,00 c. 70,50 d. 70,75 e. 71,00 Penyelesaian : Berat badan fi fk 50 – 54 5 5 55 – 59 6 11 60 – 64 7 18 65 – 69 10 28 70 – 74 8 36 75 – 79 4 40 Kelas Q3 433 Statistik Kelas Q3 diperoleh dari ¾n = ¾ (40) = 30 Ta = 74 + 0,5 = 74,5 Tb = 70 – 0,5 = 69,5 C = 74,5 – 69,5 = 5 fskQ3 = 28 fkQ3 = 8 Me = c f fn i Tb i i kQ skQ               4 = 5 8 2830 5,69         = 5 8 2 5,69        = 69,5 + 1,25 = 70,75 Jawaban : d 9. Diagram lingkaran berikut menyatakan banyak banyak siswa yang menyenangi mata pelajaran di sebuah kelas yang terdiri dari 40 orang siswa. Banyak siswa yang menyenangi mata pelajaran bahasa Inggris dan bahasa asing adalah .... UAN 2008.A Bahasa a. 4 siswa b. 10 siswa c. 12 siswa d. 14 siswa e. 16 siswa
  • 261. 434 Statistik Penyelesaian : Siswa yang menyukai B. Indonesia adalah 40% dari 40 orang artinya 1640 100 40  orang AOD = 0 360 40 16  = 1440 AODCODBOCAOB  = 3600 AOB + BOC + 900 + 1440 = 3600 AOB + BOC = 1260 Misalkan x adalah banyaknya siswa yang menyenangi mata pelajaran B. Inggris dan B. Asing maka, 00 126360 40  x 0 9x = 1260 x0 = 140 x = 14 Jawaban : d 435 Statistik 10. Rata – rata dari x, 62, 74, 83, 2x, 85, 60 adalah 73. Nilai x adalah .... UAN 2008. A Bahasa a. 45 b. 47 c. 49 d. 90 e. 98 Penyelesaian : x = n xi 73 = 7 60852837462  xx 511= 3643 x 147= 3x 49 = x Jawaban : c 11. Rata – rata upah 10 orang pekerja Rp 70.000,00 perhari. Jika upah ketua kelompok pekerja itu juga dihitung maka rata – ratanya menjadi Rp 71.000,00. Upah ketua kelompok pekerja itu perhari adalah .... UAN 2008. A Bahasa a. Rp 78.000,00 b. Rp 79.000,00 c. Rp 80.000,00 d. Rp 80.500,00 e. Rp 81.000,00 Penyelesaian : 1x = 10 10 1 i ix 70.000 = 10 10 1 i ix
  • 262. 436 Statistik 700.000 =  10 1i ix 2x = 11 10 1   i i xx 71.000= 11 000.700 x 781.000= x000.700 81.000= x Jawaban : e 437 Statistik 1. Diagram lingkaran di atas menunjukkan banyaknya pelajar suatu sekolah yang memilih jurusan IPA, IPS dan BAHASA dari 400 siswa. Banyaknya pelajar yang memilih jurusan IPA adalah .... a. 10 orang b. 40 orang c. 120 orang d. 240 orang e. 360 orang 2. Rataan hitung dari data pada histogram di atas adalah 10. Nilai n yang memenuhi adalah .... Bahasa 1080 IPA IPS 2160 LATIHAN MANDIRI
  • 263. 438 Statistik a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 3. Nilai ujian bahasa Indonesia siswa suatu kelas tercatat sebagai berikut, Nilai Frekuensi 81 – 85 8 86 – 90 12 91 – 95 18 96 – 100 14 Modus dari data pada tabel di atas adalah .... a. 92,50 b. 92,75 c. 93,50 d. 93,75 e. 94,50 4. Median dari data pada tabel di bawah ini adalah .... Nilai Frekuensi 19 – 27 4 28 – 36 6 37 – 45 8 46 – 54 10 55 – 63 6 64 – 72 3 73 – 81 3 a. 46,3 b. 46,8 c. 47,1 d. 47,3 e. 47,8 439 Statistik 5. Simpangan baku dari data 7, 5, 9, 8, 6 adalah .... a. 2 b. 2 c. 5 d. 10 e. 10 6. Perhatikan tabel berikut ! Nilai Frekuensi 1 – 10 4 11 – 20 8 21 – 30 12 31 – 40 16 41 – 50 10 51 – 60 7 61 – 70 3 Nilai kuartil atas (Q3) dari data pada tabel tersebut adalah .... a. 68,5 b. 50,5 c. 47,5 d. 45,5 e. 33,5
  • Comments
    Top