Mecanica de Materiales Beer C1 Esfuerzo

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Ferdinand P. Beer · E. Russell Johnston, Jr. . John T. DeWolf MECÁNICA de MATERIALES Prefijos del SI Factor multiplicativo Prefijot Símbolo T G M k h da d c m JL n P f a l 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 0.1 0.01 0.000001 0.000000001 = 1012 = = = = = = = = = 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 0.001 = 0.000000000001 0.000000000000001 0.000000000000000001 = 10-12 = 10-15 = 10-18 tera giga mega kilo hectot decat decit centit mili mlcro nano pico femto ato t Debe evitarse el uso de estos prefijos, excepto en las medidas de áreas y volúmenes y para el uso no técnico del centímetro, como en las medidas referentes a la ropa y al cuerpo. Principales unidades del SI usadas en mecánica Cantidad Aceleración Ángulo Aceleración angular elocidad angular Area Densidad Energía Fuerza Frecuencia Impulso Longitud Masa Momento de una fuerza Potencia Presión Tiempo Velocidad Volumen, sólidos Líquidos Trabajo Unidad Metro por segundo al cuadrado Radián Radián por segundo al cuadrado Radián por segundo Metro cuadrado Kilogramo por metro cúbico Joule Newton Hertz Newton-segundo Metro Kilogramo Newton-metro Watt Pascal Segundo Metro por segundo Metro cúbico Litro Joule (1 revolución = 27T rad = 360°). Símbolo .. . rad .. . .. . ... ... J N Hz . .. m kg .. . W Pa s .. . .. . L J Fórmula mls2 t rad/s2 rad/s m2 kg/m3 N'm kg . mls2 S-I kg . mis :j: :j: N'm J/s N/m2 :j: mis m3 10-3 m3 N'm t Unidad suplementaria :j: Unidad básica. Unidades de uso común en Estados Unidos y sus equivalencias en unidades del SI Cantidad Aceleración Área Energía Fuerza Unidades de uso común en Estados Unidos ft/s2 in.ls2 ft2 in.2 ft. lb kip lb oz lb. s ft in. mi oz masa lb masa slug ton lb Equivalente del SI 0.3048 mls2 0.0254 mls2 0.0929 m2 645.2 mm2 1.356 J 4.448 kN 4.448 N 0.2780 N 4.448 N . s 0.3048 m 25.40 mm 1.609 km 28.35 g 0.4536 kg 14.59 kg 907.2 kg 1.356 N m 0.1130N. m Impulso Longitud Masa Momento de una fuerza Momento de inercia de un área de una masa Potencia Presión o esfuerzo Velocidad . ft . lb. in. in.4 lb ft . . 0.4162X 106mm4 S2 ft . Ibis hp lb/ft2 Ib/in.2 (psi) ft/s in.ls mi/h (mph) mi/h (mph) ft3 in.3 gal qt ft. lb Volumen, sólidos Líquidos Trabajo 1.356 kg. m2 1.356 W 745.7 W 47.88 Pa 6.895 kPa 0.3048 mis 0.0254 mis 0.4470 mis 1.609 kmlh 0.02832 m3 16.39 cm3 3.785 L 0.9464 L 1.356 J . .. Lista de símbolos a A,B,C,.. . A,B, C,... A,ét b e C CI' C2>'" Cp d D e E f F F.S. G h H H,J,K 1,Ix,. . . l: = 0.90 y factores de carga YD = 1.25 Y YL = 1.6, para calcular la máximacargaque puede colocarse con seguridaden la plataforma. b) ¿Cuál es el factor de seguridad correspondiente a la varilla BC? Figura P1.57 .. 1.8 m r L Figura P1.58 REPASO Y RESUMEN , DEL CAPITULO 1 Carga axial. Esfuerzo normal Este capítulo se dedicó al concepto de esfuerzo y a una introducción a los métodos usados para el análisis y diseño de máquinas y de estructuras portadoras de carga. En la sección 1.2 se presentó un breve repaso de los métodos de estática y de su aplicación a la determinación de las reacciones ejercidas por sus soportes sobre una estructura sencilla que consista de elementos conectados por pasadores. Se puso énfasis en el uso del diagrama de cuerpo libre para obtener las ecuaciones de equilibrio que después se resolvieron para determinar las reacciones desconocidas. Los diagramas de cuerpo libre también se utilizaron para encontrar las fuerzas internas en los diversos miembros de la estructura. El concepto de esfuerzo se introdujo primero en la sección 1.3 al considerar un elemento con dos fuerzas bajo carga axial. El esfuerzo normal en ese elemento se obtuvo dividiendo la magnitud P de la carga por el área transversal del elemento (figura 1.8a). Se tuvo P (J=- A ( 1.5) A En la sección 1.4 se realizó una breve consideración de dos de las principales tareas del ingeniero: el análisis y el diseño de estructuras y máquinas. Como se señaló en la sección 1.5, el valor de (j obtenido de la ecuación (l.5) representa el esfuerzo promedio a través de la sección más que el esfuerzo en un punto específico Q de la sección. Considerando una pequeña área M que rodee al punto Q y la magnitud tJ..Fde la fuerza ejercida sobre M, se define el esfuerzo en el punto Q como tJ..F lím ~A-->O AA (J = Figura 1.8a (1.6) En general, el valor obtenido para el esfuerzo (j en el punto Q es diferente del valor del esfuerzo promedio dado por la fórmula (1.5) Y puede verse que varía a través de la sección. Sin embargo, esta varia4ión es pequeña en cualquier sección que se encuentre lejos de los puntos de aplicación de las cargas. En la práctica, por lo tanto, se supone uniforme la distribución de los esfuerzos normales en un elemento cargado axialmente, excepto en la cercanía inmediata de los puntos de aplicación de las cargas. No obstante, para que la distribución de esfuerzos sea uniforme en una sección dada, es necesario que la línea de acción de las cargas P y P' pase por el centroide e de la sección. Tal carga se conoce como carga axial centrada. En el caso de una carga axial excéntrica, la distribución de esfuerzos no es uniforme. Los esfuerzos en los elementos sujetos a carga axial excéntrica se estudiarán en el capítulo 4. I 38 l Repaso y resumen del capítulo 1 Cuando fuerzas transversales P y P' iguales y opuestas de magnitud P se aplican a un elemento AB (figura 1.16a), se crean esfuerzos cortantes T sobre cualquier sección localizada entre los puntos de aplicación de lasdos fuerzas (sección 1.6). Estos esfuerzos varían mucho a través de la seccióny no puede suponerse que su distribución sea uniforme. Sin embargo,dividiendo la magnitud de P --conocida como el cortante en la sección- por el área A de la sección transversal, se define el esfuerzo promedio corte sobre la sección: de P Tprom 39 Fuerzas transversales. P A Esfuerzo cortante e B - A ( 1.8) P' Figura 1.16a Los esfuerzos cortantes se encuentran en pernos, pasadores o remaque ches conectan dos elementos estructurales o componentes de maquinaria.Por ejemplo, en el caso del perno CD (figura 1.18), que se encuentra en cortante único, se anotó P Tprom = F - A Cortante único y doble e F E' D Figura 1.18 A (1.9) . F' E ~ B A mientrasque, en el caso de los pernos EG y HJ (figura 1.20), que se encuentran ambos en cortante doble, se tuvo que Tprom = A- P F/2 A F 2A (1.10) E H K' F Los pernos, pasadores y remaches también crean esfuerzos en los elementosque conectan, a lo largo de la superficie de apoyo o superficie de contacto (sección 1.7). El perno CD de la figura 1.18, por ejemplo, crea esfuerzos en la superficie semicilíndrica de la placa A con la que está en contacto (figura 1.22). Como la distribución de estos esfuerzos es muy complicada, en la práctica se emplea un valor nominal promedio CTb del esfuerzo, llamado esfuerzo de apoyo, que se obtiene de dividir la carga P entre el área del rectángulo que representa la proyección del perno sobre la sección de la placa. Si t es el espesor de la placa y d el diámetro del perno, se tiene .-L F' K G Figura 1.20 L' ] Esfuerzo de apoyo CTb = A- P - !... td (1.11) En la sección 1.8, se aplicó el concepto introducido en las secciones previasal análisis de una estructura sencilla que consta de dos elementos conectados por pasadores que soportan una carga dada. Se determinaron, sucesivamente, los esfuerzos normales en los dos elementos, prestando especial atención a sus secciones más angostas, los esfuerzos cortantes en los diversos pernos, y el esfuerzo de apoyo en cada conexión. El método que deberá seguirse en la solución de un problema de mecánicade materiales se describió en la sección 1.9. Su solución deberá comenzarenunciando de manera clara y precisa el planteamiento del problema.Deberán entonces dibujarse uno o varios diagramas de cuerpo libre que seemplearán para escribir las ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones se resuelvenpara determinar las fuerzas desconocidas, de las que pueden calcularselos esfuerzos y deformaciones requeridas. Una vez que se ha obtenidouna respuesta, deberá verificarse con cuidado. Figura 1.22 Método de solución 40 Introducción. El concepto de esfuerzo Esfuerzos en una sección oblicua P' P Figura 1.30a La primera parte del capítulo terminó con el estudio de la importancia de la exactitud numérica en la ingeniería. Se enfatizó que la exactitud de una respuesta nunca puede ser mayor que la exactitud de los datos recibidos (sección 1.10). En la sección 1.11, se analizaron los esfuerzos creados en una sección oblicua en un elemento con dos fuerzas bajo carga axial. Se encontró que tanto esfuerzos normales como los cortantes ocurren en tal situación. Con la denotación de () para el ángulo formado por la sección con un plano normal (figura 1.30a) y Ao para el área de la sección perpendicular al eje del elemento, se dedujeron las siguientes expresiones para el esfuerzo normal (J y el esfuerzo cortante T sobre la sección oblicua: P P (T =- cos2 () T = Ao - sen Ao () cos () (1.14) Se observó, a partir de estas fórmulas, que el esfuerzo normal es máximo e igual a (Tm = P1Ao para () = 0, mientras que el esfuerzo cortante es má- ximo e igual a Tm Esfuerzo bajo carga general y = PI2Ao (J = 45°. También se advirtió que T = O para z Figura 1.36 x cuando () = O,mientras que (T = PI2Aocuando () = 45°. Después, se analizó el estado de esfuerzos en un punto Q en un cuerpo bajo la condición más general de carga (sección 1.12). Se consideró un pequeño cubo centrado en Q (figura 1.36), y se denotó con (Txal esfuerzo normal ejercido sobre una cara del cubo perpendicular al eje x, y por TxyYTxz'respectivamente, a las componentes en y y en z del esfuerzo cortante ejercido sobre la misma cara del cubo. Se repitió este procedimiento para las otras dos caras del cubo y se observó que Txy= Tyx,TyZ= Tz)' Y Tzx = Txz; se concluyó que se requieren seis componentes de esfuerzo para definir el estado de esfuerzo en un punto dado Q, específicamente, (Tx, (Ty, (Tz, Txy, Tyz Y T ZX. En la sección 1.13 se estudiaron los diversos conceptos empleados en el diseño de las estructuras de ingeniería. La carga última de un elemento estructural o componente de maquinaria dado es la carga a la que se espera que el elemento o componente falle; se calcula a partir del esfuerzo último o resistencia última del material usado, que se determina por un ensayo de laboratorio en una probeta de ese material. La carga última deberá ser considerablemente mayor que la carga permisible, esto es, la carga que soportará el elemento o componente en condiciones normales. La razón de la carga última a la carga permisible se define como el factor de seguridad: Factor de seguridad Factor de seguridad = F.S. = carga permisible cargaúltima (1.26) L Diseño por carga y factor de resistencia La determinación del factor de seguridad que deberá usarse en el diseño de una estructura dada depende de ciertas consideraciones, algunas de las cuales fueron enunciadas en esta sección. La sección 1.13 terminó con el análisis de un enfoque alterno de diseño, conocido como diseño por carga y factor de resistencia, que permite al ingeniero distinguir entre las incertidumbres asociadas con la estructura y aquellas asociadas con la carga. 1 l PROBLEMAS DE REPASO 1.59 Para la armadura de puente tipo Pratt y la carga mostradas en la figura, detennineel esfuerzo normal promedio en el elemento BE, sabiendo que el área de seccióntransversal del elemento es de 3750 mm2. 1.60 Si se sabe que el eslabón DE tiene l in. de ancho y 360 kN Figura P1.59 360kN 360 kN terminel esfuerzonormalen la porción central de dicho eslabón cuando a) (J = O, e b)O=90°. kin. de espesor, de- 2 in. ~ 1112;.1:1 O .." Sin. r ~' .A "." Q ¿ ~ JI-6 in.~D ' e C) L 60 lb Figura P1.60 1.61 Dos duelas de madera, cada una de 22 mm de espesor y 160 mm de ancho,están unidas mediante el ensamble pegado de mortaja que se muestra en la figura.Si se sabe que la junta fallará cuando el esfuerzo cortante promedio del pegamentolcancelas 820 kPa, determine la longitud mínima permisible d de los cortes a silajunta tiene que soportar una carga axial de P = 7.6 kN. idi Pegamento P' p r d Figura P1.61 1.62 El eslabónAB, cuyo ancho es b = 2 in. y su espesor t = ~ in., se emplea parasoportarel extremo de una viga horizontal. Si se sabe que el esfuerzo normal promedio el eslabónes de -20 ksi, y que el esfuerzo cortante promedio en cada en unodelos pasadores es de 12 ksi, determine a) el diámetro d de los pasadores, b) el esfuerzo romedio de apoyo en el eslabón. p d ........... Figura P1.62 41 42 Introducción. El concepto de esfuerzo 1.63 Dos sistemas idénticos de eslabón y cilindro hidráulico controlan la posición de las horquillas de un montacargas. La carga soportada para el sistema que se muestra en la figura es de 1500 lb. Si se sabe que el espesor del elemento BD es de in., determine a) el esfuerzo cortante promedio en el pasador de in. de diámetro en B, b) el esfuerzo de apoyo en B en el elemento BD. i ! 1.64 Determine la carga máxima P que puede aplicarse en A cuando () = 60°, sabiendo que el esfuerzo cortante promedio en el pasador de 10 mm de diámetro en B no debe exceder de 120 MPa y que el esfuerzo de apoyo promedio en el elemento AB y en la ménsula en B no tienen que rebasar los 90 MPa. p Figura P1.63 Figura P1.64 60 in. l. Im. de diámetro B 1.65 La carga de 2 000 lb debe moverse a lo largo de la viga BD hacia cualquier posición entre los topes situados en E y F. Si se sabe que CTerm 6 ksi para el p = acero empleado en las varillas AB y CD, determine el sitio donde deberían colocarse los topes si el movimiento permitido de la carga tiene que ser tan grande como resulte posible. 1.66 Dos elementos de madera con sección transversal rectangular uniforme de 75 X 125 mm están unidos mediante un empalme sencillo pegado al sesgo como se muestra en la figura. Si se sabe que P = 3.6 kN Y la resistencia del pegamento es de 1.1 MPa en tensión y de 1.4 MPa en cortante, determine el factor de seguridad. Figura P1.65 1'250 mm L ~~ ~400mm~ B I 250mm e l Figura P1.66 24 kN Figura P1.67 1.67 Cada uno de los dos eslabones verticales CF que conectan los dos elementos horizontales AD y EG tiene una sección transversal rectangular uniforme de 10 x 40 mm y está fabricado con acero cuya resistencia última a la tensión es de 400 MPa, mientras que cada uno de los pernos en C y F tiene diámetro de 20 mm y fue elaborado con un acero que tiene resistencia última a cortante de 150 MPa. Determine el factor global de seguridad para los eslabones CF y para los pasadores que los conectan a los elementos horizontales. l 1.68 Una fuerza P se aplica como se muestra en la figura sobre una barra de refuerzoempotrada en un bloque de concreto. Determine la mínima longitud L para la que puede desarrollarse todo el esfuerzo normal permisible en la barra. Exprese losresultados en términos del diámetro d de la barra, el esfuerzo normal permisible O"penn el concreto, y el esfuerzo de adherencia permisible promedio Tpermentre el en concretoy la superficie cilíndrica de la barra. (Ignore los esfuerzos normales entre el concreto y el extremo de la barra.) 1.69 Las dos partes del elemento AB están adheridas a lo largo de un plano queforma un ángulo () con la horizontal. Si se sabe que el esfuerzo último para la unión pegadaes de 2.5 ksi en tensión y de 1.3 ksi en cortante, determine a) el valor de(Jpara el que el factor de seguridad del elemento sea máximo, b) el valor correspondientedel factor de seguridad. (Sugerencia: Iguale las expresiones obtenidas para losfactores de seguridad respecto al esfuerzo normal y al cortante.) Figura P1.68 Problemas para computadora 43 Figura P1.69 Y P1.70 1.70 Las dos partes del elemento AB están adheridas a lo largo de un plano queforma un ángulo () con la horizontal. Si se sabe que el esfuerzo último para la uniónpegada es de 2.5 ksi en tensión y de 1.3 ksi en cortante, determine el rango de valoresde () para el que el factor de seguridad del elemento sea de al menos 3.0. PROBLEMAS PARA COMPUTADORA Lossiguientesproblemas se diseñaron para ser resueltos con una computadora. 1.C1 Una varilla de acero sólida con n elementos cilíndricos soldados se somete a la carga mostrada en la figura. El diámetro del elemento i se denota mediante d¡ y la cargaaplicada a su extremo inferior mediante p¡, donde la magnitud p¡ de esta carga sesupone positiva si p¡ se dirige hacia abajo como se muestra en la figura, y negativa siocurreotra cosa. a) Escriba un programa para computadora que pueda emplearse con unidadesdel SI o del sistema inglés para determinar el esfuerzo promedio en cada elementode la varilla. b) Utilice este programa para resolver los problemas l.l y 1.3. L Elemento n Elemento 1 Figura P1.C1 44 Introducción. El concepto de esfuerzo 1.C2 Al elemento horizontal ABC se le aplica una fuerza de 20 kN como se indica en la figura. El elemento ABC tiene una sección transversal rectangular uniforme de 10 X 50 mm y la soportan cuatro eslabones verticales, cada uno con sección transversal rectangular uniforme de 8 X 36 mm. Cada uno de los cuatro pernos en B, C, D y E tiene el mismo diámetro d y se encuentra en cortante doble. a) Escriba un programa de computadora con el fin de calcular, para valores de d de 10 a 30 mm, en incrementos de l mm, 1) el valor máximo del esfuerzo normal promedio en los eslabones que conectan los pernos B y D, 2) el esfuerzo normal promedio en los eslabones que conectan los pernos C y E, 3) el esfuerzo cortante promedio en el perno B, 4) el esfuerzo cortante promedio en el perno C, 5) el esfuerzo promedio de apoyo en B en el elemento ABC, 6) el esfuerzo promedio de apoyo en C en el elemento ABe. b) Verifique el programa comparando los valores obtenidos para d = 16 mm con las respuestas dadas para los problemas 1.9 y 1.27. e) Utilice este programa para encontrar los valores permisibles del diámetro d de los pernos, sabiendo que los valores permisibles para los esfuerzos normal, cortante y de apoyo para el acero utilizado son, respectivamente, 150 MPa, 90 MPa y 230 MPa. d) Resuelva la parte e, suponiendo que el espesor del elemento ABC se ha reducido de 10 a 8 mm. Figura P1.C2 0.5 in. 1.C3 Dos fuerzas horizontales de 5 kips se aplican al perno B del ensamble mostrado. Cada uno de los tres pasadores en A, B Y C tiene el mismo diámetro d y está en cortante doble. a) Escriba un programa de computadora que ayude a calcular, para valores de d de 0.50 a 1.50 in., utilizando incrementos de 0.05 in., 1) el máximo valor del esfuerzo normal promedio en el elemento AB, 2) el esfuerzo normal promedio en el elemento BC, 3) el esfuerzo cortante promedio en el perno A, 4) el esfuerzo cortante promedio en el perno C, 5) el esfuerzo promedio de apoyo en A en el elemento AB, 6) el esfuerzo promedio de apoyo en C en el elemento BC, 7) el esfuerzo promedio de apoyo en B en el elemento Be. b) Verifique el programa comparando los valores obtenidos para d = 0.8 in. con las respuestas dadas para los problemas 1.10 y 1.28. e) Emplee este programa para encontrar los valores permisibles para el diámetro d de los pernos, sabiendo que los valores permisibles para los esfuerzos normal, cortante y de apoyo para el acero utilizado son, respectivamente, 22 ksi, 13 ksi y 36 ksi. d) Resuelva la parte e, suponiendo que se investiga un nuevo diseño, en el que el espesor y el ancho de los dos elementos se cambian, respectivamente, de 0.5 a 0.3 in. y de 1.8 a 2.4 in. a ¡p A Figura P1.C3 15 in. T L -18in. -12 in I Figura P1.C4 L 1.C4 Una fuerza P de 4 kips que forma un ángulo a con la vertical se aplica, como se muestra en la figura, al elemento ABC, que es soportado por un pasador y una ménsula en C y por un cable BD que forma un ángulo (3 con la horizontal. a) Sabiendo que la carga última del cable es de 25 kips, escriba un programa de computadora para construir una tabla de los valores del factor de seguridad del cable para valores de a y {3de O a 45°, utilizando incrementos en a y {3 correspondiendo a incrementos de 0.1 en tan a y tan (3. b) Verifique que, para cualquier valor dado de a, el valor máximo del factor de seguridad se obtiene para (3 = 38.66° Yexplique por qué. e) Determine el valor mínimo posible del factor de seguridad para {3 = 38.66°, así como el valor correspondientede a, y explique el resultado obtenido. 1.C5 Una carga P es soportada, como se muestra en la figura, por dos elementosde madera con sección transversal rectangular uniforme que están unidos por un empalmesencillo al sesgo pegado. a) Si (Tu Y Tu son, respectivamente, la resistenciaúltimadel empalme a tensión y en cortante, escriba un programa de computadoraque, aravaloresdados de a, b, P, (TuYTu, expresados sea en unidades SI o amep ricanas,y para valores de a de 5 a 85°, con intervalos de 5°, pueda utilizarse para calcular1) el esfuerzo normal del empalme, 2) el esfuerzo cortante en el empalme, 3)el factor de seguridad relativo a la falla en tensión, 4) el factor de seguridad relativoa la falla a corte, 5) el factor general de seguridad para la junta pegada. b) Aplique este programa, utilizando las dimensiones y cargas de los elementos de los problemas1.29 y 1.32, sabiendo que (Tu = 1.26 MP Y Tu = 1.50 MPa para el adhesivoutilizado en el problema 1.29, y que (Tu = 150 psi y Tu = 214 psi para el adhesivo empleado en el problema 1.31. e) Verifique para ambos casos que el esfuerzo cortante es máximo para a Problemas para computadora 45 = 45°. 1.C6 Al elemento ABC lo soportan un pasador y una ménsula en A y dos eslabones,que están conectados por pasadores al elemento en B y a un apoyo fijo en D.a) Escribaun programa de computadora para calcular la carga permisible Pperm paracualesquierade los valores dados de 1) el diámetro di del pasador en A, 2) el diámetroomúnd2 de los pasadores en B y D, 3) el esfuerzo normal último (Tuen c cada unode los dos eslabones, 4) el esfuerzo cortante último Tu en cada uno de los trespasadores, 5) el factor general de seguridad deseado F.S. El programa deberá indicartambién cuál de los siguientes tres esfuerzos es crítico: el esfuerzo normal en loseslabones, el esfuerzo cortante en el pasador en A o el esfuerzo cortante en los pasadores B y D. b y e) Verifique el programa utilizando los datos de los probleen mas1.53y 1.54, respectivamente, y comparando las respuestas obtenidas para Pperm conlas propuestas en el texto. d) Utilice el programa para determinar la carga permisiblePperm' sí como cuál de los esfuerzos es crítico, cuando di = d2 = 15 mm, a (fu = 110 MP para eslabones de aluminio, Tu = 100 MPa para pasadores de acero y F.S. = 3.2. P' Figura P1.C5 Vista superior 1--200 rnrn---r-180 rnrn--j12 rnrn 8rnrn
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