Mecanica de Materiales Beer

Documents

jacinto-ramirez-lopez
AULA POLITÈCNICA 15 Resistencia de materiales Problemas resueltos AULA POLITÈCNICA / ETSEIB EDICIONSUPC Miquel Ferrer Ballester José Luis Macías Serra Frederic Marimón Carvajal M. Magdalena Pastor Artigues Francesc Roure Fernández Lluís Vilaseca Vilanova Resistencia de materiales Problemas resueltos La presente obra fue galardonada en el quinto concurso "Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC. Primera edición: septiembre de 1999 Reimpresión: febrero de 2001 Segunda edición: septeimbre de 2002 Diseño de la cubierta: Manuel Andreu © los autores, 1999 © Edicions UPC, 1999 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: edicions-upc@upc.es Producción: CPDA Av. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona Depósito legal: B-30564-2002 ISBN: 84-8301-621-4 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san- ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro- cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos. Prólogo 7 Prólogo Elpresentelibroesunacoleccióndeproblemasresueltosdestinadaafacilitarelaprendizajedela ResistenciadeMaterialesatravésdesuaplicaciónalaresolucióndeejemplosconcretos.Hasido elaboradopensandoensuusoporpartedeestudiantesdeIngenieríaydeArquitectura,comotexto complementario a un libro de teoría de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque y nomenclatura seadaptaespecialmentealtexto ResistenciadeMaterialesdeF.Roure,F.Marimóny X. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fascículos. Sesuponequeantesdeabordarlosproblemasdecadacapítulo,ellectorhabráadquiridolos conocimientosdeteoríacorrespondientes,yporellonoserepasandeformaexplícitaenelpresente libro.Sesuponeasimismoqueellectorhaseguidopreviamenteuncursodemecánicademedios continuos,yquedisponedelosconocimientosdeelasticidadlinealnecesarios.Alefectosehan incluido en la Bibliografía textos de teoría sobre ambos aspectos. LostemasquecubreestelibrosonlosclásicosdeunprimercursodeResistenciadeMateriales:los temasbásicosrelativosalapiezaprismática.Unarápidaojeadaalíndiceilustraperfectamenteel alcancedeltemarioabordado.Sehacentradoeltextoenestostemasbásicosparaadaptarlo precisamente al desarrollo de un curso de duración cuatrimestral; aunque al final de algunos capítulos se han introducido también problemas más complejos (van marcados con un asterisco), para aquellos lectores que deseen profundizar en dichos temas. Los casos más sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en este libro como problemas, porqueyasuelenencontrarsecomoejemplosintroductoriosenloslibrosdeteoría,ynoseha consideradonecesariorepetirlos.Tampocosehapretendidoelaborarunacolecciónexhaustivade problemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas. Apesardelasnumerosasrevisionesquehemoshechodeltextoydelaspruebasdeimpresión, estamossegurosdequealgunoserroresyerratashabránconseguidocolarse(confiamosenquesean sólo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector. Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que, como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confección deltexto, las fórmulas y los dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu. Los autores Barcelona, junio de 1999 Índice 9 Índice 1 Diagramas de esfuerzos.......................................................................................................11 2 Esfuerzo normal...................................................................................................................25 3 Esfuerzo de cizalladura pura................................................................................................35 4 Características de secciones.................................................................................................45 5 Dimensionado de secciones a flexión..................................................................................53 6 Flexión desviada y flexión compuesta.................................................................................75 7 Torsión y esfuerzos combinados..........................................................................................89 8 Corrimientos en piezas prismáticas....................................................................................131 9 Piezas y sistemas hiperestáticos.........................................................................................139 10 Inestabilidad elástica...........................................................................................................161 Bibliografia................................................................................................................................185 Bibliografía185 Bibliografía COURBON, J. Resistencia de materiales (I y II). Madrid, Aguilar, 1968. LAROZE, S. Resistance des materiaux et Structures (I,II,III y IV). París, Eyrolles-Masson & Cia, 1974. LOVE, A.E.H. A treatise on the mathematical Theory of Elasticity. New York, Dover, 1944. NEUBER, H. Mecánica técnica (II). Madrid, Dossat, 1977. ORTIZ, L. Elasticidad. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998. ORTIZ, L. Resistencia de materiales. Madrid, Mc Graw-Hill, 1991. ROURE, F.; MARIMÓN, F.; AYNETO, X., Resistencia de materiales (Fascículos). Barcelona, CPDA- ETSEIB, 1998 TIMOSHENKO, S.P., Resistencia de materiales. Madrid, Espasa-Calpe, 1967. UGURAL, A.C.; FENSTER, S.K. Advanced Strength and applied Elasticity. New York, Elsevier, 1987. 1 Diagramas de esfuerzos11 1 Diagramas de esfuerzos 12Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.1 Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura. Resolución: a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE. b) Cálculo de las reacciones. Tomamos momentos respecto al punto C: ¦ Ÿ0 c M N 3 , 33 - = N 3 100 0 800 2 600 3 600 6 Ÿ ˜˜˜ AV AV R R Suma de fuerzas verticales y horizontales: N 3 1900 600 3 100 0 600 0ŸŸ ¦ CV CV AV V R R R F N 600 0Ÿ ¦ AH H R F N 600 2 2 2 600 N 600 2 2 2 600 ˜ ˜ V H F F Ejes globales A B C E D 600 2N 45 o 3 m 3 m 2 m 2 m 800 Nm A B C E D 600 N 600 N R AV R AH R CV 800 Nm 1 Diagramas de esfuerzos13 c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC. TramoAB:Nm 100 0 3 100 ) (˜ ˜ B A AV M M x x R x M Tramo BC: Diagramas. Equilibrio del nudo B. Nm 800 2 600 3 600 6 3 100 Nm 1100 1200 0 3 3 100 2 600 ) 3 ( 600 ) ( ˜˜˜ ˜ ˜˜ C B AV M M x x R x M 600 N 600 N 600 N 3 1900 N B 100/3 N B E A B C D + 600 N 600 N A B C D B E - - + 1200 N·m -100 N·m -800 N·m A B C D B E + 600 N 1900 3 N - N T M 1100 N·m - - N 3 100 14Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.2 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida a una carga repartida triangular. Resolución: a) Cálculo de la reacciones. Resultante de la carga N 4800 2 6 1600 ˜ Q . N 1600 N 3200 6 4 4800 4 4800 6 0 4800 ˜ ˜˜ Ÿ ¦ A B B A B A R R R M R R A B 6 m 4 m 2 m 4800 N R B R A 6 m A B x m N 1600 T 6 1 Diagramas de esfuerzos15 b) Cálculo de los esfuerzos de sección. Sección situada a una distancia x del apoyo A: T: 2 0 2 0 0 12 1600 1600 2 6 1600 1600 6 1600 1600 1600 x T d d q T x x x ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ = ÷ = ÷ = ) ) ç ç ç ç M: ( ) ( ) 6 6 1600 1600 3 2 6 1600 1600 3 2 6 1600 1600 6 1600 1600 1600 3 3 3 0 3 2 0 0 x x x x x M x x M d x x d x q x M x x x ÷ = | | . | \ | | | . | \ | ÷÷ = ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | ÷÷ = ÷÷ = ÷÷ = ) ) ç ç ç ç ç ç ç L = 6 m A B x m N 1600 1600 N 3200 N ç x-ç dç 16Resistencia de materiales. Problemas resueltos c) Diagramas. d) Punto de M máx Nm 3695 46 , 3 12 1600 46 , 3 1600 m 46 , 3 12 12 1600 1600 0 0 2 máx 2 ˜˜ o Ÿ w w M x x T T T x M 1600 N 3695 Nm 3200 N AT - M + + 1 Diagramas de esfuerzos17 Problema 1.3 Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura. Resolución: Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática. N 2 300 0 2 2 200 2 2 400 4 0 N 2 400 0 0 2 200 0 Ÿ˜˜˜ Ÿ Ÿ Ÿ ¦ ¦ ¦ C C A AH H C AV V R R M R F R R F N 2 200 N 2 400 2 m 2 m 2 m 45 q C B A 2 200 2 400 C B A R AV R C R AH 18Resistencia de materiales. Problemas resueltos por tanto,N R AV 2 100y descomponiendo cada reacción en las direcciones de las barras, Diagrama Diagrama Diagrama 2 400 400 400 400 400 2 400 100 100 100 100 2 100 2 100 300 300 300 300 2 300 2 300 N + - C A B 500 N -300 N T + - C A B 300 N 300 N M 1 Diagramas de esfuerzos19 M = 300 · x Nm 2 600 0 B A M M M = 300 · x’ Nm 2 600 0 B C M M Método alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica. Paraquelastresfuerzasesténenequilibrio,suslíneasdeaccióndebencruzarseenpuntoO(yaque 0 0 ¦ M ). A partir de la línea de acción vertical de R C , se obtiene O. A B x + C B 300 N x’ + 2 200 2 400 C B R A R C F G F G R C R A // OA // OC 20Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.4 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura. Resolución: Cálculo de las reacciones: N 6133 N 4467 8 3000 6 3 6 600 2 4000 : 0 3000 6 600 4000 : Ÿ ˜˜˜ ˜˜ ˜ ¦ ¦ B C C B C B V R R R M R R F Diagrama de momentos flectores: Tramo AB: Nm 8000 0 4000 ˜ B A M M x M Tramo BC: Nm 6000 Nm 8000 2 2 600 2 6133 4000 2 ˜ ˜˜ C B M M x x x M Tramo CD: 0 Nm 6000 8 4467 5 6 600 2 6133 4000 ˜ ˜ ˜ ˜˜ D C M M x x x x M Diagrama de esfuerzos cortantes. Tramo AB: N 4000 N 4000 N 4000 B A T T T 4000 N 3000 N P 1 A P 2 B C D p = 600 ml N a = 2 m L = 6 m b = 2 m 1 Diagramas de esfuerzos21 Tramo BC: N 1467 N 2133 2 600 6133 4000 ˜ C B T T x x T Tramo CD: N 3000 N 3000 4467 3600 6133 4000 D C T T T El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente es horizontal, o sea: m 35 , 5 0 2 600 6133 4000 : 0Ÿ ˜ w w E E x x T x M M E = -4208 Nm D -8000 -6000 2133 -4000 -4000 3000 3000 -1467 M ( Nm ) ( N ) T - - - + + E x E A B C a = 2 m L = 6 m b = 2 m 22Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.5 Enlavigaenvoladizodelafigura,calcularlasreaccionesenelempotramientoydibujarlos diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga. Resolución: a) Reacciones en el empotramiento. Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos: ¿ ¾ ½ ˜ ˜˜ m KN 22 2 10 5 , 0 4 KN 14 E E M F Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga. 1 m 1 m 2 m 0,5m 4 KN 5 KN/m 2 m 0.5m 4 KN F E 10 KN M E 1 m 2 m 0.5m 4 KN F E M E 5 KN/m 1 Diagramas de esfuerzos23 b) Diagramas Tramo AB: M = 0 T = 0 Tramo BC: KN 10 0 KN 1 5 0 0 m KN 2 1 5 2 2 ˜ ˜ ˜ C B C B T T x T M M x M 1 m 2 m 0,5 4 KN 5 KN/m 0,5 - + M T E D C B A x 24Resistencia de materiales. Problemas resueltos Tramo CD: KN 10 KN 10 KN 10 m KN 15 m KN 10 m KN 2 10 ˜ ˜ ˜˜ D C D C T T T M M x M Tramo DE: KN 14 KN 14 KN 14 4 10 m KN 22 m KN 15 m KN 5 , 3 4 2 10 ˜ ˜ ˜˜ ˜ E D E D T T T M M x x M Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque en este caso,es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo de la izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico; pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado). 2Esfuerzo normal25 2 Esfuerzo normal 26 Resistencia demateriales. Problemas resueltos Problema 2.1 Tenemosunabarrarígidaqueestásuspendidapordoscablesdeigualdiámetro‡4 mm,ycuyos módulos de elasticidad son: E 1 =2.1·10 5 MPa y E 2 =0.7·10 5 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm yladeloscables300mm.Seconsideradespreciableelpesopropiodelabarra.Dichabarraestá sometida a una carga puntual P=500 N. Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso. Resolución: Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad de deformaciones. 0 ) ( 0 0 ˜ Ÿ Ÿ ¦ ¦ x L P L R M P R R F A B B A V P=500 N AB 600 mm x 300 mm ‡4 mm ‡4 mm E 1 E 2 P=500 N AB R A R B 'L B 'L A 2Esfuerzo normal27 N 375 N 125 4 500 500 3 3 70000 210000 : Hooke de Ley 2 1 2 1 Ÿ Ÿ Ÿ ˜ ˜ Ÿ ˜ ˜ ˜ ˜ '' A B B B B A B B A B B A A B A R R R R R R R E E R R E S L R E S L R L L De la ecuación de los momentos obtenemos x: mm 150 0 ) 600 ( 500 600 375 0 ) ( Ÿ˜ ˜ x x x L P L R A 28 Resistencia demateriales. Problemas resueltos Problema 2.2 En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremosA y D están empotrados. Determinar las tensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: A a =40 cm 2 y A b =80 cm 2 . Hallar también el diagrama de esfuerzos axiles. Datos: E=2·10 5 MPa. Resolución: F V ¦ 0 R A + R D = 15 T = 150000 N Ecuación de deformación EltramoACestácomprimido,portantoR A esunesfuerzodecompresión,yeltramoCDestá traccionado, por lo que R D es un esfuerzo de tracción. Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento del tramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior: CD BC AB L L L ''' Aplicando la ley de Hooke: 'L F L A E ˜ ˜ b CD D b BC A a AB A A E L R A E L R A E L R ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ B C 1 m 3 m 1 m 15 T A A a =40 cm 2 A b =80 cm 2 D 2Esfuerzo normal29 2 5 2 5 2 5 10 80 10 2 1000 10 80 10 2 3000 10 40 10 2 1000 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ D A A R R R 1000 3000 2000 ˜˜˜ D A A R R R Resolviendo las ecuaciones, tenemos T 5 12 N 125000 T 5 2 N 25000 . R . R B A Cálculo de las tensiones. Tramo AB:(COMP.) MPa 25 . 6 mm 10 40 N 25000 2 2 ˜ AB V Tramo BC:(COMP.) MPa 125 . 3 mm 10 80 N 25000 2 2 ˜ BC V Tramo CD:(TRAC.) MPa 625 . 15 mm 10 80 N 125000 2 2 ˜ CD V Diagrama de esfuerzos normales: A B C 1 m 3 m 1 m 15 T D RA RD A B C D 2.5 T 12.5 T - + 30 Resistencia demateriales. Problemas resueltos Problema 2.3 a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 m delongitud,soportanunpesoP=5KN.CalculareldescensoGdelpuntoC,siendoD=20º. Datos: E=2,1·10 5 MPa. b) Resolver para D=0º. Resolución: a) Para D=20º: Del equilibrio del punto C se obtiene D D sen 2 2 sen P N P N Sea G(CC 1 )eldescensodelpuntoC,entonceselalargamientodelabarraAC,'L,seráC’C 1 pudiendoconsiderarseeltriánguloCC’C 1 rectánguloenC’.Aquíes D G sen L ' .Comoporotra parte: EA NL L', se tiene que: mm 13 , 1 34202 . 0 10 14 , 3 10 1 . 2 2 3500 5000 sen 2 sen 2 2 5 2 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ D D G EA PL EA NL b) Para D=0º: N P D N Equilibrio del punto C N N D P D A B C P L L E C 1 G P L L C D C’ C 1 G A B 2Esfuerzo normal31 De acuerdo con la estática de los sistemas rígidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones de las barras, se encontrarían, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamente grandes. La solución evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistirían. A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de las barras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta las deformaciones en este caso. Poniendo µ µ o = · tg L (para ángulos pequeños) el alargamiento de las barras vale 2 1 1 1 1 AC AC AC 2 2 2 2 2 1 µ µ o o r = - - · - ( , ¸ ¸ ¸ - · - - · - · L L L L Esta última igualdad proviene de la expresión: ( ) ! 128 5 16 1 8 1 2 1 1 1 1 4 3 2 2 1 ± - ± - ± · ± · ± a a a a a a Para a @ m KN 1905 2 400 235 12 400 5 , 12 235 25 300 2 2 2 2 1 1 . ˜ » ¼ º « ¬ ª ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜ ˜˜ ˜ ˜ # d A d A M e e z pl V V Coeficiente \: 12 , 1 1694 1905 . . z el z pl M M \ b) Diferente acero. Caso elástico TienelasmismasconstantesmecánicasI Z ,W Z ,perolatensiónenlafibraextrema 355 250 400 425 235 max V m KN 1802 250 10 7210 3 . . ˜˜ ˜˜ max z el z el W M V Caso plástico m KN 2648 mm N 235 mm N 355 2 2 2 2 2 1 1 . ˜ » ¼ º « ¬ ª ˜ ˜˜ ˜ ˜ # d A d A M z pl Coeficiente \: 47 , 1 1802 2648 . . z el z pl M M \ V max V e = 355 V e = 235 V e = 235 Eje neutro plástico M el.z M pl.z A 1 · V e A 2 · V e d 1 d 2 V e = 235 400 425 6 Flexión desviada y flexión compuesta75 6Flexión desviada y flexión compuesta 76 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 6.1 * Hallar el punto de la sección con mayor tensión normal, y el valor de esta tensión. Resolución: a)Determinación del momento flector máximo ( en la sección central x = 2 m ) 30 q o q 1,5 y’ z’ 1,5 7,5 1,5 18 kg m 4000 8 4 2000 8 2 2 ˜ ˜ ql M max q = 2000 kg/ml 4 m 6 Flexión desviada y flexión compuesta77 ÷ M esperpendiculara ÷ q yforma30 ° conelejez’.Losejesy’-z’nosonlos ejesprincipalesdeinercia.Vamosa determinarlos. b) Determinación de los momentos de inercia principales I y’ , I z’ Primerohallaremoseltensordeinerciaenejesy’-z’(noprincipales)yacontinuaciónlo diagonalizaremos, para hallar los momentos de inercia principales y sus direcciones (ejes principales) ( ) 4 2 3 ' 2 ' 1 4 3 ' 3 4 3 ' 3 cm 8 , 767 2 5 , 1 9 5 , 1 5 , 7 5 , 1 5 , 1 9 12 1 cm 06 , 5 5 , 1 18 12 1 cm 729 18 5 , 1 12 1 = | . | \ | ÷ +÷= = = = = = z z y z I I I I z’ 2 3 1 y’ y’ z’ M= 4000 mkg 30° 30° ÷ q 78 Resistencia de materiales. Problemas resueltos I 3y’z’ =0 por tener eje de simetría. Tensor de inercia Los momentos principales de inercia son los valores propios. 4 ' 4 ' 4 2 3 ' 2 ' 1 cm 14 , 566 54 , 280 2 06 , 5 cm 6 , 2264 8 , 767 2 729 cm 54 , 280 2 5 , 7 2 5 , 1 5 , 1 5 , 7 5 , 7 5 , 1 12 1 =+ = =+ = = | . | \ | + + = = y z y y I I I I ( ) 4 ' ' 4 ' ' 2 ' ' 1 cm 3 , 835 2 65 , 417 cm 65 , 417 2 5 , 7 75 , 0 75 , 0 9 5 , 1 5 , 7 0 ÷ =÷ = ÷ = ( ¸ ( ¸ | . | \ | +÷ + ÷ = = z y z y z y I I I 14 . 566 3 , 853 3 , 853 6 , 2264 ' ' ' ' ' ' = ÷ ÷ y z y z y z I I I I ( )( ) ( ) 0 55 , 354 584 74 , 2830 0 3 , 835 14 , 566 6 , 2264 14 , 566 6 , 2264 0 3 , 835 14 , 566 6 , 2264 0 14 , 566 3 , 835 3 , 835 6 , 2264 2 2 2 2 = + ÷ = ÷ + ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ¬ = ÷ ÷ ì ì ì ì ì ì ì ì ì ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ = + = ÷ ± = 4 4 2 cm 19 , 224 2 36 , 2382 74 , 2830 cm 55 , 2606 2 36 , 2382 74 , 2830 2 55 , 354 584 4 74 , 2830 74 , 2830 ì ¦ ) ¦ ` ¹ = = 4 4 cm 19 , 224 cm 55 , 2606 y z I I Momentos de inercia principales ( cm 4 ) 6 Flexión desviada y flexión compuesta79 Los vectores propios serán las direcciones principales. El vector propio correspondiente al valor propio 2606,55 cm 4 . ¦ ) ¦ ` ¹ =÷ =+÷ 0 41 , 2040 3 , 835 0 3 , 835 95 , 314 1 1 1 1 y z y z n n n n D 24 , 22 409 , 0 arctg 409 , 0 3 , 835 95 , 341 tg 1 1 = = = = = o o z y n n Ecuación del eje neutro. º 67 , 57 58 , 1 tg = ¬ = = | | z y ( ) ( ) kg m 36 , 3963 24 , 22 30 cos 4000 kg m 540 76 , 7 sen 4000 24 , 22 30 sen 4000 = ÷= = = ÷= D D D z y M M z y z y z I M y I M x x y y z z x 86 , 240 05 , 152 19 , 224 10 540 55 , 2606 10 36 , 3963 2 2 + ÷ = + ÷ = +÷ = o o o z y z y z y 58 , 1 05 , 152 86 , 240 86 , 240 05 , 152 0 = = + ÷ = Angulo que forma el eje neutro con el eje principal z: y z’ y’ z 22,24 ° A(-8.25,9) B(8.25,-9) Eje neutro 22,24 ° | y z’ y’ z M y M z 22,24 ° 30 ° 7,76 ° M ( ) ( ) | | . | \ | = | | . | \ | ÷ ÷ 0 0 55 , 2606 14 , 566 3 , 835 3 , 835 55 , 2606 6 , 2264 1 1 y z n n 80 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Relación entre coordenadas de ambas referencias. ) ` ¹ + ÷ = + = ' 9256 , 0 ' 3784 , 0 ' 3784 , 0 ' 9256 , 0 y z y y z z Las tensiones máximas aparecen en los puntos más alejados del eje neutro ( A y B ) Para A Tensión en A: Tensión en B: ) ` ¹ ÷ = = 9 ' 25 , 8 ' B B y z 2 kg/cm 11 , 2760 ) 230 , 4 ( 86 , 240 452 , 11 05 , 152 ÷ = ÷+÷ = A o ¹ ´ ¦ = ÷ = 9 ' 25 . 8 ' A A y z 452 , 11 9 9256 , 0 ) 25 . 8 ( 3784 , 0 230 , 4 9 3784 , 0 ) 25 . 8 ( 9256 , 0 =+ ÷÷ = ÷ =÷ ÷= A A y z 2 kg/cm 11 , 2760 230 , 4 86 , 240 ) 452 , 11 ( 05 , 152 452 , 11 ) 9 ( 9256 , 0 ) 25 , 8 ( 3784 , 0 230 , 4 ) 9 ( 3784 , 0 ) 25 , 8 ( 9256 , 0 =+ ÷÷ = ÷ = ÷+÷ = = ÷÷= B y z o | | . | \ | | | . | \ | ÷ = | | . | \ | | | . | \ | | | . | \ | ÷ = | | . | \ | ' ' 24 , 22 cos 24 , 22 sen 24 , 22 sen 24 , 22 cos ' ' cos sen sen cos y z y z y z y z D D D D u u u u 6 Flexión desviada y flexión compuesta81 Problema 6.2 Una columna tiene la sección en cruz indicada en la figura. La fuerza resultante es de compresión (50 Tn) y pasa por el punto A. Hallar la tensión normal en B y dibujar el eje neutro. Resolución: Trasladando la fuerza al centro de gravedad G de la sección, los esfuerzos equivalentes son: z y z x 50 Tn 10 15 10 10 15 15 B A ( cm ) M y =-875 cmTn z y -50 Tn M z = 250 cm Tn A B y M y = -875 cmTn B -50 Tn M z = 250 cmTn A G z Tn cm 250 cm 2 10 Tn 50 Tn cm 875 cm 2 15 10 Tn 50 Tn 50 == ÷ = | . | \ | +÷ = ÷ = z y M M N 82 Resistencia de materiales. Problemas resueltos a) Tensión normal en B b) Eje neutro z I M y I M A N y y z z x + ÷ = o 2 cm 800 15 15 2 35 10 000 875 000 250 000 50 = += ÷ + ÷ ÷ = A z I y I A y z x o ( ) ( ) 4 3 3 4 3 3 cm 167 44 15 15 12 1 2 10 15 10 10 12 1 cm 81667 10 10 12 1 2 15 10 15 15 12 1 =+ + + = =+ + + = y z I I ¬ ÷ ÷ ÷ = z y x 167 44 000 875 667 81 000 250 800 000 50 o ( ) 2 kg/cm 81 , 19 06 , 3 5 , 62 z y x ÷ ÷ ÷ = o ¹ ´ ¦ ÷ = ÷ = cm 5 , 17 cm 5 z y Coordenadas de B 2 kp/cm 47 , 299 ) 5 , 17 ( 81 , 19 ) 5 ( 06 , 3 5 , 62 = ÷÷ ÷÷ ÷ = B x o 42 , 20 47 , 6 06 , 3 5 , 62 06 , 3 81 , 19 81 , 19 06 , 3 5 , 62 0 ÷ ÷ = ¬ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = z y z y z y 42 , 20 0 15 , 3 47 , 6 42 , 20 0 ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = y z z y para para ) ` ¹ ÷ = = 42 , 20 0 y z y z B eje neutro zona traccionada zona comprimida ¹ ´ ¦ = ÷ = 0 15 , 3 y z 6 Flexión desviada y flexión compuesta83 Problema 6.3 Sobre una columna de sección rectangular ( 40 35˜ cm), se aplican dos fuerzas excéntricas: 30 Tn en el punto P(y = 3, z=4cm)y50TnenelpuntoQ(y= 0,z=-5cm).Dibujarelejeneutroyhallarel punto de máxima tensión normal. Resolución: Trasladando las dos fuerzas al centro de gravedad G de la sección obtenemos: ° ° ° ¿ ° ° ° ¾ ½ ˜˜ ˜ ˜˜ Tn 80 50 30 m Tn 9 , 0 03 , 0 30 m Tn 3 , 1 5 . 2 2 , 1 05 , 0 50 04 , 0 30 N M M z y 5 z y 35 40 3 4 50 Tn 30 Tn P Q M z = 0,9m Tn ˜ 80 Tn C D A B y z M y = 1,3 m Tn ˜ G 84 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Eje neutro: z I M y I M A N y y z z x + ÷ = o ) kg/cm ( 7 , 666 186 130000 7 , 916 142 90000 1400 80000 cm 7 , 666 186 40 35 12 1 cm 7 , 916 142 35 40 12 1 cm 1400 35 40 2 4 3 4 3 2 z y I I A x y z + ÷ ÷ = ¬ ¦ ¦ ¦ ¦ ) ¦ ¦ ¦ ¦ ` ¹ = = = = == o ) mm , ( ) cm , ( ) N/mm ( 0696 , 0 0630 , 0 71 , 5 ) kg/cm ( 696 , 0 630 , 0 14 , 57 2 2 en z y en z y z y z y x x + ÷ ÷ = · + ÷ ÷ = o o 70 , 90 1 , 1 630 , 0 14 , 57 630 , 0 696 , 0 696 . 0 630 , 0 14 , 57 0 ÷ = ÷ ) ` ¹ ÷ = + ÷ ÷ = z y z y z y 70 , 90 0 46 , 82 0 ÷ = ÷ = = ÷ = y z z y y C A B D eje neutro (-90,70 ; 0) (0 ; 82,46) z 6 Flexión desviada y flexión compuesta85 2 2 2 2 2 2 2 2 N/mm 208 , 8 kg/cm 08 , 82 ) 20 ( 696 , 0 5 , 17 630 , 0 14 , 57 N/mm 424 , 5 kg/cm 24 , 54 20 696 , 0 5 , 17 630 , 0 14 , 57 N/mm 004 , 6 kg/cm 04 , 60 ) 20 ( 696 , 0 ) 5 , 17 ( 630 , 0 14 , 57 N/mm 219 , 3 kg/cm 19 , 32 20 696 , 0 ) 5 , 17 ( 630 , 0 14 , 57 ˜˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜ ˜ D C B A V V V V 86 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 6.4 Sehaproyectadounasencillaestructuraparasoportareltableroylacanastadeunapistade baloncesto.Setratadeuntubodeaceroembebidoenunbloquedehormigóna45ºdelahorizontal según se indica en la figura. Se supone que el estado de carga más desfavorable es el que se produce cuando un jugador permanece unosinstantessujetoalarodelacanasta,transmitiendoasítodosupesoalaestructuraenlaforma indicada en la figura. Unavezestudiadoslosefectosdinámicosdeestaacción,seestimaqueelesfuerzomáximoqueel jugador puede llegar a transmitir al aro es de F = 2000 N y M = 10 6 Nmm. La estructura se quiere construir en tubo redondo de acero con espesor de pared de 4 mm. Calcular el diámetro necesario, según la tabla de perfiles normalizados, para que el descenso vertical del punto P no exceda los 80 mm. Notas importantes: - Considerar todos los esfuerzos de sección para calcular el descenso de P. - Trabajar con la carga trasladada al punto P, como se indica en la figura. P 45º L 1 L 0 L F M x y z L=4000 mm L 0 =1000 mm F=2000 N M=10 6 N·mm A 1 =0,5 A Tubo de acero. Espesor de pared: 4mm E=2,1·10 5 MPa G=8·10 4 MPA 6 Flexión desviada y flexión compuesta87 Resolución: Aplicamos el teorema de Castigliano al punto P en la dirección F: x= L x= L 0 x= 0 F M x dx d ˜2 A dx dA P G M x F M x F M x M w w ˜ M - - T T=F 1 w w F T 2 F T 2 1 w w F T - - 88 Resistencia de materiales. Problemas resueltos ) ) ) c c + c c + c c = A A A d F N EA N d F T GA T d F M EI M o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) ) ) = + + + + + + = 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 L L L L L L L L dx EA F dx A G F dx x EI x F M dx A G F dx x EI x F M o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ÷ + ( ¸ ( ¸ + ( ( ¸ ( ¸ + = EA L L F GA L L F EI L L F EI L L M GA FL EI FL EI ML 2 2 2 3 2 2 2 3 2 0 0 3 0 3 2 0 2 0 3 0 2 0 A I 3 , 176 10 389 , 3 8 + = o Buscamos en las tablas de perfiles tubulares circulares: Tubo AI o ( D ext x e) ( cm 2 ) (cm 4 ) (mm) 135 x 4 16,46353,4 96( >80 ) 150 x 4 18,34489,269,4( · · · · - ± - · - ± - · cr N a ac b b N sentido sin N 533630 N 40425 1206 1 2 1788746 1206 1 4 476 476 2 4 2 2 Se cumplen la hipótesis de aproximación para el cálculo del factor de amplificación K: 69242 115403 6 , 0 40425 6 , 0 · · < · s cr N N 54 , 1 1 1 · - · cr N N K Representación gráfica del apartado c): (N) N 115403 40425 44,5 68,5 N cr v (mm) 380 · · - W M K A N 184 Resistencia de materiales. Problemas resueltos c’)Un planteamiento parecido del problema es considerar que v 0 =44,5 mm constituye una preflecha inicial. El momento flectorL F · · 4 1 resta constante y la amplificación es debida al termino 0 1 1 v N N N v N cr · - · · · Los resultados obtenidos no difieren excesivamente de la solución exacta: e W M A N o o s - ·, dondev N L F K M · - · · · · 4 1 2 mm N 380 840 27 115403 1 1 54 , 44 5000 5000 4 1 1206 · - · · - · · - N N N Resolución de la ecuación de 2º grado: 380 115403 115403 27840 54 , 44 225 1206 · - · - - N N N ( ) N N N - · ( , ¸ ¸ ¸ - - · · 115043 225 1206 380 27840 115403 54 , 44 N N N N 69 , 95 17887465 1206 115 6 , 184 2 - - - - · N c b a N N 17887465 435 1206 1 0 2 - · - · · ( ) ' ' ¦ > · - ± - · cr N a ac b b N sentido sin N 479633 N 44977 2 4 2
Please download to view
178
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Description
Text
AULA POLITÈCNICA 15 Resistencia de materiales Problemas resueltos AULA POLITÈCNICA / ETSEIB EDICIONSUPC Miquel Ferrer Ballester José Luis Macías Serra Frederic Marimón Carvajal M. Magdalena Pastor Artigues Francesc Roure Fernández Lluís Vilaseca Vilanova Resistencia de materiales Problemas resueltos La presente obra fue galardonada en el quinto concurso "Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC. Primera edición: septiembre de 1999 Reimpresión: febrero de 2001 Segunda edición: septeimbre de 2002 Diseño de la cubierta: Manuel Andreu © los autores, 1999 © Edicions UPC, 1999 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: edicions-upc@upc.es Producción: CPDA Av. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona Depósito legal: B-30564-2002 ISBN: 84-8301-621-4 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san- ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro- cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos. Prólogo 7 Prólogo Elpresentelibroesunacoleccióndeproblemasresueltosdestinadaafacilitarelaprendizajedela ResistenciadeMaterialesatravésdesuaplicaciónalaresolucióndeejemplosconcretos.Hasido elaboradopensandoensuusoporpartedeestudiantesdeIngenieríaydeArquitectura,comotexto complementario a un libro de teoría de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque y nomenclatura seadaptaespecialmentealtexto ResistenciadeMaterialesdeF.Roure,F.Marimóny X. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fascículos. Sesuponequeantesdeabordarlosproblemasdecadacapítulo,ellectorhabráadquiridolos conocimientosdeteoríacorrespondientes,yporellonoserepasandeformaexplícitaenelpresente libro.Sesuponeasimismoqueellectorhaseguidopreviamenteuncursodemecánicademedios continuos,yquedisponedelosconocimientosdeelasticidadlinealnecesarios.Alefectosehan incluido en la Bibliografía textos de teoría sobre ambos aspectos. LostemasquecubreestelibrosonlosclásicosdeunprimercursodeResistenciadeMateriales:los temasbásicosrelativosalapiezaprismática.Unarápidaojeadaalíndiceilustraperfectamenteel alcancedeltemarioabordado.Sehacentradoeltextoenestostemasbásicosparaadaptarlo precisamente al desarrollo de un curso de duración cuatrimestral; aunque al final de algunos capítulos se han introducido también problemas más complejos (van marcados con un asterisco), para aquellos lectores que deseen profundizar en dichos temas. Los casos más sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en este libro como problemas, porqueyasuelenencontrarsecomoejemplosintroductoriosenloslibrosdeteoría,ynoseha consideradonecesariorepetirlos.Tampocosehapretendidoelaborarunacolecciónexhaustivade problemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas. Apesardelasnumerosasrevisionesquehemoshechodeltextoydelaspruebasdeimpresión, estamossegurosdequealgunoserroresyerratashabránconseguidocolarse(confiamosenquesean sólo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector. Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que, como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confección deltexto, las fórmulas y los dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu. Los autores Barcelona, junio de 1999 Índice 9 Índice 1 Diagramas de esfuerzos.......................................................................................................11 2 Esfuerzo normal...................................................................................................................25 3 Esfuerzo de cizalladura pura................................................................................................35 4 Características de secciones.................................................................................................45 5 Dimensionado de secciones a flexión..................................................................................53 6 Flexión desviada y flexión compuesta.................................................................................75 7 Torsión y esfuerzos combinados..........................................................................................89 8 Corrimientos en piezas prismáticas....................................................................................131 9 Piezas y sistemas hiperestáticos.........................................................................................139 10 Inestabilidad elástica...........................................................................................................161 Bibliografia................................................................................................................................185 Bibliografía185 Bibliografía COURBON, J. Resistencia de materiales (I y II). Madrid, Aguilar, 1968. LAROZE, S. Resistance des materiaux et Structures (I,II,III y IV). París, Eyrolles-Masson & Cia, 1974. LOVE, A.E.H. A treatise on the mathematical Theory of Elasticity. New York, Dover, 1944. NEUBER, H. Mecánica técnica (II). Madrid, Dossat, 1977. ORTIZ, L. Elasticidad. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998. ORTIZ, L. Resistencia de materiales. Madrid, Mc Graw-Hill, 1991. ROURE, F.; MARIMÓN, F.; AYNETO, X., Resistencia de materiales (Fascículos). Barcelona, CPDA- ETSEIB, 1998 TIMOSHENKO, S.P., Resistencia de materiales. Madrid, Espasa-Calpe, 1967. UGURAL, A.C.; FENSTER, S.K. Advanced Strength and applied Elasticity. New York, Elsevier, 1987. 1 Diagramas de esfuerzos11 1 Diagramas de esfuerzos 12Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.1 Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura. Resolución: a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE. b) Cálculo de las reacciones. Tomamos momentos respecto al punto C: ¦ Ÿ0 c M N 3 , 33 - = N 3 100 0 800 2 600 3 600 6 Ÿ ˜˜˜ AV AV R R Suma de fuerzas verticales y horizontales: N 3 1900 600 3 100 0 600 0ŸŸ ¦ CV CV AV V R R R F N 600 0Ÿ ¦ AH H R F N 600 2 2 2 600 N 600 2 2 2 600 ˜ ˜ V H F F Ejes globales A B C E D 600 2N 45 o 3 m 3 m 2 m 2 m 800 Nm A B C E D 600 N 600 N R AV R AH R CV 800 Nm 1 Diagramas de esfuerzos13 c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC. TramoAB:Nm 100 0 3 100 ) (˜ ˜ B A AV M M x x R x M Tramo BC: Diagramas. Equilibrio del nudo B. Nm 800 2 600 3 600 6 3 100 Nm 1100 1200 0 3 3 100 2 600 ) 3 ( 600 ) ( ˜˜˜ ˜ ˜˜ C B AV M M x x R x M 600 N 600 N 600 N 3 1900 N B 100/3 N B E A B C D + 600 N 600 N A B C D B E - - + 1200 N·m -100 N·m -800 N·m A B C D B E + 600 N 1900 3 N - N T M 1100 N·m - - N 3 100 14Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.2 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida a una carga repartida triangular. Resolución: a) Cálculo de la reacciones. Resultante de la carga N 4800 2 6 1600 ˜ Q . N 1600 N 3200 6 4 4800 4 4800 6 0 4800 ˜ ˜˜ Ÿ ¦ A B B A B A R R R M R R A B 6 m 4 m 2 m 4800 N R B R A 6 m A B x m N 1600 T 6 1 Diagramas de esfuerzos15 b) Cálculo de los esfuerzos de sección. Sección situada a una distancia x del apoyo A: T: 2 0 2 0 0 12 1600 1600 2 6 1600 1600 6 1600 1600 1600 x T d d q T x x x ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ = ÷ = ÷ = ) ) ç ç ç ç M: ( ) ( ) 6 6 1600 1600 3 2 6 1600 1600 3 2 6 1600 1600 6 1600 1600 1600 3 3 3 0 3 2 0 0 x x x x x M x x M d x x d x q x M x x x ÷ = | | . | \ | | | . | \ | ÷÷ = ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | ÷÷ = ÷÷ = ÷÷ = ) ) ç ç ç ç ç ç ç L = 6 m A B x m N 1600 1600 N 3200 N ç x-ç dç 16Resistencia de materiales. Problemas resueltos c) Diagramas. d) Punto de M máx Nm 3695 46 , 3 12 1600 46 , 3 1600 m 46 , 3 12 12 1600 1600 0 0 2 máx 2 ˜˜ o Ÿ w w M x x T T T x M 1600 N 3695 Nm 3200 N AT - M + + 1 Diagramas de esfuerzos17 Problema 1.3 Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura. Resolución: Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática. N 2 300 0 2 2 200 2 2 400 4 0 N 2 400 0 0 2 200 0 Ÿ˜˜˜ Ÿ Ÿ Ÿ ¦ ¦ ¦ C C A AH H C AV V R R M R F R R F N 2 200 N 2 400 2 m 2 m 2 m 45 q C B A 2 200 2 400 C B A R AV R C R AH 18Resistencia de materiales. Problemas resueltos por tanto,N R AV 2 100y descomponiendo cada reacción en las direcciones de las barras, Diagrama Diagrama Diagrama 2 400 400 400 400 400 2 400 100 100 100 100 2 100 2 100 300 300 300 300 2 300 2 300 N + - C A B 500 N -300 N T + - C A B 300 N 300 N M 1 Diagramas de esfuerzos19 M = 300 · x Nm 2 600 0 B A M M M = 300 · x’ Nm 2 600 0 B C M M Método alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica. Paraquelastresfuerzasesténenequilibrio,suslíneasdeaccióndebencruzarseenpuntoO(yaque 0 0 ¦ M ). A partir de la línea de acción vertical de R C , se obtiene O. A B x + C B 300 N x’ + 2 200 2 400 C B R A R C F G F G R C R A // OA // OC 20Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.4 Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura. Resolución: Cálculo de las reacciones: N 6133 N 4467 8 3000 6 3 6 600 2 4000 : 0 3000 6 600 4000 : Ÿ ˜˜˜ ˜˜ ˜ ¦ ¦ B C C B C B V R R R M R R F Diagrama de momentos flectores: Tramo AB: Nm 8000 0 4000 ˜ B A M M x M Tramo BC: Nm 6000 Nm 8000 2 2 600 2 6133 4000 2 ˜ ˜˜ C B M M x x x M Tramo CD: 0 Nm 6000 8 4467 5 6 600 2 6133 4000 ˜ ˜ ˜ ˜˜ D C M M x x x x M Diagrama de esfuerzos cortantes. Tramo AB: N 4000 N 4000 N 4000 B A T T T 4000 N 3000 N P 1 A P 2 B C D p = 600 ml N a = 2 m L = 6 m b = 2 m 1 Diagramas de esfuerzos21 Tramo BC: N 1467 N 2133 2 600 6133 4000 ˜ C B T T x x T Tramo CD: N 3000 N 3000 4467 3600 6133 4000 D C T T T El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente es horizontal, o sea: m 35 , 5 0 2 600 6133 4000 : 0Ÿ ˜ w w E E x x T x M M E = -4208 Nm D -8000 -6000 2133 -4000 -4000 3000 3000 -1467 M ( Nm ) ( N ) T - - - + + E x E A B C a = 2 m L = 6 m b = 2 m 22Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 1.5 Enlavigaenvoladizodelafigura,calcularlasreaccionesenelempotramientoydibujarlos diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga. Resolución: a) Reacciones en el empotramiento. Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos: ¿ ¾ ½ ˜ ˜˜ m KN 22 2 10 5 , 0 4 KN 14 E E M F Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga. 1 m 1 m 2 m 0,5m 4 KN 5 KN/m 2 m 0.5m 4 KN F E 10 KN M E 1 m 2 m 0.5m 4 KN F E M E 5 KN/m 1 Diagramas de esfuerzos23 b) Diagramas Tramo AB: M = 0 T = 0 Tramo BC: KN 10 0 KN 1 5 0 0 m KN 2 1 5 2 2 ˜ ˜ ˜ C B C B T T x T M M x M 1 m 2 m 0,5 4 KN 5 KN/m 0,5 - + M T E D C B A x 24Resistencia de materiales. Problemas resueltos Tramo CD: KN 10 KN 10 KN 10 m KN 15 m KN 10 m KN 2 10 ˜ ˜ ˜˜ D C D C T T T M M x M Tramo DE: KN 14 KN 14 KN 14 4 10 m KN 22 m KN 15 m KN 5 , 3 4 2 10 ˜ ˜ ˜˜ ˜ E D E D T T T M M x x M Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque en este caso,es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo de la izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico; pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado). 2Esfuerzo normal25 2 Esfuerzo normal 26 Resistencia demateriales. Problemas resueltos Problema 2.1 Tenemosunabarrarígidaqueestásuspendidapordoscablesdeigualdiámetro‡4 mm,ycuyos módulos de elasticidad son: E 1 =2.1·10 5 MPa y E 2 =0.7·10 5 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm yladeloscables300mm.Seconsideradespreciableelpesopropiodelabarra.Dichabarraestá sometida a una carga puntual P=500 N. Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso. Resolución: Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad de deformaciones. 0 ) ( 0 0 ˜ Ÿ Ÿ ¦ ¦ x L P L R M P R R F A B B A V P=500 N AB 600 mm x 300 mm ‡4 mm ‡4 mm E 1 E 2 P=500 N AB R A R B 'L B 'L A 2Esfuerzo normal27 N 375 N 125 4 500 500 3 3 70000 210000 : Hooke de Ley 2 1 2 1 Ÿ Ÿ Ÿ ˜ ˜ Ÿ ˜ ˜ ˜ ˜ '' A B B B B A B B A B B A A B A R R R R R R R E E R R E S L R E S L R L L De la ecuación de los momentos obtenemos x: mm 150 0 ) 600 ( 500 600 375 0 ) ( Ÿ˜ ˜ x x x L P L R A 28 Resistencia demateriales. Problemas resueltos Problema 2.2 En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremosA y D están empotrados. Determinar las tensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: A a =40 cm 2 y A b =80 cm 2 . Hallar también el diagrama de esfuerzos axiles. Datos: E=2·10 5 MPa. Resolución: F V ¦ 0 R A + R D = 15 T = 150000 N Ecuación de deformación EltramoACestácomprimido,portantoR A esunesfuerzodecompresión,yeltramoCDestá traccionado, por lo que R D es un esfuerzo de tracción. Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento del tramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior: CD BC AB L L L ''' Aplicando la ley de Hooke: 'L F L A E ˜ ˜ b CD D b BC A a AB A A E L R A E L R A E L R ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ B C 1 m 3 m 1 m 15 T A A a =40 cm 2 A b =80 cm 2 D 2Esfuerzo normal29 2 5 2 5 2 5 10 80 10 2 1000 10 80 10 2 3000 10 40 10 2 1000 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ D A A R R R 1000 3000 2000 ˜˜˜ D A A R R R Resolviendo las ecuaciones, tenemos T 5 12 N 125000 T 5 2 N 25000 . R . R B A Cálculo de las tensiones. Tramo AB:(COMP.) MPa 25 . 6 mm 10 40 N 25000 2 2 ˜ AB V Tramo BC:(COMP.) MPa 125 . 3 mm 10 80 N 25000 2 2 ˜ BC V Tramo CD:(TRAC.) MPa 625 . 15 mm 10 80 N 125000 2 2 ˜ CD V Diagrama de esfuerzos normales: A B C 1 m 3 m 1 m 15 T D RA RD A B C D 2.5 T 12.5 T - + 30 Resistencia demateriales. Problemas resueltos Problema 2.3 a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 m delongitud,soportanunpesoP=5KN.CalculareldescensoGdelpuntoC,siendoD=20º. Datos: E=2,1·10 5 MPa. b) Resolver para D=0º. Resolución: a) Para D=20º: Del equilibrio del punto C se obtiene D D sen 2 2 sen P N P N Sea G(CC 1 )eldescensodelpuntoC,entonceselalargamientodelabarraAC,'L,seráC’C 1 pudiendoconsiderarseeltriánguloCC’C 1 rectánguloenC’.Aquíes D G sen L ' .Comoporotra parte: EA NL L', se tiene que: mm 13 , 1 34202 . 0 10 14 , 3 10 1 . 2 2 3500 5000 sen 2 sen 2 2 5 2 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ D D G EA PL EA NL b) Para D=0º: N P D N Equilibrio del punto C N N D P D A B C P L L E C 1 G P L L C D C’ C 1 G A B 2Esfuerzo normal31 De acuerdo con la estática de los sistemas rígidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones de las barras, se encontrarían, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamente grandes. La solución evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistirían. A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de las barras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta las deformaciones en este caso. Poniendo µ µ o = · tg L (para ángulos pequeños) el alargamiento de las barras vale 2 1 1 1 1 AC AC AC 2 2 2 2 2 1 µ µ o o r = - - · - ( , ¸ ¸ ¸ - · - - · - · L L L L Esta última igualdad proviene de la expresión: ( ) ! 128 5 16 1 8 1 2 1 1 1 1 4 3 2 2 1 ± - ± - ± · ± · ± a a a a a a Para a @ m KN 1905 2 400 235 12 400 5 , 12 235 25 300 2 2 2 2 1 1 . ˜ » ¼ º « ¬ ª ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜ ˜˜ ˜ ˜ # d A d A M e e z pl V V Coeficiente \: 12 , 1 1694 1905 . . z el z pl M M \ b) Diferente acero. Caso elástico TienelasmismasconstantesmecánicasI Z ,W Z ,perolatensiónenlafibraextrema 355 250 400 425 235 max V m KN 1802 250 10 7210 3 . . ˜˜ ˜˜ max z el z el W M V Caso plástico m KN 2648 mm N 235 mm N 355 2 2 2 2 2 1 1 . ˜ » ¼ º « ¬ ª ˜ ˜˜ ˜ ˜ # d A d A M z pl Coeficiente \: 47 , 1 1802 2648 . . z el z pl M M \ V max V e = 355 V e = 235 V e = 235 Eje neutro plástico M el.z M pl.z A 1 · V e A 2 · V e d 1 d 2 V e = 235 400 425 6 Flexión desviada y flexión compuesta75 6Flexión desviada y flexión compuesta 76 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 6.1 * Hallar el punto de la sección con mayor tensión normal, y el valor de esta tensión. Resolución: a)Determinación del momento flector máximo ( en la sección central x = 2 m ) 30 q o q 1,5 y’ z’ 1,5 7,5 1,5 18 kg m 4000 8 4 2000 8 2 2 ˜ ˜ ql M max q = 2000 kg/ml 4 m 6 Flexión desviada y flexión compuesta77 ÷ M esperpendiculara ÷ q yforma30 ° conelejez’.Losejesy’-z’nosonlos ejesprincipalesdeinercia.Vamosa determinarlos. b) Determinación de los momentos de inercia principales I y’ , I z’ Primerohallaremoseltensordeinerciaenejesy’-z’(noprincipales)yacontinuaciónlo diagonalizaremos, para hallar los momentos de inercia principales y sus direcciones (ejes principales) ( ) 4 2 3 ' 2 ' 1 4 3 ' 3 4 3 ' 3 cm 8 , 767 2 5 , 1 9 5 , 1 5 , 7 5 , 1 5 , 1 9 12 1 cm 06 , 5 5 , 1 18 12 1 cm 729 18 5 , 1 12 1 = | . | \ | ÷ +÷= = = = = = z z y z I I I I z’ 2 3 1 y’ y’ z’ M= 4000 mkg 30° 30° ÷ q 78 Resistencia de materiales. Problemas resueltos I 3y’z’ =0 por tener eje de simetría. Tensor de inercia Los momentos principales de inercia son los valores propios. 4 ' 4 ' 4 2 3 ' 2 ' 1 cm 14 , 566 54 , 280 2 06 , 5 cm 6 , 2264 8 , 767 2 729 cm 54 , 280 2 5 , 7 2 5 , 1 5 , 1 5 , 7 5 , 7 5 , 1 12 1 =+ = =+ = = | . | \ | + + = = y z y y I I I I ( ) 4 ' ' 4 ' ' 2 ' ' 1 cm 3 , 835 2 65 , 417 cm 65 , 417 2 5 , 7 75 , 0 75 , 0 9 5 , 1 5 , 7 0 ÷ =÷ = ÷ = ( ¸ ( ¸ | . | \ | +÷ + ÷ = = z y z y z y I I I 14 . 566 3 , 853 3 , 853 6 , 2264 ' ' ' ' ' ' = ÷ ÷ y z y z y z I I I I ( )( ) ( ) 0 55 , 354 584 74 , 2830 0 3 , 835 14 , 566 6 , 2264 14 , 566 6 , 2264 0 3 , 835 14 , 566 6 , 2264 0 14 , 566 3 , 835 3 , 835 6 , 2264 2 2 2 2 = + ÷ = ÷ + ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ¬ = ÷ ÷ ì ì ì ì ì ì ì ì ì ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ = + = ÷ ± = 4 4 2 cm 19 , 224 2 36 , 2382 74 , 2830 cm 55 , 2606 2 36 , 2382 74 , 2830 2 55 , 354 584 4 74 , 2830 74 , 2830 ì ¦ ) ¦ ` ¹ = = 4 4 cm 19 , 224 cm 55 , 2606 y z I I Momentos de inercia principales ( cm 4 ) 6 Flexión desviada y flexión compuesta79 Los vectores propios serán las direcciones principales. El vector propio correspondiente al valor propio 2606,55 cm 4 . ¦ ) ¦ ` ¹ =÷ =+÷ 0 41 , 2040 3 , 835 0 3 , 835 95 , 314 1 1 1 1 y z y z n n n n D 24 , 22 409 , 0 arctg 409 , 0 3 , 835 95 , 341 tg 1 1 = = = = = o o z y n n Ecuación del eje neutro. º 67 , 57 58 , 1 tg = ¬ = = | | z y ( ) ( ) kg m 36 , 3963 24 , 22 30 cos 4000 kg m 540 76 , 7 sen 4000 24 , 22 30 sen 4000 = ÷= = = ÷= D D D z y M M z y z y z I M y I M x x y y z z x 86 , 240 05 , 152 19 , 224 10 540 55 , 2606 10 36 , 3963 2 2 + ÷ = + ÷ = +÷ = o o o z y z y z y 58 , 1 05 , 152 86 , 240 86 , 240 05 , 152 0 = = + ÷ = Angulo que forma el eje neutro con el eje principal z: y z’ y’ z 22,24 ° A(-8.25,9) B(8.25,-9) Eje neutro 22,24 ° | y z’ y’ z M y M z 22,24 ° 30 ° 7,76 ° M ( ) ( ) | | . | \ | = | | . | \ | ÷ ÷ 0 0 55 , 2606 14 , 566 3 , 835 3 , 835 55 , 2606 6 , 2264 1 1 y z n n 80 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Relación entre coordenadas de ambas referencias. ) ` ¹ + ÷ = + = ' 9256 , 0 ' 3784 , 0 ' 3784 , 0 ' 9256 , 0 y z y y z z Las tensiones máximas aparecen en los puntos más alejados del eje neutro ( A y B ) Para A Tensión en A: Tensión en B: ) ` ¹ ÷ = = 9 ' 25 , 8 ' B B y z 2 kg/cm 11 , 2760 ) 230 , 4 ( 86 , 240 452 , 11 05 , 152 ÷ = ÷+÷ = A o ¹ ´ ¦ = ÷ = 9 ' 25 . 8 ' A A y z 452 , 11 9 9256 , 0 ) 25 . 8 ( 3784 , 0 230 , 4 9 3784 , 0 ) 25 . 8 ( 9256 , 0 =+ ÷÷ = ÷ =÷ ÷= A A y z 2 kg/cm 11 , 2760 230 , 4 86 , 240 ) 452 , 11 ( 05 , 152 452 , 11 ) 9 ( 9256 , 0 ) 25 , 8 ( 3784 , 0 230 , 4 ) 9 ( 3784 , 0 ) 25 , 8 ( 9256 , 0 =+ ÷÷ = ÷ = ÷+÷ = = ÷÷= B y z o | | . | \ | | | . | \ | ÷ = | | . | \ | | | . | \ | | | . | \ | ÷ = | | . | \ | ' ' 24 , 22 cos 24 , 22 sen 24 , 22 sen 24 , 22 cos ' ' cos sen sen cos y z y z y z y z D D D D u u u u 6 Flexión desviada y flexión compuesta81 Problema 6.2 Una columna tiene la sección en cruz indicada en la figura. La fuerza resultante es de compresión (50 Tn) y pasa por el punto A. Hallar la tensión normal en B y dibujar el eje neutro. Resolución: Trasladando la fuerza al centro de gravedad G de la sección, los esfuerzos equivalentes son: z y z x 50 Tn 10 15 10 10 15 15 B A ( cm ) M y =-875 cmTn z y -50 Tn M z = 250 cm Tn A B y M y = -875 cmTn B -50 Tn M z = 250 cmTn A G z Tn cm 250 cm 2 10 Tn 50 Tn cm 875 cm 2 15 10 Tn 50 Tn 50 == ÷ = | . | \ | +÷ = ÷ = z y M M N 82 Resistencia de materiales. Problemas resueltos a) Tensión normal en B b) Eje neutro z I M y I M A N y y z z x + ÷ = o 2 cm 800 15 15 2 35 10 000 875 000 250 000 50 = += ÷ + ÷ ÷ = A z I y I A y z x o ( ) ( ) 4 3 3 4 3 3 cm 167 44 15 15 12 1 2 10 15 10 10 12 1 cm 81667 10 10 12 1 2 15 10 15 15 12 1 =+ + + = =+ + + = y z I I ¬ ÷ ÷ ÷ = z y x 167 44 000 875 667 81 000 250 800 000 50 o ( ) 2 kg/cm 81 , 19 06 , 3 5 , 62 z y x ÷ ÷ ÷ = o ¹ ´ ¦ ÷ = ÷ = cm 5 , 17 cm 5 z y Coordenadas de B 2 kp/cm 47 , 299 ) 5 , 17 ( 81 , 19 ) 5 ( 06 , 3 5 , 62 = ÷÷ ÷÷ ÷ = B x o 42 , 20 47 , 6 06 , 3 5 , 62 06 , 3 81 , 19 81 , 19 06 , 3 5 , 62 0 ÷ ÷ = ¬ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = z y z y z y 42 , 20 0 15 , 3 47 , 6 42 , 20 0 ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = y z z y para para ) ` ¹ ÷ = = 42 , 20 0 y z y z B eje neutro zona traccionada zona comprimida ¹ ´ ¦ = ÷ = 0 15 , 3 y z 6 Flexión desviada y flexión compuesta83 Problema 6.3 Sobre una columna de sección rectangular ( 40 35˜ cm), se aplican dos fuerzas excéntricas: 30 Tn en el punto P(y = 3, z=4cm)y50TnenelpuntoQ(y= 0,z=-5cm).Dibujarelejeneutroyhallarel punto de máxima tensión normal. Resolución: Trasladando las dos fuerzas al centro de gravedad G de la sección obtenemos: ° ° ° ¿ ° ° ° ¾ ½ ˜˜ ˜ ˜˜ Tn 80 50 30 m Tn 9 , 0 03 , 0 30 m Tn 3 , 1 5 . 2 2 , 1 05 , 0 50 04 , 0 30 N M M z y 5 z y 35 40 3 4 50 Tn 30 Tn P Q M z = 0,9m Tn ˜ 80 Tn C D A B y z M y = 1,3 m Tn ˜ G 84 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Eje neutro: z I M y I M A N y y z z x + ÷ = o ) kg/cm ( 7 , 666 186 130000 7 , 916 142 90000 1400 80000 cm 7 , 666 186 40 35 12 1 cm 7 , 916 142 35 40 12 1 cm 1400 35 40 2 4 3 4 3 2 z y I I A x y z + ÷ ÷ = ¬ ¦ ¦ ¦ ¦ ) ¦ ¦ ¦ ¦ ` ¹ = = = = == o ) mm , ( ) cm , ( ) N/mm ( 0696 , 0 0630 , 0 71 , 5 ) kg/cm ( 696 , 0 630 , 0 14 , 57 2 2 en z y en z y z y z y x x + ÷ ÷ = · + ÷ ÷ = o o 70 , 90 1 , 1 630 , 0 14 , 57 630 , 0 696 , 0 696 . 0 630 , 0 14 , 57 0 ÷ = ÷ ) ` ¹ ÷ = + ÷ ÷ = z y z y z y 70 , 90 0 46 , 82 0 ÷ = ÷ = = ÷ = y z z y y C A B D eje neutro (-90,70 ; 0) (0 ; 82,46) z 6 Flexión desviada y flexión compuesta85 2 2 2 2 2 2 2 2 N/mm 208 , 8 kg/cm 08 , 82 ) 20 ( 696 , 0 5 , 17 630 , 0 14 , 57 N/mm 424 , 5 kg/cm 24 , 54 20 696 , 0 5 , 17 630 , 0 14 , 57 N/mm 004 , 6 kg/cm 04 , 60 ) 20 ( 696 , 0 ) 5 , 17 ( 630 , 0 14 , 57 N/mm 219 , 3 kg/cm 19 , 32 20 696 , 0 ) 5 , 17 ( 630 , 0 14 , 57 ˜˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜ ˜ D C B A V V V V 86 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 6.4 Sehaproyectadounasencillaestructuraparasoportareltableroylacanastadeunapistade baloncesto.Setratadeuntubodeaceroembebidoenunbloquedehormigóna45ºdelahorizontal según se indica en la figura. Se supone que el estado de carga más desfavorable es el que se produce cuando un jugador permanece unosinstantessujetoalarodelacanasta,transmitiendoasítodosupesoalaestructuraenlaforma indicada en la figura. Unavezestudiadoslosefectosdinámicosdeestaacción,seestimaqueelesfuerzomáximoqueel jugador puede llegar a transmitir al aro es de F = 2000 N y M = 10 6 Nmm. La estructura se quiere construir en tubo redondo de acero con espesor de pared de 4 mm. Calcular el diámetro necesario, según la tabla de perfiles normalizados, para que el descenso vertical del punto P no exceda los 80 mm. Notas importantes: - Considerar todos los esfuerzos de sección para calcular el descenso de P. - Trabajar con la carga trasladada al punto P, como se indica en la figura. P 45º L 1 L 0 L F M x y z L=4000 mm L 0 =1000 mm F=2000 N M=10 6 N·mm A 1 =0,5 A Tubo de acero. Espesor de pared: 4mm E=2,1·10 5 MPa G=8·10 4 MPA 6 Flexión desviada y flexión compuesta87 Resolución: Aplicamos el teorema de Castigliano al punto P en la dirección F: x= L x= L 0 x= 0 F M x dx d ˜2 A dx dA P G M x F M x F M x M w w ˜ M - - T T=F 1 w w F T 2 F T 2 1 w w F T - - 88 Resistencia de materiales. Problemas resueltos ) ) ) c c + c c + c c = A A A d F N EA N d F T GA T d F M EI M o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) ) ) = + + + + + + = 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 L L L L L L L L dx EA F dx A G F dx x EI x F M dx A G F dx x EI x F M o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ( ( ¸ ( ¸ ÷ + ÷ + ( ¸ ( ¸ + ( ( ¸ ( ¸ + = EA L L F GA L L F EI L L F EI L L M GA FL EI FL EI ML 2 2 2 3 2 2 2 3 2 0 0 3 0 3 2 0 2 0 3 0 2 0 A I 3 , 176 10 389 , 3 8 + = o Buscamos en las tablas de perfiles tubulares circulares: Tubo AI o ( D ext x e) ( cm 2 ) (cm 4 ) (mm) 135 x 4 16,46353,4 96( >80 ) 150 x 4 18,34489,269,4( · · · · - ± - · - ± - · cr N a ac b b N sentido sin N 533630 N 40425 1206 1 2 1788746 1206 1 4 476 476 2 4 2 2 Se cumplen la hipótesis de aproximación para el cálculo del factor de amplificación K: 69242 115403 6 , 0 40425 6 , 0 · · < · s cr N N 54 , 1 1 1 · - · cr N N K Representación gráfica del apartado c): (N) N 115403 40425 44,5 68,5 N cr v (mm) 380 · · - W M K A N 184 Resistencia de materiales. Problemas resueltos c’)Un planteamiento parecido del problema es considerar que v 0 =44,5 mm constituye una preflecha inicial. El momento flectorL F · · 4 1 resta constante y la amplificación es debida al termino 0 1 1 v N N N v N cr · - · · · Los resultados obtenidos no difieren excesivamente de la solución exacta: e W M A N o o s - ·, dondev N L F K M · - · · · · 4 1 2 mm N 380 840 27 115403 1 1 54 , 44 5000 5000 4 1 1206 · - · · - · · - N N N Resolución de la ecuación de 2º grado: 380 115403 115403 27840 54 , 44 225 1206 · - · - - N N N ( ) N N N - · ( , ¸ ¸ ¸ - - · · 115043 225 1206 380 27840 115403 54 , 44 N N N N 69 , 95 17887465 1206 115 6 , 184 2 - - - - · N c b a N N 17887465 435 1206 1 0 2 - · - · · ( ) ' ' ¦ > · - ± - · cr N a ac b b N sentido sin N 479633 N 44977 2 4 2
Comments
Top