Solucionario analisis matematico I

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  • 1. www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net ANALISIS MATEMATICOI PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA (1ER EDICIÓN) SOLUCIONARIO EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA -PERÚ www.solucionarios.net zm m m m
  • 2. www.solucionarlos.net IMPRESO EN EL PERÚ 01 -01 -2012 » DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento ^ del autor y Editor._____________________________ ___ _____________________ RUC N° 20520372122 Ley del Libro N° 28086 Ley de Derechos del Autor N° 13714 Registro comercial , N° 10716 Escritura Publica N° 448 4 solucionadoanálisisMfffltf¡tf£olucionarios.net www.eduhperu.com www.solucionarlos.net PRÓLOGO Habiéndose adaptado a nivel universitario, en el curso de análisis matemático, el texto de Análisis Matemático para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería por su acertado desarrollo teórico, siendo necesario como consecuencia de la concepción teórica, ahondar en las aplicaciones y ejercicios a fin de desarrollar la habilidad mediante la práctica; por eso el objetivo del presente volumen de problemas desarrollados del texto Análisis Matemático para estudiantes de Ciencias e Ingeniería de Eduardo Espinoza Ramos orienta su intención de ser complemento teórico-práctico para el estudiante universitario. Su contenido sigue en esencia las pautas del texto, la solución de los problemas están detalladas en forma clara y precisa, se ha puesto especial cuidado en los gráficos, pues pensamos que un "buen dibujo" por señalar en forma natural, es el camino a seguir en el bus que da la solución de un problema. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan el deseo de que encuentren en ellas una agenda para su avance y desarrollo intelectual EDUARDO ESPINOZA RAMOS . . . t SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 3. www.solucionarlos,net ■ ■ • ,www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net INDICE 1. CAPITULO 1 1.1. SISTEMAS DE NÚMEROS REALES.............................................................. 1 1.2. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCÓGNITA................43 1.3. INECUACIONES FRACCIONARIAS.........................................................Al, 1.4. INECUACIONES EXPONENCIALES........................................................ 113 1.5. INECUACIONES CON RADICALES..........................................................120 1.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO..................... 141 1.7. RELACIONES V FUNCIONES..................................................................188 1.8. FUNCIONES......................................................................................... 221 1.9. ALGEBRA DE FUNCIONES.................................................................... 264 1.10. FUNCIONES INYECT1VAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS...............319 2. CAPITULO 2 2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD.....................................................................337 3. CAPITULO 3 3.1. LIMITES................................................................................................387 3.2. LIMITES LATERALES.............................................................................454 3.3. LIMITES AL INFINITO.............................................................................481 3.4. LIMITES INFINITOS.............................................................................. 516 3.5. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS................................................................520 3.6. LIMITES TIPO ex....................................................................................554 3.7. ASÍNTOTAS......................................................................................... 577 3.8. CONTINUIDAD.................................................................................... 597 4. CAPITULO 4 4.1. DEFINICIÓN DE DERIVADA.................................................................. 615 4.2. DIFERENCIABILIDAD............................................................................639 i ■ ■ <SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 4. www.solucionarlos,net 4.3. DERIVACIÓN MEDIANTE TABLAS.........................................................647 4.4. DERIVACIÓN IMPLÍCITA....................................................................... 680 4.5. ECUACIONES DE TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA......................699 . CAPITULO 5 5.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................................................717 5.2. GRÁFICOS........................................................................................... 732 5.3. PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................757 OLUCIONARIO ANÁLISIS www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « SISTEMA DE NUMEROS REALES Si a y b, son números reales positivos, demostrar que: +^ ] (a+b)>4 (a-b)‘ >0 => a"-2ab +b2>0 => a2-2ab +b2+4ab>4ab => a2+2ab+b2>4ab ( a+b^i (a +b)‘ >4ab => (a +b)>4 => |^-+^-j(a +b)>4 Si a, b y c son números reales positivos, Demostrar que: gUSEMUMÍ (a-b)‘ >0 => c(a-b)' >0 (a-c)? >0 => b(a-c)‘ >0 (b-c)‘ >0 => a(b-c)2>0 ...0 ) ... (2) ... (3), sumando c(a-b)2+b(a-c)2+a(b-c)'í >0, efectuando los binomios a2c - 2abc+b2c +a2b- 2abc+c2b +b2a- 2abc+c2a >0 a2c +abe +b2c +a2b+abe+c?b+b2a+abe+c2a >9abc a2c +abe +a2b+b2c +abe+b2a+c2a+abe +c2b >9abc agrupando adecuadamente (ac +be +ab) +b(bc +ac +ab) +c(ac +ab +be) >9abc, dividiendo entre abe www.solucionarios.fiet K¡
  • 5. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) J b ™ a b ) (a +b+c)í9 ^ J i +l +l J +(a+b+c)í9 jjfl Si a, b, c y d, son números reales positivos, Demostrar que: - +- +- +-1 +(a +b+c +d)> 16 a b c ' CAPITULO I ...O ) ... (2) ... (3) ... (4) ... (5) ... (6), sumando (a-b )> 0 => cd(a-b)2>0 (a-c)' >0 => b d (a-cf >0 (a-d)‘ >0 => bc(a-df> 0 (b - c )'>0 => ad(b-c) >0 (b-d) >0 => ac(b-d)2>0 (c-d)~>0 => ab(c-d)2>0 cd(a-b)' +bd(a-c)~ +bc(a-d)‘ +ad(b-c)‘ +ac(b-d)‘ +ab(d-c)‘ >0 cd(a2-2ab +b2) +bd(a2-2ac +c2)+bc(a2-2ad +d2) +ad(b? -2bc +c2) + +ac(b2-2bd +d2) +ab(c2-2cd +d2)>0 -2abcd +a2cd +a2bd +a2bc +b2cd - 2abcd +ab2d +ab2c - 2abcd +bc2d +ac2d - 2abcd +abc2+bed" - 2abcd+acd2+abd2- 2abcd >0 abed +a2cd +a2bd +a2be +b2cd +abed +ab2d +ab2c + +bc2d+ac2d +abed +abc2+bed2+acd2+abd2+abed >16abcd SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICISIS MATEMATICO I . www.so ucionarios.net wwv ed'Jkpe’uvcpm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a(bed +acd +abd +abc) +b( bed +acd +abd +abc) +c(bed +acd +abd +abc)+ +d(bed +acd +abd +abc) >16abcd , sacando factor comun bed +acd +abd +abc abed (a +b +c +d)> 16 -l +- +l +- l +(a +b+c +d)>16 a b c d J a , a 3b b2 . Si a y b dos números reales positivos tal que a >b. Demostrar que: —+— > ^ (a-b)3^0 => a3- 3a2b +3ab2- b3>0 => a’ +3ab2>3a2b+b3 Diviendiendo entre a2b se tiene: a 3b b2 . =* r +— >— +3 b a a 9 Va e % a* 0, demostrar que a“ +— >6 (a2-3)~>0 => a4-6a2+9^0 => a' +9>6a2 a4+9 s 9 >6 => a +— >6 Si a,b,C€'JT, , demostrar que (b +c)(a +c)(a +b)>8abc jQ¡a2»2SC2S3H¡íF (a - c)2>0, (a - b)2>0, a(b - c)* >0 ~ ~ SOLUCJONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■ ?■ [ www.solucionarlos,net
  • 6. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUK b(a - c)2>0, c (a - b)2>0, a(b - c)2>0 , sumando se tiene: b(a-c)2+c(a-b)2+a(b-c)2>0 , desarrollando los binomios b(a2-2ac +c2)+e(a'?-2ab +b2) +a(b2-2bc +c2)>0 a2b- 2abc +be2+a2c - 2abc +b2c +ab~ - 2abc +ac2>0 a2b +c2b+a2c +b2c +b2a +2abc +c2a >6abc +2abc ab(a +b)+c2b+abe+a2c +b2c +abe +c2a >8abc ab(a +b)+c2(a +b)+abe +a2c +b2c +abe £ 8abc ab(a +b)+c2(a +b)+ac(a +b) +bc(b+a) >8abc , sacando factor común (a +b).(ab +c2+ac +bc)>8abc => (a +b).[b+(a+c) +c(a +c)]>8abc (a +bXa +cXb +c) >8abc & Si a,b,ce ÜK4, demostrar que a’b +ab3<a4+b4 (a2-b2)2>0 => a4-2a2b2+b4>0 =* a4+b4>2a2b2 ...(1) (a - b)2>0 => a2- 2ab +b2>0 => a2+b2>2ab ab(a2+b2)£2 a2b2 ...(2) a4+b4-ab(a2+b2)£ 2 a2b2-2a2b2 => a4+b4-ab(a2+b2) >0 a3b +ab3^ a4+b4 a4+b4<a3b+ab3 Si a,b,ce 'JT demostrar que a2+b2+c2+3>2(a +b+c) «■«-"•■‘ M tí.S íto n s n b s . net www edukperu corr- www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a —l)2>0 => aJ -2a +l>0 ...(1) (b-1)2>0 => b2-2b+1>0 ...(2) (c —I)2>0 => c2-2a +1>0 ... (3) sumando(l), (2)y (3) a" +b2+c2+3-2a-2b-2c>0 => a2+b2+c2+3¿:2a+2b+2c transponiendo términos se tiene: a2+b2+c2+3 £ 2(a +b+c) Si 0 <a < 1, demostrar que a2<a 0<a<1 => a >0 a a < 1, multiplico por a a.a < 1.a => a2<a r.. L d e f ^ . d d+e+f f iTii Si a,b,c son números reales positivos y Demuestre que —<— ----<- a b e a a+b +c c d d + e + f f d e e f „ , , —<------<- => —<— a —<— => db <ea a de <af a a+b+c c a b b c sumando las desigualdades db +de <ea +af sumando ad se tiene: ad +db +de <ad +ea +af, entonces d(a +b +c) <a(d +e +0 => —<^+6—- •••(!) a a+b+c - < —< - = > - < - a — <- => ec<fb a dc<fa, sumando las desigualdades a b e b e a e ec +de <fb +fa, sumando cf se tiene: fe +ec +de <fe +fb +fa .. " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 7. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ^ c, ud+e+f f c (f +e +d) <f (c +b +a) ------<- a+b+c c 0 © de(l)y(2): d d +e +f f —<------ <- a a+b+c c Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces: (a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc (a-b)2£ab; (b -c)2>bc; (a-c)">ac c(a-b)2^abc; a(b-c)‘ >abe; b(a-c)2>abe , sumando c(a-b)2+a(b-c)J +b(a-c)2>3abc a3+b3+c3>0, sumando a3+b3+c3+c(a-b)2+a(b-c)2+b(a-c)2>3abc a3+b3+c3 +a‘J c-2abc +b"c +bra-2abc +ac2+a2b-2abc +bc‘‘ >3abc a3+b3+c3+a2c +b2c +b2a+ac2+a2b +bc2>9abc a2(a +b +c) +b2(a +b +c) +c2(a +b+c) >9abc , sacando factor común (a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc Si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, demuestre que: (a +b +c)(a 1+b"' +c"')>9 capitu' 11 (2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a-b)2>0 => a2+bL'>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)2 >0 => a2+c2 >2ac => a2b +c2b>2abc (b-c)'> 0 => b +c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b+c2b +ab~ +ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+<;)(bc +ab+ac) >9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) ^ / . w « . i i « ^ --------- >9 (a +b+c)(a +b +c )>9 abe ^ Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 8a 32b r ? + —— +24 - n r+— b a b a (a-2b)~ >0 =s>a2-4ab +4b2>0, elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab)¿ >0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2) +16a2b2>0 => (a2+4b2f +16a2b2£ 8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16aV ab(8a' +32b*) a4+16b4.+24a2b2 ^ 8a2+32b2 a2b2 ^ a2b2 ^ a2b2 “ ab a2 16b2 8a 32b -Í-+— 2-+24> — +--- b a b a i ■ í www.solucionarlos,net «
  • 8. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITUI O I (a - b)~ >0 =í>a2+b2>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)~ >0 => a2+c2 >2ac => a2b+c2b>2abc (b-c)"> 0 => b2+c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b +c2b +ab2+ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+c)(bc +ab +ac)> 9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) >9 (a+b+c)(a-' +b " +c > 9 Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 n . . 8a 32b 7T +— r-+24> — +--- b a b a (a - 2bf >0 => a2- 4ab +4b2£ 0 , elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab)2>0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2)+16a2b2>0 => (a2+4b2) +16a2b2>8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16a2b2 ^ ab(8a2 +32b2) _ a<+i6b4+24a2b2 ^ 8a2+32b2 ¡ V " a2b2 ^ a2b2 ~ ab a2 16b2 8a 32b — +- 1-+24>— +--- b a~ b a solu 1 ^'WWWSÜIG'áionarios.net vvww edukperucom www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O Si a2+b2=1, Demostrar que: -Í2 <a +b<¡2. Sug.(x-y)‘ >0 => 2(x2+y2)>(x +y)' (a - b) >0 => a2+b2£ 2ab => 1+1 >2ab +a2+b2 => (a +b)‘ <2 -s¡2< a+b<¡2 • 2 2 2 Si a +b =c, a >0, b >0, Demostrar que: a3+b3>c3 m m m Aplicando la propiedad: (a +b)n <an +bn 2 2 2 2 c =a +b => c3=(a +b)3<a3+b3 ? i ? de donde c3<a3+b3 a b ^ c Si a +b >c >0, Demostrar —— +---- > ^ ■ r U a 1 4 -hl+a 1+b 1+c a+b> c => a+b +2ab+abc> 0 a +2ab+b+ac +2abc +bc>abc +bc +ac+c a+2ab +b+c(a +2ab+b)>bc(a+1) +c(a +1) (a +2ab+b)(c +1) c(a +1)(b +l) (a +l)(b +l)(c +l)~ (a +1)(b +1)(c +l) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 9
  • 9. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) a +2ab+b c a+ab+ab+b c >--- => --- r->- (a +1)(b +l) c +1 (a +1)(b +1) c +1 3x2-5x-2 >0 =>(3x+1)(x-2)>0 O Si a, b, c >0, Demostrar que: 3abc <a3+b3+c3 Aplicando el ejercicio (1); se tiene: (a +b +c)(a2+b2+c2) >9abc a3+b3+c3+(ab2+a2b +ac2+be2+a2c +b2c) >9abc ab2+a‘b+ac"1+be2+a2c +b2c =6abc Reemplazando (2) en (1) se tiene: a! +b‘ +c3+6abc>9abc de donde: a3+b3+c3>3abc Si c >0, d >0, 2d * 3c. Demostrar que: — >1- — w 3c 4d (2d - 3c)2>0 =>4d" - 12dc+9c2>0 => 4d2+9c2>12dc 4d2+9c2 12dc Dividimos la expresión entre 12dc: ----------------- > 12dc 12c d 3c d 3c — +— >1 =>— >1--- 3c 4d 3c 4d r /h Si a >0, b >0, a * b, demostrar que —ÍL +—¡= >2 Vb Va j222¡q¡223I3¡F SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I.slALISIS MATEMATICO I. . . www.solucionarlos,net CAPITULO I ...O ) wvvw.edukperu com www.solucionarlos,net (Va-Vbj >0 => a-¿Va>/b +b >0 u o r rz a+b oVaVa VbVb Va Vb ~ a+b>2Vavb => r r >2 => - + >2 => —= +—= >2 VaVb vavb Va Vb Vb Va Si a, b, c € R, Demostrar que: b2c2+c2a2+a2b2>abc(a +b+c) J2¿¡¡22u222í!l2f (be - ac)2>0 => b2c2+a2c2>2abc2 (ca - ab)2£ 0 => a2c* +a2b2>2a2bc (bc-ao)9>0 => b2c2+a2b2>2ab2c sumando 2(b2c2+a2c2+a2b2)^2abc(a +b+c) b2c2+a2c2+a2b2£abc(a +b+c) ^ || a +b =2, donde a y b son números reales, Demostrar que a4+b4>2 J S ü » (a-b)2£0 => a2+b2>2ab pero(a +b)‘ =4 => a2+b2=4-2ab 4-2ab>2ab => ab<1 a2+b2>2ab =s> (a2+b2)2£ 4a2b2 => a4+b4>4a2b2- 2a2b2 a4+b4>2a2b2 pero ab< 1 de donde a4+b4>2 Si a2+b2+c2=1 y x2+y2+z2=1, demostrar que: ax +by +cz < 1 CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « I. ^ ^ ^ S^LÜQIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos.
  • 10. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (a - x)2>0 => a2+x2>2ax (b-y)2>0 => b2+y2>2by (c - z)2>0 => c2+z2>2cz sumando a2+b2+c2+x2+y2+z2>2(ax +by +cz) 1 + 1 >2(ax +by +cz) 2 >2(ax +by +cz) ax +by +cz <1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO J ., www.solucionarlos,net cAPin» ^i www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULOI ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Si a >0, b >0, Demostrar qu»: + +^ b a a b a - b e R => (a-b)2>0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab a2-ab +b2>ab, multiplicando por a +b (a +b)(a2-ab +b2)^ab(a-+-b), dividiendo entre a2b2 (a+b)( f -ab+bg) ^ ab(a+b) ^ a ^ b ^ a + b _ separando a2b2 a2b‘ a2b‘ ab a b 1 1 ba +a2 ~ a +b o Si 0 <a <1, Demostrar que: a2<a ¿rra'.T i-srrogr.Tíy Como 0< a< l => a >0 y a < 1 Multiplicando a < 1 por a >0 entonces a.acl.a, de donde a2<a © a >0, b >0, a *b, demostrar Vab > a+b (Va-Vb)2>0 => a-2>/aVb +b>0 i- i— / v 2>/ab a+b>2VaVb dividiendo entre(a +b)=>1 >--- — v ' a+b i ■ -'J www.solucionarlos,net
  • 11. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITIMOI $ . O Multiplicando por Vab se tiene: Vab>---- a+b c- n , s i a3+b3 f a+b Si a >0, b >0, demostrar que ----- > O (a-b)2>0 => a'J -2ab +b2>0 multiplicando por 3 se tiene: 3a1’ - 6ab+3b* >0 Sumando a2+b* en ambos miembros: 4a2-6ab +4b2>a2+b2 Ahora sumando 2ab se tiene: 4aJ -4ab +4b2>a2+2ab+b2=> 4(a2-ab +b2)>(a +b)‘ 4(a +b)(a‘ -ab +4b" )>(a +b )’ => 4(a3+bJ )>(a +b)3 dividiendo entre 4 a3+b3> (a +b)' de donde a3+b( a +b demostrado. Si a >0, a * 1. Demostrar que: a3+4r >a2+4- a a* Como a * 1 => (a-1)‘ >0, como a4+a3+a2+a+l >0 para a>0 Multiplicando: (a - 1)2(a4+a3+a2+a+1) >0.(a4+a3+a2+a +1) (a-l).[(a-l)(a4+a4+a2+a +l)]> 0 => (a-1)(a5- l) >0 a(a-1 )-(a-l)> 0 => a5(a-1)>a-1 => a6-a5>a-1 a6+1 >a' +a , dividiendo entre a1 SOLUCIOMARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPSULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a° +1 a: +a a° 1 a5 a — ~ >— ~ =* T +~ >T +— a a a a a a 3 1 o 1 a + T > a ^ + — aJ a* a Si a>0, b>0, demostrar que 4(aJ +b3) > (a +b)’ (a +b)2£ 0 => a2- 2ab+b2£ 0 multiplicando por 3se tiene: 3a*’ -6'tb +3b2>0 sumando a2+b2 4a2-6ab +4b2£a2+b2 ahora sumamos 2ab 4a2-4ab +4b2>a2+2ab +b2 => 4(a2-ab +4b2)>(a +b)J 4(a2-ab +4b2).(a +b)>(a +b )3 => 4(a3+b3)>(a +b )! Si a y b son números reales, demostrar que: x/(a+c)2+(b +d)2 <Va2+b'J +Vc2+d2 ac +bd <>/a2+b2Vc2+d2, multiplicando por 2 2ac +2bd <2>/a2+b2Vcs +d2 sumando a2+b2+c2+d2 a2+2ac +c? +b2+2bd +d2<(a2+b2) +2>/as+b£Ve2+d2+(c2+d2) (a +c)2+(b +d)^ <|Va2+b2+Ve2+d2j .V .-.aduKj:fc: -: rr SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 12. www.solucionarlos,net 3» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPfTUi " l ^(a +c)‘ +(b +d)~ £ J(V a' +b2"+>/c2+d2j yj(a +c f +(b +d)2 <Va2+b2+Ve2+d'2 Si a,b,c e R’ , demostrar que: (a +b+c )’ £27abc (a +b+c)3=a3+b3+c3+3(a2c +b2c +bc2+ab2+ac2) +6abc ... (1) (a-b)‘ >0 (a-c)2>0 (b-c)2>0 a +b‘ >2ab a c +b‘c >2abc a2+c2>2ac a2b +bc? >2abc b2+c2>2bc ab" +ac2£ 2abc a2c +b2c +a2b+be2+ab2+ac >óabe Luego 3(a2c +b2c +a2b +bc2+ab2+ac2)>18abc ..-(2) (2) en (1) se tiene: (a +b+c)3>a*+ b3+c3+18abc +6abc ..-(3) Pero a3+b^+c3>3abc ... (4) Reemplazando (4) en (3) se tiene: (a +b+c )’ >3abc +24abc =27abc (a +b +c)3>27abc O Si a, b, c y d son números reales cualquiera. Demostrar: (ab +cd)~ <(a2+c2)(b¿ d2) (ad-bc) >0 => a2d2+b2ca>2abcd SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO iANÁLISIS MATEMÁTICO i ., www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I Sumando ambos miembros a V +c2d2 a2b2+c2d2+a2d2+b2c2£a2b2+2abcd +c2d2 a2(b2+cs) +c2(b” +d2)>(ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2) >(ab +cdf Si a, b e R, Demostrar que: a4+b4>-(a +b)4g f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (ab +cd)‘ ^(a2+cs)(b2+d2) (a2-br) >0 => a4+b4>2a2b2 . Sumando a4+b4 a ambos miembros 2a4+2b4>a4+2a2b2+b4 => 2(a4+b4) >(a2+b2)‘ a4+b* >^(a! +b2)* (a-b)¿ >0 => a2+b2>2ab, sumando a2+b2 se tiene: 2a2+2b2>a2+2ab+b2 => a2+b2>i( a +b)2 (a2+b2)2>-^(a +b)4 . (a+b)4 a4+b4>---- L (1) (2) Colocando (2) en (1) se tiene; Si a >0 y b >0. Demostrar que: 1 a+- v ay 8 -Y (a +b)“ +4 a+b wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 13. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI " o | (a +a-')! +(b +b-')! =a2+b! +^ - + 4 (a-b)‘ £0 => a2+b2^2ab => 2(a2+b2)>a2+2ab+b‘ a2+b2> >(a +b f (2) (a-b)2>0 => a2+b2>2ab => a2+2ab+b2>4ab => (a +b)‘ >4ab (a +b)4>16a2b2 => ——— >a~V v 1 16 Multiplicando miembro a miembro (2) y (3) a2+b2 > 8 a!b2 (a +b)2 Sumando miembro a miembro (2) y (4) ...(3) ...(4) a2+b2+- +b* (a+b)s 8 2.2 a‘b (a +b)‘ de donde 2 , o a a +b + 2+b2 , (a +b)2 8 +4 > --——+------+4 a b (a +b)‘ ...(5) Reemplazando (1) en el primer miembro de (5) y operando en el segundo miembro de (5) tenemos. r ir l p2b+- b >1 2 (a +b)2+4^ a +b i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.sdukparu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Si a >0, b >0 tal que a +b - 1. Demostrar que: 25 Utilizando el ejercicio (33) í 0a+- s+íb+iT ii '(a +b) +4 ' l a, l b j 2l a+b J ; Como a +b =1, lo reemplazamos =2(5)! f t2 f a+- | + k a b+’i >?5 bj 2 Si a, b, c, d e R, demostrar que: ac +bd <^(a2+b2)(c2+d2) (ad - be)" >0 => a2d2+b2c2>2abcd 2abcd <a2d2+b2c2 a2c2+2abcd +b2d2<a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 (ac+bd)2<(a2+b2)c2+(a2+b2)d2 (ac +bd)‘ <(aL>+b2)(c2+d2) ac +bd<yj(a¿ +b2)(c2+d2) Si a, b e R tal que a +b = 1. Demostrar que: a4+b4>- M m rn 7 m ¡nw •V SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 14. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPíTUi OI Utilizando el ejercicio (32) es decir: a4+b4>^(a +b) 8 Como por condición del problema a +b = 1, se tiene el momento de reemplazar a4+b4>-(a +b)4=-(1)4=- de donde a4+b4>^ 8 8 8 8 81 Si a,b e R tal que a +b =3. Demostrar que a4+b4£ — Utilizamos el ejercicio (32), es decir: a4+b4>- (a +b)4; Como a +b =3 entonces lo reemplazamos 8 a«+b‘ * l ( a +b)4- |(3 )« - $ ! ••• + © Si a,b,c,d e R*, demostrar que: ^(a +b+c +d)> Vabcd (Va-Vb) >0 => a+b>2>/ab (Vc-Vd) >0 => c +d>2>/cd sumando a+b+c +d>2(Vab +>/cd) ...(I) Pero >/ab+>/cd >2>/>^b>/cd =2VVabcd =2Vabcd ... (2) Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: a+b+c+d£ 2|Vab +Vcd)^ 2.2Vabcd solucionario-mm.Wiúrdionahos.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net a+b+c +d >4Vabcd => -(a +b+c +d) >Vabcd 4 Si a,,a2,a3,...,an,b.lb2,...JbneR tal que: af +a‘ +...+a2=1, bj +b2+...+b2=1. Demostrar que a,b, +a2b2+... +anbn£ 1 (a,-b,)2>0 => a;+b^>2a)b, (a2-b2)2£0 => a2+b2>2a2b2 K - b n)2^0 => aj +b* £2anbn sumando (a? +a2+...+a*)+(bf +b| +...+b2)í>2(a,b, +a2b2+...+anbn) 1+1£2(a,b, +a2b2+...+anbn) 2;>2(a,b, +a2b2+...+anbn) . a,b, +a2b2+...+anbn£ 1 © Si -1 <a <0, demostrar a1>a -l< a< 0= > a> -lA a< 0 Como a<0=> a2>0 de donde a >-1 => aí .a>-l(a;>) a3>-a2 ...(1) a>-l y a<0 =>a2<-a (por-1) ... (2) CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « WWW Qdukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 15. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) De (1) y (2) se tiene: a'> -a2>a => a3>a O Si -a> 0y (a-b)‘ >(a +b) entonces b>0 (a-b) >(a +b)~ =t< a2-2ab+b2>a2+2ab+b2 CAPITU1*>I -2ab >2ab 4ab <0 => ab <0 ... (i) Como -a >0 => --> 0, multiplicando a (1) a — (ab)<0 => - — <0 => -b<0 => b>0 a a O Si a,b e R tal que 2a +4b = 1. Demostrar que: a2+b2>— 20 jCS22¡iS3IÍI¡jr De acuerdo a la condición del problema 2 > ^ 2 i_° ^ a b a >— a +b* >— +— 10 ^ 10 5 b2£ - a2+b2> 10 a2+b2^2a +4b =_L a2+b2>-I 20 20 20 S ia > 0 y b > 0 a3+b3£ a2b +ab2 (a-b)‘ >0 => a2-2ab +b‘ >0a2-ab +b2>ab, multiplicando por (a +b) 22 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a* - a b + b2)(a + b )^ a b (a + b) a3+ b 3£ a 2b + ab2 Si x,,x2,...,xneR* y si /?=^/x,.x2...xn y « = X| + , demostrar que p<a O / /— /— 2 x, +x„ > 2 J x , x 2//i---------Jx, - Jx 2 ¡>0 => ‘ _____ => x,+x2+x3+x4£2(Vx,x2+Vx3x4) v ' x3+x42:2yJx3xÁ x, +x2+x3+x42:2^VX|X2+>/x3x<)^2.2^Vxix2>/x3x4 =4;¡/x,x2x3x4 Luego <, +•x2+x3+x42 4^/x,x2x3x4, generalizando x, +x2+x3+x4+... +xn£ nVxix2x3x4...xn De donde Vx,x2x3x4...xn <, a b e Si a, b, c, m, n, p e R / m > 0, n > 0, p > 0; , entonces m n p ab+a+c c — <------ <— m m+n+p p Demostración similar al ejercicio (10) que esta desarrollado _ . . a. +a2+...+an Probar que si a,<a2<... <a„ entonces a, <—1-- ------- <an Énrm*vKmt*vw a, £a, <an a, <a2<an a, <a3<a„ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 16. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITII! O a, +a, +...+a, <a, +a2+....+a„ <an+an+... +an , '--------V-------- ’ '-------- v-------- • n-veces n-veces na, <a,+a.,+... +an<nan, Dividiendo entre n se tiene: a, +a¡, +...+a a <—!------------ i--—<a. ® a3-b3 Demostrar que si 0< a< b< c entonces ------ <a+b +c 3c(b-a) a >0, b >0, c >0 => á~ +b2 +3c2>0 ... (1) a >0, b >0, c >0 => ab >0, ac >0, be >0 ab +3ac +3bc>0 ... (2) sumando (1) y (2) se tiene: a2+b2+3c2+2ac +3bc+ab >0 Agrupando apropiadamente (a* +ab+b2)+3c(a +b+c )>0 => -(a2+ab +b2)<3c(a +b+c) (a2+ab +b2) ----------<a+b+c , como b - a >0 3c (b-a)(a2+ab +b2) (a-b)(a2+ab +b2) ---- ——— --- <a+b+c => ----- —— — -----<a+b+c 3c(b-a) 3c(b-a) aJ - b 3 <a+b+c 3c(b-a) O Probar que: a4+b4+c4+d4>4 Iabed I para a, b, c, d e R SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I "" www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net , ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Como a, b, c, d e R => a2,b2,c2,d2e R, además ja2-b2e R i 3' _ b! ) (c2-d2e R ^ >0 l sumando a4+b4+c4+d4>2(a2b2+c2d2) ... (1) (ab-cd)¿ >0 => a2b2+c2d2>2abcd 2(a2b2+c2d2)>4labcdl ...(2) De (1) y (2) por transitividad se tiene: a4+b4+c4+d4>4 1abed I O Si a, b, c>0, demostrar que: 2(a3+b3+c3)>bc(b +c) +ac(c +a) +ab(a +b) (a +b +c f =a3+b3+c3+3(ab2+ac2+a2b +a2c +b2c +bc2) +6abc Además se tiene: (a +b+c)3-(a1+b3+C1) >0 Operando y agrupando adecuadamente y estas operaciones dejamos como ejercicio al lector para obtener el resultado. 2(a3+b3+c ’)>bc(b+c) +ac(a +c) +ab(a +b) Demostrar que: a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c ), V a, b, c e R SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos.net 25
  • 17. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (bc-ac)2>0 (ca-ab)~ >0 (bc-ab)2>' •b2c2+ aV >2abc2 c2a2+a2b2>2a2bc b2c2+a2b2>2ab2c sumando 2 (a V +b2c2+a*c2) >2(abc2+a2bc ++ab2c) a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c) O V x e R, y n par, demostrar que: xn ^ 1 x M ‘ 2 x € R y n es par entonces xn-1 e R (xn-1)S >0 => x2n-2xn+1 >0 x2n+1>2xn es decir: 2xn<xs" +1 2x” x <1 => X x2n+1 <1 x2n+l 2 Demostrar que s ir > 0 y a < b entonces a <-a-~ <b 1+r Como r >0 y a <b entonces se tiene: ar <br a a <b, agregando a +ar <a +br a a +br <b +br a(1 +r) <a +br a a +br <b(l +r) a+br a+br a < 1+r 1+r <b , porque 1+r >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPtTUI * I wwA.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « $ a <a+tz>t <b por transitividr.d 1+r Si a y b son números positivos y distintos, demostrar que: — +— >- + a b 1 1 b2+a2 >a +b a - b e R => (a-b)' >0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab a2-ab +b2>ab multiplicando por (a +b) (a +b)(a2-ab +b2)>ab(a +b) dividiendo entre a2b2 (a +b)(a -ab +b‘ ) ab(a +b) a3+b’ a+b ----- --------- ->— => —r—— >----, separando ab a b a2b2 ab ^ Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que: 2 x2+y2+z +w2>- (xy +xz +xw +yz +yw +zw) ¡ g ¡ y (x - y f >0 (y-z)2^o (x -w )2>0 (y-z)2>o (y - w )2>0 (z-w )2>0 x2+y2>2xy x2+z2>2xz x2+w2>2xw y2+z2>2yz y2+w 2>2yw z2+w 2>2zw sumando 3(x2+y2+z2+w2)>2(xy +xz+xw +yz +yw +zw) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 18. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUI O I $ O x‘ +y2+z‘ +w 2L - (xy +xz +xw +yz +yw +zvv) 3 j u2 Si a y b son números desiguales y positivos, demostrar que: a +b <— +—- . b a Por ser a y b positivos y desiguales se tiene: (a-b)~>0 => a -2ab +b~>0 a2-ab +b2>ab (a +b)(a~-ab +b )>ab(a +b) => ab(a +b)<(a +b)(a2-ab +b2) (a +b)(a2-ab+b! ) a3+b3 D<--------;------- => a +b<-----a + ab ab a2 b2 a +b <— +— b a separando Si a, b ye son números positivos y distintos. Demostrar que: (a +b +c)2<3(a2+b2+c2) (a-b )¿ >0 (a- c)2>0 (b - c)2>0 a2+b2>2ab a2+c2>2ac sumando b2+c2>2bc 2(a¿ +b‘ +c2) >2ab +2ac +2bc sumamos a2+b2+c2 W IM SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.edukperu com www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO I .......................................................................................................................--------------------------------- 3( a2+b2+c2) >a2+b2+c2+2ab +2ac+2bc 3(a2+b2+c2) >(a +b +c)~ (a +b+c) <3(a +b'+c2) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3+b* )(a +b) >(a* +b‘ ) a y b son positivos y distintos, entonces (a - b f> 0 -=> a2-2ab +b2>0 a2+b2>2ab, multiplicando por ab ab(a2+b2) >2a2b2 sumando a4+b4 a4+a3b +ab3+b4>a4+2a2b2+b4 a3(a +b) +b3(a +b)>(a2+b2)2 (a3+b1)(a +b)>(a2+b ) Si x, y son números distintos, demostrar que: (x4+y4)(x‘ +y )>(x3+y3) Como x e y son números distintos, entonces (x—y)2>0 => x2+y2>2xy (por x2y2) x2y2(x2+y2)>2x3y3 sumando x6+y6 x6+x4y2+x2y4+y6>x6+2x3y3+y6 => x4(x2+y2) +y4(x2+y2)> (x3+y3)2 (x4+y4)(x2+y2) >(x3+y3)2 www.edukperu.i www.solucionarios.net
  • 19. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS Si x, y, z son números positivos, distintos, demostrar que: xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz Aplicando el ejercicio (49): 2(a3+b3+c3) >bc(b+c) +ac(a +c)+ Y el ejercicio (17); a3+b3+c3£ 3abc De la combinación de estos dos ejercicios que están desarrolladas. Se concluye que: xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz dfft Demostrar que: a <b < I => ^ <— ? w a-1 b-1 a ^ b < 1 => a <b a b<1 a <b => a - 1£ b - 1 invirtiendo — multiplicando por-1 a-1 b-1 — — sumando 1 a-1 b-1 1— L s i _ _ L = a-1 b-1 a-1 b-1 a3+b3+c3>3abc => 2>6abc Sean a, b, c, x, y, z son números positivos distintos, demostrar que: (a’ +b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax +by +cz)2 CAPITI" 0 I ab(a +b) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■± www.solucionarlos,net www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (bx +ay) £0 b2x2+a?y2>2abxy (cx-azf>0 => c2x2+a2z2>2acxz sumando (bz-cy)* 20 b V +c V í2 b c y z b V +a V +c V +aJz" +b 'V + c V >2abxy +2acxz +2bcyz Sumando a2x2+b2y2+c2z2 a ambos miembros a2x2+b2y2+c2z2+b2x2+a2y2+c2x2+a2z2+b2z2+c2y2> a2x2+b2y2+c2z2+2abxy +2acxz+2bcyz a2(x2+vs +z2) +b2(x2+y2+z2) +c2(x2+y2+z2) >(ax +by +cxf (a2+b2+c2)(x 2+y2+z2)>(ax +by +czf c3 d3 Demostrar que: 0<d<c => —— —> d'(c-d) 0<d<c => 0<d a d <c 0<d => 0<2d => 0 <2d +c 2d +c >0 => (c +d) +d >0 Multiplicando por c - d >0 se tiene: (c +dXc - d) +d(c - d) >0 => c2-d2+cd-d? >0 c2+cd>2dL’ sumando d~ c2+cd +d2>3d2 (multiplicando por c - d) (c-d )(c2+cd +d2) (c-d)(c2+cd +d2)>3d2(c-d) => ------- -------- >d2(c-d) i * i www.solucionarlos,netg W
  • 20. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ........................................................................ • íL ^ l> d ’ (c-d) f £>*(*-<*> ^ Si 0<d <c => d3(c-d )< ^ --y< c2(c-d) Seguir el mismo desarrollo del ejercicio (62) que esta^ en detalle y agrupando convenientemente para obtener el resultado d ( c - d ) < — ~ ^ <c ^ O Si x >0, y>0, z >0, demostrar que: a) xyz =1 => x +y +z >3 b) xyz=1 a x +y +z =3 o x =y =z=l a) Aplicando el ejercicio (30): (a +b+c) £27abc Para nuestro caso se tiene: (x +y +z) £ 27xyz para xyz =1 (x +y +z)3 >27 sacando raíz cubica x+y +z£>/27=3 x +y +z £ 3 b) Es inmediato se deja para que se entrenen. ^ Demsotrarque: x>0, y >0, z >0 => ^ +^ +” - 3 (sus‘ ^ =1 ejercici° 64) Aplicando el ejercicio (50) que es: x2y! +y*2* +x2r - x+y +z) el ejercicio (64) que es: xyz =1 =>x +y +z>3 Combinando estos dos ejercicios se obtiene: x y z —+—+— y z x w v á www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Demostrar para todo a y b rec* >/ab <-|=%¡aJ 4 b2 V2 (a - b )'>0 => a2+b‘ >2ab ab£^(a2+b2) Sacando raíz cuadrada cubica se tiene: </ab <-1=Va2+b2 y¡2 © Si xe y f: R, demostrar que: lxl +ly l^ lx +yl |x+yf =|(x+y)2|=(x +y f =x2+2xy +y2 ... (i) Como xy <I xy l=I x 11y I ... (2) Luego de (2) en (1) se tiene: |x+y|2<|x|2+2|x||y|+|y|‘ |x+y|‘ <(|x| +|y|)‘ de donde lxl +lyl> lx +yl O Si x,,x2r..,xn€R tal que x,.x?...xn=1 entonces x, +x,, +...+xn>n Aplicando el ejercicio (44) esto es: x i-+ x,¿ *n >Wx..x„...x n v i Z n Para x,.x,.x3...xn=1 entonces — +X¿ +"‘+Xn >1 de donde x, +x2+...+xn^n www.¿düíTperu.com www.solucionariosJir,oms MATEMÁTIC01ES
  • 21. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j Si a, b € R, demostrar que: (a +b)4<8(a4+b‘) Es inmediato del ejercicio (32) que esta demostrado en detalle a4+b4>-(a +b)4 de donde (a +b)4<8(a4+b4) CAPITULO i x2+1+a Si a >0, probar que: —-¡== Vx + >a +l Como ejercicio, probar que: >/x2+a >a i sumando >1 Vx2+a ' x2+a+1 >a+1 ^ Si a,b,c e R* y si a2+b2+c2=8, Demostrar que: a3+b3+c3£ 16^| Aplicando la media potencial M, = ¡-i n Como M3>M2 entonces evaluamos a3+b3+ 7 ^ ^ a~ +b +c~ _ ^8 ^|a +b +cT ^ ^8 e¡evancj0 a| cub0 www.solucionarios.net www.edukperu con www.solucionarios.net CAPITULO I c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O a1+b'+c3 a3+b* +c3>3 =8 ¡8 16 Í2 3V3 " 3 V3 16 Í2 _ Í2 3 V3 y3 a3+b3+c3 Sia>0,b>0, demostrar que: ^ j(a* +b*) >4 Como a >0, b >0 => a2—b2eR de donde (a2-b2) >0 =í> a4-2a2b2+b4>0 sumando 4a2b‘ a4+2a2b2+b4Í4 a 2b8 => (a2+b2)‘ >4a2b2 ( 1 (a2+b2)(a2+b2) — £ 4 a b U ! +b2 (a2+b2)>4 Demostrar que si a,b,c son números reales positivos, entonces +c >Vabc 3 Aplicando el ejercicio (30) se tiene: (a +b +c)3>27abc Sacando la raíz cubica se tiene: a+b+c >^27abc => a+b+c >3/abc a +b+c >yjabc Si V x € R, tal que a >0 a b >0 y a2£ x <b => Va <x <Vb v -Vb <x <-Va wvnv ed .kperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 22. www.solucionarlos,net i r a r e n a M i n r a < x 2 < b => a < x 2 a x 2 < b => x 2 - a > 0 a - V b < x < V b ( X - V S ) ( x + > / a )> 0 a - 7 b < x < > / b ( x - > / a > 0 a x + V a > 0 ) v (x - - s / a < 0 a x + V a < 0 ) a (- > / b < x a x < V b ) Por la propiedad distributiva de la intersecccion jjx<>/a a x£->/a) v (x<Va a x<-VajJ a |-Vb<x a x < 75) (Va<x a x<Vb) v (-7b<x a x<-Va) %/a<x<Vb v -Vb <x <- Ja © Si x,,x2,x3,...,xn€ R , tal que: x,.x2.x3...xn=1, demostrar que: x,+x2+...+xn>n J 2 ¡ y £ S ¡¡M ü it Aplicando el ejercicio (44) que es: x, +x2 >^x,.x2...xr Como x,.x2...xn=1 entonces se tiene. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP|TULO I x, +x„ +... +X. n X + X + + X —1--2——— - >1 de donde x,+x2+... +xn>n n $ Si a,be R+, demostrar que: (a2+b8)(a +b)2>8a2b2 (a-b)“ >0 => a2+b2£2ab, multiplicando por (a-t-b)2 H SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO L.NÁLISIS MATEMATICO L . t www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a2+b2)(a +b)‘ ^2ab(a +b)" => (a2+bL’)(a +b)2>2ab(a': +b2+2ab) ...(1) Pero a2+b2>2ab ...(2) De (1) y (2) se tiene: (a2+b2)(a +b)2>2ab(2ab +2ab) =8a2b‘ .*. (a2+b2)(a +b)2>8a2b2 ¿ 7 1 Si a + b + c = 0, demostrar que: ( - + —+- | ++^a b c j a b‘ c tfm H ñ is w tC T ” 'b Como a +b +c =0 => abc(a +b +c) =0. (abe) a2bc+ab2c +abe2=0, multiplicando por 2 2a2bc +2ab*c+2abc2=0 sumando a ambos miembros a2b2+a2c2+b2c2 a2cb2+a2c2+b2c2+2a2bc +2ab2c +2abc' =a2b2+a2c2+b2c2V. ■■■y ................✓ (ab +ac +be)2=a2b2+a2c2+b2c2 Divididiendo entre a2b2c2se tiene: (ab +ac +be)' _ a2b2+a2c2+b2c2 ( ab +ac +beY a2b2+a2c2+b2c2 a2b2c2 a2b2c2 abe ) a b e 1 1 1 - + — + - c b a) ^ 1 1 1 O 1 l Y 1 1 1J_ J_ _1_ * c ! +b! +a2 © 1 1 8 Si a,beR*( demostrar que: -T +— >------ a (a +b)' n s n ww-w.9dukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 23. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Aplicando el ejercicio (76) se tiene: (a* +b2)(a +b)‘ >8a’b Dividiendo entre a2b2(a +b)2 (a2+b2)(a +b)‘ 8aV . . a2+b2 8 ------ ------->--------- ¡r, simplificando ----- >---- a2b2(a +b) a2b2(a +b)‘ a V (a +b) a2 b2 (a +b) © Sean a, b, c números reales positivos tal que: a <b <c, demuestre que a b 1 <--- <— a +c b +c 2 a c b c c <=> a < b a b < c a < b a b < c => ac< bc a b + b < b + c => ab + ac < ab + be a 2b < b + c 2b => a(b + c) < b(a + c) a ----< 1 b +c a b b 1 => ----- < ------ a ----- < - a +c b +c b +c 2 a b 1 <--- <— a +c b +c 2 Si x >0, x e R - {1}, demostrar que: x"'1+— -<xn+— , V n > 1 x x x > 1 => 1<x, multiplicando por x2n“' -1 >0 CAPITUI O I / ‘ 38 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com ---- www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2"'1-1 <x(x2n‘'- l) => x2""1-1 <x2n- x x2"“' +x <x2n+1, dividiendo entre x x +1 < x2n+1 , dividiendo entre x n-1 x2n"2+1 x2n+1 x.x x"'1+— <X n + — xn xn o Si 0 <a <b <c, demostrar que: —- +— >2 a ac j2B¡ES¡2I3I¡I3r Como a <b <c, entonces se tiene: * > i a c b c b2 b+c b2 0 -> 1 => —+- +— >3 => --- +— >3 Ü1>1ac a a ac ^ Í5 - 1 +— >3 i a ac a ac b +c-a b2 * --------------------+ — >2 a ac C- n 1 2 3 .1 6 3 Si 0 <—<—<—, demostrar que: - <------ <- x y z x x+y+z z Aplicando el ejercicio (10) se tiene: d e f d d+e+ f f _ = > _ < ------<- a b c a a+b+c c www.edukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 39
  • 24. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................... CAPITUi O I 1 2 3 1 1+2+33 . 1 => - < ----------- < - ••V v + V + Z zx y z x x+y +z z x x y-t-¿ ¿ Sean a, b, c, d números reales positivos distintos tal que ad > be, demuestre que: abd +bed be <------- <ad a+d c <d a be <ad abe <abd a ab+be <a2+ad abe +bed <bed +abd a abd +bed <a2d +ad‘ bc(a +d) <bed +abd a bed +abd <ad(a +b) bc(a +d) <bed +abd <ad(a +b) bed +abd , be <----- -— <ad a +d <¡> Sean a, b, c numerous reales positivos, demuestre que: abe >(a +b +c)(a +c - bXb +c - a) Aplicando el ejercicio (30) que es: (x +y +z) >27xyz y el ejercicio (x +y +z)3>2 7(y+ z-x)(z +x-y)(x +y-z), se tiene: (a +b +c)3£27abc >2 7(b +c-a)(c +a-b)(a +b-c) abe >(b +c - aXc +a - b)(a +b - c) SOLUCIONARIO www.solucionarios.net www.solucionarios.net f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO I ' ---------------------------------- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA I. Resolver las siguientes inecuaciones O 5x-2 >10x +8 >2x +16 __ 5x-2<10x+8 <2x +16 => 5x-2<10x +8 a 10x +8<2x +16 -8-2< 10x-5x a 10x-2x <16-8 => -10<5x a 8 x < 8 x > - 2 a x<1 => - 2 < x <1 x e <-2,1> 1 0 1 1 — < 3x — <— 5 ” 4 3 _ 1 < 3 x < — M C M (5 ,4 ,3 ) = 60 =x> - 1 2 < 1 8 0 x - 15 < 20 5 " 4 3 1 7 3 < 180x < 3 5 => — < x ^ — =* X € 60 >36 x 3x 5 , <--- , a >b J _ L 60'36 r a2-b2 a-b a +b -— MCM=a2-b2 => x íU f a^ ^ l< - ^ - a2- b2 a-b a +b V a2-b2 ) a +b 5(a +b) / 5(a +b)1 +3(a~^b) =* X e" ° ' l +3(a-b)/ % £ ^ + 4 > ^ i + 2x, a > b > 0 w 3a 6b ____________ www.solucionarios.WF0"™0ANÁLIS,SMATEMÁTIC0 a
  • 25. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITI)' o I 2x 5x — +4>— +2x, MCM =6ab => 4bx+24ab> 5ax+12abx 3a 6b 24ab> x(5a +12ab-4b) => x--- — --- => xe(-«o,- 24ab 5a +12ab-4b5a +12ab-4b o 6-3x 2x+---- <4 4 6-3x 2x +—-— <4 => 8x +6-3x<16 => 5x<10 => x<2 => X€(-oo,2) O x x i x - +— >1+-, c>b>a >0 • a b c _____ X X X —+—>1+—, MCM =abc bcx + xac >1+abx a b c x(bc +ac - ab) >abe => x >---— --- => x e /---— ---.oo be +ac - ab be +ac - ab ' O 2x-6< 2í¿® l-2x-3x2>0 => 3x2+2x-1 <0 => (3x-l)(x +1)<0 O 3(x-5)-4(4-3x) > 2(7-x)-3 (x-5 ) 3(x-5)-4(4-3x)>2(7-x)-3(x-5) => 3x-15-16 +12x >14-2x-3x +15 15x-31 >29-5x => 20x>60 => x>3 => x g [3 ,oc) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCOGNITA 2x2- 6x +3 <0 2x2-6x +3<0 => x2-3x +-<0 3] 9 3 . x— -- +-<0 => 2 4 2 ( 3 )* 3 J 3 3 & x — <—= > ----- < x — < — 2 4 2 2 2 3-y¡3 3+73 -----<X <----- 2 2 3-y¡3 3+y¡3 X 6< 2 ’ 2 2x2+6x-9 <0 2x2+6x -9<0 => x2+3x --<0 í 3 )* 9 9 _ ( 3Y 27 _ f 3 3y¡3 XH— -----<0 => x+- ----<0 => X+------ 2 4 2 [ 2 4 2 2 3 3>/3 x+- +--- 2 2 <0 3 + 3 / 3 3 + 3 / 3 X € 2 2 -3-3V3-3+3V3 2 ' 2 9x2+54x >-76 www.8dukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 26. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIT1"? I 9x~+54x>-76 =3> x~+6x +— >0 9 (x +3)‘ -9 +-^ >0 => ( x +3)2--^>0 x+3-— 3 x+3+ >0r ~ ~ v -9-¡S 9-y? x . , - -4x2+4x +3>0 1 3 / 1 3 x =—-x-- => x e ( — ,- 2 22 2 4x2+9x +9<0 o 9x 9 4 x '+ 9 x +9 < 0 => x2+— +-< 0 , completando cuadrados 4 4 9Y 81 9 . (9V 63 x+- ———+—<0 =>x+- +—<0como 8] 64 4 l 8 64 f 9Y 63 x+— +— >0, Vx e R 8 J 64 La solución es <j> 4x2-4x +7 >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I 4x2-4x +7 >0 => x2- x +—>0, completando cuadrados 4 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f 1 1 7 f 1V 3 2— +—>0 => x+— +—>0 como se conoce V x e R , x >0 4 4 l 2 ) 2 Entonces la solución es R. x4-2x2-8 <0 x4-2x2-8<0 factorizando (x2-4) (x2+2) <0 x2-/< 0 factorizando (x-2 )(x +2)<0 V ~ ~ V -2 2 /. x e <-2,2> —4x2-8 <-12x -4x2-8 <-12x => x2-3x +2>0 => (x - 2 )(x - l)> 0 / - y 1 • 2 /. x e <-oo, 1> u <0,+oo> x2-2yÍ3x-2 >0 jgg£¿MáÉMf x2- 2y/3x-2>0, completando cuadrados ( x - V 3 ) 2- 3 - 2 > 0 ( x - V 3 )2 - 5 > 0 factorizando se tiene: - •, - " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net 1
  • 27. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPm " 91 © © ( x - V 3 - 7 5 ) ( x - 7 3 + V 5 ) > 0 V 7 3 -7 5 S Í3 + J5 /. x e >/3->/5) ^ V 3 - V5,oo^ 3 x 2 - 8 x + l l > 4 ( x - l ) 3 x 2 - 8 x + 11 £ 4 ( x - l ) =^> 3 x 2 - 8 x + 11 > 4 x - 4 => 3 x 2 - 1 2 x + 1 5 > 0 Simplificando se tiene: x 2 - 4 x + 5 £ 0 completando cuadrados (x-2)2- 4 + 5 ^ 0 (x- 2)2+1 >0 la respuesta es V x e SJ? 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 => ( 3 x - l ) ( x - 3 ) < 0 x e 1,33 x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )? M S » x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )‘ => 3 x 2 + 2 x < x 2 + 4 x + 4 = > 2 x 2 - 2 x - 4 < 0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com www.solucionarios.net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x 2 - x + 2 < 0 facto riz an d o ( x - 2 ) ( x + 1 )< 0 -1 O O (-1,2) 4x2-8x +1<0 4 x 2 - 8 x + 1<0 => x2-2x +—<0, completando cu a d ra d o s o í 3 (x - l)2-l +-<0 =>(x-1)2-- <0 factorizando x—1— X —1+— 2 <0 2 - sÍ T 2+ yi 2 2 ' 2 - & 2 + >/3 2 ’ 2 X € 5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0 IMTNñ'VWt* 5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0 factorizando ( 5 x - 9 ) ( x - l ) < 0 x e www.edukpsru.com SOLUCI' www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 28. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITI" T í O x2+3x+2 >0 ________________ x2+3x+2 >0 factorizando (x + 1)(x +2) >0 -2 -1 xe (-oo,-2)^(-1,oo) 1-2x-3x2£0 J K ü ¡M S M f 1-2x-3x2>0 => 3x2+ 2x-l<0 factorizando (3x-1)(x +1)<0 -1 x e 3x2-5x-2 >0 i— ^ . n n - T i v r 3x2-5x-2>0 factorizando (3x +l)(x-2) >0 V ~ ~ V xe/-<x>,-Mu(2,ao) (x2+2x)(x2-l)-24 >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO) ANALISIS MATEMATICO I . , www.solucionarlos,net www edukperu.com ’ www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O K> + roX 24 >0 => x4+2 X ’ 1 2 -1 -2 -24 2 8 14 24 2 1 4 7 12 0 -2 -2 -12 -3 1 1 4 0 x4+2x3- x2- 2x- 24 =(x +2Xx +3Xx2+x+4) (x-2)(x +3)(x2+x +4)>0 como x2+x +4>0, V x e R entonces O (x-2)(x +3)£ x +x+4 (x-2)(x +3)>0 -3 2 x e <-00,-3>vj <2,+oo> x(x-3)(x-l)(x +2) >16 x(x-3)(x-1)(x +2)>16 =>x(x-1)(x-3)(x +2)>!6 (x2-x)(x2- x - 6 )>16 sea u =x2-x u(u-6)> 16 => u2-6 u - 16>0 => (u -8)(u +2)>0 u =x2-x => (x2-x-8)(x2-x +2)>0, como x2-x +2>0, V x e R 0 Entonces (x - x - 8 )> x2-x +2 =0 => x‘ —x—8 >0 WW'.V eduKperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 29. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Ccompletando cuadrados se tiene: x2-x +->8 +- 4 4 , K 2 33 1 y/33 1 V§3 ( X - - ) > -- => X --- > ----- V X — < ------- 2 2 1+V33 1-733 x> ----- V x<----- 1-V33/1 +V33 xe(-oo,----- ) u ( ------ ,+00 2 /2 x4+2x3-x2+4x-6 <0 rn m s m m x4+2x* - x2+4x-6<0, factorizando por Ruffini 1 2 -1 4 -6 1 3 2 6 1 1 3 2 6 0 -3 0 -6 -3 1 0 2 0 x4+2x3-x2+4x--6 =(x-lXx +3Xx2 (* -l)(x +3)(x2+2) <0 como x2+2 (x~1)(x +3) =0 => (x - l)(x +3) <0 V ~ ~ V -3 1 x e (-3,1) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITIM 0 I wwvv ediikperu cóm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x2+x-6)(4x-4-x2)<0 (x2+x -6)(4x - 4 - x2)<0 => (x2+x-6)(x2-4x +4) >0 (x +3)(x-2)(x-2)2>0 => (x +3)(x-2)3>0 V -3 2 x e <-oo,3]^[2,+00 > 2x3+3x -llx-6> 0 2x3+3x2 -11x -6>0, factorizando por Ruffini 2x3+3x2-llx -6 2 3 - 1 1 - 6 4 14 6 2 7 3 0 2x3+3x2- llx -6 =(x- 2X2x2+7x +3) =(x - 2)(2x + 1)(x +3) entonces (x-2)(2xe+7x +3)>0 => (x-2)(2x +1)(x +3)>0 1 2 x e - 3' - i [2,+oc > O x3-3x2-I3x +15>0 www r?d'jKDei •■¡on SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 30. www solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) x* -3xJ -13x +l5 >0, factorizando por Ruffini x3-3x2-13x +15 CAPI7',,n i O 1 -3 -3 15 1 -2 -15 1 1 -2 -15 0 x3- 3x2-13x+15 =(x -1Xx2- 2x -15) =(x - IXx - 5Xx +3) entonces (x -1)(x2-2x -15)>0 => (x-l)(x-5)(x +3) >0 Y . -3 1 5 x e(-3,l)u(5,oo) x4-4x3-x2+I6x-12 >0 É O L W m U l'M * x4-4x3- x2+16x -12>0 factorizando por Ruffinni x4-4x3-x2+16x-12 1 -4 -1 16 -12 1 -3 -4 12 1 1 -3 -4 12 0 2 -2 -12 2 2 1 -1 -6 0 x4-4x3-x2+16x-12 =(x-lXx-2Xx2-x-6) =(x-1Xx-2Xx-3Xx +2) (x-l)(x-2)(x-3)(x +2)>0 - 2 1 2 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wwv,.3dukperu.com . www solucionarlos,net CAPITULO I .................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x e(-oo,-2)u(l,2)u(3,ao) x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Tnrrrgr.i^r x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Factorizando por Ruffinni x5+3x4- 5x3-15x2+4x- 12 1 3 -5 -15 4 12 -1 -2 7 8 -12 -1 1 2 -7 -8 12 0 1 3 -4 -12 1 1 3 -4 -12 0 2 10 12 2 1 5 6 0 x5+3x4-5x3-15x2+4x-12 =(x +l)(x - l)(x - 2 )(x 2+5x +ó) =(x+ 1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2) ~ ^ ^ A r ~ i r r -/ ~ A A T - -3 - 2 - 1 1 2 (x +1Xx-l)(x2+5x +6)>0 => (x +1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2)>0 xe<-3,-2> u< —1,1>u2,oo> ^ x5-6x4-x3+29x2+8x-15 <0 x5-6x4- x3+29x2+8x-15 <0 factorizando por Ruffinni x5- 6x4- x3+29x2+8x-15 . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net S
  • 31. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITUI O I 1 -6 -1 29 8 -15 -1 7 -6 -23 15 -1 1 -7 6 23 -15 0 3 -12 -18 15 3 1 -4 -6 5 0 5 5 -5 5 1 1 -1 0 x5- 6x4- x3+29x2+8x-15 =(x +lXx- 3Xx - 5Xx2+x-1) (x +1Xx-3Xx-5Xx2+x-1)<0, factorizando x2+x-1 (x +1Xx-3Xx-5) (x +1Xx-3Xx-5) (x +1Xx-3Xx-5) ~ ~ V ~ x+: Y . i . 2J 4 <0 i r - 1 s X -I- --------- 2 2 <0 1 V sl x+- +— 2 2 <0 :y ; l+/ 5 -1 -1 +ÍS . l +&/ , - l +>/5 .. x€(-co,---_ W - l , -- -— u<3,5> O (x2- 2x - 5Xx2- 2x - 7Xx2- 2x- 4) >0 (x2- 2x- 5Xx2- 2x- 7Xx2- 2x- 4) >0, factorizando 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukpery.com www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © [(x-1)2-1-5](x2-2x-7Xx2-2x-4) >0 => [(x-1)2- 6][(x- 1)2- 8 ][(x - 1)2-5] >0 =>(x -1 - >/ó)(x-1 +Vó)(x -1 +V8)(x -1 - n/8)(x -1 - >/5Xx-1 +n/5) >0 1-2Í2 1- V6 1-V5 1+¡S 1+46 1+2Í2 x e ^-oo,l-2^2^ u ^1-yjb,1—VH^U^I +>/6^u(l +2>/2,+co^ x5-2x4-15x3>0 x5-2x4-15x} >0 => x3(x2-2x-15) >0 => x3(x-5Xx +3) >0 + > 1 > + > 1 -3 0 5 x e<-3,0 >u <5,oo> (x3-5x2+7x-3X2-x) >0 Factorizando por Ruffinn x3-5x2+7x-3 1 - 5 7 - 3 3 - 6 3 3 1 - 2 1 0 (x-3 )(x-l)2(x-2) <0 + > l > + > 1 www ^dukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 32. www.solucionarlos,net x e [2,3] ^ {1} (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)< 0 si a<b<c<d m m m m n w ai (x-a)(x-b)(x-c) (x-d)<0 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITU' O l O a b c d xe(a,b)u(c,d) (x2+6x -1Xx3-2x2-2x +4Xx +5)5>0 (x2+6x - IXx1- 2x2- 2x +4Xx +5)5>0, factorizando => [(x +3)2- 9 - l][(x 2(x-2)-2(x-2)](x +5)5>0 => [ ( x + 3 )2 - 1 0 ] ( x - 2 X x 2 - 2 X x + 5 )5 > 0 =>[x +3- VÍÓ](x +3+VÍÓXx - 2Xx - V2Xx +>/2Xx+5)5>0 ~ v : v + v • v + v - a ~ -3- VIO -5 -¡2 -3 +/To ¡2 2 x e (-x,-3-VÍÓ)u(-5,-V2)u(-3+>/ÍÓ,V2)w<2,4oo> ^ (6x +3)2(x2-1)3(3x -5)7<0 (6x +3)2(x2-1)3(3x - 5)7<0 => (6x +3)2(x - l)3(x +1)3(3x-5)7<0 8 m SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO! . , wwwedukperu.comANÁLISIS MATEMÁTICO I ., www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o -1 ••• xe(-oo,-l)u^1,|^ (3-x)3(x2- l)2(l- x )5x>0 M ü B W (3-x)3(x2- l)2(1-x)5x >0 => x(x -3)3(x -1)2(x +1)2(x -1)5>0 x(x -3)3(x -1)7(x + 1)2> 0 -i x4-2x2-3x-2 >0 0 1 /. x e ( 0 , l)u (3 ,o o ) x4-2x2-3x-2>0 factorizando por Ruffinni x4-2xa-3x-2 1 0 -2 -3 -2 -1 1 1 2 -1 1 -1 -1 -2 0 2 2 2 2 1 1 1 0 x4-2x2-3x-2 =(x +1Xx-2Xx2+x+1) (x-lXx-2Xx2+x+l)^ 0 , como x2+x +l>0, Vxe R, entonces. (x-lXx-2) > 0 x2+x +6 =0 => (x- lXx - 2) >0 www.edukperu.com i . S O I 1C www.solucionarlos,net
  • 33. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS $ -i o x e < - o o >- 1 ]u [2 ,+ o o > x4-3x3+5x2- 27x-36 <0 x4-3x3+5x2- 27x-36 <0 factorizando por Ruffinni 1 -3 5 -27 -36 -1 4 -9 36 -1 1 -4 9 -36 0 4 0 36 4 1 0 9 0 x4-3x3+5x2- 27x-36 = (x +1Xx -4Xx2+9) (X +lXx l X Xx> +9) <0, como x2+9>0, V x e R , (x +1Xx-4)<0 -1 4 X€<-1,4> m x4- x2<0 => x2(x2-1)<0 => x2(x-l)(x +l)<0 + V ¿ /~ ~ * - 1 0 1 x e <-1,0> <j <0,1 > CAPITI" n i 36 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ., www.solucionarlos,net www.eduKperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (2x2-4x-1X3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0 Jg ^ S S S S iS M f (2x2-4x-lX3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0, factorizando se tiene: x2-2 x--1 f x2-2x +-1(x2+4x-2) >0 ^(x-l)2- l-^ j^ (x -l)2- l +^j[(x +2)2- 4-2]>0 f(x - l)2- | ^(x —l)2+^j[(x +2)2-6]>0, como (x -l)s +^ >0, V x e R [ o _ (x-1)2- - [(x +2)2-6J >0, factorizando -1_^|)íx-1+^)(x+2+.'^)(x+8“'^)>0 , Í3 2+yfb , ¡3 Puntos críticos x =1+J- =---- , x = - = V2 22 2 -y f b , x =-2-Vó , x =-2+n/ó ~ v 1 - ~ V .+ -2-^6 2 -x/6~ -2 '/6 2 +/6 x5+8x4+12x3-x2-8x-12>0 Factorizando por Ruffinni x5+8x4+12x3-x2-8x-12 www.edukperu.com www.solucionarios.net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 34. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUI n i 1 8 12 -1 -8 -12 1 9 21 20 12 1 1 9 21 20 12 0 -2 -14 -14 -12 -2 1 7 7 6 0 -6 -6 -6 -6 1 1 1 0 x5+8x4+12x3- x2- 8x-12 =(x - 1Xx +2Xx+6Xx2+x+1) (x-1)(x +2Xx +6Xx2+x +1)>0 , como x2+x +l>0, V x e R , simplificar (x-1)(x +2Xx +6)>0 -6 -2 1 xe(-6,-2)u(l,oo) ^ (x2-1Xx2+9Xx +4Xx +5)>0 (x2- lXx2+9Xx +4Xx +5) >0, simplificando x2+9>0, V x e Ry factorizando (x-lXx +1Xx +4Xx-5)>0 - 4 - 1 1 5 xe(-oo,-4)u(-1,l)u(5,oo) 60 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ., www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O © (x +2Xx +3Xx - 4Xx - 5) >4*■ (x +2Xx +3Xx-4Xx-5) >44 => (x +2Xx-4Xx +3Xx-5) >44 => (x2-2x-8Xx2-2x-15)>44 u =x2-2x-8 => u =(u-7)>44 => u -7u-44>0 => (u-1lXu +4)>0 => (x2- 2x-8-11Xx2-2x-8 +4) >0 => (x2-2x-19Xx2-2x-4)>0 [(x-1)2-1 -19][(x-l)2-1 -4] >0 => [(x-1)2- 2 0 j(x - l)2-5]>0 (x -1 - 2>/óXx-1 +2>/5Xx-1 - >/5Xx-1 +>/5) >0 v 1 +2ÍS 1 -ÍS 1+ÍS 1-2^5 xe(-oo,1-2>/5)u(l-75,1 +7 5 )u (l +275,®) x +6x4+6x +4 >0 x6+6x4+6x2+4 >0 => u =x2 => (x2)3+6(x2)2+9x2+4 >0 => u3+6u2+9u +4 >0 Factorizando por Ruffinni; u +6u +9u+4 1 6 9 4 -1 -5 -4 -1 1 5 4 0 u*-1-6u2+9u+4 =(u +IXu2+5u+4) =(u +IXu +4Xu + 1) www edukpervi.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ■L
  • 35. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPrr” ' n i O o u =x2 => (x2+ lf(x 2+4)>0, como )C+1>0 a x2+4>0, V x e R Entonces la solución es: V x e R x4-3x2- 6x-2<0 x4- 3x2- 6x- 2<0 , factorizando x4- 3xJ - 6x- 2 x4-3x2-6x-2 =(x2-2x-lXx2+2x +2) entonces (x2-2x-l)(x2+2x +2)<0, como x2+2x +2>0, Vx e R , simplifican x2-2 x-l< ____-____=0 => x2-2x-l <0, completando cuadrados x2+2x +2 x2-2x +l <2 => (x - 1)2<2 => -72 <x-1 <y¡2 1-72 < x < 1 +72 xe< 1-72,1+72 > x5-6x4-17x3+17x2+6x-l >0 m m m m t X5-6x4-17x3+17x2+6x-l >0 factorizando por Ruffinni 1 -6 -17 17 6 -1 1 -5 -22 -5 1 1 1 -5 -22 •-5 1 0 X 1 X X* -5x3--22x2--5x+l) >0 www.solucionarios.net f-8x +3x CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « XlX-5x3 -5x -2x x4-5xJ -22x2-5x +l =(x2-8x +1Xx2+3x +1) (x-lXx2-8x +1)(x2+3x +1) >0 3 2 9 (x-l)[(x-4 )2-15] (x-1)[(x-4)2-7Í5](x-4 +7Í5) >0 r 3X + -------- 2 2 3 75 X H-- + ---- 2 2 >0 A / 3 + /5 -3 +fS 4-'/l5 1 4 + fl5 2 2 ... x4-2x2+8x-3 >0 Factorizando x4- 2x2+8x- 3 x4+0x3-2x2+8x-3 A 2x v -1 + 2 x ^ * 3 (x2+2x-lXx2-2x +3 )>0, como x2-2x +3>0, V x e R , simplificamos v - 2x v / v „ „ X www.solucionarios.net www edukperu.com' www.edukperu.com . . . SOLUCIO www.solucionarlos,net
  • 36. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUt O I x +2x—1> x -2x+3 [(x +1)->/2][(x +1)+>/2]>0 x2+2x-1 >0, factorizando A / -1-72 -1 +72 xe(-<or 1 - ^ |u ^ - 1 - h ^ o o ^ O x4-2x3-5x2+10x-3 <; 0 Éimmrnaf x4-2x^ -5x2+10x-3 <0 x4-2x3-5x2+10x-3 x2 -3x -3 x2 X 1 (x2- 3x +1)(x 2+x -3 ) <0 , factorizando 3T 9 ix— — +1 2 J 4 n 1 ^x+- --- 3 2 J 4 <0 1Y 13 X H— ---- 2 J 4 <0 r 3+75X -------- í 3--75 ¥ 1-7Í3 x—■ X + ■ <0 -1 -¡13 3-/5 713-1 3+75 2 2 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu.com : www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X € '-1-73 3-y/S u n/T3 -1 3+75 2 2 2 ' 2 $ (x-7Xx-3)(x +5Xx +1)>1680 (x - 7Xx +5Xx - 3Xx +1) >1680 (x-7Xx +5Xx-3Xx +1)>!680 => (x2-2x-35Xx2-2x-3) >1680 u=x2-2x-3, reemplazando se tiene: (u-32) 1680 => (u2-32u-1680)^0 => (u- 60Xu +28) >0 (x2- 2x - 63Xx2- 2x +25) £ 0, factorizando se tiene: [(x -1)! -1-63][(x - 1)! -1 +25]20 => [(x -1)*-64][(x-1)* +24]£0 Como (x - l);' +24>0, V x e R, simplificando (x - l)2-64>0 (x-1)2>64 <x> x-1^-764 v x- 1<-Vó4 x- 1>8 v x - 1<-8 x>9 v xú-7 x e <-oo,-7] u [9,+oo> (x +9Xx - 3Xx - 7Xx +5) ^ 385 (x +9)(x - 3)(x - 7)(x +5) ^ 385 (x +9Xx-7Xx-3Xx +5)<385 => (x2+2x-63Xx2+2x-15) <385 u= x~+2x-15, reemplazando se tiene: • . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 37. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ................................................................................... (u-48)u^385 => u2- 48u-385 <0 => (u - 5 5 X u + 7)^0 (x2+2x-15-55)(x2+2x-15+7)<0, factorizando se tiene: [ ( x + 1)2- 1 - 7 0 ] [ ( x + 1)2 - 9 ] ^ 0 => [(x + l ) 2 - 7 l ] [ ( x + l)2-9]<0 (x +1 +V7l)(x +1->/7Í)(x +1-3Xx +l +3)<0 (x +1+%/7Í)(x +4)(x +1->/ñ)(x-2)<0 -1 ~¡71 -4 2 ¡7Í-1 xe[-l->/71,-4j^[2,-l+>/7Íj CAPITI1' « I www edokperu con« www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O INECUACIONES FRACCIONARIAS Resolver las siguientes inecuaciones: x+1 x < 2-x x+3 x+ 1, x 2 ilI_ _ JL _ < 0 => (x +1Xx+3)-x(2-x) 2-x x+3 2-x x+3 (2-xXx +3) x2+4x +3-2x +x2 A 2x2+2x +3 _ ---- --------------- <0 => -------------- >0 (2 -xXx +3) (x-2Xx +3) como 2x +2x+3>0, V x e R, entonces expresamos asi: 1 - o = > ---- !_____ >0 (x-2Xx +3) 2x2+2x +3 (x-2Xx +3) -3 2 /. X€<-oo,-3>u<2,oo> 3x-7 3-2x — í— >0 =» — 1 - ^ 0 => 3-2x -4(3x - 7 ) , 0 3x-7 3-2x 3x-7 3-2x (3x-7X3-2x) 31-14X ^ ^ ___14x_-31 (3x-7X3-2x) (3x-7X2x-3) 31 7 3 x =— , x=-, x = -, puntos críticos 14 3 2 . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I. . . S O L IO www.solucionarlos,net
  • 38. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIW * • 3 31 7 2 4 3 '3 31 X € < ( — 2 14 x+2 >x2+2 x+2_x^+2>0 x2(x -t-2) -(x - 2)(x2+2) ^ Q x-2 x2 " ~ x2(x-2) x1+2x8-x3+2xg-2x +4 )a 0 ^4>^-2x±4 a0 como 4x* _2x +4 >0, V x e R x2(x-2) . x (x-2) 1 > „ ° --------------- = 0 => —r — --- > 0 x2(x -2) 4x2-2x +4 x2(x -2) : ~ V 0 2 /. x e < 2 ,0 0 > x-2 > x x+4 x-2 =» ü z 2 . _ í _ a 0 x+4 x-2 x+4 x-2 (x-2)2-x(x +4) x2-4x +4-x2-4x ----- ----------- > 0 => -----------------------> U (x +4Xx-2) (x +4Xx-2) ~8x+4 ¿o =. — — — <o(x +4)(x-2) (x +4Xx-2) m www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net capitulo I { EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -4 I 2 2 /. xe< -oo,-4 >u ,2> x -4 ; x -2 x2+2 x2+1 x3-4 x3-2 < (x3-4)(x2+1)<(x3-2)(x2+2) x2+2 x¿ +1 x5-4x2+x3-4<x5-2x2+2x3-4 =>2x2+x3>0 => x2(x +2)>0 x =0; x =-2, puntos críticos v : -2 0 x e < - 2 ,0 > ^ j< 0 ,o o > x-1 < 2x x x x +1 x-1 M K S B M M x-1 2x x x-1 2x x ^ . ---- < ------------ = > -------------- + ----- < 0 X X +1 X-1 X x +1 x-1 (x8—l) ( x —1)—2x 2( x - 1 )+ x 2(x +1) x(x +1)(x —1) x —x —x+1—2x +2x +x +x . 2x -x +1 . => ------------ ;-----r;-----:---------- < 0 =>— -----T7------ < 0 x(x +l)(x - l) x ( x + 1 )(x - 1 ) Como 2x2-x +l>0, V x e R , entonces simplificamos ” —^ SOLUQONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Il ■ ±www.solucionarlos,net
  • 39. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...........................................................................CAPITU' O I 1 - o ^ ------1— so x(x +l)(x - l) 2x2- x+1 x(x +lX x -l) x =-1; x =1; x =0, puntos críticos A / ± V : •i 0 1 X G < -00,-1 > U < 0,1 > x2+2 x~+1 y4+1 y4+1 ___ MmxmAwm — íll simplificando x4+l se tiene: x4+1 x4+1 x2+2 >x2+1 => 2 > 1, V x e R /. La solución es V x e R x2-2x <x+8 x2-2x x+8 x! -2x x+8 _ 2(x*-2x)-(x +8X x-4) ^ I T T “ T * x-4 2 - 2(x-4) 2x2-4x-x2-4x +32 ^ ^ (x-4) +16 ^ Q 2(x-4) ” 2(x —4) Como (x-4)2+16>0, V x e R => V 4 t ■ * ■ www.solucionarios.net www eduKperu com www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 1 3x+l —<---- <4 X X X G <-oo,4> 1 3x+l 1 3x +l 3x +l . —<---- <4 => —<----- a ---- <4 x x x x x 1 3x +l 3x +l , l-3x-1^.rt 3x+l-4x „ ------- <0 a ------4 <0 => -------<0 a -------- <0 x x x x x — < 0 a ^ Í l < 0 => - 3 < 0 a — > 0 X X X i» x—1 x—1 x g 9? a -----> 0 =2» ------> 0 x x © x2+8 5x-8 x+4 ~ 5 0 1 XG< -oo,0> U< l,oo> x2+8 5x-8 x2+8 5x-8 ^ rt 5x2+40-(5x-8)(x +4) „ ----- > — -— = > ------------->0 => ---------- ------ ----- - > 0 x+4. 5 x+4 55(x+4) 5x* +40-5x2+8x-20x +32 _ 72-12x x+6 => ---------- ---- ---------- >0 => ---->0 => ------------- <0 5(x +4) 5(x +4) 5(x +4) x =-4; x =6, puntos críticos -4 6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 40. www.solucionarios.net x e <-4,6] » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...............................CAPITU' f i © O x+4 x-2 > x"+4x +4 x -4 ^ ■ arrn m .T M T x+4 . x-2 _ x+4 x-2 , 0 > x2+4x +4 x2-4 (x +2) X--4 (x +4)(x-2)-x2-f4 n x2+2x- 8- x~ +4 ^ n (x +2)2(x-2) (x +2)2(x-2) 2x~ 4 >0 ^ — L_^>0, Vx e R, x^±2 1 2 <• x+1 3x-l (x +2)2(x - 2) (x +2) x e R- {-2,2} _ L < _ L - * — _____ — <0 => 3x- 1-2(^ < 0 x+1 3x-1 x+1 3x-1 (x+1X3x-1) 3x-1-2x-2), n ^ ____x^3--- <0 (x +1X3x-1) (x +lX3x-1) x =3; x = 1; x =- puntos críticos 3 -1 1 3 3 xe<-oo,-l,>u/^,3 © f l 2 2x2-3x +3 2 <(x -2X2x +3) SOLUCIONARI WWW.soimtbnarios.net www.edukperu.connr www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x2- 3x +3 1 +->0 (x-2)(2x +3) 2 4x~-6x +6+2x2-4x +3x-6 _ 6x2-7x --------------------------------------------------------------- >0 => ------------------------------->0 2(x-2X2x +3) (x-2X2x +3) x(6x-7) (x-2X2x +3) >0 3 7 Puntos críticos: x =2; x =0; x =-; x =- 2 6 .3 0 7 2 2 6 w <2,+oo> X E ( ^ i u© 2x-1 3x-1 x-7 ---- +----- <4 + v o. 1 v -i_Ox+1 x+2 x—1 (2x-lXx +2) +(3x-1Xx +1) 4x-4 +x-7 . ------ ;— ~ ----------------------------- <-:------ , simplificando (x +lXx +2) x-1 5x~+5x-3 5x-12 5x2+5x—3 5x-12 (x +1Xx +2) x-1 (x +1)(x+2) x-1 (5x2+5x -3)(x -1)-(x +1Xx +2X5x -12) <0 (x +lXx +2Xx-l) <0, simplificando -3x2+18x +27 x2-6x -9 _ , <0 => -— —-- —----- >0, factorizando (x +lXx +2Xx-l) (x +lXx +2Xx-l) www.solucionarios.net matemáticoi 73
  • 41. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITI"OI O o (x-3 +3j2)(x 3 3>/2)^ n HnnHp x =-2; x=3-3>/2 ; x =-1 (x +1Xx+2Xx-1) x =1, x =3+3v2 , puntos críticos -2 3 - 3 ^ 2 -1 3 +3 ¡2 x e x < x-3 <2+4 x2+x+4 (-2,3 - 3>/2j u <-1,1 >u(3 +3>/2,+0°) _ J L _ < x — = > x ( x 2 + x + 4 ) < ( x 2 + 4 ) ( x - 3 ) x2+4 x2+x+4 puesto que x2+4>0, x2+x+4>0, V x e R x ( x 2+ x + 4 ) é ( x 2+ 4) ( x - 3) => x3+ x E+ 4x £ x 3- 3x e + 4x -12 => 4x2<-12 => x2<-3 pero Vx e R . La solución es <t> (xg-2 )(x-5)(x -3 )^ x(x2+2)(x -3) (xi -2)(x-5)(x-3) ' ^ x(x2+2)(x-3) ( x - 7 2 ) ( x + 7 2 ) ( x + 5 ) ( x - 3 ) ^ > x(x + 3 ) puesto que x2+2>0, V x e R Puntos críticos: x =± 3; x =±72 ; x =-5; x =0 V v : v -5 ■72 0 72 / www.solucionarios.net wwv.'.©dukperu.com www.solucionarios.net O x e<-oo,-5'>u^-3,-72^'^0,—72^u<3,-oo> ' (6x-3)~(x2+1) (3x-5)' CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (x +6)¿ (2x +3 ),., (6x +3)2(x2+l)3(3x-5)7 ^ (6x +3)2(3x -5)? ^ (x +6)2(2x +3)17 > ^ (x +6)2(2x +3)’7 > puesto que x¿ +1 >O, V x e R - O V ¿ V -6 3 1 5 '2 "2 3 x e < - o o ,- 6 > u ( - 6, - | W - | , c o ( 4 x + 2 )2 ( x 2 + 2 )5(2 x - 8 ) 9 ( x + 1)2 (2 x + 5 )'7 ISMUlHT (4x +2)¿ (xa+ 2 )5 ( 2 x - 8 ) q _o ^ (4x +2)g(2x-8)g , Q ( x + 1)! (2 x + 5 )'3 ( x + 1)’ (2 x + 5 )'3 puesto que x¿ +2>0, V x e R 1 5 PuntOS críticos: X =4; X =--: X =-- : X =-1 2 2 ■•edukperucom . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 42. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j W (x-5) (x +3) cAPrrui o i (x +4) (x-2) (x-5) (x +3)x-5 x+3 (x +4)(x +3)-(x-2)(x-5) (x-5)(x +3) x2+7x +12-(x2-7x +10) <0 =* (x-5)(x +3 T 14x42__ <o ; Puntos críticos: x =5; x= -3; x - (x-5)(x +3) -3 C.S.: xe(oo,-3)u(--,5 x-4 x+2 7 +- U - 2 :-4 x+2 beeem m Z í í í ! h í d +2<o (x-4)(x +2) 7x +14+x-4 +2(x-4)(x +2) n (x-4)(x+2) 8 x + 10 + 2 ( x 2 - 2 x - 8 ) (x-4)(x+2) x2+2x-3 <0 2x2+4x-6 (x-4)(x+2) (x+3)(x-1) , n (x-4)(x +2) <0 (x-4)(x +2) www.solucionarios.net www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Puntos críticos: X =-3; X = X = 1; X =4 o + V 1 V t V 1 V + - 3 - 2 1 4 C.S.: x e(-3,-2)u(l,4) (x* +x-6)(x’ -x-6) (x2-4)(x2-2) jBEimSÜSMt ( * ! + *-6)(.r! - *- 6 ) (* +3)(a'- 2 )(a'-3)(.v +2) ( * * - 4 ) ^ - 2 ) >0 " ( , - 2 ) ( , +2 ) ( x - ^ ) ( , +^ ) >0 (x +3)(x-3) _ 7--- pr---- — >0 a x^±2. Los Puntos críticos: x =±3; x =±v2 (x-V2)(x +>/2) -3 -s¡2 s¡2 3 C.S.: X€<-co,-3>u<-Í2,yj2><j<3,co> @ x1z 2x±3>_3 ^ x -4x+3 x2-2x +3 x2-2x +3 _ _ I — --- >-3 => -r— ---- +3>0, operando se tiene: x -4x +3 x -4x +3 x -2x +3+3(x“ -4x +3) 2x2-7x +6 _ (2x-3)(x-2) --------— --- ------ ^>0 => — ------->0 => ^---------r >0 x -4x +3 x -4x +3 (x-l)(x-3 ) Puntos críticos: x =-; x =1; x =3; x =2 2 www edukpem.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 77
  • 43. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITUl O I O V : V i V ___±—1 3 2 3 2 3 C.S.: xe<oo,1>u<-,2>u<3,co> J L + J_ > 2 x+3 x—1 ____ jnm M M 5 , 1 ^ O _É —+—l--2 >0, de donde se tiene: x+3 x—1 x+3 x—1 5(x-1) +x+3-2(x +3)(x-1) n (x +3)(x-l) 5x-5 +x+3-2(x2+2x-3) -2x2+2x+4 ^ n (x +3)(x —1) > ^ (x +3)(x-1) x*-x-2 <0(x-2Kx.tij<0 (x +3)(x-1) (x +3)(x-1) Puntos críticos: x =-3; x =-l; x = 1; x =2 -3 -1 1 xe<-3,-l >u<1,2> « 3x+1 1 2 > ------> - . 3x+1 1rt^3x +l , 3x+1 1 2 > ------> - => 2 > - a — — X X x x x soLucios otw¡/^^f¡f£¡onarios.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 3x +l „ 3x+l 1 n 3x +1+2x 3x --------2 < 0 a ---------- > 0 = > ----------- < 0 a — > 0 x x x x x — < 0 a 3 > 0 => — < 0 Puntos críticos: x =0; x =-1T ~ ~ V -1 0 La solución es: x e [-1,0> 0 x ^ -2 _x i 3 > _ 3 W v2 -L. 3x -4x +3 x2-2x +3 0 x2-2x +3 0 ,.| —------- > -3 => —t---------+3 >0, efectuando las operaciones x -4x +3 x -4x +3 x2-2x +3(x2-2x +3) x2-7x +6 A (2x-3)(x-2) ------ s— ^--------- >0 => —-------- >0 => ----¿r— z r > 0 x —4x +3 x —4x+3 (x-1)(x-3) 3 Puntos críticos: X =- ; X =1; X =3; X =2 2 V 1 V + V = V 1 _3 2 3 2 Conjunto solución © 2x4+7x3+8x2+6x +1 ^ óx^1+17.x4+23x3+18x2+7x +1 2x4+7x3+8x2+6x +1 6x5+17x4+23x3+18x2+7x+«1 >0 wwwedukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 44. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Factorización por aspa doble en el numerador (2x2+5x+l)(x2+x +l) >0 ÍX~2IX+1)X+1)(6X!+6X+7) como x2+x+1>0, V x é R V 6x2+6x+7>0, V x « R, simplificando 2 5x 1 x +— +— 2 22x2+5x +1 ^ __________ x+sXx+Í)(x+1) (X+Ü(X+9(X+1) >0 2 5x 25 1 25 X2+— +— +r.~77 ____ 2— 16—2— 16_>o => tw — KHH (x+iXx+3>+i) X + - T - - ^ --- >0, factorizando 5 (17 Ì 5 17 X+4 'V Í 6 j r K 4 + Í 6 j f 5 - V Ì7 x+ V 5 + >/Í7 x+— -— (x4)H)x+1) H)K)(X+1) 5-Vv7 5+y¡V7 ____ 1_ v =- i x =-1. puntos críticos X --------- , X ------- » X - 0 > o ' -/ + V - V — ^ ! 7 & ------ -i 4 1 Conjunto Solución: x e <5 _2fl7+5 A<_I 1 3 4 1 /V i7-5 2 3 >vj X—1 x2-1 www.soiucionarios.net www.edukperu.corrí www.solucionarlos,net CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X—1 X —1 <5 X —1 (x-l)(x +1) <5 => x—1 (x-lXx +1) -5 <0 7(x +1)-6-5(x-1)(x +1) 7x +7-6-5(x2+1) (x +1)(x-1) (x +1)(x-1) -5x2+7x +6 . 5x2-7x-6 . (5x +3)(x-2) „ <0 => T---- —---- -> 0 => — ,---- r r --- ^ > 0 (x +l)(x - l) (x +1)(x-1) (x +l)(x-1) Puntos criticos x =-1; x =— ; x =1; x =2 5 -1 xe(-»f-l)u^-|,1^u(2,+co) <0 12x5-35x4-53x3+53x2+35x - 12 x6+15x5+78x4+155x3+78x2+15x+1 12x5- 35x4- 53x3-f53x2+35x- 12 ^Q x6+15xs +78x4+155x3+78x2+15x +1< Agrupando término en forma adecuada para su factorización 12(x5- 1 )- 3 5 (x 4 - x )- 5 3 x 2(x - 1 ) x6 +1 + 15(xs + x) +78(x4 +x 2) +155x3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 45. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................... .....................................CAPITU! 12(x4+x3+x2+x +l)-35x(x" +x+l)-53x* j x3+¿ +,5l( x2+? l + 00 íX+x]+155 <0 3 |r n3u = X + — 1V XJ í 1Yu = X + — l XJ 1 3 - +— => u X J X ( 23 12 ( x - 1 ) ( 1 2 x 4 -23x3-76x2-23x +12) ^ (x l)|^12x 23x 76 ^ x% u3-3u +15(u2-2) +78u-f 155 <^ u3+15u2+75u+125 (x —1) 12| x 2 + x12 l - 2 3 Í x + M - 7 6 <0 (u +5) (x-l)[l2 (u 2-2)-23u-76] ( u + 5 )3 <0 (x—1)f12ug-23u-lOO] -A (x -1)(12u +25)(u, 4) ^ ^ u =x +i (u +5)3 ( u +5) x (x"1)líl2x +^+ 25j (X+x _ 4 J (x-l)(l2x2+25+12)(x2-4x +l) ^ I(X+H3 (x2+5x +l) (x-l)(3x +4)(4x +3)[^(x-2)2-4 +lJ 5Y 25 , x+-¡ +1 2 J 4 <0 (x-l)(3x +4)(x +3) x-2x>/3j(x-2 +^ ) B*f)H-#)I <0 H www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ............................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 4 3 r- x =1; x = ; x = x =2+V3 X - 2 - J 3 ; X - 4 - & 2 2 2 2 ~ A~^/ : y /~r . 4 .3 7 2 1 - 5 2 -^3 1 2 +/3 4 3 4 2 , :r | ) v ( 4 í , á ) ^ . ( ) 2x-l x+2 x—1 x+4 +3-x >x+3 2x-l _ x+2 x—1 2x-l x+2 x—1„ , ! T ¡ T + 3 ^ > ^ 3 = > i r r 4 + í 3 5 ' Í Í 3 > 0 ' A c t u a n d o las o p e ra c io n e s (2x-l)(x2-9)+(x +2)(x +4)(x +3)-(x-1)(x +4)(x-3) (x +4)(x-3)(x +3) >0 2x3-x2-18x +9+x3+9x2+26x +24-x3+I3x-12 (x +4)(x-3)(x +3) >0 -10x2-31x-27 10x2+31x+27 > 0 => 7---- t ;-----TT----- < 0 (x +4)(x —3)(x +3) (x +4)(x-3)(x +3) como 10x~ +31x+27 >0, V x e R entonces se simplifica, es decir: (x +4)(x-3)(x +3) <0 dedonde x =*4- x =-3» x =3 puntos críticos www.solucionarios.net 83
  • 46. www.solucionarlos,net _______________ _____________ . CAPITUl O ) » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ............................................................................... :/ +/ .4 -3 3 xe(-co,-4)'-'{-3.3) O S 1+X3 ^ * - x * + * “ -j L + 9 w (l- X ! )(1-x) (1-x) (1+x ) ___________ jg g a s s a a a B T . » .. (1 +x )(l- x +x! ) x(1-x)+x4(1-x)^0 ( í d ? f r ^ >l ^ x f n ^ +9 * M f d « ) _ b ü --+9; x*±l (l—x)(1—x) (l-x)(l+x) 1 - X + X* : X ( U X ] _ ^Q; X*±1 (l-x)O-x) (1 -x)(Ux) _ ¡ W X(H X)(1-X +X‘ ) ^0 xse±1 (1-x)(1-x) (1-x)(1 +x) x - xg+x3 1 -x+x8 ^o^r,. x#±1 (1-x) (1—x)(1-x) ( x - x i + x 3) ( 1 - x ) - 1 +x-xi ^o ^ n XJ¡±1 (1-x) -x4+2x3- 2xg+ x - U x - x ^ Q^ n, X5t±1 (1-x)! -x4+2x3-3xa+2X-1 +g <Q. X,± 1 (x - lf ______________________;------- rsoLucioNAtvWvv.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O 9- x4-2x3+3x2-2x + l (x - l)! <0; x * ±1 => 9- r •> *2 x~- x+1 x—1 <0; X * ± l í ..2 3- X —1 f ..2 3+ ) X —X-f1 X —1 <0; x* ±1 ' 3 x - 3 - x 2+ x - l Y 3 x - 3 +x2- x +1 x" ! A x—1 ( -x2+4x - 4 x^7~ f ..2x +2x-2 X—1 <0; x*±l => <0; x*±1 (x-2)![(x+1)! -3] (x-1)2 >0; x*±1 (x-2)J (x +1->/3)(x +1+>/3) >0; x*±l x =2; x*±l; x=-l±>/3. Existe multiplicidad par en x =2yx =1 -1 -n/3 v/3-1 -V3-l)u(V3-1,l)w{1,2)w{2,co} 4x4-20x2+8 x4-5x2+4 4x4-20x2+8 <8 <8 4x4-20x®*+8 x4-5x2+4 x4-5x2+4 4x4-20x2+8-8x4+40x2-32 -8<0, operando se tiene: x4-5x2+4 <0, simplificando www.ftdukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 85
  • 47. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................................... S 9 fE r” O o -4x'l +20x1-8 n x4-5x*+6 - _ (x___» o . factorizando x4- 5x* +4 ~ x4-5x2+4 ® (x2-l)(x! -4) (x->/5)(x +-J2)(x-£ ) ( * +£ ) ' n (x-1)(x +1)(x-2)(x +2) Puntos críticos: x= ±¡2; x=±l; x=±3; x=±2 + / : / r ~ y -A ~ r ~ y _2 V3 s il -1 1 v/2 VB 2 Conjunto solución es: x e(-<r,-2) ^ - >/ í- >/2^u(-lfl)u(>/2,>/3)vj(2f-Hx) ( x -1)8( x 2- 1 )(x 4- 1 )_ (x4+])(x-2) m i f M l i i ' T (x-1)’ (x»-l)(x4- l ) _ (x-1 )T (x»-l)(x»-l)(x»^ )%n (x4+l)(x-2) (x4+l)(x-2) Simplificamos los términos (x4+l) y (x2+l), (x-1) por ser siempre positivos íx2- lf i ^____L >o => --- £ 0 => x >2 de donde x e <2,+qo> x-2 * x-2 (x2+5x +6)(x4-16)(x2—4x —12) ^ (1-3x)3(x-1)(x! +l) ( x * +5x+6)(x4-16)(x*-4x-12) ^ (1-3x)3 (x -1)(x! +1) Factorización por diferencia de cuadrados y aspa simple: SOLUCIONAR! www.solucionarios.net www edukperu com www.solucionarios.net CAPÍTULO I JCEDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x +3)(x +2)(xJ -4)(x‘ 4)(x-6)(x +2) (l -3x)3(x -1)(x2+1) (x2+4) y (x2-rl) son positivos V x € R, entonces simplificamos (x +3)(x +2)(x-2)(x +2)(x-6)(x +2) (x +3)(x +2)’ (x-2)(x-6) (3x —I)3(x —1) (3x —l)(x —1) -3 -2 3. 1 ‘ 3 xe(-oo,-3)u^-2,-^u(l,2)u(6,+oo) O 4 x-2 4 <— 4-x 5 x 4 x—2 4 4 x—2 4 <— => ------- ----- <0, efectuando la operación 4-x 5 x 4-x 5 x 20x-x(x-2)(x-x)-20(4-x) 5x(4-x) 20x+x3-6x2+8x-80 +20x 5x(x-4) Factorización por Ruffinni: <0 _ x3-6x2+48x-80 . f >0 => --- — :--- --- >0, factonzando 5x(x-4) 1 -6 48 -80 2 .8 80 2 1 -4 40 0 _ * SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net K
  • 48. www.solucionarlos,net ■ CAPJT-w'l » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................... (x -2 )(x2- 4 x + 40) (x -2 )[(x - 2) 4 + 40J ^ fi - ¿ (x - 4 )— >0 ~ S F * ) . (x-2)[(x-2)*+36]>0 (x-2)*+36>0, V x e R, simplificamos 5x(x-4) x~2__ >o de donde x =2; x =0; x =4 son los puntos críticos 5x(x-4) v - t a z : 3xg+7x +5 x2+3x+2 “ 0 2 4 xe(0,2)u(4,oo) 3x2+7x +5 <2 3x2+7x +5 _ 2<o , operando y simplicamos x2 +3x +2 x‘ +3x +2 3x2+7x+5-2x2-6x-4 n _ _ í! ± í± L - <;0, como x2+X+1>0, V x e R ------------------- s0 =* (x+2)(x+l) 1 Entonces simplificamos ^X+2)(X+Í ) " entonces x =-2, x =-1 son los puntos críticos -2 -1 X 6 (-2,-1) SOLUCIONARIwww.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (x'-' +x—o)(x? —x—6) (x2-4)(x2-16) (x2+x-6)(x2-x-6) -— -----r—-<0 , factorizando se tiene: (x2-4)(x2-16) (x +3)(x-2)(x-3)(x +2) (x +3)(x-3) 7----77---77--- 7 --- (<0 simplificando 7 --- ( 7 ----£<0; x * ± 2 (x-2)(x +2)(x +4)(x-4) (x +4)(x-4) x =-3, x =3, x =-4, x =4, son los puntos críticos - 4 - 3 3 4 x e (—4,3] w[3,4) (l +x+x2)(2-x-x8)(x4-2x2-3x-2) (2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x-2)(x2-7) (l +x+x2)(2-x-x2)(x‘l -2x2-3x-2) (2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x -2)(x2-7) factorizando cada expresión se tiene: <0 1 0 -2 -3 -2 -1 1 1 2 -1 1 -1 -1 -2 0 2 2 2 2 1 1 1 0 (x +1)(x-2)(x2+x+l) 2Í x2—2x——j(3)í x2-2x +^-](x2+4x-2)(x2-7) <0 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 49. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Como x2+x+1>0, x CAPITULO I © X2-2x+- >o , V X 6 R, entonces simplificamos _________(x +1)(x 2)_________<0 ^^ctonzando (2x2-4x-l)(x2+4x-2)(x2-7) (x +l)(x - 2 ) -,-IÍx-i+I)x+2^ )(x+2+^)(x'^)(x+'/7) Í =1+J | , x= x=-2+^ x=- 2 - ^ ; x =^ ; x=-V7:x =l; x =2 X 12 X + 1 < 19 < x+2 x I2 < i± l =, - * _ < H A 2 | < ^ x T Í 19 x+2 x+1 19 x+2 x+1 19 X +2 19 in v - iO v - 1 9 1 9 x + l9 - l2 x - 2 4 n , 7 x ~--^- < 0 a 19(x ^ T <0 A ~ W ( x - g ) ~ 19( X +1) 19(x } 15 12 /. x e ( . 7 _ ( x - 3 M x + 2 )8 ( x + 1 ) ( x - 4 ) _ „ n W x(x+2)(xs - 3 ) ( x +3)(x2+4 ) g jm mvmñwww.solucionarlos.net www.edukperu.com www.solucionaríos.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « >0, x2+4 >0 siempre positivo (x-3)(x +2)2(x +l)(x-4) x(x +2)(x2—3)(x 3)(x2+4) Í x - 3)¡x +2Kx +1) ( x - 4 ) >o -2 x(x -3)(x +3) Los puntos críticos: x =±3; x =-2; x =-l; x =4; x =0; x =±¡3 -3 -2 ->/3 -1 0 n/3 3 4 Conjunto solución: x e (-oo,-3]u ^-2,-V3) u [-1,0) u (>/3,3]u[4,+°o) 2x2-3x +3 ]_ (x —2)(2x +1) _ 2 2x2-3x +3 ^ 1 2x2-3x +31 >— => + - >0, efectuando la operación (x-2)(2x +1) 2 (x-2)(2x +l) 2 4x2-6x +6+2x2-4x +x-2 _ 6x2-9x +4 (x —2)(2x +1) " ^ (x—2)(2x +1) " como 6x2-9x +4>0, Vx e R , entonces simplificamos 7— - rr-— —^ 0 , Los puntos críticos: x = x =2 (x-2)(2x +l) 2 V ~ ~ V www.edukperu.com www.solucionarios¡?mmR,omAus>sMATEMATIC01
  • 50. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j .............................. Conjunto solución x e ^-oo,-—^u(2,+<x>) O o x+1 x-1 1-x2 JB_ I^ITí MT _ 2 _ +_ 3 _ > ü ± l => _ l _ +^ _ + — x +1+x - l 1 - x 2 W X +1 x-1 (x-1)(x +1) 2 (x - l) +3(x +l) +x+5 6x+6 ^ J - > 0 ( x +1 )(x -1) ( x +1 )(x -1) x-1 Los puntos críticos: x = 1; x * -1 i Conjunto solución: x €(1,+oo) _2_> 2x x2-5x +6 2-x (3-x)(l-x) 2 _ > 2x x2-5x +6 2-x (3-x)(l-x) x 2 2x (x-3)(x-2) x-2 (x-3)(x-l) x(x-l) +2(x-3)(x-l)-2x(x-2) (x-3)(x-2)(x-l) x2—x+2(x2-4x +3)-2x2+4x >0, efectuando la operación (x —3)(x —2)(x —1) >0, simplificando www.solucionarios.net CAPITI OI www.edukperu.cont www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 3x +2x2 -8X +6 - X 2 x2-5x +6 _ _ —,------------------------------- rw— T77— 7r £ 0 => --—----- —----- >0 (x“ 3)(x —2)(x —1) (x —3)(x —2)(x —1) (x-3)(x-2) i (x —3)(x —2)(x —1) ^ x ^ T " °; * * 2 ,3 Conjunto solución xe(l,+oo)-{2,3} O 3 13 1 —<----- r + x 4^x—1) 4x +12 Ém m rM vw m 3 13 1 13 1 3 A —£ — ---- r +------ => — ---- -+ —----- ---- > 0 x 4(x-l) 4x +12 4(x —1) 4(x-3) x 13x(x +3) +x(x-l)-12(x-l)(x +3) 4x(x-l)(x +3) 13x* +39x+x2-x-12(x2+2x-3) -----------7----77---- r-------- £ 0, simplificando 4x(x —l)(x +3) 14x2+38x-12x2-24x +36 ^ Q 2x2+14x+36 x2+7x +18 >Q 4x(x —l)(x +3) 4x(x-1)(x +3) ~ ^ 4x(x-l)(x +3) ~ Como x2+7x +18>0, simplificamos —7---- ----- >0 x(x-l)(x +3) Los puntos críticos: x =0; x =1; x =-3 -3 0 11 www.solucionarios.net
  • 51. www.solucionarios.net --------------- ---------------------- V CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Conjunto solución: xe(- (!,+<*) A (x ' +4x +4)(x-9)- ^ w (||-x)(x'+ 5) — . n w . f (x? +4x+4)(x-9)J ^ ^ (x +2) (x-9) %f| (I1-x)(x- +5) (x-1l)(x? +5) Los términos (x+2)s, (x-9)' y x'+9 son siempre positivos. Se simplifican — — >0 =>x >11 X —I I í i x e <1 !,+<*> J _ +_ L > 3 X - 1 X +1 x Q — +— >- 3 1 3 3(x +l) +x-13 ^ n_ (4x+2) 3jx— l ) ^ Q ____ >_ —S ---- ------- — K / o « x—1 x+1 X xe+2x +3 ^ 0 como x2+2x +3 >0 , V x g R, entonces simplificamos x(x2- l) 1____ >0. Los puntos críticos: x =0; x =±1 x(x; - l) -i ri www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © Conjunto solución: x e (-l,0)U(l,o°) X‘ 1 <1 • j g g ¡ 2 M ¡H M x+2 x-l , x-1 x-1-x-2 . . <1 => — 1<0 => ---- :— <0, simplificamos x+2 x+2 3 <0 => — >0 x+2 x+1 x+2 :v: o o x € (2.») (x2-5)(x2+7) (x2+x +l)(x2-3x +2) (x2-5)(x¿ +7) (x2+x+1)(x2-3x +2) >0 M a & m zbvm / >0 como x2+7>0 y x2+x+l>0 entonces simplificamos (x-V5)(x +%/5) (x-2)(x +1) >0. Los puntos críticos: x =—1; x =2; x =±>/5 + V = V + V 1 V ~ -¡S -1 2 sfS Conjunto solución: xe^-3o,-V5ju(-1,2)uj^>y5>+oo^ 3x- > , -6 m m ¡ m m x2—x—6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 52. www.solucionarlos,net _______________________________________ CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ........................................................... 3x 3x i n _ 3x-x? +x +6 Q simpiificando — -- >1=>—----- 7-1> ° => v 2 _ * _ f c x8-x-6 ~ x2-x+6 " ' x¿-x-6 -x2+4x +6 x2-4x-6 ^ (X~ 2I— 1 _Í< 0 x2- x - T * (x-3)(x+£) (x-3)(x+2) (x-2->/tÓ)(x-2h->/To) n ^ puntoscríticos: x=-2; x=3-, ^ 2 ± J W (x-3)(x +2) — T ^ / ~ ~ r - y ♦ ~/ • ------- -2 2 - M 3 Conjunto solución: x e (-2,2 - 7 ÍÓ )ü (3,2 +7ÍÓ) ¿ A x i~3x+2 <2 w x ¡ - 4 x + 3 « ^ n t t i a r í « * x2-3x+2 < 2 xg-3x+g , 9 ^-n=> y*-3xf : 2X^ +8— <0■simplificando x*^4x +3 x! -4x +3 x v* +Sx-4 x2-*5x+4 n (x-4)(x~1L n íZ Í> 0 ;x * 1 ^ 7 1 <0 => 7 ^ 3 (x -3)(x -1) x -3 Los puntos críticos: x =3; x =4; x * l -1 5 Conjunto solución: xe (-«>,3)vj(4,<o) a x * l U solucionaimmsolucmnarios.net www.ed'Jkperu i www.solucionarlos,net CAPITULO I I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x-25 2x + 1l •+—---- r > 2(xs+2x-3) 2 (x 2-1) x +3 2x-25 2x+1l 1 '+—;---- r > 2(x2+2x-3) 2(x2-1) x +3 2x-25 2x+11 1 . _w <w . +—:-----------------—------ ------>0; MCM =2(x +3)(x -1)(x +1 2(x +3)(x-1) 2(x-1)(x +1) x+3 (2x -25)(x +I) +(2x +11)(x +3)-2(xs -1) 2(x +3)(x -1)(x +1) 2x2-25x +2x-25 +2x2+11x +6x +33-2x2+2 2(x +3)(x —l)(x +l) >0, efectuando las operaciones >0, simplificando 2x2-6x +10 x2-3x +5_ •>0 =>---- —--- —--- - >0 2(x +3)(x-1)(x +l) (x +3)(x -1)(x +1) como x2- 3x +5 >0, V x e R, entonces simplificamos 1 (x +3)(x-1)(x +1) >0. Los puntos críticos: x =-3; x * ±1 -3 -1 Conjunto solución: x e (-3,-l) U (l, ®) © x W 4 a() x - 4 x -5 4 ± i í i i a0 => J r f >o x —4x—5 (x —5)(x +1) www.edüKperurcófTi SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 97
  • 53. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Los puntos críticos: x =—1; x =5 -1 5 Conjunto solución: x e (-oo, -l) U (5,ce) 2 x - x 2 - 1 x2-2x +1 (xlD ----<0 => * % <0 x! -"x~ x2(xa—i) x! (x-1)(x+1) x2(x +1) Los puntos críticos: x =0; x*±1 -1 0 Conjunto solución: x e (-1,0) U (0,1) 0 ( 2 x ; - 8 x + 8 ) ( x + 3 ) ^ ^ x+6 ( 2 x ! - 8 x +8 ) ( x +3) n _ (xg-4x +4)(x +3 )^^ (x -2 ¿(x +3) ^ Q ^76 2 ^ x+6 ' x+6 Podemos simplificar (x +2)‘ por ser positivo: ^+^^ 0 Los puntos críticos: x =-6; x =—3 -6 -B Conjunto solución: x e (- c o ,- 6 )U [- 3 ,o o ) www.solucionarios.net www edukperu.com www solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X —1 x2-2x +1 . (x _ 1)2 « / x2------— ^ 0 => i--- '->0 => (x—1) >0, V x e R X —1 X —1 v ’ Simplificando se tiene — >0 x—1 1 Conjunto solución: x e (l,o o ) ^ 6 3 X +1 MESUSaSMÍ 2x+1 _2x+1 - _ 2x +1-3(x +1) ---r - 3 => ---—-3>0 => ------- ---->0, operando x+1 x+1 x+1 gx +1-3x-3a0 => í ± ? S 0 x+1 x+1 x+1 -2 -1 Conjunto solución: x e[-2,l) x2+4x +9 <U jB33SS2E2WF © x ^ x +9 x -4x-5 x" ^4x +9 —z— --- <0 como x2+4x +9 >0 , V x e R, entonces simplificamos x -4x-5 _ “ ' ‘ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 54. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI' O I © © ---- ----- <0 (x-5)(x +1) ZZZVZZZV3 H-1 5 Conjunto solución: x g (-1,5) x2+x-tg-<o x(x2-x-2) _________ rnmmmim i x2+x+2 <0 como xs +x +2 > 0 , V x g R, entonces simplificamos, obteniendo x(x2-x-2) _______}_______<o. Los puntos críticos: x =0; x =2; x =-1 x(x-2)(x +1) -1 0 Conjunto solución: x e(-<»,-l)U(0,2) 2 3 < 3x-2 x+2 __________ M T f T T T ™ 11* 2 3 __2_____ 3___Q _ 2(x+2)~ 3(3x~2L n 3x-2 < x+2 ^ 3x-2 x+2 (3x-2)(x +2) 2x +4-9x +6 ^ -7x +10 <o => --------- 7x T 1-— r>0 (3x-2)(x +2) (3x-2)(x +2) (3x-2)(x +2) 2 10 Los puntos críticos: x =-2; x - -; x - ^ 1SOLUCION - ‘--.nei www.edukperu.cfcfn www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « o a¿ 3 z y : -2 10 7 Conjunto solución: xG(-2,?u/y,+oc x -4 x-2 x+2 32 > x x 32 X + - ^ - > 0 -4 x-2 x+2 (x-2)(x +2) x-2 x+2 32-x(x +2) +4(x-2) (x-2)(x +2) >0 32-x2-2x +4x-8 (x-2)(x +2) £ 0 -x2+2x +24 (x-2)(x +2) >0 x2- 2x-24 . (x-6)(x +4) <0 => ^ ---- r< 0 (x-2)(x +2) ” (x-2)(x +2) Los puntos críticos: x =-2; x =2; x =6; x =-4 -4 -2 2 6 Conjunto solución: x g [-4,-2>u <2,6] 2+x-x2 x* -2x +1 - > 0 2+x-x2 >0 x -x-2 <;0 (x-2)(x +1) x -2x +1 (x - 1)* • (x —1)* Los puntos críticos: x =2; x =-1; x = 1 <0 V -1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net «
  • 55. www solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITU ^ ' O Conjunto solución: xe[-l,1>u <1,2] x3-x2-8x +12 <Q j t T í i n r a ri« r x2+5x-14 x3-x2 8x+12 ^ 0 pGr Ruffinni el numerador x2+5x-14 1 -1 -8 12 2 2 -12 2 1 1 -6 0 x3-x2-8x +12 =(x-2)(x-2)(x +3) =(x-2)s(x +3) (x-2)(x2+x-6) (x-2)(x-2)(x +3 )^ n ^ (x-2)(x +3 )¿p ^ x í2 (x-2)(x +7) " (x-2)(x +7) x+7 x2+8x-12-x3 7x-x2-6 x2+8x-12-x3 > 0 -7 -3 2 x € (-<»,-7) u[-3,2) x3-x2-8x +12 7x-x2-6 ' x -7x +6 Factorizamos por Ruffinni el numerador 1 -1 -8 12 2 2 -12 2 1 1 -6 0 www.solucionarios.net www.edJkperu.com www.solucionarios.net CAPITULO 1......................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (x-2)(xz+x-6) (x-2)(x +3)(x-2) (x-6)(x-1)(x-6)(x-1) Puntos críticos: Abiertos: x =1; x =6 Cerrado: x =2 multiplicidad par 1,-3 V ♦ V -3 1 2 Conjunto solución: x e[-3,l)u(6,+oo)u{2} x2+3.' +2 x-2 j b m m m x-2 x+2 x +3x +2 x-2 x +3x +2 x-2 ------- r — < — - = > ----------------------< 0 x-2 x+2 x-2 x+2 x3+5x2+8x+4- x2+4x- 4 A _ x 3+4x2+12x (x-2)(x +2) < ^ (x-2)(x +2) Como x2+4x +12>0, V x e R, simplificamos (x +2)(x2+3x +2)-(x-2)2 (x-2)(x +2) x(x2+4x +12) (x-2)(x +2) <0 <0 (x-2)(x +2) <0 . Puntos críticos: Abiertos: x =2; x =-2; x =0 V + V 1 -2 0 Conjunto solución: x e (-<o,-2) U(0,2) 1 2 3 + ----- > x+1 x+3 x+2 www.edukperu.com ^ _ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 56. www.solucionarlos,net besem m i => - L i + i i — — > 0 x+1 x+3 x+2 x+1 x+3 x+2 íx +3Ux+2^ +2fx +1)(x +2 )- 3 (x +l)(x +3 )^ n (x +1)( x +3)(x +2) x2+5x +6+2(x2+3x +2)-3(x2+4x +3) x -1____ <0 --------- ( x ; i ) ( x +3)(xT 2 ) (x +1)( x +3)(x +2) ---------------------------------CAPITU¡ * t » EDUARDO ESPIN02A RAMOS ................................................................................................................................. Puntos críticos: x =± 1, x =-3, x =-2 ^ -a — y - r - A A — V + -3 -2 -1 1 Conjunto solución: x e <-3,-2>^ <-1,1> ® 5 il- 2 < J= í 1—X X x+1 2 1 - x _ x +1 _ o_ l z x ^ n=>xg+x-2x(1 - x )- (1 -xJ- < 0 , opeando 1—x X 1-X X X(1 x) x2+x-2x+2x2-1+2x-x2 . 2x n x - 1 . n j .(^-|-1)(2x-.l) > 0 --------< 0~ x(1-x) X(x-1) Puntos críticos: x=-l; x =-; x =0; x =l -1 0 i 1 2 x e ^ - l M O ^ M l + o o ) + www.solucionarios.net www.edukperu.cort! www.solucionarlos,net x 2+ 8 x +24 _ O - ^ £8 x2+8x+24 xa+8x+24 x2+8x +24-8x-16 _ x+2 a8 --- =“ --------- J7 i------ ° simplificando xz+8 „ i ---— >0 como x‘ +8 >0, V x e R, simplificamos --- >0 x+ - x+2 CAPITULO I .................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © © -2 x e <-2,+oc> x-2 2x-3 x+2 ~ 4x-1 j H S i l ü E x ^ > 2 x - 3 X ;2 _2 x -3 (x-2)(4x-l)-(x +2)(2x-3), „ x+2 4x-1 x+2 4x-1 (x +2)(4x —1) 4x*-9x +2-2x2-x +6 >0 x2-5x +4 (*-4)(x-1) . (x +2)(4x-1) (x +2)(4x-1)(x+ 2)(4x-1) Puntos críticos: x=4; x=1; x =-2¡ x =- 4 A /- - 2 1 1 4 4 Conjunto solución: xe(-<x>,-2)u^,1 u[4,+x>) 6 3 7 n <0 x-1 x+1 x+2 . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I. . . SOLUCION www.solucionarlos,net
  • 57. www.solucionarios.net y, EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO | O h 3 7 6 (x +1)(x +2)-3(x+1)(x +2)-7(x +1)(x +2) — í i r ^ <0 * ------ ( íT T ) ( í7 í) ( J T 2 r <o —4x" +15x+25 (xT 1K ; ; , K xT 2 )<0 ** (x-1)(x +1)(x+2) " U = (x-1)(x+1)(x+2) 4x2-15x-25 o (x-5)(4x +5) Puntos críticos: x =5; x =±1; x - -2; x - ^ N/~ Conjunto solución: x s /-2,-¿ju(-U)U(5,°°) x4+3x3-6xg-28X-24 <0 40 +(x - 1 )(x - 3 )(x +4)(x +6) Desarrollamos el denominador haciendo (x - 1)(x +4 )(x - 3 )(x +6) +40 = (x2+3x - 4)(x a +3x-18)+40 Hacemos u =x2+3x-4 => de donde u( u —14) +40 = x =u2-14U +40 = (u - 1 0 )(u - 4 ) = (x2+3X-4 —10)(x2+3x—18-4) = (x2+3x-14)(x2+3x-22) Factorizando el numerador 1 3 -6 -25 -24 -2 -2 16 -24 -2 1 1 -8 -12 0 -2 2 12 -2 1 -1 -6 0 www.solucionarios.netJMMJl www eduKperu com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x +2)(x +2)(x* -x-6) (xi +3x-14)(xi +3x-22) (x +2)‘í(x-3)(x +2) (x +2)'(x-3)(x +2) H i - : - <0 3 ) 65 x+— --- 2 4 3) 97 x+ 2 4 <0 (x +2)'(x-3) 3 765 ' 3 V65 x+---- 2 2 x+- + 2 2 y . ( 3 v/97 r 3 n/97 x+ + 2 2 < 0 Puntos críticos: X =-2¡ X =3; X = - l ; X = — — x = - l ^ Z © y:-3 - ,§7 -3 - n/65 -2 2 2 -3-sÍ97 /-3-n/65 -1 -3 + .65 3x x* - x-6 >1 3x x -x-6 •-1>0 3x-x'-x -6 . -x2+2x -6 . -----5--------1“ >0 ^ ------------- 7 - >0x - x -6 x* —x—6 x* —2x—6 (x-3)(x +2) < 0 Como x--2x->-6 >0 V x e R. simplificando se tiene: 1 (x-3)(x +2) >0. Puntos críticos: x =3; x =-2 V -2 - www.solucionarios.net
  • 58. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................ x e <-2,3> CAPITULO I O 7 | 30 , 7 x-4 x+2 x+i . 7 30 7 7 (x +2)-*-30(x-4) 7 _ <ñ 7 T i +7 T 2 S x+1 ^ (x-4)(x+2) x+1 (7x +14+30x-120)(x +1)-7(x +2)(x-4) (x-4)(x +2)(x +1) |37x-106)(x +1)-7(xs -2x-8)^n _ 30xg-45x +50 ----- (x - 4)(x +2)(7 7 i) - ° (x-4)(x +2)(x +l) 6x: -9x +10 cr} (x —4)(x+2)(x +l) ” ________ 1________ Como 6x2-9x +10>0, V x e R, entonces simplificamos (x_ 4)(x+2)(x +1) <0 / + / 1 VI © -2 -1 x € <-%,-2> <-l,4> —í— +—^— <2 x-2 x+4 1 7 1 7 x + 4+7(x-2)-2(x-2)(x +4 ) ^ 7 ^ +7 T Í <2 * 7 ^ +^ ' 2 (x-2)(x +4) x*4+7x-14-2(x! +2x-8) n _ -2x8+4x +6 (x —2)(x +4) <(x —2)(x +4) i ____ —--------____________________________________ f "----i------------- ■ £ www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO 1 EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2-2x-3 (x-2)(x +4) < 0 (x 3 )(x + 0 (x-2)(x +4) < 0 V + V : V + -4 x e <-4,-1>u<2,3> © 3x'+7x-6 3x +16x-12 — 5------ >— ó-------- x‘ -x-6 x‘ -4x-12 3x2+7*.-6 3xg+16x-12 x2- x-6 x2-4x -12 > 0 (3x-2)(x +3) (3x-2)(x +6) (x-3)(x +2) (x-6)(x +2) > 0 3x-2 x+2 x+3 x+6 x-3 x-6 > 0 (3x —2) (x+2) -6(x+ 1) (x-3)(x-6) > 0 (3x-2)(x +1) (x +2)(x-3)(x-6) < 0 V ~ T “ V “ -1 V 6 © 0 x-2 x-3 2----->---- x—1 x-2 ... x e (_Q¿>_2>u ^-1,0w(3,6) 0 x - 2 x - 3 2 ( x - 1 ) - ( x - 2 ) x - 3 2---- >---- => —i--- — ----->--- x -1 x - 2 x —1 x - 2 _><___x - 3 ; Q _ x(x-2)-(x-3)(x- I) o x—1 x-2 (x-1)(x-2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 59. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO | (2-2x-xJ +4x-3 (x-1)(x-2) > 0 2x -3 (x-l)(x -2 ) > 0 2x 2x2+7x +5 x'+6x +5 2x 2x 2x2+7x +5 > x2+6x +5 2x**+7x+'5 x’ +6x+5 > 0 2x______________ ___________ _ >0 => -- : (2x +5)(x +l) (x +5)(x +1) x+1 1 2x +5 x+5 > 0 Q x 2x +10-2x-5 (2x +5)(x +5) > 0 5x (x +l)(2x +5)(x +5) > 0 -5 x e (-qo,-5 ) +co) x2+10x+16 x-1 >16 x2+10x +16 _ x2+10x+16-10x +10^n x-1 X ' 1 www.solucionarlos,netCAI i irm w ARin ANÁLISIS MATEMÁTICO I w w * ediikperu con*t www.solucionarlos,net CAPITULO I (---1~--- ------------------------- .............I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2+26 x - 1 >° ' como x‘ +26>0, V x € R, entonces simplificamos —— >0 x-1 © X € < 1 ,+ o c > x2-3x +2 ~ r------->0 x* +3x +2 4 4 xi | > o => Í l - ’Mx - 2 ) > 0 x +3 +2 (x +l)(x +2) -2 -1 i 2 x e <-co,-2>u <-1,1] u (2,+oo> < D -^— +4 > x +10 x-2 ¿ +4>x +,0 => ^ - x - 6 > 0 =¿ M l > >0 x ¿ x-2 — X^ g X+l 2 > 0 - ^ ± ^ > 0=» Ü Z 3 < 0 x-2 . x-2 2 3 ■. X 6 <2,3> 3x2- 4 ------< x +6 x -6 WWW É*dti(..jie.r .--irn - — ■' ---- — - ~ l~T‘" íL ' * ~ I |¡- ■ > ~ l i l WWW.SOlucinnarin.<tn%Í T AWu ANAL,S,S mat™ a t,co i m
  • 60. www.solucionarlos,net 3xg- 4-<;x+b o 2í- = i- (X- 6 ) £ 0 x-6 x-6 3x2-4-(x2-36) 3x*-4-x2-f36.,„ = 2x^+32s0 -----¡T= 6 * x- 6 x- 6 ---------------------------------- - c a p it wO i » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................................................................... 1 como 2x2+32 >0, V x £ R entonces simplificando se tiene: — _ u CD 1+-r-rSs0x +4x +3 6 x e <-oo,6> 1-8x n ^ xa+4x+4+1^8x x2+4x+3 x2+4x+3 2 x2—4x +4 2)^a ---1 ^ < 0 r> V oW ~T-° x2+4x +3 (x +3)(x +1) V Z Z Z ^ Z Z Z ^ - -3 -1 2 x e <-3,-1>u {2} 112 www.solucionarlos,net www.edjk.per'j.ct'm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « INECUACIONES EXPONENCIALES IV. Resolver las siguientes inecuacines 4x-3 3x^2 J 0,5 2 >0,0625 5 4x-3 3x-2 4x-3 3x-2 0,5 2 >0,0625 5 3x-S 1 Y"5 v16 T 2> 4x-3 4<3*-2) 2 M Y 5 4x-3 12x-8 >I - => ---- <------ => 20x-15<24x-16 2 2 5 4x >1 => x >— => x e (—,oo 4 4 27 <9 27**1 <Qx-*3 ^ 3 3(X-D < 3 2(x+3) 3(X_ I) <2(x +3) 3x-3<2x +6 => x<9 => xe(-oo,9) Oy• 1 Oy_* ^ (0,2) s <(0,0016)^ 2x4-1 2x-2 2x-2 f O o f2x->l 2x-2 f Oj (0,2) * <(0,0016) 5 => | — I < 10000 2x*l 2x-2 M 1' 1625 2x*1 <{l 2x +1 8x-8 ---- >----- I0x +5>16x-16 7 / 7 21 >6x => 21 >6x => x <— => x e(-oo,- 22 WV.-V -J>36'.: con SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 61. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J 25x*8 <16x+5 jB L L L f 1!!! í i M f 2&x+8<|£x+5 2:>**6<24'X451 => 5x +8<4x +20 x <12 => xe (-qo,12) 32*-33<2 >^32x+.yx-2» Í. 1IIM 0Í] i5x-1 32x'33 35,-1 >V ) -4x +2>2x2 +x-3x-2 =>2x5 +x-4<0, completamos cuadrados x’ +| - 2 < 0 =» (x + lj - ¡ ^ - 2 < 0=» [ x+4 ) '1 6 <0 x+---. 4 4 x + - + ^ — l < 0 4 4 1 ->/33 -l+/33 " X - 4 -1-V33 -1+V33' xe ' 0 [(0,5)" .(0,5)"] 6,125 8V "" "• -'»SU CAPITULO I mj www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I ......................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x4-3x*»6xs-18 8 2 3x4 x4-3x! -18 <491 i 3x4-3 -2x4*3x!-2I <49 =7! -2x’ +3x2-21 <2 =í> 2x4-3x~+23 >O, V x e R . La respuesta es x € R g M > 9 .3 > 9’~ 9 .3 => 32(’‘-')S>93-x.x-33-I 32(x-I)’ > 3 ^ , . 2 2(x-1)‘ >-4x-2 => 2x2-4x +2 >-4x-2 => 2x2+4>0, xe'.H V x e R ^ <^322~5 jg g ^ ¡S ¡¡¡¡¡¡g g x^gTTT ^ x-^322’1*5 ^ 2 ^<32^x_l ' 9 <. +25 x+1 x-1 3x +9 10x+25 ^ (3x +9)(x-l)-(l0x +25)(x +l) x+1 x-1<^ (x +1)(x—1) 3x2+9x -3x -9-10x2-10x -25x - 25 (x +l)(x - l) < 0 -7x2 -29x-34 7x2 +29x +34 (x +1)(x—l) < ^ (x+ l)(x -l) Como 7x2+29x +34 >0, V xeR, simplificando se tiene: (x +1)(x —l) > 0 V 1 V - 1 v/vt'wed.jfrva-. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 62. www.solucionarios.net ___________ _________ _________ ___________V CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j S' x e <-oc,-1>U <1 ,+®> A s¡27^ < (x+1) (x-3) O 2 , „ x => 33 2 <32 3 => -(x +1)^ -(x-3 ) 21 9 ( x + 1 ) < 4 ( x - 3 ) = > 9 x + 9 < 4 x + 12 => 5 x 5 - 2 1 - 2 1 => x < g x * - | =* $ jg g g iT Q Q a e f JÓ F * < J2 4 3^ => 34<x+,^<35<x",0> => 4(x +15) <5(x-10) 4x+60<5x-50 => 110<x => xe<110,+®> © 2561' t L >2"<«! .8j,*'.256s"' , o.* - 3(x-2)a i'S ,3x-l 256SX i > 2 ^ ^ .8 - ,.256^“ ' =» ( í ) * >2"' .(2’) .(2*) -2)* > *J<í,“'>*<0l,S'“) => 12(x-2)2>9(x2-9)2+9x +3+40x2-640>4(3Xx- 12x! -48x +48>9x* -162 +729+9x+3 +40x! -640 105±n/4513 37x2-105X +44 <0. Puntos críticos x- — 1 ____ ^ _ _ _ _ — WWW.SdokpQCU.COTTi solucionawww.solüCÍÓfiarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © o 729x?.243x 243xb.275x-<> 812x > 274x _ _ _ _ _ 729xz.243x 243x6.275x-* 36x’.35x 35<‘33<5*-6> g 'j íx ^ 274x 3^(2*) ^ 03(4x) 3 6x*+5x-8x > 3 ( ) 30..5x-t8-12x ^ 6 X 2 + 5 X ~ 8 X > 1 2 + 3 x 6x2 -6x-12>0 => x2-x-2>0 => (x-2Xx +l)> 0. Puntos críticos x =-1; x =2 -1 2 x e ( - o o f- l ) u ( 2 f-oof) ( P 3x*.32x>27 JB E 2S3E2MÍIf 3x+2x >33 =>x3+2x >3 =>x3+2x-3>0. Factorizando por Ruffinni (x -1)(x2+x +3)<0 => x-l< 0 => x<l => xe<-oo,l> Puesto que x2 +x+3 >0 , V x e R x-5 x-9 2 2 >8 3 ÍÍKESSMiSMf 2¥ >8T = 27 >2. - . J ! ^ x^ 2 x-5>2x-18 => 13>x => xe<-oc,13> vmw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 63. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................................................................... CAPITULO I 5x->3 I 2xTl Q (0.216) < >yj(0.36) o 5x»3 I 2^7 3(5x+3) 15x+9 2x +1 (0.216) * >y¡(0.36)o =>(0.6) 4>(0.6)«s, 131 / 131 225x+135 >8x+4 => 117x>-131 =>x>-— => x e ^ , ^ (42)x*-1 >(64)*1' , ,-5- J_ 10 3 10 3 „ ( 4 ° y - < >(64).- => (4! y->4«-> ^ — ^ ^ - ^ > 0 10-(3x +l) A _ 7-3x __ 3x-7 <Q (x —!)(x +l ) > ^ (x-l)(x +l) ^ (x-l)(x +l) 7Puntos críticos: x =-1, x = 1; x =- -i i z 3 0 [(0.3)(‘",Xx !)] K"3 >[(0.09)*1 J ? * [(0.3)<,-'x,-!>J ' 3>[(0.09),'-,>J ’''‘ => (0.3)l- '>t,-!Xx-3>>[(0.3),'-,>]"' ’ H T 7 * 1 s o lu c io n a r io a n á lis is m atem á tico I w m m m p m m www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (0.3)tx' 1Xx_2Xx_3>>(0.9)(xi' ' Xx''9) => (x-l)(x-2)(x-3)< 2(x2-4)(x2-9) 2(x-2)(x +2)(x-3)(x+3)-(x-!)(x-2)(x-3)>0 (x-2)(x-3)[2(x +2)(x +3)-x +l]> (x-2)(x-3)(2x2+I0x +12-x +l)>0 (x-2)(x-3)(2x2+9x +13)>0 => (x-2)(x-3)f x2+y +y l >0* x-2)(x-3)>0. Puntos críticos: x =2, x =3 ^ / = / ^ 2 3 x g (-oo,2)u (3,oo) $ ^ (0.00032)5x i < yj(0.2f? WWW edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 119
  • 64. www.solucionarios.net ft EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I <D gx-3 2»-2 -■ -'i)“«r■ # )’ 2x -3 £x -2 2(x -3) 2x - 2 , q _ 2(x -3Xx +2 )-(x +3)(2x -2) x+3 x+2 :+3 x+2 (x +3)(x +2) © 2x2-2x-12-(2x2+4x-6) ^ -6x-6 (x +3)(x +2) ' (x +3)(x +2) Puntos Críticos: x =-2, x =-3, x =-1 ¿0 => x+1 (x +3)(x +2) < 0 -3 -2 -1 x e <-oo,-3>u <-2,-1] ^ / o T Ü T ^ ^>¡0.0256^ Seasabe: 0.16 f 0.0256= - 0.004096 =1- <'/^/a0Ó4096 2^x-í sVxTb 2X1%^ ( 2X3**^ 2^ í b'JxZb 2 ( 2J**' x- 1 2-v/x-T +5>/x+6 >7 www.solucionarios.net www^edukperu.coi www.solucionarios.net CAPITULO I .CEDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2(x-l) +5^(x +6)(x - l) >14 => 5>/x'; +5x-6 >16-2x 25(x2+5x-6)>256-64x +4x2 => 21x2+189x-406 >0 25(x2+5x-6)>256 - 64x+4x2 => 21x2+189x-406 >0 D , r v. -27-5^27 5^7-27 Puntos Críticos: x =----- -— ; x =— ----- A T ~ ~ V •27 - S¡27 5/27-27 -27-5>/27 /5n/27-27 ' x e ( -00,----:----)u ( —------ ,+00 ( j ) x-^(0.08)x"' 2:x-^(0.04)x *-fj(0.08)*~' >^(0.04 f 3 x-1 ^ 1 — / 1U 25 v25, 3x-3 2x+6 3x-3 2x +6 _ <---- =>-----------< 0 x - 8x+l5 x- 2 x—l (x-3)(x-5) (x —2)(x —1) x- 2 x- 1 < 0 (x - 2)(x - l) =0. Los puntos críticos son: x = 1; x =2; x =3; x =5 v 1 v * v : 1 2 3 5 x e <1,2>u [3,5] www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 65. www.solucionarios.net » rnUARPO ESPINOZA RAMOS ) .......................................... j K i i ü U I i ü W 2x-l '• jc Ó M f* a => (0-04)«*3 2(0.2) - CAPITULO I de donde (0.2) x*3¡ Z (02) x+3 2 (2x - l) ' 2x- 1 <q ^ 2x(2x - l H 2* - lX x+! L n x x(x +3) x+3 x 4x~-2x -2x -5x +3 ^ q ^s¡mp|jfjcando x(x +3) 2 x^ 7 x+3 s 0 ^ (2x-1)( ^ 3 ) ¿ 0 x(x +3) x(x +3) o XG <-3,0>U i-3 x+3 , iííi21 lül ~¡¡Z => (0.2r x"2 >(0.2 ) x' 5(0.0016)x*2>(0.2) 4| í ± D < í p Í => 4 Í ^ ~ < 0 x-2J x-5 4 ( x , 3 K x - » ) - ( ! ^ í a < 0 ^ ^ ^ < 0 (x+2)(x - 5) (x +2 )(x ) www.solucionarios.net wwwedukperu. www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -17X-62 . 17x+62 < 0 => ---- —--- - > 0 (x +2)(x-5) (x +2)(x-5) 62 -2 *17 x e ^ , - 2 ^ ( 5 , +co) ^ >>-^22x jgEESffliEMt x-5 x+1 2 x -8 2x A (2 x - 8 )( x + 1 )- 2 x ( x +5) --------- > 0 => ---- ^ — - j -----------e-- > 0 x-5 x+1 (x —5)(x +1) 2x2- 8x+2x-8-2x2+10x 4x-8x-2 (x —5)(x +1) “ (x —5)(x +1) — ^ (x —5)(x +1) —° Puntos Criticos: x =-l, x =2, x =5 1 V + V 1 V + -1 2 '1 5 x g <-l,2] O <5,+oo> ^(0.01 f ‘ S ^ ( 0.1 f -3 j b e s m m b í í z ? íx -3 2 [ í r l ) 2*-3 O y - ^ (0.01)**1 <(0.1 ) x*3 => (0.1)l)t+,j <(0.1 ) x*3 => 2 — - { x+1J x+3 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 66. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ....................................... o<«-9 Ov-T 2 (x - 2 )(x +3 j- (2 x 2 Í)fc il> o => t--- 0 => -A------ ( ^ 0 ( 7 7 3 ) (x +1)(x +3) CAPITUuO I x - 3 ;>0 x+1 x+3 V •3 -1 : x e <-3,-1>^ 13i+co> ^ x+^(0.04)2*~^>>/(0^2)2x ' J g g i 2 jg 2 ¡ H f ________ ___________2 (2x - l) 2x-l 2 (2x ^(0.04)2^ > # - 2 ; P => " ^ J " < x x+3 x (2x-1)(x-j) , n x(x +3) x e < - 3 ,0 > u (- ,3 ¿ O j _y r if % r ir í-l 250J V5J l 5J ^625 x*-3x i Y O v4x’ +1 y +2 n n 4(*»-3k) /-!> ■I 1 * 1—^ I I .1 UJ u ,4x*+1 / -j y ” ( 1 <| - x*2 5j U , 125J V5( 4x2+ 3 x + 1 s 4 x 2- l l x + 2 £ li wwwedukperij com SOLUCIO www.solucionarios,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « o o 14x >1 => x >— => xe 14 14 ,+ co) < * Y 9 19 x+2 2x-2 3 x-3 < 3 _ x+2 x+2 < 2x-2 x-3 x+2 x+2 2x-2 3x2-4x +10 A -- - +---—< 0 => --- — --- r ^ 0 x-3 x+2 (x-3)(x +2) Como Sx'-4x +10 >0 , V x e R, simplificamos (x-3)(x +2) <0 * 25 * X+* -2 x e <-2,3> ,2 ; ■ 2(*~3) 2x-2 ^ ^ x+3 ' 5 ' iW * 2(x-3) ^ 2x-2 2(x —3) 2(x-l) x+3 x+2 x+3 x+2 £0 (x-3)(x +2)-(x-1)(x +3) x! - x -6 -x! -2x +3 _ . -------------- 7-------ow------------------------- - ° =* --------- 7-------ttt-------^ --------- ° » simplificando (x +3)(x +2) (x +3)(x +2) -3x-3 >0 x+1 (x +3)(x +2) (x +3)(x +2) <0 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net I 25
  • 67. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) -2 x e <-oo,-3>^ <-2,-1] © O P --«3 2x+3 *ï±2 _ 2x+32x+3 ^ g n 2 <2 - => 2- * ! <2 «*' =» "íT+T ~xTT 25x+1 ^ 1 2x+3+(4x-2)(x +1 )' „ ^ 4 ¿ +4 x + l> 0 (2x+|L > 0 X +1 x+1 x+1 -i -O- 1 ^ ' 2 x e CAPITUI r> I 126 www.solucionarios.net f ' www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « INECUACIONES CON RADICALES V. Resolver las siguientes inecuaciones F t 1 +Vx2- 2x - 4 >2 Vx2-2x -4 j M K r n «r,i ? M í Calculando el universo donde debe estar la solución: x2 - 2x- 4 >O x2-2x +1>5 => (x-1)2>5 => x-l>>/5 v x-l<-VÍ5 => x>l +V5 v x<l-V5 xe(-<o,l->/5)u(l+>/5, +00^ Ahora desarrollamos 7 xg-2x-4- 2 +-=-i- 1 > 0 >/x2 -2x-4 / _________ 1 * Vx2-2x-4— . > 0 => Vx2- 9y - 4 ^> --- < >/x2 -2x-4 J Vx2-2x-4 (x2-2x-4)>1 => x2-2x-4>1 v x2 -2x-4 <-1 x2 -2x +1>6 v x2-2x +1<4 (x—1)2 > 6 v (x - lf <4 (x-1 >>/6 v x—1<—n/6j v- 2 < x - l< 2 (x>1 +>/6 v x <1—>/6^ v -l< x< 3 1 - s f ë -1 3 1 + [6 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net |
  • 68. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) xe 1,3)u^l +>/6,+oc^, y lasolucion es: x e ^-oo,1-V5^u^1 +75,-hx>^|n^-oo, 1 -*s/6^vj(-l,3)^l +V6,+<x^) /. xe^-^o,l-V6 ^ ^ 1+>/6,+oo^ ^ 7x +5 +Vx<5 Calculando el universo donde esta la solución: x +5 £ 0 a x > 0 = > x > - 5 a x > 0 x e [0,+<x» Vx+5 <5 - Vx , elevando al cuadrado x+5<25-10Vx +x => 10>/x<20 => >/x <2 => x <4 Luego la solución es: x e [0,+<x» n <-oo,4>=[0,4> x e [0,4> D Vx +V2^ T + >Jx - ' J 2x-l <>/2 ■ r r w w r Elevamos al cuadrado ambos miembros |Vx +>/2x-T+Vx->/2x-l j <2 a 2x-l£0 x+>/2x-l +2^x +>/2x-lj(x-^2x-lj +x- V2x-1 <2 a x £ ^ 2-^x2-2x +l <2-2x a x - ~ => ^(x-1)2 <1—x a x £ ^ CAPITi(Lr> I Í SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X —1 < —X A X > - 2 X < 1 A X > - 2 xe n/x -9</x +118S>0 r“ r* /— QV Oí yJx-9/x +118>O Completamos cuadrados:> / x - - ----- + 118>0 391 + — > O a x > O = > x > O =s> x e [0 ,o o ) x+2 <Vx3 + 8 x + 2 < V x 3 + 8 = > ( x + 2 ) 3 < x 3 + 8 = > x 3 + 6 x 2 + 1 2 x + 8 < x 3 + 8 6 x 2 + 1 2 x < 0 = > x ( x + 2 ) < 0 -2 xe (-2,0) >/x-4 ->/8 -x >1 •Jx-4 -yj8-x £ 1 => X-4 >|l +>/8-X j A X >4 A 8 >X x- 4 > 1+ 2y/8- x + 8- x A 4<x<8 => 2x-13>2%/8-x a 4<x^8 (2x-13)2>4 (8 -x ).a 4<x <8 => 4x2-52x +169 >32-4x a 4^x<8 4xJ -48x +137^0 a 4<x^8 => x2-12x+ — £0 a 4^x<8 4 w w í edukperu com www.solucionarios.net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 69. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (x_6)2-36 + ^ £ 0 a 4 <x <8 =>(x-6)2-^>0 a 4<x<S8 12 —>/7 4,- 4 12+V7 ,8 >/x2 - 1 <>!*.+1 >/x2 - 1 <>/x+l n/2x -9< 3-x . x2—1<x+1 A x+ 1^0 A x2-1 >0 x2- x - 2 <0 A X +1^0 A (x~l)(x +l) >0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) < 0 A x>-l A (x -l)(x +l)>0 xe[l,2) V2X-9 <3-x => 2x-9<(3-x)2 a 2x-9>0 a3 - x > 0 2x-9£9-6x +x2 => 2x>9 a x£3 Pero 2x>9 a x<3 >/9x - x 2- 8 ( x 2- 8 x +12) >/x >/9x-x2- 8 (x2 - 8x+1 2) ^ 0 n x >0 n 9x-x2- 8>0 x>0 n x2-9x +8<0 x2-8x +12<0 x > 0 n ( x - 8 )(x - 1)<0 n (x - 6 )(x - 2 )> 0 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTJCO I www.solucionarlos,net CAPITULO I * --------- —*■/ www.edukperu.corp • xe[2,6]U[l,8] www.solucionarios.net CAPITULOI ............................................................. f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © o © o (x-4)Vx2-2x +2 x + 2 x-4<0 n x'-2x +2>0 Puesto que x2+2 es siempre positiva x<4 n (x-1)2-l +2>0 => x<4 n (x - l)‘ +l>0 x<4 puesto que (x - l)2 +1 es siempre positiva xe(-00,4] Vx2-Lx-15 £x +1 Vx2-2x-15 >x+1 => x2-2x - 15>0 n x2-2x-15>(x +l ) 2 (x +3)(x-5)>0 n x2-2x-15>x2+2x +1 (x +3)(x-5)£0 n -2x-15£2x +l Luego xe(-oo,-4 ] 73x-6 >-n/4x-12 ÉffTrnf'fiy* W •* «I - - / V3x-6 >-V4x-12 3x-6>0 n 4x-12>12 => x > 2 n x>3 => x[3,oo) V5x-3 - Vx- 1 > 0 0<(ó-x)x www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I wwiv.solucionarios.net H
  • 70. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................. V5x—3- >/x—1>0 => yJbx-3 — Vx —1 o 5x- 3 >0 o x - U 0 •5x-3> x-1 n 5x>3 n x2>1 4x>2 n x>l => x>l => xe[l,co) O VVx-4 - Vx X—1 V^x-4-Vx X—1 >0 o x >0 >/x-4-x x—1 £ 0 n x >0 :-(x +4)J x—1 x—1 x- x3- 12x2 - 48x-64 Q n x ^ 0 ^ x3 +12x +47x +64 ^ Q n x > 0 X—1 X~1 /. x e [64,+ qo> y/x2 -6X->/x 8 - x >0 n x- 1 0 <0 x2- 6x- x x(x-6)£0 n x >0 o x_-— n x<10 x(x-7) x(x-6)>0 n x>0 n ° x<1° www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o x e (<-qo,0] u [7,.8>) n <-oo,10> Vx-3 +V6-x <Vx +1 x e <-oo,0] u [7,8> x-3 >0 n 6- x >0 n x+l>0 n (Vx-3 +>/6 -x) >x +l x >3 o x- 6 n x >-1 n x-3 +2>/x-3>/6-x +6 -x <x+1 3<x<6 n 2yjx-3yjb-x <x-2' 3<x<6 n 4(x-3)(6-x)<(x-2)2 3<x<6 o 4(6x-18-x2+3x)<xs-4x +4 3<x<6 r> 36x-72-4x2<x2-4x +4 => 3£x<6 n 5x2-40x +76>0 3<x<6 n x2-8x +— >0 => 3<x£6 n (x-4)2-16 +— >0 5 5 3 < x <6 n ( x - 4 ) - - >0 => 3 < x <6 n x-4— -= s x-4 +-^= s/5 > 0 x e Vx-1 +>/x-3 >>/x+1 Vx-1 +>/x-3 >>/x+l x-1 >0 n x-3 >0 n x+1>0 n (>/x-l +Vx-3) <x +l x>l o x£3 o x >-1 n x-1 +2 Vx-3Vx-l +x-3<x +l www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 71. www.solucionarios.net x>3 n 2 ylx-3Jx-' <5-x x>3 n (4x2-4x +3)<(5-x)' x£3 n 4x2- I 6x +12<25-l0x+x‘ » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................... CAPmJLO I 13 x >3 n 3x2-6x-13<0 => x>3 n x2- 2x -— <0 x >3 n <0 x e n/n/x -3 +^6-7x _ , r, xso V n/x +1 ( V 7 ^ 3 W 6 - ^ ) 2<(VVx +lj n x> 0 n V ^ 3 > 0 n 6 - V x > 0 j x ^ +2y[j^ 3 s¡y¡x^ 3 ¡t-jx +6 ->/x ^VjTTÍ n x >0 n x £ 9 n x < 3 6 ______________ c j i . 3 +2^(>/x-3)(6-Vx)<Vx +T n x>0 n x>9 r> x<36 2./f7x-3)(6-x) <Vx-2 n 9 <x <36 4|>/6Vx-18-x +3VxJ2<(Vx^2)2 n 9<x <36 , ,______________ _______ 4(9>/x-18-xj£x-4>/x +4 n 9<x<36 ____ 36n/x -72-4x <x -4n/x +4 n 9<x£36 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I .................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 5x+76>40Vx n 9<x<36 => (5x +76)2>1600x n 9<x^36 25x2+760x +5776£ 1600x n 9<x^36 25x2- 840x+5776>0 n 9 <x <36 Puntos críticos: x=840 ±^ ~4^ X5776) 84± W s 2(25) Conjunto Solución xe 9, 16>/5 >/4->/l-x->/2-x>0 l-x> 0 n 4-VToc>0 n 2-x>0 n x <1 n 4 >Vi-x o x<2 n 4->/l-x >2-x x<l n 16^1-x n (2 +x)2>l-x n 2+x^0 x <1 ri x >-15 n x>-2 r> 4+4x +x2>1- x - 2 < x < 1 n x 2+5x +3£0 => - 2 < x < 1 n lx +- l — +3>0 - 2 <x <1 5 X H-- V 2 y 2 13 — - >0 => - 2 <x <1 n 4 5 VÍ3 x+— -— 2 2 5 >/Í3 x+-+-— 2 2 x e -2, VÍ3-5 www edukpenj.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 72. V. EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................. www.solucionarios.net C /'r'<TUtX> I x2 _14x +13^0 n x-3<0 n x2 - !4x+13>(x-3) (x - 1 3 )(x - !)> 0 o x <3 n x2-14x +13> x2 - 6x+9 (x - 1 3 )(x - 1 )> 0 o (x<3 o 4>8x) => ( x - 1 3)(x -1) S 0 o (x <3 n x ^ xel-co,- O >/x2+3x +4 >q <2 + 3x + 4 £ 0 o x2- 4 a 0 = > j^x+ l j -^ + 420 o x‘ >4 3 t +I a0 o - 2 > x S 2 xe<-c,-2] u [ 2, CO > X+ 2 J 4 0 y¡2-x<,l2-4x +n/6- 9x _________ _ jEjüO H af 5>/2-4x +>/6-9x 1 2 1 2-X20 n 2 - 4 x s 0 n 6 - 9 i0 =* xS2 n x< - n x< - =» x<- www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « >Jb25-x" yjx' -4(x +4)s(x2-1j x1 - 2xr-x +2 < 0 625- x2 >0 n x - 625 <0 n < 0 J K S S B Í (x¿ -4)(x +4)8(x'J -l) x(x2- l)- 2 (x2- l) (x2-4)(x +4)8(x2 -i) (x’ - l)(x - 2 ) 50 (x-2)(x+2)(x +4)8(x2 - i) (x -25)(x +25) <0 n ---- --- — V---------- '-<0 n x*±1 (x-25)(x +25)<0 n (x +2)(x-l)(x +l)<0 n x ±1; x*-2 De donde: x e [-25,-2] u <-!,!> u {25} « . l i m i . » -=J--- fVx+l)>0 =>- ¡J--- ÍVx +l)>0 n x>0 Vx- 1 v ' V x- 1 v ’ 1—(X —l) 9 —v y —2 v ; > 0 n x £ 0 => —f=— > 0 n x > 0 = > — < 0n x > 0 Vx- 1 x — 1 I t xe<l,2 > SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 73. www.solucionarios.net y>EDUARDO ESP1N0ZA RAMOS ) CAPITULO I ® íx +6 íx +2 r r ' f c í ____________ !EI<IEHnííí>0A^0V x Vx-1 X X^T X x-1 X x-l x x-1 X X-1 (x +6)(x -l)-x (x +2 ) „ ^ x+6 a 0 n x+2 a 0 x (x - l) X X-1 x ! ± 5 x ± o ^ X± 6 i ± i i O = - £ ^ < 0 * ^ T * ° n 7 ^ ' ° x(x-l) X x-1 x(x-1) X X-1 X€<-QO,-6]u < 1,2 > Vx2-3x-4 >/2T->/x2-4 _____ a m iffiw x2-3x-4 £ 0 o x2 -4 >0 r 1. -- *0 >/21- vx -4 (x +l)(x - 4 ) > 0 o (x - 2)(x +2 ) > 0 o — L - ^ ; > 0 (x +l)(x - 4 )*0 r» (x -2)(x +2)>0 n ^ 7 ^ ° (x +l)(x - 4 )a0 o (x-2)(x +2)>0 o (x _ 5)(x +5) x e< -5,-2] v j[4,5 > i SOLUCIONARIO ANÁLISIS.MATEM4TICO I . www.solucionarlos,net www.edukperu. www.solucionarios.net CAPITULO l_...................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS <( O) l' J x 2 -4x-5 4 - Jx 2-9 >x-6 x2-4x-5 >0 n x2- 9 >0 n > 0 o x- 6 < 0 4-/x2-9 © (x+1)(x 5)>0 n (x-3)(x+3)>0 n ---- --- ^0 n x < 6 16-x* +9 (x +l)(x - 5 )>0 n (x-3)(x +3)>0 n - — - ^ 0 n x <6 (x +1)(x-5)>0 n (x-3)(x +3)>0 n 1 (x-5)(x +5) <0 n x <6 x € <-5,-3] u {5} >/x2-x +1<V4-x ^ esmsmI— ^ Vx2-x +l<V4-x => x2-x +1<4-x r x2-x +l>0 n 4-x>0 x* - 3 < 0 n | x—1 ) -- +1 > 0 n x < 4 2) 4 (x-V5)( x+V3)<0 n ' 1 f 3 . X-- +- £ 0 n x <4 2 1 4 -V3 V3 x e ^-^3, >/3^n^-oo,4] =^->/3 ,>/3 ^ www.edukperu.com WWW.solucionarioiffltARI0ANAL,SISMATEMÁTIC01
  • 74. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITULO I Q >/x2 + 3 + V 3 x - 2 - n/2x + 5 ^ > / 3 x _ 2 2x +3¡>0 n 3x -2 >0 n 2x+5>0 n 3x~ 3 O (V2xT3 W 3 x - 2 )2 < (^ x + V 2x+5) 2x+3+2yj2x+37 3 ^ 2 +3x- 2<3x+2,/3x(2x+5) +2x 2>/6x2 +5x+6 <2>/6x2+15x+4 6x2 +5x+6 <;6x2 +6x+8V6x2 + 15x+4 =* 2x <; 8>/6x2+15x 4 - 4 x + x2 <64(6x2+15x) => 383x2+ 964X-4 <;0 x = -964 ± J964s+16( 383) -964 ± 48>/4Ó6 ~ 2(383) 2(383) x = -482 ±24^406 383 Vx- 1 +Vx- 2 Va-x2-Vx x- 1 £ 0 o x-2 >0 o x^O o a- x2£ 0>/a- x2- >/x >0 x > i n x > 2 o x> 0 n x2< a < 0 n a - x 2£x x>2 o (x-Vá](x +Vá)^0 o x‘ +x-<0 x e sotucoNAR^soluciónanos,net www.edukperu.cocs í www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO I. Hallar los valores de x que satisfacen a las siguientes ecuaciones: I 2x +3 I +4 =5x |2x +3| +4 =5x => 12x+3| =5x-4,se debe cumplir 5x>4 de donde x> Luego (2x +3 =5x-4 u 2x+3 =4-5x) n (5x-4>0) => (7 =3x kj 7x =1) n 5x>4 7 1>l 7 . * 7x =- u x =-n x =>- => x =-. La respuesta es x =- 3 7) 5 3 3 13x—11=2x +5 Jtt^üSSSSM/ 13x—11=2x +5 => 13x—11=2x+5 (3x-l=2x +5 u 3x-l=-2x-5) n 2x +5>0 |m
  • 75. www.solucionarlos,net X>EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) X —1 =|x-4| x2 x2 . =x-4 v --- =4 - x x—1 x—1 x2 =(x-4Xx-1) v x2 =(4-x)(x-1) x2 =x2-5x +4 v x2 =-x2 +5x-4 5x =4 v 2x2-5x +4 =0 4 , „ 4 _ . _ c f4 x =— v 2 xeR => x =—. El C.S = ^- 5 55 x—1 x—1 x = í u —^—=—4 I n x >0 X —1 X x-1 (x2=4x-4 =0 y u x2 =-4x +4 =0) n x >0 (x2-4x +4 =0 < j x2+4x-4 =0) r> x>0 (x- 2 )2 = 0 u x = n x >0 => x =2; x =2>/2 - 2 C.S.={2,2n/2-2} 0 (x —4)2—2 |x —4|—15=0 ¿ « a [ ííHTf i, g y (x-4)2-2|x-4|-15*0 => |x-4f-2|x-4|-1.5 =0 (| x-41-5)(| x-41+3) =0 => |x—41—5 =0 solucionarmw^ófwmarios.net CAPITULO I ______________ y * www.solucionarios.net |x—41=5 => x-4 =5 u x-4 =-5 => x =9 u x =-l CAPITULO l ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © |2x +9| =x-l /. C.S. ={-1,9} |2x +9| =x-1 |2x +9| =x-1 => (2x +9 =x-1 u 2x +9 =-x +1 ) n x-1 £0 =>(x =-10 u 3x =-8) n x >1 => <f> |x2—3x—71=3 |x2—3x—71=3 => x2-3x-7 =3 u x*-3x-7 =-3 % => x2-3x-10 =0 u x2- 3x-4 =0 =>(x-5)(x +2)=0 vj (x-4)(x +l)=0 =>x=5 u x =-2 x =4 k j x =—1 /. C.S. = {-1 -2,4,5} x+8 x+4 x+8 x+4 =3 =3 n B i i i a r x+ 8 x+ 8 _ => --- =3 u ---- =-3 x+4 x+4 => x+8 =3x+12 u x+8 =-3x-12 => 2x =-4 4x =-20 => x =-2 kj x =5 www edufcpenrcon SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net w
  • 76. www.solucionarios.net C.S. ={-5,-2} ¿ S t |3x +l|=7-x |3x+1|=7-x => (3x+l= 7-x u 3x+1 =x-7) n 7-xaO ^ (4x =6 w 2x =-8) m X S 7 o [x =| w x =-4^ n x<7 _____________________ _____________________CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ........ ....................... .................................................... cs-={-4'-!} ¿T ) |4-8x| =|x-|2x +l|| |4- 8x | = | x - | 2 x + 1|| « (4- 8 x = x - 1 2 x + 1 I) v (4- 8 x = 1 2 x + 1 I - x ) O I 2x + 1I =9x - 4 V I 2x +l l =4- 7x 4 o (2x + 1 =9x - 4 v 2x + 1=4 - 7x) a x >- 4 v (2x + 1 =4 - 7x v 2x + 1=7x - 4) a x < ^ <=> (7x =5 v 9x =3) a x >^ v (8x =3 v 5x =5) - 4 5 1 1 i <=> x =- v x =- v x - -, x - 1 . I5UPor lo tanto C.S. =^-,-| -------------- ----------------- -. — ------------------------------------ . -kper. *3r www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o |3x-5| +x-7 =0 ttr im w |3x-5| +x-7 =0 =t- (3x-5 =7-x u 3x-5 =x-7) r 7-x >0 => (4x =12 u 2=-2) n x <7 => x =3 kj x =-1 15x- 3 1=13x+51 15x-3| =|3x+5| C.S. {-1,3} 5x-3 =3x +5 u 5x-3 =-3x-5 e o 2x =8 u 8x=-2 => x =4 u x =— 4 ••• c .s .H - ? ,4 12x—6 1=14—5x | 12x—61=14—5x | m w 2x-6 =4-5x k j 2x-6 =-4 +5x 10 27x =10 u -3x =2 => x =— u x = — 7 3 |6x+3| =|l8 +x¡ 16x+3| =|18+x | 6x+3 =18+x u 6x+3=-18-x www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 77. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULOI 21=> 5x =15 'u 7x =-21 => x =3 u x - —- =-3 C.S. ={-3,3} 13x—1 1=15x—151 JMfcTiTnNMTHlf 13x—11=15x—151=> 3x-l =5x-15 o 3x-l = 15-5x => 2x =14 u 8x =16 x =7 u x =2 C.S. ={7,2} ¿ f r |5x +3| =3x-1 15x+3| =3x-l => (5x +3 =3x-l u 5x+3)-3x +1) o 3x-l >0 por definición => (2x =-4 u 8x=-2) o x>^ => |x =-2 u x =- | | n x>^ C.S. ~4> 0 11X2 - 1 1- X |=x 11x2—11—x| =x => (|x2—11—x =x u IX2 —11—x =—x) n x>0 => (| x2—1 1=2x u |x2- 1 1=0j n x > 0 => (x2 - 1 =2x x2 - 1 =-2x w x =±l) o x > 0 =>(x2 - 2x - 1 = 0 u xs+2x-1 = 0 u x =1 ) o x^O ____________ _______________________________________ ________________________________________________________________ cf. SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁJICO I . www.eduknsRIO ANÁLISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net S W W f i 1. ............................................................................................ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « *-2i£ Ü - *íM .8s,/5 ^ ¿ 2 2 9 ~ Luego: x = {l± ^ ,l} 0 |2x-3| +2 =|x-6 | o Valores críticos: x =- ; x =6 2 V.A. 2x-3 x- 6 {r*J) -2x +3 -x+ 6 [t's) m i ¿3 -x +6 [p/oo) 2x-3 x- 6 X e( _00' f ) ^ -2x +3 +2 =-x +6 => x =-l x e | , 6^ =s>2x-3 +2=-x +6 => 3x =7 => x =^ x e[ó,oo) => 2x—3+2 —x—6 => x =—5 e^6,+oc^ O El conjunto solución: CS =j -1,1 3x-11-1x+21=1 13x—1 1—I x+2 1=1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 147
  • 78. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................................... CAPrOJLOl V.A. x+2 3x-l (-00,-2) -x- 2 -3x +1 °fi____i x+2 -3x +l i—■i <j0i—* ^8^ x+2 3x-l Luego: xe(—oo,—2) => —3x+1—(x—2) =1 => —2x ——2 => x —1é(—co, 2) xe x e •3x+1 -(x +2) =1 => -4x =2 => x =- —e 3x - l-(x +í) =1 => 2x =4 => x =2 e 1-,+00 3 Conjunto Solución CS =- -, 2 ( Q |x-4 f-5 |x-4| +6 =0 IX — 4 |2 —5| x—4| +6 =0 Si hacemos u=| x-41 u2- 5u+6 =0 => (u-3)(u-2) =0 => u=3 v u =2 Luego-. |x—41=3 v |x—41=2 => x-4 =3 v x-4 =-3 v x-4 =2 v x-4 =-2 => x =7 v x =1 v x =6 v x =2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu.com- www.solucionarios.net CAPITULO I El conjunto solución: CS. ={1,2,o,7} ^ 2|x2-2|+5 =6|2x2- 3 1 2i x2-2 +5 =6 2x2-3 Si hacemos u=x2 2¡ u-21 +5 =6|2u-31 EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Valores críticos: u =-¡ u =2 2 Luego: x e V.A. 2u-3 u- 2 -2u +3 -u +2 &■) 2u-3 -u +2 2u-3 u- 2 0,-) => 2(-u +2) +5 =6(-2u +3) => -2u +9 =-12u+18 x e 9 L 3 ^ 3 => u =— e (0,-) =>x =± -= 102/ Jñ -,2) => 2(-u +2) +5 =6(2u-3) => -2u +9 =12u-18 27 => U = -- € 14 2 L V 14 xe[2,+co) => 2(u-2)+5 =6(2u-3) => 2u+l=12u-18 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 79. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...................CAP'TULO I 19 r0 r=> u =— e 2,oo => x =± J— 10 L L V 10 3 Í27 ÍÍ9 I El conjunto solución: CS =j ±-^=-±y— ,±y— ^ 0 |6x+3| =|18+x| J E — T | 6 x +3| =|18+x | <=> 6 x +3=18 +x v 6 x +3 =-18-x <=> 5x + 15 v 7x =-21 x =3 v x =-3 C.S. ={-3,3} 0 3|| x+11-412-5|| x+11-4|=2 _____ j^ 22SÜ2H¡IW Factorizando 3||x +l|-4¡ -5||x+l|-4|=-2 =0 (3||x +l|-4| +l)(||x +1|-4|-2) =0 => ||x +l|-4 |- 2 «0 11x+11-4 |=2 o I x + 1I -4 =2 v I x +1I -4 =-2 I x +1 I =6 v lx + 1 1=2 (x +1 =6 v x +1 =-6) v (x + l= 2 v x+ l= -2) (x =5 v x =-7) v (x = 1 v x =-3) /. C.S. ={-7,-3,1,5} O |Ix|-3|” |3x+2| SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www eajKoeru.com .. www.solucionarios.net 9 * * ™ :° ........................................................................ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ||x|-3|=|3x+2| => |x |- 3=3x +2 v|x |- 3 =-3x-2 |x| =3x+5 v |x|=1—3x (x =3x+5 v -x =3x+5) v (x =1-3x v -x =1-3x) a 1-3x >0 (2x =-5) v 4x=-5 a x > - | v (4x =1 v 2x =1) a x<- 3 í 5 5 ^ 5 M X > -1 II X x =— < X II 1 1 A X > ----- V l 2 4J 3 L 4 2) A X < ,~ 3 x =4 v - El conjunto solución: CS = 4 4 I 4 4 ^ 11x+2 |- l|2 -5||x+2|-1|-6 =0 É m m v m M Factorizando: (| |x +2|-l| +l)(||x +2|-l|-6) =0 ♦ 11 x+2 | - 1 1 =6 <=> I x +2 I - 1 =6 v I x +2 1- 1 =-6 I x +2 I =7 v I x +2 I =-5 (x +2 =7 v x +2 =-7) v (x +2 =-5 v x +2 =5) (x =5 v x =-9) v (x =-7 v x =3) .-. C.S. =(-9,-7,3,5} ^ 12x—31—1 =|x—31 3 . Valores críticos: x =-; x =3 2 wwwedukpenj.com www.solucionarios°net0anAusisMATEMÁTIC0'
  • 80. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAP'TUL0 I V.A. 12x—3 x- 3 H ) -2x+3 -x +3 i h 2x-3 -x +3 [3/°o) 2x-3 x-3 Luego: . xe (ao,-) =>-2x +3-l =-x +3 => x =-l x e -,3; => 2x-3-l =-x +3 => x =^ 2 / 3 xe[3,oo) => 2x-3-1 =x-3 => x =1«é[3,oo) El conjunto solución: CS =-1 x2 -5x +15|-x2+ 8 =3x+9 x2-5x +15|-x2+8| =3x+9 [|x2-5x +15|-x2+8 =3x+9 n |x2-5x +15|-x2+8 =-3x-9] n 3x +9£0 |j x2-5x +15| =x2+3x +1 r> |x2-5x +15j =x2-3x-17j o x>-3 j[(x2-5x +15=x2+3x +l) u (x2-5x +15=-x2-3x-l)] r |[(x 2 -5x + 15 = x2- 3 x - 1 7 ) u ( x 2- 5 x +15 = - x 2+3x +17)] n x > - 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukpen.i.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ................. ............................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « | ( X =í j U (x2-x +8=0) n |[(x =16) u (x2-4x-l =0)]} o x>-3 De donde x =- ; x =16; x =— ^ =2í>/5 4 2 CS. =| I 16,2±>/5] |x+l |+2| x-2| =|x—81 TTHTITITIF Los punto? críticos de cada valor absoluto x =-1; x =2; x =8 V.A. X +l x- 2 X i 00 -x +l -x +2 -x +8 [-1,2) x+l -x+ 2 -x +8 [2,8) x+l x+2 -x +8 [8,+eo) X +1 x+2 x- 8 xe(-oo,-l) => -x -l +2(-x +2)-x +8 => -3x +3 =-x +8 => x =- | xe[-l,2) => x+1+2(-x +2) =-x+8 => 5=8 => noesposible^ xe[2,8) => x+l +2(x-2) =-x +8 => x =— 4 xe[8,+oo) => x+1+2(x-2) =x-8 => x =| Puesto que x e[8,+<x^ se descarta El Conjunto solución: CS = j www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I www.solucionarlos,net
  • 81. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j www.solucionarios.net CAP'-' 'LOI © 3|x+l|-2|x-2| =2x-l È Ê Ë X m X M W Ê Los puntos son x =-1; x =2 V.A. x+1 x- 2 (-co,-l) —x+1 -x +2 [ H 2) x+1 -x +2 [2,+co) x+1 x- 2 Luego en cada universo xe(-ao,-l) => 3(-x-l)-2(-x +2) =2x-l => 3x =6 => x =2 Puesto que este valor no pertenece a xe(-oo,-l) se descarta xe[-l,2) => 3 (x +1)- 2 (-x +2) =2x-l => x = 0 xe[2,oo) => 3(x +!)-2(x-2) =2x-l => x =8 El conjunto solución: C.S. ={0,8} 2||x-2|+2f-ll||x-5|+2|+12 =0 * Hacemos u =11x- 51+21 3 2u2 - llu +12 =0 =o (u-4)(2u-3)=0 => u =4; u =-, dedonde: ||x-5| +2|=4 u ||x-5| +2| =| |x-51 +2 =4 u |x —51-h2 =—4 u |x-5|+2 =| u |x-5|+2 =- | ____ ___________ -------------- — - — -S SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . ± www solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x—51=2 u |x +5| =-6 u Ix-51=-- u Ix-51 =— 1 2 1 1 2 II. O Puesto |x—51=2 => x-5 =2 u x-5 =-2 => x =7 u x =3 Hallar el valor de las siguientes expresiones. 112+5x|-12-4x 12 +5x I—12 —4x si xe(!,3) m p m rn * v m si xe(l,3) Por definición: 12+5x1 = 12l2+5x ; x>- — 5 —12—5x; x <- — 5 12 +4x I= 12-4x; x<3 4x—12; x >3 © Para x e(l,3) 12+5x| -| 12-4xI 12+5x-l2 +4x 9x X X X 10+7x |—!5x—101 o: 2x 10+7x I—15x—101 2x Si xe(0,l) si xe(0,l) Por definición 10+7x1 = 10+7x ; x >--- 10 5x—101= -10-7x; x <- 5x-10; x<2 10-5x; x>2 10 Para x.(0,l> => l'0^x|-|5x-l^ 10+7x-(10-5x) 12x 2x 2x 2x SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 155
  • 82. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j 0 I9x+8|-I2xlgjsi xe{1,2) |9x+8|= 9x +8 ; x >— 9 g -9x - 8 ; x <— 9 12x- 8 1= 2x- 4 ; x >4 4-2x; x <4 Para x«(1.2) ^ l g +8H * l i L * +8~8 +2x _ 11x . ' ' X 2x X 11 O |2x +3|-|3-x| s ¡x g (a l) l2* +3 |-|3-x| si x e(0,l) 3 2x +3 ; x>—- f |2x +3|=- 2 3 -2x-3; x <— 2 |3-x|-| x-3 ; x >3 3-x ; x <3 . . 12x+31—13—x| 2x+3-3+x 3x Para x e (1,2) => '■----- !—----1=---------- =— =3 © 16x +3| +2|2-3H s¡xe(2j3] BEOSSMMt/ Por definición de valor absoluto CAPITULO i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net ----------- +www edvjkpepj.c(j«r www.solucionarios.net CAPITULO l_.................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © O |6x+4 |= óx +4 ; x >— 2 -ÓX-4 ; x<-- 2 3x-2 ; x > 2-3x ; x < Luego en el intervalo dado: R=.^ ( 'f '*+2(3x 2) _ I2x _ ^ 12x 12x 16x+321- 418 - x I .. 1------L - J---- I Si x e(-3,-2) ■rrrmar|6x+321- 418 - x| oX Si X€(-3,-2) Por definición 16x+321= 6x+32 ; x>- — r 0 3 •Is—xI=jX’X<8-óx-32; x<- — ’ ' [8- x ; x >8 3 Para xs(-3,-2) => [6x+32|-4|8 -x| _ 6x+32-32 +4x_ 10x X ' 5x 5x 5x 14x +l I-I x- 1 1 1-----U ----i Si x e (0,1) á E ü S ■ |4x+1|= 4X +1 ; X > --- 4 —4x —1; X <—— 4 X-1 = X-1 ; X >1 1—X ; x< 1 Para xe/0,1) =» L4x+32HM . 4x +l - 1 +x=5x =£ x X X © [Zx+2|-|3x+2l s¡ x e (0,3) edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net <NI00CM100
  • 83. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ................................... W Î T T f î i H * 17x 21—13xh-21 g. x e^o,3) Por definición CAPITULO i i7x +2| = 7x +2 ; x £ -- 2 -7x- 2; X < - - 3x+2 1= 3x+ 2 ; x > - ^ 2 -3x-2; x <-- Para xe(0,3) 7x+2|-|3x +2| 7x+2 -3 x-2 _4 x_ /1 ^ 3|3x-8|^ |3x +24| ^ g ^ 3|3x-8|-|3x +24| Por definición 3x - 8 |= 3x-8 ; x>- 8-3x+8; x <— *3 3x+241= 3x+24 ; x >-8 -3x- 24; x <-8 3|3x-8 |-|3x+24| 3 (-3x+8)-3x-24 -12x _ Para xe(-5,^l) =>------ — 2x 2x 5x+41-| 4+4x I Si xe(0,3) Por definición de valor absoluto: 5x +4 5x +4 ; x>-- 5 4 -5x-4 ; x<- — 5 4x+4 = 4x +4 ; x>-l -4x-4 ; x <—1 I www.solucionarios.net www.edukp9ru.c0rp• www.solucionarios.net CAPÍTULO I . c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Luego en el intervalo dado: x e <0,3> 115x +4¡=5x +4 ||4x +41=4x +4 |5x +4|-|4 +4x| 5x+4-4x-4 x 1 x x x O Resolver cada una de las siguientes inecuaciones x+2 2x-3 <4 Ê Ê Ê m m * v m i x+2 2x-3 <4 por propiedad -x+2 <4 n - +2 >-4 2x-3 2x -3 -7x +14 < 0 n 9x-10> 0 ^ _x-2_>Q n 9x - to >o 2x-3 2x -3 2x-3 2x-3 / 10 X € '^°'"9/u<2'00> O 6-5x x+3 a I<b => a <b v a >-b 6 _ 5 x ^ 1 - 6-5x 1 6-5x 1 n 6-5x 1 n 7 7 ? ^ =» T ¡ T - 2 n ,2- 10x- x-3 so n 1 2 - ’ 0 x + x + 3 1 0 2(x +3) 2(x +3) www.edukperu.com . . . s o l u :io www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 84. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS n i5 - 9 x * o 2(x +3) 2(x +3) 11x-9 2(x +3) >0 n 9 5 x s (1ñ ’3 © 4+— X 4+— X <5 <5 Por propiedad 4+—<5 n 4+—>-5 1 - 1 < 0 o 1 +9 < 0 => — < 0 o l ^ > 0 x x x x ^ > 0o 1 ^ S > 0 x e (- o o ,- )u <I, « > o 8x+— X <6 8x+— x 8 8 <6 Por propiedad: x+—£ 6x+- ^ - 6 «*- 6* +8 , n n x l-6x+l i 0 ;. x e ( -°°,p )u <I»00 > www.solucionarlos,net 3 x ~- - < ; 0 2(x +3) CAPITULO I _____________ y * www.eduKperu.aHT>j www.solucionarlos,net CAPITULO I ......................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o x2+3x +11 x- 2 x +3x +l 1 <3 x- 2 tMWVMiW <3 Por propiedad se tiene: x- 2 x2+3x +11 x- 2 -3 <0 n x- 2 x2+3x +11 x- 2 +3>0 x¡2+18 ^n _ x2+6x+5. . x --- - 0 ^ --------— > 0 => --- < 0 o ---- —--- ->0 x- 2 x- 2 x- 2 x- 2 (x +5)(x +l) xe 5 - ’ 5 - Ì X <3 jgESSESSMÍ <3 Por propiedad se tiene => 5-1 <1 n 5-1 >-1 => 1-4>0 n l-6 < 0 x x x x l z f 5 > 0 n — < 0 => ±SZ1<o n X X X X «-(H > 0 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 85. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITU IOI O 1X H--- X < 6 <6 por propiedad se tiene: x2- 6x+l A x2 +6x+l * => ------- < 0 n -------- > 0 (x-3)2 - 9+1 (x +3)2 -9 +1V--- l----- < 0 n v---- i----- > 0 (x-3)2 - 8 (x +3)2 - 8 i--- --- < 0 n *---- ---- 1 0 ( x - 3 - 2 ^ (x -3 +2V2) (x +3-2>/2) (x +3+2>/2) > 0 , x e (-3-2j2,- 2>/2) u (-3 +2 ^ 3+2V2) O 3-2x x+2 3-2x <4 x+2 <4 Por propiedad se tiene: 3-2x , 3-2x , 3-2x-4x-8 _ ---- <4 n ----->-4 => ------ ---- <0 n 3x+x+8 x+2 -6x-5 x+2 <0 r> x+2 2x+ll x+2 > 0 x+ 2 x + 2 6x+5 _ 2x +ll > 0 x+2 >0 n x+2 > 0 1ofti SOLUCION,ARLQANM-ISIS MATEMATICO I . A www.solucionarlos,net vavw edukperu.col www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O x+3 6-3x x+3 6-3x < 2 £ 2 Por propiedad se tiene: X+3 - 2 " ^ - 2- ^ 2 n J i ± i + 2 £ 06-3x 7x-9 6-3x <0 n 6-3x -5x +15 6-3x 7x-9 de donde xe/-oo,y 2x x+6 2x > 6 6-3x x- 2 u [3'+»>Hf3x nsovttie 6-3x x-3 > 0 o — > 0 x- 2 x+6 9v ov - 6 > 0 o -+6 < 0 x+1 x ;5bnob i>b 8 < XC x+1 -2x-3 x+1 X‘ 3 X ‘ 3 > 0u X + 3 X + 3x+1 x+1 <0 >0 u ü ± 3 < 0 => 2 íü 3 <0 w l í l 3 < 0 X + 1 X + 1 x+1 X 6 © X — 1 X — 1 >1 ^ ebsm m 5=1 < - 1 00- ' >r> X wwa>edukperu.com www.solucionarios.netSOLUCIgNARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I
  • 86. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j X—1- 1 > 0 u í-+1 < 0 x z llü x ) © © 1 Ov_i T « 2x - 1 A _ i > 0 u ^S—: < 0 => - < 0 u ---- < 0 x - x x x xe(-flo,0)u / 0fi 4—14—x| |x| +4 <0 ■«iinwnTMr El denominador es simepre positivo en x € 4_| 4 _ x| <0 => 4-x >4 u 4 - x <-4 x < 0 u x > 8 de donde-, x e <-oc,0>u <8,+*» 6x-4 x+3 1>- 2 Propiedad: |a|>b => a >b u a <-b 6x-4 1 6x-4 1 É íz l- 1 ^ 0 u ^ +¿ * 0 T ¡ ¥ 2 x+3 2 x+3 2 X + 32 2(6x-4) ^ » (tx - ^ +x+a ^ ^ T j x ^ l l ? 0u j3 x - ^ ¿ 0 2 (x +3) 2{x +3) “ 2(x +3) 2 (x +3) O xe<(-°o,-3)u<-3,— u[l,+®> 2x-5 4-x >1 c a pitu lo i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net www eciviKperu.cp*Ti www.solucionarios.net Propiedad: Ia I>b => a >b <j a <-b CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 4-x 4-x 2 x - 5 - , > 0 w ? ^ + l < 0 4-x 4-x 2x-5-4 +x^_ 2x-5 +4-x >0 kj -------- <0 4-x 4-x x-4 /. x e ^ - o o ,l]^ [3 ,4)^(4,oo) 3 x - 9 < 0 u ^ > 0 x-4 x+3 6 - 2x > 1 Propiedad: Ia I>b =í>a >b u a 5 -b x+3 1 x+3 ^ 1 x+3 ^ , x+3 > ---- >- u -----<— => ----> I u ---- <- 1 6-2x 2 6-2x 2 3-x 3-x 2+3-1i0 u í ^ +líO3-x 3-x © 3x2-1 x- 2 V x e R, >—6 3x2-1 x- 2 x+3-3+x x+3+3-x . 2x 6-------- > 0 u --------- < 0 =>----< 0 u ----> 0 3-x 3-x x-3 x- 3 /. xe[0,3>u<3,oo> jK ü M iM Í >0 >-6 ,. x * 2 Luego la solución es V x e R- {2} www 9dukp&ru.00m SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 87. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ......................................................... ffft |x2-4|<4-2x Propiedad: ja|^b => a<b o a >-b _> x2 -4 <4-2x n Xs -4 >2x-4 => x2 +2x- 8 <0 n x2 - 2x > 0 => (x +4)(x - 2 ) < 0 n x(x-2 ) > 0 x e(-4,0) O x+3 x+2 <5-x Propiedad: |a|>b => a<b u a>-b í l ^ < 5 -x o í- ^ > x - 5 => ^ i|- 5 + x < 0 n x+ 2 x + 2 x+ 2 x+¿ x +3-5x-10 +x2+2x n ^ X +3 +5X +10-X2 2 x ^ n ^ 2 x+2 x 2 - 2 x - 7 ^ 0 n x 2 + 4 x + _ 1 3 > q x+ 2 x + 2 H L l z Z < 0 n x 2 ~ 4^ < 0 x+ 2 x+ 2 (M L i<0n (»-«y-irü <0 x+ 2 x+ 2 www.solucionarios.net CAPIT'" 0 I x+5> 0 __________ i _ edukperu flom www.solucionarios.net CAPITULO I cEDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x - l- V s )(x - l +>/8) (x-2->/T7)(x-2+>/l7) x+2 < ° x+2 X 6 ^-Q0,2->/l7)u(-2,l +2>/2) > 0 13x—11+2x |x+11—3x (|3x -1| +2x >0 n |x+11—3x <0) u (| 3x-l |+2x <0 n |x+11—3x <0) (|3x-l|>-2x o |x+11>3x) u (|3x -1|<-2x n |x +1|<3x ) [(3x-1>-2x u 3x-1<2x) n (x +l>3x u x+1<-3x)] u u [(3x-1<-2x n 3x-1>2x) o (x +1<3x n x+l<-3x)] [(5x>1 u x< l) n (l>2x o 4x<-1)] u [(5x^1 r> x>1 n 1<2x n 4x>-1)] x>- u x<1 5 )nHU X < ------- 4 u |x<- u x2:1 r> x>- n x > 5 2 4 x<- u ¿ =s> xe'.H n í x<- 2 i 2 1x<- 2 |x—21<2x •• xe(-oo,- Propiedad: Ia I<b => a<b n a>-b wo/wedukperu.com S0LUCI0NAR10 ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net I
  • 88. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ..........................................................CAf1™ 101 © 2 x-2 <2x n x-2>-2x => x>-2 n 3x>2 => x>- =* xe 2 x 3’ © fee*» Como I 3x - 1 i +2x >0, V x e R , entonces simplificando, obtenemos 7--- -,--- £ 0 <=> lx+ ll-3x> 0 |x+11—3x 3x <I x + 11<=>x + 1>3x v x + 1<-3x 2x < 1 v 4x <-1 1 1•X < - V X < — 7 2 4 © |3x-9|<x+1 13x-9| <x+1 o (-X —1<3x —9 a 3x - 9 <x +1) a x>-1 o (4x > 8 a 2x < 10) a x >-1 o (x > 2 a x<5) a x >-1 0 X 6 <2,5> A <-l,+Q0> x e <2,5> x—21 x+3 Ix+4 1 x-6 S0LUCI0NAR10 ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L l- ?j <2± | por propiedad: i l l < ^ x-2 <x+3 x+4 1 x-6 x+4 x-6 x+4 x-6 x-2 x+3 x-2 x+3 _ <0 n -----+----- >0 x+4 x-6 x+4 x-6 (x-2)(x-6)-(x +3)(x +4) (x +2)(x-6)-( x+3)(x +4) (x +4)(x-6) (x+4)(x-6) x'-4x-12-xg-7x-12 x2-4x -12+x2+7x +12 „ (x +4)(x-6) ~(x+4)(x-6)" -llx-24 2x2+3x < 0 n --------- -^ 0 (x +4)(x-6) (x +4)(x -6) llx +24 x(2x +3) (x +4)(x-6) " ° (x +4)(x-6) x e <6,+oo> SOLUCIOI www.solucionarlos,net 169
  • 89. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPIT’" *>I IV. Encontrar el menor número M con la propiedad de que para todo x € R, se cumple: A 2x-x2<M . __________ -00<X<00 => -QO<X-1<0O => 0<(x-1) => 0<x2-2x +1 => 2x-x2-l< 0 => 2x - x2<1 de donde: M = 1 1-4x-x2 <M -oo < X < CO => -oo< X +2<co => 0<(x +2)J => 0<x2+4x +4 => -4x-x2- 4 <0 => 1-4x-x2<5 de donde: M =5 22-x3 +x3 <M ( T f f l ' T W * ¿ ' i i -OO < X3 < CO => -co < X3 -- <00 2 ( i 0 < _ -M £ 1 1 Q ? 1 1 9 x3-- I => 0<x3-x3+- =>— <x3-x3+ --- 4 4 4 4 q ? 1 £ I o 9 — <x3 - x3 -2 => 2-x3 +x3 <— => M =— 4 4 4 ? * 2x3 -x3 <M SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukperu.coir*I f ' www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « l i 2 2 2xí -x3<M = > - o o < x 3 < od => - c o <x3 - 1 <30 0 < ( 2 Y 4 2 2 4 x3-l => 0<x~3 -2x3+l => 2x3 - x3 <1 => M =1 1+6x - x2<M l+ ó x-x2<M => - 00< X <00 => -oc<x-3<oo => 0<(x-3)~ =>0<x2-6x +9 => 6x - x2+1<10 De donde: M =10 3+36x-12x2<M o 3+36x- 12x‘ < M -oc < x < oo => —oo < x— < oo • 2 0 < x- 5 i => 05x2-3x +- l 2J 4 4 => 3x-x2<- => 36x-12x2<27 4 ^ 3+36x-12x25 30 de donde: M =30 Encontrar el menor número M con la propiedad de que para todo xe 91se cumple: O MS3 +4 - - x¿ X jk b e q e b t www.edukperu.ee _ " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 90. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPIT"LO I 2 12+3x -X . i i / M<3 +— — => ---“ i x2 x x 3| x2-^ | +2 —OC < X < => -* > < X - - < < » o 0 < |x --| => 0 <x - - + 3 6 También: -oo<x <oo => O <xJ => 2<, x2 - 00 Término a término con (I) _ ,2 3 ^ 2 +3x2-x _ 23 2+3x'-_x de donde M = ^ 12 ------- ‘ 6 2 1 1 -1 1 M<xi -x5 - 2 => -cc<;x5 <oc<x5 0 <| x5 -- i i f ? 1 1 1 > O^x5 -x5 +-<°o 9 ! : 1 9- < X5 - X 5 +7 - 7 4 4 4 2 1 M <9x2 - 48x- 36 2 16x . M£9x2 -48x-36 <9l x - 4 www.solucionarios.net -l— wwA.edukperifSom www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O<I x—^ Ì => O<x* - — x+— => O<9x¿ - 48x +64 81 16 .64 _ => 100<9x2- 48x+64-100 => 100<9x2-48' -36 De donde: M =-100 M <5x2-20X +16 / ,2M<5x‘ - 20x +16<5 x -4x +— I => -oo<x<oo z=> - qo< x - 2 < oc 0<x2 => 0<x2-4x +16 => 0^5x2-20x+80 - 64 <5x2 - 20x-64 +80 => -64<5x2-20x +16 De donde M =-64 Si 2x +3e[7,1l] encontrar el valor de M que satisface a la siguiente desigualdad ^ < M x-7 J ¡ K i l i W x+5 x-7 12 , 12 +--- =1 +• x-7 x-7 x-7 x-7 2x +3 e [7,11] => 7<2x +3<!1 =>4<2x<8 => 2 <x <4 => -5<x - 7 <-3 3 x-7 5 x-7 5 => -3<1 +— <;-- => -3< — <-- x-7 5 x-7 5 7 De donde M =— 5 www edukpiru.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net iMÁTICO I j j j
  • 91. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Si xe i 5 2'2 encontrar el valor de M que satisface la desigualdad M < X€ i 2 2'2 2 2 M < x+2 x^ 2 M < x-2 +4 x- 2 M<1 + x- 2 =. i < x < 2 - . _ | S x-2 s-± =>-2 < - i- S - ? 2 2 2 2 x-2 3 - 8 < — < - - => - 7 < l + - ^ - < - | x-2 3 x-2 3 De donde M =— 3 -i Si - e[(-oo,l)u(2,+oo)]. Hallare! menor valor de M tal que x—1 1 7 2x+5 _ 2 2(2x +5) x—1 2x+5 —e<-oo,1> v X € < 2 ,+ 0 0 > x De donde — <x <- => 0 <x < oo 2 2 Como 0<x<- => O<2x < 1 => 5 <2x +5<6 2 1 1 1 7 => —<---- <- -— <- <— 6 2x+5 5 10 2(2x +5) 12 www.solucionarios.net CAPITULO I x+2 x- 2 <M www etíukperu www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 1 X —1 1 — < -------< — 2 10 2 2(2x +5) 2 12 ^ 5 <2x+5 < 12 x—1 2x +5 Si |x —3 1< 1 Hallar el número M tal q u e <M x+1 x+5 x+1 |x—31<1 <M x+1+4 x+1 -1 <x-3< 1 <M => 1 +. x+1 3<x+1<5 <M . Hallamos la expresión => - <— -s 4 4 9 4 7 5 x+1 77 < 7<— => -<1+-------- <- b x+1 3 5x+ 1 3 5 x+13 9 - < 5 1 + x+1 <— de donde M =- 3 3 ( r Hallar M tal que si |x| <2 x-3 x+4 <M J K i M M M tf x-3 x+4 <M x+4+7 x+4 <M x+4 <M . Hallamos la expresión x( <21 => —1 <x—1 => 3<x +4 < 5 => => _ Z < — Z 5 x+4 3 3 " x +4 < _¡ =>' | <1 - ^ 4 <- f de donde M =- . 3 www.edukperu.com www.solucionario¿?fí&tNAR}0ANAus,smatemátic° <
  • 92. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESP1N0ZA RAMOS j VI. Resolver las siguientes ecuaciones: A |3xl| =x+2 jK 2 íS ¡ a i¡ M Í 3 |3xj =x+2 => x+2<3x<x +3 =>2<2x<3 =e>l<x<- Pero (x +2)eZ => x =1 xfl =2x +2 t i t T I ' W í M t xfl =2x+2 => 2x+2<3x<2x +3 => 2<x<3 5 Pero (2x +2)eZ => x =2; x =- j h e a a a a a B r < 6 ==>10<|x-2| +3<12 => 7 5|x-2|<9 => 7<|x —21n |x-2|<9 => (x-2>7 v x-2<-7) a - 9 <x-2 <9 => (x>9 v x<-5) a -7 <x <11 /. x e< -7,-5]u [9,11 > O l2-MH capiti ” o i SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net ----------- <4-' wvw ->dukperü zpfn 12—|xf| =1 => 1<2| x |<2 => 1<2—|x | A 2—|x |<2 => I X I < 1 a I x l>0 => -1 5 x < 1 a x e R - {0} X 6 <-1,0>u <0,1> O |3x-5j =2x+1 MKHilWiai.l.'Hf [3x-5j =2x +1 => 2x +153x -5<2x +2 => l< x - 5 < 2 => 6 <x <7 pero (2x +1) e Z => x =6;x =— 2 VII. ResoK ix las siguientes inecuaciones www.solucionarlos,net CAPITULO I ..................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O x +1 x+2 <2 x2+l ] X2 +1 x2+1 x2+1 ---- < 2 => 15---—<2 => 1 5 ^ 1 o — <2 X+2 J x+2 x+2 x+2 x +1 x +1 „ „ ---- - 1 > 0 n ----- 2 < 0 x+ 2 x+ 2 x +1-x - 2 ^x +1-2x-4 . ------------->0 n --------- ------<0 x+2 x+2 x x—1 x - 2x- 3„ ----—- > 0 n ---------< 0 x+ 2 x+ 2 Ü i ! „ (X-1/-1-3 >0 n ---------------<0 x+ 2 x+ 2 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net
  • 93. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I f X" i ] 4 X -1) - 4 ni___ ±1-- 2 - 2 0 O i--- --- < 0 x+ 2 x+2 I1 í 1 S)x -5 - t J t '2 t J > ( x - 1- 2) ( x - U 8l , ft ----- - x+2x +2 r V s W i Vs - 2 - 2 J Í X _ 2 j j > o „ (x-3)(xV I)< o Puntos críticos x = x+2 -1±n/5 ; x =-2; x =3; x =1 A/ - V + V r~V -1-V5 -2 -1 3 0 |4x! -5 x-4 l< 1 ______ ¡4x2—5 x - 4 j £ 1 =* 1<4x2- 5 x -4 < 2 => 0 £ 4x2—5x-4 o 4x2- 5x-4 <2 fx-—1_^-1^0o (x-2)(4x+3)<0 8) 64 f x- * Y - £ s O ^ (x-2)(4x +3 )<0 { 8) M / _ > <0 o (x - 2)(4x +3) <0 8 f 5-J89 x--- 5 + V § 9 v _ o . v — 5 x e 1 - ^ , 2 ) Puntos críticos x =— -— , x _ ¿ ' x _ 44 / www.solucionarios.net www edukpdPi.cor1 www.solucionarlos,net CAPITULO I .cEDUARDO ESPINOZA RAMOS « <g¡ ||2xsr+5x¡-2||| <1 JMPTiTHCT.r—r ||2x2 +5x|-2||| <1 => 0<|2x2 +5x|-2||<2 0<2x’ +5x-2 o 2x‘ +5x-2<1 |2x2 +5x| >2 o |2x‘J +5x| <3 (2x2 +5x>2 2x? +5x£2) o ( 2 x 2 + 5 x < 3 o 2 x 2 + 5 x > - 3 ) ( 2 x 2 + 5 x - 2 ^ 0 ^ 2 x 2 + 5 x + 2 < 0 ) o x2+ ^ - 1 £ 0 u (2x+1)(x +2)<0 n [(2x-l)(x +3)<0 r (2x-3)(x +1)>O] o [(2x-1)(x +3)<0 o (2x-3)(x +1)>0] üO (2x+1) (x +2)< 0 [(2x-1)(x +3)<0 o (2x +3)(x +l)> 0] _ 5±v41 1 . 3 Puntos críticos x =----- : x =- 3; x =-; x =-1; x =— Q O' O SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net i
  • 94. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS l-x|- 1 < 2 J£ £ ¡I£ L *1:1100 I|—x|—ij c 2 => |—x|—1<2 => |x|<3 o -3<x <3 [x2-l|>0 |x2 - l] >0 => x2- 1 >0 => (x -1)(x +1)>0 Puntos críticos x = 1; x =-1 y ~ ^ / ~ -i x e< -oo,-1] vj[l,oo > Por propiedad [xj <u o x<n [ S -2x|<>/3 => y¡3-2x<¡3 => -2x <0 => x >0 =>xe <0,+oo> |x2-11<0 Por propiedad: |xJ <n x <n +1 J x2—1] <0 => x2-1<l => x2<2 f f ll SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPP“ -01 x e <-33> vmv.' edukperu.ccyv www.solucionarios.net CAPITULO I O o 0 i £ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 5+x 5^~x <1 =^> - 7 2 < X < y ¡ 2 => X 6 ( - 7 2 , 7 2 ) an ^ FT iif 5+x| 5+x 5+x , _ --- < 1 o --- < 1 =>----- 1 < 0 5 -xI 5-x 5-x 5+x-5+x 2x x -- ------ < 0 <=> ----< 0 => ----> 0 5-x 5-x x-5 0 5 x e <-oo,0>u <5,+oc> Ix2—4 I<—1 [xe- 4J <-1 => x2-4<0 => x2 <4 => -2 <x <2 2x +3 x+1 2x+3 x+1 -1 -1 <1 < 1 o /. x e <-2,2> 2x+3 x+1 - 1 <2 => x+2 x+1 < 2 => - 2 <— < 2 x+1 n x+2 x+2 _ => - 2 < ---------- a ----------< 2 x+1 x+1 www edukpsru.com . . . SOLUCIO www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 95. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS C A P IT I"O I x+2 _ . x+2__ --------+ 2 > 0 a ------------2 < 0 X+1 x+1 3x+4 x ----------> 0 a -------- > 0 x+1 x+1 A/ : V -1 A -i xe^-oo,-^u(-1,+oo) n((-co,-l)u(0,+»)) •••xe/— 0,+oo) VIII. Resolver la inecuación logarítmica Log1/2|2x—3| >—3 _ _ _ _ _ Log, |2x—3|>—3 => Log2|2x-3|’’ >-3 => Log2|2x- 3|>-3 Logjj|2x—3|<3 => |2x-3|<23 n 2x-3*0 (2x-3<8 u 2x-3>-8) r. x * - (2x<11 u 2x>-5) r x * - 11 5 ] 3 => x <— u x >— n x * - 2 2 2 5 11 x e ^ 2 ' T n x * Log., (x-3>/x +1+3) <1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net www eduKperu dòn COICM www.solucionarios.net CAPITULOI ............................................................. ^ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Log2(x-3>/x"+T +3 )< 1 =>x - 3 ^ T T +3<2 n x-3>/x +1+3>0 => x+1<3>/x+1 n x+3 > 3Vx +1 => x2+2x +l <9x +9 n x2+6x +9>9x +9 o x+1>0 => x2-7x-8<0 n x2-3x <0 r> x >-1 => (x —8)(x +1)<0 r> x(x-3 )>0 n x >-1 V ~ r ~ - 1 0 3 8 ________/ V W _ Logy |x2+4x| +3 x2+|x—5| >0 x € <0,3> ^|x2+4x| +3 x2+|x-5¡ L0S7 >0 x2+4x +3 x + x—5 > 1 => I x2+4x I+3 >x2+| x-5| x +4x +3l>x2+x-5 3x>-8 => x >— 3 También: x2+4x +3>x2+5-x => x>- 5 De donde: x € !■ ** SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I www.solucionarios.net
  • 96. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP'-M'LOI Log2 4x -11 2x" -4x-6 <-1 los2 4x-n 2x -4x-6 <-1 2x -4x-6 <2' 4X-11 _1 2x -4x-6 2 8x-22-2x2+4+6 2x2-4x-6 <;0 -2x~ +12x-16 2xs -4x-6 -2x2- 6x+8 2x2-2x-3 (x-2)(x-4) (x-3)(x +1) SO -4X-11 2x2-4x-6 >0 4x-1l 4x-11 x2-2x-3 (x-3)(x +l) >0 (x-2)(x-4) 4x-l 1 De donde: ' ----A----r >0 n ----— --- -r >0 (x-3)(x +1) (x-3)(x +1) X € 2,j ) u (3,-kc) o Log |2x-3| x+1 >1 Log |2x-3| x+1 >1 |2x-3| x+1 <10 n x+l>0 n 2x-3*0 |2x-3|-10(x +1) !---- !-------->0 X +1 n x >-1 n x* - 2 V www.solucionarios.net ww,v.edukperi/com< www.solucionarios.net CAPITULO I o o ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « |2x-3| = 2x- 3 ; x>- 2 3-2x; x <— 2 y> 3 2x-3-10x-10 „ 3 9 =* ------- ----- >0 n x >-I n x *- ¿ x+l 2 8x+13 . 3 =* -— <0 n x >—1 n x* — x+1 2 13 * X €<---,-l> 8 Y 3 3-2x—IQx —10 3 12x+7 2 ~ x+i > 0 n x > - l n x * - = > --- ~ <0 n x* A+i 2 x+1 X€ -’•"is LoS(x-4)(3x-2) <2 ^°S(x-4)(3x -2)<2 => x-4>0 n 3-x>0 => x >4 n x <3 => 0 Log1/3(2x +6) <-2 je ib e m r Log3(2x +6)_1<-2 r> 2x +6>0 -log3(2x +6)<-2 n x>-3 log3(2x +6)>2 n x>-3 2x +6 >32 n x>-3 2x+3 > n x>-3 x >- n x >-3 2 www.solucionarios.nefMmomAus'smateuat|c° 185 to|CO
  • 97. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITl"-0 I =» =» « ( I - « |3 - 4x|>23 a 3-4x * 0 => |3—4x|>8 a x * - (3-4x>8 v 3-4x<-8) a (-5 >4x v 11<4x) a x * - 5 ’ 3x < -----V X > -— A X * - 4 4 ) 4 X£(^°~i)u(7’_TO O L°S3|3-4x| >2 ljOg3|3-4x|>2 <x> |3-4x|>32 |3_4x| >9 => 3- 4x >9 v 3 - 4x <-9 => -6>4x v 12 <4x => x <—— v x >3 2 O LoSt x-2 x-5 +35 >2 xeí-cof--)u(3,+co) P r t SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net vw. .•.edükperu ^óm www.solucionarios.net
  • 98. www.solucionarlos,net V) EDUARDO ESPINOZA RAMOS ] ....................... CAPITULOI RELACIONES Y FUNCIONES En cada caso determinar los valores de x e y (x,4) =(-2,y) -• ^ ^ m i it1n i i W f (x,4) =(2,y) <=> x =2 a y =4 (4, 2x- 10) =(x- 1, y +2) j k s titlB M Mediante identidades: 4 =x- l => x =5 2x - 10 =y +2 y =2(5)-10-2 =-2 => y =-2 (y -2, 2x + 1) =(x - 1, y +2)__________ j y Q J í S B E S M f Mediante identidades: y - 2 =x - 1 => y =x+ l 2x + 1=y +2 => 2x +1=x +1+2 => x =2; y =3 (5x +2y, -4) =(-1, 2x - y) J________ Mediante identidades: 5x +2y =-1 a 2x - y =-4 5x+2y =-l _ „ 1 7 => 9x =9 => x =-l 4x-2y =-8 Como 2x - y =-4 => -2- y =-4 => y =2 (x +4, 6) =(10, y - x) Ém m m i w * Mediante identidades: x +4 = 10 x =6; y-x =6 => y= l2 (x +5,3 - y) =( 7 , 2 ) __________ M Mediante identidades: x +5 =7 => x =2; 3- y =2 => y= l HSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net wv.vv.eduKpera.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ............... .............................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « & (x +y, 3) =(5, y - x) Mediante identidades: x +y =5 a y-x =3 jx +y =5 2y =8 => y =4 [y-x =3 x+y =5 => x+4 =5 => x =1 0 (x - 7y, 2x - 6y) =(15,-10) _____________ x- 7y =15 a 2x- 6y =*10 =>x =3y-5 En la primera ecuación: 3y - 5- 7y = 15 => y =-5 => x =-20 ^ (3x - 8x, 4x +3y) =(4 - 2x - 1Oy, 2x +4y+ 7) Mediante identidades: 3x-8y =4-2x-lOy a 4x +3y =2x +4y +7 0 (5x +2y; 4) =(-1, 2x - y) Mediante identidades: 5x +2y =4 a 2x-y =7=> 9x =21 => x =- ; y =-- 3 3 JB E ÍM 2 E ¡¡IW 5x +2y =-1 Í5x +2y =- 1 2x -y =4 . . =>9x =7 = > x =- 4x-2y =8 9 2x - y =4 => — -y =4 => y =- — 9 9 0 (x3 -19, x£y-ó) =(y3,xy2) M T T T F í i l f * Mediante identidades: x3-19 =y3 => (x-y)(x2 +xy+ y2) =19 'Www ftdukpftru com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 99. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J ............................................................................................. CAfm'LO I x2y-6 =xy2 => xy(x-y) =6 Dividimos ambas ecuaciones x +xy +y _ 195x2+6xy +6y2=19xy => 6x2-13xy +6y* =0 xy 6 2x 3x (2x-3y)(3x-2y)=0 dedonde y =— a y =—- O O Con y =— =>x3-19 =y3 => x3-19 =^ - => = 19 => x =3; y =2 3 27 27 (2x - y, x +y +3) =(x +y +1, 2x +y) Mediante identidades: 2x-y =x +y +l a x +y +3 =2x +y Simplificando x =2y+l; x =3 => y = 1 x+y 1 x - y , A ( y-x ~ y +x Mediante identidades: ^ i v _ 1=y ^ +2 a ^ y +i = ^ - 2 2 2 2 2 => x+y-2=y-x+4 a x-y+2=x+y-4 => 2x =6 a 2y =6 => x =3, y =3 En cada caso hallar los conjuntos y graficar. Dado los conjuntos: A ={xeZ/-l^x< 3}, C ={xeZ/l<x<4¡ Hallar los conjuntos y graficar SOLUCIOhNARJ.QANÁLISIS MATEMATICO I . ,www.solucionarlos,net B-{xeZ/l <x <14}; i.6dukpe<u.c0*r www.solucionarlos,net ' ........................................................................ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a) A x B b > B x C o (a - C ) x B Desarrollaremos los conjuntos A ={x eZ^-l <x< 3} ={-1,0,1,2,3}; B - {x eZ /lSx S4 }- {l,2 ,3 ,4 }; C ={xeZ/l£xS4j= {1, 2,3,4) a) A x B = | ( " 1' 1 ):(- 1 ' 2 ) ( ' 1' 3 ) ! ( 1>4 ) ; ( 0 >, ) ¡ ( ° . 2 ) ( a 3 ) ;( 0 ,4 ) ; ( 1 ,1 ) ¡ ( 1 ,2 ) ( 1 ,3 ) ; ( 1 ,4 ) ; l l ( 2 . 1 ) ; ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ; ( 2 , 4 ) ; ( 3 , l ) ; ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ; ( 3 , 4 ) } b) B x c J (1'l);(,'2)(1’3) :(1'4^ (2’1)i(2'2K 2'3);(2.4);(3.1):(3,2)(3,3);(3,4);l 1(4,1);(4,2)(4,3);(4,4) | c) (A-C)xB ={-l,0} (A-C)xB= {(-1,1);(-1.2)(-1,3);(1,4);(0,1);(0,2)(0,3);(0,4)} I . . SOLUCION/ www.solucionarlos,net
  • 100. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................................................... CAPr 0 ! __________ relaciones y funciones £ Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones, a) R = j x, y e ÜR2 /y =x2- 4x; y £ O} JBE222I¡HMt y =x2—4x =(x —2) —4 ; Dominio: D={xeW¡ Rango: y =(x-2)2-4 => (x-2) =4+y =í>x=2±Vy+4 => y +4>0 => y >-4 Luego: D={y e'.H/y £4} Para y < 0, el dominio corresponde a los reales y el rango en ye(-ac,o] Intersectamos para obtener el dominio de la relación: Dominio: DR=[0,4] Rango: D={y e 'R/-4 <y <0} b) R = {(x,y)e«2/y =V4-x2J Dominio: El rango de la raíz cuadrada debe ser positivo 4 - x2>0 => x 2 < 4 => -2 <x£2 dedonde D={y eW/-2<x<2} Rango: Para y >0, despejamos x en función de y: -_2y-x =0 x(y-l) =2y => x=_~ f dedonde D={yett/y*l}xy- c) R ={(x ,y )e « 2/x2=y-1¡ É m m m x w * SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I d) e) f) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Dominio: x" =y -1 ==> y =x2+1 => D =jxe'.H¡ Rango: Despejamos x en función de y: x2=y -1 => x = y-1 De donde el argumento de la raíz cuadrada debe ser positivo y-l> 0= > dedonde D = {yesJí/ y >1} R={(x,y)e9?2/xy-2y-x =0¡ Dominio: Despejamos y en función de x: xy-2y-x =0 => y(x-2) =x => y =— dedonde D={xe'.H/x^2j x-2 Rango: Despejamos x en función de y: xy-2y-x =0 => x (y- l) =2y => x = dedonde D = {y € « / y * l} R ={(x,y)eiR2/Vx+7y =1} f ■ nn iwr«Trm t Dominio: Despejamos y en función de x: Vx+Vy=1 => y =(l- 7 x )‘ => D={xe9í/0<x<1¡ Rango: Despejamos x en función de y: Vx+Vy =1 =>x =(l +Vy) => D={xetf/0<y<1¡ ✓ R ={(x, y ) e Dí2/x2y2+xy =5] SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 193
  • 101. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAr-'JU) I Dominio: Despejamos y en función de x: x2y2+xy =5 => x2y2+xy-5 =0 Fórmula general y = _ -x±>/x2+2 0 xT = - 1 ± n/2 1 d e d o n d e D = <-oo(0> u <0,+cc> 2x2 2x Rango: Despejamos x en función de y: x2y2+xy =5 => x2y2+xy-5 =0 Fórmula general _ -y±Jy*+20y* _ -± J¿ de donde D , <^o0>u <0, X ^ 9 O . . +co> 2y 2y 1 g ) R = | ( x , y ) € « V y = 2 x ! _ 3x— 2x2-3x-5 =0 => (x +1)(2x-5) =0 de donde D = { x e < R / x *-1aX*5/2} Rango: Despejamos x en función de y: 2x2- 3x-5 =— =>2x2-3x-5-y'' =0 Fórmula general y x =/ ~ ~ V 40 0 ' 9 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net M.'ww.sduk' www.solucionarlos,net h) R =(x,y) e $?2/(x‘~-4)y =y2 Solución Dominio D={xeiH} Rango: Despejamos x en función de y: CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x2-3x-5 =— => 2x2-3x-5-y-' =0 Fórmula general y x2y +4 => x =±yjy +4 => y +4>0 =>y >-4; R ={y e s.H/y >4} Si U =x f Z* /x impar a x <8. Tabularlas siguientesrelaciones en U. a) R =|(x,y)e UxU/x =3vy =5} b) R ={(x,y)eUxU/x +y =8} c) R ={(x,y) e Uxü/xy =2} d ) R ={(x,y)eUxll/x divide a 20} El conjunto universal es: U ={1,3,5,7} a) R ={(x,y)eUxl)/x =3 v y =5} R ={(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5);(3,6);(3,7);(3,8);( 1.5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,5);(6,5); (7,5);(8,5)> b) R =|(x,y) e UxU/x +y =8¡ Para x +y =8 donde x ={1,3,5,7} en la resta: y =8-x tenemos: R ={(1,7);(3,5);(5,3);(7,1)} 9d.iKperj.coi" SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net I
  • 102. www.solucionarlos,net c) R ={(x,y)eUxU/xy =21} Para y =— de donde x ={3,7} tenemos: R ={(3,7);(7,3)} x d) R ={(x,y)eUxll/x divide a 20¡ Para x divide a 20, de donde x ={1,3,5,7} tenemos: R ={(1/1);(1,2);(1,3);( 1,4);(1,5);(1,6);(1,7);(1,8);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6); (5,7);(5,8)} 9 En el conjunto de los naturales N se define una relación R de la siguiente forma R =j(x,y)e NxN/x2+x =y2-t y} Es decir si es una relación de equivalencia, justifique su respuesta Reflexiva: (x,y) e R, x: +x =x2+x Simétrica (x,y)eR, x2+x =y2+y => y2+y =x2+x; (y,x)€R Transitiva (x, y) eR, x2+x =z2+z =>(z,y)eR, z2+z =y2+y =>x2+x =y2+y; (x,y)<=R Por tanto Res una relación de equivalencia. En Rse define las siguientes relaciones V x, y e R a) R ={(x,y)e RxR/|x-1| =|y-l|] b ) R ={(x,y)eRxR/x2-x =y2-y¡ Demostrar que son relaciones de equivalencia, Justifique su respuesta » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP,TULOI P E I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO ; www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « m x iv v A iv m t a) R ={(x,y)eRxR/|x-l| =|y-1¡j X—1; X >1 |x-1| =----- ; |y-l| =| y - 1 : y a l ' ' [l-X ; X <1 ' ll- y ; y <1 De donde: x =y; y =-x i) Res reflexiva: (x,x) eR; y =±x ii) R es simétrica: (x,y) eR, y =x => x =y; (y,x) e R iü) R es transitiva: (x,z) € R, y =z =>(z,y) e R, z =y => x =y; (x,y) e R Por tanto es una relación de equivalencia b) R={(x,y)e RxR/xe-x =y2-y} i) R es reflexiva: (x,x)eR, x2-x =x2-x ii) R es simétrica: (x,y) e R,x2-x =y2-y => y2-y =x2-x(y,x)e R iii) Res transitiva: (x,z) eR, x2-x =z2-z => (z,y)eR,z2-z =y2-y x2- x =y2- y (x, y) e R Por tanto es una relación de equivalencia Siendo A ={1,2,3,4,5,6} estudiar las propiedades de las relaciones binarias a) R ={(x,y) e AxA/x +y>0) b) R ={(x,y) e A x A / x - y <2} c) R ={(x,y) eA x A /x < y} jm m M 'T im r a) R ={(x,y) e A x A /x +y>0} Desarrollaremos los pares ordenados para evaluar las propiedades SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 103. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS u CAPr toi R = {(1 ,1 );(1 ,2 );C 1 i3 ) ;(1 ,4 );(1 i5 ) ;(1 ,6 );(2 i 1 );(2 i2 );(2 ,3 );(2 ,4 );C 2 ,5 )/2 ,6 );(3 ,1 );(3 ,2 ); (3 ,3 ); (3 ,4 ); (3 ,5 );(3 ,6 );(4 ,1 );(4 ,2 );(4 ,3 );(4 ,4 ):(4 ,5 );(4 ,6 );(5 ,1 );(5 ,2 );(5 ,3 ),(5 ,4 ), (5 ,5 ); (5 ,6 );(6 ,1 );(6 .2 );(6 ,3 );(6 ,4 );(6 ,5 );(6 ,6 )} R es reflexiva: (x,y) <=>(y,x) Res simétrica: R es transitiva: b) R ={(x,y) 6 AxA/x-y<2) Desarrollaremos los pares ordenados para evaluar las propiedades R =KU );(' ,2);(1,3);(1,5);(1,6);(2,1)¡(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(3,2X3,3);(3,4); C3,5);(3,6);(4,3)¡(4,4);(4,5>¡(4,6);C5j4);(5,5); (5,6);(6,5);(6,6)| No es simétrica, si reflexiva, no es equivalente c) R ={(x,y) € A xA /x <y} Desarrollaremos los pares ordenados para evaluar las propiedades R ={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(3,3);(3,4);(3,5); (3,6);(4,4);(4,5);(4,6);(5,5); (5,6);(6,5);(6,6)} No es simétrica, si reflexiva, no es equivalente A ={1,2,3,4}; R ={(x,y) e AxA /x =y v x +y =3} arTTirírr¡w Desarrollamos la relación dada R ={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(1,2);(2,1)} Reflexiva: (x,y) o (y,x) Simétrica Transitiva En Z define la relación R :{(x,y)eZxZ/x2+x =y2+y¡ Graficar R. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I _ www.solucionarlos,net www.edukpdrtfvwffl www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Completamos cuadrados 2 2 x +x =y +y XH-- 2 iY i - r ly+i) X+ 2 V+2 1 1 1 1 x+-=y+- v xh— =—y — 2 2 2 2 x =y v y =-1- xY A , , - -3 -2 -1 1 2 3 X X1 Q Clasificar la relación R definida en Z x Z mediante (a,b) R (a',b’) <=>ab’ =ba’ Si ab' =ba’ => La relación es reflexiva. (a,b) R (a’,b’) => La relación es simétrica y transitiva Por tanto, R es equivalencia Definimos en el conjunto Z x (Z - 0) si la siguiente relación: (a,b) R (c,d) o ad =be Z x (Z - 0) => (a,b) R (c,d) o ad =be => Relación transitiva (a,b) R (c,d) relación simétrica reflexiva R es de equivalencia (Jj) Demostrar que la relación dad por R ={(a,a);(b,b);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} i ■Bww.etíukperu SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 104. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) El conjunto A ={a,b,c,d} es una relación de equivalencia Solución R ={(a,a);(blb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Simétrica: R ={(a,a);(bfb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Reflexiva: R ={(a,a);(b,b);(c,c);(d,d)} Transitiva: R ={(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Por tanto R es de equivalencia O Discutir y graficar las relaciones siguientes: a) xy2-3y2-1=0 « ■ m e m i — 1 Extensión: Dominio y2(x-3) =1 => y =±-j== — >/x-3 x-3 >0 D={xeiH/x>3} Rango: xy2=3y" +1 => x = — => R =(y e SR/y * 0 Asíntotas Asíntotas Verticales; x =3 Asíntotas Horizontales. x =< Simetrías: Eje x: Cambiamos y por-y: x(-y)2-3 (-yf -1 =0 =>xy2-3^ Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: -xy2- 3y2-1 =0 =>xy2+3 / +1 = No hay. r r | soLucioNARio análisis matemájico i . www.solucionarlos,net capii i => x >3 ■2-l= 0 0 vvww.edul'.peru www.solucionarlos,net CAPITULO I b) ■www“d’jfcpe”; .................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS </ En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y) —x(—Y)" —3(—y)2~1 =0 => xy" +3y 1=0 No hay. y2(x2-4) =x+2 f Extensión: Dominio: y2(x2-4) =x+2 => y± -X,+^ = V x2- 4 x +2 >0 => x >-2 => D ={x € R /x >-2} =± y/x+2 Rango: x2y2-x-4y2=0 => x 1 ± ^ 4 / ( 4 / ) i ±J 16y4+8y» 2y2 2y2 1±J(4y2+l)‘ 1±(4y2+1V x ----- -------=----— 2--- de donde: R ={y € */ y *0} Asíntotas Asíntotas Verticales; x =-2 Asíntotas Horizontales, y =0 Simetrías _ . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I BW www.solucionarlos,net
  • 105. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J C A P P 'JL O I Eje x: Cambiamos y por-y: (- y f(x 2-4) =x+2 =o y2(x2-4) =x+1 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: y2jj-x)2-4^ =-x +2 =>y2(x2-4))-x +2 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): (-y)^(-x)¿ -4j =-x +2 =>y2(x2-4) =-x +2 No hay. c) y2= 3-x Extensión: Dominio y2= y± JE-3-x 3-x V3-x 3-x>0=>x<3=> D ={xeR/x< 3) Rango: 3y2- xy2=x2 => x2+xy2- 3y2=0 =y ± V 7 W =y iy V Z ± ]2 de donde R ={y e9?} 2 2 Asíntotas Asíntotas Verticales; x =3 Asíntotas Horizontales. No hay. i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net nvw.edukperú.cpffi www.solucionarlos,net CAPITULO I .................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Simetrías: 2 2 Eje x: Cambiamos y por-y: (-y)~= —— => y2=—— Si hay 3-x 3-x Extensión: Dominio y = 1 1 2x2-3x-5 ( x + 1)(2x-5); * * 1; X * 2 Rango: 2x" -3x-5 - — => 2x2-3x-5- —=0 fórmula general y y y±/y4+12y2 2 3±i 9+40- 8 V y de donde R ={y €'.)?} de donde: 49- >0 => —- >0 4 y y SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I gSfl www.solucionarios.net
  • 106. www.solucionarlos,net R =|y e'.R/y e (- o o ,0 ]u » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ............................. CAP 0101 Asíntotas Asíntotas Verticales; x =-1; x =- Asintota Horizontales; y =0 Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: y(2x2—3x —5) =1 =>-y(2x2-3x-5) =1 No hay Eje y: Cambiamos x por -x: y(2x2-3x-5)= 1 => y(2x2+3x-5) =1 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); y(2x2-3x-5) =1 =>-y(2x2+3x-5) =1 No hay. Interceptos: Eje x: y =0 => No hay 1Eje y: x =0 => y * -— 5 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net .vww eaukoer'j » www.solucionarios.net CAPITULO I ........ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « e) x'V -x* +y2+1 =0 J»TiTTTrer.T7l Extensión: Dominio y2(x2+1] =x2-1 x~-l>0 (x-l)(x +1)>0 D =|xe '.H/x € oo,—1J 00^} Rango: x2(y2- l) =-y2-1 => x =± ^ )~ j 1- y2>0 => y2-1 <0 => (y-1)(y +l)<0 R ={y g 9í/x € (-1,1)} Asíntotas y =± x —1 x2+1 A. Horizontales, y =±1-A. Verticales; No hay Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: x2y2-x2+y2+1=0 => x2y2-x2+y2+1 =0 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: x‘y2-x2+y2+1=0 => x2y: -x2+y2+1=0 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): x2y2-x2+y2+1=0 => x2y: -x: +y2+1=0 Si hay. Interceptos: Eje x: y =0 => x2=1 => x =±1 wvm.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 107. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAP,T,,LO I Eje y: x =0 => y; =-1 No hay f) x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0 Extensión: a r r f f li1* 4 x -1 Dominio y 2 ( x 2 - 4 ) = 4 x L> => y = ± ^ — — ^ x 2 - 4 > 0 => ( x - 2 ) ( x + 2 ) > 0 D={x € ïH/x e (-00,- 2 ) u (2, oc)} Rango: x‘ ( y 2 - 4 ) = 4 y 2 =>x = ± R ={ y e * } Asíntotas -A. Verticales; x =±2 ; Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: 4 y y2- 4 A. Horizontales, y =±2 H SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net w a “»djkp^ru.cím www.solucionarios.net CAPITULO I .c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (-y)2(x2-4)= 4xa =* y2(x"1-4) =4x2 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: ys[(_x)2-4j=4(-x)2 => y2(x2-4) =4x2 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); (-y2)[(-x )'-4 ] =4(-x)2 => y2(x2-4) =4x2 Si hay. Interceptos: Eje x: y =0 => x2=0 => x =0 Eje y: x =0 => y2=0 => y =0 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 207
  • 108. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITM'CH g) xy-2x-y-2 =0 2x -f 2 Extensión: Dominio y(x-1) =2x+2 => y =--- — => d ={x e <R/x * 1} Rango: x(y-2) =y +2 => x =^-^- => R ={y e'J?/y * 2} y-2 v Asíntotas - A. Verticales; x = 1 A. Horizontales, y =2 Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: -x(-y) +2x-(-y)-2 =0 => xy +2x +y-2 =0 No hay Eje y: Cambiamos x por -x: -(-x) +2(-x)-y-2 =0 => xy-2x-y-2 =0 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): -<-x)(-y) +2(-x)- (-y) - 2 =0 => -xy-2x +y- 2 =0 Si hay Interceptos: Eje x: y =0 => x =-1 Eje y: x =0 => y =-2 208 * SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukoeru.conv www.solucionarlos,net h) y2(x +1) =4 Extensión: Dominio y2(x +1) =4 =>y2 =2 =>D={xeiH/x>-l} 4 Rango: x+1=— R =|y e M /y * 0} Asíntotas -A. Verticales; x =-1 A. Horizontales, y =0 Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: (-y)'(x +1) =4 => y2(x +1) =4 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: y-(-x +1) =4 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); y2(x +1) =4 => y2(-x +1) =4 No hay. Interceptos: Eje x: y =0 => no hay Eje y: x =0 => y =±2 CAPITULO I i EDUARDO ESPINOZA RAMOS « www eduKper, -.qiti SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 109. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I O Discutir y graficar las relaciones siguientes a) xy2+xy-6x-3 =0 Extensión: Dominio xy2+xy-6x -3 =0 => y = -±yjx' +4x(6x +3) 2x _-x±^x(25x +12) V ~ 2x De donde: D=h e íí/ x e (- o o ,- — 1 ' 25 Rango: x(y2+y-ó)=4 => x = (0,co) R ={yeüH/y *-3, y *2} A. Horizontales, y =-3; y =2 (y +3)(y-2) Asíntotas *A. Verticales; x =0 Simetrías: Eje x: Cambiamos y por-y: x(y2-y-ó) =4 No hay Eje y: Cambiamos x por-x: -x(/2+y-6) =4 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): -x(y2-y-6 ) =4 No hay. Interceptos: Eje x: y =0 => x =-- no hay Eje y: x =0 => No hay 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wvw ed-.kperu.corp- www.solucionarios.net CAPITULO I b) EDUARDO ESPINOZA RAMOS « y = 3x2-8x +4 3x2 Extensión: Dominio y = 3x2-8x +4 3x2 Rango: x2(y +3) +8x-4 =0 => x = => D={x eiR/x *0} -8±>/64+16(y-3) 2(y2-3) 64+16(y-3)£0 n y 2- 3 *0 => y >-1 o y^V^) R =jye'.R/y >-1 ny*> /3j Eje y =0 => 3x2-8x +4 =0 Asíntotas Asíntota Vertical: asíntotas Asíntota Horizontal: y =3 (3x-2 ) (x-2) =0 2 x =- 3 x =2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 110. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Simetrías Eje X: x =-x => y = 3x2+8+4 Eje Y: y =-y => y = 3x2+8+4 Origen y: x => -x = y =-y Eje x =x =0 =>3 3x2+8+4 d) R =ux,y)e W2/y = 1 2x -3x-5 Dominio y = i 1 2x2-3x-5 (2x-5)(x +l) D={yeiH/x^ - 5 / 2 a x ?¡ -1} Rango: Despejamos x en función de y: 2x2-3x-5-—=0 => x =3- 3± 9+40+- y —+49 >0 => 49y +8 >0 y y Se toma los intervalos positivos D=•{x g '.H/x e (-oo,—l V '49 u <0,oo SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO I www ©oukperu.corrí www.solucionarios.net CAPITULO I 2 4X c) y =- x* -4 m m m Dominio dejando en términos de x y =-7--.^= , elevando al cuadrado se tiene: y£ 4 I) Extensión ±2x Dominio: y = Vx2-4 x2- 4 >0 => (x - 2)(x +2) >0 D ={x e '.H/x e (-oo,-2) kj (2,+x>) {0} J II) Interceptores: eje X y =0 => x III) Asíntotas: IV) Simétricas: ejeX: y => -y ¡ 4x2 2 4x2 (-y) = 75— r => * = d) y = x* - 4 ' x2- 4 Rango: x2y2-4y2=4x8 => x2(y8-4) =4^ ±2y x = .— —- >/y2-4 y2-4>0 => (y-2Xy +2)>0 x2+1 2x -5x +2 I) Extensión: 2x2-5x +2 =0 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 4x2 x2-4 .2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 213
  • 111. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS j Dominio: (2x - 1)(x - 2) * 0 x * - : X * 2 2 Rango: 2x2y-5xy+ 2y =x2+1 x2(2y-l)-5xy+ 2y-l =0 5y±j25y2- 4 (2 y - lf x = ---------- — 7------------ --------------- = > 2y-1*0 a 2(2y-l) A (5y-4 +2)(5y +4- 2) £0 A (y +2)(4y-2) £ 0 2 1 — oo > a y * - 4 2 r =y e í R / y e < - o o - 2 ] e) x3+xy2- y2=0 I) Extensión _,3 Dominio y2(x-1) =-x* => y± x3 x3 £ 0 => --- <0 de donde se tiene: D 1-x x-1 Rango: y e II) Asíntotas AV: x = 1 AH no hay SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net CAPITULO I 25y2-4(2y-1)>0 ={xett/xe[0,1 >} ------------ j wwvv.edufcpenj co?»- www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f) y = III) Simétricas Eje X: y => -y x3+x(-y)2-y2=0 Origen: x => -x: -x3- xy2- y2=0 y => -y IV) Interceptor Eje X: y =0 => x =0 Eje Y: x =0 => y =0 x(x +3) (x +2Xx-2) Extension Dominio D={xeíR/x*±2¡ Rango: x2y-4y =x2+3x => x2(y-l)-3 x -4 y =0 _ 3±yj9 +]6y(y—1) ^ 9+16y^y _ 1j ^ 0 A y#1 2(y —1) v ' 16y2-166+9>0 a y * l y2-y +¿ > 0 a y * 1 lo f i y c y — + — > 0 a y * 1 = > 9í = {y e íR / y *1} 2, 16 1 J II) Asíntotas: AV: x =±2 AH: y = 1 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 112. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) III) Interceptor: Eje X: y =0 => x =0 x =-3 Eje Y: x =0 => y =0 IV) Simétricas x(x +3) Eje X: y => -y =——--- NO x y x(x-3) x2-4 Eje Y: x => y =—^— — NO Origen -x _ y = x(x-3) N0 y => -yI x -4 16- 8y(5 - 4) >0 a y * 0 8y2+10y +16>0 a y * 0 y2-5y +2>0 n y * 0 y ——I - — +2^0 o y * 0 2 J 4 5^ y _ 2> 17 - — £0 n y * 0 4 5 Vl7 V 2 2 f 5 y/l7 yT T >0 a y * 0 . . -2Vl7 5+VÍ7 Asíntotas A =ye'¿R; ye<-oo------ , ------- > A.V. x =±1 A.H. No hay fü SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO I _________________J www.edukperu.coiT www.solucionarlos,net CAPITULO i ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « i 5 5 III) Inteceptor y =0 => x = x =0 => y =- IV) Simétricas AY_5 No -4x-5 Eje Y: x =x => y = x => -x y => -y 2(1’ - 1) -4x-5 ^ _y _ 2(x2-1) No No Discutir y graficar las relaciones siguientes: x2-15 a) y = x+1 Extension: Dominio D =(x € S.H/x * -1} Rango: xy +y =x2-25 => x2-xy-25-y =0 x = _ y±ly2+4(25 +y) 2 y2+100+4y >0 (y +2)2-4 +100>0 => (y +2)2+96 >0 Asíntotas A.V. x =-1 A.H. No Hay III) Interceptor EjeX =>y =0=>x =±5 '.R={xer} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 113. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I Eje Y => x =0 => y =-25 IV) Simétricas x2-25 Eje X: y =-4y => -4 = eje x =>-x=> -y = x+1 x2-25 -x +1 x=> -xI x2-25..^ ongen >- y =-----NO y => -yj -x +1 V =- /X0 5 x; x2-1 * 0 => x* ±1 2(x -l) J B E 2 2 E Ü J W D ={xc'.R/x * ±1} 2x2-5x +2 Y 3x2-10x +3 I) Extension Dominio 3x2-10x +3*0 => (3x - l)(x - 3) * 0 x * —; x * 3 de donde se tiene: D=ix e W / x * l a x *3 3 1 3 Rango: 3x2y-10xy +3y =2x2-5x +2 x2(3y-2) +(5 +10y)x +3y-2 =0 10y-5±V(5-10y)2-4(3y-2X3y-~2) 2(3y-2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www edjkperu.cotr www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « => (5 -1Oy)2- 4(3y - 2)2>0 a y * - 3 [5-10y-2(3y-2)] [5-10y +2(3y-2)] >0 Ay * | II. Asíntotas A.V. x =— a x =3 3 A.H. y =- 3 III. Interceptor EjeX: 2x2-5x +2 =0 => (2x-lXx-2) =0 x =—; x =2 2 Eje Y: x =0 => y =| IV. Simétricas Eje Y: y => -y „ 2x2-5x +2 Y ~ 3x2-10x +3 d) xy2-4x2+12x-3y2=0 I) Extension Dominio: y2(x-3)= 4x2-12x => y2= x^4x—— x-3 . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 219
  • 114. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ±— 3 ) ( jg ¿Q p j- jg s e rje n e . y=±2y[ A X * 3 V X-3 D= {xe'.R/x>0} y2 Rango: y2=4x => x =— R =<¡y€'JÍ/y II. Asíntotas A.V. No hay A.H. No hay III. Interceptor y =0 => x =0 x =0 => y =0 IV. Simétricas EjeX: y => -y (-y)! =4x =* y! =4x Eje Y: x => -x y2=-4x => NO Origen: x => -x-y2=4x y => -y NO CAPITULO i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . , www.solucionarlos,net _____________ f w w w edukperu com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « FUNCIONES Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones a) f c) f e) f S) f i) f k) f =Vx2-4x +3 2x2-x-1 x2+3x b) f(x) =>/l-|x| d) 5x+6 =Vx2-3x +2+ . 1 - h) f(x) = -x4+17x2-16 1 V3+2x - x = E I + E l V X +2 VVx +1 V^-w j) f(x) =Vx-1 +2>/l-X +>/x2+1 4 . X " 3 yin +-----49 '(x+lj x+1 1) f(x) =, Vx2-3x-4 V2T- Vx2- 4 WTITfífíMf a) f(x) =Vx2-4x +3 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: Tomamos los intervalos positivos f(x) esta definido si x2- 4x+3>0 (x-3)(x-l)> 0 x € <-00,1] vj [3,+oo> Finamente D={xe9?/xe(-oo,l]w[3, «o)} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 115. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) b) f(x) =^1-|x| j K S . U H ' Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: l-|x|^0 =>l>|x| => |x|<1 => -1 <x <1 Finamente se tiene: D ={xeW /xe [-1,1J¡ c) www.solucionarlos,net Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 4 ~ S ~ ° ^ x*~-4 ^ (x-2)(x +2) 1 V + V : V + 2 0 2 Tomamos los intervalos negativos: x e <-oo,-2>vj [0,2> Finalmente D =|xe9í/xe(-oo,-2)^[0,2)j -------- _________________ M E U S S S IÜ JB / Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: x—1 ^ . x-1 ~9------ -0 7--- w--- 7-0 x —5x+6 (x-3)(x-2) 1 2 3 CAPITULO I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I .. www.solucionarlos,net www.ediikpéru com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « e) Tomamos los intervalos positivos: x e [1,2> vj <3,+oo> Finalmente D= jxe R/xe[l,2)u(3,+°o)J 2x2- x-1 x2+3x JgEÜÜEíMÍ Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 2x1-x - 1 >o ^ (2x+1)(x-l) ^ 0 x2+3x x(x +3) -3 Tomamos los intervalos positivos: x e (-oo,-3) u Finalmente D=ix e R/xe(-oo,-3)u R f(x í- (x t- 4)(x8- 9) 0 f( x )' l - x <+17x! -16 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: (x2-4)(x2-9) >o (x-2)(x +2)(x-3)(x +3) -x4+17x2-16 x4- 17x2+16 £0 (x-2)(x +2)(x-3)(x +3) ^ (x-2)(x +2)(x-3)(x +3 )^ n x4-17x2+16 (x-1)(x +1)(x-4)(x +4) ,V, A *dJkperu coir, SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 223
  • 116. _ t V 1 V ♦ V 1 V * V - / ♦ / -/7 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 Tomamos los intervalos negativos: x e (-4,-3]u[-2f-l)u (l,2 ]u [3 t4) Finalmente D ={xeR / xe(-4í-3]u[-2,-l)u(l,2]u[3,4)} g) f(x) =>/x2-3x +2 +-=^-1... /3+2x-x~ d ¡ B W Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: x2-3x+2£ 0 => (x-2 )(x-l)£ 0 3+2x-x2>0 => x2-2x-3<0 => (x-3)(x +l)<0 Tomamos los intervalos comunes: xe (-1,l]u[2,3) Finalmente D =|x e R / x e h) fM ~rVrv x~lxl www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Desarrollamos el valor absoluto: |x Si x >0 => x - lx l =x- x =0 por lo que la función no puede ser definida Si x<0 => x - lx l =x +x =2x pero x £ 0 para cumplir con la función raíz cuadrada. Luego x<0nx>0=><j> Finalmente D ={<}>} x >0 i-x ; x >0 224 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu com www.solucionarios.net i) CAPITULO i j) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x-2 I 1—x x+2 VVx +1 ____ Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: x-2 x+2 >0 n 1-x >0 n x+1 >0 x - 2 x +2 >0 n x <1 n x >—1 Como se ve, la intersección de los tres dominios es vacío; por tanto el dominio de la función es nulo: D ={<{>} f(x) =Vx —1+2>/l-x +Vx2+1 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 1-x^0 r x- I > 0 n x2+1 >0 =>x<1 n xe'Jí x = 1 => D={x =1} f(x)= I— 4-- +— -49 (x+1) x+1 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 4 x-3 4 +( x - 3 )(x +1)-49(x +1)‘! +— -49> 0 =>— *---- ^-------------- - >0 (x +1)‘ x+1 49(x +1)2- x 2+2x +3-4 (3x +4)(4x +3) (x+i y 48x2+100x+48 _12x2+25x+1 <0 => -------- ;--- <0 =>------- =---<0 (x +1) (x +1) (x +1) 4 3 <0 Puntos críticos x =— :x = — ; x =-1 2 O ’ A' www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 225
  • 117. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................... CAPITULO | XÉ 3 u(-1 -1 por lo tanto D, =-jx e R/x e ( -qo,- - Vx2- 3x-4 V21 ->/x2-4 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: x2-3x-4 >0 r>x2-4x >0 n V21-V8-4 >0 (x-4)(x +l)>0 n (x-2)(x +2)>0 n 21 >x2-4 (x-4)(x +1) >0 o (x-2)(x +2) >0 n x2-25 <0 (x-4)(x +1)>0 *n (x-2)(x +2 )> 0 n (x-5 )(x +5)<0 Puesto que tomamos la triple intersección: x e (-5, -2]u[4,5) Finalmente D=|x e R / x e (-5,-2]u[4,5)J x->/x2-16 Halle el dominio de la función: f(x) = x x+4 -x f(x)= ;->/x2-16 x-Vx2-16 x[x +4]-x x(|x +4j-2) El denominador debe ser diferente de cero y el argumento de la raíz positivo. ____________________ —-— ------- — -y wwsv edukperu c.oolj SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net _ www.solucionarlos,net CAPÍTULO I.......................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x“ -16>0 a x*0 A |x +4fl-1*0 (x-4)(x +4)£0 a x *0 a |x|+4-1 *0 (x-4)(x +4)£0 a x*0 a ¡xJ*-3 (x <-4 u x >4) a x *0 a [x|*-3 Puesto que [xj =-3 en -3<x <-2, tendremos: (x <-4 u x >4) a x * 0 a x<-3 a x >-2 Luego: x € <-00,4] u [4,+oo> por lo tanto D={x e R / x e (-oo,-4]u[4,+oo)J Halle el dominio de la función f(x) =^|x2—x—2|—|l - x2|-|x +1|+>Jx El argumento de la raíz cuadrada es siempre positivo |x2—x—2|—11—x2|—|x +1|>0 |x -2||x +1|-|x -1||x +1|-|x +1|^0 => |x+l|[|x-2|-|x-l|-l]>0 Simplificamos: |x—2|—|x—1|—1£0 Simplificamos el valor absoluto Valores críticos: x =-1; x = 1 1. V.A. X-1| x -2 (—co,—1) -x +1 -x +2 [- 1,2) X —1 -x +2 [ 2/00) X—1 x -2 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net I
  • 118. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO} Luego xe(-oo,-l) => - x +2 -(-x +1)-1 => 0<0 => xe(-oo,l) x e [l,2 ) => -x +2-(x-1 )-1 >0 => - 2x+2 +1-1 <0 => x > 1 => x = 1 x e [ 2 , o o ) => x - 2 - ( x - 1 ) - 1 > 0 => - 2 > 0 => <p Luego, el dominio está dado por unión de las respuestas obtenidas D= jx €9?/ X €( - ° ° , 1 ] } O . x+1 x +2 i— Hallar el dominio de la función flxW * —--{-s—r +v 7-: v ' y|x|+1 |x|+3 En la segunda raíz 7- x >0 => x <5 k¡7i'w73s0^lx+1KM+3Hx+2l(M+1)S:0 Desarrollamos el valor absoluto: Valores críticos: x =-2; x =-1; x =0 1. V.A. x+2| x +lj X -x-2 —X—1 -X [-2,-1) x+2 —X —1 -X [ - 1.0) x +2 x+1 -X [0,eo) x+2 x+1 X Luego xe(-co,-2) => (-x-1)(-x +3)-(-x-2)(-x +l)>0 tSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu coi www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « "ft x2+x-3x-3-(-x2+2x-x-2)>0 2x2- 3x-1 £ 0 => x+• 3 -V Ì7Ì x+• 3+VÍ7 xe 3-VÍ7 nxs(-oo(-2) => xe (-oo,-2) D =•[x e 9?/x e (-00,-2)] Hallar el dominio de la función f(x) =^xsSgn(|xj +l)-1 +</4-x La función signo: Puesto que I x I + 1 >0 para cualquier valor de x tenemos sgn(l x I + 1) = 1 Luego: f(x) = . .-1 - +ij4-x Vx2-1 Dominio: x2-1 >0n4-x>0 => (x-1)(x +l)> 0nx< 4 -1 Luego D =jx € 9?/x € (-00,-1) n(l,4]| Dadas las funciones f(x) =xs-5x+5, g(x) =-2x +-Hallar el dominio de F(x)= f3(x)-4g(x) f(x) +3g(x) Hallamos la nueva función SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 229
  • 119. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO I F(x) = f3(x)-4g(x) (x2-5x +5)5-4 ¡5 -2 x ) f(x) +3g(x) x2-5x+5+3í ^ - 2Xj Puesto que el denominador debe ser diferente de cero, hallamos el dominio según: xz- 5x +5+5-6x =0 => x2-11x +10=0 =x>(x-10)(x-1) =0 Luego: D = ¡X€s.H/x *10a x *1} x2- 9 ; x <4 Determinar el dominio, rango y graficar la función f(x) = Dominio: x<4 n x >4 => x e R => D =x e R Para x <4; y >-9; x >4; y > 18 => R ={x € R/y >-9} 5x-2; x>4 Hallar el dominio de las siguientes funciones a) f(x)= ^ w b) f(x)= 1 2x- x ] J SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO l www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « C) f (X) = e) f(x) = 2x2 X - x x-3 <J) f(x) =|- 0 f(x) =|x'| s) í(x h J r ¿ h) f(x)= 4- x i) f(x) =Vx-xt k) f(x) =1->/8-x2-2x a) f(x) = j) f(x) =>/l->/4-x2 D f(x) =Vx2+4x-12 +- V 3x2 x+20- x2 X- - X Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x:'- |x |^ 0 => x2* |x j Esta condición solo se cumple si x =0; x = 1 Finalmente D= { x € M / x * 0 a x * 1 } 1 b) f(x) = 2x- x Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: 2x-|x|^0 => 2x*|x| Esta condición sólo se cumple si x =0 Finalmente D={x eíR /x *0 } SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 231
  • 120. www.solucionarios.net 2x2 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I c) f(x) = - [* ] Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x - |x ]*0 => x*|x|] Esta condición sólo se cumple si x =z, z entero. Finalmente D={xe9 i/x *z} d) f(x) =[- I X Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x-[xjvt0 => x * jx ] Esta condición solo se cumple si x * 0 Finalmente D ={x e y? /x * 0} 1 II e) f(x) = x-3 Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x - 3 *0 Esta condición solo se cumple si x * 3 Finalmente D={xe9?/x*3} f) f(x) =Ix '| La función mayor entero por no tener ninguna restricción es definida para todo x real: D ={ x e 9?} g) v Vx+1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.edukperu.qom www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Determinamos los intervalos donde el argumento de las raíces sea real: 2-x.„ x-2._ i V - /~¿0 => --- <0 X+1 X+1 Toamos el intervalo negativo: x e (-1,2] Finalmente D=jxeW/x€(-1,2]| h) f(x) = 4—x Se cumple r-¡— >0 por ser una raíz par x -1 Si x>0 => I x I =x de donde -—- >0 => -—- <0 x—1 x—1 V 1 V x e <1,4] o [0,+oo> =<1,4] Si x <0 => 1x1 =-x => ——— >0 => -—- >0 —X—1 x+1 - 1 4 x e (<*oo,-1 >u [4 ,+ x > ) n <-oo,0> de donde x e <-oo,-1> Df = {x / x e <-oo,-1> u < 1 ,4 ]} f(x) =Vx —x3 La raíz cuadrada debe tener un argumento positivo: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 121. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) x-xf >0 => x(x2- l)^ 0 => x(x-1)(x +1) <0 - 1 0 1 El dominio: D=|x e '.R/x € (-oo,-1]w [0,1]} j) f(x) =>/l-V4-xi’ La raíz cuadrada debe tener un argumento positivo: 4 - x2£0 1- V4-x2 >0 => x2- 4 <0 n 1->/4-x2 >0 (x-2)(x+2)<0 o l> 4-x2 => (x-2)(x +2)<0 n x2- (x-2)(x +2)<0 o (x +V3)(x->/3)>0 (x-2)(x +2)<0 o (x +V3)(x->/3)^0 El dominio: D =|x e '.R/x e [V3,2jj k) f(x) =l->/8-x2-2x 8- x2-2x >0 =>x2+2x-8>0 => (x +4)(x-2)>0 xe[-4,2] => El dominio: D ={x e 9?/x e[-4,2]} x2+4x - 12>0 r» x - x2+20>0 => (x +6)(x-2)£0 n x: (x +6)(x-2)>0 n (x-5)(x +4)<0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO I 3 >0 - x- 20 <0 www.edukpenj.c3fn www.solucionarlos,net c a p it u l o i ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « v : A -6 2 ' ' -4 5 Tomando la intersección de las gráficas obtenidas x € (<-oc,-6] u (2,+qo>) r<-4,5> de donde x e [2,5> El dominio: D= ¡x e ÍR /x € [2,5)} Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes: X2 ; X <1 a) f(x )= c) f(x) = -x3; x £ 1 >/x-2 ; x £2 x" +2x—3 ; x e (-1,1) b) f(x) = d) f(x) = 3 x - 2 ; - 4 < x < 4 x ; 4 < x < 6 x2- 4 ; x <3 2x-1 ; x >3 a) f(x)= , 3 X2 ; X <1 - x 3 ; X >1 Dominio: x < 1 u x > 1 =>X€'.R Rango: x<1 => x2>0 => y >0 x >1 => —x3<—1 => y >-1 D ={x e 9?) R =|y e'.R/y€ (-ao,-l]^j[0,oo)| . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 122. www.solucionarlos,net b) f(x) =l 3x- 2 ; - 4 S X S 4 ' 'X ; 4 <X < 6 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP|TULO I Dominio: -4<x <4 u 4<x<6 => -4<x <6 => D ={x e '.K/-4<x <6} Rango: -4<x <6; -12<3x < 12 => -14<3x - 2 <10 => -14 <y < 10 R ={y e 9í/y e -14 <y <10} c) f(x) = [Vx-2 ; x >2 x2+2x-3 ; x e (-1,1) Dominio: Df =<-1,1>w {2,+x> Rango: Rf =(-4,+oo> d ) f (x )= x2- 4 ; x <3 2x-1 ; x >3 Dominio: x <3 u x >3 => D ={x e V.K) x <3; y =x2- 4 => x‘ =y +4 => x =±>/y+4 y +4>0 =t> y >-4 => y e [4,+co> HSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net w w w K fu lT e r'j ••»in www.solucionarlos,net CAPITULO I I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X >3 Determinar el dominio, rango y graficar la función a) f(x) = |x+2|-x ; Si x e (-4,0)/4 - X ; Si X € (0,4) 2x-8 ; Si xe(4,oc) b ) f(x) = fx2—1; 4 <X <7 llxl ; x <4 c) f(x) = 2¡x) +2 6 -5 <x <1 1<x <4 -7 <x-5 d ) f(x) = [x -11; 4<x<7 ; x<4 e) f(x) =I x —1l +lx+1 I a) f(x) = ¡x+2|-x ; Si x e (-4,0) V4-x ; Sixe(0,4) 2x-8 ; Si xe(4,oo) »1 (c SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net y =2x - 1 => x = >3 2 y+l>6=>y>5=s>ye [5,+oo> Rf ={x /x e [-4,+x>)
  • 123. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................CAPITULO j a) f(x) = |x+2|-x ; Si x € (-4,0) /4-x ; Si x e (0,4) 2x-8 ; Si xe(4,oo) f(x)=V4-x 2x-8 II 1K> X 1 to - 4 <x £ -2 2 -2 <x <0 x € (0#4) x e(4,oo) 04 1 X CN 1 - 4 <x <-2 2 - 2 <x <0 V4-x x e (0/4) 00 1 X <N x g (4,oo) Es decir: f(x) = Dominio: D= {x e ìK/x e (-4,0) w (0,4)u(4,oo)} Y' b ) f(x) = x2-1 ; 4 <x <7 |x| ; x <4 Desarrollamos el valor absoluto: x = x ; x >0 -x; x<0 De donde f(x) = -x2—1 X -X 4 <x <7 0<x <4 x<0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net w w a e d jk p e rj c3m www.solucionarios.net CAPITULO I I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « jxJ +2 ; -5 <x <1 c) f(x) =< y/x ;1<X^4 6 ; -7 <x-5 Desarrollamos la función mayor entero ♦u M - -8 - 5 <x <—4 -5 ; - 5 <x <-4 -6 - 4 <,x <-3 -4 ; - 4 <,x <-3 -4 - 3 <x <-2 -3 ; - 3 <x <-2 -2 -2 <x <-1 -2 ; -2 <x <-1 => f(x) =•0 -1 <x<0 -1 ; -1 <x <0 2 0 <x <1 0 ; 1<x <1 4 x =1 1 ; x =1 yfx ; 1<x <4 b - 7 <x <-5 Dominio: D = {xeW /x£ l} Rango: R ={y e 1H/y =-8; y =-6; y =-4; y =-2; y =0; 1<y <2; y =4; y =6}
  • 124. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................. CAPTTUtO| X-1 = 4 ; 4 <x <5 5 ; 5< x <6 => f(x) = 6 ; 6 <x <7 [x—1D; 4 <x <7 ; x <4 La función valor absoluto !X1=|X ' X>° Luego f(x) = 1-X ; X <0 Dominio: D ={x e '.H/x <7} 4-1=3; 4 £ x <5 5-1 =4; 5<x <6 6-1 =5; 6 <x <7 Vx ; 0 ^ x <4 >/^x ; x <0 e) f(x) =Ix - 1I+Ix +1I Desarrollamos el valor absoluto Valores críticos: x =-1; x = 1 www.solucionarios.net l. V.A. X+1| x - 1 | (-00,-1) —X—1 - x + 1 [-1.1) X+1 —X+1 [1,®) X+1 X—1 -±- www.f*djkperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I .............................................. ( EDUARDO l& M PS « Luego: xe(-x ,-l): f(x) =-x +1-x-1 =-2x xe[-1,l): f(x) =—x+1+x—1=2 xe[l,oo): f(x) =x—1+X+1=2x Donde f(x)= -2x 2 2x x e (- x ,- l) xe[-1,l) x 6 [ i'30) 0 f(x )= (x2+4)[2x +3] Dominio: D ={xe'JÍ¡; Rango: D ={y e } Desarrollamos la función mayor entero n>2X +3<n +1 => n-3<2x<n-2 En algunos valores tabulados: n-3 ^ n-2 —— <x <--- 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 241
  • 125. www.solucionarios.net 0 1 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) [2x +3¡ = -2 -1 De donde: f(x) = S) f(x) = ^4-x2+2 - <x <-1 2 •1<x<-- 2 -- <x <-2 2 2 <x < 2 0 x2+4 -2(x2+4) -x2-4 -2 <x <2 x >2 x <-2 — <x <-1 2 -1< x < 2 - - <x <-2 2 -2 <x <-- 2 Solución Dominio: D ={xe9í/x^-2} ; Rango: D={yeiH) Desarrollamos la función mayor entero n>2X +3<n +1 => n-3<2x<n-2 En algunos valores tabulados: n-3 n-2 --- <x <---- 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net CAPITULO I ------------¿ www edukperu 'Qtti www.solucionarios.net ti»*™ ? I........................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(x) = V4- x2+2 2 3 -2 <x £ 2 2 <x <3 3 <x <4 x <-2 h) f(x) = |2x||; xe[0,3] 2[xJ; xe(3,5] Sglgción Dominio: D=jxe;H/x6[0,5] ; Rango: D ={yez} Desarrollamos la función mayor entero mmob n <,|2x| <n+1 -f >x > f 0<x <- 2 -<x<1 2 1áx< - 2 , , |s x < 2 2 4; 2<x <- 2 5 ; - £ x <3 2 6 ; 3 <X <— 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 126. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ..................................................... CAP!TUL? ! !x| = 3 ; 3 <x <4 4 ; 4 <x <5 De donde f(x) = 5 ; 5<x<6 0; 0 <x <- 2 1 ; | s x < 1 2; 1 S X < ¡ 3 3; - <x <2 u 3<x <4 2 5 4: 2 < x < - u 4 < x < 5 2 5 5; - < x < 3 u 5 < x < 6 2 6; 3<x <^ i) f(x) = 2|x] ; xe(-5,l] >/x ; xe(l,4] x2+3 ; x e(-7,-5] > 'V $QlMCl$n El dominioD =|x e sJ?/x e(—7,4]| Desarrollamos la función mayor entero -10 -5 <x <-4 -5 - 5 <x <-4 -8 - 4 <x <-3 -A - 4 <x <-3 -6 - 3 <x <-2 -3 - 3 <x <-2 -4 -2 <x <-1 [x| = -2 -2 <x <-1 de donde f(x) =-2 -1 <x <0 -1 -1 £x <0 0 0 <x <1 0 1<x <1 2 x =1 1 X =1 1<x <4 Xs+3 - 7 <x <,-5 V ±1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net www.edukperu.som www.solucionarios.net CAPITULO I { EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes a) f(x) =|x+l|+|x-l|-2|x| b) f(x) =I xl-|x| c) f(x) =|x+2|+|2x-2| +|5-x| d) f(x) =|x||x-l| e) f(x) =|x-2| +|x+1| f) X II X + JO + X 1 to 1 X 1 g) f(x)=V2l 2x+5l~ 4I xl h) i) f(x) =|x|-[x] j) '(* ) = |x+3| ; x<0 2(x—1)2 ; x e [0,2) 2-|x-4|; xe[2,oo) k) f(x) =-X2 X+11-1 L si -3 <x <4 x+3 I) f(x) =—>/2x-Vx , si x e [1,9] — a) f(x) =|x+l|+|x-l|-2|x| Desarrollamos el valor absoluto; Valores críticos: x =-1; x =0; x =1 1. V.A. |x+1| M |x-l| (-00,-1) —X—1 -x -x +1 [-1,0) x+1 -x -x +1 [0,2> x+1 x -x +1 [2,») x+1 x X—1 wvw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 245 k.í-4f
  • 127. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Luego: xe(^o,-l): f(x) =-x-1-x +1+2x =0 xe[-1,0): f(x) =X +- X +1+2x =2+2x x e [0,1) : f(x) =x+-x +l-2x =2-2x x € [i,00) : f(x) =x+1+x-l-2x =0 Donde |x| = O ; x e ( - 00, - 1) 2+2x ; x e [—1/0) 2-2x ; x e[0,1) 0 ; x e[l,oo) Dominio: D ={xe9í) Rango: 0<¡y<¡2 => R ={ye9í/ye[0,2]j b) f(x )- |x |- H Desarrollamos la función mayor entero: n <x <n + 1 1-1= 0 ; 0^ x <1 1 ; 1£ X <2 -1 ; -1< x <0 -2 ; - 2 <x <0 f(x)= -x 1—X —1—X - 2 - x 0 £ x <1 1<x <2 -1 £x<0 -2 <x <-1 (8 Rango: R ={yelH/y-1<y<0} c) f(x) =|x+2| +|2x-2|+|5-x| V.A. 1. x+2| |2x-2 x—5| (-oo,-2) -x-2 -2x +2 -x +5 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukperu.corc www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « [-2,1} x+2 -2x +2 -x +5 [1,5) x+2 2x-2 -x +5 [5,<x>) x+2 2x-2 x-5 Determinamos la correspondencia xe(-oo,-2): f(x) =-x-2-2x+2-x+5 =5-4x xe[-2,l): f(x) =x+2-2x+2-x+5 =9-2x xe[l,5): f(x) =x+2+2x-2-x+8 =2x+5 x e [ 5 , o c ) : f(x) =x+2+2x-2 +x-5 =4x-5 5-4x xe(-oo,-2) La función f(x) = 9-2x xe[-2,l) 2x+5 xe[l,5) 4x-5 xe[5,oo) Rango: R ={yeiR/y> 7} d) f(x) =|x||x-l| =|x2-x| Valores críticos x2- x =0 => x =0 ; x =1 x2- x; x <0 u x >1 La regla de correspondencia f(x)= e) f(x) =|x-2|+|x +l| Desarrollamos el valor absoluto Valores críticos: x =1; x =2 x- x2; 0 <x <1 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 128. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULOI 1. V.A. x+l| x-2 -x-1 -x +2 [-1,2) x+1 -x+2 M x+1 x-2 Luego xe(-oo,-1): f(x) =-x +2-x-1=1-2x xe[-1,2): f(x) =-x +2+x+1=3 x e [2,oo): f(x) =x-2 +x+1=2x-l De donde f(x) = 1—2x ; x€ (-oo,-l) 3 ; x e [-1,2) 2x—1; x€[2,oo) f) f(x) =|x+2|+|x-2|-|x|-l J I E ¡ 2 ¡ E ¡ ¡ M Í Dominio D ={xe9í} Desarrollamos los términos en valor absoluto Valores críticos: x =-2, x =2; x =O VA. 1. x+2| X x—2| (-00'-2) -x-2 -X -x +2 [-2,0) x+2 -X -x +2 1-------1 O 7o x+2 X -x +2 M x+2 X x-2 e(-co,-2): f(x) =-x-2-x +2+x-1 =-l-: V SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO i xe[-2,0): f(x) =x+2-x +2+x - 1=3+x xe[0,2): f(x) =x+2-x +x-x-l =3-x x e[2,00): f(x) =x+2+x-2-x-1 =x-1 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « De donde: f(x) = —1—x x+3 3-x x—1 X€ (-00,-2) x e[-2,0) xe[0,2) X €[2,+00) Rango: R =jy e ^ / y > l} g) f(x )=>/2[2x+5j-4|[x] §> x£f ; r-x| Tnyni,w r Dominio: 2[x +5]-4[x|>0 2[2x]-4[x] +10£0 =>[2x]-2[xJ+5^0 => D ={xeüR} Ahora determinamos la regla de corresponde para las expresiones de mayor entero WWW «dukper-.i com " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 129. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS n<[2x|<n +l =>=* n ^ lxJ<n +l => n<x<n +1 Evaluando para valores comunes de n: VÌÓ ; - l< x < — 2 f (x) = Y* VÌ2 ; -- <x <0 2 VÍÓ ; -0 <x <- 2 V Ì2 ; - < ,x < - 2 2 VTo ; - ú x <- ' 2 2 OVI2 Vio -i j . 0 2 Rango: R ={y e vJÍ/y =VÍ0; y =VÍ2) h) f(x) =^|x-2]-[x¡ = ^|x]-2-[x] =V-2 No existe _ _ íx—|x| ; x£0 . . i) f(x) = x +íxl =•! _ de donde D={xe'.R v ' 1 1 11 1 |-x-[xj; x <0 Desarrollamos la función mayor entero: n <[xj <n+1 | x | = 0 ; 0 <x <1 1 ; 1<X <2 -1 ;- 1 < X < 0 -2 ; -2 <x <-1 f(x) = x ; 0 £ X < 1 x-1 ; 1<X<2 1—X ; -1 <x <0 2- x ; -2 £ x <-1 El Rango: R ={yett/y> 0} ! SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . . www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « j) f(x) = |x+3| ; x<0 2(x-1)¿ ; x e [0,2) 2—|x—4|; x e [2 ,x ) Desarrollamos la función valor absoluto |x+3¡ =j X+3 ; X i -3 ; ¡x-4| =j X~ 4 ' X i4 1 1 l- x - 3 ;x < - 3 1 1 Ì4-X ; x <4 En la función dada: f(x) = -1-3 ; x <-3 x +3 ; -3 <x <0 2(x —l)2; 0<x<2 x-2 ; 2<x<4 6-x : x>4 ,/ * of x+l - l] k) f(x) =-x‘ --- '— si - 3 ^ x <4 x +3 J Desarrollamos el valor absoluto x + 1- X +1 ; X >-1 X-1 ; X <-1 f(x)= X2 [l-x —1—1|| A x+3 X’ |-x-1-l| x + 3 I ; -3 £ x£ -I ; -1 <x <4 f(x)= 2 [ - x -2 1 x I 1-----1 ; -3 <x <-1 fl x+3 J3J x+3 ; -1 <x <4 www.edukperu.com www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 130. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I O Para evaluar |—x —2| x+3 graficamos: y = -x-2 x+3 I) f(x) =-V2x-Vx, xe[l,9] Hallamos el dominio de la función. El argumento de la raíz cuadrada es siempre positivo, 2x->/x£0 n x>0 => 4x2- x >0 n x¿:0 Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones a) f(x) =2[xj-2x =2(|xJ-x) jM Cf¡iTrrai.irf D ={xe9t} f(x) = -2x ; 0 £ x <1 2(l-x) ; 1^ x <2 X 1 <M (N 2 <x <0 2 (- l- x ); -1 <x <0 2(-2-x); -2 <x <0 -3 -2 -1 b) f(x) =^5-|x-3| |x-3| = X-3 ; X >3 3-X ; X <3 f(x) = >/8-x ; 3<x<8 [V2 +X ; -2< x <3 iSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu.coin www.solucionarios.net CAPITULO I c) d) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « D ={x e*/x e[-2 ,8 } R, =[o,V5] f(x) =(2-3x] Dominio: D ={xe'JÍ¡- Gráfica: La regla de correspondencia para la función mayor entero: n-|2-3x]<n +1 => b<2-3x<n +1 => n-2^-3x<n-1 1 ; 0 <x <1 2 ; 2£ x <3 f(x) = -1 ; -1 <x <0 -2 ; -2 <x <-1 O á x , x ! . . i * :r n cW] J B E S S E E E jg f D, ={x e iR/x * 0} >x|=n => n<2x<n +l n ^ n+1 - <x <--- 2 2 0 ; 0 <x <- 2 - ; ^ x < l x 2 -2 . _ i á x _ i x 2 0 > x 2 f - es: 1— = I x jJ < = 0 = I+ [ jx J 3-x|=a f(x) = ; , a - = ( x ) ì SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 253
  • 131. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I R, = {ye 'Jí/y * 0} x i i í x . x^O o f(x) = r ir T ; X H A[xj +1 11 [- X , x<0 |x] +1=0 => 1-1= -1 =>-1 ^ x <0 D={x e'J?/x €<-oo-l > (0,+oo>j 8) f(X>=[ * - 3 H x ] lx - 311-1x1=1x1-3-1x1=-3 — > X £ h) f(x) =Ix|+^|x|-[x] |x|-|xj>° => |x|a|x| x >0 => x>|fxfl => x >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu coni- www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « * X < 0 —X 2: x | => x e '.H x á - [ - x ¡ D = { x e « } i) Repetida j) f(x ) -xf. -x¡ 2 - [[x {]> 0 => | x j< 2 -2 á x < 3 “ X ¡J- X Constnjir la gráfica de las funciones siguientes a) f(x) =Sgn(|x2—1|—1) MTfTYHlf18* Desarrollamos la función signo l'x )t (o (x)i (8 íí= 5 ± ii« * - ( r+. n ¿ 8 = ( x ) Í ( i |x2—1|—1=0 => |x2—1|=1 => x2—1=1 xs —1=—1 x2=0 'u x2=2 => x =0 O ±72 ÍQr“■Xy ~ x)(f*x)Los intervalos donde la función positiva, la función signo toma valor 1, donde es negativa toma valor -1 y en los valores críticos es cero. !f(x) = -1; X6<-72,72 >, x *0 0 ; X = 0 a X ± 7 2 _ e+xd^x 1 ; X €< -00, 7 2 > y j < 7 2 ,o c > ----------= .oinimoQ I X < R'3x} = ^bíK )b 3<J www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 132. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I O En cada una de las funciones dadas, hallar el dominio, rango, y hacer su gráfica a) f(x) = c) f(x) = (x +1)(x2+3x-10) x2+6x+5 4x2-9 2x+3 e) f(x) =[xJ+|x| +x+2 8) f W - t S í b) f(x )= d) f(x) = 0 f(x) = x2-10x-l |x2J-2x-l (x2+3x-4)(x2-5x +6) (x2-3x +2)(x-3) 1 |x] h) f(x) =Sgn([x-l]-l) +Sgn(|x-lj-l) i) f(x) =Sgn ( x +x- 6 X +1 a) f(x) = (x +l)(x2+3x-10) x2+6x+5 ' x2+6x +5 (x +l)(x +5) De donde D( ={x€íR/x*-1 a *-5} Rango: f(-1) * -1- 2 * -3; f(—5) * -5-2 * -7 => R ={y e'.R/x*-3 a x*-7} ¡aSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ca pitu lo i EDUARDO ESPINOZA RAMOS « b) f(x) = x2-10x-l :o .. c) f(x)= |x21—2x—1 Dominio: D ={xe'.R} Rango: D ={xel¡R} 4x2-9 2x +3 + 6 = d C= 0 = D + d if d 4 x ^ ,(2 x - 3 )(2 x 1 3 )= 3 v ' 2x +3 2x +3 2 Dominio: 2x+3 * 0 => x * de donde D=jx e '.K / x * - ^ Rango: y * 2 -3 *6 de donde R ={ye'JÍ/y *-6} www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 257
  • 133. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I © o Si f(x) =ax! + b x + c,f(-1 )+ f|^ l= j, f(-1) =0 y f(1) =8.Hallar f(5) g ¡ ' n rirn ii w En la función f(x) =ax2+bx +c f(-l) =0 => f(-l) = a-b+ c= 0 => b =a +c f(1) =8 => a +b +c =8 ei 15 A a b 15 f(-1) +f - =— => 0+- +- +C =•— v ; l 2 J 4 4 2 4 (1) en (2): a +c +a +c =8 => a +c =4 (2) en (3): a +2a +2c +4c = 15 => a +2c =5 De(4)y (5): b =4; c=1; a =3 La función es: f(x) =3x2+4x +1 =>f(5) =3(25) +4(5) +l =96 Determinar las funciones lineales ..(1) ..(2) ..(3) ..(4) ..(5) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.cont- www.solucionarlos,net a) f(1)= 1y f(3) =3 b) f(1) =3 y f(3) = 1 c) f(7) =Oy f(8) =9 MTTTTWlir La función lineal se define mediante:f (x) =ax +b a) f(1)= 1=> 1=a + b =>f(3) =3 => 3 =3a +b £,4- t f —ij s=tU , Restando ambas ecuaciones: 2 =-2a; a =-1; b =2 De donde: f(x) =2 - x b) fC1) = 3 => a +b =3 f(3) = 1 => 3a +b = 1 Restando ambas ecuaciones: -2a =2; a =-1; b =4 De donde f(x) =4 - x c) f(x) =ax +b => f(7) = 7a +b =O f(8) = 8a +b =42 de donde a =42 b =-7a =-7(42) =-294 f(x) =42x - 294 Si f esuna función rea de variable real tal que: f(x +2) =x2+x. Calcular: f(a +3)-f(a-3) 3 2a-3 ' 2 Se determina lafunción: u =x+2 =>x =u-2 =>f(u) =(u-2)2 +(u-2) ;'f ^ . ¡1 ¡ g L _ f r 19.0] 'M * f(u) =u2-4u +4+u-2 =u2-3u +2 => f(x) =x2-3x +2 Ahora: f(a +3) =(a +3)~ -(a +3) +2 =a2+3a +2 CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(a-3) =(a-3)2-3(a-3) +2=a2- 9a +20 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net ( . ! ________
  • 134. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ] CAPITULO I f(a +3)-f(a-3) a¿ +3a +2-a2+9a-20 _ 12a-18 _ 6(2a-3) _ 2a-3 2a-3 2a-3 2a-3 =6 O Si f es una función real de variable real tal que: f(x +l) =x"+3. Calcular: f(a + l)- f(l) -, a^O u =x+1=> x =u-1 => f(u) =(u-1)2+3 f(u) =u2-2u +l +3 =u2-2u +4 => f(x) =x3-2x +4 Ahora: f(a +1) =(a +1) -2(a +l) +4 =a2+3; f(1)=1-2 +4 =3 2 * b2- t^3(10Í3BUJ9 «"»bdlTIfe Obn6Jí?f». f(a +1)-f(l) a2+3-3 _ ---------- =•------- —a a a O Hallar el rango y graficar las funciones: ------- i; xe[-l,3] leluDl •Si y = -2x-1 (x-1)’ -2 te- 6)í-(€+ s)i ,r2 2 La gráfica que facilita el desarrollo de la función mayor entero [- 1 ; 1 - n/ 2 < x <1 + n/2 j o i xe[-l,1-N/2]u[l +>/2,3] El rango: R ={y =0, y =-1} *» fW=, p 3; xe[-2,1> SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu. www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Desarrollamos la función mayor entero en el intervalo dado V-x+1; -2 <x <-1 f(x) =x = -1; -2 <x <-1 -1 ; - 1< X <-0 0 ; 0 < X < 1 1 X h— ; -1 < x < -0 2 Vx ; 0 ^ x <1 Calcular el rango y graficar las funciones dadas f(x) = a) Desarrollamos el valor absoluto x+5 x^2 ; |x-2|>3 yjx2+4X-1 ; 0<X<1 2+|2x-5| ; 2 <x <3 I x—2 I >3 x-2>3 v x - 2 <-3 x >5 v x <-1 Luego la función f(x) = x+2+7 ; xe(-oo,-l)u(5,+oo) x-2 Vx2+4x-l ; 0<x<1 2+|2x-5| ; 2< x <3 Ahora: |2x-5|= 2x-5; x>- 5 5- 2x ; x <- 2 WWWedukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 135. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) De donde: f(x)= 7 1+ — y ; x e (- o o ,- l)u (5,+cc) yj(x +2)2-5 ; 0< x< 1 7-2x 2x-3 0 <x <- 2 - <x <3 2 b) f(x) = Vx2- 9-2; -5 <x <-3 |x+2|-3 ; 0<x<5 ; |x+2|= 3x-16 x-5 x >6 x+2 ; x >-2 -x-2; x <-2 De donde: f(x) = Jx¿-9-2 ; -5 <x <-3 —2|—3 ; 0<x<5lx 3x-16 x-5 x >6 c) f(x) = |x+3| ; -4<x<-0 3-x2; 0 <x <4 -2 ; |x| >4 x+3|= x+3 ; x >-3 -x-3; x <-3 f(x ). -x-3; - 4 <x <-3 x+3 ; -3 <x <0 3-xs ; 0 <x ^4 -2 ; x>4ux<-4 d) f(x) = -|x +4| Xs-4x-2 -x2+10x-22 -3 -8 <x <2 2<x <5 5 <x ^8 Ixl >8 CAPITULO i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.9djkperu.coni- www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(*)= x+4 - x- 4 2 (x- 2) - 6 25-22-(x-5)‘ -3 -8 <x <-4 -4 <x <2 2 <x <5 5 <x <8 x <-8 u x >8 f(x)= x+4 -x-4 vS -8 <x <-A -4 <x <2 (x-2)z-6; 2<x<5 3-(x-5)2 ; 5 <x <8 -3 ; x < - 8 u x > 8 WWWedjkperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 263
  • 136. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I _________ ÁLGEBRA DE FUNCIONES __________ J Calcular f±s, f g; I donde: f ={(1,2);(3,4J;(2,5);(4,1)I; S =!(3,-1);(2,1);(1,0);(0,2)¡ Definimos los demonios: Df ={1,2,3,4}; Dg ={3,2,1,0} Intersección de dominios Df n Dg ={1,2,3} Operaciones con funciones (f +g)(l) =f(l) +g(l) =2 +0 =2 => (1,2) (f +g)(2) =f(2) +g(2) =5+1=6 => (2,6) (f +g)(3) =f(3) +g(3) =4-1=3 => (3,3) f +S={(l,2);(2,6);(3,3)} f- g ={(1,2 - 0);(2,5 - 1);(3,4 - 1)} ={(1,2);(2,4);(3,5)} f-g={(1,2x0);(2,5x1);(3,-1x4)} ={(l,0);(2,'5);(3,-4)} rírí. Calcular f±g; f.g; - donde: f ={(-3,2);(0,0);(2,4);(3,-1);(4,3)}; S g ={(2,0);(3,4);(4,7);(6,2)} Definimos los demonios Df ={-3,0,2,3,4}; Dg ={2,3,4,6} Intersección de dominios DfnDg ={2,3,4} Operaciones con funciones SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f +S =t(2,2 +4);(3,-1 +4);(4,3 +4)| ={(2,6);(3,3);(4,7)} f - S ={(2,2-4);(3,1 +4);(4,3-4);} ={(2,-2);(3,5)¡(4,-1)} f-S={(2,2x4);(3,-1x4);(4,3x4)} ={(2,8);(3,-4);(4,12)} g={ K K 3'4}(4'4)H(2’2)( 3,'4)(4'4 0 Si: f ={(1,3);(2,6);(4,8);(6,2)}; g ={(l,2);(2,-1);(0,1);(4,5);(7,0)}. Hallar f ±g; f-S; - s Definimos los demonios: Df ={1,2,4,6} ; Dg ={1,2,0,4,7} Intersección de dominios Df nDg ={1,2,4} Operaciones con funciones f+g ={(l,3+2);(2,6-1);(4,8+5)}={(l,5);(2,5);(4,13)} f-g =((1,3-2);(2,6 +1);(4,8-5);} = {(1,1);(2,7);(4,3)} f-S={(1,3x2);(2,-1x6)¡(4,8x5)} ={(l,6);(2,-6);(4,40)} í-K*=!>*5 - Si: f ={(1,4)¡(2,5);(3,6);(4,-6);(5,-5)}; g - {(0,8);(1,3);(2,0)¡(3,7)}. Hallar f± g; f-S; - s ________________ Definimos los demonios Df ={1,2,3,4,5}; Dg ={0,l,2,3,4,5} www edukperuxom SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net ■rfi -
  • 137. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Intersección de dominios Df n Dg ={1,2,3,4,5} Operaciones con funciones f+g ={(1,4+3);(2,5+0);(3,6+7);(4,-6+0);(5,-5+10)} f +g ={(1,7);(2,5);(3,13);(4,-ó);(S,5)} f-g ={(1,4-3);(2,5-0);(3,6-7);(4,-6-0);(5,-5-10)} f- S ={(1,1);(2,5);(3,-1);(4,-6);(5,-15)} f.s ={(1,4x3);(2,5x0);(3,6x7);(4,-6x0);(5,-5x10)¡ f.g ={(1,12);(2,0);(3,42);(4,0);(5,-50)} 0 Sean: f ={(2,8);(8.4);(6,9);(4,7);(3,6);(1,5)}; g={(7,1);(3,2);(5,5);(10,5);(1,3)} Hallar f ±g; f.g; - s Definimos los demonios Df ={2,8,6,4,3,1}; Dg ={7,3,5,10,1} Intersección de dominios Df nDg ={1,3} Operaciones con funciones f+g ={(1,4 +2);(3,6+2)}={(l,6);(3,8)) f - S = {(1.5-3);(3,6-2)} = {(1,2);(3,4)} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ___i www ediAoeru www.solucionarlos,net f.g ={(1,5x3);(3,6x2)} ={(l,l5);(3,12)} ¡■{(’'DNHKM 0 Sean: f ={(4,1);(6,5);(5,4);(8,3);(9,2)¡; g ={(8,-5);(2,2);(5,-4)}. Calcular: f ± g; f-s; - s _________________ Definimos los demonios Df ={4,6,5,8,9}; Dg={8,2,5} Intersección de dominios Df nDg ={5,8} Operaciones con funciones f - g ={(5,4 - 4);(8,3- 5)} ={(5,0);(8,-2)} f+g ={(5,4 +4);(8,3 +5)¡ ={(5,8);(8,8)j f.g ={(5,4x4);(8,3x5)} =j(5,16);(8,15)} I - l í s A ' CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « *-5 Calcular f +g; f-g; f.g; - g 2x+1; x>1 x f.3x+l ; x<8 3x2 ; x >10 Í2X +1; x>1 í 3) f W 1 x = - 2 ;x < 0 : 3 W Í b) f(x)-{ 7/ XS1° ; g(x)-{ [X —1; X >11 7 ; X<10 ( x 13x—1 ; jx—1|<1 x ; X >3 Y ••• u : ooi SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 138. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULOI . f , , , x2 ; X>1 JVxTT; x>-1 C) f W 1 x - l | ; x „ ; S(x)=ix“ - 1: x<-l d) f(x )= x2 ; xe[-10-7) 2x ; xe[-4,0) ; g(x)=< 2x2-2; x e< 0,8 > X - X 2; X€(-8,-4] 3-x ; xe(-4,0] x‘ +2; xe(0,3] ^ , |2x+1; X€[0^) ( ,_}3x; x e (—1,1] e) f(x)=l x! ; xe[2,5) S W > ; xe(0,3] 0 f(x)= I W 1 X S ^ U ) . X c ll'4> 1 ' }3 - 2 x ; x e[3 ,6 ] ' 81 ’||x| ; x e [S,7> ,, v Ix2—1; Ixl <2 , , [x —1; 0 <x <3 3) f x = ’ 1 1 ; 3 x =’ 1 x ; x >2 |x +1; x<0 . . Í2x +1; x>1 . . [3x +1; x<8 a) f W Í » - 2 ; x < 0 i S <X )= W ; x>10 8 10 Intersección de los dominios DfnDg=<^,0>v_£l,8]u<10(-Ko> x2+x-l ; x<0 Operaciones con funciones [f +g](x) = 5x+2 ; 1<x <8 Xa+2x +1; x >10 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.e d jk perú www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « [f.g](x) = 3xi +xí!-6x-2 ; x<0 6x2+x-1 ; 1<x <8 2x4+X3 ; X >10 (x) = (3x+l) ; X<0, X »3 (2x +1)(3x +1); 1<X < 8 V 2 y ; x >10 n o i jru r) n o D ^ > n o i. b) f<x)= 1 ’ i, ; gW ’ X > „ _ í3x —1 ; |x-l| <1 Intersección de los dominios DfnDg=<0,2>u<3,10>w<11,+ao> 13x+6 ; 0 <x <2 Operaciones con funciones [f+ g](x) =<4x-2 ; 3<x<10 2x-1 ; x >11 21x-7 ; 0 <x <2 3x2-4x +1; 3 <x <10 X2- X : X > 11 f Lsj (x) = —^— ; 0 <x <2 a x * - 3x-1 3 X —1 3x-1 X —1 3<x <10 x >11 www edukperj.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 139. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ................................. CAPtTUL? I . . . x 2 ; x > 1 . . í y fx +T ; x £ -1 -1 Intersección de los dominios: Df nDg =<-oo,-1 > < 1,-k » > Operaciones con funciones [f +S » = 3x +6; x <—1 4x-2; -1<X<1 ; [f.gjx) = 2x -1 ; x >1 21x-7 ; x<-1 3x2-4x +l ; - l£ x < l x2- x : x >1 f LSJ (x) = 3x-l x—1 3x-1 x—1 X ; X < -1 ; -1 < X < 1 : X > 1 x2 ; xe[-10-7) x-x2; x e (-8,-4] f(x )~ 2x ; x e[-4,0) ; s(x)=- 3-x ; x e (-4,0] 2x2; x e[0,8) x2+3 ; xe(0,3] Intersección de los dominios Df, o Dg, => -8<x<-7 Df, o Dg,, =><f> Df, n Dg3 => <fi Df2 r Dg, => x =4 Df2nDg, => -4< x <0 Df2r Dg3 => </> SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Df, n Dg, => <p Df., n Dg3 => 0 < x < 3 Operaciones con funciones p+sl*)- Df„ r Dg, => <f> x ; - 8 < x < - 7 -28 ; x — 4 ; [ f - g » = 3 x 2 ; 0 < x < 3 2 x 2 - x ; - 8 < x < - 7 12 ; x = —4 x 2 - 4 ; 0 < x < 3 [f.g](x) = x 3 - x “ ; - 8 < x < - 7 ■f' 160 X =—4 ; 2 x 4 + 2 x 2 - 4 ; 0 < x < 3 .8. (x) = 1— x 2 1—x 2(x2-1) x +2 ; - 8 < x < - 7 ; x = -4 0 < x < 3 Í2x +1; x e [0,1) Í3x; xe(-1,l] e) f(X)=j x» , X < 2 ,5 ): * |2 x ; xe(0,3] Intersección de los dominios Df, n Dg, => 0 <x <1 Df2 n Dg, => <p Operaciones con funciones Df, n Dgj =><f>• Df2n Dg„ => 2 <x <4 nili 5x 1 ; 0 x <1 - , í—x—1 ; 0 < X < 1 P +8» H y + 2 x ; 2 £ x £ 4 .- [f -s» = L 2 á x s 4 [f-S](x) = 6 x 2 - 3 x ; 0 < x < 1 2 x 3 2 < x < 4 (*) = - — - ; 0 < x < 1 3 3x - ; 2 < X < 4 2 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 140. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) f) f(x)-í |x| ;X<-,'3). c lx u l^ XS(1'4^ ° f(X ,Í3 - 2 x j x<3,6] ' •' ' I |x| ; xe(5,7] Se desarrolla las funciones x ; x >0 x = -x ; X <0 f(x) = -x ; —1<X <0 x ; 0<x<3 3-2x; 3 <x <6 [5 ; 5<x<6 , v ' H b ; 6£x<7 ^ S(X) = Intersección de dominios Df, nDg, Df, Dg3 Df2n Dg2 Df3n Dg, Df3n Dg3 Operaciones con funciones /x-1 ; 1<x <4 5 ; 5 <x <6 6 ; 6<x<7 => <t> Df, n Dg2 =><P => <t> Df2n Dg2 => 1<x<3 => Df2n Dg3 => <t> =>3<x <4 Df3n Dg2 =>5<x<6 => x =6 [f +S » - x+V x-í ; 1<X <3 • 3-2x +>/x-l ; 3<x<4 8-2x ; 5<x<6 -3 ; x =6 CAPITULO I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net _____________ -l w w w .dduk.peru f‘ot' www.solucionarios.net CAPITULO I g) EDUARDO ESPINOZA RAMOS « P - S j x ) - X - /x- 1 1<x <3 3-2x -7 x -1 3 <x <4 X OJ i 00 1 •5 <x <6 -15 o ii X x+Vx-1 ; 1<x <3 [f.g](x) = j(3 - 2 x )- > / ^ T ; 3 í x <4 5(3-2x) ; 5 <x <6 (x) = -54 x =6 x yjx -1 3-2x Vx^T 3-2x 5 3-2x f ( x ) J x !- 1: M £2 ; g(x)= !X- ,:0SX<- 3 U I X ; x>2 u lx+1; x<0 Arreglamos la función f(x): I x I <2 => -2<x <2 f ( x ) J x' - , ; - 2 Sx S2 ' x : x>2 Intersección de los dominios Df, r>Dg, => -2 <x <0 Df, n Dg, => <j> Operaciones con funciones 1<x <3 3<x <4 5<x <6 x =6 Df, n Dg„ =>0 <x <2 Df n Dg., 2 <x <3 X' - 1+X+1 -2 <x <0 x’ +x ; - 2 <x <0 P +S jx )* « x2- l +x-1 0 <x <2 =•x2+x-2 ; 0< x <2 x+x-1 2<x <3 2x-1 ; 2<x <3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 141. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ; ..................................................... CAPITULO ¡ [ f - s » - [f.gjx) = x2-1 - x-1 X‘ - 1- X +1 x-x +1 (x2- l)(x - l) (xa—l)(x —l) x(x-1) -2 <x <0 0 <x <2 = 2 <x <3 -2< x <0 0 <x <2 = 2 <x <3 x2-x-2 ; -2 <x <0 x2-x ; 0<x<2 1 ; 2 <X <3 xJ +x2- x-1 ; - 2 <x <0 x3- xJ - x+1 ; 0 <x <2 x ' -x ; 2 <x <3 (* )« x2-1 X —1 x2-l X —1 X ; -2 <x <0 ; 0 < X <2 = X —1 2 <x <3 x—1 ; -2 <x <0 x+1 ; 0 £ x <2 x x^í -x / V [>/1-x ; x <1 , x Hallar (f +g)(x) Donde: f(x.)=^ ; g(x) = I vx ; x >4 x" -1 ; x <0 x x+5 0 <x <2 x >2 Intersección de los dominios Df, n Dg, => x <0 Df, n Dg3 => <f> Df2n Dg2 => <f> Df, rDg2 =>0 <x <1 Di, n Dg, => <¡> Df2r Dg3 => x >4 Operaciones con funciones [f +g](x) = Hallar (f +g)(x) Donde: >/l-x +x2 ; x <0 x+>/l - x ; 0 <x <;1 x+5+s[x ; x >4 SOL'JCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edjkperu.í www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(x) = X € (- 4 ,- 1 ] X€[0,2] p - 1! (xj +l- ; x €[0,2] ; g(x) |x-2| +3 ; xe(-l,0)u(2,3] 3 ; x€ (-4,-1] -2; x e [0,2 > - 3 ; [ - l , 0 > u [ 2 , 3 ] ■ m ' n w r Desarrollamos las funciones de mayor entero y valor absoluto: n<|x-l|<n +1 =>n<x-1<n +l => n+1<x<n+2 í-5 -4 -3 -2 - 4 <x <-3 - 3 <x <-2 -2 <x <-1 -1 <x <-0 n<|xl|<n +l =* 11x11= 0; 0£ x <1 1; 1<x <2 ; |x-2| = 2; 2< x <3 x - 2 ; x >2 2 - x ; x <2 II + X 1 ; 0 <x <1 2 ; 1<x<2 ; 3 ; 2 <x <3 |x-2| +3 j X+, ; X i 2 [5-x; x<2 De donde f(x) tote/ y 013jos lo^bm :4>asm -5 ; - 4 <x <-3 -4 ; - 3 <x <-2 -3 ; -2 <x <-1 i ii X <N 1 5 ; xe(-4,-1) n<[x]<n +1 => [xj =. 1 ; 0 £ X <1 ; g(x) =■-2; x e (0,2) 2 ; 1<x <2 3 ; x =2 -3; [-1,0)u[2,3) 5 - x ; —1<x <0 x+1 ; 2 <x <3 www edukperu.com www.solucionarios.netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 142. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Intersección de dominios Df, n Dg, => - 4 <x <-3 Df3n Dg, => -2< x <-1 Df5n Dg2 => 0 <x <1 Dfqn Dgj Operaciones con funciones: [f +g]( x) = Df2 n Dg, =>-3 <x < Df, n Dg3 => x =-1 Df„ n DSo => 1^ x <2 1 ; - 3 <x <-2 2 ; -2 <x <-1 -1 ; 0 <X <1 0 ; 1^ x <2 -5 ; X =-1 2 - X ; -1 <X <0 x - 2 ; 2< x <3 O Dadas las funciones definidas por Í4x +|xJ ; xe(-3,0) JI- x J- 5 x ; xe(-4,-l) [|x2+l|-3; x e (1,6) ' S X [ |x-3| ; xe(0,2) Desarrollamos las funciones de mayor entero y valor absoluto: n <flx1< n+1 x = - 3<x <-2 -2 <x <-1 -1 <x <-0 n<|-x]<n +1 => -n £ x >-n -1 => IIxU= 0; -1< X <0 1; - 2<x <-2 2 ; - 3<x <-3 3 ; -4 <x <-4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO I -2 Hallar (f +g)(x) www.solucionarlos,net lx-3| =j X~3 ' X£3 ; |x2+1¡= X2+1; V X € * (3-x ; x <3 1 CAPITULO! ( EDUARDO ESPINOZA RAMOt « De donde: |í f(x) = 4x-3 ; -3 <x <-2 4x-2 ; -2 <x <-1 4x-l ; -1.<x<0 x2+1- 3 ; 1<x <6 S(x) = 1-5x 2-5x 3-5x 3- x -2 <x £ -1 - 3<x <-2 - 4 <x <-3 0 <x <2 4x-3; - 3 <x <-2 <y 4x-2 ; -2 <x <-1 4x-1 ; -1 <x <0 x*-2; l<x<6 brn oó 20(K) u >0 ' j 0 >X :x- Intersección de dominios Df, o Dg, => <p Df3r Dg, => x =-1 Df, o Dg,, => - 3 <x <-2 Df, nDg„=>^ Df, Dg3 => <p ^ Dg3 => <f> Df, o Dg, => <f> Df3n Dg4 => <t> Operaciones con funciones pQ (f +g)(x) = 1 —X—1 2 1 x2- x+3 <K3 ¿CJ > X £ (J ; 0 Df„ o Dg, =>- 2 <x <-1 >x ¿ 2 - •í| Df, r Dg3 => <p Df2r Dg., => x =-2 Df, o Dg„ =><fi Df2r Dg, => <p Df, nDg., => <f> Df, r Dg4 => 4> ii(TK>t) 9 b n o i D D 6 < n ^in l <fi c= n ,KI Df, Dg, -3 <x <-1 a x * -2 ,gü c ¿KJ >1<x<2 C= jg a n ,K1 k,<r: #3 r JKJ x =-2 x =-1 1<x <2 , de donde se tiene: *3 r ,KI -www.edufcperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 143. www.solucionarlos,net ): EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I O (f +S)(x) = —X —1 2 1 x2- x+3 3 <x <-1 a x * -2 x =-2 X = —1 1<x <2 Hallar ('f'l , . X ; xe[-5,-l] I « “ 2!; *6[0,3) - (x) donde: fix) =J ; S(x) =1 , r_ I s J [2x ; x«[l,4] I x ! xe[3,6] Desarrollamos las funciones de mayor entero y valor absoluto: M - x ; x<0 ! X e [‘ 5'-1] n<[x|<n +1 => |xJ = 0 ; 0 <, X < 1 1; -1 £ x <2 , de donde: 2; -2 <x <3 f(x) = -x; -5 <x <-1 2x; 1<X<4 S(x) = Intersección de dominios Df, r Dg, => <p Df3n Dg, => x =-1 Df, r Dg,, => - 3<x <-2 Df3n Dg2=><f> Df, n Dg, => 4> Df3n Dg3 => </> -2 ; 0<x <1 -1 ; 1<x <2 0 ; 2 <x <3 x2 ; 3 <x <6 Df, n Dg, Df, n Dg, Df2n Dg., Df4n Dg, Df,, n Dg3 Df, n Dg. -2<x<-1 x =-2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net vvww.edukperu ;cr* www.solucionarlos,net CAPITULO I Df, nDg, => <p Df3r Dg, => <¡> Operaciones con funciones: Di, o Dg, Df, o Dg, (f +g)(x) = (f +s)(x) = -x- 1 ; - 3 <x <-2 2 ; x =-2 -x- 1 ; -2 <x <-1 1 ; X = —1 x2- x+3 ; 1<x <2 —X —1 ; - 3 < X < - 1 A x *-2 2 ; x =-2 1 ; X = —1 x2-x +3; 1<x <2 12. Hallar (f +g)(x) y graficar donde x—1 ; x [-4,-1] f(x) =-j x ; x [0,2] ; g(x) = |x-2| +3; x (-1,0)^(2,3] x—1 x |x-2|-t ></> > 1<x^2 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ; x [-3,-1] ; x [0,2] 3; x ([-1.0)]u[2,3] www e-tjt i«) -com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 279
  • 144. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Df, n Dg, => (p • Df3n Dg, => -2 <x <-1 Df5n Dg, => <p Df7n Dg, =><¡> Df, n Dg, => <p Df2n Dgj => <¡> Df, o Dg,, => <p Dfbr>Dg., => 1<x <2 Df8n Dg2 => <p Df, n Dg3 => <p Df3n Dg3 => </> Df5n Dg3 => <p Df7 n Dg, => x =2 Df„ n Dg} => 2 <x <3 Luego; [f +s ](x ) = CAPITULO I Df2r Dg, =>- 3 <x <-2 Df, n Dg, => <p Df6n Dg, => <p Df8o Dg, =><p Df, n Dg2 => <p Df3n Dg2 => <p Df5n Dg„ => 0<x <1 Df7r Dg2 => <f> Df0n Dg2 => 4» Df2 n Dg3 => </> Df4n Dg3 x =—1 Di, n °S 3 =* <P Df8n Dg3 => -1 <x <0 2 : - 2 <x <-2 3 -2 <x <-1 -4 ; -1 2 0 <x <1 1 ; 2 3 -4 1<X <2 r, v x =-1 = [ f +s](x) =' 2 ; 3 ; - 3 íx < - 2 u 0 íx < l -2<x<-1ul<x<2 1 2 3-x; -1<x <0 3 -x -1 <x <0 X - 1 ; 2<x <3 x—1 ; 2 <x <3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Y ‘ y; -4 -3 -2 -1 é............................ -1 2 3 ,£-x2* © Halle D ,.,nR si f(x)={S,( > < ) g(x) =| h(x) ; [x +2; xe[2,x) [2x-1 ; xe(2,oo) Df, n Dg;, =></> Intersección de los dominios: f- Df, o Dg, =>-1 <x <1 Df2n Dg, => <f> Df2o Dg2 => x >2 íg(x) +li(x) ; - I <x< I x2+2x +1 ; x>2 2 Luego: [f +g jx ) = Si x>2 =>x +1>3 =>(x +1)2>9 de donde R)¡?=y>9 Luego: Df+g u R Ug = x>2n y >9 => (9,x) O Dado las funciones f(x) =2x-3, -1 <xíS3; g(x) =x-[x|, x€ÜK.Hallar -j(x ) jH g w i.ir a r o :f DfnDg; -1 <x <3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 145. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO I © Se desarrolla la función mayor entero en el intervalo dado: n<[x|<n +1 => |x| = -1 -1< x <0 0 0 <x <1 1 1<x<2 2 2 <x <3 3 3 <x <4 De ¡onde: f(x) =2x-3, -1 <x <3 ; g(x) =x-flx| = Operaciones con funciones: Dado las funciones (25- x 1 x+2 f(x ) = 2x-3 x+1 2x-3 (x) =. X 2x-3 x—1 co 1 X (N x-2 5 x+1; -1 <x<0 x ; 0 <x <1 x-1 ; 1£x<2 x-2; 2 <x <3 o CO ii X ,5r> ,Q 9 7- x I' x- 4 2 >iF-3¡ ; | Sx<4 s ( x) ~ -1 <x <0 0 <x <1 1<x <2 2<x <3 |x—11x2—2x ; -1<x<2 |x-4| ; 2^x<9 Hallar (f +g)(x) y graficar Se desarrolla la función mayor entero en el intervalo dado x+2 x- 4 <0 x € (-2,4) Con la función SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ut25-x H(x) =y =— x = / - X 7y- 25 y-1 De donde f(x) = -2 <x <1 1<x<- 2 5 17 - <x <— 2 5 17 — <x <4 5 Para el valor absoluto: |x- 3|= -2< x <1 X -3 ; X >3 3 - X ; x <3 De donde f(x) = 3 4 6 Vx-3 >/3^x 1<x <- 2 5 17 - <x <— 2 5 17 <x <4 Para la función g(x): |x- 1|= 5 x >3 - <x <3 X — 1; X >1 1— X ; X < 1 |x~4|= x - 4 ; x >4 4 - x ; x <4 S(x) = |¡x—1—2||x2-2x 1<,x <2 X 1 OJ X fO 1 5? 1<x<2 ||x—1—2j|x2-2x - I <x <1 ||-1-x||x2-2x ; —1<x <1 x-4 4 <x <9 x-4 4 <x <9 4-x 5 - <x <4 2 4-x 5 - <x <4 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 146. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I $ Ahora las funciones mayor entero n <||x-2|| <n+1 n<x-3<n+l => n+3<x<n +4; ||x—3||=—2; 1<x<2 n<||-l-x||<n+1 =>n<-l-x<n +1 =>n +l<-x<n +2 -n-2<x<-n-1 II-1- x||=i l ' 1<X de donde: (f +g)(x) = -2 ; 0 <x <1 V /V ; Hallar (f +g)(x) y graficar donde |x2|+|x2-l|-3; xe[-2,2] -2x2- 2x ; 1<x <2 - X 2 -2x ; -1 <x <0 -2x2- 2x ; 0<x <1 x-4 : 4 <x <9 4- x - <x <4 2 f(x) = 2x - 1 / o ,: S ( x ) = ; x e (2,4) 4—lix2II; x <2 x—1 -2 ; x >2 Df, AÜg, =>-2 <x <2 Df2a Dg, =><f> De donde (f +g)(x) = ; Df, a Dgg =>x =2 ; Df2a Dg2 =>2 <x <4 5- |x2-1| ; -1 £ X <2 ||x2||+|x2-2| ; x =2 2x-1 x—1 -2 ; 2 <x <4 Pero Ix2-1| = x2-1 ; x <-1 u x >1 1 - X ? ; -1 < X < 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (f +g)(x) = 4+X2 ; - 1<X <1 6-x ; -2 <x <-1 kj 1<x <2 2 ; x =2 —— ; 2 <x <4 x—1 © Dadas las funciones f(x) =2x-||2x +[xj¡; ^<x<1; g(x) =||x-2|-|x||; |x|< 1 Hallar (f +g)(x) Desarrollamos f(x): |xj =0 <=> 0 <x <1 => f(x) =2x-[2xj; ^ <x <1 x(l =n => n <2x <n+1 => -<x<^-^ 2 2 x| =1; ^<x<1 => f(x) =2x-1; ^<x<1 Para g(x) =||x-2|-|x||; —1<x <1 . .x ; x >0 , fx-2 ; x >2 x=i ; x-2=^ 11 l-x; x <0 1 1 12-x ; x<2 g(x) = 1 Luego: Df O Dg :—<X <1; (f +g)(x) =2x-1+2-2x =1; —<X < 1 X 1 X 1 CM ; 0 ^ X < 1 [|2 - 2 x | ; 0 < x < 1 j | 2 - x + x| ; -1 < X < 0 | | 2 - x + x| = 2 ; -1 < x < 0 ^ Hallar (f +g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x) donde SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 147. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I f(x ).I3X" ,!X ,["U ) g (x )J2^ ' X^ 0,3) I 5x ; x 6 (1,6] ’ | x-2 ; xe (3,5]u[6,8) f(x) =j 3X" 1 :X e t" 1’1) • gíx) =j 2^ X£t° ,3) [ 5x ; xe(l,6] ’ j x-2 ; x e (3,5]v^[6,8) Intersección de los dominios es: Df, uDg, => xe[0,l) Df, uDgo => <f> Df2uDg, => xe(l,3) Df2uDg2 => xe(3,5]^x =6 Operaciones con funciones: [ f + g » = [ f * ) = 3x+2-Jx ; xe[0,1) 5x+2Vx-1 ; xe0 6x-2 ; xe(l,3) 3x-2>/x+2 ; xe[0,1) 5x-2Vx +l ; X€(l,3) 4x-2 ; xe(3,5]ux =6 w = 3* +^ ; x eTO,!) a x ? ¡ - 2x+1 L ’4 5x 2 V ^ T ’ x e 0.3> ^ 2 ■ x e (3 ,5 ]u x =6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I cEDUARDO ESPINOZA RAMOS « Hallar (2f-4g)(x) Calcular y graficar donde |x~—4| f(x) = xf|; x«(-1,l) |x-3|; x € [l,4> ; s(x)= x+2 2 ¡_ | 2x-l x I 13x -1 ; -1 <x <0 -1 ; -1 <x<0 0 ; 0 <x <1 0 ; 0 <x <1 1 ; 1 £x<2 ü —» X II i 00 11 1 ro 1<x <2 2 ; 2< x <3 i n co 1 CM 2<x <3 3 ; 3 <x <4 3-3=0 ; 3 <x <4 X I = Para la función g(x): El desarrollo de y =— en modo gráfico. x Luego: j “ | =0 en xe[l,10) La función valor absoluto x2-4 © . x -4 = Jx2-4 ; x e ^-oc,-2]u[2,x¡) 4-x2 ; xe(-2,2) Calcular (f +g)(x), (f - g)(x), (f.g)(x), f- l(x ) y graficar donde a) g(x) ='/x; DS=[1,4] am sm m f Df, n Dg, =>1<x <2 Df2n Dg => 3 <x <4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 148. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I i , w2x-1+/x; !< xS2 . . . í2x—1- y f x i 1£ x <2 ( f +S)(x)= ; (f-S)(x) = I vx+3 ; 3<x<4 . ( 3-vx ; 3<x<4 (f.g)(x) = f(2x - 1)Vx ; 1<x <2 ( n 3n/x ; 3<x<4 U J (x) = 2x-1 ; 1<x <2 - j= ; 3 <x <4 n/x b) f(x) = X ; X <1 3x ; 1<x <3 ; s (x) = Cos(x) ; X>3 -x ; X <-2 11 ; 2 <x <3 34 ; x >6 Las intersecciones de los dominios: Df, n Dg, => x <-2 Df2 n Dg, => <f> Df2 n Dg¿ =>2 <x <3 Df3n Dg3 => <p Df2Dg, => <p Df3n Dg, => <p Df3 n Dg, => <p Df2o Dg3 => <f> Df3o Dg3 => x >6 (f +g)(x) = X - X =0 ; X <-2 3x +ll 2 <x <3 = 34+Cos(x); x>6 x+x =2x ; x<-2 (f-g)(x) =- 3x-ll ; 2<x<3 = Cos(x)-34 ; x>6 x(-x) =-x2; x <-2 (f-g)(x) = 3x(11) ; 2<X <3 = Cos(x)(34) ; x>6 0 ; X <-2 3x +11 ; 2 <x <3 34+Cos(x); x>6 2x ; x <-2 3x-ll ; 2<x<3 -34 +Cos(x); x>6 - x2 ; x <-2 33x ; 2 <x <3 34Cos(x); x>6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www eduFpéru.C^m www.solucionarios.net CAPITULO I C) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « w - — =-1 ; x <-2 x -1 ; x <-2 3x3x 3x n - = 2< x<3 =| - ; 2<x<3 Cos(x) Cos(x) - x >6 34 34 x >6 l xI x 4 ; x <3 / í x •x<2 f(x)= ______“ ; s ( x ) = J ’ f l Vx3- 16 ; X >4 lx 1 .X > 5 Las intersecciones de los dominios Df, r Dg, =>x <-2 Df, Dg2 =><f> Df2 n Dg, => (f +g)(x) = ( f - S ) ( x ) = ? (*)r»3 +¡!(x xilK-4||+x ; x <—1 V x 2 -16 +X - 1 ; x >5 (Ixllllx2 - 4 | | - x ; x < -1 (f.g)(x) = [Vx2-16 -x+ 1 ; x >5 x|x||||x2-4|| ; xS-1 ¡ ] W = (x-1 )>/x2-16 ; x>5 xBllx2-4|| ----- ; x ^ -1 X Vx2-16 x-1 ; x >5 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 289
  • 149. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I C, ^ i 1_2x ; -3 <x <-1 í x2 ; x <2 d ) ( * H ' | - 4 + CO Sx ||; x >0 ; =ix - l ; X>5 Las intersecciones de los dominios Df, n Dg, =>-3<x<-1 Df, n Dg,, =></> Df, o Dg, => <p Df„ n Dg., Para el coseno en 0 <x <n de donde x = 1 ; x =0 0 ; 1<X <— 2 -1 ; —<*< n 2 Í1-2x +x2 ; -3 <x <-1 (f +S )(x) |J_4 +cos^x)| +sen(x) ; 0<x<;r ( f + S ) ( x ) = 1-2x +x‘ +x2 ; -3£x<-1 -3 ; x =0 Sen(x)-4 ; 1<x <n 71 —<x </r 2 (f -S)(x) = Sen(x)-5 1-2x-x2 |[-4+Cos(x)|-Sen(x); 0<x<;r ; -3£X<-1 (f-3)(x) = 1-2x-x2 ; -3£x<-1 -3 ; x =0 -Sen(x)-4 ; 1<x <n -Sen(x)-5 ; ^ <x <,n ;i _ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (f.g)(x) = í(l-2x)x" ; -3 <x <-1 (fg)(x) = ||-4+Cos(x)|Sen(x) ; 0<x<;r x2(1—2x) ; -3 <x <-1 0 ; x =0 -4Sen(x) ; 1<x <n -5Sen(x) ; (x) = 1-2x ; -3 <x <-1 |-4+Cos(x)| Sen(x) 0 £ x <;r 1-2x ; -3 <x <-1 x* -4 n ---— ; 1<x <— Sen(x) 2 -5 n ---7—r; —<<7T Sen(x) 2 í x +3; xe[-4,0] Í2x-4; e) f X) H # v i S x [3x +2; x e (0,5) [2-X ; Las intersecciones de los dominios Df, n Dg, => -3< x< 0 Df2n Dg, => 0 <x <2 Las operaciones; x €[-3,2] x e (2,8) Df, n Dg« Df2n Dg,, 2 <x <5 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net jj|--
  • 150. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I (f +g)(x) = (f-s)(x) = x+3+2x-4 3x+2+2x-4 3x+2+2-x -3 <x <0 0 <x <2 =■ 2<x<5 3x+1 5x-2 2x+4 -3 <x <0 0<x <2 2<x <5 x+3-2x+4 ; -3 ^ x <0 3x+2-2x+4; 0<x<2 3x+2-2 +x : 2<x<5 x+3)(2x-4) (f.g)(x) =j(3x +2)(2x-4) [(3x +2)(2-x) x+3 -3<x<0 0 <x <2 = 2<x <5 7 - x ; -3 <x <0 x +6 ; 0 <x <2 4x ; 2 <x <5 2x2+2x-12 ; -3 <x <0 6x2-8x - 8 ; 0<x<2 4x-3x2+4 ; 2<x<5 (x) = 2x-4 3x +2 2x-4 3x +3 2-x ' ; -3 <x <0 ; (2x-4) 2 <x <5 yJx-2 ; x e [2,4) 0 fM = ri S(x) = |x2- 14x+48 ; xe[6,10) R q iiW r .V M Í 2 1 ¡x6[>8) |2x-10|; xe(8,12) Desarrollamos - 2 : n <u- If <n+1 2x <x <2n+2 con n =0 0; 0 <x <2 1; 2<x<4 donde 2; 4Sx<6 II 2 3 ; 6< x <8 0 1 2 3 2x-10 1<x<2 2 <x <4 4 <x <6 6 <x <8 8 £ x <12 Las intersecciones de los dominios SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Df, n Dg, =>0 Df, n Dg3 => <t> Df2 o Dg, => <f> Df, n Dg, Df, n Dg4 Df„ n Dg, Df, n Dg4 => 6 <x <8 Df2n Dg^ Las operaciones =>-4 <x <6 => <t> Df, o Dgs => <p Df2 n Dg, => 8<x<10 (x) = x+3 2x-4 3x +2 2x-4 3x +3 2-x ;-3 <x <0 I (2x-4) ; 2<x <5 Vx-2 ; xe|"2,4) 0 f(x)= y 1 ; g(x) = [x2-14x +48; X € [ó,10) f| i xe[>8> |2x—10|; x e (8,12) Desarrollamos ^ : n< ^ <n +^ =>2x<x<2n+2 con n =0 0 ; 0 <x <2 1' 2“ X <4 , de donde ii-»= < 2 ; 4 <x <6 II 2 3 ; 6< x <8 0 ; 1<x <2 1 ; 2 ú x <4 2 ; 4 <x <6 3 ; 6<x<8 2x—10 ; 8<x<12 Las intersecciones de los dominios Df, n Dg, =><fi Df, n Dg2 =>- 4 ^ x <6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 151. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Df, n Dg3 => 4> Di, c Dg, => <p Df, n Dg, => <j> Df2n Dg, => (f> Df, n Dg- =$ <p Df r Dg. => <f> Df2n Dg, => 6<x<8 Df, n Dg:> =>8<x<10 Las operaciones (f +g)(x) = (f-g)(x) = Vx-2 +1 ; 4 <x <6 x2-14x +48+3 ; 6<x<8 = x2—14x+48+2x—10 ; 8<x<10 Vx-2 -1 ; 4<x<6 x2-14x +48-3 ; 6<x<8 x2—14x +48—2x +10; 8<x<10 Vx-2 +1 ; 4 <x <6 x2-14x +51 ; 6 < x <8 x2-12x +38 ; 8 < x <10 Vx-2-1 ; 4<x<6 x2-14x +45; 6<x<8 x2-16x +58 ; 8 <x <10 Vx^2 3(x* -14x +48) (x2- 14x+48)(2x —10) Vx-2 ; 4 <x <6 4 á.x <6 6 <x <8 8 <x <10 x2-14x +48 x2- 14x+48 2x-10 ; 6< x <8 ; 8<x<10 S)f(x)=(|x2‘4|:xe[r,'!];s(x)=íx+2;xs-2} 2 ; xe[l,6) 1 1 ; x<-2 Desarrollamos |x2- 4|: x2- 4 =0 =>x =±2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « De donde: |x¿ —4-|= x2—4 ; x <-2 u x >2 4—x2; -2< x<2 La función f(x): f(x) = x2-4 ; x e[-6,0 ! 4- x2; x e (-2,0] ; g(x) = 2 ; xe[l,6) Las intersecciones de los dominios; x+2 ; x £ -2 1 ; x <-2 Df, o Dg, =>-6 <x<2 Df2n Dg, => </> Df3o Dg, => </> Las operaciones (f+g)(x)- Df, n Dg* =>x =-2 Df2n Dg2 => - 2<x <0 Df3n Dgj => -1 <x <6 (f-S)(x) = C2— 4 +1 ; -6 £ x <2 en i 04 X - 6 <,x < -2 - 4 + X+4 ; x =-2 0 OJ i ii X ^-X2+X +2 ; -2 <x <0 6- x2+x -2^x<0 2+X+2 ; 1 < x <6 x +4 1 < x < 6 X2- 4-1 ; -6 £ x <2 x2-5 ; - 6 £ x <-2 2- 4 - X - 2 ; X II i K5 1 0 ; X ti i to CM i X l 04 X 1 - 2 <x £ 0 fO 1 XfO 1 X -2 ^ x ^0 2+x-2 ; 1 <x <6 x ; 1 £ x <6 (f s)(x) = x -4 - 6 < x <2 (x=-4 )(x - 2 ); x =-2 /f , (4-x: )(x-2); -2<x£0 IsJ 2(2 +x) ;1<X<6 x2-4 x2-4 x - 2 x2-4 x - 2 2 2+x -6< x <2 x =-2 -2 <x £ 0 1<x <6 BpftV' ^akü9fXt corr- SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net Ü
  • 152. www.solucionarlos,net y EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULOI f/v^_|lX~1HSsn(3'x)I;X£[°'6] Ilx“2l;x^-8'3)8 U { x2 ; x e (6,10) ' 81 ' [x|x-2|; xe<3,8] Desarrollo |Sgn(3-x)|: Sgn(3-x) = 1 x <3 0 x =3 -1 x >3 Luego: f(x) = |x - 1| x e [ o , 3 ) 0 X=3 T i -/ i lt jx-1 x >l . También x-1 =^ -|x - 1| x e (3,6] —x x<1 x2 xe(6,10) De donde: |x-2| = x-2 ; x >2 2-x ; x <2 S(x) = 2-x -8<x<2 x-2 2£ x <3 (x-2) 3 <x <8 O Determinar fog, cuando: f ={(1,3);(2,4);(3,5);(4,6)}; g ={(4,1);(l,2);(6,3);(0,-2)} i F T H i f ' i í P * fog ={x e Dga Rge Df} # <f> Dg ={4,1,6,0} n[{l,2,3,-2} e Df ={(1,2,3,4}] Dg ={4,1,6,0}n[!,2,3]=>{l}*¿ Luego: fog ={(4,3)} Determinar fog, gof, cuando: f ={(0,1);(1,2);(2,3);(4,3);(5,2)}; SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edufc oenj.ó-r www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « n O S ={(6,7);(5,4);(4,3);(2,4);(1,4);(0,7)} K W a) fog ={x€DgARg€Df] Dg ={6,5,4,2,l,0|r,[Rg= {7,4,3} s Df ={(0,1,2,4,5}] Dg ={6,5,4,2,1,0}r[4]=^ {4} *<p Luego: fog ={(4,3)¡(2,3);(1,3)} b) gof ={x€Df a Rí €Dg}' ° i * Df ={0,1,2,4,5} n[Rf ={1,2,3} e Dg ={(6,5,4,2,1,0}] Dg ={0,1,2,4,5}n[l,2]^{l,2}*¿ Luego: gof ={(5,4);(1,4):);(0,4)} Hallar gof si: f ={(2,5);(3,4);(6,2);(5,0);(1,7)} g ={(4,8)¡(5,3);(0,9);(2,2)¡(7,4)} da/, i , gof ={xeDfARfeDg}*í> Df ={2,3,6,5,1} n[Rf - {5,4,2,0,7} e Dg={(4,5,0,2,7}] Dg={2,3,6,5,1}n[0,2,4,5,7]=> {2,5} * «i I&91 Sld6ÍlbV ab rfOl:' •! 2V HilXlLft '¿t>I - -rT16it)Olr?;u: ) Luego: gof ={(6,2);(2,3)} $ Hallar gof si: f ={(2,5);(5,7);(3,3);(8,1)¡; s={(1,2);(2,3);(4,5);(6,7)} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 153. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ■IHggiWWriTTif gof ={x g Df a Rf g Dg} * <p Df = {2,5,3,8} n [ Rf ={5,7,3,1} g Dg = {1,2,4,6}] Dg = {2,5,3,8} o [ l ] * <f>. Luego: gof =<¿ @ Si f(x) =| 3X 2 ' ; g(x) =x2+1. Hallar (fog) (x) l x ; x g [4,6J gjjnrjrrrn Definimos las funciones según se muestra . . í f . : 3 x - 2 ; - 4 £ x > 5 . . „ f x = 1 ; g(x) = x + l V 1 [f2: x ; 4 < x <6 V ’ ftog ={x g DgARg g Df,} * <f> x g ^ R u x 2+1 g [-4,4) => - 4 < x i!+ l< 4 =>- 5 < x2 <3 -y¡3 < x < n/3 => f,og =3(x2+ l)- 2 =3x2+1 f2og = {x cD g A R g G D f2} * <p x g W o x g [4,6) 4 < x < 6 * 0 =>fgog = x‘ +1 Finalmente fog = 3x-2 - V3%< <>¡3 x2+1 4 <x <,6 $ Consideramos las funciones reales de variable real S (x )* { X ' X<° ; f(x) = ] í +2, X ~!- Hallar (fog)(x) 1—x; x£0 • 11—x ; x <1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULOI www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 0 Definimos las funciones según se muestra: « í x u ! S,(x) =x2 ¡ X<° ■ flxl =l f,(x) =x+2 ; XS1 1 ’ [g2(x) =1-x; x>0 U [ft (x )- x - l ; x >1 f,O g, : f,o g , := {x g D g , A R g, g D f ,} * (¡> X<0 A x 2 g x < 1 => x<0 A x2 < 1 => X<0 A —1< X < 1 ==> -1 < X <0 * 0 Luego; f,og, =x2+2 f,og2:={x G Dg2ARg2G Df,} * <t> X>0 A 1-XGX<1 => x£0 A 1- X <1 => X>0 A x>0 => x>0 *<f> Luego; f,og2=1-x+2=3-x f2og, :={x g Dg, a Rg, g Df2} * <¡> x > 0 a x 2 g x >1 = > x>1 a x - 1 <0 = ^ x > 1 a x <1 => <f> f2og2 := {x g Dg2 ARg2 G Df2} * <f> X>0 A 1—X G X > 1 => X>0 A 1—X >1 => X>0 A X <0 => <f> Finalmente fog = x2+2 ; - 1 <x <0 [3-x ; x>0 Sean las funciones f y g definidas por: . í x2-5x ; x<-2 . , Í 2 x - 4 ; x > - 2 f(x) =i , , ; s(x) =i 0 . Hallar (fogXx) v ’ l|x-2|-2x; x £-2 ' [x +3x; x£ -2 ^ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 'ti
  • 154. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Se desarrolla f(x): jx- 2| = x - 2 ; x£2 2 - x ; x <2 De donde: f(x) = 'x2-5x; x<-2 -x-2 ;-2 <x <2 2-3x ; x >2 Definimos las funciones según se muestra: f(x) = f, ( x ) =x 2 - 5 x ; x < - 2 f, (x) =-x-2 ; -2 <x <2 ; g(x) = g,(x) =2x-4 ; x >-2 g, (x) =xs+3x; x <-2 f,(x) =2-3x ; x>2 f,og| : = { x e D g , A R g , e D f , ¡ * <f> x >-2 n 2x-4 e(-oc,-2) => x>-2 n 2x-4 <-2 => x >-2 o x<1 z2< x*0 f,og2=(2x-4)2-4(2x-4) =4xs-26x+36 f2Og, := {x e Dg, a Rg, e Df2¡ * <f> x >2 n 2x-4e-2< x<2=>x>2 n -2 < 2 x-4 £ 2 => x > 2 o 1< x < 3 => 2 < x < 3 f2og, =-(2x-4)-2 =2-2x f3og, :={x e Dg, a Rg, e Df2}*<f> x > 2 o 2 x - 4 e x > 2 =>x>2n2x-4>2 => x >2 rx >3 =>2x >3 f3Og, =2-3(2x-4)= 14-6x f,og2:= {x e Dg2A Rg2e Df,} * <f> n jjj SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I S(x) = íg, (x) =1-x-4 ; x <-2 [g2(x) =2x ; x >6 Desarrollamos la composición f,og, :={xeDg, ARg, eD f,}*^ x <-2 n 2x- 4 => x >-2n2x-4 <-2 =>x>-2nx<1 f(x) =2x2+1; xe(-1,10) 1—x xe (-oo,-2) s(x)= 2x xe(6,oo) log =x e Dga Rg, € Df * <f> ,51a ,0sx Joj» x <-2a ! - x €(-2,20) x >6a 2x e (-2,20) x <-2a -2<1x <20 x >6a -2<2x <20 x <-2a-3< 1x<19 x > 6 a - 2 < x <10 x<-2a3<1x<-19 x e ( 6 , 1 0 ) * 0 ------ 'Y'------ X € (-1 9 ,-2 )* 0 Luego: X e <-’9'-2> ¡8x2+1 ; xe(6,10) 2x ; x <0 XJ f(x) =3x +2; xe<-oo,3>; g(x) = 3x ; x >1 {0,oo-> a f —x2 a f->x x e Dga Ige D7* <f> : SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
  • 155. www.solucionarlos,net » gPUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I x < 0 a 2 x £ < - o g , 3 > x >1a - 3 x g < —x , 3 > x < 0 a 2 x < 3 x > 1 a - 3 x < 3 X < O A X < - 2 x e< -oo,0] * (f> x £ 1a x > -1 =>x>i * <p Luego fog = Í3(2x) +2 =6x +2 ; xe<-oo,0] [3(3x) +2 =2-9x ; x >1 í2x —1;x < —1 J x ; x £ O jx +2 ; x >2 ; [2x; x>0 g,of, : xeD, a R7eDg* t}> x <,-1 a 2x - 1 e <-oo,0) x <-1 a 2x - 1£ O x <-1 a x <- 2 X <,-1 * ggOf, => xeD, A R, eDft x < -1 a 2x-1 e <-oo,0] x < -1 a 2x - 1> 0 x^-1 a x > —• =>ó 2 g,of2: xeDt a R^ x e D ^ jí x >2 a x +2 e <-oo,0] x £ 2 a x +2 £ 0 x >2 a x <-2 xeD, a R, eDa *%9* S,of2 x >2 a x +2 e x <0 x £ 2 a x +2>0 x >2 a x >-2 x >2* 0 g.,oí, =2x +4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I w trrr www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Luego gof =«j f 2x —1 ; X <-1 2x +4 ; x >2 f(x) = x ; x <1 -1 ; 1<X<2 ; g(x) = 1 ; x >4 2 ; x <1 1; x>2 fog,: xeDg a R3eDg*0 f,og, : x£2 a le(-^o,-l) f,og, : x <1 a 2 e (-oo,-l) => (j> f2og, : x<l a 2e 1<x <2 => <f> f2og2: x>2 a 1€[1,2> => x>2*<(> f3og, : x<l a 2e [4,+oo>=> <j>, f3og2, x >2 a 1 e [4,+oo> Luego fog =-1, 1<x <2 Hallar fog y gof, donde f(x) =-j * X€P ^ ] ; g(x) =Vx ( x ; x e< 3,5] Dfog=(xeD? /xeDg a g(x)eD,} íf,(x) =2x-1; x e[0,2~| r f(x) =j J ; g(x) =>/x, x e [0 ,+ o o > [f2(x) =x ; x e< 3,5] Di,os =(xeD8/xeD3 a g(x) e D, } = ¡x e Dg/x e[0,-wo > a Vx e[0,2]j x e [0,+oo > a 0 <Vx <2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net H
  • 156. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I X€[0,-h» > a 0<x <4 => D(og=[0,4] Dt,o8=(xeDg/xsD9 a g(x)eDt } = {xeD g/x€ [0 ,+ o o > a Vx e<3,5]} •x e [0,+x > a 3 <Vx <5 => x e [0,+x> a 9 <x <25 x € <9,25] (fogXx) ={ (flOSKx): X e[° ' 4] l(f2Og)(x); x €<9,25] =j f.(s(x)); xe[0,4] lf2 (s(x)); x e< 9,25] (fog)(x)=Kx-,: x e [ 0 ' 4 ] [ Vx ; xe<9,25] f, (Vx); xe[0,4] [2,£-1; x 6[0,4] f2(Vx); x e< 9,25] } Vx ; xe<9,25] Si H(x) =>/x2-2x +3 y (Hof)(x) =^|xJ+3, calcular f(x) (Hof)(x) =H(f (x)) =^[x¡+3 ^f2(x)-2f(x) +3 =Jx J+ 3 (f(x )- l)2+2 =[xJ+3 (f(x )- l)2=lx| +1 => f(x) =1+>/|xJ+l SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I wwwedukpéfü.confc www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ^p^LO, ^ EDUARDOESPINOZARAMOS « ^ s Íjx* 11•x <3 f x •x >4 I-----1 : S W = Ivl v * y < n y ¡7 T h x > 3 yx|-X,X<0 - jf,(x );x < 3 j g,(x );x * 4 ( ’ }f2(x); xS3 ' 31 ’ [S i(x ); x <0 (fog)(x) = (fi°gi )(x) ¡ xeD (oSi (f,°go)(x); XcD h (f2og,)(x); x € Dtogi (tyOg2)(x ); x e D l;09f Df(OS ={xeDSi/xeDg a g,(x)eD ( ¡, x e [4 ,+ o o > a x € <-x,3>, 3 <}> D(o8i ={x € /x e a g2(x) e D(i}, x € <-x,0] a I x I-x e <-x,3> x e <-x,0] a -2x e <-oo,3> 3 x e <-x 0] a — <x <x 2 X €<——,0] 2 (f,os! )(x)= fl(g! (x)) =f,(|x|-x) =||x|-x-lf, X<=<-|,0) = |2 x + 1 |X € < - - , 0 ] D(og =jx e Ds /x € Dg A g, (x) € D(J}, x € [4,fx> a x e <-x,3> x e (3,4] SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I BgT www.solucionarlos,net
  • 157. www.solucionarlos.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (f2°S,)(x ) =f2(g, (x)) =f2(x) =Vx2+1, x e[3,4] Du^ ={xeDs /X6 Dg a g2(x)e D, }, x e <-x,0] a I x I -x e [3,+x> x € <-x,0] a -2x e [3,+x> x e <-x,0] A x e (- x ,- - (f2oS¿)(x) =f2(go(x)) =f8(|x|-x) =^(|x|-x)¿ +1 =V4x2+1, x e ^-x,-| ( f o g ) ( x ) = V 4 x J + 1 ; X < --- 2 |2x + l f ; - ^ < x < 0 V x 2 + 1 ; xe[3,4] /v í l ^ í ; x<0 i Calcular(fogXx)si: g(x) =< ( ; f(x) =vx +1; -l<x<2 [x2-1 ; x >0 awj.f«mriWTo:iMbt u tí ( fo s>)<x ) ; x e D '<*. ° S * l ( f°S 2)(x); x e D(ogj D(og, ={xeD s, /xeDs, a S,(x)eD ,} x e Dg a g, (x)e D, x € <-x,0> a |x|e[-1,2> x e <-x,0> a x € [-1,2> de donde x e [-1,0> CAPITULO I TEI SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www «lufcjwo cerní/ www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (fog, )(x) = f(g, (x)) = f([xj) = T lx J+ l, X € [-1,0> D«* ={xeDs,/xeDs, A S2(x)eD,} X£l A SsM eD , x € [0,+x> a x2-1 e D, x e [0,+x> a xe^-V3,>/3^ de donde xe[0,>/3^ (fog2)(x) =f(g2(x)) =f(x2- l) =>/x2-l+1 =Vx2 =|x|, x s [0 ,S ) •• (foS)(x) = Jx j+ T ; x e [-1,0 > |x| ; x e [0 ,S ) , - . . , x Í2x-5 ; x <2 ,, v [x2-2x; x <1 Calcular fog donde g (x )H ; f x) ={ 51 ' 1—x-2; x >2 V M ex ; x>1 JHK-TílTiriltiTM» (f,og,)(x); x e D, (fog)(x) = (f,°g2)(x) (f2°S,)(x ) (f,°S2)(x) f.oSi x e D x e D ».OS, (:o9, X € D f (x) =X2-2x ; X < 1 gi(x) =2x-5 ; x <2 f*X| 1 f2(x) =e' ¡ x í l ' S*X* [g¡,(x) =-x-2; x>2 Dv», ={xeDs, /xeDs, A S,W sD ,,¡ x e Dg a g2(x) e D, => x e <-x,2> a 2x - 5 e <-x,l> SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net w
  • 158. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I => x e <-x,2> a x e <-oo,3> x € <-oc,2> (f|°Si )(x) =f, (g, (x)) =f, (2x-5) =(2x-5)2-2(2x-5) =4x2-24x +35 ; x e <-x,2> ={x 6 D* /x e D,. A S2(x)e D, } x e Dh a go(x)e D, => x e [2,+x> a -x- 2 e <-x,1> ^ x e [ 2 , + x > a x e < - 3 , + x > x e [ 2 , + x > (f.°S2)(x) =^(s8(x)) =f,(-x-2)=(-x-2)2-2(-x-2)=x2+6x+8; xe (2,+x> Dw, ={xsD * /xeD». a S,(x)eD ,j xeD? a g,(x)€Dt x e <-x,2> a 2x-5e[1,+x> x e <-x,2> a x e [3,+x> => 4> 3 DIj03¡ ={X € Ds /X 6 A go(x) € D( } x e Dfl a g2(x)eD 1 => x e [2,+x> a -x- 2 € [1,+x> x e [2,+x> a x € <-x,-3] => <}> 3 (fog)(x) = 4x2-24x +35; x <2 x2+6x +8 ; x >2 Si f(x) =V2x-1 y g(x) =VÍx^-7r hallar la función h tal foh =g m m m r . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukpenj:corr • www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (foh)(x) =g(x) =>/2x2-7 => f(h(x)) =V2x2-7 y¡2h(x)-=v/2x2-7 => 2h(x) —1=2x2-7 2h(x) =2x2-6 => h(x) =x2-3 Dadas las funciones f(x) =|2x +|2x||, -<x<1 y g(x) =I x +2 I -1x I, I x I < 1, hallar fogygof. jMH.wwra-iMr ^<x<l => l<2x<2 => |2x|=l f(x) =[2x+¡2x|| =[2x +l| =|2x|+1=1 +l=2 => f(x) =2, ^<x<1 /i »i i i [2 , 0<x <1 g(x) = x+2 - x = [2x +2, -1 <x <0 (fog)(x) =2; X 6 <-1,0> (goO(x), a Sean f(x) =2x2- l, g(x) =4x3-3x, x € R, probar que fog =gof. (fog)(x) =f(g(x)) =2g(x)2-1 =2(4x3-3x)-l =32x6-48x4+18x2-1 (gof)(x) =g(f(x)) =4(f(x))3—3f(x) =4^2x2- lj -3(2x2- lj =32x6-48x4+18x2- (fog)(x) =(goO(x) »' Si f(x +1) =3x+ 1, g(x) =2x - 3, hallar (fog)(x + 1) _ wvwrBtfukpert; com SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 159. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITULO I O *MHjnirariT.'Mr f(x + 1) =3x + 1 => f(x + 1) =3(x +1) - 2 => f(x) =3x - 2 (fogXx) =f(g(x)) =3g(x) - 2 =3(2x - 3) - 2 =6x - 11 (fog)(x) =6x - 11 => (fog)(x + 1) =6(x +1) - 11 =6x +6- 11 =6x - 5 (fogXx + l) =6x-5 iQ j Sean f(x) = |x2, x <1 -x3, x >2 ; S (x )= -x, x<2 2x, x>4 . Hallar gof Dsof * {xeD ( /xeDf a f(x)eD gj, calculando ,-HJO> (gof)(x) = 2x2 ; x <-2 -x2 ; xe(-V2,l) x3 ; x >2 Hallar fog y gof si existen, donde: f(x ). ~ i - « « H 1). s (x )J 1*1 ; x «[0,1 > |x2+l|, xe(1,2)IVx2—1; xe[1,3> D,oS =|0,1>w(l,>/2}u^>/2,>/5) mediante Dfog =jx e D,/x e D, a g(x)<=D,¡ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wwwfidtikpdfü Cortif www.solucionarlos,net CAPITULO I cEDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o (fog)(x) = -1 ; 0 £ x <1 1 ---- ; 1<X<V2 Vx*-1-1 x2 ; y¡2<x <IE D^f =(l,>/2) mediante ={x e Df/x e Df a f(x)eD gj (gof)(x) =Vx2+2x , ]<<y¡2 Hallar (fogohXx)si f(x) =x2+2x +l , g(x) =x-2, h(x) =x-3 (fogoh)(x) =(fog)(h(x)) =f(g(h(x))) =g(h(x))2+2g(h(x)) +1 =(h(x)-2)2+2(h(x)-2) +1 =(x-3-2)2+2(x-3-2) +1 =(x-5)2+2(x-5) +l =x2-10x +25+2x-10 +l =x2- 8x+16 /. (fogoh)(x) =x2-8x +16 Sean f(x) =ax +2, g(x) =x-6, a^O, b*0, si fog =gof, hallar b(a-l). inr» 1 (fogXx) =(goO(x) => f(g(x)) =g(f(x)) ag(x) +2 =f(x) - 6 => a(x - 6) +2 =ax +2 - 6 ax-6a +2 =ax-4=> -6a =-6 => a =1 b (a- l) =b(l -1) =0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 160. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO l Sean f(x) = O si existe. ^x+1: ,< x ^3 fx2IIx2I-2|x|; siV2<x<0 x ; S(x)= U. Hallar fog 2 ; 4 < x < 6 [x|x-3j+2 ; si 2<x<4 w(2,3)u[3,4 >, calculando mediante D f o s = ¡ x € D g / x e D 8 a S (x)e Df} (fog)(x) = Vx2+2x-1 ; X €< > V2x-1 1 3 ; x € ( 2 2 VT+x ; x €<2,3 > 1 ; x €[3,4] dadas las funciones f y g definidas por: f(x) = 2 x-2 ; x €<-1,1 > I 3- X I Vx2+2x ; xe[l,2 > g(x) = x-1 ' x € [ 2' 1>. Calcular (f o g)(x) y (g o fXx) 1—x ; X€<0,6> JM E M V W rfflT F Dfog =[-2,-1 > u< 0,3>, mediante Dfos=(xeDg/xeDg a g(x)eD ( j uH ; x e [-2,-1 > (fo g )(x H r [ S ] xe<0,3> Dfog=[1,2>, mediante D ^ ={x e Df/x e Df a f(x)e Dg} (S o 0(1) = 1, x e [1,2> SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net w ' . i-,- www.solucionarlos,net y-k | x ; x e[-3,0] tjñ Determinar gof si f(x) =< ; g(x) =x - 15, x € <-10,9] (x2 ; x e< 0,5] M E ÍS S 2 M M / Dsof =[-3,0]vj<0,3], mediante Dgof ={x € Df/x e Df a f(x)eD gj CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O Luego (gof)(x) = x-15 ; xe[-3,0] x2-15 ; x e<0,3] Sean f(x) =|x |y g(x) ={^ , hallar h(x) = ( x2 ; x <0 (f°S)(x2) =f(s(x2)) =[g(x2)] =|x41, xS 0 (gof)(Æ) =g(f(Æ )) =Jf(Æ )- 4 | =[|Æ |- 4 j, x>0 h(x) = (fog)(x2); x <0 (gof)(Vx); x >0 X 4 ] ; X ^ 0 xj —41 ; x<0 Si F(x) =ctg x y g(x) =cosec x encuentre una función f tal qu F(x) =(f o g)(x). (f o g)(x) =F(x) =ctg x => f(g(x)) =ctg x f(cosecx) =ctgx =Veosec3x-l f(x) =Vx2-1 Si (gof)(x +2) =2x2-x; f(x-l) =x-2, calcular g(x). SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos.net
  • 161. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPlNOZA RAMOS j CAPITULO I (gof)(x+2) =2xL>-x => (gof)(x) =2(x-2)‘ -(x-2) =2x2-9x+ 10 f(x- 1) =x-2 => f(x) =(x+1)-2 =x-1 (gof)(x) =2x2-9x +10 => g(f(x)) =2x2-9x +10 =2(x2-2x +l)-5(x-1) +3 g(x-1) =2(x-l)2-5(x-1) +3 g(x) =2x2-5x +3 v ' © Si ( f o g ) ( x - 1 ) = x 2 - 2 x y g (x ) = x + 3, determinar f(x ). (fog)(x-1) =x2-2x => (fog)(x) =(x +l f -2(x +1) =x2-1 (fog)(x) =f(g(x)) =x2-1=(x +3)2-6(x +3) +8 f(x+3) =(x +3)2-6(x +3)+8 _ V; .... f(x) =x2-6x +8 Dadas las funciones f„g: R -* R, definidas por: f(2x + 1) =4x + 1 y g(x) =x2+3, determinar (fog)(x) y (g o 0(x). f(2x +3) =4x + 1=2(2x +3) - 5 => f(x) =2x - 5 >:pij _ (( y)p 'i <= X pr- =(Xll a yVoA^ (fog)(x) =f(g(x)) =2g(x) —5 =2(x2+3)-5 =x2+1 (gof)(x) =g(f(x)) =f2(x)+3 =(2x-5)2+3 =4x2-20x +28 Si F(x) =(1 - eos 2x) sec x y f(x) =sen x, hallar una función g tal que F(x) =(g o f)(x). SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ~ Z 7 ~ ' www.solucionarlos,net www solucionarlos,net CAPITULO I ' EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o gfintsra (g o f)(x) =F(x) =(1 - cos 2x) sec x g(f(x)) =g(senx) =(l -eos2x+sen2x)secx = 2sen2x 2sen2x cosx g(senx)= VI -sen' g(x) = 2x V i—1 Si F(x) =eos2x y f(x) =^ ^ g , hallar una función g(x) tal que F(x) =(f o g)(x). (fog)(x) =f(g(x)) =F(x) =eos2x =eos2x => 1+g2(x) =sec2x 1+S2(X) g2(x) =sec2x-1 =tg2x de donde g(x) =tg x Si F(x) =sen 2x y g(x) =eos x, encontrar una función f tal que F(x) =(f o gXx). (fogXx) =f(g(x)) =F(x) =sen 2x f(eos x) =2senxeos x =2>/1-eos2xeosx f(x) =2x>/l-x2 Determinar g o f si f(x) = 0 ; x <0 x2; x e[0,l]; g(x) = 0 ; x >1 1 ; x<0 2x; xe[0,l] 1 ; x >1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 162. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITULO I D^0( = (-o o ,0 )u [0 ,l]u (l,+ -x ), mediante la definición Dsof ={xeDf /xeDf A f(x )eD 8} (gof)(x) = 0 ; si x <0 2x4; si 0<x<1 0 ; si x >1 O Si f(x) =4x-x2; 0<x<7; g(x) =j X< 4 i x< 0; hallar (gof)(x) v ' v x+2 ; x >2 Dsof =^2->/2,2+>/2^u[4,7] es obtenido de la función del dominio de la composición go f es decir: (sof)(x) = © Dgoi ={x e D, /x e D, a ((x ) í D,) 4 x - x 2 + 2 ; si X 6 ( 2 - x / 2 , 2 + n / 2 )- {0 ) ^ • n- 4; si x =0 (4x- x2) - 4; si 4 <x <7 Si (g o f)(x) =x +2; f(x) =x3+6x2+12x+8, hallar g(x). (gO 0(x) = g(f(x)) = X +2, pero f(x) =x3+6x2+12x+8=(x +2)3 g|(x +2)3j =x+2 =yj(x+2)3 g(x) =^ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net tf ' www.solucionarlos,net CAPITULO I . c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Dadas las funciones f(x) =|x"-l|y g(x) =>/9-x‘ , determinar (sofXx) (2 ) ( S o f ) ( x ) = g(f(x)) =>/9-f2(x)=^9-|x2-l|2 í[ x—1J ; 0 <x <3 X+1 Si f(x) =] ,------ y g(x)=----, determinar gof. y i- x l- 2 ; x >3 x-4 ¿ ¡ l ü ü i e r Dgof =[0,1>u (1,2>u [2,3>u {3}u <3,-kx» O (s °f)(x) = 2 5 4 _ 2 3 _ 3 2 7x^3+1 Vx-3-4 ; x e [0,1 > ; x e [1,2 > ; xe[2,3> ; x =3 ; x >3 2x —1; -4 £ x <4 M ; x>4 Hallar fog, siendo f(x) =<{ . . , g(x) =x3-2x D(og =[-2,2]u< 2,+oo>, obteniendo de la definición Dfos={xeD3 /xeDs A s(x )eD f} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 317
  • 163. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO l (2x xe(6,oo) log =x e Dga Rg, € Df * <f> x < -2 a 1- x € (-2,20) x > 6a 2x e (-2,20) x <-2 a - 2 <1x<20 x >6a -2 <2x <20 x <-2a -3<1x <19 x >6a -2<x <10 ^x <-2a 3<1x <-19^ xe(6,10)*0e (- 1 9 ^ 2 )* 0 ^ LueSo:fos =| 2(1- X)’ +1 X£<-,9'-2) (8x2+1 xe(6,10) 2x* —4x—1; si - 2 í xs2 (fog)(x) =j j x 3 _ 2 x | ; s¡ x > 2 @ Si g(2-x) =>/x"^7 y (gof)(x) =2x - 1, hallar f(x). g(2-x) =>/í-(2-x) => g(x) =VTo< (go0(x) =g(f(x)) =2x- 1 => ^1-f(x) =2x-1 => 1-f(x) =(2x-1)2 1-f(x) =4x2-4x +1 => f(x) =4x-4x2 g(x)J , - x X 6 <-».-2) 12x x e /6.oo SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net w* w edukpe .i rorst ' www.solucionarios.net FUNCIONES INVECTIVAS, SURYECTIVAS Y BIYECTIVAS ££ Sea la función f :[1.4] ->[a, b] tal que f(x) =x2- 2x +3 Demostrar que f es inyectiva y hallar los valores de a y b para que f sea biyectiva Debemos probar que f(m) =f(n) => m =n f(m) =f(n) =t> m2- 2m+3 =n2- 2n+3 => m2-n2-2m +2n =0 (m - n)(m +n) - 2(m - n) =0 => (m - n)(m +n - 2) =0 m-n =0 v m +n- 2 =0 de donde m =n Determinamos a y b: 1<x <4 =>0£x-1<3 => 0 <(x-1)' <9 => 0<x2-2x +l<9 => 2^x2- 2x +3<1l => 2 <f(x) <11 a <f(x) <b de donde a =2, b = 11 Ó x Es inyectiva la función real f =— CApmjL01 fEDUARDO ESPINOZA RAMOS~« Debemos probar que f(x,) =f(x2) =^x,=x2 f(x,) =f(x2) = > -^- =- ^ - => x,x2+x, =x2x? +x2 => (x2-x,)(x,x2-1) =0 ' 7 X, +1 x2+1 x2—x, =0 v x,x2-1=0 => x2-x, =0 => x,=x2 fes inyectiva 4-11x Sea f : A ~»(l,10] dada por f(x) = 4-2x SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 164. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I a) Determinar A inyectiva b) Mostrar que f es a) setiene: 1< - - 11x <io i n <10 4-2x 4-llx 4-2x 4-2x 4-2x 9x 2x-4 4-2x n 9x-36 A >0 n ----- >0 2x-4 4-2x 4-2x 2 2 A: X€^-Ó0,b]u[4, oo) + b) f(x) = 4-llx 4-2x Debemos probar que f(x, ) =f(x2) =>x, =x, 4-llx, 4-llx, f(x,) =f(x2) 4-2x, 4-2x2 (4-llx,)(4-2xt ) =(4-2xI )(4-1lx¡ ) 16-44x, -8x2+11x,x2=16-44x28x , +11x ,x 44(x2- x,)-8 (x2-x, ) =0 => x, =x2 .f es inyectiva 10+3x Sea A -»(-4,1] definida por f(x) = 10-2x c) determinar A d) Mostrar que f es inyectiva SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ------------------- t ' www.solucionarlos,net _ www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a) se tiene: , 10+3x - 4 < ---------------- <1 10-2x 10+3x 10+3x 10+3x ^, 4 <----- r> ----- <1 10-2x 10-2x 10+3x +4>0 n ------ 1<0 10-2x 10-2x 10+3x +40-8x 10+3x-10 +2x •>0 n --- — r----- ^0 10-2x 10-2x -5x+50 A 5 x . _ x-10 x ------ <0 n ----- >0 => -----<0 n ----<0 10-2x 10-2x x-5 x-5 A: xe(-<x>,0]^(l0,oo) b) f(x) = 10+3x 10-2x Debemos probar que f(x,) =f(x„) => x, =x2 f(x ) =f(x1°.t^ x_i =10+..3x2. [ ^ 10-2x,10-2x2 => (10 +3x ,)(10-2x2) =(10-2x ,)(10+3x2) 100+30x, -20x2- 6 x ,x2 = 100+30x2-20x, - 6 x ,*2 30(x2x,)-20(x2x,) =0 => x ,x 2f es inyectiva. Sea A -♦[-9,-1) definida por f(x) =- —X O X a) Determinar A inyectiva c) ¿f es suryectiva? b) Probar que f es SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 165. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO I a) f ( x ) . 3 í j i . g l 4- ^ ^ . 3- 4(3 - x -3 ). 15-4(3-x) ^ f . )mj s _ 3-x 3-x 3-x 3-x ' ' 3-x Luego: -9<x<-l => 1<-x <9 =>4<3-x<12 1 1 ,1 . 15 .15 ^ 5 15 . 1 5 — < -----< — => — < ------< — => — 4 < ------- 4 < -----4 12 3-x 4 12 3-x 4 4 3-x 4 11 3+4x 1 .11£/1 ^ —---<--• Luego: A : --- <f x <— => A: 4 3-x 4 - , 4 K b) Debemos probar que f(x, ) =f(x2) => x, =x„ f(x,) =f(x2) -11 _ i 4 ’ 4 3+4x, _3 +4x, 3-x, 3-x2 (3 +4x ,)(3 - x2)= (3 - x ,)(3+4x,) 9+12x, -3x2-4x,xe =9-3x, +12x2-4x,x2 „xS-OÍ => 12x, - 3x2 =3x, +12 x5 => 12(x, -x2)-3(x, - x ^ O => 9(x, -x2) =0 => x,=x2 11 1 c) Puesto q u e:---- <y< — * I -9,-1) Noes suryectiva 4 4 L Dadas las funciones siguientes: y i 1 f(x) =3x+2|x|; g(x) = ——¿ h(x) =3x+7; p(x) =x+2|x| x ¿Cuál de estas funciones es inyectiva? CTOI SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I *■ www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a) f(x) =3x+2¡x| = 3x+2x =5x x>0 3x-2x =x x<0 Debemos probar que f(x,) =f(x2) =>x, =xL, 3x, +2x, =3x2+2x2kj 3x, -2x, =3x2-2xs x, =x2u x, =-x2 f es invectiva x+1 b) g(x) = x—1 Debemos probar que g(x, ) =g(x2) x, +1 _ x2+1 x, —1 x2-1 b) f(x) =S e n (x );x e |- |,| (l +x,)(x2-1) =(x, -1)(x2+1) =>x2+x,x2—1—x, =x,x2-1 +X, -X Demostrar que las siguientes funciones son inyectivas a) f(x) =3x-2; x>0 c) f(x) =(x-h)2+k; x>h d) f(x) =2-x3; xe'Jí e) f(x) =V9+x! ; x>1 En forma analítica y gráfica a) f(x) =3x-2; x>0 Debemos probar que f(x,) =f(x2)=>x, =x2 f(x,) =f(x2) =>3x,-2 =3x-2 => x, =x2 www edukperv corrí SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 166. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I /. fes invectiva b) f(x) =S e n (x );x e ^ - |,| Debemos probar que f(x,) =f(x2) =>x, =x2 Sen(x,) =Sen(x2); xeí “ f , | f es invectiva c) f(x) =(x-h)¿ +k; x£h Debemos probar que f (x,) =f (x2*) x, =x2 f(x,) =f(x2) =>(x, -h)~ +k =(x2-h)‘ +h x,-h =x2-h =>x, =x2; x>h f es invectiva d) f(x) =2—x3; x€'JÍ Debemos probar que f(x,) =f(x2) f(x,) =f(x2) =s 2(-x?) =2(-x3) =>-xj =-x2 => x, = f es invectiva i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net A/W.v<9üur.:•' www.solucionarios.net CAPITULO I { EDUARDO ESPINOZA RAMOS « e) f(x) =V9 +x2; x> 1 Debemos probar que f(x,) =f(x2)=>x, =x2 f(x,) =f(x2) => ^/9+xf =^9 +x2 => 9+x* =9+x2 => x,=x2; xeíH; x >h f es invectiva Demostrar que la función f definida por f(x) =1- Vx2-4x-5; x <-1 es inyectiva Debemos probar que f(x,) =f (x2) x, =x2 f(x,) =f(x2)=>l-^xj -4x, -5=1-^x2-4x2-5 >/xJ-4x,-5 =^x2-4x2-5 => xj-4x,-5=x|-4x,-5 x;-x2-4(x, -x2) =0 => (x, -x2)(x, +x2-4) =0 x2=x, si x <-1 => x, =x2 X —1 es inyectiva Demostrar que f( x) =--- ; x * -2 es inyectiva ' x+2 OLUCI Debemos probar que f(x,) =f(x2)=>x, =x2 (x, —1) (x 2 + 2) = (x 2 - 1 )(x , + 2 ) => x,x2 +2x, - x 2 - 2 = x,x, +2x2- x , - 2 3(x, - x2) =0 => x, =x2 /. fes inyectiva — SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 167. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO l O Sean f :A ->B, g :B ->C, demostrar que: a) Si gof es suryectiva entonces g es suryectiva b) Si gof es inyectiva entonces g es inyectiva a) Sea h =gof; h: A -* B; g: B ->C; Rh: B ->C b) Sea h =gof por propiedad h ' =g 'of 1, luego si h es inyectiva, también f y g son inyectivas La función f(x) =^-^-j ¿Es inyectiva? El dominio: >0 => Df ={xe}í/xe(-oo,-lju(l,oo)j O Puesto que F: ÜR [0,+oo>, debemos probar que V y e [1,+oo>, no existe xeli] tal que f(x) Pero y e [ o , o o ) e [l,o o ) por tanto, f(x) no es suryectiva x=ax Sea f una función definida por: f(x) —— x e(0,2)u(2,oo) determinar si f es x -4 función biyectiva ^ K ¡ m r a r . T ? T El dominio; x2-4 * 0 => x * ±2 El gráfico facilita para determinar si es biyectiva o no SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © Determinar si la función f(x) =6x-x2-5 es inyectiva. Si no lo es, restringir su dominio para que lo sea. J b b m c m í f(x) =(x2-6x)-5 =- (x-3)2+9-5 =5-(x-3)2 No es inyectiva si el dominio es de x >3 si es inyectiva. O a«iTnw r.T,'— . .. . ídukperu coi" SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO www.solucionarlos,net
  • 168. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I O o f(x)= X +1 x+1 X x^í ; x £ 0 , del gráficos es inyectiva. ; x <0 (x +2)(x2+6x-16)(x-6) Dada la función f(x) =— -----7—— -— — -— . Mostrar que f es inyectiva (x-2)(x2—4x —12) Si ordenamos y simplificamos la expresión dada: (x +2)(xg+6x-16)(x-6) (x +2)(x +8)(x-2)(x-6) (x-2)(x2-4x-12) (x-2)(x-6)(x +2) Donde x*±2; x*6. Probamos si f(x) es inyectiva: f(x,) =f(x2) => x, +8 =x2+8 => x,=x2 fesinyectiva La función inversa: x =y-8=> f’ (x) =x-8 donde x*10; x*6; x*14. x-3 1 Dada la función f(x) =-- -+---- xe(l,2). Demostrar que f es inyectiva (o x—1 (x —1) univalente) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net f'-TT www.solucionarios.net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 0 Si ordenamos y simplificamos la expresión dada: (x-3)(x-1) +1-(x-1)2 f(x) = ( x - 1 ) x2-4x +3+1-x2+2x-1 x+8 (x-1)! (x-1) Si se sabe que f(-1) =4 y f(3) = -2 donde f es una función lineal, hallar ecuación que define f*(x) Para una función lineal: f(x) =ax +b => f(-l) =4= > b-a =4 f(3) =-2 => 3a +b =-2 Restando ambas ecuaciones: -4a =6 3 5 5-3x a =--, b =- => f(x) =---- La función lineal es inyectiva en x e ii 2 2 2 5-2y 5-2x Despejamos la inversa: 5-3x = 2y => x = ----- => f* (x ) = — -— J J 0 Si f(x) =2x +c y f(c) =2f‘ (c2). Encontrar el valor de: a) f(0).f*(0) b) lili r o í Hallamos la función inversa: x = f ( x ) = Si: f(c) =2f’ (c2) => 2c+c =2 =4 => f(x) =2x +4 V ' - . y a) f(0) =4 => f* (x) = x-4 f*(0) =-2 => f(0).f*(0) =4(-2) =-8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net 1
  • 169. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO l b) f(l) =6 =. f'(l) =— = i í l L A =-4 w 2 2 r (1) _3 2 <D Si f(x) =3x +2a. Determinar los valores de a de modo que f(a2) =f’ (a +2.) La función es lineal y por tanto es inyectiva. Su inversa: y =3x+2a => x = => f ( x) =* J Ü 3 ' 3 Luego: f(a! ) =f'(a +2) => 3a! +2a =— => 9a! +6a =2-a O ¿m. 9a! + 7a-© 0 => a =-1 ;a =- Q Hallar la inversa f(x ) si existe de la función f(x) =x2+4x-l, xej-4,-3) Despejamosx: y =x2+4x-l => y =(x +2)2-4-1 => x +2 =-^y +5 x =-2-yjy +5 => f (x) =-2->/x +5; x e (-4,-3) Hallar la inversa f* (x) si existe la función: f(x) =x2—2x—1; x>2 Analizaremos si f(x) =x2-2x-1 es inyectiva Si x>2 => f(x) =x2-2x-1=(x-1)2-2 => f(x,) =f(x2) (x,-1)2-2 =(x2- l)2-2 => (x,-1)2=(x2- l)2 =>x,=x2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios,net www.edukperu.cor* www.solucionarlos,net CAPITULO I c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « El rango de la función: y >-1 Hallamos la inversa y =(x - l)2-2=>x-1= >/y+2 =>x =yjy +2 +1 De donde: f (x) =Vx +2 +1; x>-1 Hallar la inversa f"(x) si existe para la función: f(x) =(|x-5| +x+l)v5-x Determinamos el dominio de la función, 5-x >0 Ahora la función valor absoluto |x-5| =j X X _ ^ de donde: f(x) =(5-x +x+1)>/5-x 15-x, x ^ 5 f(x) =6>/5-x Probamos si f(x) es inyectiva: f(x,) =f(x2) los demuestra que f(x) es inyectiva. Í w*- i Ox i O y ^ 1 Hallar la función inversa de f(x) si existe x3+4 x <1 Mediante el gráfico se observa que es inyectiva puesto que la línea horizontal corta el gráfico en un solo punto. www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 170. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I O Dada la función: f(x) = 2x-1 ; x <—1 4x" ; -l< x< 0. Hallar f*(x)si existe. x+4 ; x >0 Determinamos la función inversa x <-1 : y =2x-1 => x = ; y <-3 => f'(x) =- ~ x < - 3 -1 <x <0: y =4x2 x >0: y =x+4 =>x =y-4; y>4 => f‘ (x) =x-4; x>4 x-2 f(x)= ; x <-3 0 S X S 4 2 x-4 ; x > 4 O Dada la función f* (x) = |x -4| „2 0 <x <2 ---+X—1; X >2 2 Hallar f’ (x)si existe. x -4 = x2-4 x <2ux >2 4 - x -2<x<2 Determinamos la función inversa: f(x) = 4-x2 ; 0<x <2 x2 — + X —1 ; X>2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wwvvedjkperu aárn www.solucionarios.net c a pitu lo i EDUARDO ESPtNOZA RAMOS « Por tanto la función es invectiva. Los rangos en cada inteivalo se detallan en el gráfico Determinamos la función inversa 0<x <2: y =4-x? => x =V4—y ; 0<y<4 => f’ (x) =V4-x; 0< x¿4 x >2: y =-^- +x-1 => x2 - 2 x + 2 +y =0 => ( x —1) -1 +2 +y =0 => x =1+>/-1 - y f‘ (x) =1+V-1-x x^-1 x >0: y =x+4 =>x =y - 4 ; y > 4 => f‘ (x) =x-4; x >4 V4-X ; 0<X £4 f*(x) = 1+>/—1—X ; x <-1 x2+2x+x ; x<—1 Dada la función f(x) =«T Hallar f* (x) si existe [ -Vx +1 ; x£-l Determinamos la función inversa x <-1: y =x2+2x+2 => (x +1)*=y-1 => x =—1—>/y—1; y>1 x >-2: y =-Vx +1 => x+1 =y* => x =y2-1;y<0 f*(x) =x2-1; x<0 —1—VX —1; X >1 x2-1 ; x£0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 171. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I O Dada la función f definida por: f(x) =• Hallar f*(x) si existe. yjx‘ +X+2+1 ; -1^x<- 2 2— ; 2<x<4 x+1 M m a s n m v a m Determinamos la función inversa -1<x¿-: y =Vx +2-x2+1 => (y —1)2 =x +2-x2=^(y-1)2=|-^X- Ij 2 < x < 4 : y = 2 - x+1 7 7 x + 1 = ------ => X = ---------- 1 y-2 y-2 7 i x+5 1 1 • x) = ------- I = - — ; — < x < - x-2 2-x 3 5 f"(x) = - - 1 1/9-4(x +l)2; 1 S x á | x + 5 2^x 1 1 ; — < x < - 3 5 Dadas las funciones f y f definidas por: f(x) = 0 ; X < 0 X 2 ; 0 < X < 2 ; g ( x ) = n ; x>2 2 ; x < 0 4x ; 0 < X < 1 -1 ; x > 1 Hallar (f+ g )(x ), determinar si es inyectiva, en caso afirmativo hallar (f +g)*(x) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ‘ _ J www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I Intersecamos los dominios Df, n Dg, =><0 Df, o Dgo =></> r EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Df, n Dg, => </> s, Df n Dg¿ => 0 <x <1 Df n Dg3 => S, =><0 Df3n Dg2 =></> Df3n Dg, => +g)(x): 2 x <0 x2+4x 0 <x <1 2 1 X -1 1<x<2 7t~ x >2 f(x)> Como se sabe, las funciones constantes no son inyectivas, como es el caso h(x) - 2 en x<0 y h(x) =;r-1 en x>2 por lo que función hallada no es inyectiva, y por tanto no tiene inversa. O Analizar la inyectabilidad d de tal función x2+2x-1 x^2 f(x) = -X x >2 En caso afirmativo hallar f* ( x ) . Analizaremos si f, (x) =x2+2x-1 y f2(x) =-x3 es inyectiva Si x ^ 2 =>f,(x) =x2+ 2 x - l= ( x + l)2 - 2 => f,(x ,) = f,(x2) (x,+l)2-2 =(x2+ l f -2 => x,=x2 v x, =x2-2 Por tanto, la función no es inyectiva. - SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 172. www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO II .. í EDUARDO ESPINOZA RAMOS jE g a a m LÍMITES Y CONTINUIDAD Mediante la definición de límite, demostrar que: D lim(3x! -x-2)=8 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e > 0 , tal que se cumple: |3x2-x-2-8|< í o |x -2 |< 8 Pero |f(x)-L|=|3x2-x-2-8|*|32-x-10|á|x-2||3x +5| ...(1) Tomamos 8 X =1 para acotar |3x+5|. En efecto |x—2| <1 <=> -1 <x-2 <1 <=> 1<x <3 <=> 3<3x <9 <=> 8<3x +5<14 |3x+5| <14 ...(2) Si (2) en (1): |f(x)-L|=|x-2||3x +5|=14|x-2)<f <=>|x-2j <^ =S2 Por lo tanto tomamos 8 =min1,— 1 Luego, dado e >0,3 8 - min1,— 14J l 14. setieneque: 0<|x-2|<¿> =>|x—2¡|3x+5| =14¡x—2| < e Ijm (3x~-x-2) =8 ^ lim(3x2+2x) =5 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0 ,tal que se cumple: |3x2-x-2-8| < e o|x-l|<<? Pero |f(x)-L|=|3x2+2x-5|<|x-l||3x +5| ... (1) . . . SOLUCIOf^RIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Ii ■ 'i www.solucionarlos,net
  • 173. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II Tomamos ¿>} =1para acotar |3x+5|. En efecto: |x -1|< 1 <=> —1 < x—1 <1 o 0<x<2 <=> 0<3x<6 o 5<3x +5<11 <=> |3x+5|<11 ...(2) Si (2) en (1): ¡f(x) —L| =|x-l||3x +5| =11 ¡x -1| <£•<=>¡x -1| <^ =¿>2 Por lo tanto tomamos S =minj 1^ j . Luego, dado £ > 0, 3 S =min j l ^ j setieneque: Si 0<|x—1|<5 =>|f(x)-L| =|x-l||3x +5| =1Ijx —1|<e lim(3x2+2x) =8 lim(4x2+x-4) =14 Debemos hallar S >0siempre que exista e >0, tal que se cumple: |4x2+x-4-10|<f<=>|x-2|<<5 Pero |f(x)-L|=|4x2+x-4-14|<|4x2+x-18|<|x-2||4x +9| ...(1) Tomamos =1para acotar ¡4x+9|. En efecto |x-2|<l <=>-1<x -2< 1 o l< x < 3 <»4<4x<12 cc> 13<4x +9<21 <=> |4x+8|<21 -..(2) Si (2) en (1): |f(x) —L| =|x -2||4x +9| =21 |x - 2 |< ¿:o |x - 2 |< ^ =<52 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I - , www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Por lo tanto tomamos S =minjl ^ j. Luego, dado c >0, 3S =min j 1,—j setieneque: Si 0<|x—2|<¿> => |f(x)-L| =|x-2j|4x +9| =2l|x —2j <e lim(4x2+x-4) =14 lim(ax“ +bx +c) =aXo +bx0+c Debemos hallar 5 >0siempre que exista £ >0, tal que se cumple: |ax2+bx +c-ax2-bx0-c| <£<^>|x—x0|<S Pero |f(x) —L| =|ax2+bx +c-ax2-bx0-c| <|a(x2-x2)+b|(x-x0) <|x-x0||a(x +x0)±b| ...(1) Tomamos =1 para acotar |a(x +x0) +b|. En efecto. |x—x0|<1 <=>-1<x-x0<1 <=>2x0-l <x-x0<l +2x0 a(2x0- l)< a(x-x0)< a(l +2x0) a(2x0- l) +b<a(x-x0) +b<a(l +2x0) +b |a(x-x0)+b|<a(l +2x0) +b ..-(2) Si (2) en (1): |f(x)-L| =|x-x0||a(x-x0)+b| =|x-x0|[a(l +2x0) +b]<£ <=>lx-xj< v - =<R a(l +2x0) +b i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 174. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II 0 Por lo tanto tomamos 8 =min^ I a(1 +2x0) +b J Luego, dado e >0, 3 8 =min ¡1 y se tiene que: a(l +2x0) +b Si 0 <|x-x0|<£ =* ¡f(x)-L| =¡x-x0||a(x-x0)|[a(l +2x0)+ b] |x-xç| <¿r lim(ax2+bx +c) =ax2+bx0+c 3x-1 1 rn aÉ& m m n t& É lim k-*o x-2 2 Debemos hallar 8 >0siempre que exista e >0 , tal que se cumple: 3x-l 1 x-2 2 <e<=> Pero |f(x) —L| = |x-0| <8 3x-1 1 x-2 2 6x-2-x+2 2(x-2) <6 2(x —2) Tomamos 8} =1para acotar 2(x-2) . En efecto. <1 <=> —1<x <1 <=>-3<x-2<-1 <=>1<¡x—2|<3 o 2<2|x-2|<6 o - < 6 2(x-2) <- o 2 2(x-2) 1 <- 2 ...(2) Si (2) en (1): |f(x) —L| =6 2(x-2) =3 |x <e <=> Ix <—= SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO ¡I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Por lo tanto tomamos 8 =min-j1^ j-. Luego, dado e >0, 3 8 =minj 1,- setieneque: Si 0 <jx| <¿> => jf(x)-L| =|x| 2(x-2) =3 Ixl <£ .. 3x-1 1 lim---- =- x-o x-2 2 .. x-1 lim--- =-I x-»0x+1 m m m j * Debemos hallar 8> 0siempre que exista £ >0 , tal que se cumple: x-1 x+1 ■+1<£ O X- 0|<8 Pero |f(x) —L| = x-1 x+1 +1 X-1+X-1 Tomamos 8. =- para acotar 2 x+1 1 +1<2 x+1 x+1 . En efecto. ..(1) 1 , 1 1 1 1 , 3 2 X <=>--<X <- O -<x +1<- <=>-< 1 1 2 2 2 2 2 3 1 A K> 0 1 x+1 X+1 <2 ...(2) Si (2) en (1): ¡f(x) —L| =2 x+1 =4 |x| <£ <=> |x|<- =£2 Por lo tanto tomamos 8 =minj-L-1 . Luego, dado £>0, 3 ¿ =m in ji,- 12 4J (2 4 ' , (.• :? -*>up s.v- y se tiene que: Si 0 <|x| <¿> => |f(x)-L| =|x|— - =4 |x| < SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 175. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II X-1 lim --- =-1 x-,0 x + 1 .. 2x+3 8 lim---- =- »-a 5 -x 9 Debemos hallar 5 >0 siempre que exista £ >0, tal que se cumple: 2x +3 8 ---- =—<£ C3> 5-x 9 1 x— 2 <6 Pero |f(x) —L| = 26 1 x— 2x+3 8 18x+27-40 +8x 2 5-x 9 9(5- x) ^ 9|x—5| Tomamos S. =1para acotar x-5 En efecto: 1 x— 2 i 1 i 11 c 1<1 <=>—l<x — <1 <=> — <x-5< — 2 2 2 7 i d 11 2 <=>-< x-5 <— o — < 2 1 1 2 11 1 2 <- <=> 1 2 <- x-5 7 x-5 7 Si (2) en (1): |f(x)—L| = 26 1 x— 2 _ 26 ' 2> 1 1 9 x-5 ” 9 x— 2 <£ <=> X-- 2 63¿r . <---=<£> 52 2 Por lo tanto tomamos S =min-! 1 . Luego, dado £ >0, 3 S =mini 1,^^ ' 52 I 5 I ' 52 y se tiene que: Si 0 < 1 x— 2 <S => |f(x) —L| = 1 X-- 1 52 1 x— 2 x-5 "63 2 <£ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net _ e ____ www.solucionarios.net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS << .. 2x+3 8 lim---- =- 5-x 9 lim =-21 x—7x+8 Debemos hallar S >0siempre que exista £ >0 , tal que se cumple: 3x x+8 =-21 <£<¿>|x+7| <6 Pero |f(x) —L¡ = 3x x+8 +21 3x +2x +168 x+8 24|x +7| |x+8| Tomamos =- para acotar x+8 . En efecto: , ,| 1 1 _ 1 1 Q 3 2 x + 7 < - <=> — < x +7 < - <=> - < x +8 < - co - < 1 1 2 2 2 2 2 3 x+8 <2 x+8 <2 - (2 ) Si (2)en (1): |f( x ) - í| = =24(2)')x +7|<£ o |x +7 | < ^ = ^2 Por lo tanto tomamos S =min ¡ . Luego, dado £ >0, 3 S =min--, — l [2 48! 12 48J setieneque: Si0<|x +7¡<^ => |f(x) —L| =24|x +7| x+8 =24 ix+7| <£ lim — X—=-21 x-*-7x 8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 176. www.solucionarios.net y EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II 0 lim( x1-3x2+3x-l) =8 x-»3' / Debemos hallar 8 >0 siempre que exista e >0 , tal que se cumple: ¡x(-3x2+3x —1—8| <£ <=> |x-3|<¿> Pero |f(x) —L| =|x 3 -3x2+3x-l-8| < (x —1)3—8 < <|x-1-2||(x-l)2+2(x-l) +4| <¡x-3||x2-2x+1+2x-2 +4| <|x-3||x2+3| Tomamos 8. =1para acotar |x2+3|. En efecto. :—3|<1 <=>-l<x-3<1 <=> 2<x<4 <=> 4<x2<16 <=> 7< x2+3<19 <=> x 2+3<19 O) (2) Si (2) en (1): |f(x)-L| =|x-3||x2+3|=19|x-3|<£ o |x-3|< — =¿2 19 Por lo tanto tomamos 8 =min1,^ l . Luego, dado e >0, 3 8 =min 1,^ setieneque: Si0<|x-3|<¿ => |f(x) —L| =|x -3||(x2+3) =19| |x-3|<e lim(x3-3x2+3x-l) =8 lim(x3-x2-2x) =140 ja *T .rrim r.T » r Debemos hallar 8 >0siempre que exista £ >0, tal que se cumple: SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net v/ww;e"dukí>erj.co'7<• www.solucionarios.net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ¡x'1—x” —2x—140| <£ o jx—5| <<5 Pero |f(x) —L| =¡x3—x'^-2x-140¡ <|x-5||x'J +6x +30| Tomamos 8i =1para acotar ¡x2+6x+30|. En efecto. |x—5| <1 <=>—1<x —5<1 <=>7<x<3<9 o 49 <(x +3)“ <81 o 49+61<x2+6x +9<81 +21 49+61 <x2+6x +9+21 <81 +21 <=> 70<x:'+6x +30<102 x2+6x+30<102 ...(1) ...(2) Si (2)en (1): |f(x) —L| =|x-5||x2 +6x +30| =102 |x-5| < £ o |x —5| = Por lo tanto tomamos 8 =min>{1,-^- L Luego, dado £ >0, 3 8 =min ,-^— 1 102 5 1 102 setieneque: Si 0 < |x—3|< ¿> => ¡f(x) —L| =|x-5||x2+6x +30| =102 |x—5| <£ lim(x3-x* -2x) =140 © lim(3x3-2x2+2x-3) =-39 Debemos hallar 8 >0siempre que exista £ >0 , tal que se cumple: 3x"’ -2x2+2x-3 +39|<£ |x+2¡<<5 Pero jf(x)—L| =|3x *-2x2+2x+3ó| _ SOLUCION ARIO ANALISIS MATEMATICO www.solucionarlos,net
  • 177. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULOII 3 -2 2 36 -6 16 -36 2 3 -8 18 0 <|x+ 2||3x 2 - 8 x + 18|< 3|x + 2||x 2 - 8 x /3 + 6| Tomamos <5, =1para acotar |3x2-8x +18¡. En efecto. |x+2|<1 co -1 <x+2< 1 <=>-3< x <-1 o - — <x~—<-— 1 1 ' 3 3 3 (1) © 49 I 4) 169 49 2 8x 16 169 —- < X—— < ------- ----< X ‘ --------+ — < ------ 9 i 3) 9 9 3 9 9 — <x2- — <17 « 11<3x2-8x<51 3 3 o 29<3x2-8x +18<69 o 3x~-8x +18<69 ...(2) Si (2) en (1): |f(x)-L| =|x+2||3x2-8 +18| =69|x+2|<£ |x+2|< ^ =¿ Por lo tanto tomamos S =m¡n<¡!,^|. Luego, dado £>0, 3<? =m in jl,^ se‘iene que: Si 0<|x +2|<¿> => |f(x)-L| =|x+2||(3x2-8x+18) =69| |x+2|<¿- lim(3x3-2x2+2x-3) =-39 limVx +1=2 kiOUIgii) Debemos hallar S> 0 siempre que exista e >0 , tal que se cumple: www.solucionarios.net wvvw.edi^ ;éru.corv www.solucionarios.net CAPITULO II EDUARDO ESPINOZA RAMOS « /x+1-2¡ <c <=>|x—3|<<5 Pero [f(x)—L| =|Vx +1-2| <|x-1-2| < x+1-4 Tomamos 6. =1para acotar 1 íx +1 +2 n/x +T+2 En efecto x-3 >/x4-1+2 (1) :—3| <1 <=>-1<x-3<1 o 3<x +1<5 <=> ¡3 <yJx +'<y¡5 <=> ¡3 +2<-v/x+T+2<y¡5 +2 o —fJ — < 1 1 < V5+2 >/x+1 +2 >/3+2 Si (2) en (1): |f(x)-L| =^ L | = (2- S p <« Por lo tanto tomamos 5 =min j1,^(2- V 3 j|. Luego, dado ¿:>0, 3 S =min Jl,¿:(2->/3)J y se tiene que: i 0 <Jx—3| <<5 => |f(x) —L| = —j^ ^ ={2-y¡3^S<£ limVx +1=2 (2) Si SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 178. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II lim74x-5 =3 x—>8 Debemos hallar S >0siempre que exista e >0 , tal que se cumple: |%/4x-5|<e <=> |x-8|<¿> pero |f(x) —L| =|</4x—5 —3| h/---- l |4x—5—27) 4¡x—8l K/4x-5-3k 1 ■— — i— — < - = = J --- j------— ^(4x-5)' +74x-5 +9 ^(4x-5)‘ +3>/4x-5+9 Tomamos ¿>, =1para acotar ...O ) 4|x-8| . En efecto. ^/(4x-5)2+374x-5+9 x—8| <1 => -1 <x-8< 1 => 7<x<9 =>28<4x<36 ==> 5<4x-23<13 75<74x-23<7Í3 => 75 +|<3/4x-23+-<7Ï3 +- 1 1 1< , ...— < 75+2 7x+1+2 73+2 75 +| <^4x-23 +| j <^7Í3+^ ... (2) 23^23 +3^23 +- <^/(4x- 23) +3^4x-23 +-< 13^13 +3^13 +- ...(3) Si (3) en(1) 4|x-8| 4<y ^(4x-5)2+3^4x-5 +9 23^23+3^23+9 r(23^23 +3 ^3 +9) ’ 4 X s o l u c io *mw:mmmarios.net www.solucionarios.net CAPITULO II EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ¿'(23^23+3723+9) Por lo tanto tomamos ¿>=min . . .,*23723 +3723+91 .. 3/----- 0 Luego, dado £> 0, 3¿>min=-M,-------------- W se tiene que: limv4x-5=3 4 . j *-»8 lim(3-73x) =0 Debemos hallar 5 >0 siempre que exista e >0, tal que se cumple: |3-73x -0|<¿- <=>|x|<£ Demostramos |3- 73x —oj <>/31Vx —73j<73 x-3 x-3 Tomamos S. =1para acotar 7^-73 En efecto. 7x-73 :—3| <1 =>-1<x-3<1 =>2<x<4 =>72<7x<72 ...O ) © 72 +73 <7x +73<2 +73 2+73 7x+75 72+73 En (1): 73 x-3 7x+73 , , e (j2 +S ) <—=-- =•=¿T => Ò= •J2 + J3 s í (x/2+73) ’’ Æ lim <Jx-H =-5 x-»27 ... (2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 179. www.solucionarios.net __________ » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO II TtlITiniiMT Debemos hallar 8>0 siempre que exista e >0, tal que se cumple: |^x-8 +5| <e o |x-27|<£ Demostramos: |Vx-8 +5| <|Vx-3| < x-27 >/x* +3^x+9 s | ^ _ 3 | ^ i 4X- 5-27i 4¡x—8i Tomamos Ô. =1para acotar ^(4x-5)‘ +^4x-5+9 ^(4x-5)2+3^4x-5+9 1 ... (2) x‘ +3>/x +9 . En efecto. |x-27|<1 => -1<x-27<1 =>27<x<28 => >/26 <v/x < ^26 +^ <>/x+“ <^28 +1 => ^26 +| j <ÿx^ +3ÿ^ +5< 3 +— 2 +- 2 ( 2 ^28 +1 ) + Ç (2^8+3) +27 Luego en (1): Vx*+3ÿx+9 (2^26 +3) +27 Luego: ¿ „ „ » j v (2^6+ 3)' +27 1 limV2x =/^4 x-*2 (3/26+3) +27 (2V26 +3)' +27- £=>S =£ •VV SOLUCI1 www.solucionarios.net ^AVw.edukperucoiTt www.solucionarios.net CAPITULO II ( EPUARPO ESPINOZA RAMOS « Debemos hallar ¿>>0siempre que exista £ >0 , tal que se cumple: ^3/2x+V ?I<£■ o |x+2|<¿> Demostramos |%/2x+>/4| < Tomamos =1para acotar 2x+4 >/4x +2^x +ÿlô ■(1) . En efecto. ^ +2 ^ +2^2 x+2| <1 =>-1<x +2<1 =>l<x<3 =>2<2x<6 => V2x +V2x +^6 =>^2+1 <^2x +1<Vó +1 =>(^2x +l) <>/4>? +2V2x+1<(^6 +1 ) =* ^4 +2^2 +1 <V4xF +2^2x+1 <^36 +2^6 +1 => V4 +4V2 <V4xF +2V2x+2V2<V36 +2Vò+2V2 1 ^36 12^6 +2^2 ^4xF +2V2x +2V2 -=-^—= =£=>¿>=¿:(V4 +4V2 ) Æ +4^2 V1 ^4+4^2 Luego: 4 «,- {v [(V Ï+ 4 ?/ 5 )]} lim/4x-5 =3 NÉir x-»8 Debemos hallar <5>0siempre que exista £ >0 ,tal que se cumple: www.solucionarios.netONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 180. www.solucionarlos,net _________ » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II |%/4x—5j <e o |x-8|<¿> Demostramos |^4x-5-3|< |4X—5—27| < -p- X i 00 ^/(4x-5)2+^/4x-5+9 ^/(4x—5)2+3/4x-5 +9 Tomamos 8. =1para acotar 4|x —8| ^/(4x—5)" +3>/4x-5 +9 |x—8| <1 => —1<x —8<1 =>7<x-9 =>28<4x<36 =>28 <4x-5 <31 =>^23<^/4x-5<V3Í +3/2 < /4x-5 +3/2 < V3Ï+3/2 En efecto. (1) 4 1 4 (V5Ï +3)' ' Í¡(4 x-5 f +3>/4x-5 +9 ' ( ^ 3 +3 f Luego: * _______ _(2^3 +3f ^4+4^2 4 = ^ í (2^23 +3)" © lim(3-V3x) =0 SOLUCIOI www.solucionarios.net ww/..edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Debemos hallar 6 >0 siempre que exista e>0, tal que se cumple: |3—>/3xj< o |x-3|<¿> Demostramos ¡3-V3x|< 9-3x Tomamos Ô, =1para acotar 9+3l¡3x+lfihf 1 3(x-3) l¡ 9 x F + 3 í¡3 x + 9 Enefecto: |x—3|<1 => -1<x —3<1 => 2<x<4 => 6<3x<12 %/ó < ¡3 x < > fÍ2 = * V6 +|<V3^ +|<^/12 +| En (1): f^/6+|i< ^ 9 Íi' +3V3^ +9<ÍVÍ2 +| ..(2) Luego: 4 1 4 |v/Ï2 +3)2 ^/9xF +3V3x +9 ' (2>/ó+3)' Luego en (1): 12S Luego: ¿>Mj = (2ÿ6 +3)‘ ^(2^6 +3) 12 •=£ => S =£ +3)2 12 !+óV limV2-x; -Vx =0 Debemos hallar 6 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www solucionarios.net
  • 181. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO || — 72-x" - Vxj <e <=> |x-l|<¿>; demostramos V2-X2-7x| < 2- x‘ - x 72-x2+7x x" +x-2 72-x*’ +7x x+2 (x-1)(x+2) V2-X2+7* Tomamos £ =- para acotar +7x x+2 (1) V2-X2+7x En efecto. k, ,1 , 1 1 1 5 1 » 25 x—1<1 =>— <x <-=>-< x <- =5« — <x <— 4 4 4 4 16 16 25 31 =>--- <-x*<----- => —<2-x <— 16 16 8 16 V3T+2V5 < x+2 72-x? +Vx 13 Vó+2 En (1): ¡x—1j -=— 1 1V6 +2 Iim72 - 72x=2 =£ => ¿>= (V6+ 2) — ¡3 ¿r|76 +2j ' Í2 ~ Debemos hallar 8>0 siempre que exista e>0, tal que se cumple: |n/2-V2x =2|<¿ o |x-8| <8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net * ____ www.solucionarios.net CAPITULO II Demostramos ¡V2- 72x =2| <J>/2x—4—>/x+2| < ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x-16 x-8 72x+4 Tx2+27x +4 |x—8 < ' _ 1 + ;-8| 2>/2x+4 y]x~ +2Í2x +4 Tomamos =1 para acotar 1 1 72x +4 y 7x^ +7x +4 . En efecto. Ix—8| <1 =3> -I<x-8<1 => 7<x<9 => 14<2x <18 => >/Ñ <n/2x <n/Î8 ^ V24+4<V2x +4<VÏ8 +4 3-72+4 y¡2x +4 VÏ4+4 ...(2) Luego: Ix—8|<1 =>-1<x-8<1 => 7<x<9 =0 y¡7 <7x<79 => V7+1 <7^ +1<79 +1 => (77+l)‘ <(7^ +l)2<(79+l)2 => 7*49+277+4 <7x^ +4 <781+279 +4 ... (3) 78Ï +279+4 7x^ +27x +4 749+277+4 |x-8| |x-8| 2¿ (2) y (3) en (1): 2±--- L+- W ----------- =— < — + 2x+4 7xT+27x +4 7Ï4+4 749+277 +4 =£ í l - J — 1 7Ï4 +4 749 +277 +4 .. 1 1 lim . =-7= *“♦'7x+1 72 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 182. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: _ J _____ 1_ Vx +1 Í2 _J____ 1_ V ^ ï ' Æ <£ <=>|x—lj <¿>, demostramos V2-V>m y/2+ylxTï por conjugada 1 X 1 CM X 1V2Vx +1(V2 +Vx +1) V2Vx +1(V2 +Vx +1) •••O) Tomamos 6 = 1 para acotar x—1 y¡2Vx+7(y¡2 +-v/x+T) En efecto: |x—1¡<1 =>-1<x-1<1 =»1<x +l<3 =>1<Vx +1<V3 1 1 sfe Vx +1 (2) Desde 1<Vx +1<y¡3 => 1+y¡2 <Vx +1+¡2 <>¡3+y¡2 Í3 +y¡2 Vx +1+V2 1+V2 Con (2) y (3) en (1): |x-l| . . . ( 3 ) n/27ÎTT(V2 +V ÎT Ï) Luego: i - ^ , - { l , Æ ( Æ + l ) i } ® lim- ^ ^ x-+] V7^x 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net ■wm ganKpenrcoi www.solucionarios.net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: 1 1 V7~-~x 2 1 1 slï^x 2 o |x-3|<£, demostramos 2-V7^x 2V7 -' Por conjugada 4--7+x < x-3 < x-3 2V7-X 2 +V7 -x) 2V7-X 2+V7-x) 2V 7- X 2+^7-x) Tomamos 5 = 1 para acotar . En efecto. 2V7 -x(2 +V7 -x) |x—3|<1 =>—1<x—3<1 => 2<x<4 =>-4<-x<-2 => 3<7-x<5 V3<V7^x<V5 =>2+Æ<2 +V7^x <2+V5 1 1 1< -= = — < V5+2 V7^x+2 V3+2 También -j= < — <-j= >/5 V7-x V3 De (2) y (3): — <^ = - ' ------< 1 5 +2 Æ VTÔ<(7-X +2) 3+2V3 x—3 £ (2) ...(3) . . . ( 4 ) Con (4)y (1): ¡f(x)-L| <—y= — -- r< — 2-¡= =>S= c(3 +2-j3) ' 1 2n/7^(2 +v/7-x) 3+2x/3 v ’ Luego: <y=<yMln=|l,(3 +2V2)ffJ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 183. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II O lim i & " Vx’ TT 2 Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: <£■ <=>|x—1|<¿>; demostramos V 2 - V x Ñ Í_ J ____ £ 7x2+1 2 1 1 7 ?T 7 72 7x* +1 Por conjugada 2- x2-1 <r |x*-l| |x -1 ||x +1| 7x2+i (72+7x2+1j 7xí +l(>/2 +Vx! +lJ 7x? +1 (72+7x2+1j Tomamos ô = 1 para acotar x+'I . En efecto. 72 +l(72 +7x2+1j ¡x—1|<1 => —1<x —1<1 =>l<x +1<4 => l<x+l<3 ...(2) |x-l|<l =>-1<x-1<1 => 0<x<2 => 0<x: <4 =>1<x2+1<5 1<7x2+1<75 1+^2 <7x2+1 +7^ <75 +72 1 r 1 1 7s+72 72+7j?+i< 1+72 También 1<7x2+1 <75 => <-¿ J <1 75 Tx7^ De (3) y (4): 5+7TÔ 7x2+i |72+7x2+1j 1+72 . . . ( 3 ) . . . ( 4 ) . . . ( 5 ) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO II En (1): |f(x) —L| < |x—1| |x+1| ^ 3¿> Luego: d' =d'Min= U Jx2+1.(72 +7x2+l) ^1+7211 1+72 d=£ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « lim ----= x-*° 7x +4 =1 apuraran Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: 2 :-1 7x +4 |f(x)-L|s <£ <=> |x| <<5. Demostramos 2 - 7 x +4 7x +4 -1 7x +4 Por conjugada 1 X 1 <- m 7x +4(2 +7x +4 j %/x+4(2 +-</x+4) Tomamos Ô =1 para acotar En efecto. 7x +4 (2 +7x +4) |x|< 1 => —1<x < 1 => 3<x +4<5 => 7 3 <7 x + 4 < 7 5 7 3 + 2 < 7 x +4 +2 < 7 5 + 2 1 1 1 <- = — < 75+2 7x +4 +2 2+73 (1) También: 73 <7x +4 <75 => —¡=< 1 1 1 75 7x +4 73 (2) ( 3 ) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 184. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II $ En(1): |f(x) —L|<— — y r^=- r T ' r=£ ^ ¿ =g(3+2>/3) 1 1 V ^ 4 (2 +>/^4) V§(2 +V3) Luego: ^ =íJMin={l,<c(3+2>/3)} .. x+1 _ lim—==-=2 Vx Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x+1 -2 x+1-2/x IVx-ll* — =-L- < Vx-lVx-1 Por conjugada IVHKH 7x ¡n/x +i | 1 hMTomamos ¿ =- para acotar ...0 ) En efecto. Vx |>/x+1| 1 11 1 1 , 1 1 3 1 r fix-1 <— => --< x —1<- =s> - < x <- =0 —= < vx < J- 1 12 2 2 2 2 V2 V2 +1< +1 También -7=< ■h •/3 +V2 n/x+1 1+Æ 1-V2 r , >/3-x/2 <Vx - 1 < (2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■ , www.solucionarlos,net ww.v.ed jkpáru.c • www.solucionarlos,net CAPITULO II EDUARDO ESPINOZA RAMOS « V 3 - n/2 i r j n/2 - 1 <p/x-1 < Æ 1 1 Æ ’ < ^ < j l = > / ? < ’ <^2 í, |l 72 V2 V3 Vx |x-l||Vx-l| S(S-sl2)sl2 En™ |,w- ^ a C T s JTT-- ...(3) ...(4) .. Vx-1 1 lim---- =- X-1 x-1 2 Vx|Vx V2-1 Vó-2 £ -O (')'= V 5 - 0 Vó-2 1te xvl^ "rxW Debemos hallar 6 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: Vx-1 1 x-1 2 |f(x)-L|< <£ <=> |x—1|< ; demostramos 2/x-2-x +1 2(x-1) j2+ XV;í ¡!¿+ XV¡]f— |x -2n/x +i | |Vx - 1|‘ |Vx-l||Vx-l| " 2|x -1| '2|X-1| " 2|x -1| !> X V '‘ Por conjugada JvM sJi± 2|Vx-l| 2|Vx-l| >r-c= r Tomamos Ô= 1 para acotar 2|7x-lf . En efecto. :—1|<1 =>-1 <x-1 <1 => 0<x<2 =>0<Vx<V2 (2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 185. www.solucionarios.net www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ; CAPITULOII 1<Æ +K>/2 +l => 1 < (Æ +1) <(V2 1) CAPITULO II — - < — , <l ...(3) (Æ +1)‘ (n/x +i ) En(1): |f(x)-L|s-jí—!L< ^ = £ = > ¿ =2£ Luego S= S^ {],2 c} $ .. i/x-2 1 lim-----=- x-*4 x-4 4 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista c >0, tal que se cumple: Vx-2 1 x-4 4 |f(x)-L|s <£ <=>|x—4| < , demostramos 4 y jx - 8 - X + 4 4(x-4) |x-4Vx+4| |>/x—2| |Vx —2||n/x —2| s 4 |x - 4 | ~ 4jx-4| S 4|x-4| j x - 4|Æ-2| ¡x—4| Por conjugada J ----- r-=— 4|x—4j|>/x+2| 4j>/x+2j Tomamos 8 = 1 para acotar En efecto. 4[>/x+2| |x—4| <1 =>-l<x-4<1 =>3<x<5 => Í3 <>/x <¡5 V3+2<>/x+2<V5+2 => (V3+2) <(Vx+2) <(>/5+2) 1 1 (Æ +2) (>/x +2) (73+2j ... (2) -£ => S= 4£^4¡5 +7) í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net I / x 1 lx_4l S En (1): f x -L < 1 1 < 1 ' 4|V3+2| 4|V3+2| Luego: ^ =¿>Mm={l,4^(4V5 *+*7)} >/2x-2 1 lim----- =- x-*2 x-2 2 JS JE Í1 S !¡S E Q t f Debemos hallar 6 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: >/2x-2 1 x-2 2 |f(x )—l| <, <£ <=> |x—2| <<5; demostramos 2 /x- 4-X+2 •2(x-2) Por conjugada |x-2>/2x+2| j-s/x—2| |Vx->/2||Vx->/2| ” 2|x-2| “ 2|x—2| " 2|x-2| |x-2||- l |x-2| 2|x-2||Æ +2 1 2I¡^ +Æ| Tomamos 8 =1 para acotar En efecto. 2|Æ +Æ f |x—2| <1 => - 1<X- 2 <1 =>1<X<3< y ¡ X < y Í 3 1+-72<fx +y¡2 <¡2 +y¡3 => (>/2+1j <(Vx +V2 ) <(V2 +^ ) 1 1 1<------- - < ...(2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net i
  • 186. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPÍTULO II En(l): |f(x) —L| < 2|Æ +Æ |' 2|Æ +Æ| Luego 3=6^ {1,2^(5 +276)} üm J—7— - =- ^Ér x-5x2_9 4 ■^-e => ó =2¿:(5 +2>/6j Debemos hallar 5 >0, siempre que exista £>0, tal que se cumple: I x+4 3 Vx2- 9 ~4 |f(x)-L|< <£■ o lx-5|<£; demostramos I x+4 3 |47x +4-37x2-9 Vx2-9 4 47x2-9 Por conjugada |l6x +64-9x2+81| |9x‘2—16x—145¡ 4>/x2"-^|4Vx~+4+3>/x^ 9 | 4^x2-9|4>/x +4 +37x2-9 |x-5||9x +29| 4y/x2-o|4>/x+4 +3yjx2-9| |9x+29| Tomamos Ô= 1 para acotar En efecto. 47x2- 9^4ylx +4 +3>Jx2-9 |x—5|<1 =>-l<x-5<l => 4<x<6 =>36<9x<45 => 65<9x +29<74 4<x<6 => 16<x2<36 => 7 <x2-9<27 => 77 <7x2-9 <727 (1) (2) (3) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wvvw.edukpç'ii.cont7 www.solucionarlos,net CAPITULO II f EDUARDO ESPINOZA R AM O S« O 4<x<6 => 8<x +4<10 Vs <Vx +4 <VÏÔ En (3) y (4): 4 >/§+3>/7 <4>/x +4+ 3>/x2-9 <4>/lÓ +3>/27 _ l _____ 1 ^ 1 3V27+4VÏÔ < 3>/x 2- 9 + 4 n/x +4 3^27+872 Con estas ecuaciones en (1): |x -5||9x + 29| O' 1 (M X 4 7 x + 4 +3[x¡’ - 9 j 74|x—5| <— 1 •-< 74¿ 2>/7(3V7 +8>/2)ff 37 lim ...X— 1— =2 x“*57x2+3-2 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x—1 7x2+3-2 |f(x)-L|s -2 <f <=> |x- 1|<<£; demostramos x—1 7x2+3-2 -2 ( x - 1 ) ( 7 x 2 +3 + 2) x +3- 4 -2 7x2+3+2 ...(4) x+1 -2 Por conjugada 7x2+ 3 +2-2x-2 7x2+3 +2x x+1 x+1 Por conjugada SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I www.solucionarlos,net
  • 187. www solucionarios.net X EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II O x2+3-4x2 3(x- 1)(x +1) 3(x —l) (x +l)(>/x2+3 +2xJ (x +1)(7x2+3 +2xj (Vx2+3 +2xj ...0 ) Tomamos 6=1 para acotar n/x2+3+2x En efecto: |x-l|<1 => —l<x —1<1 => 0<x<2 => 0<2x<4 |x—1|<1 =>-l<x-l<1 =>0<x2<4 => 3<x2+3<7 => y¡3 <Vx2+3 <y/í De (1) y (2); S <Vx2+3 +2x <s f í +4 En (1): 3(x-l) (Vx2+3 +2x) V7 +4 >/x2+3+2x >/3 Í3£ .. >/2x+l- 3 1 lim—------ =— x-»*x2-3x-4 15 O T I T f i í 'l i M f Debemos hallar 6 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: >/2x+1-3 1 x - 3x- 4 15 >/2x+1-3 1 <¿: <=> x-4 <£; demostramos |f(x)-L|s x -3x-4 15 15v 2x +T- 45- x" +3x +4 15(x2-3x-4) ... (2) ... (3) ... (4) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www solucionarios.net CAPITULO II 15(V2x +1-3)(x2-3x-4) 15(x -4)(x +1) 30-(x +1)(V2x +1+3) 15Ín/2x +1-9) ■ W - t x - ^ -(x +1) - ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 15(x-4)(x +1) 30- xV2x +1->/2x+1- 3x- 3 30 yj2x+] +3 15(x +1) 15(x +1)(V2x +1+3) 27- xV2x +1- >/2x+1- 3x 15(x +1)(V2x +1+3) 15(x +1)(V2x +1+3) 15-x>/2x+1->/2x+1-3(x-4) 15(x +1)(V2x +1+3 ) x>/2x+1-(V2x+1 -3)-3(x-4) 144-2x3- x2 2x+1-9 , . 12+xÆTTT V2X+-Ì+3 ** j !5(x +1)(V2x +1+3) 15(x +1)(>/2x+l +3j (x- 4)(2xg+9x+36) 2(x-4) _ 3(x_ 4) 12+Xn/2x +1 V2x +1+3 s|x-4| 15(x +1)(V2x +1+3) (2x*+9x +36) 2 12+xV2x +1 V2x +1+3 15(x +1)(V2x +1+3) Tomamos 6 = 1para acotar (2x2+9x +36) 2 12+x>/2x+1 V2)T+i +3 En efecto. 15(x +1)(72x +1+3) :—4|<I =>—1<x—4<1 => 3 <x<5 =>0<2x<4=>1< >/2x+1<>/5 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 188. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II 4 <V2x +1+3 <Í5 +3 1 >— 3+V5 V2x +1+3 4 (2) Ix-4|<1 =5- -1 <x- 4 <1 => 4<x +1<6 => - < —— <— ... (3) 1 1 6x+14 |x—4j<1 => -1 <x- 4 <1 => 3<x<5 =>0<2x<4=>1<V2x +1<*75 3 <V2x +1<5>/5 1 >— 12+5*75 ' xV2x +1+!2 15 ... (4) , 9 29 421 2 9x 81 841 x-4 <1 => —1<x —4<1 =>— <x+- <— => -- <x‘ +— +— <— 21 4 4 4 16 2 16 16 421 „ 2 81 841 421 207 „ » „ 81 207 841 207 ——<2x +— < 8 8 8 +--- <2x2+9x +— +--- <— +■ 8 8 8 8 8 8 — <2x2+9x +36<131 2 ... (5) Luego en (1): (2x2+9x +36) 2 12+xV2x+1 V2x+1+3 +3 15(x +1)(V2x +1+3) 131 2 _ — +- +3 4 Ò<----. . . ' =£ 15(4)(4) ¿ M , n U 7200£ 367 O lim x2-10x +9 >/4x+5 -4 =0 .«om«Kfl;i Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x2- lOx +9 yj4X +5-4 < e <=>|x-1|<¿>. demostramos SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net iAV'v.'.edüKrj#fu www.solucionarios.net CAPITULO II [ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O |f(x)-L|á x: - 10x+9 74x+5-4 Tomamos 6 = 1 para acotar 74x +5 -4 x-9 <|x-l| x-9 n/4x +5+4 En efecto. ...O ) 74x +5 +4 |x—1|<1 => -1 <x—1<1 =>-9<x-10<-8 => 8<|x-l|<9 ...(2) |x—1|<1 =>-1<x-1<1 => 0<x<2 => 0 <4x<8 => 5<4x +5<13 <>/4x+5 .<-713 ¡5 - 4 <^4x +5 -4 => -713- 4 4 - ^ |7 4 ^ 5 - 4 |< 4 - ^ 1 => En0): Vx3-4 -2 0 lim-------- =3 x-2 x- 2 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: >/x3-4-2 x-2 -3 <¿r <=> |x—2| <¿>; demostramos >/x? -4-2 0 x3-4-4 £ (x-2)(x2+2x +4) ^ --------- o x-2 ( x -2)(n/x3- 4 +2) (x-2)(7x3-4+2) x2+2x +4- 3*7x3-4 - 6 Vx3-4 +2 <2_4 +4+2x -4 +8- 3-7X1-4 - 6 Vx3-4 +2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I WWW.solucionarios.net
  • 189. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II (x-2)(x +2) +2(x-2) +3(7x3-4-2j 7x3-4+2 n/x3- 4+2 3(x3-8) 1 |x-2||x +2|+2|x-2| +-= = vx -4+2 3|x—2||x2+2x +4 Vx3-4+2 |x-2| |x—2||x+2|+2|x—2|- Vx3-4+2 Vx1-4+2 i|x2+2x +4| 7x3-4+2 Tomamos =- para acotar 1 1 x+2|+2+ 3|x2+2x+4| 7xj - 4+ 2 En efecto. . , , 1 7 9 343 a 729873, -2< -= > --< x-2< - => -< x< - =>-- <x <--- => — <x - 4 < ' 4 4 4 4 4 64 64 64 473 64 787 .7473 _ 787 0 —7 . „ .7473 +2 <7x3-4 +2 <----+2 8 8 8 1 8 16+7473 7x3-4+2 16+787 ■ 1 11 , 13 121 2 0 , 169 169 2 _ . 217 x-2 < - => — < x +1 <— => ---<x2+2x +1 < ——=>—— <x*+2x +4 < 1 1 4 4 4 16 16 16 64 En (1): £ 86 |x-2| Vx3-4+ 2 |x +2|+2 +- 3 x2+2x +4 7x3-4+ 2 8¿ 16+787 i +2+. 3(217^ 8) 4 64(16 +787) 16+787 6519 + 4 8( l 6+v^7) =c fli SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net _ www.solucionarios.net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O lim x2- - 5-1 =34 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x2— -— 34 x+3 <e <=> |x-6|<¿> En efecto: x2— JL= -3 4 7x +3 x2- 36+2- 7x +3 (x-6)(x +6) +2 7xT 3 -3 , 7x +3 <(x-6)(x+6)+2 —- 7x +3(7x +3 +3J S|x-6| x+6+ 7x +3(7x +3 +3) Tomamos S =1 para acotar x+6+ En efecto. 7x +3(7x +3 +3) |x—6| <1 => -1 <x-6 <1 => 8 <x +3<10 =>78 <7x+3 <7ÏÔ 78 +3<7x +3 +3<7ÏÔ +3 1 1 1< -S-L-■-- < 7ÏÔ +3 7x +3 +3 78 +3 Pero -tL= < De donde 710 7x +3 78 1 1 7ÏÔ(7ÏÔ +3) 7 )0 3 (7 x73+3) 78(78 +3) Sumándole: 11 <x +6< 13 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net -—
  • 190. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II n/ÏÔ(VTÔ+3) + 11< x + 6 <13+- VxV 3 (n/xT3 +3) 78(78+3). En(1): < |x-6 | x + 6 + 7x +3(7x +3+3) <S 13+ 78(78 +3) =£ S = O 372 +16 7x-7a 1 372 +16 lim :,a>0 x-8 x- a 27a Debemos hallar 8 >0, si. mpre que exista e >0, tal que se cumple: 7x-7a 1 x-a 27a 7x-7a 1 <£ o x-a <£; En efecto. ;-a 27a ■Vx-Va 1 1 1 7x +7a 27a 27â-7x-7â 7a-7x x-a 27â(7x +7a) 27a(7x +7a) 27a(7x+ 7a) Tomamos 8 = 1 para acotar En efecto: ..(1) 27a(7x +7a) jx—a|<1 => —1<x-a<1 =>a-1 <x<a +1 => 7a—1<7x <7a+1 7a-1 +7a <7x +7a <7a +l +7a SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net * www.solucionarios.net CAPITULO II EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (7a-1+7a) <(7a +7x) <(7a +l +7a) <------------r < ----------------- ; Reemplazandoen(1) (7^TT+Æ) (7a+7í) (7TT+Æ ) < x-a 1 27a(7x+7a) ( 7 ^ +7a)2 = *=> ^ {l,(VâT^T >/4)2¿r lim x2IIx+2{( =— x-»l/2 11 11 2 « g fflfira ro;igg/ Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: <£ O 1 X----- 2 x![x+2|~ Pero |x +2| =2 en 2 <x <3 demostramos |f(x) —L|< x2lx +2j-^ 2x -- 2 2 1x — <2 1 x— 2 1 x+— 2 Tomamos 8 = 1 para acotar 1 x+- 2 <D 1 x— 2 <1 1 1 1 n 1 3—1<x — <1 => 0<x+-< - 2 2 2 En (1): 2 1 • x3+8 Lim r-¡— =12 x-*2 x -2 1 1 £2Í'3Ì 1x — X H-- - X — 2 2 !,2J 2 =>3S =£ => sMm=u - SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 191. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J - t o u p ím .’— Debemos hallar 5 >0, siempre que exista £>0, tal que se cumple: x +8 x -2 =12 <e o |x-2| <S Definición de valor absoluto: |x| =•{X ’ . Demostramos 1-x ; x <0 |f(x)-L|s x3+8 x-2 =12 (x +2)(x2-2x +4) +12 < -x- +2x-4 +12| -(x +2) <|x! -2x-8) <|x-4||x +2| Tomamos 5 = 1 para acotar I x- 4 I |x+2¡<1 =>-1<x +2<1 => -7<x-4<-5 => 5<|x—4|<7 En (1): |x-4||x +2) <7|x+2) => 7S =£ => ¿Min=U - lim>/4-x2 =%Í3 v—*1 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: y ¡ 4 - x2- >/3| < £ o | x - 1 | < ¿ ; demostramos |f(x)-L|< V4-x2- ^ |< 4- x2- 3 V4-x2+>/3 x—1| |x + 1| X —1 Tomamos S =- para acotar ----- _ 2 H V4-x^ +V3 En efecto. jx jy x + 2 L CAPITULO II SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net ww’A'.edukperu com www.solucionarios.net |x—1|<1 =>-1<x - 1<1 => 1<x+1 <3 ...(2) ¡x—1|<1 => -1 <x-1 <1 => 0<x<2 => 0 <x* <4 => -4 <-x2<0 0 <4- x'1<4 =>0< V4-x2<2 => y¡3 <V4-x2+Í3 <2 +Í3 CAPITULO II ( EDUARDO ESPINbZA RAMOS « $ 1 1 1 2+V3 V4-X2+y¡3 & |x-l| |x+1| ...(3) Con (2) y (3) en (1): Lim x2+3x - 4 =^ X-1 y¡9-5x-2 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x2+3x-4 V9-5X-2 +4t í1 1^ x‘ +3x-4 . .f(x)-L < - = = — +4 ^ 1 1 >/9-5x-2 ( x + 4)(x-1)(>/9-5x -2) < £ O |x-1| < S (x +4)(x-1)(V9-5x-2) 9-5x-4 + 4 -5(x-1) +4 4 - (x +4)(>/9-5x +2) 5 <- |20-2x - 8 - (x + 4 )V 9 - 5 x | < - i 12-2x-(x + 4 ) V 9 - 5 x 5 ' ' 5 ' <- |-2(x-1) +10-(x-1)>/9-5x-5>/9-5x! 5 • SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 192. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITULO II <1 5 -2(x-1)-(x-1)>/9-5x+5(2->/9-5x) <1 -2(x-1)-(x-1)V9-5x+5 ( 4-9+5x " 2+V9-5x, < M 5 -2-V9-5X + 25 2+V9-5x (1) O Tomamos 8 = 1 para acotar 2-V9-5X + 25 2+V9-5x En efecto. |x - 1|<1 => -1 <x-1 <1 => 0<x<2 Lim 3--= =1 «-♦i ,yx Debemos hallar 5 >0, siempre que exista £ >0, tal que se cumple: 3- ¿ - 1 |f(x)-L|s <e o |x—1|<Ô 2" æ * |V— T|S ^ ^x(Vx +1) Tomamos ¿ =- para acotar |x -1|<- En efecto. 1 1 1 3 1 /- Vó 2 1 rr --------< X - 1 < - = > ----------< X < — = > - = < V x < ---------- = > - = < - 7 = < V 2 2 2 2 2 ^ 2 2 Vó >/x (1) 4 ± I < Æ +1<2 l Æ V I 2 Vó +2 Vx+1 /2+1 SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net vww.edukparu.co^t www.solucionarios.net CAPITULO II EDUARDO ESPINOZA RAMOS « < 6 +2V6 Vx(>/x+l) 72+1 En(1): ¡f( x) —L| =2|x +1| Æ +1 :>/2+1 1 W 2 +1 I d M* - 1 g ' 4 i Jtó fcé iiitilijJH K Debemos hallar 5 >0, siempre que exista £ >0, tal que se cumple: Î - xV 1 2 8 , •i 1 3/X H--- 1 <£• O X --- V 9 3 Ibi .0<3 6J2IXS 9up siqmst? (0 <ó lellcrl ¿oniiXteC <ó |f(x)-L|s H - „ 8 , 3b ; (y>!rO—xj 1 1 x- + - - 1 X --- x + ~ 9 3 3 +I)+P*I+1 +^|+1 Tomamos 8 =1 para acotar 1 x— 3 <1 En efecto. r 1 X --- 3 <1 => —1<x——<1 => - I< x + i< 5 3 3 3 3 2 2 4 2 16 4 2 88 — <x <— => —<x<— => —<x +—<— 3 3 9 9 393 M *X > I; ?» 14 / 2 8 2 0 2 8 Y 4 ?/- <?¡x2+- <— = > 2 x + r I <— 9 v/3 ÿg SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 193. www.solucionarlos,net >; EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II 2_ _4_ 9 73 +^9 I * v a En (1): [f(x) —L| <2 ) n3 ^M,n= 1,-T- Vx-1 , 1101-=— =1 '-** Vx+3 Debemos hallar 5 > O,siempre que exista e >O, tal que se cumple: •> - - . ! - ■ ' n 1 -1 <e o | x - 6 4 |< £ ;demostramos p yt : r xj , V x +3 |f(x )- L |¿ VÍ-1 Vx+3 -1 Vx-64 Vx+3 V ^ -8 +4 -V x V x +3 x-64 x-64 < x-64 1 1 Vx +8 V ? +4Vx+16 7^ +3 V x +8 Vx+4^5Vx+3 Tomamos 5 =1 para acotar I x —64 I < 1 |x-l|<1 =>-1<x-64<1=> -63 <x <65 =>V63 <Vx < V65 . 8 ^ ot * I- £9 ~>—+ tx ; —c= » x **- o 1 1 1< “ 7=--- < V65 +8 Vx+8 V63+8 V 6 3 < V x < V Í6 => (^63 +2)2 < (Vx+ 2)" < (VÍ6 +2) 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net Vó3+3< Vx+3 <VÍ6+3 8+(V63+2) <Vx? +4Vx +16<(2^63+2) +8 CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 1 1 < (2 V2 +2)2+8 Vx* +4>/x +16 8 +(^63+ 2)2 Vx+8 V ? + 4 V x +16 V63+8 s +(V63 +2)2 |x-64| /1 1 V63 +3 V63+8 8 +(V63 +2)? :(^63+3) Mm -j V63+8 ¿ I | ¡ m ^ H = . 3 *-*3 x +2 8+(^63 +2)* ,jsB^«inr^fo:Eaiss/ Debemos hallar 8 >O, siempre que exista £ >O, tal que se cumple: V-4x -3 x +2 |f(x)-L|< +3 V-4x-3 x +2 +3 V-4x-3 +3x +3 x +2 3(x +3) +V-4x-3 -3 x+2 3(x +3) +V -4x-3-3 x+2 x+2 3(x +3) -4x-3-9 V-4x —~3 +3 WWW “ di4 ' ^ .cor- SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www solucionarios.net
  • 194. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II $ x+2 3(x +3) -4X-3-9 x+2 3(x +3)- yJ-Ax-3+3 4(x +3) 7-4x-3+3 x+2 . . 4(x +3) 3(x +3)~ , — >Mx-3 +: ..(1) -pj— <---. 1<- ¡J— 5 +3V5 <3>/-3-4x+5<5 +3>/l5 V15+3 3+V-3-4x V5 +3 lim 3x +1 7 ^ x4+1 5 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: 3x2+1 7 x4+l 5 < f o x Pero 3x2+1 7 x4+1 5 15x2+5-7x4-7 5(x4+1) <|x->/2||x+>/2| Tomamos 8 = 1 para acotar |x+y¡2 | 7x4-15x2+2 5(x4+1) 7x2-1 5(x4+l) ...0 ) 7x -1 En efecto. 5(x4+l) |x -^ |< l c o -1<x - 72<1 o 272-1 <x +72 <1+2>/2 |x-72|<1 co -1 <x-/2 <1 oV2-1< x< 1 +V2 3- 2 V2 <x2<3+272 co 21-14-72 <7x2<21 +14-72 20-14v/2 <7x2-1 <20+14>/2 XI' - y ... (2) • ( 3 ) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO II . c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 3-2>/2 <x2< 3 + 2 n/2 co 1 7 - 1 2 n/2 <x4< 17 + 12^2 18-12v/2 <x4+ 1 < 1 9 + 12n/2 c o 5 ( 1 8 - 1 2 7 2 ) < 5 (x 4 + 1 )< 5 (1 9 + 12n/2) 1 7x2-1 1< _ _ ------------- - < 5(19 +1272) 5(x4+1) 5(18-1272) Si (2), (3) y (4) en(1) (1+272)(21) +1472 . . . ( 4 ) |f(x)-L|<|x-72||x +^ | 7x -1 5 (x 4+1) 5(l8 —12>/2) x-72| <e 4672+65 30 |x- 72| <e - 5.2 Por lo tanto tomamos { 1, 30* 30¿ 4672 +65 4672+65 y se tiene que , Luego, dado £>0,3 0 < x - 7 2 < 5 => |f(x)-L| = |x - 7 2 | |x + 7 2 j 4672 +65 7x -1 30 5(x4+1) X-V¿ <£ 3x2+1 7 x4+1 5 4x2+1 lim----- =-5 *-»' 2x +1 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: 4x2+1 2x +1 ■+5 < £ c o |x+ 1|< S SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 195. 4x2+l +10x+5 www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ..................................................................... CAPITULO II Pero |f(x)—lJ= 4x +1 2x+1 +5 <|x +l| 2x+1 2x+3 2x2+5x +3 Tomamos Ô= 1 para acotar 1+ 2x +1 2 < |x + 1|1 2x+1 2 2x+l ..(1) 2x +1 En efecto. |x +1|<1 <=>-1 <x+1<1 <=> -2 <x <0 <=>- 4 <2x <0 <=>-3<2x +1<1 1 1 < _ 2 _ <2 C5> +— <3 3 2x+1 3 2x +13 2x+l « -< 3 1+ 2x+1 <3 ... (2) Si (2) en (1): |f(x)-L| =|x+l| U 2x +l = |x + 1 | < * < » | x + 1|<^ = <52 Por lo tanto tomamos SMin=1,^ [, Luego, dado £>0,3 6 - Min j 1,^ ¡ y se tiene que Si0<x +1<£ => |f(x)-L|-|x+lj 2x+3 2x +l =3 |x + 1| <£ © 4x +1 ,, lim—— - =-5 x-*» 2x+1 x2+2x +2 lim „ k-4) x -2x +1 =2 j B E ü i i í M i ^ Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x2+2x+2 x2-2x +1 -2 <£ <=> |x|<<5 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEM/x 7,r:0 I www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Pero |f(x) —L| = x2+2x +2 x -2x +1 -2 x2+2x +2- 2x2 x - 2x +1 x - 6 x x —2x +1 < x x- ó (x-1)2 Tomamos 8. =- para acotar x-6 (x-1)1 En efecto. i i 1 1 1 13 ^ 1 1 11 , .i 13 x <— c^> — <x <— <=>---<x-6 <--- o — < x-6< — O O O O O O I I o2 2 (2) 1 1 3 i 1 1 / 9 4 1— <x <- o — <x—1<— <=>- <(x-1) <- o - < --------- ----- <4...(3) 2 2 2 2 4 v 74 9 (x_ i)2 < Si (2)y (3)en(1): |f(x)-L|=|x| x-6 =4(f)xi<£ oix+ii<4 =‘sí Por lo tanto tomamos 8 =. , Luego, dado c> 0,3 S =Min 2 26J 2 26 setieneque: Si 0<|x|<J => |f(x)-L| =|x| x-6 (x-1) =26 |x+l| <£ x2+2x +2 _ lim—-------=2 *-o x -2x +1 +2y^€| tóTT lim -L5— x-^3 +x- ,,xS+x lim — r =1 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: l xl + X 3+x-x -1 <£•<=> X ->/ï>|<S Para la función mayor entero en x e[l,2) => |x|=1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 196. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................ CAPITULO II Pero x+1 3+x-x -1 x+1- 3- x+x* Tomamos 8 =1para acotar 3+x-x2 x+>/2 x2-2 3+x-x En efecto. < |x - V 2 | x - 2 3+x-x* -0 3+x-x‘ |x—/2j<1 o-1<x->/2<1 o 2^2-1 <x+>/2<1+2>/2 |x ->/2|<1 o - l< x - > /2 < 1 <=> ¡2- 1 <x <1 +y¡2 ...(2) * ¿r v 11 V5_2<X- Í U +V2 « --3 7 2 < x ! -x < ¿ +72 2 2 2 4 4 - - - /2 <x- X'’ <3/2- — -o 7 -V2 <3+x-x2<3>/2 +— 4 4 4 4 4 1 ^ 4 I 2V2T Í 3x+x- x2 12>/2-11 a9Li . . ( 3 ) Si (2) y (3) en (1): |f(x)-L| =|x-V2| iV - * V X+ 3+x-x2 34>/2+59 167 -72| 1+2>/2 12>/2-11 <£ =& :-V2| <£ Por lo tanto tomamos 11,34^ ~ ^ j »LueS°' dado e:>°>3 | 1’34^ +59 se tiene que Si filari aoiïwdsQ 0<|x-n/2| <5 => |f(x)-L| =|x-V2| x+72 3+x-x I 67 3472 +59 ;-72| <£ X +X '^ 3 +x - x! =1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios,net www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x 1 x+1 2 <£ O |x+l| <ó Para el valor absoluto: ¡x| =—1 si x<0 Pero ¡f(x)-L¡ = Tomamos =1 para acotar |x| 1 -X 1 < 2x + x2 + 1 S|x+1| X + 1 x ' + 1 2 x2 + 1 2 2 ( x 2 +1) 2 (x 2 +1) x+1 En efecto. 2 ( x 2 + 1) |x +1|<1 co-1<x +1<1 «■ -2<x<0 o 0<x2<4 <=> 1<x2+1<5 o - < -J— < 1 4 x+1 ...(2) Si(2)en(1): |f(x) —L| =|x + 1| x+1 =~|x +1|<£ O |x+l|£=^2 2 (x2 +l) Por lo tanto tomamos S =min{l,2¿:}, Luego, dado £> 0,3 5 =min {l,2f} y x+1setieneque Si 0<|x +1|<5 => |f(x)-L¡ =|x +1| i* |x| _ 1 2(x2 +1) = | | X + 1|<£ lim- x-*i x + 1 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 197. www.solucionarios.net -*)2| r» -J.. >í. ||t- *!-•1 +,xlr- (x)'t www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O Calcular los siguientes límites, mediante propiedades x3+4x2-3x-2 O lim- x +13-14 L =lim x1+4x2-3x-2 «-i x2+13x-14 Sabiendo que el factor (x-1) debe estar en ambos miembros, factorizamos: 1 4 -3 -2 1 5 2 1 1 5 2 0 ' j -r ar v (x -l)(x 2+5x+2) x2+5x +2 8 L =lim—-— ^ 1=lim----- — =— (x-l)(x +14) x-*i x+14 15 nu lim x3-5x2-3x +3 W : i .Hi hn.Ui IS- xS •sx , x— ' 3x3-6x2-9x l¡m x3~5x2-3x +3 3xa-6x2-9x Sabiendo que el factor (x + 1) debe estar en ambos miembros, factorizamos: 1 -5 -3 3 -1 6 -3 -1 1 -6 3 0 (x +l)(x2-6x +3) (x +1)(x2-6x +3) L = lim ---A ------ —L = |im — - i x—' 3x(x -2x-3) x- ’ 3x(x +l)(x-3) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 198. www.solucionarios.net x2- 6x+3-l 1-6 +3 1 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III = lim lim x3+12x-10x-3 x +9x -6x-4 -i 3x(x-3) 3(1-3) 3 lim x3+12x2-10x-3 *-*> x3+9x2 -6x-4 Sabiendo que el factor (x-1) debe estar en ambos miembros, factorizamos: 1 12 -10 -3 ri9iBí 1 9 -6 -4 1 13 3 1 1 10 4 1 1 13 3 0 1 * 10 4 0 (x-1)(x +13x+3) x+13x+3 1+13+3 17 L ” *™(x -1)(x2+10x +4) *™x2+10x +4 1+10+4 15 lim x3- 2x- 2 1 ; t X ( ■mil =J x-*3 x4-27x iM PiinraTnri. / lim x3-2x- 2 1 3 x4-27x Sabiendo que el factor (x - 3) debe estar en ambos miembros factorizamos: 1 0 -2 -21 3 9 21 3 1 3 7 0 x3-2x-21 =(x-3)(x2+3x +7) (x-3)(x +3x+7) (x-3)(x +3x +7) L =lim----t——---------------------------- r-=lim—--T—--- r x-3 x (x3-27) •*-3x (x -3)(x +3x +9) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net / www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2 +3x +7 9+9+7 25 L =lim—---------= — -— —=— X_>3x(x2+3x +9) 3(27) 81 x2-(a +1)x +a lim- v ’ lim x2-(a +1 )x +a O Sabiendo que el factor (x - a) debe estar en ambos miembros, factorizamos. x2-(a +1)+a =(x -a)(x -l) ; x3 -a3 =(x-a)(x2+xa+a2) (x-a)(x +l) x+1 a+1 L =lim-— ^— t-t1---— r =lim—-------r =— - '(x-a)(x2 +ax +a* .. x3-x2- 8x+12lim- )x2+ax +a! 3a2 *-»2 x3-x - 12x+20 Sabiendo que el factor (x - 2) debe estar en ambos miembros, factorizamos 1 -1 2 -8 2 12 -12 2 1 -1 c 2 -12 2 20 -20 2 1 1 -6 0 1 1 -10 0 x3 -x2—8x+12 =(x—2)(x2 +x —6) ; x3 -x2 - 1 2x+20 =(x -2 )(x2 +x-1 0) ( x - 2 ) ( x 2 + x - 6 ) x2 +x- 6 4 +2 - 6 A L =lim----- 7—----- -r =lim—------ =------- =0 x-*(x_2)^x +x-10) *-*2x +x-10 4+2-10 3x -17x +20 lim— 5-------- 4x2-25x +36 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net r
  • 199. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III 3x -17x +20 .. (x-4)(3x-5)3x-5 12-57. Iim — ---------= lim 7---- 0---- - = lim ---- =----- =- =1 x ->oc4x2 -25x +36 x -»4(x-4)(4x-9) x -+44x-9 16-9 7 x4+x3-24 lim— 5— — x-*2 X -4 i i T i T n r T í M í Sabiendo que el factor (x - 2) debe estar en ambos miembros, factorizamos. 1 1 0 0 -24 2 6 12 24 2 1 3 6 12 0 x4+xJ -24 =(x-2)(x3+3x2+6x+12) (x-2)(x3+3x2+6x+12) x3+3x2+6x+12 8+12+12+12 L =lim---- 7--- 77--- r---- =lim------- ---- =---- ——---- = (x-2)(x +2) *-2 x+2 2+2 11 x-»2 lim x3+x2-5x +3 Tx3+2x2-7x +4 Sabiendo que el factor (x - 1) debe estar en ambos miembros, factorizamos. 1 1 -5 3 . 1 2 -3 1 1 2 -3 0 L =lim- X-1i lim- 1 2 -7 4 1 3 -4 1 I 3 -4 0 +3) x+3 lim--- 1+3 4 +4) x+4 1+4 5 O lim 5x2+3x5-8 *“*' 7x4-4x-3 « « r iffir ¡r o n « / Sabiendo que el factor (x - 1) debe estar en ambos miembros, factorizamos SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -- 3 0 0 5 0 8 7 0 0 -4 -3 3 3 3 8 8 1 7 7 7 3 1 3 3 3 8 8 0 7 7 7 3 0 x-1 3x +3x +3x +8x +8) 3x4+3x3+3x2+8x +8 L =lim---- -—-— ---- ------ r—-=lim---- --- r-------- x-,, (x —1)(7x +7x +7x +3) 7x +7x +7x +3 3+3+3+8+8 25 7+7+7+3 24 O .. x^+6x^+9x hm —---- ---- x-+3 x +5x -9 Sabiendo que el factor (x +3) debe estar en ambos miembros, factorizamos: 3 -6 -9 9 -3 -3 lim x-*3 lim ;(x +3)~ =lim- X(*+ 3) =lim- (x +3 )(x2+2x-3) *-3(x +3)(x-1) x-3X -1 3-1 2 2x3-5x3-2x-3 x-*34x -13x* +4x-3 Sabiendo que el factor (x - 3) debe estar en ambos miembros, factorizamos. 2 5 -1 -3 4 -13 4 -3 6 3 3 3 12 -3 3 3 2 1 1 0 4 -1 1 0 (x - 3 )(2 x 2+x +1) 2x2+x +1 18+3 +1 22 11 L =lim----- ;-------- =lim— ----- =-------=— =— X**3(x -3 )(4 x - x + l) x-*34x -x +1 36-3 +1 34 17 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 200. www.solucionarios.net lim ----- !—----- a>0 y a^1 x ^(1~ax)^-(a +x)“ f Sabiendo que el factor (x - 1) debe estar en ambos miembros, factorizamos. L=,im—_____íh íM M -------- T=lim, 0 -x )0 +x)x-*1 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I o (! +ax-a-x)(1 +ax +a +x) [(l-x )-a(l-x )](1 +ax +a +x) L =|im,---Jllílíllíl ----T,„m O**) L = *-♦>(1-x)(l-a)(1 +ax +a+x) x-*‘(1-a)(l +ax +a+x) 2 1 1 (l- a )(l +a+a+1) (1-a)(1 +a) 1-a2 T ~ *2" l i m —— — x-»i 3x2*- 5+2x „ Sabiendo que el factor (xn- x-") debe estar en ambos miembros, factorizamos. , _ 1._(2x” +3x-” )(x"-x-") i_(2x"+3x-") 2+3 L lim . . . —lim . x (3xn-2x"n)(xn-x‘" ) (3xn-2x'n) 3-2 •00 .. x -2x +1 lim——------- x-*i x -2x +1 _____ _ sm V Sabiendo que el factor (x-1) debe estar en ambos miembros, factorizamos (x-1)(x,% x ''8+...+x-l) x» +x* +...+x. , L =lim-----;-------------- - =lim-------------- x-‘’(x -1)(x4 +x48+...+x-1) x49+x48+...+x-1 _ (1 + 1 + ... + 1 )- 1 9 9 - 1 98 4 9 ~ (1 + 1 + ...+ 1 )- 1 _ 4 9 - 1 _ 4 8 ~ 24 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I r f www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 0 0 0 J x ^ x - 2 f _ ~ ! (x3-12x +16)'" Solución Sabiendo que el factor (x - 2) debe estar en ambos miembros, factorizamos. (x - 2 f(x +l f (x+1) L =lim— -- ------- — -=lim lim (x-2)'°(x2+2x-8) ~ 2(x +4)'6 63,b2'°2’°1,2 13?) Solución ' U - X l-xJ L =lim 1 L =lim U - x 1- x3 x2+x-2 =lim x-*1 l 1-x (1-x)(l +x+x2)J X“*'(l-x)(l +x+x2) =lim 1+x+x2- 3 =lim (x +2)(x-1) |im x+2 3 1 ""'(l- x jfl +x+x2) *"*' (x - 1)(l + x+ x2) x - i i + x + x2 3 [¡^ ( x - 1 ) ( x 4 + 4 x s + 8 x + 6 ) _ | ¡ m x 4 + 4 x 3 + 8 x + 6 _ 1 + 4 + 8 + 6 _ 19 (x-1)(x3+ 6x2+4x +2) x 3 +6x2+4x +2 1 +6+4+ 2 13 xb- X s +x4-x3+x2—x lim— --------- ---- ---- :------ x-»13x' +4x ~7x +5x -2x -2x-1 Solución L =lim ;(x5-x4+x3+x2+X -1 ) x-*13x7+4x6-7x5+5x4-2x3-2x-1 Sabiendo que el factor (x - 1 ) debe estar en ambos miembros, factorizamos por Ruffini. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO www.solucionarios.net ■
  • 201. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III 1 -1 1 -1 1 -1 3 4 -7 5 -2 -2 0 -1 1 0 1 0 1 1 3 7 0 5 3 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 7 0 5 3 1 1 0 © ( x - 1)(x 4+x2+ 1) L =lim-----7—--- ^-------- 4----- r =lim x4+x2+1 L = lim *~*1(x -l)(x 6+7x5+5x3+3x2+x+l) x-' x6+7x5+5x3+3x2+x +1 1+1+1 _ 3 _1 1+7+5+3+1+1“ 18 “ 6 x14+x2-2 x-*-i x '2 +4x8+x2- 6 Sea z =x2 para x =-1,' z = 1, reemplazando en el limite dado. .. x,4+x2-2 .. z7+z-2 lim — ---- ^— -— =lim- x12+4x8+x2-6 *-*' zb+4z4+z-6 Factorizando numerador y denominador -rX o o 0 0 0 1 -2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 0 z7+z-2 =(z-1)(z6+z5+z4+z3+z2+z-2) 1 0 4 0 0 1 -6 1 1 5 5 5 6 1 1 1 5 5 5 6 0 z6+4z4+z-6 =(z - l)(z 5+z4+5zJ +5z2+5z+6) lim (14+x2-2 (z-1)(z6+z5+z4+z3+z2+z +2) =lim- ->x12+4x8+x2-6 *-*1(z-1)(z5+z4+5z3+5z2+5z +6) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukpea» c< ________ - www.solucionarlos,net C~ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « lim x-»-1 z6+zs+z4+z3+zg+z+2 1+1+1+1+1+1+2 8 *-*>z5+z4+5z3+5z2+5z+6 1+1+5+5+5+6 23 . x21+x15+10x3+15x+27 x24+x'2+x4-3 Puesto que el factor (x + 1) debe estar en ambos miembros, arreglamos sumando y restando los valores necesarios. x21 +x15+10x5+15x +27 x21+l +x15+1 +10x3+10 +15X +15 x™ x24+x,2+x4-3 x-*-' x24-1 +x12-1 +x4-1 (x +1)(x2'' - x ,q...x) +(x +l)(x 14- x ,3...l) +10(x +1)(x2- x +l) +15(x +l) x-*-1 (x 12- l)(x '2+1) +X12-1 +x4-1 (x +1)(x20- x ,9...x) +(x +1)(x14- x ,3.„l) +10(x +1)(x2-x +l) +15(x +1) L = lim--------------- ----- —---- rp----- -=--------------------- x-*~' (x6—l)(x b+1 )[(x 12+l ) j +x4- 1 (x +l)(x 20- x '9...x) +(x +l)(x '4- x l3...l) +l0(x +1)(x2- x +l) +15(x +1) L ~ ( x 3- 1)(x 3+l)(x 6+1)[(x '2+1) +l ] +(x2- 1)(x 2+1) (x +l^ x 20- x l9...x) +(x +1)(x 14- x l3...l) +l 0(x +1)(x 2- x +l) +15(x +1) x-f-’ (x3- l)(x +l)(x 2-x +l)(x 6+l)(x 12+2) +(x - 1)(x +1)(x 2+ l) Simplificamos el factor (x+1): x20- x ,9...1 +x'4- x l3...l +10(x2- x +l) +15 x->-'(x3 - l)(x 2- x +l)(x 6+l)(x 12+2) +(x - 1 )(x 2+ l) 1+1...1 +1+1...+10(1 +1+1)15 _ 21 +15+30 +15 81 " (—1—l)(1 +l +1)(1 +1)(l +2) +(—1—l)(l +l) " —2 (3 )(2 )(3 )—2(2) " 40 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 202. www.solucionarlos.net x3-x2+ax +12 .. ¿T i Hallar los valores de a y b si se sabe que: L = lim — -— ———— e .H . Hallar x* - 4b +4b además L. üfT'lVñT'inBf L = |im x .~x +ax~f-)- = lim x ~ X +ax* ^ . dividimos los polinomios: x-2b x 2 - 4 b x + 4 b 2 x-*2b ( x - 2 b ) ‘ x3-x2+ax +12 xJ +4bx2-4b2x (4b —1)x2+(a-4b2) +12 -(4b-1)x2+(l6b2-4b)x-16b3+4b2 (l2b2-4b +a)x +12-16b' +4b2 De donde: 12b2- 4b +a =0 ; 12- 16b1+4b‘ =0 De la segunda ecuación, mediante factorización por Ruffini 0 12- 16b3+4b2=0 => 4b3-b2- 3 =0 =>(b-1) (4b'+3b+3) =0 => b = 1 Con la primera ecuación: 12b2-4b +a =0 => 12-4+a =0 => a =-8 x3—x2- 8x +12(x~ 2) (x +3) y . Ahora el límite: L =lim--------- — =lim— ----2— -=lim(x +3) =5 x-2 x -4x +4 x-2 (x-2) x_>2 r- , . .• nx”*1-(n +1)xn+1 m Calcular: lim----, - — — W *-i X —X —X +1 J M E E w a i f nx"*1-(n +l)xn+1 nx0*1-nxn-xn+1 L ÍS xp*' —xp—x+1 xp(x-l)-(x-1) nxn(x-1)-(xn-1) nxn(x - l)- (x - l)(x n"’ +xn_2...+l) L =lim--------- — r— =lim-------- --- ------ v------- x-1 (x -1)(xp - 1) x-*’ (x —l)(xp—i) » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ..................................................... CAPITULOIH SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net $ lim x-*m x-m . . . . . . .i .i . x? -mx +3x-3m 2 ~_ m Hallar los valores de mde tal manera que: lim------------- =nrr - 27 X-m (x-m)(x +3) , „ ____ ----- ---- -=m -27 => hm(x +3) =nr -27 x-m x-m m+3 =nrr - 27 => m2- m- 30 =0 => (m - 6) (m +5) =0 => m =6; m =-5 X 3 —20^ X + 0 X " ■Cfk Hallar el valor de “a”, a >0, sabiendo que lim---------— =2a - 5 NÍP *-*> 2ax+x flüfí*!Ví*ilf]í x(x2-2a"+ax) x2-2a2+ax Arreglemos el límite: lim--- - r— =2a-5 => lim--------------- =2a-5 x-»1 x(2a +x) «-*’ 2a +x 1_Oí *-j. a Luego: ------- =2a-5 => 1- 2a2+a =(2a-5) (2a+1) 5 2a+1 1-2a2+a =4a2-8a-5 => 6a2-9a-6 =0 =>2a2-3a-2 =0 (2a +1) (a - 2) =0 => a =2 CAPITULO III • . ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2—1 Si lim— ------- =L * 0, calcular el valor de a +b x-*' ax +2x +b «KO M M O ÍM SBr En el denominador se debe cumplir cuando x -* 1•: a(1) +2 (1) +b =0 => a +b =-2 Si f(x) =x-2y g(x) =x2- x , calcular lim —— *-»2(gof)(x +2) — Hallamos la composición de cada función: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 203. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III f(x) =x - 2 => f(x +2) =x g(x +1) =x2-x => g(x) =x2 -3x +2 (fog)(x +1) =f(g(x +1)) =f(x2-x) =x2- x+2 (gof)(x +21) =g(f(x +2)) =g(x) =x2 -3x+2 En el límite (fog)(x +1) x2+x- 2 (x - 2)(x +l) x+1 0,„ L =lim-;-- 77--- =lim—------ =lim7-------------77- =lim-=2+1=3 x-*s(g0f)(x +2) x-2x*-3x+2 x-*2 (x —2)(x —1 ) *-»2 x- 1 Si se sabe que lim— ’*4 =4 y lim ^ X--=-6. Calcular lim-^^- 1-x“ 1—x¿ x-»1g(x) mtrtm f(x) f(x)/(l-xJ )(l-x-) A partir de la expression: L =lim---------------- =lim----i------ —7---- rr *-*'S(x) x gCx) /(1- x3) (i - x2) f(x) , 1-x2,. 1-x3 4 , (1 - X )(x a +x +l) L =lim--- rlim----lim--- =— lim—;--- --- — 1 - x g ( x ) x-11-x -6 x-*' (1—x)(l +x) L ,- 2 |imí l ü ± I =- 2 í2 | =-1 3 1+x 3(2 b+x f(x +a)-f(a) Si f(x) = --- ,x * b.Calcular lim----- ----- b-x x-*o x b+a +x b+a L =limf(x +a)- f(a )=limb -^ : -f a ^ SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 'f ‘ www.solucionarios.net L =,im(b +a)(b-a) +x(b-a)-(b +a)(b-a) +x(b +a) x-o x(b-x-a)(b-a) CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x(b-a) +x(b +a) b-a +b+a L =lim—:-----— h ----------------- r =lim-:-- —----- = 2b x-»ox(b-x-a)(b-a) *-»°(b-x-a)(b-a) (b-a)(b-a) 2b (b-a)2 ¿T J Si f(x) =— , x*0. Calcular lim— W x-3 x-*o 5h msum3i«r L =|im =lim(h+4+2)(h +4-3) h-° 5h x-*o 5h(h +l) f(4 +h) —f(4) .. (h +4+2)(h +4-3) . -5h L =lim—---------=lim--------------- -=lim- h-° 5h x~*° 5h(h +1) h-°5h(h +1) . r " 5 ~5L =lim----- =------=-1 h-°5(h +1) 5(h +l) Silim-^ 2)-=8 y lim ^ * --2^= 3. Calcular l i m ^ W x**2v-2x-2 * -2 x -4 *-°g(x) m K Z w m M Si hacemos h =x +2 tendremos: lim ,— ^— =8 ; lim— — =3 h_>0^-2(h-2)-2 h_>0(h —2)" -4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 204. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III f(x) f(x) ,/-2(x-2)-2 Luego: L =lim— - =lim---——----------- lim-------5------ x-°g(x) x-° 8(x) »-»o (x - 2V - 4 (x-2)2-4 8 ,. ,/-2(x-2)-2 8 , —2(x —2 ) —4 L =-lim------ -----=-!im---------- . , : 3 *-° (x-2)2 -4 3x-*°^x2- 4x+4-4](^-2(x-2) +2) -2x 8 .. - 2 L =- lim 8 .. =-lim- 3 ™ x[x-4][V-2(x-2) +2] 3«—>(x_ 4)^_2(x-2) +2] L =- -2 O 3 (-4)(2 +2) 3 1---- f(x +h)-f(x) Si f(x) = V3x +1, hallar lim—--------- x-o h f(x +h)-f(x) J3(x +h) +1- V3x +1 Calculamos según la función: lim----- ----- =lim-------- --------- x-*0 h h-0 h Multiplicamos por la conjugada al numerador y denominador. (V3x +h+1->/3+T)(>/3x+3h+l+>/3x +l) L =lim-------- — — ------- h-"° h(V3x +3h+lW 3 x +1) L =lim 3x+3h+1-3x-1 L =lim h_*° /3x+h+1+>j3x+1 j3x +1+>j3x+1 2>/3x+1 3 3 3 y/3x+h+1 +>j3x+1~ V3x +1+V3x +1 2V3X +1 I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www 9dukDeru.com JH www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(x )—1 fíax)-f(bx) Si lim—----=1. Calcular lim------- --- »-o x *->0 x Calculamos según la función: |¡mf(a>Q- f(bx) =||mf(ax) -1+1 - f(x) =|¡mf(ax) -1 _ |¡m«toO-l X_»0 x x“*° X x-+0 X X f(ax)-1 f(bx)-l =a.l-b.1 =a-blima -limb x-*0 ax x-*0 bx Si f(x) =• x 1 ---- ; X <- I X+ I S(x) =• - - ; x <0 x ; h(x) =- X2+2x; X >-1 1+2x; x >0 3x-21 ; x<7 7 - X 2x2-22x +56 ; x>7 _ . . . . .. f(x-3) +g(x-2) Calcular si existe: lim--- ---------- «-** h(x +5) Calculamos las funciones: x-3 . x-3 f(x-3) = x-3 +1 2 ; X <-1 (x-3) +2(x-3); x >—1 2- x 2 ; X < - 1 (x-3)‘ +2(x-3); x >—1 S(x-2) = h(x +5) = Luego: x <O 1 x-2 ' 1+2(x-2) ; x >0 3(x +5)-21 7-(x +5) 2(x +5)2-22(x +5) +56 ; x>7 ; x<0 2-x 2x-3 ; x >0 ; x <7 3x-6 2-x ; x<7 2x2-2x +4 ; x >7 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I www.solucionarlos,net
  • 205. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I x - 3 + 2x _3 X—3 + ( 2 x - 3 ) ( 2 - x ) =lim- 2 -x x-2 h(x +5) *-2 3x-6 *-» -3(2-x) 2 -x 2 -x -2xg+7x-6 -(x-2)(2x-3) (x-2)(2x-3) lim---------------- =lim-------- ------------- =lim-------------------x-»2 - 3 x-»2 - 3 x-f2 - 3 2x-3 1 = lim-----= — x_*2 _3 3 ® Si lim-==Iíf + --- =12Vb+x y lim =9^(b +x)2 7 ^ -V b T ^ ->bVb7^-V¡7^ _ . . .. f(a +b +x) Calcular: lim-------- g(a +b +x) En el límite lim f(a +x) _ 12>/b+x Si a —b =0; a-+0; b -» 0 x-bVa+x - Vb +x f(a +x) L-lim -f <a +'b.Í xi ■lim M = x-»°g(a +b+x) x-»°g(a +x) x-*« S (3 +x) Va +x-Vb+x a+x L =lim f(a +x) v/a+x - >/bTx ^ ^ f(a +x) ^/b+x - V a T x~*°Va"+"x - VbVx s(x+a) 4-*°Va +x - Vb +x S l5^ 3) Vb +x-Va +x L =lim- f(a +x) 3/b+x-Va +x Va +x-Vb +x a->0 >/a+x-Vb +x g(x+a) Vb+x->/a+x Conjugada de cubos y cuadrados en la última expresión: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III (~ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © i ( Va +x - Vb +x )( Va +x +Vb +x ) L = 1 2 Vb +x — lim 9^/(b +x f (Vb +x - V a +x) i 4VxL =—==lim- (a-b) ^(b +x)2+^/b+x+^(a +x)2 ( # +x)-V(a +x)) b+x)¿ +Vb+xVa +x +^(a+x)2 (Va +x+Vb+x) 4 (a-b) ^(b +x)2+Vb +xVa +x +^(a +x)‘ L = — 7= lim----- -------- 7-7= — ---- ■:-------- 3Vx*í->0 (b-a)(Va +x +Vb +x) 4,/x [Tx’ +TxS/x+Vx*] 4s/x(3{/x5’) 4 (3 ) _ L =_ 3 ? 7 ( ^ +^ ) =3 ^ 7 (2 ^ ) = 3(2) =' 2 Calcular: lim X-.5 ^625(25-x!7x^4) J B P S I t t m L =lim x-*5 ^9(x-5) =lim = ^625(25 -x*Vx^4) x" 5 ^ Conjugada al denominador: 9(x-5) 625(25-x! ^ T T ) L =lim5x-»5 9 (x -5 )(2 5 + x 2V x - 4 ) 9 (x -5 )(2 5 +x 2V x -4 625(25-x2Vx- 4 ) (25+x2Vx -- —mil a - 4 ) 625[252- x 4( x - 4 )] 9 (x - 5 )(2 5 +x‘¿Vx - 4) 1 9(x-5)( 25 + x 2V x - 4 ) 625 [- X 5+4x4" “ 521J 625(x s - 4 x 4 -625) L =lim? x-*5 Factorización mediante Ruffini al denominador: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I f www solucionarios.net
  • 206. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III 1 -4 0 0 0 -625 5 5 25 125 625 5 1 1 5 25 125 0 9(25 +x2>/x-4), y___________I 9(25h-25) - !'l 625(x<+x3+5x2+25x+125) ¡ 625(625+125+125+125+125) Ls=~— 3 © Si f(x ) J f - , : X S l : 800- ^ [4-x ; x>1 3-2x ; x<1 -1 ; x=1 . Hallar lim(f +g)(x) 4x-2 ; x >1 ■— annrar«^1 Calculamos la función suma: (f +g)(x) = 3x +2 ; x <1 5-2 =3 ; x =1 2+3x ; x >1 Mediante límites laterales: lim(f +g)(x)= lim (2 +3x) =2+3 =5 x-*r x-»r lim(f +g)(x) = lim (3x +2) =3+2 =5 x-»r x-*r Luego: limíf+ g)(x) =5 x-»l 7 CS - , . .. d] +fíXyl'l +CXX 1 Calcular limv H * *-*0 -mil - .1 x-»0 de Newton) ,m,ne W Sug. (1+ax)r = 1 + axr si ax -> 0 (binomio i— I /?x .1 ct En la identidad dada: (1+/?x)n=1+— ; (l +arx)"»=1 +— ' n m I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net w .T V .« tí;rtp e rj .r o n www.solucionarios.net Luego: V i i+ £ + « + f l» £ - i CAPITULO III í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O d] +/?x>/l +ax-l L =lim-— ---------- =)jm,---n_A---=,¡m-------- n---m---mn x-*0 y x-»0 y /?x orx a/?x2 ' p , a , apx p , a L =lim—---—---QHL. =|im x-*0 x x-»0 ,. >/x2+1-1 ---—--- Vx2+1—1 L =lim---- ;-- Aplicamos conjugada al numerador: x-*0 x2 ( V Ñ V - l)(> / W + l) l +x2-1 L =lim------ ;--- =lim— —— = — -= x-»0 L =lim x—+0 x2 lim- x8ÍVl +x2+l) x-° x2(Vl +x3+l) x~*° x2ÍVl +x2+l) 1 1 1 X lim^ +X—— -X Aplicamos conjugada al numerador X-*0 X (^-vr^)(vr¡^+x/r^) i +x_ i +x L =lim------- ■_ _ : --7= 7----- -=lim- --- — =— x(Vl +x +Vl-x j x_*° x(Vl +x +Vi —x j SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 207. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO III O 2x 9 2 L =lim— ____ ■_--=lim . ---=1 x_*°x (n/1+x +V1-x ) x-0v l +x W l- x 1+1 lim — Aplicamos conjugada al numerador: x-*5 x-5 (7^4->/3x - 1 4 )(^ 4 + V 3 x -14) x -4-3x +14 L =lim---------- -— ■ ---- =lim----- ■— — x"*5 (x-5)(>/x-4 +>/3x-14) x'*s(x-5)(>/x-4 +>/3x -14 ) . -2x +10 .. -2(x-5) L =lim----- , -. ■,-:-rr =lim------------ 7~¡===-----■■v x^5( x -5)(Vx - 4 +>/3x-14) x_>5(x -5)(v x -4 +>/3x -14 ) , i* -2 -2L =lim— --- -- ■:;=--- =-1 x-5( ^ 4 W 3 x -14) 1+1 lim ^ x 2 ~ 2 x + 6 - V x g + 2 x - 6 x 4x+3 lim—X--—Vx +2x 6^ Aplicamos conjugada al numerador: *-3 x -4x +3 (Vx2-2x +6-yjx2+2x-6 j(Vx2-2x+6+Vx2+2x-6 j L =lim----------------y— ■— ~ x-"3 (x2- 4x +3)(Vx2- 2x+6+>/x2+2x -6) . .. x2 - 2 x + 6 - x - 2 x + 6 L =lim---------- —— — x-*3 i (x2-4x +3)(-/x2-2x +6 +Vx2+2x-6 j 2 3 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -4x+12 L =lim "-*3 2(x2-4x +3)(Vx' -2x+6+Vx’ +2x-6j -4(x—3) L =lim---------- ---- — , x_>3(x - 3 )(x - 1 )ÍV x 2-2x +6 + v x 2+ 2 x - 6 j L _ljm______________ ^4______________ _ -4 _ 1 X_>3(x-l)|7x2-2x +6 +Vx2+2x-ó) 2(3 +3) 3 ^ .. 3x+6 lim ----- x_>21-v4x-7 Solución 3x-6 lim---. ...■■■Aplicamos conjugada al denominador x-*21- >J4x-7 (3x -6)Í1 +V4x - 7 ) 3(x-2)(l +V 4 x -7 ) L =lim . _ _ l -7--- 7===r =lim—-- ¿ x-**(l->/4x-7)(l +>/4x-7) x^2 1-4x +7 3(x-2)(l +V4x^7) 3Í1 +V 4 ^ 7 ) 3(1+1) 3 L =lim—--- l i --- --- =lim—---- ----Z=— L— Z=-^ »-*2 _4(x - 2) x-»2 -4 4 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 208. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III O .. x+3 lim i yjx2+7-4 M m n m u v w * x+3 lim ... — Aplicamos conjugada al denominador x—3Vx2+7-4 (x +3)(Vx2+7+4) (x +3)(Vx2+7 +4^ L = lim —— --—r = lim--------^-------- ” ‘3(>/x! +7-4)(Vxí +7 +4) * +7- '6 (x +3)ÍVx2+7 +4j (x +3)ÍVx2+7 +4j = lim-----^ ------- -= lim — 7— ^-77--- -— x-*-3 x -9 x-*-3 (x-3)(x +3) nábuk)8 .. Vx2+7 +4 4 +4 4 = lim-------- =----- =— x--3 x-3 -3-3 3 /t s .. Vx +a+b-Va +b A . _ ¿71 lim-------------- ; a >0, b >0 x-»0 X .■flBgrtHIWTiTMr lim— - -a-~tbr y a'f'b Aplicamos conjugada al numerador X - 1 --•- -- íTü!- (Vx+a+b -Va +b)(Vx +a+b +Va-<b x Vx +a+b +Va +b/ .• x+a+b-a-b lim--------- — ------ - =lim- *-*0 u/ x-*o. x(Vx +a+b +Va +b) L =lim - x — ---- - =lim -*0,x(Vx +a+b +Va +b)Vx +a+b +Va +b 2^a +b SOLUCIONAR® ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ^ lim 2 ^ - = W 3-v3x +l lim—2 7^*-— Aplicamos conjugada al numerador y denominador x~'43-V2x +1 (2-Vx)(2 +Vx)(3 +V2x +l) (4 -x )(3 +>/2x +1) L —■lim---- 1 ___rr~i=lim-7 _. (3->/2x+1)(3+>/2x+1)(2+Vx) x-4(9-2x-1)(2+Vx) (4-x)(3 +>/2x+l) 3+n/2x +1 3+3 3 L =lim----- ^ ---— ^-=lim— ---- — =- 7 - -v =- x-4 2(4-x)(¿ +Vx)x-*42(2+Vx) 2(2+2) 4 <D t. Vb2-x -Vb2-a lim------------ x-a lim-^ -—^ 9 Aplicamos conjugada al numerador: *-*« x-a JVb2- x-Vb2-a) (Vb2-x+Vb2-a) h V _1•m U -x-b2+a (x-a) Vb2- x +Vb2- a “ (x-a) b2-x +Vb2-aj , -(x-a) -1 -1 L =lim----- =lim x-wc (x-a)(Vb! - x W b ’ -a) - 'V b ^ + V b ^ a 2Vb*^á SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 209. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III $ x-*0 X T M i r 3/^8_2 lim------- Aplicamos conjugada al numerador x-*0 x O L =lim x-*0 (vx+8 -2) ^(x +8)? +2Vx +8 +4 x+8-8 X ^(x +8)2+2^x +8 +4 x-*0 X yJ(x +8)2+2^x +8+4 L =lim- x-*0 =lim 1 1 yj(x +8)2+2l/x78 +4 *~*A^(x +8)2+2^x78+4 4+4+4 12 .. Vx2+9-3 hm— ----r— x-*° x +x lim— ~r~ Aplicamos conjugada al numerador x-*° x +x (V 7 7 9 - 3)(V ? 7 9 +3) 2 + 9 _ o L =lim---------==— — =lim----------- ■— r x! ( x2+1)(x/779 +3) ,mV ( x! +1)(,/Í'79+3 O lim x-*0 lim x2 1 =lim 1 1 x2 (x2 +l)(>/x2 +9+3) x"°(x 2 +1)(7x2 +9+3) 3 +3 6 Vx+T-1 *-° yjx +1- 1 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I www.solucionarios.net www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (VxTT-i) lim ___ .— -Aplicamos conjugada al numerador y denominador: x-° </x+1-1 L=lim- ai 1 + ^(x +1)2+yjx +] +1 (/x+1-l)(>/x +1+1) ^/(x+l)2+^(x +l)¿ +Vx +1+1 L =lim- x-»0 (x +1-1) ^(x +1)2+>/x+l +1 x(/x +1+1 =lim! --- x-° (v>rr1 +1) & lim----- x-*8 x-8 i[ZTo lim-----Aplicamos conjugada al numerador: x-*8 x-8 (yfx - 2)[ >lx?+2tfx +41 L =lim------------- — =r =lim- x-8 (x-Sjj^/x2+2^x +4J x_,0(x-8)^Vx2"+2>fx+4 L =lim 1 1 ‘- V ? +2 ^ +4 4+4+4 12 O .. >/x -4 lim -=— x-16Vx- 2 j H S M á i í l H Í V i —4 lim -^=— Aplicamos conjugada al denominador «••VX-2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 210. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III V Í- 4 V í +2 (- B - 4 )(fc +2) L = lim 7 -—— --- = limi---- l±----- ' = limU/x+2 =2 +2 =4 x-"16(V x -2 (V x+2) x^16 >/x-4 *-16V Vx-1 lim—=— x_*'yx-1 ■a«iixnar»7?isar m.c.m. (5,8) =40 _ para x =1, z = 1 [ ^ =z8 ‘S - 1 I¡mzs-1 (z-1)(z‘ +z5+z! tZ +1) lim—7=— =lim—— =lim--- —-----r—---t,—:--r *-*,Vx-l ,->l z -1 (z-1)(z +1)(z* +1)(z +1) z4+z3+z’+z+l 1+1+1+1+1 5 =lim w x->1Vx-1 ‘-'(z +1)(z2+l)(z4+l) (1+1)(1 +1)(1 +1) 8 M * r rn w t Vx-1 lim-^=—- Aplicamos conjugada al denominador y numerador ( Vx -1 )(Vx +1) [ >/x^+Vx +l l (x - 1 )|"V ? +>/x + l] L =lim----- - ---- ^ - = ------ i =lim---- L j ^ (Vx-l)(Vx+ l)(VxF +>/x+l) (x-1)(>/x +l) lim X—*1 ( n/x +i ) 2 412 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « $ O ÍÑ - lim—j=— Vx- 1 E T in n s io M r 3/77 _ i lim—7=— Aplicamos conjugada al denominador y numerador. x—1</x—1 (>/x—l)(Vx +I^n/x^ +Vx +1 ^ (x - 1 )(>/x +1 )(Vx +1 ) ’"'(< /x - l)(< /x r + V x + l)(< /x + l) ,“*'(v/x - l)(- ¡/í? + -i/x+l)(/x+ l) ( ^ +1 )(^ +1) 2(2 ) 4 L =lim . = .— —— r- =———=— x'*, (n/x^+'/x +i ) ^ ^ /x+27 -3 lim-------- *-0 x ^/x+97 -3 lim—------- Conjugada al numerador x-*0 X L =lim x-*0 (Vx +27-27) ^(x +27)2+^(x +27) +9 X ^(x +27)2+3/(x+27)+9 L =lim- x-»0 x+27- 27 p— "•—— lim «— í ^(x +27)2+2/(x+27) +9J x"°^ (x +27)2+^/(x+27)+9 ( ) 1 J_ 27 ^/x+7-2 /— f x-’' vx +7-v8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I Jnj www.solucionarios.net
  • 211. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III ,• Vx+7-2 _ . lim =====— ■= Conjugada al numerador v denominador x_+1Vx +7 -V8 L =lim X-.1 (Vx +7-2) yj(x +7)~ +2^(x+7) +4 (Vx +7+V8 j (Vx +7-V8) ^/(x+7)2+2~/(x+27) +4 (Vx +7+V8) <3- 2^8 V2 ' (x +7-8) ^/(x+7)2+2s/(x+27) +4 ^/(x+7)2+2í/(x +27) +43(4)3 .. V^-1 lim ---- x-*' x -x 7x-1 lim—^--- Aplicamos conjugada al numerador L =lim x -*l (tf- l) fx* +yfx+1 x(x 1) Vx^+Vx+1 =lim x—1 ' X (X - 1 )[V ? +V>F +Vx +1 o L =lim ' x^V>? +Vx +lJ 1+1+1 1 2 3 Vl5 +6x-V25 +x lim--- ----------- x“*! x +2x-20 . .. 5/l5+6 x - fe +x , , L =lim--- — -— --- Aplicamos conjugada de cubos al numerador x-s x4+2x-20 (Vl5 +6x -V25 + X ][*(15+6x)‘ 3+V15+6x^25+x +(25+x)‘M I L =lim------------ i ---------- -■■■ -------------- A (x4+2x-20)^(15 +6x)‘ 3+Vl5 +6xV25+x +(25+x)2‘J x-»2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « factorización por Ruffini al denominador: 1 0 0 2 -20 2 4 8 20 2 1 2 4 10 0 L =lim x-»2 L =lim x-*2 15+6x-25-x (x-2)(xJ +2x2+4x +10)[jl5 +6x)‘ 1+Vl5 +6xV25 +x(25 +x)‘ 3J 5(x-2) (x-2)(x3+2x2+4x +10)|jl5 +6x)~ 3+V15+6xV25 +x(25 +x)¿' 1J L =lim x->2 (x;*+2x2+4x +10)£(15+6x)‘ 3+Vl5 +6x^25+x(25 +x)23J L = (8 +8+8+10)(9 +9+9) 918 l](x +]Y -2Vx+1 +1 lim—------- r------- x-*0 x ü— cninnim — r 3/(x +i )! -2</í T T +i ( ^ T i+ i) ! fV Í7 T - il L =lim—------- ------- =lim---- — — =lim ------- x-»0 x x-»0 x Aplicamos conjugada de cubos al numerador L=lim x-*0 (Vx7í-i) 1--------------------------------------------------------------------------------------------1 X + ut» + xl + + LJ 9 - =lim< x-»0 1 8 1 1 X ( x +1)3+Vx+1+1 ! ---- (x+1 )3 +^/x+1+1 (1+1+1)2 9 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 212. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III .. v/x+Vx-2 lim--------- x—1 x-1 X —1 X-1 X -1X-1x—1x-1x - 1 Conjugada de cubos en el primer límite y conjugada de cuadrados en el segundo: ( ^ - l ) ( t f ? +Vx +l) (Vx-l)(>£ +l) L =lim------!± = ------ r^+lim-------V- (X-1)(VxF +Vx +l) (x-l)(Vx+1 L =lim X—♦] x-1 +lim-^v4=— r =lim■■,— 1 _ — +lim- (x-1 )(V ? +Vx +lj x^'(x-l)(Vx+l) x^ 'V ? +Vx +1 x_>,Vx +l O L _ 1 1 1 l _ 5 1+1+1+1+1 ~ 3 +2 _ 6 .. Vx +>/x-x-1 lim----------- x-1 x -1 . .. Vx+Vx-x-1 >/x-1 +Vx-x Vx-1 n/x-x L =lim----------- =lim------------=lim----- +lim----- x- 1 x-1 *-*' x-1 x-»1 x-1 x- 1 x-1 Conjugada de cubos en el primer límite y conjugada de cuadrados en el segundo: (n/x - I^ V x^+Vx +i ) (Vx - x )(>/x +x ) L =lim—-— r +lim------ ü - — -i X^(x-1) V 7 +V ? +^ +1 (x-1) V^ +x L =lim x-1 .. x-x¿ 1 -x + lim --------------r -= — r = lim -?= — = — + lim- (x - l)|V > ? +Vx +l) *"*’ (x-1 )(V x +x) x~>l V 7 +V x +1 X_,1>/x +x SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ® L =lim V—*1 /x-2>/x+3x-2 x-1 1 1 1 1 1+1+1 1+13 2 6 .. Vx -2/x +3x-2 Vx-1 +1-2>/x+3x-2 L =lim------------- =lim---------- -------- X-*1 x-1 X-1 X-1 , Vx-1 3x-2>/x-1 Vx-1 , i:„ 3 x -3 +3 - 2 n/x -1 L =lim---- +lim--------- - lim--- —+lim-------------- x-.i x -1 x-»t x -1 x-l x -1 x-l x -1 Vx-1 3ix-1) 2(Vx-l) L =lim---- +lim—— -— lim----- — X—I X—1 X—1 x-1 X—1 X-1 Conjugada de cubos en el primer límite y conjugada de cuadrados en el último término: (tfM t á ? + 4 5 + i (V x - i)(V J+ i) L =lim------- -¡—=— r— +Iim3-2lim------ j-=— r- (x-1)(Vx+l) x-*’ x_*' (x-1)(Vx+l) L =lim----- * 1 ■—— r x" ' (x - 1 )(y > ? + V x + l) +3-2lim 1 +3 ~ 2 7 x-»17Í+1 1+1+1 1+1 3 x2-2>/x +1 *05 lim x-' (x-1) M f t o u r a i M r L =lim--- x^' (x-1) 5— !S¡ rvx-ii 2 ( V x - l) ( V > ? + V x +l) l x-! ; x->1 (x-l)(V? +^ +l) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 213. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPÍTULO III L =lim x-+ (x-1) 2 =lim x-*l 1 ‘ _ r i y (x - I^ n/x^ +Vx +i ) _>/x^+/x +4. U + i+ iJ x‘ -4/x +4 lim x-+8 (x-8) ¡>f -4>/x +4 .. f y/x-2 L =lim x->8 (x-8) =lim x-8 =lim x-»8 ( ^ - 2 ) ( ^ +2 ) ^ +4 (x-8)(/x^ +2>/x+4j O x-8 2 =lim x-*0 1 ' 2- f 1 1 2 1 (x-8)| </x2+2>/x+4) ,Ac +2/x+4, U +4+4J 144 L =lim x-»8 3^/x+l - 2^/x+l +4x-1 lim------- r---------- x-° x +2x .. 3/x+l -2Vx+1 +4x-l lim------- ^---------- =lim x-»0 x — 2x x-»0 *3 3/x-l)-1 2(V^TT-i) 4x x(x +2) x(x +2) x(x +2) 3(Vx+l-l)í^/(x+1)í +V^TT+i] 3(x+1-1) im-------- --- ----------- r——=lim------ —lim x-»0 (x +2)|^(x +1)~ +/x+1+1j W°x(x +2 )^ (x +l)2+/x+1 +1j lim x-*0 3 i 2( x + 2 ) ¡ ^ ( x + 1)' +>/x+l +1 j 2(1 + 1+ 1) ...(2) 2 (v/xTT-i)(n/x+T +i) 2 (x +l- l) lim—------ / . . — r— =lim---- ... — r x->0 x (x +2 )(VxTT + 1) x_,0x (x + 2)(>/x + 1 + 1) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu.ro f" www.solucionarios.net CAPÍTULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ,im 2 _ 2 _1 x^0(x +2)(Vx7í +l) 2(1 +1) 2 ...(3) 4x 4 4 lim— ——-=lim—— =^ =2 x-ox(x +2) x-°x +2 2 De (2), (3) y (4) en (1) se tiene: 3/x"+T-2Vx+T +4x- 1 11o0 lim------- r1--------- =- - - +2=2 x-.o x + 2x 2 2 © .. 5¡x -3fx--x lim------------- x-.1 x—1 .. 5>/x- 3fx -1 - x .. 5>/x-5+5-3>/x-1-x L =lim------------- =lim---------- -------- x-*1 x-1 x-»i x—1 5( >/x—1) 4-3>/x+3-3-: L =lim—------+lim-------- ---- X—■*I X —1X-*l x-1 5(Vx-l )(>/>?+Vx +l) 1-3ÍVx-l)-x L =lim—---- / v_ —r --lim-- *--- (x-1)(Vx*+Vx +l) M1 X_1 5(x-l) (yf* x-1 lim----- ---------- 3lim-------- lim— - x-’(x-l)^/xF + + l ^ X" 1 " ’ x- 1 I lim 5 m m ( ^ " 1) ( ^ ‘ +1) 1L —lim » — ~ 3lim i p. v i ~ '^ / x 7 + 3/x + 1 ^ ( x - 1 ) ( V x + 1) 5 ol. x-1 5 1 2 3 L =------ 3lim------j-=— r-1 =--3lim-=---1=---— 1+1+1 x-*’(x-l)(Vx +l) 3 K->1vx +1 3 1+1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 214. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO III $ lim x~*25 Xa—Vx —x—595 x-25 . x2 -625 .. x2 - Vx - x-595 .. x2-625 +625-Vx-x-595 L= lim------ +lim------------- = lim---------------------- x-25 x-25 *-25 x-25 *-*25 x-25 . .. x2+625+30-Vx-x .. x'-625 .. 5->/x+25-x L = lim---------------- - lim------ +lim----------- x-25 x-25 x-»25 x-25 x-*2s x-25 (x-25)(x +25) 7 x -5 .. x-25 L = lim ----- ----- - lim------ lim----- x-«25 x-25 *-*25x-25 x-*2bx-25 L = lim (x +25)- lim (r * - s ) ( ^ +5) (x-25) (Vx +5) - lim (1) =25+25- lim x-25 (x-25)(>/x+5) -1 r 1 ,0 1 4 9 0 ~ 1 4 8 9=49- lim —=— =49-----------=---- =----- * >25 v x + 5 10 10 10 O x2->/x lim—=-- x-*' Vx-1 X2—»/y (x2-V^)(x2+V^) (x4-x)(Vx+1) L =lim— =limV _ -,4V----=J- =lim V n ’ *' V x - i (V ^ - i)(x 2+ V^) x-*i (V x - i)(V ^ + i)(x 2+ 7x) x(x -1 n/x + i ) x ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1) x (x +x + l)fV x + l) L =lim—--- -----—/ =lim— - — — 7 - — ^ =lim—----------- x“*' (x-1)(x~ + V x ) x->' (x - 1 )(x 2+^ ) x~>1 x +Vx L_ (1+1+1)(1+1) 1+1 ■ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net "KWW.'fedUKpero.coi-i' www.solucionarios.net C EDUARDO ESPINOZA RAMOS « $ a>/ax-x‘ lim---- =- x-,a a-vax L =lim- JH 2 2 5 M Í ^ _ x 2 (aVax-x2 )(aVax+ x2)(a +>/ax) (a1 x-x4)(a +Vax) a-Vax x~,a (a-Vax)(a>/ax+ x2)(a +>/ax) x~>a(a- -ax)(aVax +x2) x(aJ -x3)(a +Vax) x(a-x)(a2+ax+x2)(a +>/ix) L =lim------ 7— = --- r =lim--------- — ■ = — -7----- x-’aa(a-x)(avax+x2) x**a a(a-x)(a>/ax +xxj x(a2+ax +x2)(a +Vax) a(a2+a2+a2)(a +a) I =lim----- ------------- =------:---- ----- =3a j(a7ax +x2) i(a2+a2) lim . Vx-Va x-a x -a Aplicamos conjugada de cubos en el numerador L =lim „ V =lim— 5— 5-^ =lim----- r -F = i— — — = 7---- 1(x-a)(>/? +Vxa +tfx* )(a +x)+a x2-a2 x-*“ x2-a2 x-»a L =lim x-*o x-a =lim L = (x-a)(Vxa +v/xá+/x2) ^ (V x 2+Vxa +Vx? )(a +x) 1 1 . . wvua.6clukperu.com www.solucionarios.net
  • 215. www.solucionarlos,net )) EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III .. x2-1 © lim-F=— x-'Vx-1 L =lim Xg - ‘ -lim Aplicamos conjugada de cubos en el denominador. (x - 1 )(x + 1 ) ( V ? + Vx + l) ( x - 1 )(x + 1 ) ( V ? + V x + 1 ) ____ --lim--------- )=------ 7 —lim----------- --------- V x - 1 x->’ ( ^ / x - l ) ( V ? + V x + l) x_>1 x L =hm(x +1)(Vx^ +Vx +l) =(1+1)(1 +1+1) =6 y¡2x -x-2^2x -78 j^ .n ir^ n T ^ Aplicamos conjugada de cubos en el numerador. Sumamos y restamos y¡2{4) =y¡8y separamos en dos límites: L . i . lim« +lim? % í x-*4 x- 4 x-*4 x- 4 *-*4 x- 4 (n/2x - >/8)(>/2x +n/8) 2^/2x -4 +4 - x i - lim ------------ L±----------- - + lim------------------- JÒ lim x-*i x - 4 x-*4 (x-4)(>/2x +yjs) x-,4 X-4 2x-8 . 2(V2x 2) x _ 4 L =lim----- —= — pr +lim----- ----lirn— - ^ 4 ( x - 4 )(> / 2 ^ + n/8 ) ~ 4 x - 4 x- 4 x - 4 2 ( x _ 4 | 2 (^ - 2 )(^ 4 7 +2 ^ +4) -----V t= — FT +Iim---------------- 7 7 = -7=---- ------ (x-4)(-j2¿ +>Is) (x-4)(V4?+2V2x+4] L =lim x—»4 2 .. 2(2x-8) L =Iimr—. ——+lim , ■■ .— v x^4(V2x+V8) x'*4(x-4)(v4x^ +2>/2x +4| M S0Lja0tim m ^ m tò rtìàrì0s.net 7 ‘ Vtwwed'.ikpó .. r*' www.solucionarlos,net CAPITULOIII ( EDUARDO ESPINO ZA RAMOS « 2 4(x-4) 1,.4 L =— j=+lim .— ---- -=-- r~1 =—7=+lim-==--- — ----1 2 ^ 8 x- 4 </4x? + 2 V 2 x + 4 ) 2 V 2 x- < V ix 2 + 2 ^ 2 x + 4 V2 4 , 3-72-8 L =— +------- 1=------ 4 4+4+4 12 1^3 xVx-aVa ^ lim-j=-- J=r- x-a Vx -va d S O U M ii]» Aplicamos conjugada en el numerador y denominador xVJ-a>/¡ (x 7 í- a V i)(x V í+ a 7 i)(^ +^ ) -fr-Ta = ™ ( ^ - V ¡ ) ( ^ +V i)( x ^ +aV¡) ( f l +fa ) (x-a)| (x2 +ax+a2) (x-a)(x-/x -a~Ja'I (x-a)|(x>/x +aVa jI (>/x+Vá)(x2+ax +a2) (Va+>/a)(a2+a2+a2) 2v£.3a2 L —lim------ ---- »=------ ------- t=--- p:---- —---- f=——3a x~*a xvx+aVa ava +ava 2ava ® limw .ft Vxví-3V>rrT+2 *-*°x Arreglamos el numerador: Vx +T-1-3Vx7 Í +3 Vx^T-1 or Vx +T-1 L =lim---------------- =lim---------3lim------- x-»0 x x-*0 x x-*0 x Ahora aplicamos conjugadas en ambos límites SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 216. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III L =lim- x-*0 (Vx+1-1) y[(X+)'Í + ^ X +l ) i + ^ ( x +1)' +^(x +1) +■n/x +1+1 X ^/(x+1)4+^(x +1)J +^(x +1)2+Vx +1+1 (Vx + 3lim----- j(x+1) +yj(x+y +¡¡j^(X+l)3+yj(x+f +>/x+1 + 1 x-»0 X ^(x + 1 ) 5 + ^ / (x +1 ) 4 +yj(x+1 ) ' +^/(x+1 )‘ +4/x+1 + 1 L =lim — .- 1 , -------- x y(x-t-1)4+^(x +1)'! +^(x +1)' +Vx+1+1 -3lim x-»0 L = ^ (x + ir + V (x + i)4 x+1)3 +^(x +1)2+n/x + I +1 1 3 1 1 1+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1 5 6 5 2 10 © limj^ 2 6 - y ^ 8 5 x-*’ sfx+8-3 m a íw m r x m i Arreglamos el numerador, sumando y restando 3: , ,¡m n/x +26 - 3+3->/x+80 /X+26-3 </x+80-3 L =lim------ = = -------- =lim—= = -lim- ------- x"' vx+8-3 x-' Vx +8-3 x^' Vx +8-3 Ahora conjugada de cubo y cuarta en cada límite: ? (>/x+26 -3) ^(x +26)1+3<Jx+2b +9 (Vx +8+3) L =lim x—♦! (VxT8-3)(V)T^8+3) ^¡(x +2bf +3Vx +26+9 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO III <© -lim ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (Vx +80-3) ^/(x+26)3+3^(x +26)~ +9Vx +26+27 (Vx7¡3 +3) ' ( V x 7 8 - 3 )(> / x +8 +3 ) ^(x +26)3+3^/(x+26f +9^x +26 +27 (x +26-27)(VxT8+3) L =lim x-*1 (x +8-9) ^(x +26)~ +3Vx +26 +9 -lim- x-*1 (x +80-81) Vx +8+3 (x +8-9) ^/(x+26)3+3^/(x+26)* +9^x +26+27 L =lim x->1 Vx +8+3 -lim Vx+8+3 L = ^/(x+26)2+3Vx +26+9 x"'^(x +26)3+3^/(x+26)2+9Vx+26+27 3+3 3+3 1 lim x-*0 9+9+9 27+27+27+27 6 V25-x -Vx2+X+25 x2+2x fa y p i]ii^ r ,rB B r Aplicamos conjugada en el numerador. ÍV25-X -Vx2+x +25)(V25-x +Vx‘ +x+25) L =lim------------- — -'-v-— —r-------' x-*° (x2+2x)|V25-x +>/x2+X +25j L =lim x-*0 25- x- x2- x-25 =lim- -x(x +2) (x2+2x)(V25-x +Vx2+x+25) *'*0x(x +2)jV25-x +Vx2+x+25) L =lim -1 -1 1 >l25-x +>Jx2+x+25 5+5 10 www edukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 217. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO til lim y j x 2 +3x-8-^4x¿ +5x-8 ,^>i/x2+9x+16-Vx! +5x+16 MBamenmt Conjugada de cubos al numerador y conjugada de cuadrados a denominador. L =lim- XhÍO (/x2+3x—8—^4x2+5x—8j ^j(x2+3x-8)' +^(x2+3x-8)(4x2+5x-8) +^|(4x2+5x-8) (Vx2+9x+l6->/x2+5x+16 3|(x2+3x-8)+^(x*+3x-8)(4x*+5x-8) +^(4x*+5x-8)í L =lim- x-»0 (-3xz-2x) Sr +9x+16+>/x2 +5x+16 4x ^(x2 +3x-8) 2 +^(>: 2 +3x-8)(4x2 +5x-8) +^| 4x¿ +5x-8) L (0-2)(4 +4) 1 4(4 +4+4) 3 © lim ■ " • ÍÜ V - i / Ü ? Sumando y restando 1al denominador (valor calculado al sustituir x =0en las raíces) L =lim ~°^/l +x3 - 1 +1 ->/l +x2 Ahora conjugadas en denominador L =lim ------5- =lim- 1—1—x x-° ^(1 7 7 f + ü L =lim- x-*0 +x3 + 1 1 1+7T + X ‘ ^(1 + X 3) 2 + /l + X +1 i+VT +x‘ 0-1 =-2 ■ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO f www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net lim----- 5------- x-° x'+x Sumando y restando 1al numerador (valor calculado al sustituir x =0 en las raíces): ^1+x3-1+1-</l +2x >/l+x3-1 </l-2x-l L =lim-------7--- ----- =lim— ---- — lim— ----— x-*° x(x +1) x-*° x(x +1) x-o x(x +1) Aplicando conjugadas: (3/l+x3 - i) ^(1 +x3) +Vl +x3 + 1 (</l-2x - l)(V l- 2x +l) L =lim------- r --------- =r^-lim-------- -/v-----— r—- : ( x + 1) (l +x3)" +>/l +x3 + 1 i ISO X 1 )(V 1 - 2 x + 1) x(x +l)(:s/l —2x +1)1 L =lim- x-*0 -lim 1[ * - 2x - 1)(V1 - 2x + 1 ]I x ( x +1 )(V 1 - 2 x +1) (V1-2X+1) L =lim x-*0 L = x(x +1) 0 +VÍ -lim 1 —2x—1 x(x +1)(V l- 2x + l)(V l- 2x +l) + lim (0 +1)(1 +1 +1) »-°(x +1)(V l- 2x +l)(V l- 2x+l) (1 +1)(1+1) 2 <3 „mx,-6-y^ x_>3 v x+ 1 —2 Sumando y restando 3 al numerador y luego aplicando conjugadas: . .. x2-9 +3-Vx +6 .. x2-9 .. Vx +6 -3 L =lim----.---r----- =lim --------lim ____ — Vx +1 - 2 x_>3vx +1 - 2 x-,*vx +1 - 2 www.solucionarlos,net
  • 218. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j www.solucionarlos,net CAPITULO III (x-3)(x +3)(Vx +l +2) (Vx +6-3)(Vx +6+3)(Vx +1+2) x™ (V ^ T - 2 )(V ^ T +2) * ™ ( V ^ - 2 ) ( V ^ +2)(Vx +6+3) (x-3)(x+3)(Vx +l +2) (x +6-9)(Vx +l +2Ì L =lim---------- ---------- lim--------;■■■ -- r x-3 x+1-4 x-,3(x+1-4)(Vx +6+3) í o/ /-- 7 _ .. Vx +1 +2 2+2 n. 2 /O L =lim(x+3)( Vx+1+2)—lim ,--- ---=6(2 +2) ———- =24-- =—- x-*3 > I +3 3+3 3 3 x‘ + 1 X Si sustituimos 0 en la primera raíz, obtenemos I. Luego sumando y restando 1 al numerador y luego aplicando conjugadas: </x 4+1 - 1+1 -Vx2 + 1 </x4+1 - 1 Vx2 +1 - 1L =lim-------- 5— ------------------------ lim--- 5------ lim---- =------ x—0 X X x—»0 x (Vx4+1 -l)(Vx4+1 +1) (Vx2+1 -l)(Vx2+1 +1) L =lim------. J i - --------lim------ x"° x2( V ? T Í +l) ^ x2(Vx2+1+l) . .. Vx4+1 -1 .. x2+1 —1 L =lim— t-=----- r-lim- x-.0.x2(V 7 +1 +l) x">0x2(Vx2+1 +l) (Vx4+1-l)(Vx4+1+l) L =lim - V — _ ,____=—~~r—li X +1—1 lim- x'(Vx‘ +l +l)(V x '+ 1 +l) - V (n / x ! +1 +i) . x4+1 -l .. x2L =lim— - — ——;= = — r-lim- x-»0 , SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X2 1 A 1 1 L =lim — . . . ■ . — - lim - = = — =0-- x-,0(V ír ^ í +l)(Vx4+1+l) “-°Vx* +1+1 1+1 2 .. 6Vx +6 -4Vx+7 lim---- 2— :----- x-2 x -4 Si sustituimos 2 en la primera raíz, obtenemos 12. Luego sumando y restando 12 al numerador y luego aplicando conjugadas: 6Vx +6-4>/x+7 6Vx +6-12+12-4Vx +7 L =lim--------------------------- 5-=lim-- 5- x-»2 x —4 x-»2 x —4 6(V xÍ6-2) 4(Vx +7-3Í L =lim—— ------ lim— — 5------ x-»2 x —4 x-»2 x —4 x+6 - 8L =6lim x-*2 4(x +7-9) ---------- r — ---------- ñ-lim------ 1 , r — -- r (x-2)(x +2) ^/(x+6)2+2^/x+6 +4j ” ! (x -2)(x +2)(VÍT7 +3) L =6lim- x-»2 -----r , --- --- — i -lim--------------—= = ------- - (x +2) ^(x +6)‘ +2Vx +6 +4 I (x +2)(Vx +7 +3) L = (2 +2)(4 +4+4) (2 +2)(3 +3) 24 lim x-*a Vx - -7a + - a Vx-Va +Vx^a .. -Jx-sJa %/x-a lim----r- ■ ---=lim ,— -= +lim Vx2-a2x~*8Vx2- a2 x- Vx2- a2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 219. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS 1 CAPITULO III ('/x-'/á)(v/í +VaJ x-a1 L =lim—= = 7-—— — +lim—= .---=lim .... — —— — +lim -p = x^a Vx2- a2(Vx +V a) x'aVx^aVx +a x-*aVx2-a2(Vx +Va) x,aVx +a x-a .. 1 .. Vx-aVx-a 1 L =lim-====——— — -t-lim . - =lim-— _ --- -— - +-== *~*aVx2-a2(Vx +Va) x**aVx+a x_,aVx-aVx +a(Vx +Va) v2a i r Vx-a 1 1 1 L =lim ——— — +- = =0+-== =-== x-*aVx +a(Vx +Va) v2a V2a V2a .. Vx ->/2a+Vx-2a O »‘a Vx»-4a» i— .TiTrrr^r«!:» V . .. Vx-V2a+Vx-2a .. Vx-V2a .. Vx-2a L = lim---- , ...... --- = lim - -+lim O x-*2a Vx2-4a2 x"*2aVx2-4a2 x-2aVx2-4a2 (7í-x/2a)(>/x-2a) ^ _ 2a L = lim - /v—— + lim- = = - = = x-2a Vx2-4a2(Vx +Va) ~ 2aVx-2aVx +2a L = lim ------ --r~^---7=T+ l'm I ~ ~~ x_>2aVx2-4a2(Vx +V2a) *“’2aVx +2a ! _ |¡m Vx-2aVx-2a [ __ 1^ x_*2aVx-2aVx +2a(Vx +V2a) Vá"+2a L - l Vx~ 2a 1 _ Q 1 _ 1 x->2aVx +2a(Vx +V a) V4a 2Va 2>/a 5-n^ x -3Vx -4 lim------------ x-*4 x-4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net ".'J www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Si sustituimos 4 en la primera raíz, obtendremos 10. Luego sumando y restando 10al numerador y luego aplicando conjugadas: .. 5V2x-3>/x-4 5V2x-10 +10-3Vx-4 L =lim—--------- =lim------------------- *-♦4 x-4 *-4 x-4 L =lim- x~>4 5(2x -8) -3 lim x-4 (x-4) ^(x +6)‘ +2Vx +5 +4 * 4( x 4)(Vx+2) O L =lim x-*4 10 -3lim 10 3 1 ^/(x+6)2 +4 +2 ' 4 +4+4 4 12 2-Vx lim ----- X_*43-V2x +1. Aplicando conjugadas: X_>43-V2x +1 x^ (3 - V 2 x +l)(3 - V 2 x +l)(2 +V x )x^ (9 - 2 x - 1 )(2 +V x) (4 - x )(3 + v/2x + l ) (3 + V2X + 1)3+33 L =lim----- —;----^rr—■=lim-—7---=r—=————-=- x-"4 2(4-x)(2 +Vx) x-*4 2 (2 +Vx) 2 (2 +2) 4 © 3 ^ x i’-V8x-2 lim-----p=— p --- x“*8 y¡X-y¡2. Si sustituimos 2 en la primera raíz, obtenemos 6. Luego sumando y restando 6 al numerador y luego aplicando conjugadas. 3 ^ x 2 -V8x-2 3<¡2x* - 6 +6 - V8 x - 2 ol. ^2x2 - 2 1. V8x-4 L =lim----r----r=---=lim------ J=— p------ =3lim—=— ^ lim—=— = x-*2 Vx-V2 x~*2 Vx-V2x_>2Vx-V2 x~*2 ..•wA'.eduKperu.cor SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 220. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ] CAPITULO II (2x2—8)(>/x -H>/2) (8x-l6)(>/x+V2 ) L ~ 3,^ ( x - 2 )(> / 4 x 7 + 2 V 2 x F + 4 ) x_+2 ( x - 2 ) ( n/8x + 4 ) (VÍx*-2](V4V +2^4>? +4j(Vx +>/§) ^ (V8x-4)(>/8x+4)(>/x->/£) L =3- ( ^ - 7 2) ( ^ +^ )( ^ x * +2^4x2+4 ) ' (x-2)(x +2)(Ví +v/2) .(x-2)(Vx+V2) L =6-5 (x - 2) ( ^ +2 ^ ? T ^ " 8 S (x-2)(^8x +4) L - 6Km i ^ H l ^ l - 8 Í ¡ m ^ Í ^ =6 ^ ^ - 8 ^ Í ^ =4V2-2>/2=2V2 ” ! ^4xr +2x/2xT+4 -78x+4 4+4+4 4+4 <É¡) 3>/2x2-2>/3x2+4+2 lim--------- ------- *-2 x- 2 m—>i»iHHIOJaWf Si sustituimos 2 en la primera raíz, obtenemos 6. Luego sumando y restando 6 al numerador y luego aplicado conjugadas: Í2 x-2 x-2 x-2 *-« x-2 +*) (>/3x2+4-4)(V3x2+4+4) 1 _ oiimV_________^ ------ ----- — _ i_ 4 | im ---------------- , . — =— ----- x-*2 ( x - 2 ) ( V 4 x 7 + 2 n/2 x 2 + 4 ) x_+2 ( x - 2 ) ( n/3x - + 4 + 4 ) 9 x2 - 8 ... 3 x2 +4-16 L =3lim________ —— —-- r-4lim----- 7 7= ----- 7 — 2(x - 2 )(< / 4 x r + 2í/2xr + 4 ) ,,- 2( x - 2 ) ( s/3x F + 4 + 4 ) L —3lim 2<x* - 4>— - 4 lim ------- r " ! ( x - 2 )(^ / 4 x 7 + 2 ^ 2 ? + 4 ) *-í ( x - 2 ) ( ^ ? + 4 + 4 ) 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I _ www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =3lim---- 2(x 2)(x +2)_ ---- 4(jm 3(x 2)(x +2) x-2, ! ( x - 2 ) ( < / 4 7 + 2 ^ / 2 ? + 4 ) x-*2( x - 2 )(> /3 x 2 + 4 + 4 ) L-lim *<X +j L -----,12<X t2 ) - 6W '*«> o « , +2 ^ 7 +4 x-*2V3x2 +4+4 4+4+4 4+4 n/x + V - 2 x - x -1 0 © lim ----------------------------------- *—« x+8 Si sustituimos -8 en la primera raíz, obtenemos -2. Luego sumando y restando -2 al numerador y luego aplicando conjugadas. L = lim >/x +2-2 +T T x~-x - 10 = |jm ^ +2 + >/^2x-4 +4-X-12 *-*-« x+8 *-*-« x+8 *-*-« x+8 & +2 i P - 2 f i t 4 L C 2Í - 4 ¿ 5 ^ +4 L = lim -----L — — 4 + lim i----- 7^ = — J - ,~ e (x +8) <¡/7-2^ +4) (x +8)(V-2x+4| L- lim 1— + lim---- — ,-1= — !--------------------------2 lim-^ --- *-<lVx'-2Vx+4 ” -*(x +8)(%/^2x +4) 4+4+4 — «(x+8)(,/^2x+4 ) T 1 o r 1 , 1 2 , 7L =— -2 lim -==----1=---------1=— 12 x-*-8yj-2x +4 12 4+4 6 ©^ +S-x+2]lim---- -------- x-27 x-27 Si sustituimos 27 en la primera raíz, obtenemos 3. Luego sumando y restando 3 al numerador y luego aplicando conjugadas. 3/x-3 +J | - x +24 3T _ 3 M - 3+3-X +24 L = lim------ -------- = lim----- +lim — ------------ x-27 X-27 «-»27 x-27 x-27 x~27 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I H www.solucionarios.net
  • 221. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO III Vx-3 ( ^ + 3 ^ +9 j | - 3 +3-X +24 L = lim ------ !±-=------- ^+lim — ----------- *-! , ( x - 27) ^ +3 ^ +9 *-*" x-27 &. ___ . t lim — — "•*H ( x - 2 7 ) ( V 7 + 3 ^ + 9 ) x - 2 7 «-k x - 2 7 i i x-27 V3 3 .. x-27 L = lim------ —— ---+lim — --------- lim x +. JHJ ’<-»>(! L = lirn —f= — ——— + lim —---- y- '■— - lim(1) x-27 3/w2 . 3 3 ^ + 9 x-27 f [Zx-27' : +3 + 3 - - 9, 1 .. 3 1 1 i- x- 2 7 1L =------+lim----- , — --1 =— +lim------- ——:— r-1 9+ 9+ 9 x-27 J fx ) 27 x-27 f C (x- 2 7 )^ | +3j 3 (x -2 7 )[^ + 3 l =_26+ 1 26 i 1 49 27 +« ™ 3|' Ix +3'l " 27 +3(3 +3) ” 54 l¡m3'/x-^/2x +x-8 x-4 X-4 « ¡ » » M i . ] . — Si sustituimos 4 en la primera raíz, obtenemos 6. Luego sumando y restando 6. Con la raíz cubica, sumando y restando 2. . .. 3>/x-6+6-V2x +x-8 ... -s/x-2 .. —^2x+2-2 +x-2 L =lim------------------ =3lim----- +lim--------------- x—4 x-4x-4x - 4 x-4x-4 (V i- 2 )(7 i +2) ^ _ 2 x_ 4 L =3lim-)— — rn =— (--lim------ +lim--- x**4 Vx-4 Vx+2) x-4 x-4X-4 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I .-V www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ca pitulo III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « v-4 (V2x-2)(V4x7 +2V2x+4) L =3lim----- — — --lim------ 7 1 = --- 7= — ~+1 x~*4(x-4)(Vx +2) *“’4 (x-4)(v4)C +2<¡2x +4) , 01. 1 2x-8 L =3lim-=----lim----- rT= ----— — r x~*4 vx + 2 x-4 (x-4)íV4>? +2V2x+4 L =3—1--- 2lim x-4 +1=- -2lim .— -— ' __— +1 2+2 x->(x -4)(V 47 +2 ^ +4) 4 - 4V 4 7 +2 ^ +4 i 3 2 19 L =----------- +1 —— 4 4 + 4 + 4 + 4 12 .. xJx —1—6 lim--------- x-3 3-x Aplicamos conjugada de cubos: L =lim- x-3 (x & ! -1-6) (x^x* --l[+ 6 X x1ro 1 +36 -(x-3) (x^/x* -1 -6 ’ +6 xyjx~ —1-6 1+36 x3(x2- 1)-6J L =lim x-3 -(x-3) |x>/x2-1 -ó) + 6 ( x ^ - 6 ) +36 x5-x3-216 L =lim x-3 L =lim x-3 -(x-3) (xVx2-1 -ój +ó(xVx2-1 -ó) +36 (x - 3Xx4+3x3+8x2+24x+72) factorizando con x-3 -(x-3) (xVx2-1 -ój +ó(xVx2- 1-ój+36 SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 222. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III L =lim x-*3 x4+3x3+8xL+24x +72 81+81+72 +72+72 7 36+36+36 ” 2 O (xsjx2-1 -6) +6^x/x2-1 -ój +36 l-VTo< ^ (i-Vi-x)j^i+Vi-x+^(T +x) X^1+yj]-x +^(l +x) lim x-° 3x i_ v r^ x i r lim-------=-lim------- =-lim *-*o 3x 3 x-° x 3 x-° !.. 1—1+x =-lim =-lim lim x— 2 3 U +1+U 9 1-V2x-3 2-^/9-72x^3 Sea z2=2x-3, para x =2, z = 1 z2 =2x-3 => z =V2x-3 lim- 1-V2x-3 _ , i m i- z _.. (1 ^4+2>/9-z +^ (9 - z )! -^/9-V2x-3 2-/9-z . - '(2 - ^ / 9 - z ) ^4 +2^9-z +^ (9 - z )2 j =lim 2—*1 (1-z)f4+2^9-^ +^/(9-zf Ì (1-z)f4 +2^9--z +^(9-z)2 ^ ____________________ Z —lim_______ __ _=lim- 8-9 +z *-< z—1 _____ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 wwiv.solucionarlos,net • t ' ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « www.solucionarios.net = - lim ^ 4 + 2 V 9 - z + ^ ( 9 - z ) ‘ j = —(4 + 4 + 4 ) = —12 Ay¡4x -5Í8x -x' +16 lim----- ==--- ==--- x~*2x3-4v2x -5v4x +10 J H E Ü L E E U 4^4x-5>/8x-xc +16 .. 4/4x-8 +8-5>/8x+20-20-X2+16 L =lim----- = --- = --- =lim— ---------- ¡=------- -¡=---- X_*2x -4v2x-5v4x +10 x-2 x -8 +8-4>/2x +8-8-5v4x +10 4(</4x -2)-5|>/8x -4)-(x2-4) L — lim / . : / 1 r* *-2 x3-8-4(x 2x - 2j-5(v4x- 2j Aplicamos conjugada al numerador. Se multiplica (>/4x‘ +2^2x +4 ), así como (2 +>/2x) : ___ _____________ 5(8x -1») _.. ^ + 2 ^ > ^ +4 (X 2HX +2) 4(2x-4) 5(4x-8) o(J ■<v, ■>i v ' V ' >/2x+2 ^/l6x +2^4xx+4 ,16(x-2)_,__40(x-2)_(x _ 2)(x +2) . ^1bx2+2V4X+4 v8x+4______________ ~«2 . 8(x-2) 20(x-2) (x-2)(x‘ +2x +4)--p=— -- -- ^ — — V2X+2 Vl6x2+2^4x 16 40 t -v -(x +2) x +4 >bSii)6U ) flOD ?GbBPUÍj100 L _l¡m >/l6 x3 +2^4x+4 /8x+4 "*/„« .«»‘n i ____®___________ ______ 2X+4) V2x +2 <¡/l6x2+2^4x +4 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 223. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPÍTULO III L =lim- — ----- — — (2 +2) ' 4 - 5 -4 4 +4 +4 4 +4 v ’ _ 3_______ 23 (x2+2x+4) ------ v ’ 2+2 20 12—2— — 25 4+4+4 3 Vx-8 lim -=— X_*Myx -4 Jx - 8 lim —¡=— x-*64yx -4 L = lim x-»64 Aplicamos conjugada al denominador y numerador (V Í- 8 ) (n/x +8) >/x^+4>/x +16 (x-64) VxF +4Vx+16] ( ^ - 4 ) (Vx +8) y¡X* +4/x +16 x-64 j x_ 64)(V Í +8) [ ^ +4 ^ +16] 16+16+16 . L = lim --- —=-- r-- - =-- r r— = (Vx+8) 8+8 L =lim Vx2+1-Vl-2x X + X . /x2+1 -Vl-2x L =lim------------- x+x El término común a ambas raíces es 1. Sumamos y restamos 1en el numerador para aplicar conjugadas con cuadrados y cubos. |>/x2+1—11^(x2+i f +>/x2+1+1 x(x2+l) x2+1) +/x2+1+1 1 1 ro X )(1+V1-2x ) x(x* +l)( X CM 1 + SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net •/ www.solucionarlos,net CAPITULO III L =lim- x-*0 X +1 + 1 +lim 1—1+2x ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x’ +i M x' +I J '+ ^ T m +i ] ” °x(x; +l)(l +,/r2 ^ ) L =lim- x-*0 (x- +l) +l)‘ +1¡X' +1+1 +IÍm----- 7--- ; ■• ~ x-+0( x 2 + 1 ) ( 1 + n/ 1 - 2 x ) L = + - L - 1 (0 +l)(l +1+1) 1+1 .. >/x—1-x +Vx2-3 lim--- ---------- ‘->2 V3X +1 0 - 4 >/x—1-x +Vx2-3 .. Vx-1-1 +l-x +>/x~-3 L =lim-— , — _■=------------------lim------, ■ -— - *-2 v3x +10-4 x-2 /3X +10-4 Vx-1 -1 .. ¡x2-3 -x +1 lim ----- =— +lim- *-2V3x +10-4 x-2 >/3x+10-4 Aplicamos conjugada al numerador y denominador de los dos límites, multiplicando por (Vx-1 +lj(V3x +10+4) por |Vx‘ -3 +x+lj(/3x +10+4): L =lim x-*2 (7r-T-,)(V ^ T + i)|(V3x +10+4) (>/3x+10-4 )(>/3x+10+4]|(V^T +l) +lim x-»2 (Vx2-3-x +lj|(7x2-3 +x-l) (>/3x+10+4) (V3x +10-4)( n/3x +10+4)|[>/x2-3 +x -lj (x -1 - l)(V3x +10+4) (x2—3—(x —1) )ÍV3x +10+4) L =lim----- — ¡—7— — + ---------------------- -- ------ r x^2(3x +10-16)(Vx^-l +l) ~ 2 (3x +10-16)(Vx2-3 +x-lj ■■■•••i* -•■ru 'O" SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 224. www.solucionarios.net (x-2)( V3x +10+4) (xJ -3-x2+2x -1)(V3x +10+4) L =lim---- ■ ---r--+lim---------- — -n --------- L 3(x-2)(Vx^1 +l) 3(x-2)|Vx2-3 +x-l} 4+4 2(4 +4) 8 16 , L — --- H ---r — 1- =4 3(1 +1) 3(1 +1) 6 6 ¿g iimVüZzV¡Hix-*0 x Aplicamos conjugada al numerador, multiplicando por V1+x' +V1-x3 en el numerador y denominador: (Vl +x2-Vl +x3)(Vl +x2+>/l +x3) L " ¡ ¿ ( V u T W u T ) . .. 1+x2—1+x3 .. x2(1+x) L = lim— r - ^ = = ------------------ - = lim ' x-*0 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I L =lim x"(Vl +x2+>/l-x3) x" °x ‘ (Vl +x2+V l-x3J 1+x 1+0 1 x-°Vl +x2+>/l +x3 1+1 2 tft) lim— - W ' x-0 x f ir m a r V ^ T -1 lim-------Aplicamos conjugada al denominador y numerador de cada límite. x-*° x Se multiplica (^(x +1)6+^/(x+l)4+^(x +1)3+^(x +1)2+^(x +l) +lj el numerador y denominador SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I 7 www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =lim- (Vx+T-l) ^/(x+1) +^/(x +1) +y¡x +l f +Vx+T+1+1 ^/(x +1 ) 5 +^/(x +1)4 + ^ x +1)3+^(x +1)2 + ^ T T +1 L =lim ^ (x + 1)s +^/(x +1) ^ ( x +1)3 + ^ (x +lf + ^ T T + l L =lim- $ «-»«1+1+1+1+1+1 6 Vi +3x - V5-x lim------- j---- 1- X lim^1+3x-- Aplicamos conjugada al denominador y numerador. x-l 1-x2 Se multiplica (V i +3x +V 5 - x ) el numerador y denominador. (V l +3 x - V 5 ^ x )(V l +3x+>/5^x) L —lim / r “ / " ~ x~*' (l- x 2)(V l +3x + V 5 - x j L =lim l+ 3x-5+ x =-lim 4(x-1) -(x2-1)(VTT3^ +V íT ^ ) x^' (x- IXx +l)(Vl +3x +V5-x) 4 4 1 L = ™ (x +1)(>/Ü3; +>/r^) ='(1 +1)(2^2) ="2 i,mx-»5 2 -Vx^T 1-^3-Vx^T h t t i h i F * SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 225. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I lim—^ V* *= Aplicamos conjugada al denominador y numerador. x-*51—^3 —>/x—T Se multiplica (2 +>/x-l)[l +^3-Vx-l | el numerador y denominador. L =lim X-.5 (2 -Vx^T)(2 +V>n)l 1+V3-Vx^T+^(3-Vx^T) (4-x +1)| 1+^3-Vx-T +^ 3 - V x - l j L =lim-------,------ r-— w ,--- ~ 5 (l-3 +Vx^T)(2 +Vx^l) Por conjugada a denominador: (x-5)l U ^ - V x ^ í +3|(3-V^T)2 (Vx -T +2) L =^ (V ^ T - 2 )(2 +^ ) ( V ^ T +2) (x - 5 )í] +>j3-'Jx--Í +^(3-V>T-T)2 (n/^T +2) L =lim- x-*5 (x-1-4)(2 +V>T-T) 1+ L =lim x-*5 'a - V ^ i J í s - V ^ T ) 2 (V ^ T + 2 ) V' > JV '_ (l +1+l)(2 +2)_ 2+VX-1 2+2 =3 i g f g SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 V ‘ www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULOIII EDUARDO ESPINOZA RAMOS « .. Vx-8 lim--- = x-*w4-</x lim Vx Aplicamos conjugada al denominador y numerador. " 4-yxx-«M <g> Se multiplica (>/x +8 )(l6 +4/x +vx*) el numerador y denominador: (Vx - 8 )(Vx +8 )( l6 +4/x +/x^j (x-64)Í16 +4>/x+>/x^j L = lim ------- —--- 7-----—— = 7 = lim ------ ---r— — --- ^ M(4 - ^ )(V ^ +8)(l6 +4 ^ +^ 7) ^ (64-x)(Vx+8) (x-04)|l6 +4s/x +>/>r) 16+4>/x+>/x^ 16+16+16 L = lim ------ -- —=— -- = lim — ——— -— =-----------=-3 (x-64)(Vx+8) (Vx+8) 8+8 *-*' 1—x yfx —1 +1—>/x Vx- 1 1-Vx L =lim---- — =lim------ 5--- =lim----- +--- - x-i i _ x* x-i i _ x¿ x-*i i _ x* t_ x 2 Aplicamos conjugada al numerador de cada límite. Se multiplica >/>?"+>/x+1 el numerador y denominador del primer límite, mientras que ( Vx^ +Vx*" +/x +1): (^ -l)W x *+ */x + l) L =lim---------------- ¿+ x—1 lim (l- x 2) p +^ +l) ^ ,(x-1)(x +1)(Vx? +VxF +Vx+l) L =lim--------- , *. — —— -+lim x-*1 x-1 .. X—1 -(x-1)(x +1)(^/xi’+Vx +l) >-'(x-1)(x +l)(</7 +V ? +^ +l) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 226. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III L =lim X-+1 +lim (x +1)($ ?+ V x+ l) ■-'(x +1)(</x7+V ? +<£ +l) 6 824 <ÍÉ lim■** V_k/i Vl-x ->/x+1 x-*0 x I I B ’T T T í l — * limX—— X Aplicamos conjugada al denominador y numerador. x - 0 x Se multiplica ^ (1 - x )¿ +>/l-x/x +l +^/(x-+-1)' j el numerador y denominador. (Vl-x -Vx +l)í^(1-x)2+^(l-x)Vx +1+^ (l-x)2 L =lim------- p-,-- ■■ ---------------... _ ,-,----- = x[V(1-x)2+V1 -xVl +x +^(1 -x)21 (Vl-X - n/x +1)F^(1-x )~ +>/x+lVx-1 +^/(l-x)2 L =lim------ L ------------- ----- —-----= x ^ (l- x )2+VTÓ<VTT7 +^(1-x)2j L =lim- x-*0 1—X —X—1 yj(l- x f +yJ-XyJ] +X + ^(l-x)2- L =lim- x-*0 -2x L =lim- ^/(1 —x)2 +>/1 -xV x +1 + ^ (1 - x )2 I L J -2 -2 /ii- x f + v r : xVx7T+^(i-x)2 1+1+1 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu cofrv www.solucionarios.net lim ^ Sumamos 1y restamos 1al numerador 2 y -2al denominador. x'*1>/5x-l -v2x +2 K S I M n/x - ¡2x-~ (n/x ->/2x -1)(Vx +>/2x-l)(V5x-l +V2x +2) x“*' >/5x-l ->/2x+2 x_>1(>/5x-l ->/2x+2)(>/5x-1 +V2x +2)|Vx+V2x-l) -(x-1)(-v/5x-1 +>/2x+2) >/5x-1 +yj2x +2 = lim-------- ^-=— ----7— = -lim —7—=— ■■■„7- x-*’ 3(x-1)(Vx+V2x-1) x-' 3(n/x +>/2x -1) 2+2 4 2 CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 3(1 +1) 6 3 x^, Vxi +3-2 X—1lim ----— Aplicamos conjugada al denominador y numerador. ~ 'V x 2+3-2 Se multiplica ( Vx‘ +3 +2) el numerador y denominador: x _ , ( x - i ) ( ^ 3 +2) L =lim- -----— =lim- X—*1Vx2+3-2 x-*’ (Vx2+3-2)(n/x2+3 +2) (x-1)(>/x2+3 +2) (x-l)ÍV x2+3 +2 ) (Vx2+3 +2) 0 , 9 L =lim---- --------- =lim . V -- —r =lim ----- — '-=^ =2 x-’ x +3-4 (x —l)(x +1) x->1 x+1 1+1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www solucionarios.net
  • 227. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO III II V3x-2 +>Jx+6 -4 x - 2 x - 2 iM BTl i T l f l M f >/3x-2 +^x +6-4 _ „ , Hm-------- ------ Sumamos y restamos 2 al numerador y abrimos dos límites. x - í x-2 , ,. >/3x-2-2 +2+^x +6-4 73x-2-2 %/x+6 -2 L =lim-------------------- - hm-------- +lim-------- x-*2 X-2 *-*2 X-2 x-»2 x-2 Aplicamos conjugada al denominador y numerador de cada límite. Se multiplica (>/3x-2 +2) y (4 +2>/x+6 h ^(x +6) j al numerador y denominador de cada límite: L = lim- X—2 (>/3x-2-2)(>/3x-2+2) (*/x+6- 2)l|4+2/x+6 + >/(x+6)21 (x-2)(V3x-2+2) x-2 (x-2) |^4+2^x + 6 + yj(x + 6)2j1 L =lim 3x' 2-4 - x+6-8 x—2 L =lim x-*2 (x-2)(>/3x-2 +2 ■+lim----- - '(x - 2 ) 4+2y/x+6 +^/(x+6)9 3(x -2) +lim x-2 (x-2)(V3x-2+2’ *"*(x-2) 4+2%/x+6 +^/(x+6)2J 3 +lim 1 9 1 ----- -----+------L =lim- ^— +lim---- ---- -— = = =—— +---!-- =2+_L=5 x-2V3x-2+2 x_>24+2y/x+b +yj(x +6)z 2+2 4+4+4 4 12 6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I /avw edu / ' www.solucionarios.net www.solucionarios.net c a p it u l o III f EDUARDO ESPINOZA RAM O S« 3x-2-4 .. x+6- $ L =lim x—2 +lim (x-2)(n/3x-2+2) x^ 2 ( x - 2)^4 +2 ^ 6 + V ( x + 6 ) 2 J , 3(x - 2) .. L =lim----- —— r+lim x—2 x-2 (x-2)(V3x-2 +2) x"*¿(x-2)[4 +2/x+6 +V(x +6)2 L =lim +lim 9 1 •+lili -- =--- f IIIII --- ----- -■ — - T- ' 7——T — - , ■*2V3x -2 +2 x_>!4+2yfx +6 +>/(x+6 ) 2 2 +2 4+4+4 4 12 6 ¡2x-2lfx JIE W S M .J lim x—8 x-8 /oy 2fx '* lim—-----— Sumamos y restamos 4 al numerador y abrimos dos límites. x-8 x- 8 V2x-4 +4-2>/x .. y¡2x-4 4-2 >/x L =lim----------- — =lim--- — +lim--- — x-*8 x-8 x-»8 x-8 x-8 x-8 Aplicamos conjugada al denominador y numerador de cada límite. Se multiplica (V2x +4) y (l6 +4>/x+n/ x * ) al numerador y denominador de cada límite: (V2x -4)(n/2x +4) Í4-2^x )[>/? + 4 ^ +1ó] L = lim------- p— — 7-^+lim------- ü*=---- --- ^ *-*8 (x-8)(V2x+4 x-*8 (x-8)[Vx? +4Vx+16j , 2x-16 .. L =lim----- ;—= — r +lim x-8 64-8x (x-8)(>/2x +4) x“*8(x-8)|^>/x^+4-yx +lój L =lim --8lim 1 1 1 >~’8>/2x+4 x^8Vx* +4>/x+16 4+4 16+16+16 4 6 12 I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 www.solucionarios.net
  • 228. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA R«MOS ) CAPITULO I $ n/4x -7-</4x +1 lim------------- x-2 X - 2 lim^ X- -— t i Sumamos y restamos 1 al numerador y abrimos dos límites. x-»2 x -2 . n/4x - 7 - 1 +1 - V 4 x + 1 V 4 x - 7 - 1 .. 2 - ^ 4 x L =lim------------------=lim-------- +lim------ x-»2 X - 2 x-»2 X —2 x->2 X —2 . ( V 4 ^ - 1 X sÆ T 7 +1) ( 2 - ^ ) ( 4+2V4Í +V Í6 ? ) L =lim------- — r— +lim------ ----- — — --- (x-2)(n/4x-7+1) x^ 2 (x-2)(4 +2V4x+n/16x2J x-»2 4 x - 7 - l .. L =lim----- --- — r +lim x-»2 -4(x-2) (x - 2 )(> / 4 x - 7 + l) ~ 2( x - 2 ) ( 4 + 2 ^ +^ 1 6 7 ) L =lim x-*2 +lim -4 4 4 =2-1=1— . ----- ---- -r mi 11------- ;--- ---- ,— 1 — ---------------------------- — c.—“ (V4x-7 +l) —! 4+2 n/ 4 x + V i 6 x ~ 1+1 4 +4+4 3 3 V 4 Í - 2 s / | lim— 1 - x-* v2x-2 _____ lim— ___ Sumamos 2 y restamos 2a la raíz cúbica. x- 2 V2x - 2 ^ - 2 + 2 - 2 J | V 5 J - 2 2 > | - 2 L =lim---- = ----— =lim - lim-7= — x-2 >/2x-2 x-*2v2x -2 x_>2V2x -2 Aplicamos conjugada al denominador y numerador de ambos límites. R Ï Ü SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ------------- y-^- wwwed'jKp- . . www.solucionarlos,net CAPITULO III I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (n/2x +2)(^Í6xF +2V2x +4 ^4x -2) Se multiplica ------- --------- el numerador y denominador (>/2x +2)(>/l6x2 +2>/2x+4)V2x-2 en el primer límite y (^ +2)í£ +# +# +í +,p - 2) del segundo límite: L =lim x-»2 (Vix-2)(>^x+2)(-v/l6x^ +2^2x+4) ^ L =lim x-»2 (n/2x-2)(>/2x 2)(^16x2+2^2x +4) ~ 2 >/2x-2 , /_ x f£-ll(>/2x+2 4(x-2)(n/2x+2) •( V2 ]' ^ V16 V8 V4 V2 -2lim 2(x -2 )(^ 6 7 +2V2Í +4) 2 Ín/2 x+2 ) L =lim . --- = ----2lim i - . ] ( Æ +2) ^ W x 2 +2^2x+4 ~ 22 (x - 2) 2(2 +2)L =—--- --lim 4+4+4 x-2 # * # * ií?* fi (x -2)(n/2x +2) +1 2(x —2 ) 2(2 +2) (n/2x +2) L =—--- --lim . — — = — ==4 . 4 o i r 1 *» l o 2 + 2 2 2 4 4+4+4 x-*! +1 3 2(1 +1+1+1+1) 3 5 15 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 229. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Mr .. Vx-4 ->/3x -1 4 hm- x-*5 x-5 lim^X 4 Aplicamos conjugada al denominador y numerador. x-*s x-5 Se multiplica (Vx-4 +>/3x-14) el numerador y denominador. (>/x—4 ->/3x - 4 Í(7 x -4 +V3x -4 ) L =Hm---------- T-FJ± — = = = r---]- x- 5 (x-5)(Vx^4+n/3x-14) -2(x-5)(Vx^4->/3x-14 (>/>T^4+>/3x-14 L =lim----------; __ — p---- ---- -lim— ____ ______ x“* (x-5)(vx-4 +v3x-14 ) x^5(x -5)(Vx^4+V3x -14) L =lim -2 -2 x~‘5V x-4 +n/3x-14 1+1 (ffi x-»4 x-4 =-1 .. >/x -5->/2x +1+4 . lim-------------- Sumamos 1y restamos 1 a la raíz cubica. x - 4 x - 4 . .. n/x -5 +1->/2x +1+3 .. v/x-5 +1-/2x +1+3 L = lim -------------------- = lim --------------------- x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 , .. </x^5 +1 .. V2x +l- 3 L =lim-------- lim-------- *-« x -4 x-4 x -4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net •t • www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Aplicarnos conjugada al denominador y numerador. Se multiplica j ^(x-5)2-<¡/(x-5)+l j el numerador y denominador en el primer límite y (3+>/2x+1) del segundo límite: (Vx-5 +1 ) yj(x-5f -^(x-5) +1 (x-4) yj(x-5)S -y/x-5+1 ti------- ----. . ■, (x-4)(3 +v2x +l ) L =lim x—4 x-5 +1 +lim- 9-2x-l ( x - 4 ) ^ / ( x - 5 Í ' - '<1x^5 +1 x_*4 ( x - 4 ) ( 3 + V 2 x + l ) 2(x-4)1 -lim-L lim i ____ •••'• / *----- '-3/(x - 5)2- ^ 5 +1 x_>4(x-4)(3 +>/2x+1j i 1 2 L =— lim 1 2 =1-1=0 3 x—4 3 +^2x +l 3 3+3 3 3 x-l x -1 T T T ñ T T T x =zls => Vx =z^; Vx =z v/x-Vx zs-z lim 3 z =lim".. — =lim (z’ - l) 1 x-l *-*>z'5-l (z5- l)(z 10+z5+l) z3(z - 1)(z +1) =lim 1+1 2 2 ' (z-l)(z4+z’ +z2+z+l)(z'°+ z5+l) (1+1+1+1+1)(1+1+1) 5(3) 15 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 230. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ^ .. /x2 +4 - l2+6x|,m-------------- x- 2 x - 4 /x2+4 - Vx2+6x lim------r------- =lim x-*2 x _ 4 x-»2 j B t S M á ü J I T (Vx2+4 -2| (Vx2+6x -2) x -4 x -4 =lim x-»2 -lim x+8 yj(x +4f +2/x2+4+4 x,2(x +2)(Vx2+6x +2)(Vx2+6x +4) 1 10 1 5 1 lim X—1 lim x-»1 4+4 +4 4.4.8 12 64 192 x2—1 x+x2 x2-1 .. x2-1 >/x-2 +/l-x +x2 =lim >/x-2 +>/l-x +x2 x_>l(/x-2 +l) +(Vl-x +x2- i) (x 1)(x +1) =lim X-*l X —1 ^(x-2)2- y J x - 2 +1 3^(1-x +X2)2+V1-X +X2+1 =lim X—I X +1 y¡[x-2f -Vx^-2 +I ^(l-x +x! f +Vl-x +x*+l 1+1 2 2 =4 =3 1 1 1 1 2+ ----------------_ + _ _ 1+1+1 1+1+1 3 3 3 CAPITULO III SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III .. x:Vx +6 +4x-/x +1-1 © ---77^ --- PT¡TI'iM»TÍI ^ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2(VxTó-2) ^ 2x2+4x (V^+T+l) l¡m x2Vx +6+4x--y/x+1-1 = )jm x+2 x+2 x+2 x-*'2 Vx2- 3-1 x->'2 Vx*- 3-1 x+2 x2 „ 1 Vx +6+2 3^x+i)8-V>m +i x-2 / 0 n/x 2 -3 +1 = lim x— 2 x - 2 41 1 , 1 o 1 1 0 _ 4 ------ 1- 4- - -3- — —— _ 2+2 1+1+1 _______ 3 =____3 _ 3 _ 5 -4 -2 -2 -2 3 1+1 x xd L‘■=x t o SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 231. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III LIMITES LATERALES O O Calcular si existen limf(x) y limf(x); donde f(x) = x-»l X-+4 x2 si X <1 x si 1<x <4 4- x si x >4 _____________ a) limf(x): Aplicando límites laterales: lim f(x) = lim x =1; lim f(x)= lim x2=1 Puesto que lim f(x) = lim f(x) =>lim f(x) =1 x-*r x-»r x-*r b) limf(x): Aplicando límites laterales: lim f(x)= lim(4-x) =0 ; lim f(x) = lim x=4 Puesto que lim f(x) * lim f(x) =>limf(x) =¿ Calcular si existe limf(x) donde: f(x) = x-»2 6x - x2 ; x <2 x2- x-3 ; 1>2 6 : x =2 i— 5r»mrar»i:Mí Calculamos limf(x): Aplicando límites laterales: f lim f(x)= lim (2x2- x-3) =8-2-3 =3; lim f(x)= lim (6x-x2) =12-4 =8 x-*2* x-»2* ' ' x-*2‘ x-*2 ' ' Puesto que lim f(x)* lim f(x) =s>limf(x) =/í X-.2* x-*2‘ x-*2 f x” •X ïî 0 x ; x <0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net co f www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Calculando limf(x): Aplicando límites laterales x-+0 lim f(x)= lim (x2) =0 ; limf(x) = lim (x) = 0 x-*2" x-»2* ' ' x-*0 x-*0‘ Puesto que lim f(x) = limf(x) => 3 limf(x) = 0 x-*0‘ X-»0 X—o ( bx2+ab ; x £ 0 Si f(x) =< ----- . Hallar a y b para que limf(x) =f(0) y f(l) = 1 [2>/x2+b -b ; x<0 * x"*° J K & X S M M t Puesto que f(1) =1 => b +ab =1 ... (1) Calculamos limf(x):Aplicando límites laterales: x-*0 * lim f(x)= lim (bx2+ab) =ab x-*0* x-*0* ' ’ * lim f(x)= limÍ2>/x2+b-b) =2>/b-b x-*<r x-»0‘ V / De donde: 2>/b-b =ab => 2Vb =ab+b en(1): 4b = 1 => b =- 4 Calcular si existe limf(x), de donde: f(x) = x2; x 5»1 2 ; x >1 Calculamos limf(x) aplicando límites laterales: x->1 * lim f(x)= lim(x2) =l * lim f(x)= lim (2) =2 x-»0" x-*0‘ ' ' x-»(T x-»0‘ Puesto que lim f(x)* lim f(x) => 3 limf(x) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 1
  • 232. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III Calcular si existe lim f(x ), donde: f(x) = x-*0' x-5 l-Vx-4 x2-12x +35 x-5 ; x >5 ; x<5 Calculamos lim f(x): aplicando límites laterales: x-*0‘ x“ 5 * lim f(x) = lim---/•-■— - x-*5* x-»5* 1_ — 4 x->5” (5-x)(l +Vx-4) . --- x = lim---------------------- - = lim (i + n/x - 4 = - 1 - 1 = - 2 1- X +4 x-*5-' . I i m f ( x ) . h m . |¡m Í - S K ^ T ) _ ,s ( x + 7 ) = 5 . 7 x-*5 x-»5 x—5 X—5 Puesto que lim f(x) = lim f(x) => 3 limf(x) =-2 x-*0* x-*5 x - ° ii - (x)1 mil * Calcular si existe: a) limf(x) b) limf(x) donde: f(x)- x—*1 x-*2 j a B a ís a £ ¡¡f c / Arreglamos la función, desarrollando el valor absoluto fimil alai/ |x-3| = 1-x2 ; x<l 1 ; 1<x <2 |x-3| ; x>2 1—x2 X<1 x >3 f(x) =- 1 1<x <2 => x <3 3 -x 2 <x <3 .x-3 x 2:3 a) limf(x). Calculamos limf(x):Aplicando límites laterales: x—»1 X-»1 * lim f(x) = lim(1) =1 X-+1* X-+1* * lim f(x) = lim(1—x2) =1—1=0 x-»r x-»r SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net y www.solucionarlos,net Puesto que limf(x) * lim f(x) => limf(x) =^ x-*r x - *f x—*i b) limf(x). Calculamos limf(x):Aplicando límites laterales * lim f(x): lim (1) =1 x-.2 - “*v ’ Puesto que lim f(x)= lim f(x) => 3 limf(x) =l x-*2‘ x-*2‘ x-»2 c) limf(x). Calculamos Hm: aplicando límites laterales: “ -*3 x-»3 lim f(x): lim (x-3) =3-3 =0 CAPITULO III ( EDUARDO ESPtNOZA RAMOS « limf(x): lim (3-x) =3-2 =1 x-*2 v Puesto que lim f(x) = lim f(x) x-»3" x-»3 3 limf(x) =0 x-»2 x-»2 * lim f(x): lim (3-x) =3-3 =0 x-*3‘ x-»3' v Calcular si existe limf(x) donde: f(x) = x3-2x2-5x +6 x-3 VxTÍ-1 x+2 x <3 x£3 .. ff . .. Vx+1-1 >/4-l 1 lim f(x) = lim-------=---- =- x-*3* x-*r x+2 3+2 5 Factorización por Ruffini para eliminar el factor (x - 3) = lim (x2+x-2) =9+3-2 =10 x-3 *-3V > SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net H
  • 233. www.solucionarios.net Puesto que limf(x) * limf(x) => limf(x) =^ » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I © O x—3 x—3 Calcular si existe lim->y}x(-+-j[3x| Definimos la función mayor entero y valor absoluto x = •7 1 S 8 7 ; X <- 3 3 o 8 ; —^ X <3 3 X ' X ^ ;n < 3 x < n +1=> ¡3xJ = -x ; x <0 11 1 •£=»(x—C)m il:(x)í mil * Calculamos limf(x):aplicando límites laterales: x-*3 * »00.=J™, s yjf+7 = 2 2 ,1 ti" • • ' . r-r+xV «xl-x Calcular lim =— *-o x Definimos la función mayor entero n<|x|<n +l => 1x1= -1 ; -1 <x <0 0 : 0<x <1 Calculamos limf(x) aplicando límites laterales: limf(x) =lim-—- =lim—1=-1 x—0 x-»0 X x-»0 K| n ó i‘.36X110JD6 Í 2x|x-l| Calcular lim— !--- - x-0 x-l SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I ’ ; www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III , | x-l ; x >1 Definimos la función valor absoluto, x-1 -(x-l) ; x <1 Calculamos limf(x) aplicando limites laterales X-1 (~ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O * lim f(x) = lim — ———= lim(2x) =2 x-*r x-*r x—1 x— r lim f(x) = lim 2X('X——= lim(-2x) =-2 x_ * r x - r x-l x -*r Puesto que * lim f(x) * lim f(x) => limf(x) =2 x—r x—r x—i x+|l —x| Calcular lim— ¡--- - '->> x +1 j B E S l í M í E Definimos la función valor absoluto |l - x| = x-l ; x £ 1 -(x - l) ; x<l Calculamos limf(x) aplicando límites laterales: x—1 . . .. x+x-1 1 jj, .. r,•• x+l-x 1 * lim f(x) = lim — 5------------------------------------=- * lim f(x) = lim --- x-,- x-»r x2+1 2 x-r x-r x* +1 2 Puesto que limf(x) =limf(x) => 3 limf(x) =1 X—1 X—1 X—1 2 Il6-x2|+l © Calcular lim— ! , » ',(4 -x ) n/5-|x -1| Definimos la función valor absoluto x-l = J x-l ; x >1 | | Jx2-16 ; x g (-QO,—4)U|4,oo) "“ l- íx - l) ; x<l ' i 116—x2 ; xe<-4,4> SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 234. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO III Calculamos limf(x), aplicando límites laterales: x-»4 x2-16 +1 16-15 * lim f(x) = lim -------- ------- - x_4- x-4 (4 _ x)>/5^x +l 0 ... „ , .. 16-x2+1 17-15 * lim f(x) = lim........... ......... ■■■=----- =+00 *-**' x-><*(4 —x)v5 —x+1 O Como lim f(x)= lim f(x) => 3 limf(x) O Calcular lim x-»4 x3 _ x2+3x_ 3 X —1 L =lim X—♦I x3-x2+3x-3 x—1 lim x-»1 x 2(x -1) +3(x -1) x—1 lim x-* (x-1Xx2+3) x—1 =lim(x2+3) =l +3=4 0 Calcular lim.^x‘rx x-°7x-5x Definimos la función valor absoluto. Ixl = x ; x>0 -x ; x <O Calculamos limf(x) aplicando límites laterales: x—»0 lim f(x) = lim 3X+X = lim - =2 x-*o' x-»o 7x-5x x-»0‘ 2 3x+x 2 1 lim f(x) = lim----- = lim — =- x-+o’ x-*o‘ 7x-5x x-*o* 12 6 Puesto que limf(x) * limf(x) => limf(x) =>?f j SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « _ . . .. x* -2x~ -4x +8 Calcular lim------------ x-+2 x - 2 _ _ i _ __wf L =|im*3-2x*-4x+8 =|imx3(x-2)-4(x-2) =,¡m(x-2Xxi -4) x->2 X —2 x-*2 X —2 x-»2 X —2 (x-2)(x-2)(x +2) [x -2 t(x +2) . .. , L =lim----- --- —--- =lim-— , --- lim x-2 (x +2) =0(4) =O x-»2 X —2 x-*2 X +2 x—21 *' ' ^|j| Calcular lim|3x| +|3x2-l| É m F m m vw * Desarrollamos la función mayor entero, la que alrededor de x =3 nos da: n£|3x|<n +1 => ^<x<n±2 [3xJ = 8 ; —£ x <3 3 9 ; 3<x< — 3 Ahora la función valor absoluto: 3x2- 1=0 => x =± 1 v/3 Límites laterales: Por la derecha de 3: L = lim [9 +3x2- 1] =9+3(9) =36 Por la izquierda de 3: L = lim [8 +3x2- 1] =8+3(9) =35 Puesto que limf(x)*lim =f(x) => limf(x) =3 x-*3 x-»3 x-*3 Calcular lim^|x| +[3xJ+4 Desarrollamos la función mayor entero, la que alrededor de x =- nos da: *v . «Jukperu-com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 235. www.solucionarlos,net »EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III n<|3x|<n+1 => => [3xJ = 5 ; - <X <3 3 6 ; 2 <x <- 3 Ahora la función valor absoluto: |x| = x ; x >0 -x ; x <0 Límites laterales: Por la derecha de 3: L = lim V5 +x+4 =J — 5* y 3 hX->~ ’^ Por la izquierda de 3: L = lim >/6+x+4 =J — 5' V 3 Puesto que lim f(x) * lim =f(x) => limf(x) =3 5* X-*3 O Calcular lim ¡_ V3xt -»l|2x-: -2|-[xJX-*0 i J — PTÍTHM07M^ >/3x2+ l[2x -ll V3x2+1([2x J-1) L =lim——— r-- ■■■■ =lim— ¡---- ? — -— |x2-2|-[xJ ^ |x2-2|-|x J Desarrollamos la función mayor entero, la que alrededor de x =0 nos da: n<|2x¡<n +l => ^ <x < = > 12x| = 0 ; 0< x <- 2 -1 ; -- <x <0 2 Ahora la función la otra función mayor entero: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 - / www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO III ......................................................................................................[ EDUARDO ESPINOZA RAM O S« n <I xII<n+1 => n <x <n+1 => x = 0 ; 0£ x <1 -1 ; -1 <X <0 >/3x2+1(0-1) -VÓ+T 1 Límites laterales: Por la derecha de 0: L = lim —¡—— ¡—-— = . ■ = -- *-<>• ¡x —2j—0 |-2| 2 Por la izquierda de 0: L = lim 0-~V~—~ =;r” 7=-2 x-o x -2 -1 2-1 Puesto que limf(x)* limf(x) => limf(x) =3 x-*0 x-»0 x-*0 lx2-l|+2x ¿T S Calcular lim-^---£--- = W x-»i 2x +2[x +1J [x2-l|+2x ¡x21—1+2x L =lim-L---¡J--- ¡¡=lim g . 1 ■- x-*'2x +2|x +lJ x-i 2x‘ +2|xJ+2 Desarrollamos la función mayor entero, la que alrededor de x =1nos da: n n , „ „ Í 0 ; 0 < X < 1 n<[x[<n +l => n £ x <n +1 => x=^ _ !< x<2 Ahora la función la otra función mayor entero: nd|x2||<n+l => n<x2<n +l => ||x2| =0 en<-1,1> , _ - , u i , 0-1 +2x -1+2 1 Límites laterales: Por la derecha de 1: L = lim — z——— =———=- x-i42x +2 +2 2+4 6 „ , • . , , , , 0-1 +2x -1+2 1 Por la izquierda de 1: L = lim— -———-= '=t x-»r 2x +0 +2 2+2 4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 463
  • 236. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS Puesto que lim f(x) * lim f(x) => limf(x) =^ x-*r x-*r x-*r Calcular lim- © «4|3x)-10 jg t iiM á f f iB 1 1 Desarrollamos la función mayor entero, la que alrededor de x = o n n n+1 n n Í 0 ; 0 < x < 1 n <|3xfl< n+1 =t> -< x < ^ — => [xj = 11 “ 3 3 [1 ; 1<x<2 Ahora la función la otra función mayor entero: n <II—II<n+1 => 3n<x<3n +3 => | f l =0 en [0,3> 3 , 12-0 12 6L =lim---- =----=— 0-10 10 5 6 ¿ JS 2¡x2+l|+|x +2|—2 X jJ Calcular lim -i---. ' ' — [3x +2j 2[x2+ll +|x+2|-2 2(x2]l+2 +|x+2|—2 L= lim J II 1 L - = lim—^ '— ■= lim x-.^ |3x +2| *-*•£|3xJ+2*-+'& Desarrollamos la función mayor entero w-C,xr«*'w’,:j‘**i i+|x+2| 2+12>/2+2j 4+>/22(1) L, = lim — 1 x-»>/2 4+2 4+2 CAPITULO III 0 nos da: 2|xe|+|x+2| [[3x1+2 464 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net ••."T www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o Calcular lim 3x2-1i+2x y lx* +i* +3x-i L = lim ¡3x2—1J +2x ’*ííx2+1fl+3x —1 Para la función: y = |x2+11cuando x = 1 de donde: y =||x2+1J =2 Para la función: y =13x2-11cuando x = 1 de donde: y =13x2-1J =2 . .. 2+2x-2 +2 - L = lim------------=1 x-*r 2+3x-1 2+3*1 O Calcular lim ^(x|+|3x| +4 15 Desarrollamos la función mayor entero, la que alrededor de x =— nos da: n<;[3x[<n +1 => ^< x< -^= > |3xj =7 s il< x < | Ahora la función valor absoluto: |x| = L = lim Jx| +7+4 =J - +11 = X-.5/2V 1 2 2 II2x1+|Í3x+11 Calcular lim ^ ■'- ■■■■;— - ¡2x -11+2 x x>0 -x x <0 Desarrollamos la función mayor entero |2x | , la que alrededor de x =2 nos da: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 237. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO III ns|2x¡<n +1 => 2 S x < ü±l ^ [2xJ = 3 ;-< x < 2 4 ; 2 <x <- 2 para 2x2-1 : n< 2x2-1 <n +1 => J — <x< fñ+T y~2~ n+2 Q2x2—1j = x <2 para |3x +l|: n£[3x+l]<n +1 => — <x< - =>|3x +lJ = 6 ; - <x <2 7 ; 2<ÍX<- 3 ■ * , . 3 +6 9 Luego: L = lim--- =— *-»2-6+2 8 * '- Ï Calcular lim:— ¡i— x-*|2xJ+10 JK £ Q íQ ¡ Í 2 ¡ S f Desarrollamos la función mayor entero [2xJ , la que alrededor de x =6 nos da: n<[2x¡<n +1 => ^ < x ^ = > [2 x j = 11 ; 13 12 ; 6 <x <—- 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Para x : n< xI 3 3l 3n <x <3x +3 1 ; 3 <x <6 2 ; 6< x <9 Límites laterales: L=lim x2-2 36-2 17 *-**12 +10 22 11 L = lim x2-l 36-1 35 «-*-11+10 22 22 Puesto que L = lim f(x) * lim f(x) => L =limf(x) =$ O V3x2+1 +2x Calcular lim — =---- =— *~*r l x~3j Desarrollamos la función mayor entero j[x—3|, la que alrededor de x =3 nos da: n<|x-3|<n +l => n+3<x<n +4 => |x-3| = -1 ; 2 <x <3 0 ; 3 <x <4 .. , . . . . V3x2+1 +2x V28 +6 /_ r= ,Limites laterales: L = lim----- -----•=----— =(2>/7 +6j Calcular lim ------------ x-r yj9sgn(x-l)-x2 L = l¡m l.3.— i ----- - x_*3 79^gn(x-l)-x2 Desarrollamos la función mayor entero |x|, la que alrededor de x =3 nos da: i xI = 2 ; 2<x <3 3 ; 3 ^ x <4 Ahora la función signo y valor absoluto: Sgn(x-l) = 1 x >1 0 x =1 |x| = -1 X <1 x x>0 -x x <0 www oduVoenj.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 www.solucionarios.net
  • 238. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III &L = lim 3C2) JT -+¡ó-x J -3 +73-x 2 V 3 /9-x = lim ---- - x_*3 ¡9-x¿ = lim Jí-3 v3 —: x-»3" ^ 9 _ x 2 *-*3 ^ 9 _ > + lim L - lim x-»3' __________¿V__________ « ÍS-] ■+ lim 9 - x s 3- x *-*3 V(3-x)(3 +x) L = lim x-»3* x3 -— 9 3 +lim x-*3 im =■lir -•r V3 +x *-»; lim 3- x -27 3n/9^ y +3 (x-3)(x2+3x +9) Jó 73-x73-x(xz+3x +9) L = lim----- e+— = lim---------- —+— = +3 I 6 3y/3^x3y[3^x ñ+3 73-x(x2+3x +9) ^6 ^6 L = lim-----v — ^ +— =0+— *-♦3' _____ ( 36 6 +3 Calcular lim íx2-Sgn(|x2- l|- l)] L = lim [x2-Sgn(|x2 Desarrollamos la función signo |x2—1|—1=0|x2—1|=1 =0 x2-1 =±1 => x2=0; x=±y¡2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net v , * v or.rr:.c: www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « . 1 ; xe(-oc,-72)u(72,oc) 0 ; X =0, x±V2 -1 ;xe(-V2,>/2} L = lim Px2—Sgn(|x2—11—1)"| = lim [x2- l] =2-1 =1 x - f j i *- -* x-j2* Calcular si existe L= lim jV2+5 +Sgn(|x2 ME2EM M L = lim ^x2+i gn(|x2 Desarrollamos la función signo 1 Luego: Sgn(|x'2- 1|—l) = ; X€ (-oo,->/2^u(V2,oo^ 0 ; x =0, x ±72 -1 ; x e (- 7 2 ,7 2 ) Ahora calculamos la función: f(x) = Ahora los límites laterales: L, = lim (x2+6) =2+6 =8 ; x-V2 xz+6 ; xe (-oo,-72)u(72,00) 5 ; x =0, x±72 x2+4 ; X€ (-72,72) L2= lim (x2+4) =2+4 =6 x-VT Luego L= linn [V-Sgn(|x2- l|- l)J =/i vwav.8dukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 239. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO III Calcular si existe limf(x ), donde f(x) = X-fl 1->/x o X 1 X“ ----- 2 2 ; x > 1 ; x < 1 x—1 Calculamos los límites laterales en la regla de la función dada: i_ JZ (l- V x )(l +Vx)(l +Vx +V ? ) (l- x )(l +>/x+Vx*) L, = lim = lim ----- ü ---- L ----- L = lim ---- -----------Z x-»1*1-vx ^'■(l-Vx)(l+Vx+VxF )(l+Vx) *-r (1-x)(l+N/x) *->r 1+>/x 2 o x 1 x ■ i- 2 2 . - 2x -x-1 .. (x-1)(2x +1 2x+l 3 L, = lim--- *•= lim — — — = lim ----- / i— —^ = lim---- =- *- »r x-1 x-»r 2(x-l) x - .r 2(x-l) * - t 2 2 O Puesto que limf(x) = lim f(x), Luego limf(x) =- x-*i x->r x-*i 2 Calcular si existe: a) lim f(x), limf(x), donde: f(x) =(x-21xII)2 x-*-l x-*l u U La función mayor entero: |x| = -2 -1 0 1 -2 £ x <-1 -1 <x<0 0 £ x <1 1<x <2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I y • www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a) limf(x) los límites laterales x—♦! lim (x +2)2=1; lim (x +4)2=9 puesto que lim f(x) * lim f(x) x-+-i* x-»~r x-*-r x-*-r Entonces lim f(x) =$ X—*-1 b) lim f(x), los límites laterales: lim(x-2)2=l ; lim(x)2=l X—*1 Puesto que lim f(x) = lim f(x) =1 por lo tanto limf(x) =1 x—*i* x-+r x-*r O Calcular si existe lim(|xj|+|4-x j) {2 * 2 <x <3 ' ~ ; Para n<|4-x|<n +1 3 ) 3^x<4 n <4-x <n+1 => n-4^-x<n-3 => 3-n<x<4-n de donde: ¡ 4- x¡I={ 1 ' 2 <* - ^ 11 11 [O ; 3<x £ 4 Los límites laterales: lim(3 +0) =3 ;lim(2+1)=3 x-»3* x-»3‘ Puestoque lim f(x) = lim f(x) Tenemos: I¡m(||xfl+(j4-x||) =3 x-»3‘ x-*3‘ x - » 3 u u u/ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 1
  • 240. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I O Calcular si existe lim x->3* Para x =3 ; 36-5x 11136-5x 10 I 36_5i -« ■ [136+5x | 10 I 10 1 10 ¿ m s j =5 . ||36-5xl|36 +5xfl 0 Luego: lim||——— |][[— —— [|=2(5) =10 $ $ 10 f Calcular si existe lim 10 x21-1 X- 1 X+1 1 ; -/2 <x <-1 [0 ; -l<x<1 Luego límites laterales: Para x =-1 => x2 = . .. 0-1 0-1 L. = lim --- =--- =-oo 1 x—rx+1 0‘ .• T "1 r 0 rL2= lim --- = lim ----=0 x-*-r x + 1 x— r x + 1 Puesto que lim f(x)* lim f(x) entonces limfCx)*^ x-*-r x-*-i Calcular si existe lim(x2+2x)[ 1- x| x-»2* “■ M sm t'W M K m f Parax =2=> 111—xf|=—1 de donde: n<1-x<n+1 í_O • O< Y <'í n-1<-x<n=>-n<x<l-n=>||1-x|] =-i -1 ; 1< X ^ 2 www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « , .. 0-1 0-1 . .. 1-1 .. o A L, = lim---=--- =-» L, =lim--- = lim----=0 *-*2‘ X + 1 0 x-*2 X + 1 x-»2‘ x + 1 Puesto que lim f(x) * lim f(x) entonces limf(x) &$ [Ix—1B—xCalcular si existe limar. .. ..= aaL¡¡iWM Parax =3 => ¡ I x j J 2 : 2<x£3 i 1 • 3 ; 3<x<4 s Luego límites laterales: .. 3-1 -x 3-1-3 1 . .. 2-1-x 2-1-3 1 L. = lim —= = =—= = r =— = ; L9= lim , . = lim v ..... =— ■= ~ 3' yjx' -3 V9-3 V6 ‘ *-3- ^/x2-2 7 ^ 2 V7 Puesto que lim f(x) * lim f(x), entonces limf(x) =X x-»3' x-*3" x-»3 •*-3|-lx*| Calcular si existe lim x—JÍ X ix ~3H X x |- 3" i x 3 L = lim --- / " = lim -— ^ — -— -=- lim — x -2 x-^2 x -2 x-^x -2x-*>j Límites laterales: , . . 3 3 . . . 3 3 L. = lim —— =----------------- =oo ;L9=lim —— =-=-oo 1 x ^ x2-2 2 -2 2 x-^ x2- 2 2-2 Puesto que lim f(x)* lim f(x), entonces lim f(x) =/í x-W5 *-*JsX->V Calcular si existe lim(|x —1¡—x)^/x—|x j SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 1
  • 241. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS www.solucionarlos,net CAPITULO III Desarrollamos la expresión: |x| = Luego: L =lim (|x |- l- x )^ ^ |x ] 2 ; 2 <x <3 3 ; 3 <x <4 x-»3 Límites laterales: L, = lim (3-1-x)>/x^3 =(2-3)73^3=0 © L2= lim (2-1-x )7x -2 =(1-3)73-2 =-2 Puesto que lim f(x) * lim f(x); entonces limf(x) =$ x-kT x -»3* x -*3 Calcular si existe limf(x), donde: f(x) = x-*2 IX 1U X >/HW¡ (3x]-3|xJ-8|g X - X a*™ xmoim* lx|-1 -X Arreglando la función: f(x) = ; - 9£ x <-2 ; -2£x<7 Vx M l3 xl-3 |x |-8 Í| ; -9 <x <-2 x- x ; -2^x<7 Desarrollamos las expresiones de mayor entero [-3 ; - 3 <x <-2 x = -2 ; -2 <x <3 n< —fl<n +1 => 3n <x <3n +3 con n =-1 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO t www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -1 ; -3 <X <0 0 ; 0 <x <3 n < <n+ I -7 ; — <X <-2 3 5 -6 ; -2 <X < — 3 Luego los límites laterales: Li = ,.m -6-3(-2)-8H2 =_ 8 _ =_ 2 n ^ n+1 - <x <--- con n =-6 3 3 X ; X>0 -X ; X <0 x-*2’ X - (- X ) 2(—2) u = lim+ 3 ) r £ i ñ =l± 2 =M *-»2 7x +7 75 5 Puesto que L, = lim f(x)* lim f(x), entonces limf(x) =i x->2’ x-»2 x-»2 Calcular si existe los límites: x a) lim -;l3x-i| b) lim(x-1)|x| X—#1 a) Desarrollamos la función mayor entero: n<[3x-l]<n +1 |3x-1¡ = 0 i S x<2 3 3 2 1 -< x< l 3 Luego los límites laterales: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO! www.solucionarlos,net |
  • 242. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO 1(1 X 2 L, = lim —=- ** 1 3 Puesto que lim f(x)* lim f(x), entonces limf(x) =/í 3 2' *~*3 b) Desarrollamos la función mayor entero: |x| = 0 ; 0 <x <1 1; 1<x <2 Luego los límites laterales: L, = lim(x-1) =1-1=0 x-»r L, = lim(x -1X0) =0 Puesto que lim f(x) = lim f(x ), entonces limf(x) =0 Evaluar limf(x) donde: f(x) = x—ti x+2 x+3 ; x >1 - ; x e (0,1) 2x +1 Desarrollamos la expresión |>/9-x | n< U/9-X <n +1 => n <9-x<(n +1) => n -9<-x<(n +1) -9 9- (n + 1f <x <9 - n2 con n =2 => 0 <x <5 La función: f(x) =■ x(8)' x+2 x+3 ; x >1 — ; xe(0,l) 2x +1 ' ' Luego los límites laterales: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO III L, = lim 4x x-*r x+2 EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L„ = lim x+3 x-*i 2x +l Puesto que lim f(x) = lim f(x) x-*r x-»r Entonces limf(x) =- x-i 3 & lim x-*3" 36-5x flfl36+5x 10 10 Desarrollamos las expresiones de mayor entero: 36 5x ^=2 Si 2< -^ -^ < 3 => 20£36-5x<30 10 10 1Aí, , , 6 16 =>-16á-5x<-6 => -<x< — 5 5 — -5--| =5 Si 2 < ^ - ^ < 6 => 50<36 +5x<60 10 10 14 24 => 14 <5x <24 => — <x <— 5 5 Luego L = lim(2X5) =10 x-*3‘ Calcular lim x-^1^x3-1 X —1 L =lim x-»1 =limx X-+1 (x-l)(x2+X +1) (x —l)(x +l) L =lim ( 2X x-»1(x-l)^x2+X +1 X +1) x-*l(x-l) =lim x +x -x2—x—1 (x +1 ) ( x 2 +X + 1) r»vv.edukp9iucom SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 243. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) L =lim---- - x-*»(x-1) x - x- (x +l)(x2+X +l) Ahora se calcula los límites laterales: x3-x-1 a) L, = lim (x +1Xx +x +1) J 0 -1 =-- =-00 b) L = lim *-*>■(x-1) x -x-1 ^(x-lXx +x +1) _ _ O -00 Puesto que L, * L0, se cumple limf(x) no existe: $ Si f(X) =ÍÜ ± l 7x-5|x| a) lim f(x) x-»0’ b) lim f(x) c) El valor absoluto: |x| = x x £0 -x x <0 v .. 3x+|x| 3x +x 4x a) lim----Lr!7=lim ----- = lim — =2 x-»o'7x-5|x| x-»o*7x-5x x-*o* 2x iv .. 3x +|x| 3x-x .. 2x 1 b) lim----M-r= lim------= lim — =- x-o’ 7x-5|x| x-.o7x +5x *-*o 12x 6 Puesto que lim f(x) * lim f(x), entonces: L =limf(x) =no existe X-+0' x-*0 X—0 x2__| •x <0 Dada la función: f(x) ={ 1 averiguar si existe: x*1*2 f x ^ 0 v SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO III limf(x) x-*0 * www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « _ a) lim[fof](x) Hallamos la función compuesta: f(x) = b) lim [fof](x) f, = X2-1 ; X <0 f, =x+2 ;x> 0 [f,of, ](x) ={x e Df, a Rf, e Df,} * 0 X < 0 a X2-1€X< 0 => x<0 a x2< 1 => x < 0 a -1 <x <1 => x <0 a -1 <x <0 de donde: [f,of,] (x) =(x2—1)2—1 ; [f,of2](x) ={x€ Df a Rí^eDfJ^O x>0 a x +2 e x <0 => x > 0 a x +2^0 => x > 0 a x<-2=><|) 1[í2of,](x) ={x e Df, a Rf, e Df,} * O X<0 A X2-1 €X>0 => x<0 a x 2>1 => x < 0 a x <-1 => x <-1 de donde: [fiofi] (x) =x2- 1+2 =x2+ 1 k[f2of2](x) ={x e Df„ a Gf2€ Df2) * O x <O a x +2 ex> 0 => x >O a x +2>2=>x >0 [f2o f2] (x) =x +2 +2 = x +4 De donde: [fof](x) = (x2- l)2 -1 <x <0 x2+l X <—1 x+4 x>0 a) L= lim [fof](x)= lim(x2- l)‘ -1 =(1-1)2-1 =-1 b) L= lim [fofl(x)= lim xs+1 =1+1=2 x - »- rL J x-*r Jwwv. ftdi^ penj.coin SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 244. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III [ bx2+ab ; x >0 . , Dado f(x) = ______ Hallar a y b para que exista litnf(x) ademas ^ 12>/x2+b-b ; x <0 x-*° limf(x) =f(0)f(1). Dar como respuesta 4b - a x-*0 m im m La condición para que el límite exista es: lim f(x)= lim f(x) => limÍ2>/x2+b-b)= lim(bx£+ab) x-*0‘ x-*0* x-»0* V / x-»0’ 2>/b-b =ab => 4b =b2(a +l) => a =—-1 b _ , . f(x)-f(0) . . jx3 x <0 Calcular lim -^— -— ,donde f(x) =^ x [x x>0 » Í0 » IH I0 .- M r Límites laterales: lim f(x) = lim X - ° = lim x2=0 ; limf(x)=lim-— - = lim x =0 x-*0‘ x-»0 X x->0 x-*0 X-.0* X x-*0' . .. f(x) —f(0) A Luego: lim--------=0 x -0 x SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « LIMITES AL INFINITO Calcular si existen los siguientes ejercicios & x +2x‘ +3x+4 lim--r--- ;------ 4x +3x* +2x+l x^+2x^+3x+4 L =lim— -——5—---- dividimos entre x3, ambos miembros. Así los términos con *-**4x +3x +2x+1 x en el denominador son cero. x3+2xs+3x +4 2 3 4 . i* X3 ,• x + xT + x3 1 + 0 + 04-0 ! L =lim— ----------- =lim— £— — — =---------- x-~ 4x +3x~+2x +1 x_,jc4 +3 + 2 + 1 4+O +Oi-Ü 4 „3 " 4x3+2x2-5 lim--- ------ x-»* -8xJ +x+2 4x3+2x2-5 lim--- ------ dividimos entre x , ambos miembros. Así los términos con x en el x-** -8x +x +2 denominador son cero. 4x +2v -5 y3~ lim--- 7a---- =lim x 2 54+----3 X X 4+0-0 x-** -8x3+x+2 x-*« _ 1 2 -8+0+0 — ï---------- + T + T x3 xs x3 4 _ 1 8~ 2 O lim 2x2+7x +5 x-,* x +2x +1 Dividimos entre x3, ambos miembros. Así los términos con x en el denominador son cero. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 245. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III L =lim 2x2+7x +5 j =lim x3+2x +1 x_>x i , ' . 1 i — 3----- ~8 „ 3 xJ X X lim X-** .2 x‘ +2 x+2 L =lim x-*x x3(x +2)-x2(V +2) (x2+2)(x +2) =lim X— x4+2x5-x4-2x2 (x2+2)(x +2) =lim x-*®. 2x‘ -2x‘ (x2+2)(x +2) Dividimos entre x3, ambos miembros. Así., los términos con x en el denominador son cero. 2x3-2x‘ x3 (x2+2)(x +2) i m _________ __________ — ti lim x-*x =lim 2-- X (,+7 »l+= =2 lim x-»x ' 3x2 (2x -1)(3x2+x +2) 2x +l 4x2 _ L =lim X-** L =lim X-»* ' 3x2 (2x -1 )(3 x 2 +x +2) r 12x4 -(2x + 1 )(2 x -1 )(3 x 2+x +2) 2x +1 V 4x2 x-»x 4x 2(2 x + 1) f 12x4--(4x2 - 1 )(3 x ! +x+2) 12x4 -12x4+3x2- 4 x 3+x - 8 x 2+2 V 4x2(2x +1) X—♦x < 4x 2(2 x +1) L =lim -4x2+x-5x2+2 4x2(2x +1) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Dividimos entre x3, ambos miembros. Así, los términos con x en el denominador son cero. -4x3-5x2+x +2 . 5 1 2 ----- ~3------4-- +-T + L =lim----- —*--- — =lim-- — *■- x x-x 4x(2x +1) *-* 4 ^2 + 1 ^ 2 x O L =lim x->* lim x-.0 ' 3x2-2 x2-4x1 v 2x +1 x-3 f 3x2-2 x2-4x1 =lim x—0 í 3x2-2 Ì X i GJ v 2x +1 x-3 , [ 2x + 1 Jlx 2+4x ) Dividimos entre x3, ambos miembros. Así los términos con x en el denominador son cero. lim X—»x 2x+1 2x+1 =lim X—♦X 2 ^ 3 - 4___x 2+1 1- v x A xy 1- x U J lim X-*Jt lim X—»X 2x -1 2x+1 < x3 .22x -1 2x+1y =lim x-»x x 3(2 x + 1 )- x : (2 x 2 - i ) (2x! -l)(2x +1) L =lim 2x4+x3-2x4+x2 (2 x 2 - 1 )(2 x + 1) =lim X*+< (2x2-l)(2x +1) Dividimos entre x3, ambos miembros. Así los términos con x en el denominador son cero. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 246. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III O lim X-»ac i +i x----- ------- =|¡m------- ------=— (2*8- 'K 2*+1) 4 Iim(>/l6x2+8x +6->/l6x'2-8x-6j lim(Vl6x2+8x+6 - >/l6x2- 8x-6) =lim x->*/ x—** 16x2+8x+6-16x* ,Vl6x2+8x +6 +Vl6x2-8x-6 L =lim 16x + 12 .Vl6xz+8x+6 +>/l6x2-8x-6 Dividimos entre x, ambos miembros. Así los términos con xson cero.- xt ix L.;i _ L =lim x-»* 1 A 1 2 16+— x Vl6x2+8x +6 /16x* —Sx —6 x2 v x2 L =lim X-*x> 1216+— x L 8 6 L 8 6 lim|>/x2+x -Vx2+9j 16 4+4 =2 ex i r r r m í M ' lim(7x2+x -Vx2+9) =lim X-*X/ X->3C |Vx2+x -Vx2+ 9 j|V x 2+x +>/x2+9 >/x2+x +>/x2-9 SOLUCIONARiO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net V www.solucionarios.net CAPITULO III L- lim x-»x f 2 o ^ x + x - x ‘ +9 >/x2+x +>/x2-9 J x^ ( V x 2+x +V x 2-9 =lim x -9 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS << Dividimos entre x, ambos miembros. Así los términos con x son cero. L =lim (1-? X X =lim x-*x 1 1 Vx2+x Jx2-9—.+_!---- V x x J 1+1 2 .. V2x2+1 lim------ x+3 La variable de mayor exponente es x, por lo que dividimos ambos miembros entre x. >/2x2+1 lim------ = lim *-*-* x+3 n/2x2 +1 x +3 = lim 2x2+1 o X' = lim 2+ 1 3 *-*-*> 3 1+- 1+- x x =-72 0 lim |Vx2+2x —x| lim (vx2+2x -x) = lim X-*4« / X-*+X |Vx2+2x - x j^ V x 2 +2x +x| vx2+2x +x L = lim >/x2 +2x = lim X-*-*-x 2x x; *“~“>/x2+2x+x; Dividimos entre x, ambos miembros. Así los términos con x son cero. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 247. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS © <9 L= lim (' 2 = lim 2 2 Vx’ +2x X ------ +- V X X W,+M1+1 =1 lim (Vx’ -2x-1 - y j x 2 - 7 x + 3 ) lim (Vx2-2x-1 - Vx2-7x +3 ) X-*±X/ |Vx2-2x -1 -Vx2-7x +3 )(>/x2- 2 x - l ->/x2- 7x +3 j L= lim x-»±* L = lim X-*±» Vx2-2x-1 +Vxv-7x +3 »ncKjj ( „2x —2x—1—x +7x —3 = lim 5x-4 Vx2-2x-1 +Vx2-7x +3 J lVx2- 2x-1 +Vx2- 7x+3 , Dividimos entre x, ambos miembros. ±5-— / ±5x-- L = lim X-*** X = lim x-»±* X Vx2-2x-1 Vx2-7x +3 /x2-2x-1 lx2-7x +3 I x2 Y x2 y X H X x + L = lim x-*±« ±5- 4 x ±5 _ +5 1+1 "2 V x x V x x J lim ^x(x +a) -x) lim(^x(x +a)-x)=> Aplicamos conjugada, multiplicando por CAPITULO III 486 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net t ' www.solucionarlos,net CAPITULO III O C EDUARDO ESPINOZA RAMOS « |^x(x +a) +x) al numerador r y denominador; (>/x(x+a)-x)(^x(x +a) +x) x=+ax_ x*ax L =lim------- ¡= = ^ - --------- =lim — =lim . — ,Jx(x +a) +x x-** v x(x+a>+x Vx2+ax +x Dividimos entre x, ambos miembros. L =lim a =lim X-*3C a =lim X-Mt a a a Vx*+ax x lx2+ax 1 1V x J 1+1 2 l. X X J Iv X* +,J lim ^(x +a)(x +b)-xj Iim["^(x +a)(x +b) -x~j Aplicamos conjugada, m i* J multiplicando por ¡ ^(x +a)(x +b) -xj al numerador y denominador; +í * *x - *xW - Kx| I (f 4 'x- (V(x +a)(x-b))(,/(x+a)(x +b) +x) x! +x(a +b)+ab-x* L =lim-------- ;■■■-- ----------=lim— ;■■■-■-■ . ---- yj(x +a)[x +a) +x w * ^(x +a)(x +b) +x xla +b) +ab —i---------- ; dividimos entre x, ambos miembros.=lim ___________ X_+T>/(x +a)(x +b) +x L =lim X-** / > . ab a+b +— f. ab a+b+— X =lim X-*x X ,J(x-a)(x +b) x yl |fx+a)(x +bj +] l X x J l V xs J SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 248. »m m Ê tÙ ESPINOZA RAMOS ) I www.solucionarios.net CAPITULO III iafcri I*«* ab a +b+ _______ x 1+ -IÍ1+ - +1 xA xy a+b _ a +b Q x2-x3+1 ) I p i^k +>/x2-x3+1j =>Aplicamos conjugada, pfcjftiplicando por x2-x>Jx3 -x3+1+¿/(x2- x3+1) taftm *-»* (x + >/x2- x 3+ l ) x 2- x ^ x 2- x 3+1 + ^ ( x 2- X3 + 1) al numerador y denominador; x)(e+x]L rnil Í) x2- X/x2- X 3 +1 + M x 2 - x 3+ 1) i ■ lim X* + X 2 - X 3+1 x2+1 X2-x>/x2-x3+1 + * T■_________ _ |jm_____________ * f 1_____________ + ^ ( x 2- X 3+ l ) 2j *"**[ x 2- x ÿ x 2- x 3+1 + ^(x* - X3+1 f Dividimos entre x2,ambos miembros. 1+ L * lim 1+ 1- Vx! -x] +1 t ^/(x*-x3+l f z: =lim x2-x3+1 J f x 2 -x3+1^ L =lim I +-7__x 1+0 1 1' É " 1+7 + í x ' , + ? 1+1+1 3 I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net * www.solucionarios.net CAPITULO III c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Ú xV^x lim . . x^ V l- 4 x 2 bUémí Xsf^X lim _ . Dividimos entre xV-x , ambos miembros. V1-4X2 O 1 L =lim— -=lim .—1 *-** xV-x l-4x2 ’“** l-4x2 0 1 1 =lim =- =00 x (—x) yx‘(—x) lim(x +/l -x3) lim(x +Vl-x3) =>Aplicamos conjugada, multiplicando por x2-x>/l-x3+ ^(1-x 3)2 al numerador y denominador. lim x-*x |X +>/l —x3) X2- X y J ] - X 3 +^(1 - X 3)2 X2—XyJ] —X3+ ^(1 -X, )~ x3+1-x3 =lim ____ _______ X2—Xy/l —X *+^|(1-X3)2 lim -x^/l-x3+ ^(1-x 3)2 ; dividimos entre x2, ambos miembros L =lim X->ot :----------- =limf--- - - * SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I P ? www.solucionarios.net
  • 249. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ; L =lim X-»* o Vx x +3J/I 1 - 1 X x 1+1+1 =0 L =lim ~ xx-Vx2+1 L =lim x-»x,X-Vx2+1 numerador y denominador: Aplicamos conjugada multiplicado por (x +Vx x(x +V x2+1) x(x +>/x‘ +1 L =lim—r—------=lim—----------- = ( x 2- x 2- 1 ) -1 O Um|>/xT"V2x lim|>/x+V2x - V x - ^ í) => Aplicamos conjugada, multiplicando por |Vx+>/2x+'Jx->¡2x ) al numerador y denominador; í|/x +>/2>r-yjx-yj^x^yjx +j^x +¡x-y¡2xjj L =lim---------- — —— , —--------- 2n/2x, x + >/2x - x + n/2x L = lim —=====— r — --- = lim —=------- ------- '_,r y]x+y[2x+yjx-y¡2x ^ y]x+y¡2x+yjx-y/2x Dividimos entre Vx , ambos miembros. CAPITULO III :2+l) al SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ivww.solucionarlos,net ——■ —»i^ www.solucionarlos,net CAPITULO III f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Í2x ¿ J j 2 j x 2 n & x V x V Vx2 V Vx- 2¡2 .. 2¡2x 2sÍ2 rz L =lim . .. . =lim-= = — = = =—— =V2 yfx+yfx+yfx lim--- — *->x V2x+1 /y i 3/y^ X r" lim-— — — La variable con mayor potencia es Vx . V2x +1 Dividimos numerador y denominador entre Vx V x + n/x + V x 1 1 1 1 C ' +vl/2-»/3+Y1.2-1/4 +Y16+Yl7i 1 L =lim---jM =— = lirn — x ;■ ----- =lim v/2x+1 x_*x Í2x +1 /2x+l v2 6 ) i™x-** s/32x5-5x +1 ljm x La variable con mayor potencia es x. — V & F - S c + i Dividimos numerador y denominador entre x. x L =lim x ---=lim , r 1 =lim ■ ^32x5-5x +1 5|32x5-_5x+1 J 32_ l +1 xXsX4 xs SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 250. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III L = 1 1 <132 2 lim x(Vx2+1 -xj a) lim x (V x 2+1 - x ) porconjugada L = lim x(Vx‘ +1 -x] = x-*±* V / xUx* +-x)ÍVx2+1+x| lim —--- ------------- (Vx2+1+x) x(x2+1-x2) X .. X L = lim f— rr-- r = lim / — — = lim I ------ 8- ~ ( > / x * 7 1 + x ^ V x ’ + í + x ^ X 2 + 1_ + X Vx2 x2 X L = lim 1 1 1+1 2 1+ ' +1 bj inil Ai * V * , - x x ♦ : /.. >/x‘ -r1+>/x lim ..... _^=-- X-*.» 4^3 +x-' _ x Vx‘ +1 +Vx L = lim . ----- *-~xVx3+x2 x = lim (x l->0 .> V + £+ -jj " I X SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net lim jV x 4+ x +1 - V x8+ x° + l) L =Hm(Vx4+x‘ +1- Vx* +xf’+1j la variable común en grado neto es x2: L= limjVx4+x2+1 -x2+x2-x/x8+x6+1) L =lim(>/x4+x2+1 - x2j +lim(x2-Vx8+x6+1j Conjugadas a ambos límites: (>/x4+x" +1 -x2)(Vx4+x2+1+xJ ) (x2-Vx8+x6+l)(x2->/x8+xb+l) L =lim^------ r r - T - ' ------ ' +,im------- 7---- r ~ ' -x------ 1 (n/x4 +X‘ +1 - X ‘ ) . *"* (x- +Jx' +X? + l ) x ^ x ^ l- x 4 (x, -Vxc +x,’+l)(x % V x 8+x6+l) ™ (7 x ‘ +x! +t-x ! ) +,l™ (x! +Vx" +x,' +l)(x , +N/x' +x'' +l) . . . • x2+l .. x8-x8-x6-1 L =lim ------- -+lim- CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X-** ( n/ x 4 +x2+1 - x 2j ‘ ” (x 2+lxh+ X ° + l) ( x 4 +V x8+x6+1 j Dividimos el primer limite entre x-’: , 1 , x8 ,• x6+1L =lim--- - ■— -+lim V x W +1 v (x 2+ V xS +x6 +1 )(x 4+>/x8+ X*’ +1 ) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 251. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III L =lim 1+ 2x 1+ - + lim^r 1 1 1 I 11+-g + — +1 x x n + W .x x _ 1+10 1+10 _ 1 | 1 _ 3 " (1+1) +(1+1)(1 +1) ~ 2 +4 4 V x “ + X7 +1 © ¿/v7+3 +V2x3-1 L =lim-— ■— — La variable de mayor exponente: x*~ Vx8+x7+1 xM/f>0 x45/60 x80/5° Dividimos toda la expresión entre x Vx7+3 +</2x3-1 7 7 , x7+3 +4 v L =lim— _x5— =lim ' * * -— =lim----1 , T~' yjx* +X7+1 X_>* J X ' + X 7+1 *"* J XB+X + 7 v x42/5 ' V X42/5 2xJ -1 +J 13 ~28 ________ ¥x5 x5 x-*x x5 . V uó+ V ó 1 L =----=---=- =Q0 Vó o *-~V 243x-11 i SOLUCIONARtO ANALISIS MATEMATICO I m-... - J u l p » - + www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 5-Vx)(Vx +3) L =lim■ *-~Y 243X-11 limW——= *-*243 3 =lim ? x -*x f Vx +3^ l x J , Vx , 243x-11 x =lim 5 x-»x ( 5 1 r ~ 1vVx ; íi 3 1 r v x ; 243 ii ^ lim|Vx3+2x2+3-Vx2+4x +1J El término común a ambas raices es x. Sumando y restando x, separamos en dos límites. L =lim| Vx' +2x2+3 - x+xVx2+4x +1j Ahora aplicamos conjugada de cubos ycuadrados en ambos términos. (Vx3+2x2+ 3-x)|Vx3+2x2+3ji - i [Vx3+2x2+3 +x 2) L =lim L =lim x-*x x* +2x2+3-x3 (x-Vx2+4x +l)(x-Vx2+4x +1 +lim^--------- y n ■ ------- x+vx2+4x +1 x2-x2-4x-l +lim )• ^(x3+2x! +3)2+x^/xJ +2x! +3 +xs " ‘ xW x ! +4x +1 2x' +3 +lim -4x -1 ^(x3+2x2+3)2+xVx3+2x2+3 +x2 x"~ X+Vx2+4x +1 1 V. •..•e:¡ • •om SOLUCIONAR www.solucionarios.net
  • 252. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA R A M O S C A P I T U L O III Dividimos entre lavariable de mayor potencia en ambos límites: -4x 1 L =lim x - * x 2x2 . —y-+3 ----- -------------------------------------- + |im ------------* ------- x ^(x3+2x*+3)S x^/x3+2x!+3 , '" x+'/x,+4x+l ■*-------=----- — + --------=------ + x* X X L =lim O ,/x3+2x2+3n2 +lim 'x2+4x+1 L =lim x-*« -4- 1 +lim aocme n ? aobcnbsi .. Vx +Vx +Vx lim -- p = — x-*+~ Vx +1 2+0 -4-0 4 1+1+1+ 1+1 " 3 . .. Jx +Vx +Vx .. yx +>/x+Vx L = lim -- ~ = ---= lim ---- p = ----= li x-** Vx +1 Vx +1 lim x-*+®{ L = lim X+Vx x2 1+1 1+ , i +^ 2 X X 1+ - X = limX-^+OC ’ X Vx +Vx X X > 1 > X 1 X X +^x7- u i X i+Vo+Vó _ 1+0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net c5fi www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « lim [v/x+VT+V; -Vx j L = lim V x W x+Vx -Vx = lim X-»+OC x+>/x+ x+Vx +Vx +Vx ^x +Vx +V ? +Vx . x+Vx +Vx-x .. Vx +Vx.. L = lim . ----= lim - ----= lim Vx +Vx ^x +Vx +N^ +Vx >/x+>/x+Vx +Vx >/x+Vx +Vx Vx Vx ■Vx 1 _ 1 1+1“ 2 V8x3+x2- Vx3+x2 lim ---------------- a i ■i/8X3+ X 2 Vx3+x2 V8s 7 7 J7 7 7 _ = lim — x--------x = lim x-*+-x Í8x3+x2 Ix3+x2 1f I~ f f i i — -¿s.f r f * = 2- 1=1 wwv «»dukpeai.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 253. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ....................................CAPITULO III O lim x2(VxJ +1 -Vx3+l) X -* + X3 ______ L = lim x2(Vx3+1 ->/x3+1) Aplicamos conjugada de cuadrados: x—>4«/ 4 ('/x 3+1-Vxí -l)(V x 3+1+Vx3- l) 4 ( x3+1' xS +1) L = lim *-*♦* >/x3+1-vx3-l L= lim 2 2x^ x- ~ V x 3 + 1 + n/x 3 -1 ahora dividimos entre x2numerador y denominador L = lim ™ Vx3+1 >/x3-1 = lim 3 _____ _ = lim . 1+1 =1 lim X-*« Vx7+3 +>/2x3+1 >/x8+x7+1 -x , T T ffíflfiy La variable de mayor potencia es x 5. Dividimos entre x cada término. L =lim x-*x Vx7+3 +>/2x3+1 v >/x8+xr +1 -x =lim 12x3+1 Vx7+3 J 28 Vx7+3 V2x3+1 1 7 + Xb Xs =lim X-** x7 ^ x5 Vx8 +x7 +1 X íx® + x7+1 1 7 7 4 - 42 2 X Ü«l X u»iX 5 Xs V / SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =lim x-*oc J 1 13 + 28 X 5 X 5 IJ_ J_ J _____ 1_ «I 2+ Z+ 42 ? V i x 5 x* x 5 x* ) VÏTÔ +0 0-0 © limx(Vx2+Vx4+1 -x72 j Aplicamos conjugada L = x( Vx^+Vx^+T-xV 2 ÍÍV x2+V ^ T +x72 1 L =lim --------- A -------------- ¿ Vx3+>/x4+1 +x-n/2 x(x2Vx4+1 -2x2) x(x2Vx4+1 -x2) L =lim ■ ----}- =lim . v --- í- Vx2+Vx4+1+xÆ ' ” >]x*+Jx* +1 +xÆ x ( V ^ - x 2)(>/77Í-x2) x (x 4 +1-x4) L =lim ■ v /v -------- --- =lim ---- — .V ' IVx2+V / T Ï +Xï/i j(Vx4+1+X* ) ^Vx2+Vx4+1 +xÆ J(Vx4+1 +x2J L =lim ■■... - N ” Vx* +1+xÆ í^ / 7 7 ï+x! =lim I x ' + Æ S Ï ^ l ' /x4+1 V X4 +1 L =lim —— -----------------------------------= lim— X—__________________ L = (x/î+^T7o+N^j(VT+ô+i) =o ' •£' •'pern com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I fP P www.solucionarios.net
  • 254. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPÍTULO III x(Vx4+1 - x2)(>/x4+1 - x2) L =lim ■— -— — — =lim x(x4+1-x4) (V x2+V 7 T Í +x72)(>/x4+1+x2) (^>/x2+V )?T Í +xV2 j(/x4+1 +X-) L =lim — /x2+>Jx*~+T+x>/2 +X íx2+Vx4+1 V x4+1 +1 L =lim o L = lim |V íW u o + V 2 )(V u ó + i) =0 *-* Jx +í- lfx T ìW lìW Aplicamos conjugada en el numerador y denominador. L =lim x-*« (Vx +1-Vx) yj(x +1)3+Vx^/(x +1f +Vx +1+Ví^ +Vx7 [yjx +1- if* i f x + i)3+ V ^ (x + i)2+ V x + iV 7 + V ? L= lim X-*ot (x +1-x) J(x+lf +v/xv/x+1+tf? ]x » (x +1-x) </(XHh1)3+i/xi¡(x+if +Vx+1/xÍ +'/xI jSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edjt : f -.. v i www.solucionarlos,net CAPITULO III I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =lim x-^oc V(x+1)s +>/x>/x+1+Vx^jx12 ^(x +1)’ +Vx^(x +!)■ +>/x+lV ? +Vx^j 1 2 3 El exponente en el numerador: — +- =— 12 3 4 Dividimos toda la expresión entre x4 L =lim x— ¡J(x + )f + M x +l+ i/ 7 1 y 12 3 X 4 ¡(x+i )3+¡x^(x +1)2+Vx +1>/x2+>/x3 L= lim- ?/n+- X / + 3 1+-+ + X 1+1+1 3 ill 1+1 1 + ílíl +l j +W +l +i 1+1+1+1 4 www.eclukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 255. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III lim /x3+6x2-16-x yjx' +2x +1->/x2-x Aplicamos conjugada de cubos y cuadrados en el numerador y denominador. L=lim- X-*X Í/x3+6x! -16-xJ ^(x3+6x2-16)" +x>/x3+6x2—16 +x2 [Vx2+2x+l +Vx2-x j (>/x2+2x+1->/x2-x)|Vx2+2x+1+>/x2-xJ ^ x3+6x2-16)2+x>/x3+6x2-16 +x2 L =lim (x 3+6x2- 1 6 - x 3)|>/x2+ 2x +1+>/x 2 - x j (x2+2x +l- x 2+x) ^|(x3+6x2-16)' +x/x3+6x2-16 +x2 L =lim (6 x 2-16) (Vx2+2x +1+>/x2-x + X co ^|(x3+6x2-16)2+x/x3+6x2- 16+x2 Variable de mayor potencia: x3 L =lim- x-wc /x2+2x+1+Vx2-x 3x +1 ^(x3+6x2-16)' +x>/x3+6x2-16 +x2 L =lim X-»* 6x2-16^ /V i 2 11+-+-J +, X X 1-1 X ( S x + n 3(1+^1l. x X 3 J 2 . 6 16 1 1+ ----- 7 + 1 X X l x J x’ (6 —0)(1 +1) 4 (3 +0)(1 +1+l ) 3 502 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net *7' www.solucionarios.net CAPÍTULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « lim V8x9+3x4+1 +Vx'° +x2+1 +10 *-** >/x4+x2+x +Vx'2+x2+1-10 La mayor potencia en la expresión corresponde a x , por tanto dividimos entre este factor. L =lim x-»i yJSx* +3x4+1+>/x'° +X 2 +1+10 3 8x9+3x4+1 t- . 4-5 x,0+x2+1 10 v3 .........—lim x’ i x,! + X3 Vx4+x2+1+>/x,2+x2+1-10 Jx 4+xs+1 Jx ,2+x2+1 10 x3 V x ’2 V x12 x3 L =lim X-** o 3 1 ,8 -5 +-^ +í Xs X J_ _2_ J 10 x5+x'3+x,s+x3' 2+0 í/xs+xl0+xs +T _ L J _ _ i ° 1-0 x,0+x'' Xs =2 O lim yjx7+1 La mayor potencia en la expresión corresponde a x '3por tanto dividimos entre este factor. >Jx* +3 - Vx3+4 L =lim- x-*oc tf7 + i ,7/3 =lim x-»x 3/x4+3_ x4 +4 V X' ^ 35 X 3 +1 =lim- x-** 1 3 5/ 4- ■*- T +-7 - »X X x3 X' -0-0 1 =0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 503
  • 256. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO III lim | n/4x +V4x +V 4x -2>/x } Aplicamos conjugada para reducir la resta: |/4x+>/4x+>/4x-2</xj|V4x W4x +>/4x+2>/xj ^4x +>j4x+>]4x+ +2[x 4x+v4x +>/4x -4x = lim ■. — 1— = lim V4x+V4o<______ ^4 x + V4 xT> /4 x+ +2/x yj4 x + > j4 x + > ¡4 x + +2>/x La mayor potencia es V x L = lim X-++« . .. ;Í4 > Vx^TV:° " l _ ,¡m ____ i _ v V4x+¡4x ¡4x+y[4x v . -------------= lim - — — -------------- — V4x +^ s/47 | ; jc ^ 4x W 4 x +n/ ^ +2 ^ V x í-. +• íí - r.-é- = lim 4x*C L = lim v 4 + "fÑf7 n/ÍTo 2 1 ’“*** I ¡4 íf r y/T+yfÓ+Ó+2 4 2 ( XV-C-i- XV —mi 10Í36Í © lim (>/x3- x 2+1 + >/x4— x^ +1x-*-«V y/ J B K W El grado del primer y segundo radical es x. Sumamos y restamos x a cada término y luego aplicamos conjugadas. i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 www.solucionarios.net edukperu?Eor www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L = lim ( V x 3- x 2+1 - x + x V x 4- x r' +1 j L = lim ( V x 3- x 2+1 - x ) + lim ( x V x 4- x 5+1 ) X-*-2C / X-*-«/ L = lim |Vx3- x 2+1 - x ) | ^ ( x 3- x 2 + l ) 2 + x V x 3- x 2+1 + x 2j + lim x-*-x ¡ ¡ ( X5- x ’ + l ) 2 + x V x 3- x 2+1 + x 2 (x + V x 4—X s 1j x4- x 3V x 4+ x 5+ 1+ x 2^|(x4 - X s + x ) 3 +^|(x4- x 5+1) x 4- X 3V x 4- x 5+ 1+ x 2^|(x4 - X s + l ) ? + ^|(x4- x 5+1)4 L = lim x 3- x2+ 1 - x 3 ^ ( x 3- x 2+1)2 + x V x 3- x 2 +1 + Xs + lim ■ X-»-« x 4+ l - x 3V x 4- x 5+ l + x 2^ ( x 4— Xs 1)‘ - x ^ ( x 4- X 5+1)3 + ^ ( x 4- x 5, + 1)4 Dividimos entre la variable de mayor potencia cada límite. En el primero es x 2y en el segundo x4. L = lim ¿-ix (x 3- x 2+ l ) 3^x 3 _ x 2+ 1 + x 2 -- ----— +------------ +1 + lim X-*-ao 1+-Tx V x 4- x 5+1 ^/(x4- x 5+ l ) 2 ^ ( x 4- x 5+ 1)3 ^/(x4- x 5+1)4 ..2 ‘ „ 3 + .,4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 257. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ......................................................................................CAPITULO III L = lim .---= x-»-x 1/ o I 3 2 -i f X —X“ +1 JX —X +1 L = _ ° ^ ------+- 1+0 3^(1-o)2+^/TÓ +1 1—^/0 —1+0 +^/(0 —1+0 )2-^(0 -1 +0 )* +/(0 -1 +o)4 1 1 L =— + 3 1+1+1+1+1 15 O limJVx0-4x3-/x'2+2x9) El grado del primer y segundo radical es x3. Sumamos y restamos x3a cada término y luego aplicamos conjugadas: L =lim(Vx° -4x3-x3+x3-y/x]' +2x") SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ■■ www.solucionarlos,net CAPITULO III O ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « L ==lim|Vxfc-4x* -x 1j-lim^Vx12+2x‘ -x3j U x b-4x3-x3)(Vxb-4x3-x3) Vx,2+2x°-x3 Vx,2+2x9-x3 L =lim-------- /V ----------------lim-------- -A ------------- L Vx°- 4x3+x3 Vx,s+2x9-x3 x6-4x3-x6 .. >/x'2-2x° -x6 L =lim -¡— -----lim—= = = = X~*xVx° -4x3+x3 x-~ </x,2+2x9+x3 _ 4 V3 ( V x 12 - 2 x 9 -xb)(ylx'2-2xQ+x6) L =lim — -------- lim '----------- A ' Vx6-4x3 L= lim |V x '2+2xg+ x3)|>/x'2+2x° +x31 x12+2x9- x 12 Vx6-4 x 3 + x3 ( Vx12+ 2x9 + x3)(Vx'2+ 2x9+ x6) - lim L =lim - lim 2x<) x —4x +1 (Vx12+2x9+x3)(Vx12+2xv+x6J x w -4 L =lim --- lim , ________ . 1 4 . x^ f V x , 2 + 2 x ’ + x 3 x 3 l x 3 + x 3 +1 +2x9 x‘ -4 L =---lim . 1+1*— / lx'2+2x" " ¥ /x12+2xq ~r=-2- lim +1 fHW1+? +1 L --2. 2 =-2- 1 5 (1+1)(1 +1) 2 2 lim x-*x ¡fx2+3 -x WWW edukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I E¡? www.solucionarlos,net
  • 258. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III jEüBB]¡SM Aplicamos conjugadas de cubo: L =lim x-*x f i s 3 ( v-32 3J _ V i X -X V x2+3/l» U *+ 3 J + x t ó +x* 'x s-xlV! L =lim x2+3 x5-x3 x2+3 +x?, V X2 +3 + X <iil - Xs-x3-Xs+3x3 — lsxs _ x^ ‘ x +3 4 X5-X3 2 +X«3|—S— :: +X* =lim- X-*3C x2+3 5 3 * X -X x2+3 x +3 -X 2 ---+X +3 V il x+ xí L =lim X-*ac 2x3 (xS+3) dividimos entre x4. x -x x2+3 / IXs-x3 2+ x j f — S— + X x +3 Xlk+ L =lim x-*x Í x* +31 o í v - x3'! x2V a /[ x* f [ x! +3 J 2x3 X* _______________ . J E Z . V x2+3 L =lim X-4* 2 +X? x3(x2+3) J Vx3(x2+3) +1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I wsw. ed íkperj.c^n www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O L =lim- x-*x i +4 'X ___X v,+ ? ,V x / (1+0)(1 + 1+ 1) =0 ^ lim|x2->/x° -2x4) +f ^ ? 7 3 ) +1 Aplicamos conjugadas de cubo: L =lim X-*x (x2->/x6-2x4J x4+x2>/x6-2x4+^(xb-2x4)2 x4+x2>/x6-2x4+^(xb-2x4)2 L =lim x6-x6+2x4 =lim 2x4 x4+x2>/x6-2x4+^ x 6-2x4)2 * ’*x4+x2>/x6- 2x4+^(x6-2x4) Dividimos entre x4 el numerador y denominador: 2 L =lim x-*x x4 ^ 2 7 ^(x6-2x4) . + I ‘ r í T " x4 x2 L =lim x—*x 2 2 x6-2x4 .. >/x2+1 - >/x2+1 lim--.--- — . x-~>/x4+1->/x4+l j a a E H a a r La variable de mayor grado es x. Dividimos cada expresión entre x: w.vw^dui-r-eM com ” SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 259. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III o Vx2+i L =lim ■ *— :---.. *- ==lim x-*</x4+1 Vx4+1 x-*x x2 + 1 X +1 JZïïJï+ î V X 4 V x5 =lim +1 x->* 1+- Í- Í x 1 4 .--------5 X4 ^ 1 1 _ +"1X X 2 1 1-0 x V =1 lim yjfx3+5 +4x2+6 -2x x-~ x-Vx3- 12x2+l Aplicamos conjugadas: « n n r a n n .odu:- ab 26to8guinoj <Jom»>D*lqA L= lim >/>/x3+5+4x2+6-2xi ^Vx3+5+4x*+6+2x xí +xVx3-12x*+1+^(x3-12x2+1)! _ . - (x-/x3-12x! +lJ ^>/Vx3+5+4x! +6+2xj x! +x^/x3**12x1'+1+^|(x3-12x2+1)2 L = lim X-*+x P 1---------- a"! (Vx3+5 +4x2+6-4x2j x2+x>/>c3-12x2+1+^/(x3-12x2+l)" (x3-x3+12x2-l)(>/x3+5 +4x2+6+2x) L= lim x-*+® runa aomibiviú [Vx3+5 +4x2+6-4x2J x2+x^x3-12x2+1 +^|(xJ - 12x2+1 ! —— (x3-x3+12x2-1) I^VVx3+5 +4x2+6 +2x x * : dividimos entre x3: ' Vx3+5+6Í x2+x>/x3-12x2+1+y(x3-12x? +1) L= lim x-*+«c X V / x2 r 12x 2 - 1 Í V x / V V ? +5+4x2+6+2x T*1 X V ^ SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I www.solucionarios.net www edukperu.cófíri' www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « L = lim ■ 1+ Vx3-12x= +l >/(x’ -'2x! +l)' +5+4x2+6 +2 L = lim Æ ±M ÎV X3, yjx -12x +1 1+----- r---- +? xJ x +5 +4x‘ +6 L = lim X-**« ( C f . ^ iL j p v íJ ^V xJ x J V x x J ) +2 i 12 11--- +—3 X X 12 x +5 . 6 0 +4+ y +2 x6 X2 fyyfô.- fxVfn L = lim X-*-**. +4 ^ +2 x* L = (1+ 0)(1+ 1+ 1) 3 1 jjlè'» Is h169 (l2-0)(V0 +4+0+2) 12(2 +2) 16 O Hm(x-/(x +a)(x +b)) j K S W Aplicamos conjugada multiplicando por (^(x +a)(x +b) +x)al numerador y denominador. .vww edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 260. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPITULO! íx - J(x +a)(x +b))(x +>/(x +a)(x +b)) x2-x2-x(a-b)-ab L = lim------------, -—-------- = lim — . --- --- x_~x x+^(x +a)(x +b) ^(x +a)(x +b) +x x(a +b) +ab ...... __________________ • Hiv/inirL = lim v~ ' ; dividimos entre x, ambos miembros x~**x^(x +a)(x +b) +x L= lim -(a+b)- ab 7(x_+a)(x +b) +x x j = lim -(a +b)- ab : uni - ' — — (x+a)(x +b) + 'J © L= lim x-*+-x -(a +b)- — ’ x 1+a- ^l +b 1+1 V X _ x+sen(x) Calcular: lim------- *-*xx+cos(x) -(a +b)-0 a+b = — ---- -— = ------ 1+1 2 *xvvv-fj mil = J . .. x+Sen(x) .. x L =lim--- — — =lim J K i l L i í á B J B Í x+Sen(x) . Sen(x) ----- — 1+lim---— *-»*x+Cos(x) *-»* x_+Cos(x) ^+|-m Cos(x) X X“*K x Lx i ni; s j Para el cálculo de los limites del seno y coseno: , i -1<Sen(x)^1 => limí -—] <lim <lim x ) x-*® x 0 < , im ^ 2 ^ 0 *-** x a )(o-r> I | SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu.cjfn www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « -1 <Cos(x) <1limi lim— - -- <limi — X) X »— I X o s n m ^ ^ o x-** x Luego: L = 1+l i m ^ _ x~>x x _ 1+0 , Cos(x) 1+0 1+lim---— X-»* x =1 Calcular: limx x-** 1- Cosí — x L =limx* X•“♦OD l-Cos| - X Hacemos h =-=>x =- x h Cos(x) lim *-*« x =0 1 r. ^ r 1-Cos2(h) Sen‘(h) L =lim— 1-Cos(h) =lim-—=------- ==lim-r-p------- =. x-~ h2L v ü x— h2[l +Cos(h)] h-*° h [i +Cos(h)] © 1 1 h-ó h2 h-oi +Cos(h) 1+1 2 Calcular: lim|^Cos(Vx+í)-Cos(Vx)j L =limj^Cos(Vx +1) -Cos(>/x La suma de cosenos: Cos (A +B) =Cos(A) Cos (B) - Sen (A) Sen (B) Cos (A - B) =Cos(A) Cos CB) - Sen (A)Sen (B) Cos (A +B) - Cos(A - B) =-2Sen (A) Sen (B) WWW edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 261. www.solucionarios.net Donde: A+B = >/x+1 ; A - B = V x 2A = Vx +1 +Vx ( x T T + V x „ V x + 1 + V x A = ; B = L =lim-2Sen Vx+T+Vx Sen Vx+1-Vx 2 2 Por conjugada en el Segundo seno: L =lim-2Sen L =lim-2Sen Vx+T+Vx Sen x+1-1 2 2 Vx+1+Vx) , VxTT+Vx 2 Sen -1<Sen Ahora por Sándwich: -1 <Sen >/x+1+>/x 2(Vx +1+Vx) x+1+Vx <i " 2(>/x+1+>/x) <Sen Sen 2(Vx +1+Vx) <Sen r 2(>/x+1+Vx) lim-Sen X-»« 2(>/x+1+Vx] <limSen X“MC VxTi +Vx Sen 2(>/x+1+Vx) lim-Sen(0)< limSen X-»* X-*« <limSen VxTT +Vx 1 _2Vx +1+>/x_ 1 Sen 2(Vx+í +Vxj <Sen(0) www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 0<limSen fx+1+Vx Sen 2(Vx 7T +Vx ) De donde: lim|^Cos(Vx +l)-Cos(Vx)J =0 <0 © Hallar si existe: lim x Sení — * y x l x L = lim xl^-^-BSeri 1= lim xj 1+—1lim Sení— Kx J *-*-* U xJ*-*-* L= lim x|1 +-|Sen(0) = lim(0) =0 Si f(x) = 3x+|x| 7x-5|x| ; hallar: a) lim f(x) El valor absoluto: Ixl f x x£ -x x < b ) lim f(x) n . i: 3x +|x| 3x+x 4x a) L = lim----LrLr= lim ----- = lim — =2 x—“ 7x+5x 7x-5x *-«2x . . .. 3x +|x| 3x + x 2x 1 b) L = lim ----i-p-r= li m ----- = lim --- =- X- « 7 x +5 x x-*-«7x-5x *-»^=12x 6 WWW edükperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 262. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPJTUUO III LIMITES INFINITOS .. x+2 |,m -5— 7x_2- X - 4 _________________ _ J U B T x + 2 X + 2 L = lim —-- = lim ---- ----— = lim — - =— — =+<» X-.2-X -4 x-»2*(x-2)(x +2) x-.2*x- 2 2-2 lim --- x-*-4- x +4 L = lim ÉÉm¡)Tm>vm -4 -4 _ --- =+00 x-*-«x+4 -4 +4 O x+2 lim * .x-»2' X -4 O- (0) mil =CO>t 5 Æ tm xm a.m w Êl +f|x mil |¡m X + 2 _ |. X +2 = |¡m ] } —00 x-.2 x 2 - 4 x-»2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) X-.2 X - 2 2 - 2 lim 4x (a «3 9-x' .. 4x 12 L = lim--- —=--- =+co lim x-»3 9-x2 9-9 1 x - 5- X-5 Ä x* x+xS ¡xj+xE , . 1 1 1L = lim--- =----=- =+OC x-»5 x-5 5-5 O .. x+2 lim--- x-»3- 1 - X www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o SOLUCIONARIO ANÄLISIS MATEMÀTICO I www.solucionarlos,net www editkperu C& .. x +2 3 lim--- =---- =-oc x-»r 1- X 1-1 lim x-2 -r X +1 x-2 -3 lim --- =---- =—oo «-♦-r x+1 -1+1 i ¡ » f c x-5 3-X Desarrollamos la función mayor entero: [xj = 2 ; 2£x<3 3 ; 3£ x <4 2-x 2-3 lim ---- = -----= -oo x-»3" 3+X 3—3 2+4x3 lim *-»o‘ 5x +3x .. 2+4x3 2+0 lim----- - =--- =+00 »-»o* 5x+3x O .. x 3+9x2+20x lim — r------- x-»3- X + X - 12 m m n r n t iv m i .. x3+9x3+20x x(x2+9x +20) x(x +4)(x +5) lim — -------- = lim -r--- r-,--- r- = lim ~r---rr---r- x-r X +X —12 x-*3- (x +4)(x-3) x-3- (x+4)(x-3) x(x +5) 3(3 +5) L = lim —--- - =—--- - =-oo x-*3' X —3 O’ www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 263. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) o lim----- x-»3‘ x-3 ■Jx1- 9 (x-3)(x +3) fx+3 , lim —---- = lim I--— =—- = lim J — - => l =, -=+qo x-3- x - 3 * x-»3*M ( x - 3 ) 2 fx +3 V x-33 VO .. 3 x 2 - 7 x + 6 •im— j-----— x-2* x + X - 6 3 x * - 7 x + 6 .. 3 x 2 - 7 x + 6 1 2 - 1 4 + 6 _ _ x—2* x 2 + x - 6 x ï ï î ( x + 3 ) ( x - 2 ) 5 ( 0 ) ® lim X-»4 |l6—x2|+1 (4-x)>/5-|x +l| _________ Il6—x2|+1 116-161+1 1 * |jm !______ !______ = _!---------- !------= _ = • • »-*• (4-x)^5-|x +l| (4 —4)-^5—5 0 . - l16- x1 +1|16-16)+1 _ 1 _ lim i— — — / ■■■ A x-*4' (4-x)^5-|x +l| (4-4)v5-5 0 © . .. 2 x 2 - 5 x - 3 I lim x-»1 X —1 2 x 2 - 5 x - 3 2 - 5 - 3 - 6 lim---------= „ -- =— =-» x -»r x — 1 1 - 1 0 2 x 2 - 5 x - 3 2 - 5 - 3 - 6 lim---------= < — =— =» x-»r x - 1 1 - 1 0 CAPITULO III 518 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net vmw.edukperu.com. www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O O 1 1 lim. 0 x-'ll-x x'-2x-l L =lim 1 1 x-'U-x x2-2x-l 1 1 N fi - +- |=+oo 0 2 lim. x-»2lx-2 x‘ -4 L =limI — ---- J -— 1=lim L =lim x-»2 2lx-2 x2- 4 j x~*2 x + 1 1 1 (x —2)(x +2) =lim x-»2 x-2 (x-2)(x +2) x+1 =lim x-»2 x+2-1 (x-2)(x +2) x -4 Limites latérales: L = lim x-*2- x+1 x2-4 =j3- =00 0* www.edukperu.COr SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 1
  • 264. www.solucionarlos,net LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPITULO I Calcular los siguientes límites: 1- S e n f - O lim-----i* x-*' /T- X Cambio de variable: h =n -x => x =n -h 1 -Sen /r- h lim--- h-*° 7T-7T +h =lim- h-*0 ){*■&) Pero Sen f Cosf i=0 mil 1 -Cos - L =lim----- =lim h->0 h h-+0 1-Cos| - 1+Cos =lim h-*o 1- Cos | 1+Cos| - =T L =lim- h-*0 Sen’ l^ l +Cos| - S e n ili =l,¡m—Í 2J2 h-*o h 2 Sen(Xi =i¡m---- ^ r= x O X 0 )= 0 ^ U C o s í ^ 2 lim x-*0 Cos(x)-Cos(3x) x-*0 L-lim ,1.-Cos8(3x) .-lim- ’ - Cos!W x2[l +Cos(3x)] *-°x2[1+Cos(x)] 520 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « O , Sen2(3x) 1 .. Sen2(x).. 1 L =lim--- £— -lim----------lim--- 5— lim------- x-.o x* x-*° 1+ Cos(3x) x-o x *-»°1+Cos(x) m. Sen2(3x)r 1 1 9 1 , L =9lim---- — lim------------- =---- =4 x-*° (3x) *-°l +Cos(3x) 1+1 2 2 |imTS(x)-Sen(X) X-.0 y3 Sen(x) ~ _ J _ _ , L = |im C os(x) . . ,¡m S e n (x )|imC o s(x) _ .. ¿3 x-*0 x x-*0 x2 l-Cos(>) .. l-Cos2(x) .. Sen2(x) 1 1 1 L =lim—--- - - lim —7:------------------------------^-= =lim--- ^ l i m -= x-° x Cos(x) x-*° x*[1+Cos(x)J x-o x x-*°l +Cos(x) 1+1 2 =3 - * x * A « ii +xS-A2 c- A=8- Arl+ x =8+A :»bnob sG .. x-Sen(2x) lim--------- x-*° x+Sen(3x) x-Sen(2x) Sen(2x) . .. x-Sen(2x) .. x x L =lim------------------ =lim------ _ ■- = ----- _ * x *-0 x+Sen(3x) *-0 x+Sen(3x) 1 Sen(3x) X x-0 X , ot. Sen(2x) »-«üüi-ár iii- 1 l +3lim——— 1+3 4 x-»o 3x x-»0 y¿ . 1- JCos(x) l-Cos(x) .. 1-Cos2(x) L =lim— y ■■ - - =lim— p--- ---- - |im— --- ------------- x'>0 x "^ x 1j^l +-y/Cos(x)J x“*0x2^l +>/Cos(x)Jl +Cos(x) www.eduKperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 521
  • 265. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPITULO I 1 1 £l +>/Cos(x)J 14Cos(x) 2(2) 4 Sen(x +h)-Sen(x) lim------- ----- — h-»o h sm urai«* L =lim h-»x Sen(x +h) - Sen(x) Se sabe: Sen(A +B) =Sen(A) Cos(B) +Cos(A) Sen(B) Sen(A - B) =Sen(A) Cos(B) - Cos(A) Sen(B) Sen(A +B) - Sen(A - B) =2 Cos(A) Sen(B) ', O > De donde: A+B =x +h A - B =x => 2A =2x +h => A =x + - => B = - 2 2 2Cos( x+^|Sen(^) S e n ili L =lim----¿ --- 2_ _ |im—.......... limCos x+— h-»0 h h-»0 l 2_ / ^í. 2 L =(1) Cos (x +0) =Cos (x) I¡m>/l+Sen(x) - Vi - Sen(x) x-*0 v . .. J l +Sen(x) - J l - Sen(x) 1+Sen(x)-1 +Sen(x) L = lim------------ ---------= lim- r- , ■■ — —=r x-° x x[ V1+Sen(x) +^ - Sen(x)J x-»0 x x-»0 y¡] +Sen(x) +^1- Sen(x) ' 2 =2 - =1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu ccífi www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « j. ylCos(x) +%JCos(x) x-»° Sen2(x) JEfflBEET L - |jmVCos(x) - VCos(x) VCos(x) -1 +1-t-^/Cos(x) x-*° Sen2(x) x-»° Sen2(x) L=1„ h p . l, m b p x-° Sen‘(x) x-° Sen (x) Por conjugada de cubos al primer término:multipli |l +^Cos(x) +>/Cos2(x) j al numerador y denominador. Para el segundo término por (l +7Cos(x)). f"1- ^/Cos(x)1r1+>/Cos(x) +>/Cos2(x) ri-VCo¡OÓ]íl +VCos(x)l L =lim-------- - -I — -lim-------- Sen2(x) [l +^/Cos(x) +^/Cos2(x) J x"*° Sen2(x)[l +VCos(x)] . .. l-Cos(x) .. l-Cos(x) L =lim------f--- ----- — - =¡-lim- X-»ü| 1Sen2(x)|j +^/Cos(x) +^/Cos(x)J x~*°Sen2(x)[j +>/Cos(x)J Ahora por conjugada de: l-Cos(x) ambos miembros, [l - Cos(x)J l +Cos(x)] L =lim x-»0 Sen2(x) jj +3/Cos(x) +>/Cos2(x)J[l +Cos(x)] [l - Cos(x)J l +Cos(x)] x“‘° Sen2(x)[l +<y/Cos(x)J[l +Cos(x)] L =lim- 1“ C o fiW x-*0, Sen! (x)ri +y]Cos(x) +^Cos’(x)][l +Cos(x)] iw - iu k p 9 h j.c o m SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 266. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III [i - Cos(x)J l +Cos(x)] Sen?(x)j^l +7Cos(x)][l +Cos(x)] L =lim x-»0 Sen2(x) Sen2(x)|~1+^/Cos(x) +^/Cos2(x)J[l +Cos(x)] -lim Sen2(x) Sen2(x)^l +^Cos(x)J[l +Cos(x)] L =lim; x-*0 £l +>/Cos(x) +^/Cos2(x) [l +Cos(x)J x_>0[j +-v/Cos(x)J[l +Cos(x)] L = J _____1 2-3 1 3(2) 2(2)" 12 " 12 61IV |jmCos(x)-Cos(2x) x-° l-Cos(x) m m m m / ^_ |-mCos(x)-Cos(2x) _ |.mCce(x)-Cos2(x) +Seir(x) x-° l-Cos(x) x-0 l-Cos(x) L _ [¡m Co s( x )[1 -Cos(x)]+1-Cos2(x) _ Cos(x)[l -Cos(x)]+[l -Cos(x)J l +Cos(x)] x^> l-Cos(x) l-Cos(x) fl - Cos(x)TCos(x) +1+Cos2(x)"| L =lim-------- ----------------- =lim[Cos(x) +1+Cos(x)l=1+1+1 =3 x~*o 1-Cos(x) *-oL 'J © I* l-2Cos(x)+Cos(2x) x-*0 L _ l¡m1- 2Cos(x) +Cos(2x) _ 1- 2Cos(x) +Cos2(x) - Sen2(x) x-»0 y 2 x-»0 V2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net / www.solucionarios.net Cos2(x)-2Cos(x) +Cos2(x) -2Cos(x)[l -Cos(x)] CAPITULO III í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 0 L =lim--- — ---- 5---------- =lim x-»0 v x-*0 ,2 -2Cos(x)[l - Cos(x)J l +Cos(x)] _ -2Cos(x)[l-Cos2(x)] *•2 x2[l +Cos(x)] »-o x2[l +Cos(x)] x-ol +Cos(x) x 1-Cos7(x) L=-2iim- C ^ ^ . S 5 2 ! w =. 2f _ L i . ( , ) =_1 x-*«1+Cos(x) x l l +lJ ¿ Q lim j ^ a ¡ ¡ a a * r 1- Cos7(x) P _ Cos(x)T1+Cos(x) +Cos2(x) +Cos2(x) +... +Cos6(x)l L =lim--- z—— =lim---------—------------ ó--------------------- x-0 x [l - Cos2(x )][l - Cos2(x) +Cos2(x) +... +Cos6(x)] L “ 11ITÌ „ r* _ n x-° x*[l +Cos (x)J -- ■ •:■=• y. - ;¡ sldfih. okViib'J ¡_-^ Sen2(x).. 1+Cos2(x) +Cos2(x) +...+Cosh(x) (1 +1+1+1+l +l'i 7 L =lim----— lim-------------- 5----------- =(.1)1------—----- x-*o x x-^ 1+Cos (x) ^ 1+1 2 lim]—Sen(*) Cambio de variable: h =—-x => x =—-h x >2 ° °x-*» I Jt 2 I 2 ~ x É tE S S S S W tt 1- Sen^ - hj 1- Sen^ j Cos(h) +Sen(h)Cos^ j L =lim----- ------ =lim h-»0 h * x -*0 h Pero Seni — 1=1: Cos 1^1 =0 <t)-= l-Cos(h) .. 1-Cos2(h) .. Sen2(h) L =lim-- —■— =lim— ------ — =,=lim- *-»o h2 h-° Ir [l+Cos(h)] h-*° h"[l +Cos(h)] i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO ¡ www.solucionarios.net
  • 267. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I 1 1 h-0 |y h- 0 1+Cos(h) 2 © J Cos(x)-Sen(x) Cos(2x) . .. Cos(x)-Sen(x) Cos(x)-Sen(x) L =lim------------= Iim ►í Cos(2x) *5Cos (x)-Sen2(x) Cos(x)-Sen(x) ,= lim ________________________________ 1 V J2 [Cos(x)-Sen(x)JCos(x) +Sen(x)] x"f Cos(x) +Sen(x) s¡2 2 T +‘T o lim(1-x)Tg x-*l OLUCI c .rn t L =lim (,-x )T g |f Cambio de variable: h = 1- x => x = 1- h hSen ' n -n hN l 2 , Cos . . . . . ten&V * L =lim- h-*0 Mlí Pero Sen| — [=1 ; Cos f'-o SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www ed'jkperu.co^f www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =lim h~*x S e n lf =—lim- n h-*° 7C 2 Sen O Cos — lim--------L * 1-Vx Cos ^ L =lim--- x_>0 1-vx m m m Cambio de variable: h =x-1 => x =h +1 Cos ( 7lh+71 lim----- ,--- h-° 1-Vh +l =lim h-»0 ?)'Cos Cos - -Sen — 2 J 2 C osl| 1-Vh+T Pero Sen.f -1 Cos(fl=0 - S e n íf ] -Sení^h](l +7 iT ñ) - S e n í^ ](l +,/hVÍ) L =lim----L á J- =lim---------------- =lim---- ^-=-^-------- h-*0 1_ +1 h-0 1 - h - l h-*° -h S e n f^ L=f¡í2^ J a(i+^TT)=f(l+i)=ír 2 lim _ K X-K 6 SenI x- - i - Cos(x) JB S Ì1 2 ¡¡¡¡¡E g g Cambio de variable: h =x— 6 x =h+— 6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 268. www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III O o L =lim _ Sen(h)----- um h->0 lo / ' ' ' L =lim-=— ■= h-° V3 V3 6 J Sen(h) =lim 2Sen(h) Ji-*0 — + v" Cos(h) +-Sen(h) 2 2 2 L =lim 2Sen(h) =lim- 1-Cos2(h)2 1+Cos(h) 2 +Sen(h) Sen (h) _ ,UN "-»o Sen(h) 0+1 — - +Sen(h) -—-—— + 1+Cos(h) 1+Cos(h) =2 lim Sen(x) - Cos(x) l-Tg(x) .. Sen(x)-Cos(x) Sen(x)-Cos(x) L =lim------------=lim----- — —-— 1- Sen(x) Cos(x) I se )■*— |T>¿ O’fl [Sen(x) - Cos(x)]Cos(x) [Sen(x) - Cos(x)]Cos(x) Kü? Cos(x)-Sen(x) x-.^ -[Sen(x)-Cos(x)] L =lim-CosI —i =— != V2 limi- - x |Tg(x) L =lim x-»2 - xjlg(x) Cambio de variable: h =-^-x=>x =^ - h L =limf———+hITsf—-x I=lim h-*ol 2 2 J l 2 ‘ I h-*° hSenf- - h i Cos HSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu.com -r CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =lim h-»0 Cos| * |cos(h) +Sení ^ |Sen(h) í£i=1 Cosj - =0 UJ l2 j L =lim _ |jm— ti— limCos(h) =(1)(1) =1 h-° Sen(h) Sen(h) h-*o .. Sen(x) - Sen(a) lim------------ x-*a x-a JB 2¡2¡BISWt limSen(x)—Sen(a) ^acemos h =x - a => x =h +a x-a L |jmSen(h +a)-Sen(a) h-^0 h Se sabe:Sen(A +B) =Sen(A) Cos(B) +Cos(A) Sen(B) SenCA - B) =Sen(A) Cos(B) +Cos(A) Sen(B) Sen(A +B) - Sen(A - B) =2 Cos(A) Sen(B) h h Donde: A +B =a +h ; A - B =a => 2A =2a +h => A = a+- => B =- 2 2 L =lim h-*0 Seni^ L =lim-limCos a +- I=(1)Cos(a+0) =Cos(a) h-*0 h h-*0 l 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net M
  • 269. www.solucionarlos,net '________» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) $ |im-Cos(x>-Cos(a> x-a IjmCQs(x)—Cos(a) hacemos h =x-a => x =h +a *-*• x-a ,Cos(h +a)-Cos(a) L = lim-------------------------- h-»0 h Se sabe: Cos (A +B) =Cos (A) Cos (B) - Sen (A) Sen (B) Cos (A - B) =Cos (A) Cos (B) +Sen(A) Sen(B) Cos (A +B) - Cos (A - B) =-2Sen(A) Sen(B) Donde: A +B =a +h ; A - B =a => 2A =2a +h=>A =a + L =lim . 2 J L =lim— ¿ limSen h-*0 h h-»0 2 an— =—(1)Sen(a +0) =-Sen(a) 2 lim Sen(6x) ■■n--- — - i i 3 x - 2 n gtE¡¡S¡MM , .. Sen(6x) .. , 2/r . 2;r L= lim-- — - Hacemos h =x--- =>x =h+— M 3x-2x 3 3 X-*_3 , Sen(6h +4;r) Sen(6h)Cos(4;r) +Sen(4;r)Cos(6h) L =lim- 7-----r--- =lim---------—— --- --------- h-*° f. 2 n h-° 3h+2;r-2;r 3 h+—- -2n CAPITULO III 530 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukperu.coi -C|04 www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =|¡mS ^ =2|jmS€n(6h) = h-o 3h h-o 6h .. Sen2(h +a)-Sen2(a) lim--- ---- -------- *-° h OLUCI _ |jmSen2(h-i-a)-Sen2(a) _ [Sen(h +a)- Sen(a)JSen(h +a) +Sen(a)] x-^o h x_*° h Se sabe: Sen(AB) =Sen(A)Cos(B) +Cos(A)Sen(B) Sen(A - B) =Sen(A)Cos(B) - Cos(A)Sen(B) Fen(A +B) - Sen(A - B) =2Cos(A)Sen(B) Donde: A +B =a +h ; A - B =a => 2A =2a +h => A =a +- => B =- 2 2 L =lim x-*0 ■ ( h V íh il 2Cos a+ Sen l 2) U J J [Sen(h +a) +Sen(a)] L =lim Seni* h-»o h 2 =Cos(a)(Sen(a)+Sen(a)) =2Sen(a).Cos(a)= Sen(2a) O Sen(3x)Sen(5x) lim-- i— -— s--- x-*0 1 ’ (x-x3) Sen(3x)Sen(5x) Sen(3x)Sen(5x) L =lim---i— -— ~— i =lim----— ---- ^— - (x-x3) ” 0 X2(1—X3) www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 www.solucionarios.net |
  • 270. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J O Sen 3x) Sen 5x 1 L =lim------ =lim--- --- lim------■? x-o x x-*° x X“>0(l- x 2) Sen(3x) Sen(5x) 1 , e L =3lim------ (5)lim— --------- =3(5) =15 *-♦0 3x 5x (1-0)" lim x-»0 3Sen(nx) - Sen(3;rx) 3Sen(^rx)—Sen(3/rx) 3Sen(nx )- Sen(2nx +nx) L =lim---- ^— —-- --- =lim---------- z--------- x-»0 X x-»0 X 3Sen(;rx)-Sen(2;rx)Cos(;rx)-Sen(;rx)Cos(2;rx) L =lim------------------- t------------------- *-o x 3Sen(;rx)-Sen(2;rx)Cos(;rx)-Sen(;rx)Cos(2;rx) x~*0 X3 donde: Sen(2rcx) =2Sen(nx)Cos(7rx) l 3Sen(/rx)-2Sen(/rx)Cos(;rx)Cos(;rx)-Sen(/rx)Cos(2;rx) »-o x3 Sen(/rx) 3-2Cos(;rx)Cos(;rx)-Cos(2/rx) L =lim-- i— -lim------- i— 1-- — ----- ---- L x-»0 x x-*0 x Ahora Cos(2rcx)=Cos'(;rx) -Sen 2 (;rx) ; 1-Cos~(;rx)=Sen~(;rx) Senf^rx)^3- 2Cos(nx)Cos(nx) -Cos2(nx) +Sen2(nx) L =;rlim- x-»o nx 2-2Cos(/rx)Cos(;rx)-Cos(;n<) +Seni’(/rx) +Sen2(;rx) L =;rl¡m-------------------- —5 --------- capitulo 111 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www ecJjkperu cc www.solucionarios.net 2["l-Cos-f(;rx)l +2Sen2(;rx) 2Sen¿(nx) +2Sen* (nx) L =^rlim-i------ 1—U.--1— i =4/r3lim-------- ---------i —¿ x-*0 x x 4Sen‘ (;rx) , Sen2(;rx) 3 L = /rlim-------------------------------------------¿ — - = 4 n lim--------------^ - i = 4/r3 x-o x2 (/rx) O t |¡mVxi +4-3Cos(x) +1 x-0 1-Cos(x) . .. >/x2+4 -3Cos(x) +1 Vx2+4 -2 +2-3Cos(x) +1 L =lim----------------=lim------- —-— -------- x-o l-Cos(x) x-*o l-Cos(x) 1 Vx2+4-2 .. 3-3Cos(x) . L =lim-------- +lim--------— Mediante conjugada x-*° l-Cos(x) x-*o l-Cos(x) (Vx2+4 —2)(Vx2+4 -2)[1 +Cos(x)] 3[l-Cos(x)] L =lim------------------ / . :— y—+lim -——— ——— [ l - C o s (x )+Cos(x)]|V>^+4-2J l-Cos(x) (xJ +4-4)(1 +Cos(x)) x2fl +Cos(x)l L =lim—------- r — =¡+lim(3) =lim---- -—r +3 CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « [l-Cos2(x)]JVx2+4 +2J x_*° x“*0SenJ(x)|7x +4 +2j x2 [1+Cos(x)] [l +Cos(x)] 2 0107 :lim--- — lim , .-=— =!limt- = = — -+3=-+3=-+3=- x_*° Sen2(x) «-o ^x2+4 +2 >/x2+4 + 2422 © [¡m Sen2(6x) +Tg(3x) lim x_»£ 3x—n Sen2(6x) +Tg(3x) n n L =lim--------- ---- Hacemos h =x— => x =— 3x-n 3 3 vw.v. *:jj>.peru co rr SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 271. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III Sen* 6(h +f ) Sen Cos L =lim- h-*0 3(h +? ) 3(h +f ) Sen2(6h +2;r) + 31 h+^ -k =lim- h-»0 Sen(3h +;r) Cos(3h +;r) 3h+jz- n [Sen(6h+2;r)T +--- Sen(3h)CosWCos(3h) L _ |jm____________ J Cos(3h)Cos(;r)-Sen(;r)Sen(3h) *>-o 3h [Sen(6h)Cos(2;r) +Sen(;r)Cos(6h)]’ + L ~ !¡2¡ 3h Sen2(6h) +Se^(3h^ 4Sen2(3h)Cos!(3h)+ Se- 3h) L =lim-------- 9 * m mba---------------- £os(3h) h-o 3h i>-*o 3h L =| i m ^ 3-h )-llm h-*0 3h h-»0 4Sen(3h)Cos (3h) + =0+1=1 Cos(3h) O limTg2(x)|y2Sen2(x) +3Sen(x) +4 - -y/Sen2(x) +6Sen(x) +2J *"**2 L =limTg5(x)í 72Sen2(x) +3Sen(x) +4 ->/sen2(x) +6Sen(x) +2l Aplicamos conjugada multiplicando al numerador y denominador por V2Sen2(x) +3Sen(x) +4 +yJSerf(x) +6Sen(x) +2 Tg2(x) ["2Sen2(x) +3Sen(x) +4- Sen2(x) - 6Sen(x) - 2l L = lim---. — -TT.-s— . . -------------- — J x'+i ^2Sen2(x) +3Sen(x) +4+^Sen2(x) +6Sen(x) +2 534 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ■O!tf www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =lim Sen2(x) [Sen-’(x) +3Sen(x) +2j *2 Cos~’(x) L =lim L =lim x—♦ ^2Sen2(x) +3Sen(x) +4+>/Sen2(x) +6Sen(x) +2 Sen'2(x)[Sen(x) - 2JSen(x) -1] [ 1- Sen2(x)] ^2Sen2(x) +3Sen(x) +4+>/Sen2(x) +6Sen(x) +2 -Sen2(x)[Sen(x) - 2J l - Sen(x)] n----------------- r , - = l [1- Sen(x)Jl +Sen(x)] V2Sen2(x) +3Sen(x) +4+VSen2(x) +6Sen(x) +2 L =lim -Sen2(x)Sen(x)-2 L = •f[l +Sen(x'_|jy2Sen2(x) +3Sen(x)+4 +>/Sen2(x) +6Sen(x)+2j -(1-2) 1 1 (1+1)[>/9+>/9] 2(3+3) 12 (;r +2x)Cos|^ +3x lim------ T---- x-í S e n [^ +3x L =lim (/r +2x)Cos| ^ +3x *2 Sen 3it_ l 2 +3x L =lim h-»0 (;r +2h-;r)Cos Sen í3;r+3h- 3;r] l 2 2 J Hacemos h =x+— => x =h-— 2 2 2hCos(3h) = lim h-*° Sen(3h) L =- lim— =limCos(3h) =% (1)Cos(0) =| 3h-*°Sen(3h) 3 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 535
  • 272. www.solucionarios.net Sen(a +2x) - 2Sen(a +x) +Sen(a) x->0 , .. Sen(a +2x)-2Sen(a +x) +Sen(a) L =lim-------------------------- » EDUARDO ESPI NOZA RAM OS ) CAPITULO I . .. Sen(a +2x) - Sen(a +x) +Sen(a) - Sen(a +x) L =lim----------------- 5---------------- x-»0 x . .. Sen(a +2x)-2Sen(a +x) .. Sen(a +x)-Sen(a) L =lim--------- r----------lim------- =------ x-*0 X X Mediante identidades: Sen(A +B) =Sen(A) Cos(B) +Cos(A) Sen(B) SenCA - B) =Sen(A) Cos(B) - Cos(A) $en(B_) Sen(A +B) - Sen(A - B) =2 Cos(A) Sen(B) Para el primer límite: 3x x A+B =a +2x ; A - B =a +x => 2A =2A +3x => A =a +— => B =— 2 2 Para el segundo límite: A +B =a +x ; A - B =a =>2A =2a +x => A =a +^ => B =^ 2 2 2Cos( a+f M f ) *Co.(« +| ) s « ( | L = lim ---------- ---------- --------------^ ^ - - l i m ---------- ---------^ -------------- x-»0 x x-*0 X Seni*ì 2Cosía+™i Sen ili 2Cosía +~- L = ,i m L l i - l i m — — L 2 j _ | i m — L _ l x-*0 X x-»0 X x-»0 X *-♦0 X 2Cosía +3-*1 2Cosía +^'l Cosía +^i-Cosía +^i L = tim _____ L _ 2 j. |im------L - g j . 8>n, V< 1 1 ----------- L - 1 1 x-*0 X x-*0 X x-*0 X SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I www e±*pafu «¡Él www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III [ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Cos(A +B) =Cos(A) Cos (B) - Sen(A) Sen (B) Cos(A - B) =CosCA) Cos CB) - Sen(A) Sen (B) Cos(A +B) - Cos(A +B) =-2Sen(A) Sen(B) Donde: A +B =a +— ; A - B =a +— =s> 2A =2A +2x => A =a +x => B =— 2 2 2 -Sen(a +x)Sení^ j ^en(^ L =2lim----------- —-=-2lim-- ¿limSen(a +x) x-»0 x x-»0 X x->0 2 L =-2Sen(a+0) =-2Sen(a) Cos(a +2x) - 2Cos(a +x) +Cos(a) © lim x—»0 ,2x-*0 x .. Cos(a +2x)-2Cos(a +x) +Cos(a) L =lim-------------5------------ x-0 x .. Cos(a +2x)-Cos(a +x) +Cos(a)-Cos(a +x) L =lim----------------- =---------------- x-0 X Cos(a +2x)-Cos(a +x) .. Cos(a +x)-Cos(a) L =lim--------- ---------- lim--------------- x-*0 x X~*0 x Mediante identidades: Cos (A +B) =Cos (A) Cos (B) - Sen (A) Sen (B) Cos (A - B) =Cos (A) Cos (B) +Sen (A) Sen (B) Cos (A +B) - Cos (A - B) =-2Sen (A) Sen (B) Donde en el primer limite: 3x x A +B =a +2x ; A - B =a +x => 2A =2a +3x =>A =a+— => B =— 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 273. www.solucionarlos,net V'v" í^r En el segundo limite: A +B =a +x ;A - B =a => 2A=2a +x => A =a+- => B=- 2 2 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I -2Senf a+^ ]sen( ^ ] -2Sen(a +— Isenf- L =lim-----i---L ¿ ---L i i o |im-----¿ Sení^l Senía +^ 1 Sení-1 Senfa +* L = lim--- ^ = lim--- V— ^ J +iim--- ^ - lim ^ 2 *-»o x / 2 x-»o x-»o x/2 x-*o O ■V:. Sen | Pero lim---=1 x-*° x/2 Ahora mediante identidades en la suma de senos: Sen (A +B) =Sen (A) Cos (B) +Cos (A) Sen (B) Sen (A - B) =$en (A) Cos (B) - Cos (A) Sen (B) Sen (A +B) - Sen (A - B) =2 Cos (A) Sen (B) A +B =a+— ; A - B =a+— => 2A =2a +2x => A =a +x => B =- - 2 2 2 2Cos(a +x)Sení - j Sení - L =lim------------ —^ =lim x-»0 X x-*0 2 limCos(a +x) L =-Cos(a+0) =-Cos(a) Tg(a +2x)-2Tg(a +x) +Tg(a) L - |jmTg(a+2x)-2Tg(a+x)-hTg(a) _ [jmTg(a +2x)-Tg(a +x) +Tg(a)-Tg(a +x) x-»0 x* *-*0 X* ------------------------------------------------------------------- i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www edukperu.com • www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO III f EDUARDO ESPINOZA RAM OS « Sen(a +2x) - Sen(a +x) Sen(a +x)-Sen(a) L lim Cos(a +2x) Cos(a+x) [¡mCos(a +2x) Cos(a+x) ~ x-0 X2 X2 Sen(a +2x)Cos(a +x) - Sen(a +x)Cos(a +2x) L =lim- x-*0 Cos(a +2x) Cos(a+x) -lim- x-»0 Sen(a +x)Cos(a) - Sen(a)Cos(a +^0 Cos(a +x)Cos(a) ______ Sen(a +2x-a-x) Sen(a +x-a) L =lim------------------- lim——------------ «-« xsCos(a +i x)Cos(a +x) x-° x¿Cos(a +x)Cos(a) L =lim Sen(x) -lim- Sen(x) x x2Cos(a +2x)Cos(a +x) x-° x‘Cos(a +x)Cos(a) L =lim§ 2 !W |im x-*0 x x-*0 1 1 xCos(a +2x)Cos(a +x) xCos(a +2x)Cos(a) L =lim x-*0 Cos(a) - Cos(a +2x) xCos(a +2x)Cos(a +x)Cos(a) Mediante identidades: Cos (A +B) =Cos (A) Cos (B) - Sen (A) Sen (B) Cos (A - B) =Cos (A) Cos (B) +Sen (A) Sen (B) Cos (A +B) - Cos (A - B) =-2Sen (A) Sen (B) A +B =a ; A - B =a +2x => 2A =2a +2x A =a +x =>B =-x Luego: L =lim x-+0 -2Sen(-x)Sen(a +x) xCos(a +2x)Cos(a +x)Cos(a) = lim x->0 2Sen(x)Sen(a +x) xCos(a +2x)Cos(a +x)Cos(a) A A. - i ;•;',er com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 539
  • 274. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPITULO III L =li m ^ l ¡ m x-*0 x x-»0 2Sen(a +x) Cos(a +2x)Cos(a +x)Cos(a) 2Sen(a) 2Sen(a) Cos(a)Cos(a)Cos(a) Cos (a) L= lim =lim D - ^ W j ____ lim P- C M (x) J ”- " T g ( x ) - S e n (x ) ~ r S e n ( x ) _ Sen3(x ) ~ r ^ Cos (x) --- 3-----1 Cos (x) [l-Cos(x)T Cos3(x) ri-Cos(x)tCos3(x) L = lim - -------------=— ----------------= = lim ---------------- =— -------------------------------------------------------===!---- x-° Sen,(x)[^1-Cos3(x)J x-0'Sen‘(x)[l-Cos(x)][l+Cos(x) +Cos2(x)J L= lim [l-Cos(x)]Cos3(x) x-0' Sen2(x)Sen(x) [l +Cos(x) +Cos2(x)] L = lim [1-Cos(x)]Cos3(x) x->0*[l -Cos2(x)]Sen(x)[l +Cos(x) +Cos2(x)] L = lim [l-Cos(x)]Cos3(x) x->0' [l -Cos(x)Jl +Cos(x)]Sen(x)[l +Cos(x) +Cos2(x)] . Cos3(x) 1 L = lim -------- ------ -r--------------- ==- =c3o x-*°‘[1+Cos(x)]Sen(x) [l +Cos(x) +Cos‘(x)J 0 ® l¡mCos(x) * 71 X_*2 — - X . .. Cos(x) n n L =lim----- Hacemos: u =x— => x =u+— - i l - x 2 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.edukperu.cony www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III í EDUARDO ESPIN O ZA RAM OS « O $ Cos|u+* Cos(u)Cos[¡J-Sen(u)Sen[| L =lim--- ---- =-lim-------- -—-------- -—- =lim---------=1 u-»0 —y u-*0 (j u-*0 y |¡rr|Tg(ax)-Tg3(ax) x-° Tg(x) Tg(ax) Tg3(ax) , l:_ Tg(ax)-Tg3(ax) S3 x S3 x L =lim------------ =---------—■ r----- Tg(x) |¡mTg(x) x-»0 x ,• Tg(ax) 3 2l- Tg3(ax) alim— —--ax lim - . _ *-Q (ax)_______ x-° (ax) _ a-0 _ limTS(x) = ' = x-*0 x lim [ '- Se" (X)? x-**2 [1+COSC2X)]3 « n t i m . T L _ |im fcSgO gT , i m ----[l-SenM j | jm [1-Sen(x)j x- '2[l+Cos(2x)J x_>' 2[l +Cos(x) - Sen2(x)J x-*'2[Cos2(x) +Cos2(x)] [1-Sen(x)T [l-Sen(x)J L = lim ------- 4r = lim —--- ---— — = lim L = !8[Cos2(x)]3 x-"r28[1-Sen(x)J[l +Sen(x)J ’~ '28[l +Sen(x)J 1 1 1 8(1 +1)3 8(8) 64 © l¡mSen^ - x) x-»l www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net i
  • 275. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPITULO III Sen(l-x) Sen(1 x)(Vx +l) L =lim— ¿ --- =lim----------------------------- ^-- Hacemos h = 1-x x—*l - 1 x_*' x—1 De donde (VT^h +l]Sen(h) (VT^h +l)Sen(h) :: L =lim-------- ------ =-lim----- -----=-(1 +1) =-2 h-»o 1- h—1 h->0 l-h-1 s¡xA-x4Sen2(x) lim ^ - x-+o i _ Cos(x) yjx* -x4Sen2(x) x2J l - Sen2(x) x2>/l - Sen2(x)[l +Cos(x)] ~xir2 l-Cos(x) *2 l-Cos(x) x-*> [l -Cos(x)Jl -Cos(x)] x2Cos(x)[l +Cos(x)] _ x2Cos(x)[l +Cos(x)] L ~ xüo i-Cos2(x) *2 Sen2(x) L =lim— ^— =limCos(x)[l +Cos(x)] =(1)0X1 +1) =2 x-*°Sen (x) x^o L © Iim2 - V S ÍM - C ^ 0 0 x-*0 x . .. 2- >/Cos(x) - Cos(x) 1- ^Cos(x) +1- Cos(x) L =lim— ----- -------- =lim--------- 5-------- x-»0 y 2 x-*0 [l-VCos(x)][l +>/Cos(x)] [l->/Cos(x)][l +VCos(x)] L =l'-° x2[l +V cS¡óó] x2[l +Cos(x)] l-Cos2(x) l-Cos2(x) L =lim— ?--- -^r+lim 7ox2^l +VCos(x)J x"*° x2p +-s/Cos(x)J SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I wvAV.edukperu.c^fn www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO til cEDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =lim 1-Cos‘(x) +lim- SenJ(x) •«-♦0x2^l +>/Cos(x)^l +>/Cos(x) j *-ox‘ jj +^Cos(x)j L =lim x -*0 Sen2(x) lim x2^l +7Cos(x)]["l +VCosóo] 1+1 (1+1)(l +0 2 4 1-2Cos(x) I ; ,3 Seni x— 3 .. 1-2Cos(x) .. . n , n lim--- ;— Hacemos h =x — => x =h+— •!senfx-|^ 3 3 l-2Cos h+ l-2Cos(h)Cos ~ ]+2Sen(h)Sen n L =lim------ ------ =lim----------- -—-------------- h-° Sen(h) h-° Sen(h) 1-Cos2(h) /rc_ , . , L [¡ml-Cos(h) +V3Sen(h) ^ |¡m i +CosCh) + Sen(h) Sen(h) Sen‘.(.h) +V3Sen(h) L =lim h-»0 1+Cos(h) Sen(h) =lim h-»0 Sen(h) . ^ 3 l +Cos(h) 0 lim------------_r ~°[Tg(x)-Sen(x)} L =lim------------^ *-°[Tg(x)-Sen(x)J =lim- =lim- Sen(x) Cos(x) -Sen(x) Sen2(x) 1 Cos(x) -1 L =lim x-*0 X2 .. x4Cos2(x) .. x4Cos2(x)[l +Cos(x)J -- 5— =lim------ ^ =lim--------- -----5— =*- Sen‘(x) x-°[l-Cos(x)J [l-Cos2(x)] v w w pclukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 276. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III O L =lim— — =limCos2(x)[~1+Cos(x)T =(1 +1 T =4 *-*°Sen (x) »-o L J Tg(ax) lim=------- ——^----- x-»0[1- Cos(ax) +xJSec(ax) Tg(ax) .. Sen(ax) .. Sen(ax) lim=------------------— — -=.---------------= lim--------------------- — = lim------------- 5-------- x-*°[l-Cos(ax) +xJSec(ax) x-*°1-Cos(ax) +x x-»° 1_-Cos_‘(ax) 1+Cos(ax) L =lim +x L =lim— ^f-n-— -- Factorizamos x-° Sen (ax) ---- -——+x entre Sen(ax): 1+Cos(ax) L =limlim— ---- —--------- por lo tanto L =—— =. *-o Sen(ax) + ax Q+1 l +Cos(ax) aSen(ax) a O Sen(x2 -10x +25) lim—--- 5-------- — *-» x +5x -125X +375 Seníx2-10x +25) L =lim—— ^ -------- — Factorizamos: x +5x -125X +375 1 5 -125 375 5 50 -375 5 1 10 -75 0 Sen(x-5) L =lim----- ----- i--- - x-5(x -5)(x2+10x -75) , Sen(x-5)2.. =L =lim-- --- r^-lim x-5 Sen(x-5)2 Pero lim--- — — ■=> L =lim x-»5 (x-5)2 x_*5 x2 +10x-75 x-5 =lim 1 1 (x -5 ) x-*s(x-5)(x +5) x-sx+15 20 www edjf r>“ rj confSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « O 1 lim x-°LSen‘(x) l-Cos(x)_ L =lim x-»0 [l-Cos(x)Jl +Cos(x)] 1-Cos(x) lim x-»0 2-l-Cos(x) [l -Cos(x)J1 +Cos(x)] L =lim x->0 1-Cos(x) =lim 1 1 1 x-°1 +Cos(x) 1+1 2[1 - Cos(x)J l +Cos(x)] xSen[Sen(2x)] ] _______________________ 0 Calcular lim----- ¡=------ =¡ x-»oi - Cos[Sen(4x)j xSen[Sen(2x)] x-°l-Cos[Sen(4x)] Se multiplica por Sen(2x) el numerador y denominador, sabiendo que: Sen["Sen(2x)l , , xSen(2x) Sen[Sen(2x)l lim---*=------=*=1 ; L =lim----- — -— Jim — ±— ----- x-° Sen(2x) *-»°l-Cos[Sen(4x)Jx-° Sen(2x) Se multiplica por (2x) el numerador y denominador, sabiendo que: .. Sen(2x) . .. lim-- -— -=1 ; L =lim x-o 2x x(2x) lim Sen(2x) 1- Cos[Sen(4x) ] ,t-*0 2x Ahora conjugando al denominador: 2x2{1+CosíSen(4x)l¡2x2j1+Cos[Sen (4x)]{ L =lim---í ^ -----=¡-=-(1) =lim---^ l-Cos*[Sen(4x)] *-° Sen' [Sen(4x)j Sen*(4x) 2x*{l+Cos[Sen(4x)]} x™Sen2[Sen(4x)] x-*° Sen2(4x) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 545
  • 277. www.solucionarlos,net . (4x)2 .. 2x2{i +Cos[Sen(4x)]J L =lim-- 5--- =lim------- ——7------- *-°Sen (4x) x-*0 (4x) 2x2{l +Cos[Sen(4x)} _ ^ {i+ Cos[Sen(4x)]} _ 1 +1 _ 1 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III O lim 16x Cos(x) Cos(x) Cos2(x) |1- Sen (x) ? Vl-S¿"nM =!!S V 1- Sen(x) " >< V 1~ Sen(x) ■ lim J1-Sen(X)I 1^ ^ - ] ^ lím ,/ i7 s ^ ó =v/ÜÍ =V Í 1- Sen(x) 2 © lim x—»0 Cos(x) - JC os(2x) Jim------- 1------ *-0 xSen(x) __________ _____ L =|¡mCos(x)-VCos(2x) _ ,imCos(x)-nWCos(2x) —o xSen(x)xSen(x) L =|im1 >/Cos(2x) _ ^ 1 Cos(x) Ap|jcamos conjugadas x-o xSen(x) *-0 xSen(x) [l ->/Cos(2x)][l +VCos(2x)] [l - Cos(x)J1 +Cos(x)] L xSen(x)[l +>/Cos(2x)] x“*° xSen(x)[l-Cos(x)] , 1- Cos(2x)_______fím 1-Cos2(x) " xSen(x)[l +>/Cos(2x)] x-*° xSen(x)[l +Cos(x)] . [l-Cos(2x)Jl +Cos(2x)] [irn Sen2(x) ” ™ xSen(x)[l +VCos(2x)][l +>/Cos(2x)] ™ xSen(x)[l +Cos(x)] 546 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « O L =lim x - 0 l +Cos‘(2x) -lim- Sen(x) L=lim xSen(x)[l +VCos(2x)][l +VCos(2x)] x-° x[l +Cos(x)] Sen2(2x) 0xSen(x)^1 +-y/C°s(2x)J^l +>/Cos(2x)J _J__ |¡m______ 4Sen(x)Cos~(x)_________1 1+1 x-ox£]+^Cos(2x) J |j +yJCos(2x) J 2 , ,■ Sen(x).. L =lim-- — lim x-*0 4Cos2(x) 1 4 1 1 lim " 'c o s í* xx-*° [i +>/Cos(2x)][1 +Cos(2x)] 2 2(2) 2 2 (¡: 1-Sen Cosí |-Sen L =lim- 1- Seni - 2y Cos 1+Seni 1+Sen Cos|| Usen í Cosli - Sen i C o s l4 + Sen 4 L =lim -*x 1-Seni X Cos^ * j +Senf * Cosí 1+Senj^* Cos2(^)-Sen2( j L =lim Cosí ^ |+Sen Cos| - |1+Sen ¡Ht) WWWedukpeni.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net j j
  • 278. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III O l |in1C0SH +Se'^ ) C0S(^)+Sen('4) f - f S 1+Sení H Sen í?'1 1+1 2 12 © |¡mCos(x +a) -Cos(a - x) x-»0 x a rrrn rw Desarrollamos la suma y resta de coseno: . .. Cos(x)Cos(a)-Sen(x)Sen(a)-Cos(x)Cos(a)-Sen(x)Sen(a) L =hrn----------- -------— — --------------------- L =|im- ^ (x )S e n (a ) =_2Sen(a)|imScn(x) _ x-*0 y *-»0 x l¡mVi +Sen(x) —>/l —Sen(x) Tg(x) Mediante conjugada [V1 +Sen(x) - «/l +Sen(x) +Sen(x) +</l- Sen(x) J : L =lim r « — i — -i Tg(x)| -/l +SenCx) +>/1-Sen(x) Ix—*0 . .. 1+Sen(x)-1 +Sen(x) .. 2Sen(x) L =lim---- r . ____-— , . ... =lim-— — -------------------- Tg(x)[ V i+Sen(x) +>/!- Sen(x)] ~ ° Sen(x) ,/i +Sen(x) + +Sen(x) Cos(x) 2Cos(x) 2 L =lim-7= — , =— -=1 x_*° yj+Sen(x) +yJ]^Sen(x) 1+1 t í!) |im1-C°s(xWCos(2 ^ x-»0 X^ Mediante conjugada |SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www edukperu.com* www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « |j -Cos(x)>/Cos(2x)J[j +Cos(x)-y/Cos(2x) J x_>0 x2|j - Cos(x)7Cos(2x) J . .. l-Cos2(x)Cos(2x) .. Sen2(x) +Cos2(x)-Cos2(x)Cos(2x) L =lim— =-------- - ■—==lim- x-»0 x2[j +Cos(x)7Cos(2x) J x'>0 x2|j +Cos(x)VCos(2x)] Sen2(x) Cos2(x)[l - Cos(2x)] L =lim— =------- ---- +lim- *- ---- x-»0x2[l +Cos(x)VCos(2x)] x-"°x2[l +Cos(x)VCos(2x)] Sen2(x).. 1.. [ l - Cos(2x)Tl- Cos(2x)]Cos2(x) L =lim--- — lim-------- , - lim-— r-p----—---=---- --- =— x_*o x2 1+Cos(x)7Cos(2x) +x_*° x [l +Cos(2x)J J +Cos(2x)J i ri-Cos2(2x)]Cos2(x) L =---+lim------ -----zr--- ---- ,_____________________________ —i 1+1 x-° x2[l +Cos(2x) +Cos(x)<7Cos(2x)J . 1 Sen2(2x).. Cos2(x) L =- +lim--- £— -lim-------- ^ --------- -"a 2 x-.o x x_*°[l +Cos(2x)JJ +Cos(x)>/Cos(2x)J 1 Sen2(2x) L =- +4lim 2 x-° (2x)2 1 1 , 4 L0 + i)0 + i)J — T H 2 U J É ? l limw_kft 4Cos(x)-Cos(2x)-3 .im-------- -------- x-° xSen (x) Reemplazando x =0 en el primer término se obtiene 4. Su resta y suma 4. L ^ lim4Cos(x) ~4» 4-CQ5(2- * ^ .lim - 4|iml z ^ 0 0 x-»° xSen (x) x-° xSen (x) x-»° xSen (x) Aplicando conjugadas: wwv. edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 279. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS J] CAPITULO III 1- Cos2(x) +Sen2(x) ... [1-Cos(x)Jl-Cos(x)] L =lim--------—------ --4lim----- — p=------ =r *-+° xSen (x) xSen (x)[l-Cos(x)j . .. Sen2(x) +Sen2(x) ... 1-Cos2(x) L =lim--- ------- — -4lim x-»° xSenJ(x) x-*° xSen3(x)[l -Cos(x)] . .. 2Sen2(x) +Sen2(x) ... Sen2(x) L =lim---- ------- — -4lim xSen5(x) *-*°xSen3(x)[l +Cos(x)] . .. 2 .. 4 .. 2Cos(x)-2 L =lim------- lim------ =— -----=,=lim- xSen(x) x-*° xSen(x)[l +Cos(x)] x->° xSen(x)[l +Cos(2x)] L __ 2Hm_____1- C0« X)_____=-2lim____ _________________________ x-° xSen(x)[l +Cos(2x)] x-° xSen(x)[l +Cos(2x)Jl +Cos(x)] , 01. l-Cos2(x) 01. Sen2(x) L =-2lim------ =------- ----------==-2lim- x-»° xSen(x)[l +Cos(2x)J l +Cos(x)] x-° xSen(x)[l +Cos(2x)j l +Cos(x)] , oí- Sen(x) 01. Sen(x).. 1 L =-2lim-=-------- V--------=,=-2lim----- lim L = x-° x [1 +Cos(2x)Jl +Cos(x)] x-»° x x-*°[l +Cos(2x)Jl +Cos(x)] -2 -2 1 l-4Cos2(x) x-t38Sen| x-- Hacemos: h =x -— => x =h+— 3 3 1- 4Cos2 L =lim h+^ I 1-4 3 =lim x-*° 8Sen (h) h-»° 8Sen(h) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www edukperu.co^ www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net 1~rCos(h)-V3Sen(h)j 1-CosL’(h) +2^Sen(h)Cos(h)-3Sen2 (h) L =lim— --------------- — =lim-------------------------------- x-° 8 Sen(h) h-° 8 Sen(h) Sen2(h) +2>/3Sen(h)Cos(h)-3Sen2(h) 2>/3Cos(h)-2Sen(h) L = lim--------------------------------------------------------------------------- = lim------------------------------------------ h-° 8 Sen(h) h-° 8 L _ 2y¡3-0 S CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « lim 8 4 Sen2(x)-Sen^(a) [Sen(x) -S' n(a)JSen(x) +Sen(a)] Hacemos: h =x- a => x =h +a: x-a _ |¡m[Sen(h,a)-Sen(a)]|¡m a) +sen(a L h-° h Se sabe: Sen (A +B) =Sen (A) Cos (B) +Cos (A) Sen (B) Sen (A - B) =Sen (A) Cos (B) - Cos (A) Sen (B) Sen (A +B) =Sen (A - B) =2Cos (A) Sen (B) L L. Donde: A +B =a +h ; A - B =a => 2A =2a +h => A =a+-= > B =- 2 2 2Cosía+ hisení - j L =lim------- —----^-^[Sen(a) +Sen(a)] . 2J L =2Sen(a) lim— limCos h-»0 h h-.0 a +- 2 2 L =2Sen (a) (1) Cos (a +0) =2 Sen (a) Cos (a) =Sen (2a) - •• SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net Ú
  • 280. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J & lim x-*0 Cos(x) - Cos[Sen(2x)] L =lim x-»0 Cos(x) - Cos[Sen(2x)] Se sabe: Cos (A +B) =Cos (A) Cos (B) - Sen (A) Sen (B) Cos (A - B) =Cos (A) Cos (B) +Sen (A) Sen (B) Cos (A +B) - Cos (A - B) =-2Sen (A) Sen (B) Donde: A +B =x ; A - B =Sen (2x) => 2A =x +Sen (2x) x Sen(2x) => A =—+------ ; 2 2 B = -2Sen L =lim- x-*0 x+Sen(2x) Sen x+Sen(2x) 2 2 Sen L =-2 lim x-*ot x+Sen(2x) Sen(2x) x+Sen(2x) Sen L =—2(1)lim, x-*ol 2 I"x+Sen(2x) Sen lim- X-»0 lim- x-*0 x-Sen(2x) 2 x +Sen(2x) L =-2lim x-»0 x+Sen(2x) Sen lim- x-*0 x-Sen(2x)j L =-2lim x-»0 1+Sen(2x)llim I 2 2 2x J x-»° |x-Sen(2x) 2 ' x- Sen(2x) 2x CAPITULO III x Sen(2x) 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net * www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =—2(1) lim x-*0 x+Sen(2x) Sen lim- x-»0 x- Sen(2x) 2 L =-2lim x-»0 L =-2lim x-*0 x+Sen(2x) 1 Sen(2x) 2 + 2x Sen lim- x-»0 x-Sen(2x) 2 Sen x-Sen(2x) lim »-o x- Sen(2x) 2 x-Sen(2x) 2x L =-2| - +1 lirn- 2 J*-o í>eu x-Sen(2x)1 x-Sen(2x) 2 -J lim x-»0 x-Sen(2x) 2x L =—3(1)lim x-*0 1 Sen(2x) 2- 2x — í- j- i Cos(mx)-Cos(nx) jH E S lü á lih M f Se sabe: Cos (A +B) =Cos (A) Cos (B) - Sen (A) Sen (B) Cos (A - B) =Cos (A) Cos (B) - Sen (A) Sen (B) Cos (A +B) - Cos (A - B) =-2Sen (A) Sen (B) De donde: A +B =mx; A - B =nx => 2A =x(m +n) A= x(m+n) _ D x(m-n) L =lim? x-*0 -2Sen[x(m +n)/2]Sen[x(m-n)/2] w.v 93 zon SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 281. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) J-2Sen[x(m+n)/2] lm+n I Sen[x(m +n)/2j Im-n L x(m+n)/2 Í¡ 2 ij x(m+n)/22 L =lim3/-2I m+n x-.o| l 2 g|^ |¡m IS e n [ x H n V 2 ] 2 X-°V x(m+n)/2 L =lim?/—2 x-*0 m+n m-n _ Jn* -m .. l-Cos(x)Cos(2x)Cos(3x) lim------------------- - l-Cos(x) L =lim ¡ j ¡ 2 ¡ £ a í 1- Cos(x)Cos(2x)Cos(3x) +Cos(2x)Cos(3x) - Cos(2x)Cos(3x) l-Cos(x) ^ l +Cos(2x)Cos(3x)[l-Cos(x)]-Cos(2x)Cos(3x) »-»o l-Cos(x) _ Cos(2x)Cos(3x)[1-Cos(x)] ^^ 1-Cos(2x)Cos(3x) x-° 1-Cos(x) x-° l-Cos(x) , ,• ^ n i- 1-Cos(2x)Cos(3x) +Cos(3x)-Cos(3x) L =limCos(2x)Cos(3x)+ lim----------- ———— ----------- x-o x-«o 1-Cos(x) 1+Cos(3x)f1- Cos(2x)"|- Cos(3x) L =Cos(0)Cos(0) +lim-------- ^ ------- l-Cos(x) Cos(3x)[1-Cos(2x)] 1-Cos(3x) L =1+lim------ --------- -+lim-—-—-— x-»o 1-Cos(x) x->o i-Cos(x) Cos(3x) í 1- Cos2(x) +Sen2(x)l ] _ Cos(3x) L =1+lim------ ------------------ +lim——-— — x-»o l-Cos(x) x-*° l-Cos(x) CAPITULO III SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edufcpeai.cort www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Cos(3x)i Sen' (x) +Sen' (x)l [ 1- Cos*(3x)lf1- Cos(x)l L= 1+lim------ -------------- —+lim^ ------- - x-,° l-Cos(x) *-*0[l-Cos2(x)J[l-Cos(3x)] L =u lim2Cos(3x)Sen;(x) +|¡m^ Cos(x)] x-»0 l-Cos(x) x-*oSen" (x)[l +Cos(3x)] 2Cos(3x)f1- Cos2(x)l [Sen2(3x) /x2T i +Cos(x)l L =1+lim------- *=-------- ^+limp--- — =¡— —A—------- e! 1 -Cos(x) x-*° |^Sen2(x)j /x2[j +Cos(3x)Jx-*0 ^ 2Cos(3x)[l-Cos(x)Jl +Cos(x)] x-*° 1-Cos(x) Sen2(3x) x2 • 1+Cos(x) +9lim------— lim-- 7— lim- x-»o (3x)* x-»o$en2(x)x-*oi +Cos(3x) L =1+lim2Cos(3x)[1 - Cos(x)]+ 9 =1+2(1+1)+9 =14 l¡mSen(2x +a)-2Sen(x +a) +Sen(a) x-*0 v® . .. Sen(2x +a)-Sen(x +a) .. Sen(a)-Sen(x +a) L = lim---------- ----------- Hlim -------- -------- x-»0 x-*0 y Para el primer límite: Sen (A +B) =Sen (A) Cos (B) +Cos (A) Sen (B) Sen (A - B) =Sen (A) Cos (B) - Cos (A) Sen (B) Sen (A +B) - Sen (A - B) =2 Cos (A) Sen (B) 3x Donde: A +B =2x +a ; A - B =x +a=> 2A =3x +2A=>A =— +a =>B = 2 Para el segundo limite: A +B =a ; A -B =x +a =>2A =x +2A => A =- +a => B =-- 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net X|OI
  • 282. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I 2Cosf— +a jsenl X ] 2Cosí - +a Isenl - X L =lim----^ 2 -■'--- ^ +lim---- ^ — l ---^ - SeníX ] Cosí— +a) Sen L =!¡m----— lim-------- - -lim---^-lirn x—*0 x *-*0 Xx-*0x*-*o Cos +a 2 r f 3xCos — +a L =lim---- ---- --lim x-»0 x x-»0 ) +a -lim x-*0 Cosí +aj-Cosf * +a x x Ahora con: Cos (A +B) =Cos (A) Cos (B) - Sen (A) Sen (B) Cos (A - B) =Cos (A) Cos (B) +Sen (A) Sen (B) Cos (A +B) - Cos (A - B) =-2Sen (A) Sen (B) Donde: A +B =— +a ; A - B =—+a => 2A =2x +2a => A =x +a 2 2 -2Sen(x +a)Sen - Sen L =lim-------------- — =-lim--- x-»0 x x-»0 X (H.limSen(x +a) x-*0 B =— 2 L =-<1)Sen(0 +a) =-Sen(a) Sen(x) Calcular: lim »-o- x+1-Cos(x) Sen(x) Sen(x) lim ~ .S e n (x )------- lim IrC osXx) , ,¡m x+ SgP j x ) *-*o- x+1-Cos(x) x-o- l +Cos(x) x-»o- l +Cos(x) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www eduKperu cora www.solucionarlos,net CAPITULO III L = A lim x-»0 lim x-»0 L = ( EDUARDO ESPINOZA R A M O S « Sen(x) lim 5 *5 2 X-O* x 1 lim —--- ------= X-.0* Sen(x)Sen(x) )jm Sen(x)Sen(x) +1(0) 1 X | x-»0*________X_______ 1+ 1 1+Cos(x) lim[l +Cos(x)l x-*0’ ^l-C os(a)J =1 Tg(x) ^íl-Cos(a)t ^l-Cos(a)tCos(x) —------- — =lim—------- ------- Tg(x) *-*o Sen(x) lim./L— ~ ' J limCos(x) X-°V Sen (x) * | 1-Cosía)} lim x~*0 Cos!(x)]* 1 /"l'V—l Sen '(x)|[l +Cos2(X )] 2v.*y Sen2(x) íjSen3(x) 1+Coss(x )J L-limJ Sen(X) t . L-Jgg<g.O ^ f u C o s V x ) ] “ f [ U l J WWWedukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 283. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III LIMITESTIPOe Calcular si existen los siguientes ejercicios x**2 lim X -#x L =lim x-*x> L =lim X-»* x3+2x +3 , x3+4 f x3+2x+3Y**2 x +4 JBE3BEQ3BÍ Sumamos y restamos 1. ( x3+2x +3v 1+ L =lim 1+ x3+4 . J 2x-1 x3+4 =lim X-+* x3+2x-3-x3- 4 ^ *S x3+4 L =lim X—»OC 1+ 2x- i ^ ) l arreglamos el exponente: x +4 (u«/^y*-«| lim l44,i o _ e— =e w =e lim x—♦« L =lim X-^x L =lim L =lim X-*ot r x2-2x +1N x2-4x +2 Sumamos y restamos 1. 1+ x 2 - 2 x + 1 ' xs-4x +2 / =lim X-#oo 1+ x2-2x +l- x 2+4x-2 x2-4x +2 1+- 2x-1 x -4x+2 arreglamos el exponente: n SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O X'.4j' íl 'I 1+—¡— l x +4J l2x-lj i 2» I '■ XV *4 '- 'i l-*> «*«.J 1(2) 2_ e - = e = e lim x—♦* í— 1[3x+2j L =lim X-»x f ^ ± y s U x +2j Sumamos y restamos 1. .. ,, 3x-4 .. 3x-3x-2x L =limI 1+------1 =limI 1+—--- — x-»xl 3x+2 ) x_M'v 3x+2 3 - « m il- 6 >«-♦*1 3x +2 arreglamos el exponente: L =lim i - — ^ 3x+2 lim „o/** =e— =e O lim(Cos(x)4Sen(x))"x j a r a n e r o s « * } L =lim(Cos(x) +Sen(x))xFactorizamos Cos(x) i i L =lim(Cos(x))xlim(1 +Tg(x))x ; arreglamos el exponente L =lim(1-1 +Cos(x))xlim|^(1+Tg(x)) J Pero lim— =1 Además: l-Cos(x) =2Sens(x/2) x-.0 x L =lim{1-[1 - Cos(x)J x e =lim¡1-2Sen2(x/2)}' ‘ e vww edukpefu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 284. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III L =lim|1 -2Sen8(x/2)| 7/xSen' (x/2) e =e ' ü'e =e Ln(a +x)-Ln(a) lim— i--- ------ . .. Ln(a +x)-Ln(a) .. 1. L =lim---------- — =lim-Ln x-*0 x x-*0 x ^ U mi í i W i +í a ; «-oxl a ) l a L =-limLn( 1+-1 =- Ln(e) =- a *-o l a ) a a limx[Ln(a +x)-Ln(x)] « ■ l i . I M T . M r L =limxLnl ] =lim-(a)Lnf 1--| =aLn(e) =a x-** l v I x-»x g lim x-»0 (x2-2x +3 N x2-3x +2 Sen(x) L =lim X-.0 Sen(x) fx2-2x +3 >| * x2-3x +3 ,.k Scn(x) lim X-fac x —1 x2+1 L =lim X-»* I fx2- 0 X-fl í, x2-l ^ “ í— =lim 1+ „ 1 ^X +1J X-#«l x —1 J SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net .corn www.solucionarios.net CAPITULO III C EDUARDO ESPINOZA RAM OS « ( X2 - 1 - X 2 - 1 ) L =lim 1+--- 5----- x-*^ x +1 , x-l x-1 x*l ( O ^x*1 . | ¡m 1+ ’ x-^V X +1 =lim X-4* 1+X- +1 2 v-i *4-1 L s e " «•♦i'**1=e0(1) =e° =1 ( »,2 . 1lim x— x +1 Vx2 -2 L =Jimf x - 2 =lim 1+ y =“™(i+-x -2 © O L =lim X-*« X 2 , 1 lim 1--§ — _ e — x*-2 _ e x- _ e 1-0 — 0 Iim</1-2x x-*0 L =l¡m/l-2x -l¡m (t-2x)'' =lim^ .a - -Av / v__*nx-*0 l l m í í í í j x - a) ( 1 - 2 x ) - * x =e j a á l í l i S ü í B Í =lim Sumamos y restamos 1. *-»«^x-a ) x-»«i x-a ) x-.ii x-a SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 285. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) arreglamos el exponente L lim x-a 2a V* x-a =e O lim _ +2x+3^ l x3+4 J L =lim ^x3+2x +3 x3+4 1-XJ Sumamos y restamos 1. L =lim x~*x x +2x +3 1+-------- x3+4 -1 =lim X-4X 1+ x3+2x +3-x3-4 x3+4 lim X_íí (. 2 x - lV x-' l, x +4 (2x-i)(i-if) (x^+4)x =e Dividiendo entre x4ambos miembros en el exponente: (2x-l)(l-x L =e O lim[l - Sen(3x)}‘* L =lim[l -Sen(3x)Jx =lim|[1 -Sen(3x)J-s«<3>o -Sen(3x) l__1 2x _ e — 3x ?J 0 !™ (x+e’ )“ CAPITULO III 3 e"2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 'mem=e2m 0 lim(x +e‘ )- — ■ T .n ira w r L =lim(x +ex)x=lim(exH — +1 =lime x-»0 - i +i lim— . 9 =e.e'^e =e.e =e.e =e' 0 (x +a)* 1(x +b) lim------ v x~** (x +a +b) x+b I 2x+a+b i r (x+ar ( x , b r (x+a r ( x + b r (x+a+b)2x^ b X-Mc(x +a+b)' d(x +a+b)* (x +a)w (x+a)x ( x+a L =lim_ i-------------l------ lim—- — - =limI (x +a+b p x^ (x +a+bf*b x^ U +a+bJ x+a x+a lim. x-*l x+a+b L =|im[l +_ ü l ^ - 1 | |imíl +- ^ - - l *-**^ x+a+b ) x->*v x+a+b x+b „ x+a-x-a-b . .. L =lim 1+------- ---- lim x-»*l x+a+b ) xt-a / 1+ x+a-x-a-b x+a+b 1+ lim X-4* 1+ x*b a i x+a+b J L =lim X-** 1- x+a+b b ^ b x+a+b -b(x+a) lim x-»x 1- x +a +b -a(x+b) x+a+b www.solucionarlos,net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 286. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) lim -b[WÍ| -a(u5, lim — — - lim 1+’— 1« L — 0*'** *~a*b g 1-“ x-ra-b _ 0 x 0 x _ 0 _t:>0 _a = 0 _(a*b) Scn(^) L =lim x-*0 JB S 2 E M M Í '^l +S e ñ ^ x )!5“ ''® 1= lim[l+Sen(^3x)]*"<®> <D L =lim i (i +sen^/3x)“ ,^ s< =e^ lim X-*X J lóxSení ^ J UxJ HA) L =lim X-^x 16xSen ¿) xSen¿) 1 Hacemos h=— de donde: x =- 4x 4 L =lim 4 xScn— 3x =lim h-+0 4 r Í- M,4xJ_ ¡4 j16xSen ^ h.Sen(h) W í) OLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net CAPITULO III WWW edukperu c o r ' www.solucionarios.net cu.mLom ............................................................................................( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L =lim h-»0 7 Sen(h) =23=V2 O lim X - .0 Ln(x +h)-Ln(x) Ln Ln(x +h)-Ln(x) i x , „ L =lim— ---- ----— =lim— -----=lim- x+h Ln 1+ x 1 x-»o h x- *° h =lim—LnI 1+- x-*0X V X L =- Ln(e) =- x x Q lim x-+0 1+TS(x) 1-Tg(x) i Sen(x) L =lim x-*0 1+Tg(x) l-Tg(x) _i_ Sen(x) =lim x-*0 1, HTg(x) 1 1-Tg(x) Sen(x) lim x-*0 1+ 2Tg(x) 1+Tg(x) i_ Sen(x) L =lim x-»0 1+ 2Tg(x) Í+Tg(x) i*Ta(x) 2TS(X) ___2TS00____ Sen(x)[l-tTg(x)] lim 0<S* *oScn(x) =e (t-Ts(x)) =e1=e2 © lim x-*0 UTg(x) l-Sen(x) __i_ Sen(x) L =lim x-»0 UTg(x) l-Sen(x) i Sen(x) =lim x-»0 } | 1+Tg(x) 1 l-Sen(x) i Sen(x) vww.9djkpeai.com www.solucionarios.net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 287. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III L =lim X-.0 1+ Tg(x) +Sen(x) 1-Sen(x) Sen(x) =lim x-*0 1+ Tg(x) +Sen(x) 1-Sen(x) I-Scti( x) Tg(x)*Sen(x) Tg v •s*’iv v Scni •)[! Scri v j k m t S f í t ' i ^ T ^ x H Stn OQ _ L _ l»Co»(x) U i L = e ‘ -0,-Sen<*) = e - -o l-Sen(x) Scn(x) _ g . v>Cos(xX1-Scn(x)) _ g | _ g 2 0 limí^-^Cosíx) ^ R iT »n i;i.r:— r i— — — — 1 L =lim ^2-VCos(x) Y =lim[l +1-VCo¡00]^? L =limTi +1- yJCos(x)l 2x* =limjl +=---— ^ ^X------- ~ oL J ~ 0} [i +>/Cos00][l +Cos(x)] Arreglamos el exponente, multiplicando y dividiendo entre Sen2(x) 2x* |j +7Cos(x)J[l +Cos(x)] L =lim x-»0 1+ Sen2(x) jj +>/Cos(x)J[l Cos(x)] fl*>/Cos(x) j [UCd»(x)] Sen’ (x) SenT(x)_________ 2x’ p»^C<HCx)j[UCo»(x)) l = e ' ^ * 2|_l+,/Cos(x)J[1»Cos(x)] = e W i X « * 1 ) J i limfCosCx)}1 J K é l ü M i U Í L =lim[Cos(x)} =lim[l +1- Cos(x)p =limj 1+2Sen Vl«* SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukperucoro. www.solucionarlos,net CAPITULO III Aneglamos el exponente multiplicando y dividiendo entre 2Sen“| —J: ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « L =lim X-.0 1+2Sen‘ X 112Sen: 12 x* lim2 =e ( í x W i h *j H silv«y lim-u-*o2oí X =e 2 =e¿ O lim x-0 Cos f ¡7~ 5a L =lim x-»0 L =lim x-*0 v- x yj Cos JM ^TTfnWTilM r 1+2Sen =lim x-*0 1 f e 2 V x 1+1- Cos =lims 1+2Sen: x-»0 1 f e 2 v x im O lim x-»0 C»S(x) lim x—*0 (ex+x) T8(x ) (1+Sen(x))’< (ex+x) TS(x) Ctg(x) (i +Sen(x))* j (ex+x)’ =lim-- 1 - lim x-»0/i . r - __/..W ' x-*0 ex 1+ '(1 +Sen(x)) Co»(x) (1+Sen(x))s*n(x) =elim x-*0 x2 C* X (1+Sen(x))Sen<x) e =e.- =eCo*(x) g wwvi edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net r
  • 288. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS u CAPITULO III 0 lim[Sen(x)j |Tg(x) n L = lim[Sen(x)]19'' Hacemos h =x -^ => x =h+^- X“*2 Ts(h+i)"A^lCo*íh)]°* L =lim h-*0 H)l L =lim[l -1 +Cos(h)] =lim[l -(1 +Cos(h))] Pero l-Cos(x) =2Serr [ - L =lim h-*0 1-2Sen | - Ctg(o) h_<0 h_^, Sen(h) i>-«o h k-*o Sen(h) =e =e h , Co»(h) . - lim — — lim— -— I M S t n ( l i M 2 _ 2 L =e © lim x-»0 ' cos(x) y Cos(2x) J L =lim x-*0 r c o s o o y .p n , Cos(2x) J *-° m m m in n r'V m r 1 t Cos(x) 1 Cos(2x) L =lim x-*0 1+ Cos(2x) Cos(x) - COS(2x) "[Cos(x)-Cos(2 x)] |Cos(x)-C<»(2x)] x*Cos(2x) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu.com^ www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « I CostxJ-fos1(x)-Sen* (x i <o*i .<i ím . >)•!*"• — b ' * ° xtCot(2x) L =e' L =e'" =e xsCos(2x) 2 Cig*(x) =e =e- L =limi I +x* )C*=lim (l +xL) *-♦0' ' x--*0 ' / — Cos*(x) L =lime (x) =e x-»0 x‘Ctg*(x) U2>/x Solucion i I L =lim(l4-TgVxj2^ =lim (i +Tg>/x)Ts^ TgVx i =e2=Ve © lim[Cos(x)Jen(x) i i L =lim[Cos(x)J«(7) =lim[l -1 +Cos(x)]5«"<*") L =lim[l-(l-Cos(x))]s«»(x) Pero 1-Cos(x) =2Sen2[ - L =lim x-»0 1-2Sen2| - Sen(x) =lim x-*0 l-2ServM - -(f) "’(i) Sen(x) v.-A, ad :kp? com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net r
  • 289. www solucionarios.net -“ "111 ...M l » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) L=p M l M D =e lim •■«o_ I x Cos^ * =e° =1 CAPITULO III o Ln[Cos(x)] lim i . ,imLn[Cos(x)]_ |¡mLn[!-1 +Cos(x)]_ ||mLn[l-(1 -Cos(x))] x-*0 y 2 x-*0 lim x-*0 -2Sen! Ln L =lim- x-*0 1- 2Sen2 - Ln =lim- x-»0 1-2Sen! - Hi] -2Sen2 L =lim x-»0 1-2Sen2 - L =lim- x-*o2 Seni-''^ .Ln 1- 2Sen2[-1 w (!) =-- Lne =- - v2 2 2 © lim x-*0 Sen(x) Scn(x) x-Sen(x) JMPriTiirgr.i; — 1 L =lim Sen(x) Sen(x) x-Scn(x) =lim '1+vSen(x) ‘ x-*0 X x-»0 x Serif*) x-Scn(x) L =lim x-*0 1+ Sen(x)-x SofHx x-Sen(x) Sen(x) =lim- x-»0 1+ Sen(x)-x Sen(x)-x Sen(x) Um =e^° * -=e = SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukoaru c o n i. www solucionarios.net CAPITULO III [ EDUARDO ESPINOZA RAM OS « 0 LnrCos(ax)] lim—p------ i x-oLn[Cos(bx)J Aplicando el ejercicio (31) se tiene: lim , x-*0 x Ln(cos(x)) i im--------—=-- 2 Ln(Cos(ax)) (ax)*Ln(Cos(ax)) lim— ;--- ;— -( =|im— . x x->0Ln(Cos(bx)j x“*°u2 Ln(Cos(ax)) b ' (t a f =-^rlim Ln(cos(ax)) (ax) b" x-»° Ln(Cos(bx)) b2 T b x T 1 2 ) Ln(l +ex) lim — >---- Ln(l +ex) ex . > ex L= lim — ------= lim — Ln(l +exV' =e. lim — X-*-oc V X—♦—x Y ' ' Y L =e. lim e* =e.e^ =e.— =e.O=0 x-»-« e* nm LnCLL^) j B t l i l S i i ì l i W È Lnex Ln(l +ex) c lim — ----- lim------ ^ l i m x x-**« x 1 e Lnex+Ln^1+— ex WWW edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 290. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS = lim *-♦*/ xLn(e) | LnM +e Ln 1+ ex =1+ lim - X—* xe =1+ Ln(e) lim x.ex O 3__ 'JÍln(x) 3 3 Hacemos y =^>/x => Ln(y) =Ln^>/x 3 . / r 3 Ln(x) Ln(y)= 1+V3Ln(x) Ln( >/x) = limLn(y) =lim 1+>/3Ln(x) 2 Ln(xj x-o *-+<>]+J3Ln(x)’ 2 dividiendo entre Ln x Ln(y) =lim x-*0 Ln(x) _úrx _ Z?x e -e => y =e lim- x-° Sen(ax) - Sen(/?x) l'lTTTT'lWr eax-1 Aplicando el ejercicio: lim---- =a lim eax-ep* x-*0 y (e"x-l)-(e^x- l) =lim x-*oSen(ax) - Sen(/?x) x-*oSen(arx) - Sen(/?x) XK. .. eox-1 e*-1 a-/? x-»o Sen(ax)Sen(/?x) or-/? arx /?x a. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net CAPITULO III 1+0 = 1 3 mil 3 »J wwv. eduKperu com/ www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « lim Sen(2x) Ln(1+x) dBEWtiMTiT M . .. Sen(2x) L =lim----— =lim Sen(2x) .. 2Sen(2x) ------ lim------- x 2x © x-*oLn(1+x) x-*oLn(1 +x) ¿ Ln(e) ’ limLn(x +l)x =2 x x-»o lim x~»ac Seni - i +Cosí- Hacemos h =- de donde: x ->00; h ->0 x L =limrSen(h) +Cos(h)"f' =lim Cos(h)h 1+ h—0L J h-*0 L =Hm[l -1 +Cos(h)^ lim[l +Tg(h)}> L =Mm|l -[l-Cos(h)Jh|nm[l+Tg(h)]^ôô Z ■ _ i_ [l-(l-cos(h))]'-a*(h) Sen(h) Cos(h) T8(h) i_ 1~ =lim h-»0 l-cos(h) 1 1iT~ 11_ ,-costh) .e " =e n .e =e .e =e lim x~*ñ Vx-Ta 2 Æ +l 2 i j L =lim x-+a T i kT^ 1 1x 1 =lim +lim y x W s r ^ à ) x-»a Tx-Va X->d l aJ vwvv Qdukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 291. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO III L =lim x-*a L =lim x-*a (Vx - Va)|Vx* +Vxa +Va^)(Vx +Va j (Vx - Va )[Vx +Va j|Vx^”+Vxa +Va’7j (x-a)(Vx +Va) +lim x—*<j a-x ]a~x +lime X -+ Ù (x - a) V ? +Vxa +V i" Se si hace h =a-xen el segundo limite: L =lim Vx^ +Vxa +Va2^ +lime h->0 2Va “ (=) 2 *"í?l L =—W +lime ^ =— =r+lime e *= 3Va h-*° 2 i4 +e * a O lim x-»0 ax+bx+cx L =lim x-»0 ax-fbx+cx =lim x-*0 1+ ax+bx+cx f ~x ■ux ■~x -1 =lim x-+0 1+ ax+bx+cx-3 L =lim x-*0 a*+b*+c“ -3 ' ax+bx+cx-3N 1+----------- a"+b*+c'-3 3x a*+b*+c*-3 a**b*te*-1 =lime 3x =lime 3x x-*0 x-*0 a"-1 b*-l c*—1 L =lime 3x lime 3x lime 3x x-*0 x-*0 x-*0 En cada límite: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net WA'w.edukperu.cóc www.solucionarios.net CAPITULO III f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « m =ax- 1 ; n =bx- 1 ; r =c*- 1 ax=m + 1 ; bx=n + 1 ; cx =r +1 Ln(m +1) Ln(n +1)Ln(r-fl) X~ Ln(a) ' X~ Ln(b) ' X Ln(c) mln(a) nLn(b) rLn(c) Ln(a) Ln(b) ln(c) i - |ime3Li,(m*,)lime**"*0limé3UKf*1>= lime3ü1(m,,)lime3Ln<n*1) " lime31*'*0'm-»0 n—*0 r-0 m-0 n-*0 r-0 J*J1 iíM J£<£> Ln(a) WW ^.»1 i : J L _ e3ui(e)e3Ln(oe3Ln(c) _ e 3 e 3 e 3 _ e 1 e e =a3b3c3=yabe t 1 1 o 8X- T lim- x-*o 6 X- 5 X _____ 8"-1 +1-7* 8“ -7* 8"-1 +1-7" x L - ¡ f f i s c y - S 6. _ 1+1_ 5- = Ü 3 y - u i ^ X =lim 8X-1 7X-1 v Lnf?' Ln(8)-Ln(7) { 7 , x->o6X-1 5X-1 Ln(6)-Ln(5) j f 6 © lim x-*0 Ln(l +x+x2) +Ln(l-x +x2) L =lim-^Ln(l +x+x2) +lim-í7Ln(l-x +x2) X _ » ° X ' x-* °vx-+0x* L =lim— Ln x-+0 I (l +x+x2)x*+x IX*+x + lim-^-Ln x-+0x (1+x2-x)x’- wwa edukpe'u corr SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 575
  • 292. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO III i r x‘ +x .L =lim— — Ln x-»0 x (l +X+X2)’t^*,, 2 |. X‘ -X. +lim— 5—Ln x-0 x (l +x2-x)**-* x+1 x—1 ^ .. 2x 0--- +--- =lim— =2 x x ) x-° x L =Ln(e)lim +Ln(e)lim-—- =limi v x-»0 x x~*° x x-«0^ j s & D ^ e o r ’ __________ _ g g ¡¡¡¡¡¡¡¡[^ L = lim [i +Ctg(x)]Sp' x>; Hacemos h =x-^ ; x =h+- 4) L =lim h-*0 1+ Cos| h+^ Scci h+9 =lim h-*0 ■, -Sen(h) Cos(h) -Csc(h) _- 1 _ 1 'Tg(h)Csc(h) (jm_ L =lim [l-Tg(h)]T^>[ =e _ cos(h) _ e -l _ 2 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I www.solucionarios.net www ©ijukperu,ooni www.solucionarlos,net _______ ASINTOTAS _______ Hallar las asíntotas de las siguientes funciones % y(x-3)2 =x2 +9 (x 2+9) f(x) =----- 7 Dominio: D ={xe'K/x^O} (x“ 3) CAPITULO III ( EDUARDO ESPINO ZA RAM OS « La ecuación de la recta es: y =mx +b ; m: Pendiente: 1+? 1=lim— — — =0 *-»* x *~>xx(x-3) ^ 00 , f(x) .. (x’ +9) m=lim-^ -1=lim v ■ H J (x2+9Ì b: Intercepto: b =limff(x)-mx]= lim-----1 =limv kr J v k-r 9 x* _ 1+0 ( x _ 3) *-~r 3V 1-0 x =1 Puesto que la pendiente es cero, la asíntota es horizontal en y = 1. Existe además una asíntota .ical en x =3. Su grafica es: x2(x +y) =a2(x-y) www Muípuru com SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÀTICO I www.solucionarios.net
  • 293. www.solucionarlos,net x2(x +y) =a2(x-y) => x3+x‘y =a‘x-a‘y => x2-a‘x =(x +a )y » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J ....................................................................CAPITULOJU 3 2 y =x • a x Dominio: D={xeüR} La ecuación de la recta es: y =mx +b Luego cuando x -»oo: .. f(x) x —a x x2 _ i * m: Pendiente: m =lim--- =lim-—¿— ít - lim ~f ~ x x-~ x(x2+a¿) *-*• a í x 1- * Intercepto: b =lim x -a*x' -2a2x i X =lim o o > X-xc Lx +a J =lim X-*X / n O 2a __x_ .1 +4 . V. y r j b =0 La asíntota: y =x Luego cuando x -> -oo * m: Pendiente: m= lim x f(x) x3-a2x x2 _ -, = lim = lim ——-— rr = lim----r- - -1 :(x2+a! ) — i +5- * Intercepto b =lim / 3 9'x -a x — T--- — + X ( 0,2 = lim X-#-Of -2a x .2 , =lim x* +a‘ ) x-*x , i + 4 . v * ) b =OLa asíntota: y =-x * Asíntotas verticales: No hay xy2-3y2-4x =8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . NARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net xy2-3y2-4x =8 => y2(x-3) =4x +8 => y = ^ CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « _8 3 Dominio: D.= {xe^H/xe<-oc(-2]U<3, oo>} La ecuación de la recta es: y =mx +b Luego cuando x ->oo: m: Pendiente: m= lim = lim - -8 =lim i 4+8/x- =o x_*^o x x- ~ 'X V x - 3 x-~ Vx(1 - 3 / x ) asíntota horizontal *. . . . . . 14x +8 .. 14 +8/x * Intercepto: b =limJ ---- = lim . ------ =2 X-3 X—<r 1-3/x b =2 La asíntota: y =2 * Asuntota verticales: x =3 y =>/x2+x-x __________ La ecuación de la recta es: y =mx +b Luego cuando x ->oo * m: Pendiente: m=lim^-^ =lim x+ x—- =iim x +x x :(>/x2+x + xj m=Jim . — =O Asíntota horizontal *“**vx2+x +x * Intercepto: b =lim(-Jx2+x - x) = lim X_ X X- = lim - ■ X — x-^ / x-*-« / x2+x+x X**t>/x2+x +x SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 294. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) b = lim 1 1 +1 * Asuntota verticales: No hay 2 2 2 xy +yx=a~ 2 2 2 xy +yx =a => y = -x2 ±>Jx* +4xa‘ 2x ; Dominio: D ={xe'JÍ} La ecuación de la recta es: y =mx +b Luego cuando x -* oo: * n ~i- * i- f(x) i- -x2±Vx4+4xa2* m: Pendiente: m=lim =lim-------5----- x-*® x x-»® 2x m=lim X->X 1jL1 lx', +4xa2) ,. f 1^1 11 4a2" - 1 ± - J--- 5-- =lim — ±—J 1 +—— 2 V x2 *-*- 2 2 V x3 m =0 ; m =-1 * Intercepto: b =lim -x2>/x4+4xa" 2x ■+x = lim x2->/x4+4xa3 2x b =lim x-*x b =0 x4-x4-4a3x 2x(x2 W x 4+4xa3) =lim X-MO -2a3 vx2 +Vx4+4xa3 La asíntota y =-x ; y =0. Asíntota vertical: x =0 f(x)O t O O - x g CAPITULO III SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu qóm www.solucionarios.net CAPITULO III c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: m=lim ^^ ; b= limff(x)-mx] X-*» X X-^oO Luego cuando x ->00: * Pendiente: m=limJ ^ =lim x-»x x—a x_*x‘ i+ i 1-? =1 * Intercepto: b = lim íx +a =lim [i 1+ 1-a -x Luego no hay asíntota oblicua * Asíntota vertical: x =a x2(x-y)‘ -a2(x2+y2) =0 jaBiM3HKWÚ x2(x-y)2-a2(x2 +y2) =0 => x4- 2x3y +x2y2 -a2x2-a2y2 = 0 y2(x2-a2)- 2x3y+ x4-a2x2 = 0 => y = 2x3 ±^4x6-4(x4- a2x2)(x2 -a2) 2 (xs-a2) 2x3± 2 x Jx 4 (x 2 a* )(x2 a^) -2x3±2xVx4- x4+2a2x2-a4 y=--- 3-;---------=----- ;--------* _ / o o ^/ o o 2(x! -a! ) 2 (x! -a*) www-9dukperu.com . , SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net
  • 295. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III xJ ±xa¡2x2- a" . • • n i «/ ± a ay = ------------ — -------- . Dominio: D = x e S.K/x * ±a a x <— = x>-f=. & n/2 La ecuación x ->oo * n .. f(x) x ±xaV2x -a“ x2±a>/2x2-a‘ * m: Pendiente: m=lim---=lim---- 7—— —— lim x-* x *-*x xl í¡2x¿ -i m=lim 2l ± * 2 2 x — ------=lim (x! -a2) V l±a 2x -a 1±a, =lim 2 a2 =1 ^Intercepto: b = lim x ±xan/2x 2 - , =lim X-*ac x3±xa>/2x2 - a2 - x3 +xa2 2 2 x -a b =lim ±xaV2x2- a2 +xa2 x2 - a2v ' =lim a>/2x2 - a2 a2±—------ +— 2 2 x -a b =lim X-MC» f 2x2- a2 a2 2 2 2 -a-+-a x2 X =lim X -*x x2 X ’ - 4X * = ±2>/2 Las asíntotas y =x ±2>¡2. * Asíntotas verticales: x2 - a2 =0 => x =±a y = Vx2 - 1 m w m fw SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I cqijp. www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Dominio: y = x2-1 >0 => (x - 1)(x + 1) >0 -1 1 Df =<-00,-1>KJ<1,+0C> La ecuación de la recta es: y =mx +b, luego cuando x ->00: * m: Pendiente: m=lim ^=lim— -=lim -, * =lim -r. =lim ;— =1 x - x x *-*« x v x 2 - 1 x_Me v x 2 — 1 Xs - 1 * Intercepto: b =lim(f(x) - mx] =lim W fí í x - ^ T l =lim x X-*cr,Vx'-1 J — l s/x’ -l b =lim x x-*ac x2- x 2+l = lim x-*x X 1 x1ro 1 ?■ + X fx2- l ) b =lim X-*» =0 La asíntota: y =x * Asíntota verticales: x2-1 =0 => x =± 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 296. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J ....................................CAPITULO III 4 y =|x+4|+ Dominio: |x|-3*0 => x*±3 => D ={xefl/x*± 3} La ecuación de la recta es: y =mx +b, luego cuando x —» oo: / a I X-*X X x-*x f(x) * m: Pendiente: m=lim---=lim x +4 4 x Ixl —3 =lim x-*x ! 4 4 I 11+ - + ---- - 1= 1 x x-3 Intercepto: b =lim[f(x)-mx]= j‘i™^x+4+^3^ -x j = ’li^ [4 +^ T b =4 ; La asíntota: y =x +4 Ahora cuando x -+ * m: Pendiente: m=lim ^^ =limí X — -t----1=limf—1——— "^[1=_1 x-»* x x -x-3 J x x+3) * Intercepto: b =lim[f(x)-mx]= lim^-x-4 +~x~~ +xj b =limí -4— — |=4 La asíntota: y =-x- 4 X-*x x-3 * Asuntotas verticales: |x|-3 =0 => x=±3 ___________ x^__________ ^ x4-12x2+2x3-8x +32 x2 v= - rx4-12x2+2x2-8x +32 (x-2) (x +2)(x +4) Dominio: D ={x e ÍR /x * ±2, x* -4} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.edukperu.catT;^RIO ANÁLISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO III i EDUARDO ESPINOZA RAMOS « La ecuación de la recta es: y =mx +b, luego cuando x -» oo: * m: Pendiente: m=lim ^=lim x—fc* y x-*x x4-12x2+2x3-8x +32 =lim x-*x , 12 2 8 32 1 ---- J + -------3 + _ T V X X X X y =0 * Intercepto: b =limff(x) ->mxl= lim V-AT •• ”■* V -----------k ( x4-12x2+2x3- 8x+32 b =lim x-*x , 12 2 8 32 1 --j +--- 3 +~ V xx x x y =0. La asíntota y =0. x2+3 Vx2+1 La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: f(x)m=lim---; b = limff(x)-mxl x-k* X x-^oc J Luego cuando x -►»: x+ 3 . 3 X2 + 3 2 2 * Pendiente m= lim— ; =lim— ,x— =lim x x^® xVx2+1 x>/x2+1 x^ ^x2+1 i 3 . 3 1+-* 1+~2 m=lim =lim : x - =1 x— x2+1 x- , 1 V x2 V x2 www.edukperj.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 297. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III * Intercepto: b =lim í 2 r>x +3 í x2 =lim - X +lim b =limx X-*® ,V x 2 +l J ^ U x M J v” n/x2+ 1 X-Vx2+1 A >/x2+1 /2 w2 +0 =limx x*-x '-l Vx2+ l|x W x 2+l) b =lim x->* í x 2=lim X-f* (_ 1 X J x 2 + l| x + V x 2 +1 X! / JH)(-H)y b =0; Luego la asíntota: y =x Luego cuando x -> -oo x2+3 3 ♦Pendiente: m=lim X =lim— ,x =lim x c>/x2+ 1 x-* xn/xs+1 x~ ^ x 2+1 i 3 i 3 1 + - j 1+ T m=lim—======- lim , x =-1 x— xs +1 x-*. ! V“ ? " V x2 * Intercepto: b =lim =lim ( 2X + X +lim b =limx X-*T Vx' +l J " V x M J " * V x! +1 Í X - 7 7 7 T1 +0 =limx x-»* ^ x2+ l(x + Vx'J +1J SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.có www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O b =lim X-*oe Vx2+1(x +Vx2+.l) =lim x-»® 1+¡?)(,+R b =0 Luego la asíntota: y =-x f(x ) = x2+2x-1 MMaHHtfHHalaÉHHi La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: m=lim^-^ ; b= limrf(x)-mx] x-*oc ^ x-**L J Luego cuando x ->»: * Pendiente: m =lim 2x—-=limf 1+---^- 1=1 x-« X‘ x x* * Intercepto: b =lim f x2+2x-l'| =lim í x2+2x-l 'l --------------------XX-+*l x J X~MCl x J x 2 + 2 x - 1 - x l’ 2 x — 1 b =lim-----------=lim---- =2. Luego la asíntota: y =x +2 x-mc x x-»* x O f(x) =3-2x- Vx2+x- 2 a m n v m v m k f La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: f(x) m=lim---; b =limrf(x)-mxl X-*oo X x-weL J Luego cuando x ->oo: www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 298. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................CAPITULO III * Pendiente: m=lim X-KC 1 -2 - x >/x2+x-2 =lim X-*cr x2y -2 m =-2- 1=-3 t * Intercepto: b =lim x-*« 3-2x +3x b =3+limx X-»ac b =3+lim x-*« Vx2+x-2 ^>/x2+x-2-x >/x2+x-2 , x2-2x =lim x-*x .23+x =3+limx X-4* x2+x-2-x2 Vx2+x-2(Vx2+x+2-xJ Vx2+x-2(Vx2+x-2 +x) f(x) = b =3+lim X-** 1—x i- * X r ~ ¡ 2~í n 2" (1+---2 P +--- T +1x x2 x x¿ =3+- =- => y =|-3x 2 2 2 x -4 La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: m=lim— ; b =limff(x)- mx] x-*« x *-♦* Luego cuando x -» «: / ‘ f l SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net www.edukperu com www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « 1 X * Pendiente: m= lim—— -- r = lim ♦*x(x2-4) x-* ( 1 1 l j - 4 J V x¿ ) =0 (asíntota horizontal) í 11- X2 y* * Intercepto: b =lim—— ---r =lim —— — x~*xx(x -4) x-* 1_ JL < x2j * Asíntota verticales: x2- 4 ’=0 => x =±2 =-1 O f(x) = x-5 x -7x +10 La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: m=lim^— b =limff(x)—mx] X-*X X X—+'X -* Luego cuando x ->oo: ♦Pendiente: m=lim-. . .... _ x— x ( x 2 - 7 x + 10) x- « 1_ Z + ]0 x x3 1 5 2 2 =lim x _ x-_-=0 (Asíntota horizontal) Intercepto: b =lim 1_ 5 X—5 .. X X 2 r =lim ■■-■■■■=() x- x X2 - 7 x +10 x-*®i_7 , 1P 2X X 1_ 5 x“ 5 * * Asíntotas verticales: b =lim—------- = lim—x—■-x— =0 ~ * x 2 - 7 x + 10 x-* , 7 10 2X X * Asíntotas verticales: x‘ -7x +10 = 0 => (x-5)(x-2) =0; x =5 y x =2 wwvk.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 299. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III O f(x) = x2+2x+1 La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: b =lim[f(x)-mx] , f(x) m=lim--- x- .* x Luego cuando x ->oo: . _ .. x +2x+1 .. ( A1 1 i - * Pendiente: m=lim---- 5---=liml ]- +— I=1 x-*» x X-Me x x ♦Intercepto: b =lim X-** { x2+2x +1 -x =lim 2x +1 =lim x 1 x-* 2+- I=2 de donde: y =x +2 x Luego cuando x -+-00 . _ x +2x+1 f1 1 1 1 1 * Pendiente: m=lim---- ----=lim 1h— 1—=-I=1 X-** X X X * Intercepto: b =lim V+2x+1 -x =lim 2x +1 =lim| -2+— x_K'l x ) x =-2 O * Asíntotas verticales: x =0 2x2+5x-8 f(x) = x+3 La ecuación de ta asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: m=|jmí^2 ; b =limff(x)-mx] X-»* X X-WC1" SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wwvk.ed'jkperu.coTs www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Luego cuando x -►»: * Pendiente: m=lim 2x2+5x-8 =lim x +3x *-** ( S S ' ' x x" 1+1 V x ) =2 * Intercepto: b =lim ^2x2+5x-8 0 x - 2 x =lim X-*00 2x2+5x- 8-2x2- 6x 1 x+3=limÍ-X-81X—/ l x+3 J b =lim ____x 1 + 2 V x ) =-1 de donde: y =2x - 1 Luego cuando x -00: . n .. 2x 2 + 5 x - 8 .. * Pendiente: m=lim--------- = lim *-*-* x +3x *-*-* ' * + M 'X x~ 1+2 V x y =2 * Intercepto: b =lim x->» ^2x2+5x-8 0 , .. ---------- 2x =lim x+3x I x~as ^2x2+5x-8-2x2-6x x+3f =lim X-f* -x-8 x+3 b= lim X—>00 ______X u ® v. x y =-1 de donde: y =2x-1 0 f V 9x - 6x- -6 8 La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 300. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III O * Pendiente: m=limi iX - »X x ^ 16x +4x-6 .. 1 — ------- =lim- 9x‘ -6x-8 x-**X' 4 6 16+r ? =i ii6 =0 q _ 6 _ 8 ooV 9 ' 2 X X * Intercepto b =limrf(x)-mxl= lim W -* ¥-»7 La asíntota es horizontal: y =— 3 16x2+4x-6 9x2-óx-8 , . 4 6 16+ — r X X‘n 6 8 J 9----- j X X |16_4 9 3 ■4 •4 „ , ¡x4-5x2+■ _ _ _ _ _ WkflT W iif La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: m=lim ; b= limff(x) - mx] X-»« X X-HCU * Pendiente: m=lim— x Vx -5xE+4 _ |jm I x‘ -5x* +4 _ |¡m X X +2x-24 x-^x2(x2+2x-24) x~*gj 1i 2 ^ * Intercepto b =lim[f(x)-mx]= lim íx4-5 x 2+4x 2+2x-24 =lim >/x4-5x2+4 -x>/x2+2x-24 Vx2+2x-24 Aplicamos conjugada: 592 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net WiYVV.ed'..*,'’*''- www solucionarlos,net CAPITULO til ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « b =lim X-*oo |Vx4-5x2+4 -x>/x2+2x-24](>/x4-5x2+4 +x>/x2+2x-24 | >/x2+2x-24 |>/x4- 5x2+4 +x>/x2+2x-24 ) x4-5x2+4-x2(x2+2x-24) b =lim— ------- ------- --------- x‘TVx2+2x-24 |Vx4-5x2+4 +x>/x2+2x-24 j b =lim 19x 2 + 4 - 2 x 3 Vx2+2x-24 í >/x4- 5 x 2+4 + x 7 x 2+2x -24 b =lim 19 4 - +4 - 2 x x3 (x2+ 2x-24 I x 2 +2x-24 b =lim X-*oo 1- +— -2 X X V x x I V x x V x x 24 2 -2 1+1 =-1 de donde: y =x- 1 f(x) =/ 9x - 6x- 8 16x2+4x-6 La ecuación de la asíntota tiene la fómula: y =mx +b, donde: m=lim ; b = limff(x)-mxl y —«cc * Pendiente: =l¡m-JX-»®X V 9 x 2 - 6 x - 8 .. 1 m = lim - ,/ --- ;-------- = lim - 16x +4x-6 X-.«x1 Q _ É _ 1 X x 2 u 4 6 16+--- j x x* =0 WWWedukparu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 301. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III © ♦Intercepto: b =limff(x)-mxl= lim X—* x J x - * x Q 6 8 19x2-6x-8 =lim X-f* 2X X V16x2+4x-6 J 46164---- 5 X X de donde: y =— 4 -12 v I 20+x-x f(x) =f c ^ _______ _ La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: m=lim ^^ ; b =limff(x)-mx] X—*00 X X-^X1“ * Pendiente: m 1 120+x+x2 .. 1 =lim - J—----- — =lim— x->*x x +4x-12 *-*«x , 4 12 1+----2X X =0 ¡21+4x-:x2+7x- ” _ 8 =lim x->® * Intercepto: b =limff(x)-mx]= lim X-*ooU X—*** de donde: y = yf2 f(x) =>/x4-x3-9x2+ 9 x ________________ La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: m=lim ; b= limff(x)-mx] * « ... * Pendiente: 1 7 8l+ ----2 X X =V2l 594 S O L U C I O N A R I O A N Á L I S I S M A J E M Á T I C O I . www.solucionarlos,net ______________j www.edukperu cofrí r www.solucionarios.net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « m . ,im _ lim = |im m i x-*» x x-+cry x x_*®V x La función no tiene asíntotas de ningún tipo. f(x) =Vx3-3x2-9x +27 ÉffnvñfiMr La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: m=lim-— ; b = limff(x)-mx] X-»« X X-»« * Pendiente: .. Vx3-3x2-9x +27 .. Jx 3-3x2-9x4-27 Jx 3-3x2-9x4-27 m=lim-------------- - lim.3------ =------=lim.3------- ----- x-kc x *-** V x X-*~Y x 1 3 9 27 , i =limWl----- r +T =1 x-"* x x x Intercepto: b= lim[f(x)-mx]= limj^x3-3x2-9x4-27 -xj (Vx3-3x2-9X +27-x) 3|(x3- 3x2-9x+27+27)2+xVx3-3x2-9x+27 +xs b =lim------------ ---------------- ------------ 3|(x3-3x2-9X4-27)2+x^x3-3x2-9x4-27 +x2 -3x2-9x4-27 , b =lim — --- ■— ----=-1 X — s|(x3-3x2-9X4-27)2+x^x3-3x2-9x4-27 +x2 jfs 3x34-3x 4-1 /~í— T S I f(x) =—5----— +Vx2+4 x +x-6 j^ügr«yi Tf^r,r — r La ecuación de la asíntota tiene la forma: y =mx +b, donde: w vw . «-dukperu con- ” S O L U C I O N A R I O A N Á L I S I S M A T E M Á T IC O I www.solucionarios.net
  • 302. www.solucionarlos,net ; b= lim[f(x)-mx] » EDUARDO ESPINOZA RAM OS j ............................................................CA P.,T.U-L? ."! m=lini X-»* x * Pendiente: m=lim 3x3+3x +1 Vx2+4 -r+- x(x2+x-ó) x =lim X-^OD ' 3 1 3+ -+—« x x i 1 61+--- 2 V. X X ' f * 7 m =3 + 1=4 m =4 * Intercepto: b =lim X-**> b =lim X-MC 3x3+3x +1 Jx2+4 -4x b =lim 3x‘ +3x+1_ 3 x + >/x í +4 -x [ x2+x-6 j X-**^ x 2 + x - 6 ) l-3x3+15x + 4 x2+x-6 y/x2+4 +x Luego la asíntota es: y =4x - 3 f i 15 N 4 - 3 + — =lim X-*oc i 1 61H---- j V X X ■+0 =-3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios,net www edukperu,cpm www.solucionarlos,net CAPITULO III ■ c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CONTINUIDAD Determinar los valores de x para los cuales la función es discontinua y construir su gráfica f(x) = x - l , ----- X * 1 x-l 8 x =1 JK SQ K M Í La función es discontinuidad en x = 1, por lo que calculamos si existe el límite: x3-i (x -l)(x 2+x+l) . „ L =lim----=lim------------- =lim(x2+x+l) =1+1+1=3 x-»1 x — 1 x—*1 x — 1 x-*1 ' ' La función es continua si hacemos f(1) =3. La gráfica se detalla a continuación: f(x) = x+1 x <-2 2-x -2 <x <2 2x-1 x >2 Calculamos limf(x):aplicando límites laterales: x-*2 lim f(x) = lim (2-x) =2+2 =4 x-»-2* x-»-2" * lim f(x)= lim (x +1) =—2+1 =-1 x-»-2' x-*-2~ www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 303. www.solucionarlos,net Puesto que lim f(x)= lim f(x) => lim f(x) =^ x-*-2* x-»-2" x-**2 La función es discontinua en x =-2. Ahora analizamos la continuidad en x =2 Calculamos limf(x):aplicando límites laterales: x-*2 * lim f(x) = lim(2x-1) =4h— 1=3 * lim f(x)= lim(2-x) =2-2 =0 x-»2* x-»2‘ x->2 *~*T Puesto que lim f(x) * lim f(x) => limf(x) =^ x-»2* x-»2 *-»2 La función es discontinua en x =±2. La gráfica se detalla a continuación: » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................................................................CAPITULO III Sen(x) f(x) = ; X * 0 0 ; x =0 Determinamos la continuidad: a) f(0) =0 Por definición SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu Góm www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Sen(x) b) Calculamos limf(x): aplicando límites: lim---— =1 x-»0 x-»0 x c) Puesto que limf(x)?tf(0); la función es discontinua evitable en x =0 x-»0 d) La gráfica se detalla a continuación f(x) = - x +x x <0 x =0 aE om m Para el valor absoluto, por definición: Ixl = x x >0 -x x <0 x+x Determinamos la continuidad: f(x) = a) f(0) =2 Por definición b) Calculamos limf(x) :aplicando límites: x-*0 =2 x <0 x =0 * lim 2=2 X-+0' Luego limf(x) no existe x-»0 * lim f(x)no existe x-*0* www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 304. www.solucionarlos,net f c) f(x) es discontinua en x =0 3x3+2x2-6x +1 » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPITULO I f(x) = m El dominio, determinamos en que valores se hace cero el denominador. x2- x =0 => x =0, x = 1 Luego D =(x e /x * 0, x* 1} Hallamos el límite en x = 1: .. 3x +2x -6x +l lim----- -------- *-♦> x -x . .. 3x3+2x2-6x +1 (x-1)(3x‘ +5x-l) 3x2+5x-1 _ _ L =lim-------------=lim----- --- ---- =lim--------- =3+5-1 =7 x-*1 x(x-1) x-»' x(x -1) x->’ x 3x* 4*5x_1 L =lim-=oo. La función es discontinua en x =0 x-o x O fM= 2x-|x| 3x +|x| El dominio, determinamos en que valores se hace cero el denominador: x =0 Luego D ={xe<K/x*0} x ; x£0 La definición de valor absoluto: x = -x ; x <0 Hallamos el límite en x =0: lim ——- =lim— =- x-»o-3x +x *-»«4x 4 lim2x +x =lim— =- Luego la función: f(x) = x-^3x-x *-*°2x 2 x >0 x <0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukperu corrif www.solucionarios.net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « La función es discontinua en x =0. La gráfica: Y 3 ¿ 2 f(x) = x2-x2+2x-2 x—1 4 ; x * 1 ; x =1 m eüsm Determinamos el límite en x = 1 c3 - x 2 + 2 x - 2 .. ( x - 1 ) ( x 2+ 2 ) L =lim: = lim -------------------------- = lim íx2+2) =1+2 =3 x-»l X —1 x-*l ' ’x-*1 X — 1 Puesto que f(l) =4* limf(x ). La función no es continua en x =1. La gráfica v vw edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 305. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO III f(x) = x2+2 ; x <0 2Sen(x) ; x>0 « 3 H Determinamos el límite en x =0 / «.• 2Sen(x) _ L. = lim (x +2) =0+2 =2 ; L2=lim------ =2 1 V / x-*0 X Puesto que lim f(x) = lim f(x) => limf(x)=*2 x-»0* x-*0' x“*° f(x) = 3x8-7x +2 , x í0 x-2 3 ; x =0 Determinamos el limite en x =0 L . ,im = ,imÜ ü l i M . |im(3X ♦1) =0+1=1 x-2 x-2 x-xX-*oc Puesto que f(0) * 1, la función es discontinua en x =0. Ahora determinamos el límite en x =2 L =lim3 ílz Z ^ =limí 5 í l l M =l¡m(3x+,) =6+1=7 x-»s x-2 x-*2 x-2 x_>2 La función es continua en x =2. La gráfica: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net ----------------------— www edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « © f(x) =' x + x _ l| ; si x es impar Si x e [0,1> => |xj =0 espar=> f(x) =I x I =x Si x € [1,2> =s> |x] =1 es impar => f(x) =I x I =x Si x e [2,3> => |x| =2 es par => f(x) =lx +2l =x +2 Si x € [3,4> => |xj =3 es impar => f(x) =I x +2 I =x +2 Si x e [-1,0> => |x] =—1 es impar => f(x) =Ix-2 I =2-x Si x e [-2,-1> => |x| =—2 espar=> f(x) =I x- 2 I =-x+2 Si x e [-3,-2> => [ x| =—3 es impar => f(x) =I x-4 I =-x+4 Si x g [-4,-3> => [xj =-4 es par => f(x) =lx - 4 l =-x+4 El gráfico se muestra a continuación WWWedukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 306. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) -3 -2 -1 0 © f(x) = x2- x- 2 f(x) = |x2—4| 3 4 x2+x-2 si x * ±3 si x=±2 x2-4 3 4 si x*±2 si x =±2 x2—x—2 x -4 x2-x-2 x -4 3 4 ; x >2 u x <-2 ; -2 <x <2 ; x =±2 Primero probamos en x =2 . .. x2- x- 2 .. (x +1)(x - 2) x+1 3 L. = lim — -----= lim 7----77--- - = lim--- =- x-»2* x -2 x-*r (x-2)(x +2) « ^ x +2 4 CAPITULO III 6 0 4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « O o Puesto que limf(x) =, la función es discontinua en x =2. x-»2 f(x) =• X+1 x+2 x+1 x+2 3 4 x >2 ux< -2 -2 <x <2 x =±2 f(x) = x2-9 x<3 x x >3 Probamos la continuidad en x =3 a) f(3) =9-9 =0 b) L =limf(x) x-»3 Limites laterales: L, = lim(x) =3 x-»3* Por tanto: L =limf(x) =$ x-*3 c) f(x) es discontinua en x =3 [l- x ]+ [x - l] L2= lim(x2-9) =9-9 =0 f(x) = 2>/Ñ-lxl 2x-5 Si 0<x <2 Si x >2 Desarrollamos la función mayor entero en x =2 1 , 1<x<2 n<f-x1<n +l M - 2 ; 2<X <3 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 307. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) n<-x<n +1=>-n-1<x<-n Probamos la continuidad en x =2 a) f(2) sin definir b) Luego evaluamos los límites laterales -x = -2 ; 1<x <2 -3 ; 2<x<3 Limites laterales: L, = lim (2x-5) =4-5 =-1 ; L2= lim c) f(x) es discontinua en x =2. Ixl i ti ; x>-i, x * i |x l| Sgn(|x2—1|—l) ; x <-1 Evaluamos la función signo: |x2—1|—1=0 => |x2-1¡ =l x2-1 =1 v x2-1 =1 => x2=2 v x2=0 => x =±>/2 v x2=0 - ' Sgn(|x2-l|-l) = 1 ; x s (-oo,-a/2^u (>/2,co)¡ 0 ; x =±y¡2, x =0 -1 ; (—n/2,>/2^, x*0 La función valor absoluto: *'v Ixl x—11 xe<-oo,0] -X -x+1 xe<0,l] X -X + 1 xe<1,oo] X X — 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO III 1+2+1-1 3 2V>n ~ 2 www.edukperj.C6m www.solucionarlos,net CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « -X 1—X ; x e (-1,0] — ; x e (-°°)0] 1—X X 1—X ; x e (0,l] ——— ; x e (0,ll => f(x) =■ 1- X X X —1 ; x e (1,oo] —~ r ; xe(l,oo) X —1 1 ; xe(-oo(->/2] 0 ; x =-n/2 1 ; x e (- ^ ,- l) Probamos la continuidad en x =0 a) f(0) =- y¡2 b) L =limf(x) -x Limites laterales: L. = lim -— =0 ; L2= lim -— =0 1 x_*o-1- x »-»o* 1- x De donde: L =limf(x) =0 x-*0 c) La función es continua en x =0 Probamos la continuidad en x =-1 b) L = lim f(x) Limites laterales: L. = lim -x l x-*-v l - x 2 Puesto que lim f(x) * lim f(x) => lim f(x) =$ x-*~r x-*-i x— c) La función es discontinua en x =.1 L, = lim 1=1 x-»-1‘ iwww edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 308. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ................................................. CAPITULO I O <D Probamos la continuidad en x = -¡2 a) f(-V2) =0 b) lim f(x) X — ^ Limites laterales: L, = lim 1=1 L = lim 1=1 x-*->/2 Puesto que lim f(x)= lim f(x)=> lim f(x) =1 X— J T X — * — * c) La función es discontinua evitable en x = —72 si hacemos f s/2) =1 f(x) = x3+8 0 ---- : X * -2 x+2 5 ; x =-2 Probamos la continuidad en x =-2 a) f(-2) =5 3+8 .. (x +2)(x2-2x +4 )_ b) L = lim f(x) = lim " = lim x-»-2 x-»-2 x+2 x- - 2 x+2 =4+4 +4 =12 c) La función es discontinua evitable si hacemos f(-2) - 12 8-x f(x) = ; X <8 Vx-2 3-2x ; x >8 Probamos la continuidad en x =8 a) f(8) =3-16=-13 x3+8 (x +2)(x2-2x +4) b) L =limf(x) =lim— £ =lim ----^-------- - x-»8 X-.8 X +2 x-*8 x+2 =4+4+4 =12 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www rduk www.solucionarios.net c) f(x) es disconinua evitable si hacemos f(8) = 12 CAPITULO III ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O f(x) = Sgn x2-- ; x<-1 ; |x|<i x -9 -- +Vx2-2x +l ; X£1 8 M É x m m ir m * Desarrollamos la función signo: x2- - =0 => x =±- 4 2 Sgn x2——I= i 1 11 ; x< — u x > - 2 2 0 ; X =±— 2 i 1 1-1 : — <x <— 2 2 f(x) = Evaluamos la continuidad en x = 1 a) f(1) =-- +Vx2-2x +1 =— 8 8 b ) L =limf(x) limites laterales: x-»1 x -9 x<-l -1 <x <1 Í - 1 + n/x 2-2x +l 1 L„ = lim í X3 Ì 1 l 8 > 8 x-»r [x2-9J 8 De donde: limf(x) =-- x-1 8 c) f(x) es continua evitable en x =1 Ahora evaluamos la continuidad en x =-1 www.&dukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 309. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) II. Determinar el valor de A para que la función f dada sea continua x2-4 f(x) = si x * 2 x-2 A si x =2 A =limf(x) =lim—— ^ =lim^-— ^ —— =limx +2=2+2 =4 x-»2 ' ' x-+2 x—2 x~*2 x—2x-*2 f(x) = -Ax2 si x<4 -6x +16 si x ^ 4 3 limf(x) o lim f(x) = lim f(x) — * V ’ x-*4~ x-f4" lim-Ax2= lim(-6x +16) -16A =-24 +16 => -16A =-8 => A =- f(x) = Ax2 si x<2 3 si x>2 3 limf(x) o lim f(x) = 'vn f(x) x-»2' x-*2" lim Ax2= lim 3 => 4A =3 => A =- x-»2* x-»2" 4 f(x) = >/—X -1 si X <—1 x+1 x+A si x >—1 3 limf(x) o lim f(x)= lim f(x) X—i v ’ x->-r v ’ x-+-r I SO LU C IO N A R IO A N Á LIS IS M A TE M Á TIC O I . , www.solucionarlos,net CAPITULO III A =4 ____________7 ' www.edukperaéom www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X x - l , „ í- ^ - i) ( V ^ +i) lim ----— = lim (x +A) => lim ----- r-= — H- =-1+A -i x+1 *-*-r -(x +1) lim ---- — -=-1+A ■r (x +l)(V= í +l) -r (x + i) (V ^ + l) 1 1 A A 1 — =-1+A => A =- 2 2 lim -1 x->-r V-x +1 =-1+A f(x) = 2Sen(x-l) v ’ si x * l x —1 A si x =l n„2Sen(x-l) _ ol. Sen(x-I) A ■l,mf(x) - l¡m ■21¡m =2(1)— -— =- x-*i x-»i x3-l x-, (x -l)(x 2+x +l) 1+1+1 3 f(x) = X —X +X—1 x—1 A si X * 1 si X =1 JgEHSEMMÍ . x4-x2+x-l x2(x2—l) +(x —1) A =limf(x) =lim---------- =lim— ----------- x—*1 v ’ x-»l x —1 x-*lx —1 [¡mxg(x +1)(x-l)+(x-1) |¡m(x-1)[x*(x+1)+l] x-*' ' X—1 x-1 X-l =lim(x2(x +l) +l) =l +l +l =3 A =3 Determinar A y B de modo que la función f dada sea continua en todo su dominio. x+2A si x <-2 f(x) =-3Ax +B si —2< x£l 6x-2B si x >1 www.edukperu.com SO LU C www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 310. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS Analizando la continuidad en x =-2 y en x = 1 Para x =-2 => lim f(x)= lim f(x) x-»-2‘ x-*-2* v lim x+2A = lim 3Ax +B x->-2~ x-*-2" Para x =1 -2+2A =-6A +B lim f(x)= lim f(x) 8A - B =2 lim3Ax +B = lim 6x-2B x-»r x-*r 3A +B =6 - 2B => A +B =2 [8A-B =2 , A 4 Luego • => 9A =4 => A =— A +B =2 9 4 14 14 A +B =2 => B =2-A =2-- =— => B =— 9 9 9 f(x) = - 2Sen x , x <,— 2 n n ASenx +B , — <x <— 2 2 Cosx , x£ — 2 JBB22EI¡¡¡Mf Analizando la continuidad en x =- - 2 yen x =-^ 2 2 Para x =- — => lim f(x) = lim f(x) 2 ** lim -2Sen(x)= lim ASen(x) +B ,v- SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO III ____________J— www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -2Sen| I=A Sen l 2 2 =-A+B => A - B =-2 l+B Para x =- => lim f(x)= lim f(x) 2 *'x-»„ X-»- 2 2 lim ASen(x) +B= lim Cos(x) j»' »'x-*- x—♦— 2 2 í£i+B =Cos => A +B =0 UJ ,2> Í A - B = - 2 A ! ^ 1 Luego { => A =-1; b = 1 A +B =0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net sa I
  • 311. www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO IV B ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « DEFINICIÓN DEDERIVADA www.solucionarios.net O ' Calcular las siguientes derivadas, usando la definición . 2x+3 f(x) = 3x-2 __________ ■' J B E E I E H E B Í Aplicamos la definición de derivada: 2(x +h) +3 d f ( x ) _ ||mf ( x + h ) - f ( x ) = lim 3 ( x + h ) - 3 dx h“*o h h-*° h df(x) _ . (2x +2h+3X3x - 2) - (3x +3h- 2)(2x +3) dx h-*° h(3x+ 3h-2)(3x-2) df(x) 6x2+6xh+9x-4x-4h-6-6x2-9x-6xh-9h +4x +6 dx h(3x +3h-2)(3x-2) df(x) —13h _ |-m -13_______ ______13 dx ” *™h(3x +3h-2)(3x-2) “ *™(3x +3h-2)(3x-2) " (x-2)2 f(x) =- 7 = Vx +2 Aplicamos la definición de derivada: 1 1 >Jx+2 -Vx+h+2 df(x) _ [¡mf(x +h)-f(x) _ |¡m Vx+h+2 -7x4-2 _ |¡m Vx +2>/x+h+2 dx h_>0 h h_*° h h-*° h por conjugada df(x) .. x+2-x-h-2 —lim-------------- — I I I I I ,,.— .■■ ■— T dx h_*°hVx +2Vx +h +2 (V x +2 + >/x +h +2 j SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 615
  • 312. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV =lim h-»0 -h df(x) =lim- lWx +2>/x+h+2(>/x+2 W x +h+2 ) -1 dx h-° Vx +2Vx +h+2(>/x+2 +>/x+h+2j -h hVx +2>/x+h+2(>/x+2 +Vx +h+2j df(x) =l¡m -1 df(x) 1 dx h-*°Vx +2Vx +h+2 (Vx +2 W x +h+2) dx 2(x +2)3' f(x) =Xy/X+1 Aplicamos la definición de derivada: df(x) f(x +h)-f(x) (x +h)Vx +h+1 -x>/x+l —— =lim—--- ----- =lim---- --------------- dx h-*o h h-^ h d f(x)_,;„ x(x +1+h-x-1) xh dx h-°h(7x+TTh+Vx+T) df(x) _ x+2x+2 _ 3x +2 dx “ 2^/x+J ~2y/x+l h(Vx +1 +h W x +1 j Vx +1 f(x) =v4-x2 Aplicamos la definición de derivada: d(x) .. f(x+h)-f(x) ^4-(x +h)2- n/4-x2 . —— =lim—----— — =lim ---------------- por conjugada dx h-*° h h-*° h SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.eduKperu.com www.solucionarios.net CAPITULO IV f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « d(x) ||m 4-x2-2xh-h2-4 +x2 ------ =2xhz hl dx h-*° ^ =Hm dx h-*° h(^4-(x +hf +V4-X2j h"*°h^4-(x +h)2+VÍ-1 -(2x +h) _ -x ^ 4 - (x +h)! +>/4^7j 'f t 1*' ■ 0 f(x) =V2x +3 M a c m t t r a r iW Aplicamos la definición de derivada: dfCx) .. f(x +h)-f(x) y j2 x +2h+3 - /2x+3 —— =lim—-- f -----=lim-------- -------- dx h-*° h h-*° n Por conjugada dx h->0. 2x+2h+3-2x-3 ^(2x+2h+3)’ +V2x +2h +3V2x +3 +^/(2x+3f dx h-+°i df(x) =lim 2h ij(2x+2h+3)2+^/(2x+2h+3)V2x +3 +^/(2x+3)2 dx h~*°^(2x +2h+3)2+>/2x+2h+3>/2x+3 +^/(2x+3)2 df(x) 2 dx 3^/(2x+3) ( j ) f(x) =>/3-2x Aplicamos la definición de derivada: www edukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 313. www.solucionarlos,net df(x) .. f(x +h)-f(x) J3-2(x +h)->/3-2x — — =lim---- ¡----- =lim------------------Por conjugada dx h^O h h-+o h df(x)=Hm ~2 -2 -1 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I dx h-^V3-2x-2h +v/3-2x V3-2x +,/3-2x n/3-2x x! -1 f(x) = x* +1 Aplicamos la definición de derivada: (x +h) -1 xg-1 df(x) .. f(x +h)-f(x) (x +h)2+l x2+1 — — = lim —---- ------ = lim----- ---------- dx h-*o h h-»° h dfcx)-l¡m!-( x+h)! - l]( x* +1)-(x*+l) [(x +h)2+l] dx h-*0 df(x)-lim X! h[< ![(x+h)a- x+h)2+ lj(xz+ l-(x +h)2- lj + ») |^(x+h)2- 1 +(x +h)2+lj dx h-0 df(x)-lim hj^x +h)2+ 1 -2x2+2(x +h f . -S ](x!+1) >x2+2x2+4xh +2h2 dx h-o^1 df(X) =lim (x +h)2+ 1 4xh+2l ](x*+l) h-°h h2 -lim [(x +h)2+l](x ! +l) 4x +2h df(x) 4 dx (x +h)2+ 1 ](x*+l ) - « [ ( x+h)2+lj(x2+l) dx (x2+1) f(x)=-¡=L= Vx +1 Aplicamos la definición de derivada: r T T l SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www edukperu c o n / www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O 1 1 df(x) _ |¡mf(x h )- f(x ) _ [im>/l +x-h yjx+1 dx h-° h h-»° h >/x+l -Vx +1 -h df(x) =|.[m Vl +x +hVT+x dx h-*° h por conjugada x+1—x—1-h df(X) =lim dx h—*° hVl +x+lWl +x(Vl +x+h+Vl +x) h =lim df(x) =lim- dx h-*°. hVl +x+hv/l +x(Vl +x+h +Vl +x) /l + x + hV i + x ( V l + x + h+>/l +x ) df(x) -1 d* 2^(1+x)3 f(x) = 1 yÍ3x Aplicamos la definición de derivada: 1_______ 1_ df(x) _ ||mf(x +h)-f(x) =|¡[T1■J3+3h ^ dx h-o h h-*° h y¡3 - y¡3x +3h - =lim + por conjugada dx h-»° h df(x) =lim 3x-3x-3h =lim- -3h dxh-°hV3x +3hN^x(V3x +3h+73x) h^ühV3x +3h>/3x(V3x +3h+>/3x) www cdukperu oom SOLUCIONARIO ANÁLISIS MAÍEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 314. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV df(x) .. 3x-3x-3h .. -3h = lim— ....... - ■ - — - - = lim----- 11,11— . -------- Í= T —m il— .— — . -------- -p=T dxh^° h>/3x+3h>/3x(V3x +3h +V3x) h-*°h>/3x+3h>Sx(>/3x+3h +>^x) <T) f(X) =^ Cx+D Aplicamos la definición de derivada: A(x +h)_+B_ Ax +B df(x) f(x +h)-f(x)C(x +h) +D Cx +D —— =lim—--- ----- =lim— ---- ----------- dx h-»° h h-*° h df(x) . (Ax +Ah +B)(Cx +D)-(Cx +Ch+D)(Ax +B) dx h-+o h(Cx +Ch +D)(Cx +D) df(x) Cx(Ax +Ah +B-Ax-B)(Ax +Ah +B)-(Ch +D)(Ax +B) dx h~*0 h(Cx +Ch +D)(Cx +D) df(x) CAxh +D(Ax +Ah +B-Ax-B)-Ch(Ax +B) dx h(Cx +Ch+D)(Cx +D) df(x) CAxh +DAh-Ch(Ax +B) CAx +DA - CAx - CB — — = lim— ---------------------- — ¿-------------------------------------- r L = lim ---------- —-------------- dx h-*° h(Cx +Ch +D)(Cx +D) h-°(Cx +Ch+D)(Cx +D) • 4 df(x) DA-CB dx (Cx +D)2 O f(x) =— Aplicamos la definición de la derivada: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I w .w.e J.p- ítfr' www.solucionarlos,netH www.solucionarlos,net (x +h)J +1 X3+1 d íW =limf (x+h)- I W =|ifn x-h x - dx h-»° h h-»° h x(x3+3x2h+3h2x+h3) +x-(x3+l)(x+h) xh(x +h) (x4+3x'h +3h2x2+h3x) +x-(x4+x’h+x+h) =lim----------------■/ t t ----------- -h-o xh(x +h) 2x3h+3x2h2+h3x-h .. 2x3+3x‘h+h2x-1 =lim------ ;--- r---- =lim--------- —---- •»-o xh(x +h) h-° x(x +h) 2x3+0+0-1 2x3-1 x(x +0) x2 f(x) =Vax +~^= Vax T T i'í 1ÍTT—T Aplicamos la definición de derivada: ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ^a(x +h)+ ,— _— --Vax- ■*- qf(x) f(x +h)-f(x) Va(x+h) Vax —— = lim------------ = lim---------------- --------------- dx h-° h h~*° h ,_______ _ a(Vax-Ja(x +h)) Va(x +h)- V ¡x + ^a(x +h)vax =lim-----------------— ---------- por conjugada h-*0 df(x) ax +ah-ax >/a.a(x-x-h) — — =lim—T = =---= r +lim— , ■ ;..■?-■= -------- 7 dx h-°h(Vax +ah +Vax) h‘+0h^ax(x +h)(vx+Vx +hj SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I fjj www.solucionarlos,net I
  • 315. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ] .......................................... ...............................CAmULO IV -ahVa dxh-°h(Vax +ah+Vax) h_>0h^a(x+h)(Vx +Vx+h)Vax dK x)=|im a _ +|im -aVa dx h-° Vax+ah+Vax h~>0^a(x +h)[Vx +Vx+h)Vax O df(x) a dx 2>/ax 2xVax f(x) = Va2+x2 Aplicamos la definición de derivada: a2+(x+h)2 Va2+x2 j M ^ l i m f(X +h)~f (-= lim --- íiÜ - x h-*o h h-*° h df(x) =[¡mxyJa +(x+h)^ -(x +h)Va2+x2 x h-*° hx(x+h) df(x) =lim x^a2+(x+hf -Va2+x2j-hVa2+x2 x h-*° hx(x+h) por conjugada ■xl «- xr df(x) .. x(a2+x2+2xh+h2-a'-x2) |;_ hVa2+x2 = m hx(«t h ) ( j W +^ M f ) - o hx(x +h)dx h-° ^ =lim dx h-° hx(2x+h) Va2+x2 hx(x+h)^Va2+x2+^a2+(x+h)2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I. www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © ----=lim------- ;----1---- ;--------- ^°x(x+h)ÍVa2+xs+^a2+(x+h)‘ ) x‘ df(x) 2x2 Va2+x2 dx x2|Va2+x2+Va2+x2) x¿ df(x) 2 Va2+x2 x2-a2-x2 a2 dx 2Va2+x2 x2 x2Va2+x2 x2Va2+x2 f(x)=T r = TVa -x Aplicamos la definición de derivada: x+h x df(x) .. f(x +h)—f(x) ^a2-(x +h)2 ----=lim—---- ----- =lim----------- Va2-x2 dx h-*° h h_>0 df(x) x[a2-x2-a2-x2-2xh-h2] +lim- dx h7a! -x’ ^a! -(x+h)! [Va! -x2+,Ja2-(x +h)2l " ^ a 2-(x +h)! por conjugada -hx[2x+h] hVa2-x2^a2-(x +h)2j^Va2-x2+^a2-(x +h)2 >/* df(X) - lim -x[2x+h] 1-4------ dx n_M,Va2-x2^fa2 -(x +h)2 Va2-x2+ ^2-(x +h)‘ 04X 1 04 www.edukperu.com i ■ j www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I |r f l
  • 316. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPÍTULO IV df(x) __________ -2x^___________ 1 ^ 2xg 1 dx V ¡ O V a 2-x! ¡ V a ! -x! j Va! -X2 2(a! -x! )M x/a2-x! df(x) x*+a2-x2 a2 ^ ” =(a2-x2)3/2=(a2-x2)3/2 © f(x) = x 2x—1 Aplicamos la definición de derivada: x+h ___ x df(x) f(x +h)-f(x) 2(x +h)-1 2x-1 --- - =lim—--------- =lim—---- --------- dx h-° h h-^> h (x +h)(2x-l)-x(2x +2h-l) df(x) .. (2x-2h-l)(2x-1) 2x2+2xh-x-h-2x2-2xh +x --- - =lim-------------—---- -----=lim----- ----- —------------- dx h h-»° h(2x-l)(2x +2h-1) df(x) =lim. - 1 - - 1 dx h-*o(2x-1)(2x +2h-l) (2x-1)2 © f(x) =3* à JÈ S S S S M S K t Aplicamos la definición de derivada: df(x) f(x +h)-f(x) 3*-h-3X —— =lim—--- -----=lim------ dx h-*o h h —-x-=lim— i---- Hacemos: z =3h- l => 3h= z + l dx h Ln(z +1) hLn(3) =Ln(z +1) => h = Ln(3) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.edukpeai.com www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO IV .CEDUARDO ESPINOZA RAMOS « dx k-*oLn(z+1) h-*oLn(z +l) tw0Ln/z+1' Ln(3) z df(x) ^ 3XLn(3) dx Ln(e) =3XLn(3) O f(x) =Cos (x) Aplicamos la definición de derivada: df(x) .. f(x +h)-f(x) Cos(x +h)-Cos(x) —— =lim—--- --------- =!•»«------ ^------ ------ dx h-*o =lim- h-*0h h-*° h Cos (A +B) =Cos (A) Cos (B) - Sen (A) Sen (B) Cos.(A - B) =Cos (A) Cos (B) +Sen (A) Sen(B) Cos (A +B) - Cos (A - B) =-2Sen (A) Sen (B) Ahora: +B x+h => 2A =2x +h => A =x+- => B =- A-B= x 2 2 -2Senfx + - jsenf-i Senf-i, d f(x ) .. { 2 ) { 2 } .. 2 c h — — = lim------------- ---------- ---------¿ = - l i m — - ^ -¿ = limSen x + - dx h-»0 h h-»0 h h-»0 <D df(x) dx f(x) = =-(l)Sen(x +0) =-Sen(x) 2x+3 3-2x ¡SMf Aplicamos la definición de derivada: www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 317. www.solucionarlos,net 2(x +h) +3 2x+3 df(x) f(x +h)-f(x) 2(x-t-h)-3 2x-3 ---- = lim—----------- = lim— ---------------- dx h-o h h-»° h df(x) (2x +2h+3)(2x-3)-(2x +3)(2x +2h-3) )) EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO IV dx h_>0 h(2x +2h-3)(2x-3) df(x) .. 4x2+4xh +6x-6x-6h-9-4x2-6x-4xh-6h +6x +9 =lim--------- dx h-° df(x) =lim- h(2x +2h-3)(2x-3) -12h -12 dx h-°h(2x +2h-3)(2x-3) (2x-3)2 II) Calcular las siguientes derivadas, usando la definición J f(x) =V9x +1; a =7 _____________________ Aplicamos la definición de derivada: df(x) f(x +h)-f(x) >/9x+1 +9h->/x+T ----=lim—---- ----- =lim---------------- dx h-*o h h-»° h fjf/y'i (V9x +l +9h ->/9x+l)(V9x +l +9h - >/9x+l) ----=lim --------- ■■—— ---- ---------por conjugada dx h~*° h(V9x +l +9h +V9x +1j 9df(x) .. 9x +l+9h-9x-l .. —lim—~— — ~~—lim“—. — ~r dx ^h(>/9xTTT9h-H>/9xTT) h^°(>/9x +l+9h +>/9x+l) df(x) 9 9 dx ” >/9x+1+>/9x+l ~2V9x +l df(x) 99 Para a =7: 9 9 dx 2^9(7) + 2[b4 2(8) 16 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukpefü. www.solucionarlos,net CAPITULO IV . [ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(x)- >/2x+3 ; a =3 Aplicamos la definición de derivada: 1 1 df(3) .. f(h +3)-f(3)J2(3 +h) +3 -Jb^3 —— =lim—--- ---- =lim-------- -------- dx h~*° h h-*° n 3->/9+2h m =lim = 1¡m_ 9 ^ 9 - 2 h dx i«-o h h^9hV9 +2h(3 +>/9+2h) por conjugada df<3>=lim -2h =lim -2 -2 -1 dx h^° 3h>/9+2h(3 +N/9+2h) h-°3N/9+2h(3 +>/9+2h) 3(3)(3 +3) 27 f(x) =—+x+x2; a =-3 x Aplicamos la definición de derivada: df(x) ,;„> (- 3 ^ )- f(- 3) _ , i„h ^ 3 +h+(h- 3)g +r 3-9 =lim- dx h-*° h =lim- h->0 ,f/ +h+h2-6h +9+^-9 íLÜ =limÜ=2________________2— =Hm dx h-»° h h_>0 h 3+h-3 3 ^ _ „ mM +h+h2- 6h df(~3) lim3(h~3) dx h-° =lim h-»0 3(h —3) +l+h-6 1 _ 46 =' 9 " 5=‘ T f(x) =(x2+x)2; a =2 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 318. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I J B E 2 J S M l í Aplicamos la definición de derivada: df(2) v. f(2 +h)-f(2)Rh +2)2+2+h] -(4 +2)2 ----=lim—---- ----- =lim------------ --------- dx h-*o h h-*° h df(2) rh2+4h +4+2+h-6"|[*lr+4h +4+2+h+6] --- - =lim---------------- —--------------- A dx h-*° h df(2) (h2+5h)(h2+5h +12) =lim------ ---------- - =lim(h +5)(h +5h+12) =5(12) =60 f(x) =Vx2-4; a =5 Aplicamos la definición de derivada: df(5) .. f(5 +h)-f(5) J(h +5)! -4-V25-4 ----=lim—---- — — =lim---------------- Conjugada dx h-*° h h-° h dx *>-<> --- =lim dx h-° 7(h +5)2- 4 - n/21 ^(h +5)2-4 +V2T (h +5)2-4-21 h h2+1Oh ^(h +5)2-4 +V2T +25-25 -------- =r=lim—í= h-*0 h h(h +10) 7(h +5)2-4 +72lj yj(h+5f -4 +V2lj h"°h^(h+5)*-4+>/2T df(5) h+10 =lim 10 dx h"*°^(h +5)2-4 +/2T n/2Í +^ T >/§í f(x) = ; a =—8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu ; í/ www.solucionarios.net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « Aplicamos la definición de derivada: 1 1 df(-8) nmf(h~8H ( - 8) |im^1~3th~8) ¿ x h-»o h h df(—S) _ Krn 25-25 +3h _ |¡p<___ 3h___ dx ™ 5h>/25- 3h(5+>/25- 3h) h^°5h>/25-3h(5 +V25-3h) df (—8) , 3 3 .. 3h — -— -=lim . -=t----- = = 7=lim dx Í5 +V25-3h) h-°5h>/25-3h(5 +>/25-3h)I> ^(-Q) ,¡m j _________ =_____3____=J _ dx h-°5>/25^3h(5 +V25-3h) 5(5)(5 +5) 250 O f(x)=Wnb5:a=1 ' ¡g E E M S S tE M i Aplicamos la definición de derivada: 1 1 dfCl) .. f(l +h)-f(l) ll^ H (l +h) +5 lW ll +5 —— =lim—--- ---- =lim— 2-------- ---------- dx h-’° h h~*° n 1 ______1_ 4-Vl6 +11h j !Q - | ¡m ^Wl6+_]jh— Ü _ | ¡ m 44>/l6+1lh_ p0r COnjugada dx h-»° h h_*° h df(x) 16—16—1Ih =l i m - -------------- dx h-°44hVl6 +l1h(>/l6 +llh +4) wwwedukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 319. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO IV =lim h-*0 —11 1 • -1 44>/l6+ 1lh (-/l6 + 1lh +4 ) 4(4)(8) 128 f(x) =|x-l|3; a =1 Aplicamos la definición de derivada: d X X-MC |-| X - » » [~| df(l) |h|3 Ihlh2 — — =lim ^ =limJ-[— =limh h =0 dx p X-*oe> [-J X—♦OC 1 ' f(x) =-7¿ ---l;a =4 Vx-1 _________________ Aplicamos la definición de derivada: 2 9 dx h-*o h h-*o h 2(2)-2>/h+"4 dfC4) _ l;_ y¡4y¡h+A nt. 2-yJh +4 ■ ----- r-----=2lim-=2— por conjugada h h-° 2hy/h+4dx h-»0 df(4) dx OI. 4-h-4 -1 1 =2lim—— --- =----=_ _ ^ 7 h T 4 (7 h 7 7 +2) 2 (4) 8 0 f(x) =Vx2-9:a =5 ___________ _ _ jkssqhoht Aplicamos la definición de derivada: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ~ www.solucionarlos,net f www.solucionarlos,net CAPITULO IV C EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O df(x) .. f(h +4)-f(x) ^(x +h)‘ - 9 -yjx2-9 --- =lim—--- — — =lim----------------- dx h-»° h h-*° h dfw _ u m ^/(x+h)2-<; -yjx2-9 ■J(x+h)‘ -9 +yjx2'- 9 dx h-° ^ yj(x +h f -9 +yjx2-9 df(x) .. (x +h) -9 +x~+9 x*+2xh +h*-x — — = lim _ v ’ --- --------- - = lim- dx h-° df(x) -lim- ^(x +h f- 9 +y[x*^9 h(2x +h )______ yj(x +h ) 2 - 9 +yJx2-9 im- h->0 2x +h ^(x +h)2-9 +>/x2-9 df(x) 2x x dx2Vx2-9 y jx 2 - 9 y j[ x + h f - 9 + yJx2 - 9 j Para a =5: df(5) 5 5 dx V52-9 4 ^(x) =~ - ~ ;a =2 2x-5 M w m x w w m Aplicamos la definición de derivada: h+2+3 2+3 h+5 d f(2 ) = ,im f ( 2 + h ) - f ( 2 ) _ | im 2 l h 7 2 T - l - 4 ^ 5 dx h-° h h-*° h h-»° h h+5+10h-5 dfC2>=|im--- giwl— dx h->° h 1lh =lim- 11 lim ___ h->o h h-»°2h-1 =-11 til >uJ www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net r
  • 320. www.solucionarlos,net f(x) =3->/x +5;a =-4 g g ^ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡g g Aplicamos la definición de derivada: df(-4) _ [ i - ^ ] [ < +^ 3 _ ,¡m . l i m = i dx “ '™ h[H > /hTT] —0h [i+ 7 h T T ] “ í+Viv+T 2 III. Determinar cuáles de las siguientes son derivables en los números dados por Xo- O í Vx ; x^4 . f(x) =s , . ; Xo=4 12(x —8) ; x >4 _____________ Probamos si la función es continua en x =4 lim f(x) = lim Vx =V i =2 limf(x)= llm f(x)= lim 2(x-8) =2(4-8) =8 x-2- k-*2" x-2* x-+4 x“M Puesto que: lim f(x) * f(x) => limf(x) no existe, la función no es continua. x-*2' x-»2 Por tanto f(x) no es derivable en x0=4 O f(x) =Jx ¡ ; xo=0 _________ ______ fx ; x 2>0 ; x>0 Puesto que: x = => f(* )- í .— 1 1 [- X ; x<0 [V-x ; x <0 Probamos si la función es continua en x =0 lim f(x) = lim =VÓ =0 ; lim f(x) =lim,>/x=S =0 x-*0* x-*0* x-*° Luego: lim f(x) = lim f(x) =0 La función es continua » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) ............................................................................................... CAPmJLO IV SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www edu kp en ^ om www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « Probamos ahora si la derivada es continua df(x) dx 1 2Vx -1 ; X >0 ; X <0 -1 lim f(x) = lim .— x-»o‘ x-»o‘ 2V-X lim f(x) = lim —j= x-»0" x-*0 2v x Luego: lim f(x) * lim f(x) La función derivada no es continua x-»0‘ x-*0* Por tanto f(x) no es derivable en x0=0 f(x) =|x2—4| ; Xq =2 a Xo =-2 Puesto que: ■f(x) =|x2-4 = 'X2-4 ; x e(-oo,-2)^(2,oo) ¡4—x2 ; xe[-2,2] Evaluamos la continuidad en x =2 lim f(x) = lim (x2-4) =4-4 =0 ;limf(x)= v-kP" v-kO*v ' v—4.0*' / Puesto que lim f(x) = lim f(x) =0, la función es continua en x =2 x-»2~ x-»2* La expresión de la derivada: f(x) = Evaluamos la continuidad en x =2: lim f(x) * lim f(2x) =4 x-»2" x-*2" 2x ; x e (-oo,-2) u (2,00) -2x ; xe[-2,2] lim f(x) = lim(-2x) =-4 x-»2* x-»2” Puesto que lim f(x) = lim f(x) =0, la función es continua en x =2 x-*2" x-»2* Evaluamos la continuidad en la función derivada x =-2 lim f(x) = lim (2x) =4 x-»-2" x-*-2' lim f(x) = lim (-2x) =-4 x-*-sr www.edukperu.com . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 633
  • 321. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ") CAPITULO IV Puesto que lim f(x) = lim f(x) =0 , la función es continua en x =2 x-*2" x-*2* Evaluamos la continuidad en la función derivada x =-2 lim f(x)= lim (2x) =4 lim f(x)= lim (-2x) =-A >j-*-2* x-*-2* Puesto que lim f(x) * lim f(x) =0, por tanto la función no es derivable en x =-2 x-*-2' x-*-2’ f íX<1 f(x) = L v2 ; x0=i l(1-x) ; x£ l Veremos la continuidad en x0=1 lim f(x) = limf(x)=> lim VTo< = lim (l-x)2=0 x-+i x-*r x-*r x-*r Luego lafunción es continua en xn =1 f '(x ) = 1 ; x <1 -2(1 -x) ; x £1 Analizaremos la continuidad de la derivada lim f'(x) = lim--- JS— =-oo • x-r 2 ; limf(x)= lim-2(1-x) =0 x-*r v ' x-.i* v ’ Como lim f'(x) * lim f'(x) => f(x) no es derivable en xn=1 x-*r ' 9 x ' f(x) =|7Ñ ;x< 2 ; x£1 La función valor absoluto: |xj = X ; X>0 -X ; X <0 f(x) = ■T* 4 Í x <0 0<x <1 x>1 “I SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 7 • www edukperu.com.- • www.solucionarios.net CAPITULO IV............................................................................................................. Probamos si la función es continua en x = 1 lim f(x) = lim Jx í =1 ; limf(x) = lim x2=1 “ 1 X-*l X-»l ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « Luego: lim f(x) = lim f(x) =1 La función es continua. x-*r x -»r Probamos ahora si la derivada es continua -1 df(x) dx 2>Px 1 2Vx 2x : X £ 1 ; X<0 ; 0 £ X <1 Los límites laterales: lim f(x) = lim 2x =2 x-*r x-»r lim f(x) = lim— =i x-»r x-*r 2>/x 2 Puesto que limf(x) * limf(x), la función derivada no es continua y por tanto, la X-*l X—*1 función no es derivable en x = 1 f(x)= N/ix|-¡x|], x0= i , y La función mayor entero y la función valor absoluto: x ; x>0 -x ; x <0 0 ; 0<x<1 r M - i ; 1 < X < 2 ; w - ( 2 ; 2 ^ x <3 l Luego la función dada: f(x) = Vx ; 0<x<l Vx-1 ; 1<x <2 n/x - 2 ; 2<x<3 a) Probamos si la función es continua en x0=1: WWW edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 635
  • 322. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV Los límites laterales: lim f(x) = lim Vx-1 =0 ; lim f(x) = lim >/x=1 f(x) = Puesto que lim f(x) * lim f(x) la fundón no es continua y por tanto, la función no x-*r x - *r es derivable en x = 1 x2-4 ; x <2 [yJx-2 ; x >2 jsQ soíiisr Probamos si la función es continua en x0=2, los límites laterales: lim f(x) = lim yjx-2 =0 x-»2* , x-*2* lim f(x) = lim (x2-4) =0 «-►9- x-*2' ' Puesto que lim f(x) = lim f(x) la función es continua. x-*2* x-»2" Probamos ahora si la derivada es continua: df(x) dx 2x 1 2s[x^2 ; X<2 ; X >2 Los límites laterales: lim f(x) = lim x-»2* x-»2*2>Ix-2 lim f(x) = lim 2(x) =4 x-»2' x-*2" Puesto que lim f(x)* lim f(x), la función derivada no es continua y por tanto, la x-»2" x-*2~ función no es derivable en x =2. f(x) = |x+2| 2-2x2 x2-4x +2 x <0 0 íí x <2 ; x0=0, 2 x >2 jk u q c h f a) Probamos si la función es continua en x0=0 los límites laterales: lim f(x)= lim ( 2 - 2 x 2) = 2 ; lim f(x) = lim |x+2| = 2 v_»A* %_*/!* ' ' x-#0* “ Luego la función es continua en x =0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I. www.solucionarlos,net mvw edukpefti.com www.solucionarlos,net CAPITULO IV í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Probamos ahora si la derivada es continua. f(x) = x+2 ; -2 £ x <0 1 -2 <x <0 —x—1 ; x <- 1 df(x) - 1 x <—1 ro 1 ro X K ; 0 <x <2 dx -4x 0 £ x <2 x2- 4x +2 ; x£2 2x-4 x £ 2 Los límites laterales: lim f(x)= lim(-4x)= 0 ; lim f(x) = lim(l) =1 x-*0* x-*0* x-»0" x-»0' Puesto que lim f(x) * lim f(x), la función derivada no es continua y por tanto, la x—♦0* x-*0‘ función no es derivable en x =0 b) Probamos si la función es continua en x0=2, los límites laterales: lim f(x)= lim (x2-4x +2) =2 ; lim f(x) = lim (2-2x2) =-6 x-+2* Puesto que lim f(x) * lim f(x), la función es discontinua en x =2, por tanto no x-*2* x-»2" es diferenciable. ^ f(x) =|x-3|3(x-3) +x3|x - |J, x0=3 La función mayor entero y la función valor absoluto: h 3l 3 , 3 5 n < x— <n+1 =>n <x— <n +l=>n +-<x<n +- 2 2 2 2 La función valor absoluto: |x—3| = X-3 ; x>3 3-x ; x<3 Finalmente: f(x) = (x-3)4+x3 ; x>3 l-(x-3)4+x3 ; x<3 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 323. www.solucionarlos,net Probamos ahora si la derivada es continua. Los límites laterales: lim f(x)= lim f(x-3)4+x3l =27 ; lim f(x)= lim f—( x—3)4+x31=27 x-*y x-»3*LX ' J x-*3" x-»3 L v ' J Puesto que lim f(x) = lim f(x) =>limf(x) =27 x-»3* x-»3 x-»3 La función es continua en x =3. Probamos ahora si la derivada es continua. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I f(x) = 4(x-3)3+3x2 ; x >3 -4(x-3)3+3x2 ; x <3 lim f(x)= lim [4 (x - 3 )3+3x21=27 ; lim f(x)= lim r-4(x-3)} +3X2] =27 x-»3* x->3*L ' ' J x-*3~ x-*TL v 'J Puesto que lim f(x) = lim =>limf(x) =27 x-»3* x-»3' x-»3 La función derivada también es continua, por tanto, la función es diferenciable. ; x <—1 ; j© f(x)= x ;X < ; X„=-1 [-l-2x ; x>—I Probamos si la función es continua en x =-1 lim f(x) = lim x2=1 ; lim(-1-2x) =1+2 =1 x-+r x-»r x-»r Luego: lim f(x) = lim f(x) =1 La función es continua x- *r x - *r Probamos ahora si la derivada es continua. dx [-2 ; x >-1 lim f(x) = lim2x =2 ; lim f(x) = lim -2 =-2 x-*r x-*r x-*-r x-»-r La función derivada es continua. Por tanto f(x) es derivable en x0=1 6 3 8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net ____________ J- www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « DIFERENC1ABILIDAD IV. Problemas de diferenciabilidad Q) Calcular los valores de a,b y c para que la función: f ( x> Sea continua en x =-2y diferenciable en x =2 n ; H s2|x| a>^+ bx+ x [ |x> Arreglamos la función: f(x) = ; 0 <x <2 ; -2<x<0 ax2-bx +c ; x>2u x<-2 Para que f(x) sea diferenciable en x =2, debe cumplir con ser continua, lim f(x) = lim f(x) => lim f - 1= lim (ax2+bx +c) =>2 =4a +2b +c ...(1) x-*2' x-2* x-»2* ^X y x^r V ’ lim f(x) = lim f(x) => lim Í- —J =Jim (ax2+bx+c) =>2 =4a - 2b +c ... (2) x-»-2‘ x-*-2" Si derivamos f(x): f ’(x) = - 7 ; -2 ^ x <0 x 2ax+b ; x>2ux<-2 También f (x) debe ser continua: limf’(x)= limf’(x) => lim — r = lim (2ax +b) =>-l=4a +b ...(3) x-»2‘ x-*2‘ x-*2‘ I X2 J x-»2* W W W . s o l i i c i o n d r í o s . CI0NARI° ANÁUSISMATEMÁTIC01
  • 324. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV De (1)-(2) se tiene: -4b =0 => b =0 en (3): a =— 4 en (2): 2 =-1 +c =>c =3 Calcular los valores de a y b de la función f para que sea derivable en x =2 f(x) ={ - 3x2 i « 2 [ax +b ; x>2 Para que f(x) sea derivable en x =2, debe cumplir con ser continua, lim f(x) = lim f(x) => lim (-3x2) = lim(ax +b) => -12 =2a +b x-»2 x-»2* x- » r ' ' x-*2* Si derivamos f(x): f,(x) =j _6x ; X“ 2 ( a ; x>2 También f(x) debe ser continua: lim f'(x) = lim f'(x) o lim (-6x)= lim a => -12 =a en (1) b=12 x-»2 x-+2* x—*2* ' »_*<>• v ..O ) Halle los valores de a y b de la función f para que sea derivable en x =2 si: f(x) = ax+b ; x <2 2x2 ; x >2 Para que f(x) sea derivable en x =2, debe cumplir con ser continua lim f(x)= lim f(x) => lim(ax +b)= lim (2x2-l) =>2a +b =7 x-»2 x-»2* x-*2* *-*!>♦' / ••.(I) Si derivamos f(x): f'(x) = a ; x <2 [4x ; x >2 También f(x) debe ser continua: lim f'(x)= lim f'(x) => lim(a) = lim 4x => a =8 en(l), b =-9 x-»2 x-*2* x-»2- x-»2* SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO wwwedukperucopí www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Si f(x) = Ix - 81(x - 8). Hallar los puntos donde f es diferenciable. f(x-8)2 ; x >8 Arreglamos la función: f(x) =< 2 [-(x-8) ; x <8 Para que f(x) sea diferenciable en x =8, debe cumplir con ser continua, lim f(x) = lim f(x) =>lim-(x-8)2= lim (x-8)2=0 x--*T x-*8* *-*8' X-*8 0 =0 Ahora probamos en la derivada, si f(x) es diferenciable. 2(x-8) ; x >8 f’(x) = -2(x-8) ; x <8 l¡m f(x) = limf(x) =>lim-2(x-8)= lim 2(x-8)2-0 x-*8 x-»r «-*8' x~*ü Lo que prueba que f(x) es diferenciable en todo su dominio,x e 9?. _ I x2 x <1.Encontrar los valores de a y b tal quef(l) existe, [ax +b x£l ____ Para que (x) sea derivable en x = 1, debe cumplir con ser continua. Luego: lim f(x)= lim f(x) => lim(x2)= lim(ax+b) => a +b =1 x-*r x-»r x-»r x->i (2x ; X <1 a •x £ l También f(x) debe ser continua: lim f(x) = lim f(x) => lim(2x) = lima 2 =a en(l); b =-l x-»r x-*r x-*r . x-*i viwv edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 325. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) S Halle los valores de a y b de manera que exista f’(2); si: f(x) =J ax +^ [x -3 ; Para que f(x) sea derivable en x =2, debe cumplir con ser continua, lim f(x) = lim f(x) => lim(ax +b) = lim(x2-3) => 2a +b =1 x-»2* x-»2* x-»2" x-*2" Si derivamos f(x): f’(x) = a ; x<2 2x ; x >2 También f(x) debe ser continua: lim f(x) = lim f(x) => Iim(a)=lim2x => a =4 en (1); b = 1- 8 =- x - » r x-»2’ x-»2~ x->2' {0X+ h X* derivable en todo su dominio. (.> riii (X) Para que f(x) sea derivable en x =1, debe cumplir con ser continua, limf(x) = lim f(x) => lim(ax +b) = lim(x2) => a +b = 1 x-*r x-*r x-»r x-»r Si derivamos f(x): f'(x) = a ; x >1 2x ; x <1 También f(x) debe ser continua: lim f(x) = lim f(x) => lim(a) = lim2x => a =2 en (1); b = 1—1=- x-*r x-*r x-»r x-»r Halle los valores de a y b de manera que la función: f(x) = ax2+b ; x 1 M ; xx CAPITULO IV ;i x<2 ii x >2 7 ; x sea ; x< <1 >1 6 4 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukpsru.C0D www.solucionarios.net Para que f(x) sea derivable en x =1 debe cumplir con ser continua, lim f(x) = lim f(x) => limíax2+b)= lim¡f^l => a +b = 1 .—O) x-»r x-*r x-»r' x-»i y,x f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO IV.....................................................................................................................-V--------- -— ' ‘ ^ 8 --- 2xa ; x <1 Si derivamos f(x): f '(x) = También f(x) debe ser continua: — Y ? X>1 x lim f(x) = lim f(x) => lim(2xa) = lim-f-y | => a =-^; b =¿ x—*i x-»r x-»rx-.i^x;¿*• fx2+mx +3 ; x <—1 Halle las constantes my n de tal manera que la función: f(x) - | +n . x >-1 sea derivable en x =-1 Para que f(x) sea derivable en x =-1 debe cumplir con ser continua. lim f(x)= lim f(x) => lim (x2+mx+3) = lim(n-4mx) x-»-r x-f-r *-*-? =s> l- m +3 =n-4m => n =3m +4 ...(I) Í2x +m ; x^-1 Si derivamos f(x): f'(x) =< [ —4m ; x >-1 También f(x) debe ser continua: lim f(x)= lim f(x) => lim (2x +m) = lim (-4m) x-»-r x-*-r x-»-i x t] 2 6 26 2 26 -2 +m =-4m => m=— en(l) n =- +4 => m- ^ » n- 5 0 Sea la fundón definida como: f(x) =I donde a y b son constantes ArtA-1uk;,6(ucor. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 326. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS )----------------- ------------- _JL.................................................................................................... CAPITULO IV i) Si la función es continua para todo x. ¿Cuál es la relación entre a y b? ii) Determinar los únicos valores de a y b que hacen a f continua y diferenciable. i) Si f(x) es continua en x = 1, se cumple: limf(x)= limf(x) => lim(3-x)= lim(ax2+b) => 3 - l= a +b=>a +b =2 *-*• x-»i* x-»r x-*i* ii) Si derivamos f(x): f'(x) =• ^ » x<1 [ax +b ; x£l También f(x) debe ser continua: lim f(x) = lim f(x) => lim(-1)= lim(2ax +b) =o 2a +b =-1 *-*i x-»r x-»r x-#r Si a +b =2 => a =-3; b =5 O fM “ |x-3f(x-3)+x’ [x - ¡J,x 0=3 J H 2 2 2 2 ¡ m í La función mayor entero y la función valor absoluto: Á 3fl , 3 3 5 n - |x ~ — <n +l => n <x—<n+1 => n+—£x<n +- 11 2Jj 2 2 2 con n = 1 => ||x- | | =l en | * x < | La función valor absoluto: |x- 3| = x-3 ; x>3 3-x ; x <3 Finalmente: f(x) =j 3) +x * x>3 [-(x-3)4+x3 ; x <3 Probamos ahora si la derivada es continua. Los límites laterales: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I " wwvv.-*dukperu www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO IV 0 CEDUARDO ESPINOZA RAMOS « lim f(x)= lim j^(x-3)4+x3J =27 ; lim f(x) = lim ^-(x-3)'+x3] =27 Puesto que lim f(x) = lim f(x) => lim f(x) =27 x-*3* x-»3* x-+3* La función es continua en x =3. Probamos ahora si la derivada es continua. í 4(x-3)3+3x2 ; x >3 f(x) = y|-4(x-3) +3x2 ; x<3 limf(x) = lim j^4(x-3)3,+3xs] =27 ; lim f(x)= lim [-4(x-3)3+3x2] =27 Puestoque lim r4(x-3)! +3x2l =27 lim f(x) => lim f(x) =27 x-*3* L J x-*3~ x-»3* La función derivada también es continua, por tanto, la función es diferenciable. Dado f(x) =(x—l) [ xl trace la gráfica de f para x e (0,2) halle si existe f±(1), f+(1); f _ (1 ) 0 ; 0 £ X < 1 0 ; 0 < X < 1 Desarrollamos f(x): |x| =•1 ; 1<X <2 => f(x) =■x—1 ; 1< X < 2 2 ; x =2 2 ; x =2 Probamos ahora si f(x) es continua en x = 1: limf(x) = limf(x) => Iimr0]=0= Iim[x-1]=0 x-*r x-»r x-»r x-»r De donde: lim f(x) = lim f(x ). Por lo que f(x) es continua en x = 1. x-*r x-*f Puesto que f(x) también debe ser continua, derivamos: f'(x) = 0 ; 0<x<1 1 ; 0 < X <1 0 ; x =2 www edukperu.com ___ www.solucionarios.net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 327. wvi/w.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV limf(x)= limf(x) => fj(l)= lim[l]=l; fj(l) = lim101=0 x-»i *-»r x-*r x->r Puesto que lim f(x) * lim f(x) => f(1) no existe. x-*r x-»r O Dado f(x )_(5 -x )[x j, trace la gráfica de f para x e [4,6], obtenga si existen f.(5), f+(5); f(5). * Desarrollamos f(x): |x] =j 4 ' 4 " X <5 => f(x) =| 4|5~ X) ; 4 ~ x<5 [5 ; 5<x <6[5(5-x) ;5 ^ x < 6 La expresión derivada: f'(x) = » 4 ~ x <^ (-5 ; 5<, x <6 Los límites laterales: f+(5) = lim (-5) =-5 ; f (5) = lim (-4) =-4 x—*5* "w.c«''x-*5# Puesto que f; (5) * f_(5) =>f(x) =¿ O Dado f(x) =(x-a)¡xj. Demuestre que f' (a) +1=f'+(a) Desarrollamos f(x): [ x U Í 3' 1 : a - 1Sx<a f(x)= í(x - a )(a- l) ;a- 1 S x < a 1 3 ; a £ x < a +l [ a(x-a) ;a<x<a +1 f'(x) = a-1 ; a-1£ x <a a ; a<a +l Luego: f_(a) +1 =a-1 +1 =a =f+(a) demostrado O Determine f(-3; si f(x) =(|x|-x)V9x . 646 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ____________ ±L www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Desarrollamos f(x); |x| = | de donde: f(x) =j _ J ^ _ ’ ^ df(x) = 8x5^9 _ df(-3) =8yf-3y¡9 _ Q dx 3 dx 3 DERIVACIÓN MEDIANTE TABLAS dy Hallar la derivada — si : dx y = (x +a)m(x +bj ___________ m X n d(uv) d(v) d(u) y =(x + a) (x +b). Derivada como un producto: — — =u——-+v —— 7 v ’ v ' dx dx dx Donde:v =(x +a)~m; u =(x +b) n ^ m(x +ay"1’1(x +b)~° - n(x +4)'m(x +b)"""' ; Arreglamos: dy -m n m(x +b) +n(x +a) d i " (x +a)m+' (x +b)n (x +a f (x +bf1 (x +a)"*1(x+b f 1 x y = Va2- x2 Derivada de división: d|H v i vu- uv dx v wwwedukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 328. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV y = x d Va2-x2x’-x(Va2-x2)' ^ 7 " ( 4 ^ 7 ) ' ■ / ^ - x( f - x°)' ________ 2Va2-x2 rr-- 7 . / rr-- r ./»«_*,* . x(2x> a - x 2+x2 dx_ ^ r x - x ( ^ r ) y» x + 2y ^ r y J7 = 7 ~ dy y = vix+a Vx +Va d i“ y = ]—^r~ Derivada de una división: -- v ^=——uv vxva dx v2 cjy (>/x+a)(Vx +Va)-Vx +a(Vx +Va) * ( V ^ f 'l* +J * - . 4*+» n r r.--- ,---- :+a 2Vx Vx(Vx W a )-Vx +aVx+a (Vx +Va) 2>/xVx+a{Vx+Va) dy _ x+Vxa -x-a Vxa-VaVá Va(Vx-Va) dx y = 2>/xVx+a(Vx +Va) 2VxVxTa(Vx +Vaj 2>/x>fx +a(Vx +Va) >/2x2-2x+1 jT r.Tm^T.riMr Mediante la regla de la división: d - Vv J -vu-uv' dx _í SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.8dukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO IV C EDUARDO ESPINOZA RAMOS « dy dx x(V2x2- 2x+l)-x V 2x? - 2x+1 X[ v 2x2- 2x+1 4x -2 -V2x2- 2x+1 dy dx ; x ( v/2x ; - 2 x + i ) - xn/2x * - 2 x + 1 X ( ^ _ 2x + i ) ^ 2 X t l y = Mediante la regla de la división: (3x2+6x) dy 3 ^ x1+3x! )! d|H V i VU-UV dx v2 ->/x3+3x2 dx x3+2x2- x3- 3x2 -x* x2^/(x3+3x2) x2^(x3+3x2)* ^(x3+3x8): y =(3x2+4x +8)Vx-l Derivada de un producto d(uv)’ =uv’ +vu’ y =(3x2+4x+8)Vx"-T => g =(6x +4) . ¿ P Í +5 ^ £ ^ dy _ 12x2+8x-12x-8 +3x2+4x +8 _ 15x2 dx 2Vx-1 2Vx-l SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 649
  • 329. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) O CAPITULO IV y = Derivada de un cociente: dy _ nxn-'(x +1)n-nxn(x +1)n dx~ (x +1)2n dy _ nx (x+1) [x (x +1) J nxn(x +1)n(l +x-x) nxn' (x +1)2" x(x +l)(x +l)2n (x+1)dx y = Vi +X +Vi - x Vi +x - Vi - x H6l 9íri6Íb5M Derivada de un cociente: dy (Vl +x-Vl-x)(Vl +x+V1—x)'-(Vl +x-Vi -x )'(V1+x+Vi -x dx dy dx dy dx (TiTx -Vi-x) 2t/Í^7 J - rvr^+vTT^'i 2VTxr J (Vl +x+Vl-x) Vi +x-Vi -X 2 dy dx 2 / 1- x2 (Vi +x-Vi -x) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.èciukperü'coi'n1 www.solucionarios.net í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO IV ..................................................................................... .V.----- ----------------------------- 1+x -2>/l-x2+1 - x- í1 +x+2Vi - x* +l-x) iy 2 - 2>/T-x^ - ( 2+2vl-x^ © -2 dv -(l +V T o ? dx p - l +xc)2Vl-x- x- y s ( x + a f ( x +b)n (l +x - 2 > / W - 1 - x )2 V Í^ F *1 _n/i -X- Vl -x; . dv y =(x +a)m(x +b)n => -p =m(x +a) (x-b) +n(x +a) (x +b) dx — =(x +a| " (x +b)" fm(x +b) +n(x +a) dx y = Vx: 1* Vx* -1 Vx: +1- >/x--1 • Arreglamos la expresión aplicando conjugada al denominador. n8- 1 - 2 > ^ T - x--1 . p - Derivamos: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net
  • 330. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPITULO IV dy o (x4_1) o 4x' 2x r 2 n — r— =2x+ =2x +— , =- = = x +vx -1 dx 2-s/x4-1 2>/x4-1 Vx4-1 O = (Vx~+1+Vx: -1) y = 1- Vx l +Vx /i- >/x dy _ í l - ^ 1 ,i+ 7x, i l u ¿ ¡ + Í3 1 *3 1 + dx J l - 7 Í 2 |l- V í (i+VS r 0 1+Vxdy 1 dx =2(x +^ ) ^ i _ ^ ) ( 1+^ ) s 2Vx/. dy dx 4 dy =_________ 1___________________1 dx 2(l +Vx)VxVl-x 2(l +Vx)Vx-x2 4x+6 y = Vx2+3x +4 dx (4x +6)'Vx2+3x +4 -(4x +6)||Vx2+3x +4j' (Vx2+3x +41 2 I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I tvww.solucionarlos,net www edukperu com www.solucionarlos,net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « 4v 7 7 ^ - (4x^ )(xg+3x. : ^ 2Vx2+3x +4 x* +3x +4 d y dx r-r------ (2x +3)(2x +3) 4Íx2+3x +4)-(2x +3)(2x+3) 4Vx +3x +4 ,— ----- — ¡ ; —— 2 V x 2 + 3 x + 4 ________ Vx + 3x + 4 ____________ x 2 + 3x + 4 x “’ + 3x + 4 d y 4 x 2 + 12x + 1 6 - 4 x 2 - 1 2 x - 9 _ dx (x2+ 3x + 4)' ( x 2 + 3x + 41 © y = y = ^ x3- ^ 2x3+1> ^x3-1 V dy=> — = 4 2x +1J dx xJ -1 ^ v2x3+b x] -1 V ,2x! +1, — - 4 dx i n X 3x2(2x3+1) —6x2(x2—1) l,2x4+ lj (2x3+1)! J d y dx =12x2 <x3-1 2x3+1 2x* +1-2x3+2 (2x3+l)2 J d y 3 6 x ! ( x j - 1 ) 3 dx~ (2x3+)5 O y = y = Va+bx-Va-bx Va+bx+Va-bx Va+bx-Va-bx Va+bx+Va-bx . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 331. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV O dx dy dx dy dx (Va +bx +Va-bx ) (Va +bx - Va-bx)'-( Va+ bx +Va-bx j'(Va +bx - Va-bx ] (Va +bx+Va-bx )^- (Va +bx +Va- bxj J l ___+ b — i-(Va +hx-Va-bx) lyla+bx 2Va-bx ) ' b b Ì ^2Va+bx 2Va-bx, (Va +bx +Va-1 b'------------ (Va +bx +Va- bx) »x) b(Va +bx - Va-bx) — +—- <---- — ---- Va2-b2x2 2(Va+bx+Va-bx) b(Va +bx+Va-bx) +b(Va +bx-Va +bx) dx 2(Va +bx+Va-bx) Va2-b‘x* ^ b(a +bx+2Va2+b2x2+a-bx +a+bx-2Va2+b‘V +a-bx) 2(a+bx+2Va2+b2x2+a-bx)Va2-b Vdx dy dx dy 4ab ab 2 (2a+2Va2+bV)Va2-bV (a+Va2+b2x2)Va2-bV ab(a-Va +bx) ab(a-Va +bx) dx " (a2-a2+b2x2)Va2-b2x2 b V N/¡2-bV dy _ a dx bx? a . ,Va2-b2x2 -1 a bx2 1- Va2-b2x2/ y = ( x2+3x +5N 2x-1 » SOLUCIO www.solucionarios.net www Rdukpftftt f <*>ití www solucionarios.net CAPITULO IV © o www e ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « Xs+3x+5 Ì dy _ j x2+3x +_5 2x-1 ) ^ dx l 2x-1 ü « f f lf ir a r .T « r2+3x +5 , 2x-1 , dy dx =5 x2+3x +5V (2x —l)(2x +3) —2(x2+3x +5) l 2x-l J 1 (2x-1)2 J dy (x2+3x +5)4 . B f . 5(2x 2-2 x - 1 3 )^ 2 — = 5-------- —Í4x + 4x-3-2x -6x-10) = v dx (2x —1) 1 ' (2x —1) t F V W W i =ro*^(1-x/"(1 +x)" m I y =(1-x)m*" (1+x)í>"*") — =— (1-x)m*n(1+xV"wn) +—-—(1-x)n,+n(l +x)(m*"H dx m+n ’ v m+n 1 v m -n -H -m dy n(1-x)m*" (x +1)">♦" m(l-x)n>-" (x+ 1)m*" dx m+n m+n dy 1 dx m+n dy dx n(l-x)"*"' (1+x)"+"»-m(1-x)nVm(x+1)"*"' [m(1-x)-m(x +1)] (m+n)(1+x)(">;") (1-x)<m*n| ■ F x2+3x +5 2x-1 www.solucionarios.ñ'étCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 332. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPITULO IV O o V l-x3 dx M +x3 1-x3 33 2 dy _ 1 dx "3 1 3 21—x 1+x3y (l-x3)(l-x3)’-(l +x3)(l-x3)' = 1 1+ x 3VI 1-x ^ 3x2(l-x3) +3x2(l +x3) - 1J í 1+x3i 6x2 J [ (1-x3)2 -3^1[ 1 -x3J [ C - x ' f J 1—x ( 1+x1 dy _ 2x2 " 1 ~3^ dx =(i -x3)2Íl y =¡x-¥yjx+^x = => — = |x+V>Tf dy — =—f- U . ■ 2•Jx+yjx +'jx ( 2y]x+>fx ^ 2^x+v>r+Vx (x +>/x)' dy _ 1 dx 4^x + .y¡x +y/x y =y¡] +x/í+W 2yjx +sfx +1+ 1 1+2>/x +4/xVx +Vx 8yfx>jx+lx +fx .yjx +>/x SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net -lLL www «frttikpfífti tr^m wwiv.solucionarios.net CAPITULO IV ' Í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « I------;--------- , |l+Vl+</x’ y=V^TW =>^ =4 — ¿1 d* 3 ^ (1+« ) dy dx (l +Vx)' 3 (3 )^ l +y/í+>/x J |>/l+>/x) 9(3)VxF^(l +Vx) ^1 +y/l +f/xj dy dx 1 y =Arctg 27Vx2i‘/í1+3/xV ^1 +^1 +Vx) Vl-Cos(x) 1+Cos(x) ^ ^ f ir n r a r iM í Se conoce que: Sen1' Cos‘ x^i 1-Cos(x) .2J _ 2 xA 1+Cos(x) V2 Seni -1 =^1- Cos(x) >/2Cosí - Ì=^1+Cos(x) y =arctg Hf)l^l-Cos(x) =arctg =arctsHfl[^1 +Cos(x}J Mil O x dy 1 y =— => — =- 2 dx 2 Cos(x) 1 y =--- ^ --- Ln 2Sen (x) 2 T S I Í 1 Cos(x) 1 y =-------— ----- Ln 2 Sen(x)Sen(x) 2 T S I Í =i a g(x)Csc(x)-ÍLn Tg ; Derivando: ww w .edjkperu :.om ______ wwwsolucionarios.net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 333. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................................,V Ts( dy dx dy dx -~Csc2(x)Csc(x)-^Ctg(x)Csc(x)Ctg(x)- 2TS l¿ 1 Cos (x) 2 rSecsI r 1+Cos2(x) 2Sen3(x) 2Sen (x) 2Tg(j} 2Sen3(x) 4Tg[|jcos 2 | X l +Cos2(x) +Sen2(x) dx " 2Sen3(x) f A Cqs fx^ 2Sen3(x) U J U J ^ - 2 1 --Cosec3(x) dx 2Sen (x) Sen (x) Tg(x)-Tg3(x) 1-6Tg2(x) +Tg4(x) Tg(x)-Tg3(x) V 1-6Tg2(x) +Tg4(x) • Arreglamos llevando todas las expresiones a Seno y Coseno. Sen(x) Sen3(x) Sen(x)Cos2(x)-Sen3(x) Cos(x) Cos3(x) Cos3(x) 6Sen2(x) Sen4(x) Cos4(x)-6Sen2(x)Cos2(x) +Sen2(x) Sen(x)Cos(x)[Cos‘ (x)-Sen'* (x)] V Cos4(x) - 6Sen2(x)Cos2(x) +Sen4(x) Se sabe: Sen (20) =2 Sen (0) Cos (0) Cos(20) =Cos2(0)-Sen2[0) i • soLUCiorwww.solucionarios.net vww.édukoéfu www.solucionarios.net CAPÍTULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « C0s=W =1^ 2 !Í! £ ) Sen (6) = _ l-Cos(26>) y= Sen(2x)Cos(2x) 2 [Cos2(x)]~ -6 1-Cos2(2x) 1-Cos(2x) Sen(2x)Cos(2x) y = l +Cos(2x) 2 -6 1-Cos* (2x) + 1-Cos(2x) 2 4 4 4Sen(2x)Cos(2x) y = y = 1+2Cos(2x) +Cos2(2x) - 6Sen2(2x)+1- 2Cos(2x) +Cos2(2x) Sen(4x) Sen(4x) 2+2Cos2(2x )- 6Sen2(2x ] 2+2 1+Cos(4x) -6 l-Cos(4x) 2 2 y = Sen(4x) 2+1+Cos(4x)-3 +3Cos2(4x) 4Cos(4x) 4 Sen(4x) 1 V 1 =-rTg(4x) Derivando: ^ =-^(Tg(4x))' =-j-Sec2(4x)(4x)' =^ Sec2(4x) =Sec2(4x) y =Arctg / x -n ^ - Arctg [ex+ e nJf p x _ p x 'i / y =Arctg -Arctg [ex+exJ < Cos(x) +2Sen(x) Sen(x)-2Cos(x) íMfTf'Í^TiT Cos(x) +2Sen(x)^ Sen(x)-2Cos(x) ; Derivando: www eduKper www.solucionarios.riétCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 334. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j v Cos(x)2Sen(x) CAPITULO IV dy dx e -e e* —e~xvc c y 1+ e -e 2 *.x+e'xv v T C y 1+ dy dx Sen(x)-2Cos(x) Cos(x)2Sen(x) Sen(x)-2Cos(x) (e* -+-e-x)(ex+e*x) -(ex-e 'x)(ex+e'x)' (ex+e‘x)2 Cos(x)2Sen(x) Sen(x)-2Cos(x) 2 (ex+e~x)* +(ex-e 'x) (ex+e'*)‘ (Sen(x)-2Cos(x)) +(Cos(x)+Sen(x))‘ (Sen(x)-2Cos(x))‘ dy (ex+e'x)(ex+e~x)-(e x-e~x)(ex- e x) d i ~ e2x+2” e-' +e'2x+e2x- 2eV * +e 2x (Sen(x))-2(Cos(x))(Cos(x) +2Sen(x))‘ -(Sen(x))-2Cos(x)2(Cos(x) +2Sen(x)) (Sen(x)-2Cos(x))‘ (sen(x)-2(Cos(x))‘ +Cos(x)+2Sen(x)J (Sen(x)-2Cos(x))‘ dy _ e2x+2exe~x+e~2x-e 2x+2e"xe x-e '2x dx 2e2x+2e'2x [Sen(x)- 2Cos(x)] [2Cos^ x) - Sen(x)] - [ Cos(x)- 2Sen( x)][ 2Sen( x)+ Cos( x)] Sen2(x)- 4Sen(x)Cos(x) + 4Cos2(x)+ Cos2(x) + 4Sen( x) Cos( x)+ 4Serf ( x) Multiplicando y agrupando los paréntesis del segundo término: dy _ 4 4Sen(x)Cos(x)-4Cos2(x)-Sen2(x)-4Sen2(x)-Cos2(x)-4Sen(x)Cos(x) dx 2(e!x+e~2x) 1+4 dy dx -4-1 (e2x+e'2x) 5 pero Cosh(2x) = e2x+e 2x SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I .awww.solucionarlos,net www edukperu con* www.solucionarlos,net dy dx O y - y = CAPITULO IV dy dx dy dx y dy dx ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Cosh(2x) +1 Arcos ( 2x 1 N X —1 x2x+l Arcos ( x2n-1^ x2n+1 derivando: — = dx r x2n-1V x2n+1 x2n-Q x2n+ 1 (x2n+l)(x2n-l)'-(x2n+l)'(x2n- l) (x2n+ 1)2 (x2n+ l)(2nx2n-’)-(2nx2n-')(x2n- 1) (x2n+1)>/x4n+2x2n+1 - x4n+2n2x-1x *"-1 x2n+1 2nx2n1(x2n+l-x2n+1) 2nx2"~'(2) _ 2nx"’’ (x2" + l) V ^ ~ 2xn(x2n+l) ~ ~ x2n+1 m Tab Arctg mVab Arctg dy 1 dx m>/ab 1+ / r—2 emX P V V b , b mVab 1+e — b vb J 1+ e - Ib . b +ae‘ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 661
  • 335. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV dy Dividimos entre emx: — = dx ae™ +bemx O 1 x*Aícts(x)+^Ln(x)+l y = -= e Vx 1 x*Arctg(x)+jLn(x)+1 y =7=e Vx dy dx dy dx dy dx ■Jx x2 1 2xArctg(x) + ~= + - 3V ’ x +1 2x x*Arctg(x)+-Ln(x)«-l 2Arctg(x) .T í x*Arctg(x)*iu>(x)+1> * y = Arcsen x2+1 Sen(a)Sen(x) 1-Cos(x)Sen(x) y = Arcsen dy dx Sen(a)Sen(x) 1-Cos(ar)Sen(x) Sen(ar)Sen(x) 1-Cos(a)Sen(x) f Sen(a)Sen(x) -2 l-Cos(a)Sen(x) www.solucionarios.net www.edukperu.c6m www.solucionarlos,net CAPITULO IV ,CEDUARDO ESPINOZA RAMOS « [l-Cos(a)Sen(x)]Cos(x)Sen(a) +Cos(ar)Sen(a)Sen(x)Cos(x) — = Sen(ar)- dx v ’ [l-Cos(ar)Sen(x) |[l-Cos(a)Sen(x)] -Sen2(a)Sen! (x) [l -Cos(ar)Sen(x)J l-Cos(a)Sen(x) +Cos(a)Sen(x) [l-Cos(a)Sen(x) — = Sen(¿r)Cos(x)-p=-------------------------------------------------- c*x y[l-Cos(a)Sen(x) ‘ -Sen2(a)Sen2(x) dy 1-Cos(a)Sen(x) Sen(a)Cos(x) dx [l-Cos(a)Sen(x)]>Jl-2Cos(a)Sen2(x) +Cos2(ar)Sen'J(x) +Sen2(a)Sen2(x) dy Sen(a)Cos(x) dx [l-Cos(a)Sen(x)] ^l-2Cos(a)Sen2(x) +Cos(2a)Sen2(x) ^ y = Areeos b+aCos(x) y = Areeos a+bCos(x) b +aCos(x) dy dx a+bCos(x) b+aCos(x) a+bCos(x) Tabla: d[Areeos(u)] _u* dx a+ bCos(x) 1- b +aCos(x) a+bCos(x) ^[a +bCos(x)]‘ -[b +aCos(x)J b +aCos(x) a+bCos(x) dy a+bCos(x) [b +aCos(x)]'[a +bCos(x)]-[a +bCos(x)]'[b +aCos(x)] ^(a2-b2)[l-Cos2(x)] [a+bCos(x)J . . . SOLUCIONARIOANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 663
  • 336. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV © dy a+bCos(x) j-aSen(x)[a +bCos(x)]-bSen(x)[b +aCos(x)] ( dx ~ ^(a2-b 2)Scn” (x) | [a +bCos(x)]2 j dy [a +bCos(x)]Sen(x) I-a2-abCos(x) +b2+abCos(x) I dx Sen(x)^(a2-b 2) | [a +bCos(x)J ] dy _ [a +bCos(x)][ -a2+b2 .] ________a2-b 2______ Va2- b2 dx ^(a2-b 2) |[a +bCos(x)] j [a +bCos(x)]Vaz-b 2 a+bCos(x) M I jg ^ E E S iM M iÌ Tabla principal: (un)' = unn"'u‘ y = Cos2 y = Cos 1+n/x 1 - V T — = 2Cos dx 1+ >/x W P 1+ V * , Cos 1+ V x 1= -2Cos Sen 1+VxJ lj +>/xJ(j +Vx, Identidad: Sen(2u) = 2Sen(u)Cos(u) — = -Sen dx o í i - ^ í i ( l - V x ) ’(l + V x ) - ( u > / x ) '( l - V x ) Z { i + sfc)_ ( + & f — = -Sen dx — = —?=Sen dx 2v/x [ - ,2^ ( 1 - 4 ( u j l ) ' i+-s/x 1+>/x + l->/x ^ ( i + 7 í) Sen íí-Vx 1+>/x SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www solucionarios.net www edukperu ccj www.solucionarios.net CAPITULO IV EDUARDO ESPINOZA RAMOS « y = Sen2 1-Ln(x) y = Sen2 l-Ln(x) Tabla principal: (un)' = unn 'u' — = 2Sen 1-Ln(x) i Sen 1-Ln(x)' ----- -— dx X 1 X J — = 2Sen 1-Ln(x) Cos 1-Ln(x) 1-Ln(x) dx X X X Identidad: Sen(2u) = 2Sen(u)Cos(u) dy dx = Sen<2 1-Ln(x) x[l-L n (x )]'-x '[l-L n (x )] O ^ = Sen 2 dx l-Ln(x) -x | -] -1 + L n ( x ) Ln(x)-2 Sen^2 l-Ln(x) y = Tg y = Tg 1-e* 1+ex ^1-e*N — = Sec2 dx 1+e (-y X 1 - e Tabla principal: [Tg(u)]’= Sec2(u)u' vl +e yv 1+exJ = See 1 - e x 1+ex (l +ex)(l-e x)'-(l-e x)(l +ex)' ( l+e”) WWW edukperu.eom SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 337. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV — = See2 dx 1-e* I j +ex dy dx (~ex)(l +ex+ l- e x) ( 0 y =~Arctg(x) +^Arctgí — See2 ^1 - e x > Ue - 2e* (l+e") See2 r1-e x J +ex y = - Arctg(x) + -Arctg 1—x u» Tabla principal: [Aretg(u) ] 1= -— ¿ dy _ 2 dx "3 í X' 1 1 / x l1 - X ! J 2 1 1 1 Xro »0 1 ------1 1 X10 X f X 1 X 10 1 J +x2J 3 1+L.-«* r 3(1+x2) 3 (l-x2)2+x2 0 - x!f J dy _ 2 1-x 2+x(2x) _ 2 1+ x2______ dx ” 3(l+ x8) 3r(l-x 2)* + x2] _ 3(l +xs) 3 [l-2 x ! +x‘ +xs] dy _ 2 1+ x* 2+2x2+2x *-(l + x2)2 2+2x*+2x * -1- 2x8- x ‘ dx 3(l + x2) 3 [l-x 2+ x4] 3(l +x2)(l-x 2+x4) 3(1 + x6) dy 1+ x4-4x2 dx 3(l +x6) ^ y = Ln TS >1X^ -Ctg(x)Ln[l +Sen(x)]-x HSOLUCIONARIQANÁLISIS MATEMÁTICO I • , www.solucionarlos,net www edukperu c<Srti www.solucionarlos,net CAPITULO IV EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O y = Ln dy dx -Ctg(x)Ln[l +Sen(x)]-x v2J r o Ctg(x)f"l +Sen(x)l' — 7 Z+Csc( x M 1+SenM ]-------USen(x) ' dy dx dy dx dy dx ( x 1i X 1 ^CC i 2 jl 2 J Ln[l +Sen(x)] Ctg(x)Cos(x) ^ Tg 1 Sen2(x) 1+Sen(x) Ln[l +Sen(x)] Cos2(x) m i Cos’ l | 1 2Sení|)Cos(2 Sen2(x) Sen(x)[l +Sen(x)] Ln[>l +Sen(x)] 1-Sen2(x) Sen2(x) Sen(x)[l +Sen(x)] -1 -1 dy i Ln[l +Sen(x)] 1-Sen(x) ^ Ln[l +Sen(x)] Sen(x) ^ dx Sen(x) Sen2(x) Sen(x) Sen2(x) Sen(x) dy Ln[l +Sen(x)] dx SenL’(x) y = -Ln 4 i, r 1+x^iy = -Ln4 ^.X//"lArctsW=iUl(1+x)-^Ln(1-x)-|Arcts( I *I i >I Tabla principal: [Ln(u)]’= — ; [Arctg(u)]' = -— 2 www.edukperu.com 1 ■ # www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 338. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS dy 1 1 - •+ CAPITULO IV 1-X+ 1+ X dx 4(l +x) 4 (l-x ) 2(l + x2) 4(l +x )(l-x ) 2(l + x2) dy _ 1 1 1-i-x2- 1+ x2 _ x¿ dx 2(l-x2) 2(l +xa) 2(1-x2)(1 +x?) 1-x4 y =Ln(x +>/x2-1j i i-------dy (xW x 2-1 y = Ln x+Vx2-1 derivando — = ---------..— -- yI dx X+ dy dx 1+ 2x 2>/x2-1 'x + V ^ T x +Vx2-1 x +>/x2-1 >/x2-1 y = VxArcsen(Vx) +V f-x y = VxArcsen(>/x)+ >/l-x Tabla principal: [Arcsen(u)]' = -j= ^ = ; [^ “ ] '==2^F= dy 1 / r'/x (n/x V (1-x)' — = —-= Arcsen Vx I+ , + , dx ^ — = —!= Arcsen(Vx) +— —-----r= = dx 2vx 2>/xVl-x 2>/l-x SOLUCIONAR www.solucionarios.net www edukperu.cofn www.solucionarios.net ......................t EDUARDO ESPINOZA RAMOS « dy 1 dx = — Arcsen(%/x)+— ----- p = = —t= Arcsen(>/x) 2>/x v ’ 2>/l-x 2M -x 2Vx v 1 & y = Ln^2Sen(x) +l +^2Sen(x)-lJ y*=Ln ^2Sen(x)+l +^2S en(x)-l]; Tabla principal: [Ln(u)]’= ~ [2Sen(x) +l]' [2Sen(x)-lj' dy |^Sen (x)+1 + yj2Ser(x)-1 ] 11 2^2Sen(x)+1 * 2^2Sen(x)-1 dx ^2Sen(x) +1+^2Sen(x)-1 ^2Sen(x) + 1+^2Sen(x)-1 2Cos(x) t 2Cos(x) 1 _ + 1 dy 2N/2Sen(x)-f-1+ 2>/2Sen(x)-1 ^ , ^2Sen(x)^1 ^2Sen(x)~ dx ^2Sen(x) +l +^2Sen(x)-1 ^2Sen(x) + l +>/2Sen(x)-1 ^2Sen(x)-l +<^2Sen(x)+ l dy r / ^ ^S enjxJ-I^S enfxJ +l * Cos(x) dx ^2Sen(x)+1 +^2Sen(x)-1 ^4Sen" (x) —1 ^ y - ü j lig j2 | W Vl-Sen(x) y=Ln^ T ^ M =|Ul[1+Sen(x)]- |Ln[1-Sen(x)] u*Tabla principal: [Ln(u)]' = — SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 339. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV O dy _ [l +Sen(x)]‘ [l-S en(x)]' Cos(x) Cos(x) dx 2[l +Sen(x)] 2[l-Sen(x)] 2[l +Sen(x)] 2[l-Sen(x)] dy Cos(x) 1 1 Cos(x) 1-Sen(x) +1+Sen(x) dx 2 1+Sen(x) 1-Sen(x) 2 1-Sen2(x) dy _ Cos(x) dx 2 Cos(x) = Sec(x) Cos2(x) y = Ln|3x" +yj9xA+1 j y = Ln|3x2+¡9x* +lj; Tabla principal: [Ln(u)]' = — (9x4+1)' 6x + 36x3 6x+ 18x3 4+1_ 2y/9x4+- _ y¡9x* +1 dx (3x! +>/9x4+ l) 3x2+ >/9x4+1 3x! + V9x‘ +1 3x! +V9x‘ +1 — = 6x dx V9x4+l+3x2 n/9x4+1 3x2+V9x4+l 6x n/9x 4+1 y = Ln y = Ln 74Tg(x)+1-2^TÍ(7) V4TS(x) +l +2N/Tg(x) a T -^T ira r.T M r ■y/4Tg(x)+1-2^Tg(x) ^4Tg(x) +1+2^Tg(x) V y * fíl SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I ■ , wvviv.solucionarlos,net www edjkp®' v jiti www.solucionarios.net CAPITULO IV f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « y = Ln >/4Ts(x) +1-2>/T gíx)]-Ln[>/4Ts(x)+"l+2>/Tg(x) | u'Tabla principal: [Ln(u)]' = — dy | >/4T g (x jT Í-2^/rg(xjjl d x ~ [ n/4TS (x) +1-2n/t¡W ] ^4Tg(x) +1+2>/Tg(x) '^4Tg(x) +1+2^Tg(x) [4Tg(x) +l]' 2[Tg(x)]' [4Tg(x) +l] ,2[Tg(x)} dy 2>/4Tg(x) +1 2N/Tg(x) 2>/4Tg(x) +12>/Tg(x) dx [ >/4Tg(x) +1-2>/Tg(x)l [ >/4Tg(x) +1+2>/Tg(x)] 4Sec2(x) See2(x) 4Sec2(x) ^Sec2(x) dy 2 j4Tg(x)7T ^Tg(x~j 2j4Tg(x) +1^ g (x ) dx ¡N/4Tg(x) +l- 2 >/Tg(x)j [ N/4Tg(x) +l+ 2 N/Tg(x)l 2 1 2 + _ 1 _ dy V<Tg(x)+1 dx f^4Tg(x) + 1-2^Tg(x)] [ 1/4Tg(x) +1+2N/Tg(x)] dy dx = Sec2(x) 27Ts(x) -V 4Tg(x) +1 ^ 4Tg(x)4 )jTg(x) Sec2(x) 2n/t 8(x) +n/4Ts(x)+1 ^ T g M +l^Tgfx) [ >/4Tg(x) +1-2^Tg(x)jV /[ >/4Tg(x) +1+2>/Tg(x)] -See2(x):-1 — = Sec2(x)r ------ -------^ dx [V4Tg(x) +1^ Ü W ] -1 [V iT g M + iV T sW ] dy 2Sec2(x) dx N/Tg(x)[4Tg(x) +l] SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net w
  • 340. www.solucionarios.net 'h. - » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV O y = Ln 2ür [Sen(x)] +3 2Ln2[Sen(x)]-3 y = Ln ¡2ür ¡Sen(x)] +3 |2Ln': [Sen(x)]-3 I y = Ln|2Ln: [Sen(x)] +3j -Ln|2Ur [Sen(x)]-3| y» Tabla principal: rLn(u)]' = — dy [2Ln2[Sen(x)] +3]' [2Ln2[Sen(x)]-3]' dx 2Ln‘ |"Sen(x)]+3 2Ln2[Sen(x)]-3 dy 4Ln[Sen(x)j ¡Ln[Sen(x)]|' 4Ln[Sen(x)] jLn¡_Sen(x)]|' dx 2ür[Sen(x)] +3 2Ln2[Sen(x)]-3 Factorizamos el término: 4Ln[Sen(x)] jLn[Sen(x)~]j' dy 4LnrSen(x)"|[Sen(x)]' dx Sen(x)^2Ur [Sen(x)] +3 2Ln2[Sen(x)]-3 dy 4Ln[Sen(x)]Cos(x) j‘2ür [Sen(x)]-3-2Ln2[Seri(x)]-3 ] dx Sen(x) 1¡2Ln2[Sen(x)] +3j¡2Ur [Sen(x)]-3¡ j — - 4 L n fS e n (x )]C tg (x )| dx L 4Ln j_Sen(x)]-9j 4Ln LSen(x)]-9 y = ^Aresen (V x + 2x ) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net a www.solucionarios.net O CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « y = ^ ^Aresen|[>F~f2x j = ^ Aresen(Vx2+2x j Tabla principal: [~un]' = unn''u' ^ = Aresen(Vx2+2x jj Aresen(Vx* +2x jj' dy 1 dx dy dx (Vx2+2x)' ^ 1 - ( n/x ! + 2 x )7 1 (x2+2x) Aresen •/x2+2x) V l- x = - 2x 2yjx2+2x dy dx dy dx 2x +2 16 Aresen|>/x2+2x)J V l-x 2-2 x^x2+2x x +1 8^Aresen(Vx2+2x > / l - x 2- 2x>/x2+2x y = Aretg[Ln(ax +b)] jB E ü E O M M t y = Aretg[Ln(ax +b)] derivando: dy _ 1 dLn(ax + b) 1 (ax + b)' dx 1+Ln2(ax +b) dx 1+Ln2(ax +b) ax+b dy a dx (ax +b)[l +Ln2(ax +b)] www.edukperu.com SO www.solucionarios.netSOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I f
  • 341. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV =(2-x2)'Cos(x2)+(2-x2)j^Cos(xk’)J'+(2x)'Sen(xJ )+2xjj>en(x3)J' ^ = -2xCos(x2)-(2 -x 2)Sen(x2)(x2)'+ 2Sen(x3)+2xCos(x3)(x3)' ^ = -2xCos(x2)-2 x (2 -x 2)Sen(x2)+2Sen(x’)+6x3Cos(x3) O y = Sen[Cos2(x)]Cos[Sen2(x)] y = Sen[Cos2(x)]Cos[Sen2(x)]; Tabla principal: [u v j^ u 'v +uv’ =Cos[Cos2(x)][Cos2(x)]'Cos[Sen2(x)] -Senj^Cos2(x)]Sen[Sen2(x)j[Sen2(x)J' ^ = Cos[Cos2(x)][-2Cos(x)Sen(x)]Cos[Sen¿(x)] - -Sen[Cos2(x)]Sen[Sen2(x)][2Sen(x)Cos(x)] = Cos^Cos2(x)][-Sen(2x)]Cos[Sen2(x)J- -Sen[Cos2(x)]Sen[Sen2(x)][Sen(2x)] ^ = -Sen(2x){Cos[Cos2(x)jCos[SenL>(x)J +Sen[Cos2(x) ¡Sen[Sen2(x)]j = -Sen(2x)Cos[Cos2(x)-Sen2(x)] = -Sen(2x)Cos[Cos(2x)] O y = Sen|Sen[Sen(x)]{ JMFTOT ~ = Cos|Sen¡^Sen(x)]| {Sen[Sen(x)]|' / * * ■ , www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO IV ^p = Cos|Sen[Sen(x)j|Cos[Sen(x)][Sen(x)]' ^p = CosjSen[Sen(x)]}Cos[Sen(x)]Cos(x) í EDUARDO ESPINOZA RAM OS « y = Sen3{Sen21Sen(x)]} u = Sen(x) => — = Cos(x) ••• (1) dx v = Sen2(u) => ^p = 2Sen(u)Cos(u) = Sen(2u)^p ... (2) — = 3Sen2(v)Cos(v)— ••• (3> dx dx (3) y (2) en (!):■ ^ = 3Sen2|Sen![Sen(x)]¡ CosjSen^ [Sen(x)]|Sen[2Sen(x)]Cos(x) y = Senjsen [Sen(x )+ll | jH E E E iM W t +1T - ^ = 49x‘ [Sen(x7)+lJCos(x7) - dv dx =7Sen6(u)Cos(u)— v dx ...(2) dv dx ...(3)— = CO! dx (3) y (2) en (1): wwA.edukperu.com SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 342. www.solucionarlos,net ® y =Seníx2+Sen[x2+Sen(xi!)]| » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) ..................................................CAPITULOIV ^ =343x6Sen6(x7)Cc«(x7)[Sen(*7) +l ] Cosjsen' [Sen(x7)+l j j © u = x2+Sen(x2) => = 2x +2xCos(x2) - x2+Sen(u) =» ^ = 2x +C os(u)^ — = C o s ( v ) ^ dx dx ... (2) ... (3) (3) y (2) en(1): ^ = 2xCosjx2+Sen[x2+Sen(x2)]} (i +Cos[x2+Sen(x2)][l +Cos(x2)]} y = y = li+ V i- x 2n J B E ¡2 ¡¡2¡«J3BÍ ; Tabla principal: [un] '= un"’u' dy dx = n Y»-1 l + > / l - X 2 ) dy dx = n xn-l x1 ; x '(l + > /l-X2 - x ( l + >/l-x2 )' ( 1 + V 1 - X 2 2 • dy dx (l +>/l-x2) (l +V l-x 2) 1+ > /l-x2 - x(-2x) 2 n/ 1 - x 2 www.solucionarlos,net www.edukperu c www.solucionarlos,net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « dy dx xn-' Vi —x2 +1-x 2+ x2 x n-l V l-x" +1 (1+V1-X2 n-1 Vl-X2 (1+ Vl-X* r V í^x2 dy dx = n- >/l-x2(l +V l-x 2)" O y = (Vx +l W x -1 ) Tabla principal: [un] '= unnlu' ± = 4 ( ^ T i+^ ) 3í - Í = +- l = dx V ; ^2>^TTl 2v x -1 y = x t u 1 • • 1 u I. U V - V U ' y = — ; Tabla principal: - = ----- ;— l v i vz dy dx ( x ’ )',/(1 + x 2)3 - x s O-’f) 00 11 + X to •J WWW.solucionarlos,/ ^ f 010^ * 10análisis matemático 1
  • 343. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV dy dx 3x2^(l +x2)3x3 - ( l +x2)'‘ (l +x2)' x2^(1+x2)3-x 3 ~(l + x2) 2(2x) 3(1 +x2)3 ( l + X s ) 3 dy x!y/(l +x2)3-x3[xVl +x2] X2>/1 + X2 (1 + X2 - X 2) x 2 dx (1+x2)3 (1+x2)3 0+x2)5 0 y =(x +7^x) y = (x +V^x) Tabla principal: [u"]' = un" ’u' dy dx =.n(x + ^ ) " ' ’(x +^ ) ' = n(x; ^ ) " ' | l - ^ l = dy$ Si f'(x) = ——-, y = f -r - . Hallar — x +1 ^x +1) dx Hacemos u = x +1 La función f(u): y = f(u) f .( „ ) * * . « dx dx u +1 x2+1 - 2x2 X x2+l 1 1 X fO i 1 04 + CN X ■•1 * 1 [(x’ + ,)! J O y = Ln (x2+l ) j j x2 +1)2+x2j ( x - 1 )3( x - 2 ) ' x-3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www eduKperu.cbm www.solucionarios.net Por propiedad: y = 3Ln(x-l) +Ln(x-2)-Ln(x-3) Derivando: dy _ 3 | 1______1 = 3(x-2 )(x-3 ) +(x -1 )(x-3)-(x-1)(x-2 ) dx x—1 x-2 x-3 (x - l)(x - 2 )(x - 3 ) dy 3x2-15x +18+x2-4x +3-x2+3x-2 3x2-16x2+19 CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « dx (x -l)(x -2 )(x -3 ) (x -l)(x -2 )(x -3 ) © y = 2Arcsen(3x)+|-1_ Arccos^3xjj2 y = 2Araen(3x)+[l-Arccos(3x)]2 d(aU) / duDerivada exponencial: ——- = auLn au)— dx v ' dx dx dx L J dx d y 2Arcsen(3x) (3) 2[l-Arccos(3x)](3) 3[2AK* n(3,,)]-6[l-A rccos(3x)] dx yj-(3xf ^1-(3x)2 >/í-9x2 © y = Ln[ Aresen(5x)] +Aresen[Ln(x)] JB Ü S Q Q E H Í d y [ Aresen(5x)]‘ [Ln(x) ] 1 _________5____________________ 1 dx Arcsen(5x)^1-Ln2(x) Aresen(5x)Vi -25x2 x^1-Ln2(x) www- eduKperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 679
  • 344. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV DERIVACION IMPLICITA VI. Derivación implícita ey = x +y Definimos E= ev- x -y • Derivada respecto ax: Ex= -1 • Derivada respecto ay: E = ey-1 . . . . , , dy Ex - 1 1Laderivada de y respecto a x: — = — - = — — = — r dx E. ey ey Ln(y) +—= k y Definimos E= Ln(y) +— k = 0 Derivada respecto ax: Derivada respecto ay: Ex= - y f 1x=y~x•' ,2 .,2 y y y dy E y y La derivada de y respecto a x: — = = -- dx Ev y^x x -y y2 Arag V ,y> = -ü i(x ! +y! ) www.solucionarios.net www edukperu ccim www.solucionarlos,net CAPITULO IV EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Definimos E= Arctg Derivada respecto a x: E = — y ) 2x 1+ 'x * y -x 2 , „2 „2 , w2 KY 2(y2+x2) (y8+x2) y2+ x2 y2+x • Derivada respecto ay: x E = -y y 2x -x -(x+y) 2(y2+x2) y2+x2 y2+x2 y2+-2 1+ y -x 2 . La derivada de y respecto a x: dy _ Ex y +x2 = y -x dx Ey x+y x +y 2 2 y* +x 3 x -y y =— - x + y y3= -—-. Arreglamos, subiendo el denominador a multiplicar: x +y xy3+y4= x—y => E= xy3+y4-x + y • Derivada respecto ax: Ex = y3-1 • Derivada respecto ay: E = 3xy2+4y3.+1 www.solucionarlos.fìQfaoNAR'°anAl,sismatemáticoi
  • 345. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................... CAPITULO IV y3- ldy Ex Laderivada de y respecto ax: ——= -------= - i- y dx Ev 3xy2+4y3+1 3xy2+4y3+l xy = Arctg VY) Definimos E= xy-Arctgi - y Derivada respecto ax: E = y - = y y3-x 2y -y (y2+x2) Y y2+x2 y2+x2 • Derivada respecto ay: E.. = x y _ y2 (y2+x2) y‘ +x‘ y‘ + x x +xy +x 2 , „2 .,2 , ^2 y3+ x2y - y dy E. y’ + x! y ('-y ! -x ! ) U derivada de y respecto a =c - = - x(l + / + x¡) enmx 2 2 y +x xSen(y)-Cos(y) +Cos(2y) = 0 JttSSSSU SM M Definimos E= xSen(y)-Cos(y) +Cos(2y) • Derivada respecto ax: Ex= Sen(y) www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO IV EDUARDO ESPINOZA RAMOS « • Derivada respecto ay: Ey = xCos(y) +Sen(y)-2Sen(2y) Laderivada de y respecto a x: dy __ E ^___________ Sen(y)________ ¿= _________Sen(y)_________ dx Ey xCos(y)+Sen(y)-2Sen(2y) 2Sen(2y)-xCos(y)-Sen(y) | ySen(x)-Cos(x-y) = 0 Definimos E= ySen(x)-Cos(x-y) • Derivada respecto a x: Ex = yCos(x)+Sen(x - y) • Derivada respecto ay: Ev =Sen(x)-Sen(x-y) Laderivada dé y respecto a x: dy Ex yCos(x) +Sen(x-y) yCos(x) +Sen(x-y) dx Ey Sen(x)-Sen(x-y) Sen(x-y)-Sen(x) ) Sen(xy) +Cos(xy) = Tg(x + y) Definimos E= Sen(xy) +Cos(xy)-Tg(x +y) • Derivada respecto ax: Ex = yCos(xy)-ySen(xy)-Sec2(x +y) • Derivada respecto ay: Ey=xCos(xy)-xSen(xy)-Sec~ (x+.y) Laderivada de y respecto a x: dy Ex yCos(xy)-ySen(xy)-Sec2(x-t-y) dx Ey xCos(xy)-xSen(xy)-Sec2(x +y) yCos2(x +y)[Cos(xy)- Sen(xy)] -1 xCos2(x +y)[Cos(xy)-Sen(xy)]-1 •ww.edukperu.com ' SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 346. www.solucionarios.net » EDUARDO ES PIN OZA RAMOS ) CAPITULO IV <s> x3+axy +bxy2+y1= 0 Definimos E= x3+ax‘y + bxy2+ y '=0 • Derivada respecto a x: Ex= 3xJ+ 2axy +by' • Derivada respecto ay: E = ax2+2bxy +3y2= 0 dy Ex 3x +2axy +by‘ La derivada de y respecto a x: = -----5— ---------r r dx Ev ax +2bxy +3y x4•+y4= x2y2 Definimos E= x4+y4-x 2y2 Derivada respecto ax: Ex = 4x -2xy Derivada respecto ay: E = 4y3- 2x2y dy _ Ex _ 4x3-2xy2 Laderivada de y respecto ax: dx Ey 4y -2x y O x -y = Arcsen(x)-Arcsen(y) Definimos E= x-y-Arcsen(x)+Arcsen(y) Laderivada de y respecto a x: Derivada respecto ax: E = 1- . 1Derivada respecto ay: Ey = - 1+ . yj1-y / www.solucionarios.net www.edukperufcom www.solucionarios.net CAPITULO IV { EDUARDO ESPINOZA RAM OS « dy e, '" T T ? V T ? dx" Ey " 1____1 ! _ 7 í r 7 ( V T 7 - l ) x2-a >/xy+ y2=a Definimos E= x2-a>/xy+y2-a aJy • Derivada respecto ax: Ex =2x------ 2 Vx a>/x • Derivada respecto ay: Ev= 2y------p 2,/y aJy2x _____________' .— . . . . . dy Ex 2^x _ 4x>/xy - ay La derivada de y respecto ax: ------------/=• = -----r= ------ dx E avx 4xJxy - ax 2y- ^ ® 2x4y2-4x2y4+x2y2=6 _________ Definimos E= 2 x V -4 x2y4+x2y2-6 • Derivada respecto ax: Ex= 8x3y2- 8xy2 +2xy4+2xy2 • Derivada respecto ay: E = 4x4y-16x2y3+2x2y Laderivada de y respecto a x: dy ^ ev 2xy2(4y2-1 -4 x2) y(4y2-1 -4 x2) dxEy 2x2y(2x2- 8y2+1) x(2x2- 8y2+1) 14 y5- 2x2y3+3x4y -x 5=5 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net I
  • 347. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Definimos E= y5-2x2y3+3x4y -x 5-5 • Derivada respecto a x: Ex = -4xy3+ 12x3y -5x4 • Derivada respecto ay: Ey = 5y4- 6x2y2+3x' Laderivada de y respecto a x: dy _ Ex -4xy3+12x3y-5 x4 _ 4xy3-12x3y +5x4 dx ~ _ E^ 5y4- 6x2y2+3x4 ~ 5y4+3x4- 6x2y2 ^ 7y + yjy + >[y* = x Definimos E =yfy + fy + ¡7 y' y' 3y' / 1 1 3 Derivamos: —7= +—j= +—j= = > => y —p +— r f +T 7 r 2>/y 3^/y2 4</y [z j/ 3^/y2 4 ^ , y' = 1 1 3+—f= +• 2>/y 3¡¡y* 4</y CD yfxy +2x =yfy 7 xy+2x = >/y, derivamos: i^ L +2=—^ => yfyy+x</yy'+4,/y-y/xy =>/xyy1 2-y/xy 2^/y y'(V x-x) = y +4>/xy => SOLUCION, www.solucionarios.net CAPITULO IV = 1 ___________ £_ www edukperu com www.solucionarios.net CAPITULO IV EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ¿Jj x -y = Arcsen(x)-Arcsen(y) m p t M 'T M í x -y = Arcsen(x)-Arcsen(y) Derivamos: 1-y' = y' y -1 1-V Í-y 2 > /T 7 i-V T x ^ y' = 1- Vi-": M--. 'f i7 ' 1 -V Í-7 . (1-V 1-X 2)V i-y 2 (i-V i-y 2)V i-x 2 0 y = x + Arctg(y) y’ y = x +Arctg(y); Derivamos: y' = 1+ y'(i+y2)=i+y2+y' =* y'y2= i+ y 2 => y' =-~r" x3+2x2y-xy2+2y3=2 x3+2x2y-x y2+2y3=2 Derivamos: 3x2+4xy +2x2y '-y 2-2xyy'+6yV = 0 y'(2x2- 2xy+6y2) = -3x2- 4xy +y2 ,_ 3x2+4xy-y2 y 2x y -2x2- 6y2 www edukperu.com www solucionarios.net SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO r
  • 348. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) O x3-3axy+ y3= a3 x3-3axy +y3= a3 Derivamos: 3x2-3ay-3axy’+3y2y' = 0 => y'(y2-ax) = -x2+ay , ay-x¿ y —y‘ - ay ¿ 7 y' +x3“ 3 Definimos E- ^ + ¿ - 1 y2 x3 3 Derivada respecto ax: • Derivada respecto ay: Laderivada de y respecto a x: E = 3x2 3y2 y2 x4 _ 2x3 2y y= — r +—t y x 3x2 3y2 3x4-3y4 <y2 3y(x4- y 4) 3y(x2+y2)dy _ _E 2L_ y x4 dx Ey 2X3+2y 2x6-2 y6 2x(x6- y 6) 2x(x4+x2y2+y4) y3 x3 x3y3 dy_ 3y(x2-y 2)(x2+y2) dx ~ 2x(x2- y2)(x4+x2y2+ y4) x3+xy2= x2y CAPITULO IV / * 688 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I • ,www.solucionarlos,net www.edukperu.ctom www.solucionarlos,net CAPITULO IV í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « E= x3+xy2-x 2y => E„ =3x¿+y2-2xy E =2xy-x2 dy _ _ E^ _ 3x2+y2-2xy = 2xy-3x2-y 2 dx Ey 2xy-x2 2xy-x2 (x +y)?+ (x -y)J =x4+y4 t iM f N ñ 'W " E= (x +y)J+ (x -y)J- x 4- y 4 => Ex=3(x + y)2+ 3 (x-y)2-4 xJ Ey= 3(x +y)2-3 (x -y )2-4 y3 dy Ex 3(x + y)2+3(x-y)~ -4 x3 2x3-3x2-3y2 dx = _ E^ 3(x +y)2—3(x —y)2- 4y3 “ 6x y -2y3 iff i(x +y f+ (x -y )¿= x3+y3 2(x + y)(1 + y')+ 2 (x-y)(l-y') = 3x! +3y!y' => ^ = ^ ^ 7 ^ (x +y)y3= x -y (l + y')y3+3y2(x +y)y' = 1-y' dy 1- y 3 dx l +3xy +4y www.solucionarios.nefUCIONARIOANALISISMATEMATIC01
  • 349. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV DERIVADADELASFUNCIONESy=[f(x)]«x) O y = (i+ x2) Sen(x) Tomando logaritmamos: Ln(y) = Ln (1+x2) >Scn(x) , aplicando propiedad Ln(y) = Sen(x)Ln(l +x2), derivando: v' / . / oSen(x)(x2+l)' /o2xSen(x) =Cos(x)Ln(x +1)+-------^5—¡--Cos(x)Ln(x + l) + dy — = ydx — = (l+ x! ) dx ' ’ Cos(x)Ln(x! +l ) + ? ^ ^ Sen(x) Cos(x)Ln(l +x! )+^ ^ * y = e Derivamos: Hacemos: — = e x’ íx x’ V dx ' > t = xx’ I => t = xx> => Ln(t) = xxLn(x) v Derivando: —= (xx)'Ln(x)+ — => t' = t (x-)Ln(x)+í- -x "‘ (x, )'Ln(x)+^-X X dy dx =e .x (xx)’Ln(x) O y = (1 +x2) H / SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁXICOI .. www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarios.netI Solución Tomando logaritmamos: Ln(y) = Ln|^(l+ x2)A,c,s( CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAM O S « O Ln(y) = Arctg(x)Ln(l +x2) y< Ln(l + x2) 2xArctg(x) Derivando: — = v ’ ■ v ’ y l + x¿ 1+ x dy — =y dx Ln(l -i-x"') 2xArctg(x) 1+x 1+ x = (l +x2) Ln(l +x2) 2xArctg(x) U x 2 í+ x2 y = 2x'/x" Tomando logaritmamos: Ln(y) = Lnj^2x^ J => Ln(y) = VxLn(2x) Ln(2x) /x(2x)'Derivando: — = (Vx)'Ln(2x) +Vx[Ln(2x)]' = > ^ = y 2n/x 2x — = 2x^ dx y _ xSen(*) Ln(2x) Vx 2>/x x =» “ = 2x^ dx Ln(2x) 2 2>/x y/x £ [ü .(2 ) +4] Tomando logaritmamos: Ln(y) = Ln[xSen,x,J =* Ln(y) = Sen(x)Ln(x) - I- Cos(x)Ln(x)- Sen(x) d^ _ xS«n(x) dx Cos(x)Ln(x)+ Sen(x) www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 350. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarios.net CAPITULO IV Tomando logaritmamos: Ln(y) = Ln^xu'lMJ =* Ln(y) = Ln(x)Ln(x) = Ln~(x) Derivando respecto a x: y1 2Ln(x) dy 2yLn(x) 2xln(,|Ln(x) > y x dx x x y=[ln(x)J Tomando logaritmamos: Ln(y) = Ln[Ln(x)]x => Ln(y) = xLn[Ln(x)] Derivando respecto a x: | =yli,[U,(x)]+^ - [ U i( x ) J l4 u ,( x ) > fc M - O y = [S en(x)]^x| Tomando logaritmamos: Ln(y) = Ln[Sen(x)]Cos(M =* Ln(y) = Cos(x)Ln[Sen(x)] Derivando: ^- = í^ ^ ^ - S e n ( x ) L n [S e n ( x ) ] dy —=ydx ^^-~y-Sen(x)Ln[Sen(x)] dx = [Sen(x)]c ^g> -Sen(x)U,[Sen(x)] soi-ucioNA soluciónanos,net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO IV EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O y= [cos(x)] O o o -.FfiTffraTiTMÍ Tomando logaritmamos: Ln(y) = Ln[Cos(x)] Ln(y) = xLn[Cos(x)] Derivando: ^ = y{Ln[Cos(x)]-xTg(x)} => ^ = [Cos(x)J ¡Ln[Cos(x)]-xTg(x)} dx y = xy =yx JH E2H 22 EI3BÍ Tomando logaritmamos: Ln(xv) = Ln(yx) =* yLn(x) = xLn(y) Derivando: —+ y’Ln(x) = x —+Ln(y) x y y*Ln(x)- — y.=Ln(y)--x dy _ y dx x xLn(y)-y yLn(x)-: y = x j^ E S S W jM I Tomando logaritmamos: Ln(y) = xx’ =* Ln(y) = x2Ln(x) Derivando: — = 2xLn(x)+ x2( - ) = 2xLn(x)+ x dy dx = yx[2Ln(x) +l] = xx’+’[2Ln(x) +l] y = x SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 351. www.solucionarlos,net / ,//x Ln(X)Logaritmamos: Ln(y) = Ln(x x) =* Ln(y) = -------- » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ..................................................................... CAPfTULOJ y' x[Ln(x)],- x ,[Ln(x)] Derivando: — -----------------5--------------y x dy *(I)-[L n W ] iri-L n (x )] „ríl-U i(x ) ——= y ■ — 5-------= x ---------ñ— =vx dx x © x+ v y « T W * 1 vx-jv . x + Jy _ Arreglamos: e’ v -Ln-----1= =° x -V y Derivando: e’ fx + Vyi fx + s/yl1 lx ->/y> Ix-Tv J x+Vy = 0 'x + ^ ' :+>/y En el factor: > 0 _-, (x - Vy )(x + v/y)'-(x - Vy )'(x +Vy ) U -V y , = 0 (x-Jy) 1+ y 1+ y 2%/yJ l 2^y '(x+Vv) = 0 =0 . , dy 2yDespejando y : — = — dx x O y = (x - 2)’ ^/(x +2f ^(x +3 ) SOLUCION www.solucionarios.net www.edukperu.cflrti www.solucionarios.net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « 2 3 Tomando logaritmos: Ln(y) = 9Ln(x-2)--Ln(x +2)--Ln(x +3) 3 2 Derivando: y- 9 2 y x-2 3(x +2) 2(x +3) dy dy -7- = ydx (x-2)9 9 2 >/(x+2)%/(x +3)3 x-2 3(x +2) x-2 3(x +2) 2(x+3) 3 y = yjx + 1 ^(x +2)S(x +3)J Logaritmamos: Ln(y) = Ln n/x +T ^(x +2)5(x +3)J Ln(y) = ^Ln(x +l)-|L n (x +2)-^Ln(x +3); Derivando: 2(x-2) 2(x —1) 2(x-3) © dy dx _ 3 y = Vx-2 1 5 3 n/(x -1)5(x -3)3 2(x-2) 2(x-1) 2(x-3) |x(x2+l) í x2- l , . . SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 695
  • 352. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .............................................................................CAPITULO IV Tomando logaritmos: L n (y) = -^Ln(x) +-Ln(x2+1)--Ln(x*-1) ¡Derivando: Yl-_L+2x 2x dy => ~ y y 3x 3(x2+l) 3 (x 2-1) dx 1 2x •+ 2x 3x 3(x2+l) 3(x2- l) dy lx(x*+l) dx V x -1 1 2x 2x ■+■ 3x 3(x2+!) 3(x2- l) O (x-2)2%/x+l V= (x-5 )3 " Tomando logaritmos: L n ( y ) = 2Ln(x-2)+^Ln(x +!)-3Ln(x 5) y' 2 1 Derivando: — = — - +y x-2 3(x +l) (x-5 ) dy 7T = ydx 2 1 3 dy ( x -2)2>/x+1 2 1 3 x -2 H3(x +l) (x-5) d x“ ( x - 5)3 x-2 3(x +1) (x-5 ) ©y = (x +l )3>fx-2 1 2Tomando logaritmos: L n ( y ) = 3Ln(x + l) + - L n ( x - 2 ) - - L n ( x - 3 ) y' 3 1Derivando: — = — - + dy 7T = ydx y x+ 1 4(x-2) 5(x-3) 3 * 1•+ x +1 4(x-2) 5(x-3) www.solucionarios.net www.edukperu dtfm www.solucionarios.net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « dy (x + 1)JÍjx-2 3 1•+ • x +1 4(x-2) 5(x-3) VIII. Derivadas en un punto: Si y = Tg3í — 1; hallar — 6 J dx y = Tg3í 1 =* f(x ) = ^ = 3Tg2 H See2 — -l 6 J dx i 6 J l 6 A 6 Sustituimos x = 2: ^ = |*Tg2f | W 2f = | (,/§)* (2)2 = 6/r Si f(x) = Tg(x) y g(x) = Ln(1-x). Hallar _________ S (0) f(x) = tg x ==> f'(x) = See2(x) =s> r(0) = 1 g(x) = Ln(1 -x) => g'(x) = - —— => g’(0) = -11- x IÍ2 1 J_ _i s'(0) -1 ^ Si f(x)= 1 -x y g(x) = l-S e n ^ . Hallar S'O) V ii iX f'(x) = -1 , S(x) = l-S e n ^ y j => S'(x) = - f c o s ( f ) - i f ( i) — i s (1) = 0 S'(1) 0 - www.edukperu com SOL www.solucionarios.netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 353. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV Calcular f'(0) si f(x) = e xCosx(3x) f(x) = e'xCos(3x) => f ,(x) = -e 'xCos(3x)-3e'xSen(3x) f'(0) = -e°Cos(0)- 3e°Sen(0) = -1 -0 = -1 Hallar f'(l) si f(x) = Ln(l + x) +arcsen^ JBESD2E Ü 9 7 i f(x) = Ln(1+x) +arcsen(í] =» f(x ) = ^ +- J _ “ + T ~ 4 ,■(!)—L+-X.-1+-J.=i+^' ' i+ i v jr y 2 73 2 3 O Si f(x)=Ln[ts[§) f(x) = U ,(T g (¡))- Hallar f f * Sen (x) U Cos(x) -------———Ln Sen2(x) -Ctg(x).Cosec(x) See2 £ f ’(x) = -------^Y^ +Cosec3(x) +Ctg2(x).Cosec(x) Tg' 2 f.(x). i +2l£ - Ü 2l => f f i ' l > + 1I I - * + 3 ^ = 4 = 4 7 5 Sen(x) Sen (x) ^4 J ^2 1^ V2 2 2>/2 / • se c:*www,solucionarlos,net www.edukperu Corn www.solucionarlos,net CAPITULO IV I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ECUACIONES DELATANGENTEYNORMALAUNACURVA Formar las ecuaciones de las tangentes a la línea y = x - 1/x en los puntos de intersección con el eje de abscisas. Los puntos de intersección de la curva con el eje X son: x - —= 0 =* x2= 1 => x = ±1 =» P= (±1,0) x La pendiente de las rectas tangentes se determina a partir de la derivada de la dy 1 función: — = 1+— dx x • En el punto P= (1,0) —- = 1+1 = 2, en laecuación de la tangente: dx y- y.= ;r(x - x „) => y-o=2(x-i) = y -2x+2=o dx • En el punto P= (-1,0) — = 1+1= 2 , en la ecuación de la tangente: dx y-y„ =^(x-x0) => y-0=2(x+1) => y-2x-2 =0 dx O x ^ Q Trazar la tangente a la hipérbola y = ------ de modo que atraviese el origen de x +5 coordenadas. ______ _________ La pendiente de la recta tangente se determina a partir de la derivada de la función: dy_x +5 - x - 9_ -4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 wwwsolucionarlos,net
  • 354. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) ....................CAPITULO dy -4 Latangente atraviesa el origen de coordenadas: y = x ^ Y - dx (x +5) Esta recta tiene un punto común con la curva: -4 x+9•x = -4x = (x +9)(x +5) (x +5)* x +5 x2+14x +45 = -4x => x2+18x +45 = 0 => (x +3)(x +15) = 0 x = -3; x = -15 dy -4 1 De donde: x =-3 ; — =----- Tif = dx (-3 +5) _ ic dy _ -4 _ 1 X" ' d x "(_ i5+5)2 25 Luego y = -x =* x+ y = 0 y = —- x => 25y + x = 0 25 x2 y2 Formar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola: — —= 1 Que sean perpendiculares a la recta: 2x+4y-3 = 0 La pendiente de la recta tangente se determina a partir de la pendiente de la recta dada: x 3 1 2x +4y-3 = 0 => y = - - + - => m = - ñ2 4 2 La perpendicular es: mx = 2 SOLUCION www.solucionarlos,net www.edukperu.dbfn; www.solucionarlos,net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x 2y dvLaexpresión de la hipérbola derivada: - --------— = 0 2 7 dx Puesto que m = — = 2 => x - — (2) = 0 => y = — 1 dx 1 K ’ 4 2 2 x yEn la ec. de la hipérbola: x2 1f7xN2 = 1 => x* = 16 =* x = ±4 ; y = ±7 2 7{ 4 En la ecuación de la recta: y -y 0 = m(x—x0); P(4,7) => m = 2 ; y - 7 = 2(x - 4) => y - 2x + 1= 0 y -y 0= m (x-x0) ; P(-4,-7) => m = 2 ; y + 7 = 2(x + 4) => y - 2x - 1= 0 Formar la ecuación de la tangente a la línea y = x3+3x2- 5, perpendicular a la recta 2x - 6y +1= 0 . ' dyLaderivada de la curva: — = 3x +6x dx dy 1 La pendiente de la recta: -p = - la perpendicular m = -3 Luego: — = -3 => 3x2+6x = -3 => x2+2x +l = 0 dx (x +1)2=0 => x = -1 => y = -1 + 3 -5 =-3 Laecuación de la tangente: y -y 0= m (x-x0) y +3 = -3(x +l) => y + 3x + 6 = 0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net w
  • 355. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) CAPITULO IV Formar la ecuación de la normal a la línea y = -Vx +2en el punto de su intersección con la bisectriz del primer ángulo coordenado. m & jvn m vm sf La bisectriz en el primer ángulo: y = x La intersección con la curva: y = -V x +2 => x = -V x +2 => x + V x-2 =0 (V x-l)(V x+ 2)=0 => Vx —1=0 => x = 1; y = 1 Derivando la ecuación dada: y = -Vx + 2 dy 1 , dy 1 — = -----t= para x = 1 — = — dx 2Vx dx 2 Laecuación de la tangente: y —y0=m(x —x0) ; m = y' =^ y -1 = ~(x —1) => 2y - x - 1 = 0 ^ Con referencia a la curva x2+3y2+ 3 x-4 y-3 = 0, hallar elvalor de k, tal que la recta 5x +2y +k = 0 sea tangente a la curva indicada. jg ^ S S S S IiS lM t 5x De la recta dada: y = - -— reemplazando en la ecuación dada: x* +3 Í ^ T +3 x -4 M í± J O -3 = 0 x.+3|5x±ki +3x_ 4L .5x+k 2 J. I 2 . 4x2+3(25x2+10xk +k2)+12x+40x +8k-12 =0 -3 = 0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO IV f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 79x2+30xk +3k2+52x +8k-12 = 0 => 79x2+x(30k +52)+3k2+8k-12 = 0 Por condición de tangencia: B" -4 AC = 0 => (30k + 52)2—4(79)(3k2+8k-12) = 0 (15k +26f-79(3k2+8k-12) = 0 => 225k2+ 780k+676-237k2-632k +948 = 0 58 12k2-l4 8 k -1624= 0 => 3k* - 37k-406 = 0 => k = -7 ; k =— ^ Trazar la normal a la línea y = xLn(x) que sea paralela a la recta: 2x - 2y + 3 = 0. M ' f w m w r La pendiente de la recta dada: m = 1 Derivamos la curva dada: — = Ln(x)+1 dx La pendiente de la normal: Ln(x)+1= -1 => x = e'2 Luego el punto en la curva: y = e 2Ln(e'2) = -2e 2 Finalmente la ecuación de la normal: y - y 0=m(x-xo) ° y +2e2= (x -e 2) x -y -3 e “2=0 { j) Hallar la ecuación de la recta tangente a la línea: x2(x +y) = a2(x - y) en el origen de coordenadas. Derivamos respecto ax la ecuación dada: x3+ x2y = a2x-a 2y => 3x2+2xy +x2y’= a2-a 2y‘ en P(0,0): www.edukperu.com • SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 356. www.solucionarlos,net 3(üf+2(0)+(0)y' = ai -a V =* ^ - 1 Luego la ecuación de la tangente: y -y 0= y '(x -x 0) y - 0 = x -0 => y = x Q Halle una ecuación de la recta tangente a la curva y = x4- 6x , y perpendicular a la recta x - 2y +6 = 0 . x La pendiente de la recta dada: x-2 y +6 = 0 =* y = - + 3 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ..................................................CAPITULO IV de donde: m = - => m. = -2 2 Laderivada de la curva dada: y = x4- 6x — = 4x3-6 = -2 dx Resolviendo: 4x3= 4 => x = 1 ; y =1-6 =-5 Laecuación de la tangente: y -y 0= y'(x -x o) y +5 = -2 (x -l) =* y+ 2x +3 = 0 Determine una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva y = x3—4x y paralela a la recta x +8y -8 = 0 n n x ,La pendiente de la recta dada: x + 8y -8 = 0=> V= “ g + ' de donde: m = - — => m =8 8 En rectas paralelas, las pendientes son iguales. Laderivada de la curva dada: 3 . dy ^ 2 A y = x -4x => — = 3x -4 dx jéR SK I bÜLUCIONARIO ANÁLISIS MAIEMÁTJCO I . ±gjj i • • www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO IV EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Luego: 3x2-4 = 8 => x = ±2 los puntos (2,0); (-2,0) Laecuación de la normal: y -y 0= —^ (x -x 0) P(2,0) => y-0 = --(x -2 ) => 8y +x-2 = 0 8 P(-2,0) => y -0 = --(x +2) => 8y +x +2 = 0 8 O Determine una ecuación de cada una de las recta^ normales a la curva y = x3-4x y paralela a las rectas que pasan por el punto (4,13) y que son tangentes a: y = 2x2-1. La recta tangente a la curva: y = 2x2- l; y = mx + b Pasa por P(4,13): 13 = 4m + b => b = 13- 4m =* y = mx + 13- 4m Sustituimos en la curva dada: mx +13-4m = 2x2-1 => 2x2-m x +4m-14 = 0 Condición de tangencia: B2 -4 AC = 0 m2-4(2)(4m -14) = 0 => rrr-32m + 112= 0 => m = 4 ; m = 28 dyLa derivada de la curva: — = 4x con m = 4 => 4x = 4 => x = 1 dx y = 2-1 = 1 La ecuación de la recta: y -y 0= m (x -x0) y-1 = 4 (x -l) => 4 x -y -3 = 0 Con m = 28 ; — = 4x => 4x = 28 => x = 7 => y = 2(49)-1=97 dx Laecuación de la recta: www.solucionarlos.nsê r °NARIOANÂUS,sMATEMATIC01705
  • 357. www.solucionarlos,net y -y o= m (x-x0) =* y-97 = 28(x-7) => y-28x +99 = 0 Obtener una ecuación de la recta tangente a la curva y = (7x-6) que es perpendicular a la recta 12x - 7y + 2 = 0. dy 7/_Derivamos la ecuación de la curva: —- = - - (7x-o) dx 3 » EDUARDO ESPINOZA RAM OS ) c a pitu lo iv Pendiente de la recta dada: m = — * La pendiente de la perpendicular: m' = , luego igualando este valor a la derivada hallada. (7x-6)~*/3= — => 4 = (7x-6)" 3 =» 64 =(7x-6)* 3V ’ 12 7x-6 =2V2 => x=2^ / -6- => y =(2V2+6-6) =-j= 1 2V2 +6^| Luego la tangente: y-y0=m(x-xo)=*y_^_12l* 7 O ¿En qué punto de la curva x +^xy + y = 1, la recta tangente esparalela al eje X? Derivamos con respecto ax la expresión dada: dy dx (u x 2x/xy T + 2^ dy •Jvfi'lx+Jy) dx -jafesR +n/x) 1 SOLUCION www.solucionarios.net www.edukperü. www.solucionarlos,net CAPITULO IV [ EDUARDO ESPINOZA RAM OS (( Pero: — = 0 => Jy =0 => y = 0; x = 1. Luego P(1,0) dx O Hay dos rectas que pasan por el punto (-1,3) que son tangente a la curva x2+4y2-4x - 8y +3 = 0, obtenga una ecuación de cada una de estas rectas. Sea la tangente: y = mx + b pasan por P(-1,3) => 3 = -m + b dyb = m + 3 de donde: y = mx + m + 3, siendo m = — dx Reemplazamos en la curva dada: x2+4(mx +m+3)2- 4x-8(mx +m+3)+3 = 0 x2+4(mx)¿+8mx(m +3)+4(m +3)‘!- 4x-8m x-8(m +3)+3 = 0 x2(l +4m2)+x(8rcr +16m-4) +4(m +3)‘ -8m -21 =0 Condición de tangencia: B2-4AC = 0 (8m2+ 16m-4)~ -4 (l +4m2)|^4(m+3)2-8m -2lJ = 0 (4m2+8m -2)2-(1 +4nf )^4(m +3)2-8 m -2 lj =0; Resolviendo 16m2+48m +11= 0 => (4m +11)(4m +l) = 0 => m = - — ; m = - — Puesto que b = m + 3 tenemos m = - — ; m =- - =* y = mx + b 4 4 y = - — +— =* 4y +11x-1=0 4 4 1 u o 11m = — ; b = m+3 = — => y =mx + b 4 4 . i” " . SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO ISO wwwsolucionarlos,net j r
  • 358. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV X 11 x 11 A y = — +— => 4y + x - 11 =0 4 4 d a Obtener una ecuación de la recta tangente a la curva Jx y = 14x+y , en el punto (2,-32) ^xy=14x +y => -y-^LX^L- = 14+y1 en el punto (2,-32) 3 ^ y ¡ ‘ -32 +2y' . . . , dy 352— =14+y => y =— = -------------------------------- 3^/(-64)2 dx 23 352L, : y +32 = -------(x_2) de donde se tiene: L, : 352x +23y +32 = 0 23 O Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes y normal -a la curva 2xJ+2y3-9xy = 0 en el punto (2,1). 2x3+2y3-9xy = 0 derivando se tiene: 6x2+6y2y'-9y-9xy' = 0 P(2,1) => 24 + 6y’- 9- 18y’ = 0 => 15 = 12y’ =* y' = - 4 5 Luego: y-1 = —(x-2)=> 4y-4 = 5x-10 => 4y-5x + 6 = 0 4 4Normal: yN= — => y -1 = — (x-2 ) 5y - 5 = -4x+8 => 5y + 4x - 13 = 0 5 5 0 Hallar las ecuaciones de las dos tangentes a la elipse 4x2+y2= 72 que pasan por el punto (4,4). jg E n n s a ü jg g Laecuación de la rectaes: L: y = mx + b SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.edukperu.com: ’ www.solucionarios.net 7 * www.solucionarios.net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOLA RAMOS « (4,4) e L => 4 = 4m + b => b = 4 - 4m por lo tanto L: y = mx + 4 - 4m 4x2+(mx +4-4m )2=72 => (m2+4)x2+(8m -8nrr )x + 16m2-32m-56 = 0 A = b2-4ac = (8m -8rrf ) -4 (m2+4)(16nrr -32m-56) =0 64(m-m2)2-32(m2+4)(2m2-4m -7) = 0 2(m2-2m 3+m4)-2m 4+4m‘-m 2+16m +28 = 0 m2+16m+28 = 0 => (m + 14)(m + 2) = 0 =e> m =-14; m = -2 Para m = -14; L: y = mx + 4 - 4m L: y = -14x + 60 de donde L: 14x + y-60 = 0 Para m = -2; L: y = -2x + 4 + 8 de donde L: 2x + y - 12 = 0 O Hallar la ecuación de la tangente a la estrofoide y = -x ^ - - * en el punto 3a 6a 5 $~5 Como L: y -y n= m (x -x 0) entonces calculamos m = — v ' dx X-Xo a -x la-x dy _ Ia -x _ v ya + x J _ _ Ia -x + ax Va +x dx Va +x ” la -x Va + x ~ [a-2J------ (a+x) J — Va+x 7 va+ -x x dy __ [ dx V a-x a+x ax , X2 la-x (a +x) ./------a + x dy dx 91 3a 8 "5 6a 91f 3aLuego L ry — — T lx + T L: 91x + 8y + 45a = 0 1 www.edukperu.com SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 359. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO IV o Demostrar que la ecuación de la tangente a la curva y = ax¿+bx +c en el punto (x,,y,)es: y = (2ax, +b)x +axj +c m i* :<í;w T m = dy dx = (2ax+b)| = 2ax,+b (x,,y,) en la curva y = ax2+bx +c => y, =ax2+bx,+c L: y-y , = m (x-x,) => L; y -y , = (2ax,+b)(x-x,) L: y = (2ax,+b)x-2ax2-bx,+y, L: y = (2ax, +b)x-2ax2-bx, +a,x2+bx, +c /. L: y = (2ax,+b)x-axf+c © Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la curva y = xJ+ax+b en el punto (x,,y,) es: y = (3x2+a)x-2x3+b m = dy dx x«x, = (3x2+a) =3xJ+a L: y-y , = (3x2+a)(x-x,) => L: y = (3x? +a)x-3xj!-ax, + y, L: y = (3x2+a)x-3x3-ax, +x* +ax, +b L: y = (3x2+a)x-2x3+b Encontrar la ecuación de la recta que pasa por le punto (1,2) y es normal a la curva x2=4y SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net www.edukperu.corn www.solucionarios.net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « JH E 2 ÍM S ¡M t mLn= ——^ y mL, = y„ x0-1 mLN.mL, =-1 para que LN_LL, ' 2 A I • O x =4y => y = — => y = —■=> y0=-r- mLN.mL. = —n t 2 Vo-2 Vxo-1 / = -1 De donde se tiene x0y0- 2x0= -2x0+2 O x0y0—2 => x0. —2 => x0 —8 ==> x0—2; y0—1 4 Luego P0(x0,y0) = P0(2,1) punto de tangencia LN: y -2 = mLN(x-1) de donde mLN= ——? = 1—? = -1 x0—i ¿.—i LN: y-2 = - l( x - l) => LN: y = -x +3 Hallar laecuación de la tangente a la curva y2+4x = Oy que pasa por el punto (2,1). Sea y = mx + b la recta tangente => 1=2m + b => b = 1- 2m Luego y = mx + 1- 2m reemplazando en y2+4x = O (mx + 1-2m)~ +4x = 0 => m2x2+(4 +2m-4nrr )x +4m2-4m +1= 0 A = b2-4ac =(4 +2m-4m2)~- 4m2(4nr - 4m +1) = 0 .edjKperu com www.solucionarios.net SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I I
  • 360. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV 2m2- m- 1= 0 => (2m + 1)(m - 1) = 0 => m = 1; m = — Para m = 1; y = x - 1 => x - y - 1= 0 xm = — ; y = — +2 => x + 2y-4 = 0 2 2 O Demostrar que la hipérbola x2- y2 = 5y la elipse 4x2+9y2= 72 se cortan en ángulos S B W rectos. 2 o _ x - y - =5 2x - 2yy’ = 0 i x H= y 4x2+9y2=72 i 8x + 18yy'= 0 i 4x Ye=^ OLuego si se cortan en ángulos rectos, se demuestra que: y ^ = -1 i , xf -4x) -4x yHyE=-y { 9y ) 9y2 Pero x2= 5 + y2 => 4(57 +y2)+9y2=72 => 20+4y* +9y2= 72 13y2= 52 => y2= - ; x2= 9 6 en(1): y«yÉ = -^ ( = de donde y'H.y'E=“1 O Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y = 8Sen3(2x) en el punto n 1 2 ' SOLUCIONARI 'Wm.miVWnarios.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO IV ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « y = 8Sen'(2x); y' = 24Sen2(2x)Cos(2x)(2) x = — —►y' = 28sen2—Cos—= 48|=6>/3 12 6 6 ͱ1 14, l 2 J Recta tg: y -1 = 6>/3 / X ----------- v 12J => y = = 0 2 Rectonormal: y-1 = => 6>/3y-x-6V3 + = 0 Hallar las ecuaciones de la recta tangente y norma en el punto P(-1,2) a la curva ye**' +2xy2-y +2x2+6 = 0 y'e**1+yex+l+2y2+4xyy'-y’+4x =0 , para x = -1, y = 2 3 y'+2+8-8y,-y '-4 =0 => -8y'+6 = 0 => y' = - o 3 4 L : y-2 = -(x + l)=> L.:3 x -4 y -ll = 0 dedonde mLt = - => mLN = - -1 4 v ’ 4 ó LN: y-2 = - -(x +l)de dondeLN:4 x +3y-2 =0 3 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto p(-l,2) y es tangente a la curva xy + 3y = x - 1 _____ __ xy + 3y = x - l; P(-l,2) xy’ + y + 3y' = 1 => -y’ + 2 + 3y’ = 1 => 2y’ = -1 SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 361. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS y ' =-1 pendiente de la recta tangente. y-2 = -(x +l) => 2y+ x-3 = 0 O Hallar ^ de las funciones siguientes dadas en forma paramétricas: a) x = 2at y = 1+t2 aO -V ) 1+t2 dx— = 2a dt 1+t! - 2t(t) t^t 2a(i —t2) O*»*)* dx - 2t(l +t2)-(l +t2)(2t) 2at(l +/f^ +1- / /) dF" 3 1 <N <N 4-* + i (1V«’ f dy -4at dt | l+t2)2 -4at Luego: 2t dy dx 2a (l-t! ) 1- t 2 dtW b ) x = a(cost +tsent) y = a(sent-tcost) dx dt = a(sent +sent +tcost) = at +cost CAPITULO IV SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ■ www.solucionarios.net CAPITULO IV CEDUARDO ESPINOZA RAM OS (( dy / v — =a eos t - eos t +tsent ) =atsent dt v 1 dy dy _ dt at eos t ^ dt dx atsent dt c) x = y = eos t Vcos2t Veos2t dx dt >/cos2t (3eos“ tsent)- eos21í ^ /5eril* v ' { 2Vcos2t cos2t dx _ 3cos* t senteos2t +sen2teos31 dt Veos21 cos2t dx _ sen2+cos3t-3cos2tsenatcos2t dF ~ cos2tVcos2t Ahora — =dy dt Veos21(3sen‘t eost) - sen2t -2sen 2Veos 2 cos2t dy _ 3sen‘J+eost eos2t +sen2tsen3t dF” _ Luego — = eos 2tVeos2t serri (3CostCos2t + sen2t ) _____ Cos*tV€es2g._______ dy dx Cos2t(sen2tcost-3sentcos2t) cos^rW eos^l du dx _ dt www ediikperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 362. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO IV dv tg2t (3Costcos2t +2sen2cost) dx 2sentcos2t-3sentcos2t dy tg2teost(3eos21- sen21+2sen21) dx sent(2cos2t-3cosct +2sen2t) dt sen i , cost 3cos2t +sen2t)COS t sent (3sen2t-cos2t) dy _ (3cos2t +sen2t) ^ dy , ^ (3~4sen>t) dF ~ ^ 3- 3eos21- eos21 ^ dt tSt l-4cos2t e) x'= a 1 ífO- see - 2 V2J tS,l -Sent-Cost dy a(cost-sent) dx a(1- sen2+-sent cost) sent x = a 1 2senf t ] f t - COS ~2 v2 - sent - cost dy asent(cost-sent) dx a(cos21-sentcost) x'= a l-sen2t-sent cost Sent y'= aCost- sent dy = J£Dl=tg(t) dx cost r SOLUCIONARIO ANÁLISIS MAJEMÁTICO I . . www.solucionarlos,net wvw.edukperu.ccp www.solucionarios.net CAPITULO V I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « MAXIMOSYMINIMOS Determinar los puntos críticos, intervalos donde la función es creciente y decreciente, los máximos relatos y mínimos relativos. A f(x) = x4—14x2-24x + 1 __________ - F s m ra M r Primera derivada: df(x) _ _^gx _24 =0 => x3-7 x -6 = 0dx Los puntos críticos: 1 0 - 7 - 6 -1 1 6 -1 1 -1 - 6 0 df(x) dx = 4x3-28x-24 = 0 = 4(x3-7 x-6 ) = 4(x +l)(x +2)(x-3) V ~ ~ j ~ V ~ ~ A A -2 -1 3 De donde: x =-1; x2- x - 6 = 0 => x = 3; x =-2 Analizamos el crecimiento de la función: Crece en los intervalos x e <-2,-1> U <3,+oo> Decrece en los intervalos x e <-oo,-2> U <-1,3> Mínimos relativos: x = -2; x = 3 Máximos relativos: x = -1 x +1 f(x) = X + X +1 jBKifnm .inM r D. . df(x) x*+x +1- ( 2x +1)(x +l) -x * - 2xPrimera derivada: -------= ------------------------^ ------- = -------------- - = 0 dx (xs+x +l)‘ (x2+ x+l)‘ wwwsolucionarios.netJCI0NARI°anaus®matemático i
  • 363. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESP1N0ZA RAMOS ) ................................•...................... CAPITULO V -2 0 Los puntos críticos: x = 0 ; x = -2 Crece en el inetrvalo <-2,0> Decrece en los intervalos <-oo,-2> u « 0,+ao> Mínimo en x = -2 ; Máximo en x = 0 f(x) = 2-3x +x3 a fflT T T ÍfP ^ = -3 +3x2= 0 => x s i 1, puntos críticos dx -i df(x) dx = 3(x +l)(x -2) = 0 Crece en los intervalos <-oo,-1> u < 1 ,+ o c > Decrece en el intervalo <-1,1> Máximo en x = -1 ; Mínimo en x = 1 0 f(x) = 1- ( x - 2)í Dominio: D={xeiH/x>2} Primera derivada: Decrece: xe<2,ac> f«miiTgT.TMr dfW = _ í (x_2)-''s dx 5 7 : Crece: x€<-<»,2> lcio,www.solucionarlos,net www.edjkperu.com www.solucionarlos,net Máximo relativo: x = 2 U f(x) = x>/l-x2 Dominio: l- x 2>0 => x2^ ! => -1^x<1 D = {x e iR/-1 < x < 1} CAPITULO V ( EDUARDO ESPINOZA RAMftg J i i V 2 J Ï Prime* derivada: d f W . l í g j j W M dx V l^x2 df(x) — 2 •* n , 1 — — = vi -x — 7= = 0 => x = ±—= -dx V l-x 2 >/2 Decrece: Crece: x e (— L ,-|=-Æ V2 Máximo relativo: x = -= ; -Mínimo relativo: x = — v2 ^2 f(x) = x2(l-x>/xj Dominio: x > 0 => D= {x e 9* / x > 0} Primera derivada: f(x) =x2(l - x>/x) =x2- x7/2 — ^ = 2x -^ x r'2= 0 => xÍ4-7x2Vx) =0 => x = 0; x=3/-^ dx 2 ' ' V49 . . . SQLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 719
  • 364. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) •v‘- Crece: xe( 0,3/^) ; Decrece x e ( 49/ 'V49 Máximo relativo: x = 3/— ; Mínimo relativo: x - 0 V49 x2+2x - 23 f(x) = x -4 ___________ MtlVHHír*Dominio: D= {xe'ÍR/x^4} Primera derivada: df(x) (x-4)(2x +2 )-(x2+2x+2)-(x2+2x-23) _ x2-8x +15 dx (x - 4)2 (x - 4) df(x) (x-5 )(x-3 ) dx (x - 4) V ó Crece: x 6 <-00,-3> U <5,+oo> ; Decrece: x e <3,5> Máximo relativo: x = 3 ; Mínimo relativo: x = 5 f(x) = - ^1+x Dominio: D = {xeW} . df(x) x2 + 1 - x ( 2 x ) _ 1-x! ____ Primera derivada:— — = — — — ------------------. .2 - u x - dx ( x '+ l ) (x + 1) www.solucionarios.net CAPITULO V ±1 7 • www.edukperj.com www.solucionarlos,net c a pitu lo v ( EDUARDO ESPINOZA R A M Q sT v ~ ~ v -1 1 df(x) —(x +l)(x —l) dx ( x ! + 1)' Crece: xe<-1,1> ; Decrece xe<-oo-l>U<1, oo> Máximo relativo: x = 1 : Mínimo relativo: x = -1 1—x +xs 1+x +x2 = 0 O f(x) Dominio: D={xe9?} Primera derivada: df(x) _ (x2 + x +l)(2 x-1 )-(x2-x +l)(2x +1) dx " (x2+x + l)2 2x3+2x2+ 2 x-x2- x - l- 2 x 3+2x3-2 x -x 3+x-1 (x! +x+l)’ 2x! -2 =0 => x=±1 Decrece: xe<-1,l> Máximo relativo: x = -1 ; Mínimo relativo: x = 1 x2+ x +l x '-x +1 Dominio: D ={xeíH } Primera derivada: ............................I____ ; ________ ; ___ _SOkUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 365. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) d y _ ( x 2 - x + l ) ( 2 x + 1 ) - ( x g + x + l ) ( 2 x + l ) _ 2 - 2 x 2 d x ( x 2 - x + l ) ' ( x 2 - x + 1) 2 =° Crece: x e <-1,1> ; Decrece: x e <-oo-1> U <1, <»> Máximo relativo: x = 1 ; Mínimo relativo: x = -1 f(x) = 2x3-6x2-18x +7 J K í lB S I í M Í Dominio: D={xe'.K} Primera derivada: — = 6x2-l2 x-1 8 = 0 => x2-2 x -3 = 0 = dx -1 ^■ =6(x -3)(x +1) Crece: x e <-oo-1> U <3,+oo> ; Decrece: xe<-1,3> Máximo relativo: x = -1 ; Mínimo relativo: x = 3 © f(x) = , . 1 :-------r Ln(x +4x +30) 1 df(x) 4x3+12x2 f(x) = ----------- ------------ => —— ------------------------ = 0 Ln(x4+4x3+30) dx Ln2(x4+4x3+30) df(x) 4x2(x +3) dx Ln2(x4+4x3+30) SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net CAPITULO V (X - 3)(X + 1) = 0 www.9dukp6ai.conr www.solucionarios.net CAPITULO V 4x‘ (x +3) = 0 => x = 0 ; x = -3 Crece: x e <-3,0> u <0,+®>; Decrece: x e <-x,3> Mínimo relativo: x = -3 f(x) =x2VxF+2 Dominio: D={xe'JÍ} Primera derivada: (04 - =, - - 2 x V ^ - - 0 dx 2vx2+2 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -2x 2(x2+2) + x2 Vx +2 = 0 => x = 0; 3x2+4 = 0 => x = 0 o df(x) (x2+2)x(l + x2) dx >/x! +2 Crece: x e <-oo,0> ; Decrece: x e <0, oo> Máximo relativo: x = 0 f(x) = x -L n (l-x ) Dominio: l- x > 0 => x<1 de donde D = {xefl? /x< 1} Primera derivada: WWW edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net I
  • 366. www.solucionarlos,net f(x)=x-Ln(l-x) ^ ^ l - t - Í L j - 0 1+—!— = 0 => 1-x + 1=0 => x = 2 1-x Crece: x e <-ao,1>. Lafunción no tiene extremos © f(x) = x-Ln(l +x2) Dominio: 1+ x2> 0 => D = {x e 1W> Primera derivada: /, ov df(x) -O + x*) - 2x , 1+x8-2 x _ ftW -x -U iO +x ) => — - l - j ^ - 1 - ^ - 0 =» , +xa (x-1 ), _ o x = 1 punto crítico de multiplicidad par. La función no tiene entremos 1+ x8 relativos, solo crece. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ............................................................................. CAPITULO V O fO) = yl(*! ~a‘ )! Dominio: D = {x e 9?} Primera derivada: f(x) = (x2-a 2)23 » ^ l = ¡(x 2-a 2)-''3(x2-a 2)' = ¡(x 2-a 2)-',S(2x)=0 Puntos críticos: x = 0 ; x= ± a Máximo: x = 0 ; Mínimos: x =± a Decrece: x e <-oo,-a> U <0,a> ; Crece: x e <-a,0> U < a,oo> Máximo relativo: x = 0 ; Mínimorelativo, x = ± a www.solucionarios.net www.eduKperu.com www.solucionarios.net 3x2f(x) = (x2-2x)Ln (x)--— +4x CAPITULO V ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2 rn m m m tvm * Dominio: D = {x e ÍR/x > 0} Primera derivada: f(x) = (x2-2x)U i(x)-52! +4 x = > ^ ^ = (2 x -2 )L n (x )+ í^ -3 x +4 =0 (2x2)Ln(x) +x -2 -3 x +4 = 0 => (2x-2)Ln(x) +2-2x = 0 (2x-2)[Ln(x)-l] = 0 => 2x-2 = 0 v Ln(x) = 1; x = l => x = e Puntos críticos: x = 1; x = e Máximo: x =1 ; Mínimos: x = e Decrece: x e<1,e> ; Crece: xe<0,1>U (e,ao) Máximo relativo: x = 1 ; Mínimo relativo: x = e Of(x)=?J^ _ _ _ _ _ jg g 2 j¡¡2 ¡¡¡g g r Dominio: x2-6x-16 = 0 => (x +2)(x-8) = 0 => x=-2; x=8 D ={xe9í/Xít-2 v x * 8} Primera derivada: x df(x) x2-6 x-1 6 -x(2 x-6 ) f(x) = —------------ => —;— = ------------------------------------5------= 0 x - 6x -16 dx (x 2- 6x - 16) = -------— ——- = 0 esto indica que ^ x- <0 en x e ÍR dx (x* _ 6x_ 16)2 dx SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I www.solucionarios.net
  • 367. www.solucionarlos,net * V • » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO V no hay puntos críticos y la función decrece en todo su dominio. O f(x) = xLn(x) Dominio: D = {xe íR /x> 0 } Primera derivada: f(x) = xLn(x) => —— ^= x f — +Ln(x) = 0 => Ln(x) = -1 => x = e 'dx Decrece: xe(0,e‘') ; Crece: xe(e~+<cj Mínimo relativo: x = e 1 f(x) = Arcsen(x +1) Dominio: -1 ^ x + 1< 1 => -2 á x < 0 de donde D = {x e 9?/ -2 £ x £ 0} / x df(x) 1Primera derivada: f(x) = Arcsen(x+1) => —-— = . — — d* V H x T if Lafunción no tiene extremos y puesto que >0, sólo crece en todo su dominio: dx -2 < x < 0 f(x) = 2ex - 4x Dominio: Df = V x e 9? Primera derivada: f(x) = 2ex’-4x => ^ 2 = 2ex!-4x(2x-4) = 0=>x = 2df(x) dx Decrece: xe (-x, 2) ; Crece: xe (2,oo) 0 Cl° www.sóíücíónarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO V ( EDUARDO ESPINOZA R A M I»« Mínimo relativo: x = 2 l) f(x) =^ (x '- lf __________ ______ j — v n y v r f Dominio: D = {x € 9?} Primera derivada: f(x)=(x* - , r - ^ - | ( x ' - i r ( x - i ) = f ( x * - , ) - ' ; (2x)=o Puntos críticos: x = 0; x = ±1 Máximo: x = 0 ; Mínimos: x = ± 1 Decrece: xe (-oo,-l) v^(0,1) ; Crece: X€ (-1,0)U(1,qo) Máximo relativo: x = 0 ; Mínimos relativos: x = ± 1 (x-2 )(8 -x) 0 f(x) = -------^ -------l J B 2 ¡2 ¡Q fflg g Dominio: D = {x e iR/ x * 0} Primavera derivada: (x-2 )(8 -x) 8x-16 -xJ+2x _2f(x) = ---------0------ - = -----------5--------- = 10x —16x -1 X2* X df(x) ^ _o « « 16— ^ = 32x“3-10x'2=0 => x = 0; x = — dx 5 Puntos críticos: x = 0 ; x = ±4 Decrece: x g (-oo,0)u ^-^,+oc^ ; Crece: xe^O ,^ "“ i “ . SQLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICOi • www.solucionarlos,net
  • 368. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO' Máximo: x = — 5 O f(x) = xArctg(x) Dominio: D = {x e ÍR} Primera derivada: f(x) = xArctg(x) => = Arctg(x) +- X— =0 Puntos críticos: x = 0 Decrece: (-<»,0) ; Crece: xe (0,oo) Mínimo: x = 0 @ f(X) >/x! -4 Dominio: D = {x e íR /x ^ ±2} Primera derivada: ^ 4 - 2x2 = x ^ df(x) = ________J(^x2~4) = 3x2-12-2x2 = x2-12 = Q ^ 4 ^ dx 3 ( ^ 4 ) ' 3 (!¡7 ^ 4 )A x2=12 => x = ±2.y¡3 Decrece: xe^-00,-2^ ^ ^ / 3,00^ ; Crece: x €^-2>/3,2V3^ Máximo relativo: x = -273 - Mínimo relativo: x = 2y¡3 @ f(x) = x (x -l)2(x-2 )3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www^ P*’ www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO V ( ED U A R D 0 e s p in o z a R A M O S « Solución Dominio: D={xe'.R| Primera derivada: f(x) = x (x -l)2(x-2 )3= (x3-2x2+x)(x-2) í j ¿ l = (3x2-4x +l)(x -2 )3+3(x3-2x2+x)(x-2)2=0 (x-2)2[(3x2-4x +l)(x-2) +3(x3-2x2+x)] =0 (x-2)3(3x2- 4 x 2 + x - 6 x 2 +8x-2 +3x3- 6 x 2 +3x) = 0 (x-2)2(6x3-16x2+12x-2) =0; Factorización por Ruffini: 6 -16 12 -2 6 -10 2 1 6 -10 2 0 (x -2 )‘ (x -1)(6x2-10x -2) = 0=>x = 1 x = 2(multi. par) Decrece: X€(-oo,l) ; Crece: xe(l,oo) Mínimo relativo: x = 1 J © f(x) = xLn! (x) B E M M M Dominio: D= {x e fl/x > 0 } Primera derivada: f(x) = xLn2(x) => = Ln2(x)+2xLn(x)i =Ln(x)[(x) +2] =0 Ln(x) =0=>x=1 ; Ln(x)+2=0=>x= www.solucionarios.netaommoanAusismatemáticoi
  • 369. www.solucionarlos,net Crece: x e /-oo,e"2^U(l,-wo) ; Máximo relativo: x = e'2 : » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) c a pitu lo v O Decrece: xe /e '2,l) Mínimo relativo: x = 1 2Arct(x) i ( x f(x)---- 3 +3 (ï-x* j « i i i . iraT.i?M F Dominio: 1-x2*0= >x*±1=>D ={xe'.K /x*±l} Primera derivada: df(x) 2 dx 3(1 +x2) 2Arctg(x) i ( x f(x) 3 +3 S( w 1+ 1—X 1—X df(x) 2 , _____________ dx 3(l +x2) 3(l-2x +x2+x?) 1+x2-x(-2x) 2 1+x2 •+• 3(l +x2) 3(1-2x +2x2) df(x) 2-2x+2x2+(í+x‘ ) _ 2-2x +2x2+1+2x2+x4 _ 3-2x +4x"+x4 dx 3(l +x2)(l-2x +2x2) 3(1+x2)(1 +2x +2x j ) 3(l +x2)(l-2x+ 2x2) Esta sección no tiene raíces. Puesto que df(x) dx >0 en todos los reales, la función es creciente. 16 Í(4-k*) Dominio: l- x ^ O Primera derivada: £ E ¡2 E 3 E H tB x * ±1 => D = {xeR /x5t±1} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net www.edukpervj com * www.solucionarlos,net CAPITULO V f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(x) = “ T~~T¡ = -16(4x - x3) ' ^ = -1 b(4x - x3) J(4 - 3x2) = 0 x(4 -x ) ax 2 4 * 4 X‘ = - => X=±—j= 3 S Crece: ■ Decrece: x6(- j . , *. 2 2 Máximo relativo: x =~~j^ ’ Mínimo relativo: x = -j= f(x) = —j=== yjx¿ +8 fgm rrrgr.TT— í Dominio: D= {xg íR} Primera derivada: f(x) = —==== = 4(x2+8) ' 2 => S !íl^L -2 (x2+ 8 )2(2x) = 0 => x = 0 Vx2+8 dx Crece: X€(oo,0) ; Decrece: X€(0,co) Máximo relativo: x = 0 www.edi www.solucionarios.ríétUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 370. www.solucionarios.net GRÁFICAS » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUL01 II. Construir las gráficas de las funciones indicando los puntos de discontinuidad, los puntos críticos, intervalos en donde es creciente y decreciente, los máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad. f(x) =3x4+4x3+6x2-4 Puntos críticos: f(x) = 12xJ+12x2+12x = 0=> 12x(x~ + x+l) = 0=^x = 0 Crecimiento: Decrece: x e ( - o o , 0 ) ; Crece: x e { 0 , o o ) Extremos relativos: f (x)= 36xs+24x+12= 0 x = 0 =>T(0) = 12>0 x = 0 es mínimo relativo Concavidad: f'(x) =0 =>3x2+2x +1 = 0 no hay raíces f(x) escóncavo hacia arriba en x eüR. Intervalos r Crecimiento Extremos F" Concavidad <-x.0> Decrece X = 0 Mínimo + U <0,oo> + Crece + U Gráfica: X -3 -2 -1 0 1 2 fix) 185 36 1 -4 9 100 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edjkoero.com ,_____lCAPITULO V .....................................................................................................................I ESPINOZA RAMOS « f(x) = x4-4 x3+16x Puntos críticos: f'(x) = 4x3-12x2+16 = 0=>x3-3x2+4 = 0=>(x-2)! (x + 1)= o x = 2 (mult. Par) x = 1 www.solucionarios.net -Q-— -1 2 Crecimiento: Decrece: xe <-oo-1> ; Crece: xe<-l, oc> Extremos relativos: f"(x) = 12x2-24x = 0 x = -1 => f(-1) = 36 > 0 x = 0 es mínimo relativo x = 2 => f(2) =0 x = 0 punto de inflexión Concavidad: f(x) = 0 => 12x(x -2) = 0=> x = 0; x = 2 Cóncavo hacia arriba: xe Cóncavo hacia abajo: xg<-2,0> Intervalos r Crecimiento Extremos F" Concavidad - Decrece X = -1 + <-1,0> + Crece Mínimo + <0,2> + Crece - + Crece + Gráfica: X -2 -1 0 1 2 3 f(x) 16 -11 0 13 16 21 www.solucionarios.net cionarioanAl,sisMATEMÁTIC01733
  • 371. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO V O f(x) = x2(x +4)3 Dominio: D = {xe'JH} Primera derivada: f(x) = x2(x +4)3 => ^ ^ = 2x(x +4)3+3x2(x +4)2=0 X = -4 (mult. par) x =-- Decrecer: xe( — ,0 ' 5 x(x +4)2[2(x +4) +3x] =>x =0 ; Crecimiento: Crece: xe ^-<»,^,0^U(0,oo) Extremos relativos (segunda derivada): f'(x) =(x +4)2(5x2+8x) f"(x) =2(x +4)(5x2+8x) + (x +4)2(10x +8 ) =0 x +4 =0 v 5x'+8x +(x +4)(5x +4) =0 x = -4 v 10x‘‘ +32x+16= 0 => x = -4 ; x = ——— ; x = —■* --------g~~Q _1SOLUCIONARIO, www.solu6lonarios.net w//w.Pdukperii.corr www.solucionarios.net CAPITULO V x = 0=>f"(0) = 128>0 x = Oes mínimo relativo x = - - => f "( - |= -1520.64 <0 x = 0 es máximo relativo ; 5 U J Concavidad: / -8-2V 6. ./2V6-8 Concavidad hacia arriba: x e (-4,----- -----)U (— -— ,qo , . . . / ,v1./-8 -2 >/6 2V6-8Concavo hacia abajo: x e (-<*,-4)U ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Intervalos r Crecimiento Extremos F” Concavidad <-00,-4> + Crece X = 0 Mínimo 8X = — 5 Máximo - n 5 + Crece + u f -8- 2J 0 8 j l 5 ' 5J + Crece n í 8 2y[ó-8 [ 5' 5 J Decrece n í2^ - 8,oi 5 J Decrece + u (°,oo> + Crece + u Grafica SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 372. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ) f(x) = 3x5+5x3 Dominio: D= {xe9?} Primera derivada: 3 df(x)=> ------- dx i f(x) = 3x5+5x3 = 15x4+15x2= 0 => 15x2(x 2+ l) = 0 x = 0 (mult. par) Crecimiento: Crecer: xe9? Extremos relativos (segunda derivada): f'(x) = 15x4+15x2 => f ”(x) = 60x3+30x =0 f"(x) = 30x(2x¿+1) =0 => x = 0 x = 0; f'(0) = 0 punto de inflexión Concavidad: Cóncavo hacia arriba: xe Cóncavo hacia abajo: xe ^'coNAR wwwsoluclonarios.net CAPITULO V www.edukperu.com www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO V ...................................................................... — : 0 f(x) = x4--3 x3+3x2+1 ___ Dominio: D ={xeM } Puntos críticos: f'(x) = 4x3-9x2+6x = 0 => x(4xJ-9x +6) = 0 => x =0 Crecimiento: Decrece: xe<-co,0> ; Crece: x<=<0, ao> Extremos relativos: f " ( x ) = 1 2 x 2 -18x +6 = 0 x = 0 => T(0) = 6 > 0 => x = 0 es mínimo relativo 1 Concavidad: f"(x) = 0 => 2x2-3x +l= 0 => x-1; x - g Cóncavo hacia arriba: x € o ,^ u(l,°o) Cóncavo hacia abajo: x e I —,12 Gráfica x -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 f(x) 8 2.1875 14375 26875 119375 www.solucionarlos,net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 373. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) í f(x) = — 2x3+3x‘ +2 Étm m m vw m Puntos críticos: f'(x) = 2x3-6x2+6x = 0 => 2x(x2-3x +3) = 0 => x Crecimiento: Decrece: x € <-oo,0> ; Crece: x e <0,oc> Extremos relativos: f”(x) = 6x2- 12x + 6 = 0 x = 0 => 6 > 0 ; x = 0es mínimo relativo Concavidad:f"(x) = 0=>x2-2x +l =0 =>x = 1 Cóncavo hacia arriba: xe'JÍ Gráfica X -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 f(x) 7.5 303125 253125 453125 903125 o _______________ Dominio: D = {x e'.H/x * 1} Primera derivada: CAPITULO v 0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO V f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2dfíx) 2 x (x -l)-x 2 x(x-2)ffv_2_ —> L i = — i-------i-----= —i------/ => x = 0; x=1 * x —1 dx Í x - ií íx —l) Crecimiento: Crece: x e <-oo,0> U <!,<»> Extremos relativos (segunda derivada): Decrece: x e <0.1> df(x) x2-2x _ d ^ x ) (x -lf(2 x -2 )-(x - -2x)(2)(x- l) 2 dx (x-1)* dx2 Concavidad: F(x) = 0 => x = 1 Cóncavo hacia arriba: xe <!,+«» Cóncavo hacia abajo: x€ <-oo,l> Gráfica (x-1) (x-1) 1 X -4 Dominio: D = {x e W/ x * ±2} Primera derivada: www.solucionarios.net SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 374. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO V f (y- x df(x) = x2 4 X^2X} = x2+4- no hay puntos críticos x2- 4 dx " ( x ^ - 4 ) ! ( x ! - 4 ) Crecimiento: Puesto que ^ < 0 en x e * la función es decreciente para cualquier dx valor de x. Segunda derivada: df(x)_ x2+4 d*f(x) 2x(x2-4 )B-(x 2+4)(,2)(x2-4 ) (x! -4)¡ ^ <*' (x! -4 )‘dx2 d2f 2x(x2-4 -2x2- 8) 2x(x2+12)_ 0 => x =0 dx2 (x2-4 )3 (x2-4 ) Concavidad: f”(x) = 0 => x = 0 Cóncavo hacia arriba: xe Cóncavo hacia abajo: xe xGráfica: f(x) = x2-4 soLUCior mMmtariosrtet 7 * vm v.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO V ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(x) = 3x2/3-2x Dominio: D = {x e '.Hj Primera derivada: f(x) = 3x -2x »-■— = 2x~1/3-2 = 0 => — 775—= 0 => x = l; x=0 dx ~,/3 Crecimiento: Crece: x € <0,1> Decrece: x e <-00,0> U <1, x> 2 Concavidad: f"(x) = - x “43= 0 => x = 0 es punto crítico v ' 3 Cóncavo hacia abajo: x e <0,oo> ¡ Cóncavo hacia arriba: x e <-qo,0> Gráfica: f(x) = 3xM - 2x Y i f(x) = xll +2x* ÍT.T7— T www.edukrwww.solucionarios.net izisswsáus?MATEMÁTICO ■
  • 375. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPIWOZA RAMOS ) ....................................................................................... Dominio: D = {x e s.R} Primera derivada: _ £ W =: x-2,3+2r i i x./3=0 -, ]±8x 0 f(x ) = x + 2 x = > —¿ ¡ ~ = 3 = ^ x = I ; x = 0 Crecimiento: Crece: x e /-i.c c j ; Decrece: xe (~x'g Concavidad: P(x) = - |x - 5'3+|x -2'3=0 =• ^ < r =0 ; x = 0 ; x = ¿ Cóncavo hacia abajo: xe (0,¿ Cóncavo hacia arriba: xe<-oo,0>U ( ^,<x> Gráfica: f(x) = x,/3+2x4/3 www.solucionarios.net www.6dukperu.coi' www.solucionarios.net f(x) = (x-2)V -x < ta P T iirw ,iM r Dominio: -x¿:0=>x^0=>D = {xe'.H/x<0} Primera derivada: f(x) = (x- 2)>/^x => = V-x - =0=>-2x-x + 2 = 0=>x = - v dx 2V-x 3 Puesto que este valor fuera del dominio, la función crece en xe (-oo,0] Concavidad f'(x) = = 0 => f,x ) = ( - x r ^ = 0 => f ’(x) = —=L= +—j= - 0 V ' 2 ^ V ; 2 27H ) 2 ^ CAPITULO V ( EDUARDO ESPINOZA RAM OS « -1 +3x = 0 2^ x ) Cóncavo hacia abajo: x e (-00,0] Gráfica: f(x) = (x-2)>/^x x = - el valor esta fuera del dominio 3 X f(x) -10 -379473 -9 -330000 -8 -282843 -7 -238118 -6 -195959 -5 -156525 -4 -120000 -3 -86603 -2 -56569 -1 -30000 0 0 WWW eduKperu.com SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 743
  • 376. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO V 0 f(x) = (x +1)23(x-2)' .1 g B Æ O M JÊ f Dominio: D={xeíR} Primera derivada: * « df(x) 2(x-2)3 (x +l)5 2x-4+x+1 f(x) = (x + 1)3(x-2)3 => = -------V +J------ — =-----------I----------F dx 3(x +1)3 2 (x -2 )3 3 ( x + 1)3 ( x -2)3 3x-3 = 0 =>x = 1 x = -1df(x) _ d x 3 ( x + 1),/3( x - 2 ) 2/3 Crecimiento: Crece. X€<-qo,-1> U <1 , oo> Decrece: xe <-1,1> Concavidad x —1. d f ( x ) - dx (x +l)'"(x -2 )1/3/ 2/3 / J ( x _ 1 ) ( x _ 2 ) 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) 3 ( x + 1 ) 3 ( x - 2 ) 3 - > a 1 — *----^ fH(x)= (x +l )3 (x —2 )3 Cóncavo hacia abajo: xe<2,a» Cóncavo hacia arriba: xe<-»,2> Gráfica: f(x) = (x+ lf(x-2)M 3(x +l)3 3(x-2)3 _6 ; 7 s 1 3 ( x + 1)3(x - 2 ) 3 x = 2 X f(x) -5 -48203 -4 -37798 -3 -27144 -2 -15874 -1 0 0 -12599 1 -15874 www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO V EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O 2 0 3 25198 4 36840 5 47622 f(x) = x- Ln(x+1) Dominio: x + l> 0 = > x > -l= > D = {x e W /x > -l} Primera derivada: f(x) = x-Ln(x +l) => Crecimiento: Crece: xe (0,00) 1 dx x+1 x +1 Decrece: xe (-1,0) Concavidad. d f ( x ) 1 1 dx x +1 f(* )= cóncavo hacia arriba en x > -1 (x+1) Gráfica: f(x) = (x tl)” (x-2)ri x = -1 asíntota Dominio: D = {x e SR} www.solucionarlos,neft00"*™0anAlisismatemático
  • 377. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO V O 746 Primera derivada: f(xl = Ln(x2+ Ï) =>=-2x=0=>x=0 w 1 1 dx x +1 Creeimiento: Crece: xe (0,oo) df(x) x Decrece: xe (-a>,0) Concavidad: dx x2+l fW 2T ^ =r ^ = ° ^ x=±1 (x +1) (x +1) Cóncavo hacia abajo: xe (-oo,-l)U(l,oo) Cóncavo hacia arriba: xe (-1,1) Gráfica: f(x) = Ln (x2+ 1) f(x) = 3 -x Dominio: D={xe'.K/x± V 3} Primera derivada: SOLUCIONARIO A www.solucionarios.net www edukperi.com www.solucionarios.net CAPITULO V ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x3 df(x) 3x2(3 -xa)+2x(x’) x2(9-3x2+2xL) x2(9 -x2) f,X) =W ^ ^ r = (3-x2)2 = (3-x“)2 (3-x! f =0 Concavidad: df(x) 9 x 2 - x 4 _ d2f(x )_ (3 -x 2)2(l8 x-4x3)-2 (-2 x)(3 -x2J(9x2^ x 4) = (3 -x2)2 ^ ~dx^~ "" (3 -x2)4 d2f(x) (2 -x2)2(l8x-4x3)-2 (-2 x)(3 -x2)(9x2- x 4 ) dx2 (3 -x2)4 d»f(x) 2x|'(3-x2)(9-2xí )+9x’ -x *] 2x(27 +3x*) g dx2 (3 -x2)3 (3 -x2)3 Cóncavo hacia arriba: xe ^-oo,->/3^U^0,/3^ Cóncavo hacia abajo: xe ^-y/3,0^J^y¡3,ccj v2 Gráfica: f(x) = 3 -x y • . . . SOL ILC www.solucionarlos,net. . . SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 378. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPlNOZA RAMOS ) CAPITULO V O f W = 7 _________ __ jB S á ü E E M f Dominio: D = {x € S.R/x * 0} xe" —6* Primera derivada: f(x) = ----- ¿— = 0 => x-1 = 0 => x=1 Crecimiento: Crece: xe (l,oo) ; Decrece: xe (-00,1) Concavidad: df(x) _ xex-e* d2f(x) _ x2(xe +e ~e )~ 2x(xe -e ) e (x -2x +2) dx ~ ~ x * ^ dx2 ” x4 x3 Cóncavo hacia arriba: xe (0,oo) Cóncavo hacia abajo: xe (°°,0) Gráfica: f(x) = — '48 www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO V EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O f(x) = x-Arctg(x) Dominio: D=|xe'.R) Primera derivada: fW=1-l-=0=>x!+1-1=0dx 1+ x* x = 0 Crecimiento: Crece: xe (0,oo). Cóncavo hacia abajo: xe (cc,0) Lagráfica © f(x) = x + Ln(x) Dominio: D={xeíRJ Primera derivada: www.solucionarios.ffétIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 379. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO V X2 df(x) x2+1 - Ln(x) dx Por tanto = 0 no hay puntos críticos dx > 0 luego la función sólo crece en x>0 df(x) 1—Ln(x) d2(x) Concavidad: —^ = 1+------—V = ---------------------= i dx x2 dx2 x4 De donde: x [l +2-2Ln(x)] = 0=> x = 0 2Ln(x)=3 => x=e3'2 Cóncavo hacia arriba: xe (0,e‘ Cóncavo hacia abajo: xe (e3/2,oo^ Gráfica: f(x) 2 ^ 3 0 0 +l Arctgí _ ^ 3 3 v i — x Dominio: D = {x e ÍR/ x * ±1} / SOLUCIONARI www.solucionarlos,net www.eddKperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO V C EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Primera derivada: df(x) _ _______ dx 3(1 + x ) 2 U-x* + (1 -x2+2x‘ (1-x*)* 1+ 1—x l + x¿ 3(l +x2) ( l - X ! ) (1-x2) + X‘ 2 3(1 + x ! ) 3 Í ( 1 - X 2 f + X! = -----------+ ------— -------- =0 no hay puntos críticos dx 3(l +x2) 3 (l-x 2+x4) Por tanto: -df— > 0 luego la función solo crece en x>0 dx Concavidad d!f(x) 4x 2 x ( 1 - x ! + x " ) - x ! ( 4 x 3 - 2 x ) ! ------------ — 7T■+■ . o x = 0; dx2 3(l + x2f 1-x2+ x4-2 x4+x2 2 = 0 3 (l-x 2+x4) 1-x4 3(1 -x 2+x4) 3(1+x2) Cóncavo hacia arriba: xe (0,e’ Cóncavo hacia abajo: xe (e* 2,<»^ f(x) = xe'x‘ Dominio: D = {x e íR} Primera derivada: 3(l - x 2+x4) 3(1 +x2)' = 0 1= e‘x -2x2e* = 0=>1 = 2xs=> x = ±—¡= dx v2 WWW www.solucionarios.nëïUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 380. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO V Crece: x e( -oo,-JL^U^-J=,oo d! (x)Segunda derivada: ^ - ^ = ~2xe'x'-4 xe ' + 4x3e~x =0 dx -2x-4x +4x3=0=>2x(2x‘ -3) = 0 x = 0 x =± J^ Concavidad: Cóncavo hacia arriba: xe Lagráfica Y * Dominio: D = {x e M / x * -1} Primera derivada: df(x) 2 ( x +1 )3( x - 1 ) - 3 ( x + 1)í ( x + 1)2 ~ á¡T ~ (x +1)6 (x-1)[2(x +1)-3x +3] (x-1)(5-x) (x +1)4 (x+1)‘ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MAÍEMÁTJCO I ., www.solucionarlos,net www edukperu com www.solucionarlos,net CAPITULO V C EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Concavidad df(x) _ 6 x-x2-5 d2f(x) _ (x +1)4(6 -2 x)-4 (6 x-x2-5)(x +1)J dx (x +1)4 ^ dx: (x +1)8 d2f(x) (x +1)(6-2x)-4(6x-x2-5 ) _ 2xg-20x +26 dx2 (x + 1)5 , (x +1)5 x = 5-2>/3; x=5+2>/3; x=-1 Cóncavo hacia abajo: x e(-oo(l)l) (5 - 2V3,5 +2>/3^ Cóncavo hacia arriba: x e (-1,5-2>/3^1)^5+2^3,00^ Lagráfica WWWedokperxrcc SOLUCIONARIO ANÁLISIS matemático i www.solucionarlos,net
  • 381. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO V O f(*)= x3+2x2+7x-3 2x2 . Dominio: D = {x e iK/ x * 0} ; Asíntota en x = 0 Primera derivada: x x +2x +7x-3 x 7 3 _2 f x = ------------T----------= —+1 + - X — x K ’ 2x 2 2 x df(x) 1 1 3 -> x3-7x +3 dx 2 7 2x3 (x -l)(x 2+ x-6) = (x-1)(x +3)(x-2) = 0=> x = 1 x=-3 x = 2 Crecimiento: Crece: xe(^»,-3)U(0,l)U(2,oo) Mínimos: x = 0 x = 2 Decrece: x e(-3,0)U(l,2) Máximos: x =-3 x= 1 d f(x) 7 9 - 7x-9 9Concavidad: — ~ - —r — 7 = 0 =>— 7- = 0 x=0 x=- dx2 x3 x4 x 7 Cóncavo hacia arriba: xe(-oo,y Cóncavo hacia abajo: xe(^,<* DANALISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net t SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÀTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO» ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © x = x x >0 -x x <0 f(x) = x" -4¡x| +3 Dominio: D = {x e iK} f(íx2-4x +3 x >0 vx2+4x +3 x < 0 o- . • . df(x) Í2x - 4 x £ 0Primera derivada: —— = < ; x=2 ; x = -2 dx 12x+4 x < 0 Crecimiento: Crece: xe (-2,00) u (-2,0) Mínimo: x = 2 Decrece: xe (-qo,-2)u(0,2) Mínimo: x = -2 C o n c a v id a d :^ J 2 í í M dx* 2 x<0 dx‘ >0 Lagráfica www.edukperu.com www.solucionarios.net SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 382. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO V Y * g 0 puntos críticos: x = 0 ; x = — 27 ' f(x)-V7-x Dominio: D= {x f iR} Primera derivada: i df(x) 2 2-3x5 dx ~ I3x3 3x3 SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukparu.com www.solucionarlos,net CAPITULO V C EDUARDO ESPINOZA RAMOS « PROBLEMASSOBREMÁXIMOSYMÍNIMOS Encontrar el área del mayor triángulo isósceles que tenga un perímetro de 18pulg. Sea el triángulo: A = — 2 Perímetro: P -*R x2- 36x +324 = 4h2+ x2 => 36x = 324-4h2 => x = ^[81-h'J] En el área: A = ^ (8 1 -h 2)= ^(8 1 h -h !) Por condición de máximos, derivamos respecto a h: dA 1 dh = ± ( 81-3h*) = 0 ^ h = ^ = 3 ,/3 ^ A = ^ (8 1 -2 7 ) = W3u! Se debe construir una lata cilindrica (con tapa) de manera que se gaste el menor material posible. ¿Cuál debe ser la relación entre la altura y el radio de la base para que esto ocurra? M f n w i i w Area: A = 2 ;irh + 2 T tr2 V=rtr2h => h =Volumen: 7tr 2VEn la expresión del área: A = — +2^-r1 Por condición de máximos, derivamos respecto a r: . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 757
  • 383. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO V dA 2v V V 3 4— = — - +4;rr = 0 =>r = J— =>h = —?|—5- dr r2 y2/r /r V2 ' y j í t *V V2 =>- = 2=>h = 2r r Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P(3,4) y forma con el primer cuadrante un triángulo de área mínima. Sea la recta: y = mx +b en P(3,4) o 4 = 3m + b B= 4 - 3 => y = mx - 4 - 3m El intercepto en el eje y es: x = 0 y = -4 - 3m 4+3m El intercepto en el eje x es: y = 0 x = m El área del triángulo con los ejes coordenadas es: A = = I(-4-3m )(4m -' +3) = |(-16m-'~-12-12-9m) Derivando: — = i(l6 m ‘2-9) = 0=> m = ±— dm 2v ' 3 4 Luego la recta en el primer cuadrante es: y = --x + 8 =>3y +4x-24 = 0 Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje X los otros dos están respectivamente sobre las rectas y = x, 4y+5x = 20. Hallar el valor de y para que él área del rectángulo sea máxima. En el esquema: Base del rectángulo www.solucionarios.net www adukperj.com www.solucionarlos,net CAPITULO V ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « B= y - 20-4y 9y-20 5 5 Altura: h = y A = Bh = y Derivamos: — = -(18y-20) = 0=>y = -^ dy 5V ’ 9 Y • Una hoja de papel tiene A cm2 de material impreso, con márgenes superior e inferior de 4cm y márgenes laterales de 2cm. Determinar cuales deben ser las dimensiones de la hoja para que se use la menor cantidad de papel. En el esquema: y +4 x+8 Si A = xy, para las nuevas dimensiones: S= (x+8)(y+4) *S= xy + 8y + 4x + 32 SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 759
  • 384. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS APero: y = — x CAPITULO V S= A +— +4x+32 X _ . dS 8A _ n rr ÍA Derivamos respecto ax: — = —- +4 = 0=>x = v2A y=.|— dx x v 2 Luego: , [A 8+V2ÀBase= 4+J¥ = - ^ Altura = >/2A +8 Si los lados de un rectángulo son ay b, demostrar que el rectángulo más grande que puede construirse de manera que sus lados pasen por los vértices del rectángulo dado es un cuadrado de lado a + 4L ■J2 Triangulo superior: a2= x2+ y2=> y = Va2-x 2 Triángulo lateral: b2=t2+z2 z =>/b2-1‘ Lado del rectángulo: L= x + t Base del rectángulo: B= x + 1 Luego derivamos: dA 2*b, , , A a u b(a-a/2) b— = ----- (a-4r) = 0=>r = -=>h = -------------- - = - dr a 4 a 2 Determinar la superficie lateral del cilindro recto que puede ser inscrito en un cono circular recto dado. Area del cilindro: A = 2rcrh , a/2 b , b(a-2r) Por triangulo: ---------= —=> h = ------------- 5 a /2 -r h a b(a-2r) 2;rb, A = 2;rr—--------1= — (ar - 2r2) r;>r SOLUCIONAR www.solucionarios.net www eoukperu com www.solucionarlos,net CAPITULO V ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « dA 2/Tb, , x a u b(a—a/ 2) bLuego derivamos: — = ------(a-4r) = 0=>r = -=>n = --------------- = — dr a 4 a 2 2^(a/4)(b/2) xab Ahora el área lateral: A = A = 2/rrh = --------------------= —— Un alambre de longitud L es cortado en dos partes, con una parte se forma un cuadrado y con la otra una circunferencia. De qué modo debe ser cortado para que la suma de lasáreas sea máxima. M E 2 E W M L-4x Si el lado del cuadrado es x, el radio de la circunferencia es: r = 2n Luego, el área total de ambas figuras es: A = x2+ n L-4_x'8 2n Derivamos: — = 2x-2(4)/r dx f LZ Í5 ) = 0 = > x - 2 fi^ í| =0 2L71%- 2L+8x = 0 =>x = ------ (lado del cuadrado) K +8 O Se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular con un perímetro de 30m. Hallar el jardín de mayor superficie. En el esquema: Perímetro: P= 2r+r9 = 30 0 = 30r'-2 Area: A = - 9 r = r (15r_1-1Ì = 1 www.solucionarlos,netlucionarioanalisisMATEMATIC01u
  • 385. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO V Derivamos: — = 15-2r = 0 =>r = — => A = — f 15-— ¡= 56.25u2 dr 2 2 ^ 2 J ^ Se tiene una hoja rectángular de papel, de lados 8 y 15 se desea hacer con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquimas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados, a fin de que el volumen sea el mayor posible. T i F I T Í M T En la caja que se muestra: V = (15-2x)(8-2x)x V = (15-2x)(8-2x2) Derivamos: dv— =(15-2x)(8-4x)-2(8x-2x2) = 0 ; (15-2x)(4-x)-8x +2x2=0 60 - 8x - 15x + 2x2-8x + 2x2= 0 => 4x2-31x + 60 = 0 (4x - 15)(x - 4) =0 => x = — 4 O Un punto móvil Pdescribe la curva y = -,x > 0. Determinar la distancia mínima de P al origen. La distancia al origen se obtiene de: d2= x2+ y2 = > f= x2+16x'2 Derivamos: — = 2x-32x'3=0=>2x = — =^x=2 y=2 dx x Luego la distancia: d2= 22+ 22 => d = 2yÍ2 ^ Se necesita construir un embudo cónico cuya generatriz debe ser igual a20cm. ¿Cuál debe ser la altura del embolo para que su volumen sea el mayor posible? www.solucionarlos,net VY W .e d ukp eru.c om www.solucionarlos,net CAPITULO V ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « En el esquema: Altura: h = v20‘ - r 2 Volumen del cono: V = - /rr2h = - nv V202- r 3 3 Derivamos: dv _ 1 dr 3 2r^202- r 2 r! (—2r) 2>/202- r! = 0 =>800- 2r - r = 0 800 20V3 m 1^ Si un paralelogramo y un triángulo tienen un vértice del paralelogramo sobre los lados del triángulo dado. Probar que el área del mayor paralelogramo que se puede inscribir del modo descrito, es igual a la mitad del área del triángulo (se conoce la base y la altura del triángulo). j k m &s &q h t En el esquema: Hallaremos la relación entre las variables mediante triángulos: B H u Hx u Hx- = -------=> H -y = — =>y = H— — x H -y B B Hx2El área del paralelogramao: A = xy = Hx--------=> La máxima área: B — = H ^ ^ = 0 de donde: x = - luego y = H ^ dx B 2 2 2 r - . x u ^ 1 f B H El area buscada: A =xy=-I-I=-Iy Lo que demuestra que es la mitad del triángulo. jflÉI Se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular con un perímetro de 30m. Hallar eljardín de mayor superficie. SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 763
  • 386. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO V En el esquema: Perímetro: P= 2r + r9 = 30 => 0 = 30r ’ -2 Area: A = -0 r2= r2(l5r-1- i) = 15 r-r — = 15-2r = 0=> — => A = — 15-— = 56.25u¿ dx 2 2 l 2 O Hallar un punto sobre la parábola y = 4-x2tal que la recta tangente en el segundo cuadrante, determine un triángulo de área mínima (con los ejes coordenados). En el esquema: mx + h = 4-x2==>h = 4-x2mx => x2+ mx + h -4 = 0 Condición de tangencia: B2-4AC=0 => nrr-4(h-4) = 0 (-2x)2= 4(h-4) => x2= 2Bx-4 => B= - +- x 2 • X A B h B ( 2 B X ) Í 2 AEn la ecuación del area: A = — = ---------- = x - +- 2 2 (x 2 j 4 o x= - +2x + — x 4 SOLUCIONARIO www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO V f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O Derivamos: — = — +2+ - 0 =>3x4+8x2-16 = 0 => x‘ = — dx x2 4 3 2 412De donde en el segundo cuadrante: x = — y = 4— = —• V3 3 3 Hallar lasdimensiones delrectángulo de mayor area y con los lados paralelos a los ejes coordenadas que puedeinscribirse en lafigura limitada por lasdosparábolas 3y = 12-x‘ ; 6y = x” -12 Lagráfica: Base del rectángulo: B= 2x . , 12-x2 x2-12^Altura: h =■ 36-3x2 = 6- - Area: A = 2x 6 - y |= 12x-x3 dA Derivamos: — = 12-3x2= 0 => x = 2 de donde: B = 2x = 4 h = 4dx O Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito de lados 8,10,12, tal que un lado del rectángulo esta contenido en el lado del triángulo de lado 12. www.solucionariosffí&tbNAR,° análisismatemáticoi g
  • 387. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO V RAZONDECAMBIO Un depósito de agua, en forma de cono invertido es vaciado a razón de 6m3/min. La altura del cono es de 24m y el radio de su base es de 12. Calcule la rapidez con la que el nivel de agua desciende cuando el agua tiene 10m de profundidad. En el esquema se muestra las dimensiones del seno: 24xLa ecuación de la recta que pasa por el origen: y = = 2x • ;rx2y y El volumen del cono de albura y y radio x: V = - = x = - ó £ V = 7Ty = —— derivamos respecto al tiempo: dV 3;ry2 dy 12 dt 12 dt dV dyPero— = 6 m /min ; y = 10m=>—- dt dt *(10)s = 6 dy 6— = -----m/s dt 25n Cierta cantidad de aceite fluye hacia el interior de un depósito en forma de cono invertido a razón de 3n m3/min. SI el depósito tiene un radio de 2.5m en su parte superior y una profundidad de 10m. ¿Qué tan rápido cambia dicha profundidad cuando tiene 8m? En el esquema se muestra las dimensiones del cono: 10x Laecuación de la recta que pasa por el origen: y = = 4x /rx y yEl volumen del cono de altura y radio x: V = —— x = - www.solucionarios.net wrA'w.d0ukparu.C0(n www.solucionarlos,net CAPITULO V EDUARDO ESPINOZA RAMOS « V = -i ;ryJ . . . ... dV 3;ry‘ dy= derivamos respecto al tiempo: — = — --------- 48 dt 48 dt Pero — = 3/rm3/ min dt y=8m =>— dt *(8)* 16 q dy 3 / = 3;r =>— = - m/s dt 4 Un automóvil que se desplaza a razón de 30 pie/seg. se aproxima a un crucero, cuando el auto está a 120 pies de la intersección, un camión que viaja a razón de 40 pies/seg. cruza la intersección. El auto y el camión se encuentran en carreteras que forman un ángulo recta entre si. ¿Con qué rapidez se separan 2 seg. después de que el camión pasa dicho crucero?. En el esquema: Para el auto con x = 120 pies y el camión en t = 2 y = 80 x = 60-120=-60 pies => s2= 802+ 602=> s = 100 pies en la expresión: s2= y2+ x2derivamos respecto al tiempo: 2s— = 2y— +2x— dt dt dt 100— = 8 0 ^ + 60— => 10— = 8(40) +6(30) dt dt dt dt — = 50pies/ s dt www eajkperu com www.solucionario&ñetARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 388. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO V O Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60*'. Una locomotora dista 160m del cruce y se aleja de el a la velocidad de 100 km/hora, un automóvil dista del cruce 160m y se acerca a él a la velocidad de 50km/hora. ¿A qué razón se altera la distancia entre los dos?. wthwiit: En el esquema: Parael auto con x = 0,16km y el tren y = 0,16km s2= x2+y2-2xyCos(60o) => x = y = 0.16 km s = 0.16km en la expresión: s2= y8+ x2- xy derivamos respecto al tiempo: _ ds n dy n dx dx dy2s— = 2y— +2x— y— -x — dt dt dt dt dt 2(0.16)| =2(0.16)^ +2(0.16)f-0,16^ - 0,16^ dt dt 2— = 2— +2— - — - — =>2— = 100- 50=> — *50 dt dt dt dt dt dt dt j ji El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de 3cm por hora y la altura disminuye a razón de 4cm. por hora. Calcule como varia el área total del cono cuando el radio mide 7cm y la altura 24cm www.solucionarios.net « vvw.edukperu com www.solucionarlos,net CAPITULO V [ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « El área total del cono: A = xr^Jr2+h‘ +7CC Derivamos respecto al tiempo: , 0 dr dhnx 2r +2h — dA n ,—t j dr V dt d t) n dr— = W r +h — +— -— 7—-=.—:-------+2/rr— dt dt 2Vr2+h* dt Pero: — = -4cm / h— = 3cm / h r=7cm h = 24cm dt dt — =x-j7! +24‘ (3)+ 3^ 7!3^+24^ ^ +2jr(7)(3) = 75jr-9jr +427T dt # ^ 2 ? ' ’ HA — = 108^cm2/h dt Un aeroplano que vuela en dirección norte a 640 millas por hora pasa sobre cierta ciudad a medio día: un segundo aeroplano que va a dirección oeste a 600 millas por hora está verticalmente sobre la misma ciudad 15 minutos mas tarde, si los aeroplanos están volando a la misma altura, ¿con qué rapidez se estarán separando a la 1.15 pm? Mediante el teorema de Pitágoras: y2+(x+160)2= z2 Desde la 1:00a 1:15. x = 6400(0.25) = 160mi y = 600(0.25) = 150 mi Z2= 1502+3202 =>z = 10VÍ249 Derivando respecto al tiempo: 2y ^ +2(x +160)^ = 2 z ^ =>2(10)VÍ249 ^ = 2(150)(600)+2(230)(640) — = 831.15mi/h dt www.solucionarlos,net MATEMÁTICO I
  • 389. www.solucionarlos,net I Un tendedor de alambres trepa a un poste telefónica a razón de 2.5 pies por segundo, mientras sujefe está sentado a la sombra de un árbol vecino observando. Si el terreno es llano y el jefe está a 36 pies de la base del poste. Si el terreno es llano y el jefe está a 36 pies de la base del poste. ¿Cuántos segundos tiene que trepar el tendedor de alambres para que la distancia entre él y el jefe crezca a razón de un pie por segundo? » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................................... CAPITULO V SOLUCIONARIOANÁLISIS www.solucionarlos,net^LISIS MATEMATICO I ww*.eduKperu.com www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net
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    • 1. www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net www.solucionarlos.net ANALISIS MATEMATICOI PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA (1ER EDICIÓN) SOLUCIONARIO EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA -PERÚ www.solucionarios.net zm m m m
  • 2. www.solucionarlos.net IMPRESO EN EL PERÚ 01 -01 -2012 » DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento ^ del autor y Editor._____________________________ ___ _____________________ RUC N° 20520372122 Ley del Libro N° 28086 Ley de Derechos del Autor N° 13714 Registro comercial , N° 10716 Escritura Publica N° 448 4 solucionadoanálisisMfffltf¡tf£olucionarios.net www.eduhperu.com www.solucionarlos.net PRÓLOGO Habiéndose adaptado a nivel universitario, en el curso de análisis matemático, el texto de Análisis Matemático para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería por su acertado desarrollo teórico, siendo necesario como consecuencia de la concepción teórica, ahondar en las aplicaciones y ejercicios a fin de desarrollar la habilidad mediante la práctica; por eso el objetivo del presente volumen de problemas desarrollados del texto Análisis Matemático para estudiantes de Ciencias e Ingeniería de Eduardo Espinoza Ramos orienta su intención de ser complemento teórico-práctico para el estudiante universitario. Su contenido sigue en esencia las pautas del texto, la solución de los problemas están detalladas en forma clara y precisa, se ha puesto especial cuidado en los gráficos, pues pensamos que un "buen dibujo" por señalar en forma natural, es el camino a seguir en el bus que da la solución de un problema. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan el deseo de que encuentren en ellas una agenda para su avance y desarrollo intelectual EDUARDO ESPINOZA RAMOS . . . t SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 3. www.solucionarlos,net ■ ■ • ,www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net INDICE 1. CAPITULO 1 1.1. SISTEMAS DE NÚMEROS REALES.............................................................. 1 1.2. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCÓGNITA................43 1.3. INECUACIONES FRACCIONARIAS.........................................................Al, 1.4. INECUACIONES EXPONENCIALES........................................................ 113 1.5. INECUACIONES CON RADICALES..........................................................120 1.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO..................... 141 1.7. RELACIONES V FUNCIONES..................................................................188 1.8. FUNCIONES......................................................................................... 221 1.9. ALGEBRA DE FUNCIONES.................................................................... 264 1.10. FUNCIONES INYECT1VAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS...............319 2. CAPITULO 2 2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD.....................................................................337 3. CAPITULO 3 3.1. LIMITES................................................................................................387 3.2. LIMITES LATERALES.............................................................................454 3.3. LIMITES AL INFINITO.............................................................................481 3.4. LIMITES INFINITOS.............................................................................. 516 3.5. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS................................................................520 3.6. LIMITES TIPO ex....................................................................................554 3.7. ASÍNTOTAS......................................................................................... 577 3.8. CONTINUIDAD.................................................................................... 597 4. CAPITULO 4 4.1. DEFINICIÓN DE DERIVADA.................................................................. 615 4.2. DIFERENCIABILIDAD............................................................................639 i ■ ■ <SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 4. www.solucionarlos,net 4.3. DERIVACIÓN MEDIANTE TABLAS.........................................................647 4.4. DERIVACIÓN IMPLÍCITA....................................................................... 680 4.5. ECUACIONES DE TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA......................699 . CAPITULO 5 5.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................................................717 5.2. GRÁFICOS........................................................................................... 732 5.3. PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................757 OLUCIONARIO ANÁLISIS www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « SISTEMA DE NUMEROS REALES Si a y b, son números reales positivos, demostrar que: +^ ] (a+b)>4 (a-b)‘ >0 => a"-2ab +b2>0 => a2-2ab +b2+4ab>4ab => a2+2ab+b2>4ab ( a+b^i (a +b)‘ >4ab => (a +b)>4 => |^-+^-j(a +b)>4 Si a, b y c son números reales positivos, Demostrar que: gUSEMUMÍ (a-b)‘ >0 => c(a-b)' >0 (a-c)? >0 => b(a-c)‘ >0 (b-c)‘ >0 => a(b-c)2>0 ...0 ) ... (2) ... (3), sumando c(a-b)2+b(a-c)2+a(b-c)'í >0, efectuando los binomios a2c - 2abc+b2c +a2b- 2abc+c2b +b2a- 2abc+c2a >0 a2c +abe +b2c +a2b+abe+c?b+b2a+abe+c2a >9abc a2c +abe +a2b+b2c +abe+b2a+c2a+abe +c2b >9abc agrupando adecuadamente (ac +be +ab) +b(bc +ac +ab) +c(ac +ab +be) >9abc, dividiendo entre abe www.solucionarios.fiet K¡
  • 5. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) J b ™ a b ) (a +b+c)í9 ^ J i +l +l J +(a+b+c)í9 jjfl Si a, b, c y d, son números reales positivos, Demostrar que: - +- +- +-1 +(a +b+c +d)> 16 a b c ' CAPITULO I ...O ) ... (2) ... (3) ... (4) ... (5) ... (6), sumando (a-b )> 0 => cd(a-b)2>0 (a-c)' >0 => b d (a-cf >0 (a-d)‘ >0 => bc(a-df> 0 (b - c )'>0 => ad(b-c) >0 (b-d) >0 => ac(b-d)2>0 (c-d)~>0 => ab(c-d)2>0 cd(a-b)' +bd(a-c)~ +bc(a-d)‘ +ad(b-c)‘ +ac(b-d)‘ +ab(d-c)‘ >0 cd(a2-2ab +b2) +bd(a2-2ac +c2)+bc(a2-2ad +d2) +ad(b? -2bc +c2) + +ac(b2-2bd +d2) +ab(c2-2cd +d2)>0 -2abcd +a2cd +a2bd +a2bc +b2cd - 2abcd +ab2d +ab2c - 2abcd +bc2d +ac2d - 2abcd +abc2+bed" - 2abcd+acd2+abd2- 2abcd >0 abed +a2cd +a2bd +a2be +b2cd +abed +ab2d +ab2c + +bc2d+ac2d +abed +abc2+bed2+acd2+abd2+abed >16abcd SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICISIS MATEMATICO I . www.so ucionarios.net wwv ed'Jkpe’uvcpm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a(bed +acd +abd +abc) +b( bed +acd +abd +abc) +c(bed +acd +abd +abc)+ +d(bed +acd +abd +abc) >16abcd , sacando factor comun bed +acd +abd +abc abed (a +b +c +d)> 16 -l +- +l +- l +(a +b+c +d)>16 a b c d J a , a 3b b2 . Si a y b dos números reales positivos tal que a >b. Demostrar que: —+— > ^ (a-b)3^0 => a3- 3a2b +3ab2- b3>0 => a’ +3ab2>3a2b+b3 Diviendiendo entre a2b se tiene: a 3b b2 . =* r +— >— +3 b a a 9 Va e % a* 0, demostrar que a“ +— >6 (a2-3)~>0 => a4-6a2+9^0 => a' +9>6a2 a4+9 s 9 >6 => a +— >6 Si a,b,C€'JT, , demostrar que (b +c)(a +c)(a +b)>8abc jQ¡a2»2SC2S3H¡íF (a - c)2>0, (a - b)2>0, a(b - c)* >0 ~ ~ SOLUCJONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■ ?■ [ www.solucionarlos,net
  • 6. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUK b(a - c)2>0, c (a - b)2>0, a(b - c)2>0 , sumando se tiene: b(a-c)2+c(a-b)2+a(b-c)2>0 , desarrollando los binomios b(a2-2ac +c2)+e(a'?-2ab +b2) +a(b2-2bc +c2)>0 a2b- 2abc +be2+a2c - 2abc +b2c +ab~ - 2abc +ac2>0 a2b +c2b+a2c +b2c +b2a +2abc +c2a >6abc +2abc ab(a +b)+c2b+abe+a2c +b2c +abe +c2a >8abc ab(a +b)+c2(a +b)+abe +a2c +b2c +abe £ 8abc ab(a +b)+c2(a +b)+ac(a +b) +bc(b+a) >8abc , sacando factor común (a +b).(ab +c2+ac +bc)>8abc => (a +b).[b+(a+c) +c(a +c)]>8abc (a +bXa +cXb +c) >8abc & Si a,b,ce ÜK4, demostrar que a’b +ab3<a4+b4 (a2-b2)2>0 => a4-2a2b2+b4>0 =* a4+b4>2a2b2 ...(1) (a - b)2>0 => a2- 2ab +b2>0 => a2+b2>2ab ab(a2+b2)£2 a2b2 ...(2) a4+b4-ab(a2+b2)£ 2 a2b2-2a2b2 => a4+b4-ab(a2+b2) >0 a3b +ab3^ a4+b4 a4+b4<a3b+ab3 Si a,b,ce 'JT demostrar que a2+b2+c2+3>2(a +b+c) «■«-"•■‘ M tí.S íto n s n b s . net www edukperu corr- www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a —l)2>0 => aJ -2a +l>0 ...(1) (b-1)2>0 => b2-2b+1>0 ...(2) (c —I)2>0 => c2-2a +1>0 ... (3) sumando(l), (2)y (3) a" +b2+c2+3-2a-2b-2c>0 => a2+b2+c2+3¿:2a+2b+2c transponiendo términos se tiene: a2+b2+c2+3 £ 2(a +b+c) Si 0 <a < 1, demostrar que a2<a 0<a<1 => a >0 a a < 1, multiplico por a a.a < 1.a => a2<a r.. L d e f ^ . d d+e+f f iTii Si a,b,c son números reales positivos y Demuestre que —<— ----<- a b e a a+b +c c d d + e + f f d e e f „ , , —<------<- => —<— a —<— => db <ea a de <af a a+b+c c a b b c sumando las desigualdades db +de <ea +af sumando ad se tiene: ad +db +de <ad +ea +af, entonces d(a +b +c) <a(d +e +0 => —<^+6—- •••(!) a a+b+c - < —< - = > - < - a — <- => ec<fb a dc<fa, sumando las desigualdades a b e b e a e ec +de <fb +fa, sumando cf se tiene: fe +ec +de <fe +fb +fa .. " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 7. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ^ c, ud+e+f f c (f +e +d) <f (c +b +a) ------<- a+b+c c 0 © de(l)y(2): d d +e +f f —<------ <- a a+b+c c Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces: (a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc (a-b)2£ab; (b -c)2>bc; (a-c)">ac c(a-b)2^abc; a(b-c)‘ >abe; b(a-c)2>abe , sumando c(a-b)2+a(b-c)J +b(a-c)2>3abc a3+b3+c3>0, sumando a3+b3+c3+c(a-b)2+a(b-c)2+b(a-c)2>3abc a3+b3+c3 +a‘J c-2abc +b"c +bra-2abc +ac2+a2b-2abc +bc‘‘ >3abc a3+b3+c3+a2c +b2c +b2a+ac2+a2b +bc2>9abc a2(a +b +c) +b2(a +b +c) +c2(a +b+c) >9abc , sacando factor común (a +b+c)(a2+b2+c2)>9abc Si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, demuestre que: (a +b +c)(a 1+b"' +c"')>9 capitu' 11 (2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a-b)2>0 => a2+bL'>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)2 >0 => a2+c2 >2ac => a2b +c2b>2abc (b-c)'> 0 => b +c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b+c2b +ab~ +ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+<;)(bc +ab+ac) >9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) ^ / . w « . i i « ^ --------- >9 (a +b+c)(a +b +c )>9 abe ^ Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 8a 32b r ? + —— +24 - n r+— b a b a (a-2b)~ >0 =s>a2-4ab +4b2>0, elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab)¿ >0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2) +16a2b2>0 => (a2+4b2f +16a2b2£ 8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16aV ab(8a' +32b*) a4+16b4.+24a2b2 ^ 8a2+32b2 a2b2 ^ a2b2 ^ a2b2 “ ab a2 16b2 8a 32b -Í-+— 2-+24> — +--- b a b a i ■ í www.solucionarlos,net «
  • 8. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITUI O I (a - b)~ >0 =í>a2+b2>2ab => a2c +b2c >2abc (a-c)~ >0 => a2+c2 >2ac => a2b+c2b>2abc (b-c)"> 0 => b2+c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando a2c +b2c +a2b +c2b +ab2+ac2>6abc sumando 3abc abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc (a +b+c)(bc +ab +ac)> 9abc dividiendo entre abe (a +b+c)(bc +ab+ac) >9 (a+b+c)(a-' +b " +c > 9 Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que: a2 16b2 n . . 8a 32b 7T +— r-+24> — +--- b a b a (a - 2bf >0 => a2- 4ab +4b2£ 0 , elevando al cuadrado se tiene: (a2+4b2-4ab)2>0 (a2+4b2)2-8ab(a2+4b2)+16a2b2>0 => (a2+4b2) +16a2b2>8ab(a2+4b2) a4+8a2b2+16b4+16a2b2 ^ ab(8a2 +32b2) _ a<+i6b4+24a2b2 ^ 8a2+32b2 ¡ V " a2b2 ^ a2b2 ~ ab a2 16b2 8a 32b — +- 1-+24>— +--- b a~ b a solu 1 ^'WWWSÜIG'áionarios.net vvww edukperucom www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O Si a2+b2=1, Demostrar que: -Í2 <a +b<¡2. Sug.(x-y)‘ >0 => 2(x2+y2)>(x +y)' (a - b) >0 => a2+b2£ 2ab => 1+1 >2ab +a2+b2 => (a +b)‘ <2 -s¡2< a+b<¡2 • 2 2 2 Si a +b =c, a >0, b >0, Demostrar que: a3+b3>c3 m m m Aplicando la propiedad: (a +b)n <an +bn 2 2 2 2 c =a +b => c3=(a +b)3<a3+b3 ? i ? de donde c3<a3+b3 a b ^ c Si a +b >c >0, Demostrar —— +---- > ^ ■ r U a 1 4 -hl+a 1+b 1+c a+b> c => a+b +2ab+abc> 0 a +2ab+b+ac +2abc +bc>abc +bc +ac+c a+2ab +b+c(a +2ab+b)>bc(a+1) +c(a +1) (a +2ab+b)(c +1) c(a +1)(b +l) (a +l)(b +l)(c +l)~ (a +1)(b +1)(c +l) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 9
  • 9. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) a +2ab+b c a+ab+ab+b c >--- => --- r->- (a +1)(b +l) c +1 (a +1)(b +1) c +1 3x2-5x-2 >0 =>(3x+1)(x-2)>0 O Si a, b, c >0, Demostrar que: 3abc <a3+b3+c3 Aplicando el ejercicio (1); se tiene: (a +b +c)(a2+b2+c2) >9abc a3+b3+c3+(ab2+a2b +ac2+be2+a2c +b2c) >9abc ab2+a‘b+ac"1+be2+a2c +b2c =6abc Reemplazando (2) en (1) se tiene: a! +b‘ +c3+6abc>9abc de donde: a3+b3+c3>3abc Si c >0, d >0, 2d * 3c. Demostrar que: — >1- — w 3c 4d (2d - 3c)2>0 =>4d" - 12dc+9c2>0 => 4d2+9c2>12dc 4d2+9c2 12dc Dividimos la expresión entre 12dc: ----------------- > 12dc 12c d 3c d 3c — +— >1 =>— >1--- 3c 4d 3c 4d r /h Si a >0, b >0, a * b, demostrar que —ÍL +—¡= >2 Vb Va j222¡q¡223I3¡F SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I.slALISIS MATEMATICO I. . . www.solucionarlos,net CAPITULO I ...O ) wvvw.edukperu com www.solucionarlos,net (Va-Vbj >0 => a-¿Va>/b +b >0 u o r rz a+b oVaVa VbVb Va Vb ~ a+b>2Vavb => r r >2 => - + >2 => —= +—= >2 VaVb vavb Va Vb Vb Va Si a, b, c € R, Demostrar que: b2c2+c2a2+a2b2>abc(a +b+c) J2¿¡¡22u222í!l2f (be - ac)2>0 => b2c2+a2c2>2abc2 (ca - ab)2£ 0 => a2c* +a2b2>2a2bc (bc-ao)9>0 => b2c2+a2b2>2ab2c sumando 2(b2c2+a2c2+a2b2)^2abc(a +b+c) b2c2+a2c2+a2b2£abc(a +b+c) ^ || a +b =2, donde a y b son números reales, Demostrar que a4+b4>2 J S ü » (a-b)2£0 => a2+b2>2ab pero(a +b)‘ =4 => a2+b2=4-2ab 4-2ab>2ab => ab<1 a2+b2>2ab =s> (a2+b2)2£ 4a2b2 => a4+b4>4a2b2- 2a2b2 a4+b4>2a2b2 pero ab< 1 de donde a4+b4>2 Si a2+b2+c2=1 y x2+y2+z2=1, demostrar que: ax +by +cz < 1 CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « I. ^ ^ ^ S^LÜQIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos.
  • 10. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (a - x)2>0 => a2+x2>2ax (b-y)2>0 => b2+y2>2by (c - z)2>0 => c2+z2>2cz sumando a2+b2+c2+x2+y2+z2>2(ax +by +cz) 1 + 1 >2(ax +by +cz) 2 >2(ax +by +cz) ax +by +cz <1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO J ., www.solucionarlos,net cAPin» ^i www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULOI ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Si a >0, b >0, Demostrar qu»: + +^ b a a b a - b e R => (a-b)2>0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab a2-ab +b2>ab, multiplicando por a +b (a +b)(a2-ab +b2)^ab(a-+-b), dividiendo entre a2b2 (a+b)( f -ab+bg) ^ ab(a+b) ^ a ^ b ^ a + b _ separando a2b2 a2b‘ a2b‘ ab a b 1 1 ba +a2 ~ a +b o Si 0 <a <1, Demostrar que: a2<a ¿rra'.T i-srrogr.Tíy Como 0< a< l => a >0 y a < 1 Multiplicando a < 1 por a >0 entonces a.acl.a, de donde a2<a © a >0, b >0, a *b, demostrar Vab > a+b (Va-Vb)2>0 => a-2>/aVb +b>0 i- i— / v 2>/ab a+b>2VaVb dividiendo entre(a +b)=>1 >--- — v ' a+b i ■ -'J www.solucionarlos,net
  • 11. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITIMOI $ . O Multiplicando por Vab se tiene: Vab>---- a+b c- n , s i a3+b3 f a+b Si a >0, b >0, demostrar que ----- > O (a-b)2>0 => a'J -2ab +b2>0 multiplicando por 3 se tiene: 3a1’ - 6ab+3b* >0 Sumando a2+b* en ambos miembros: 4a2-6ab +4b2>a2+b2 Ahora sumando 2ab se tiene: 4aJ -4ab +4b2>a2+2ab+b2=> 4(a2-ab +b2)>(a +b)‘ 4(a +b)(a‘ -ab +4b" )>(a +b )’ => 4(a3+bJ )>(a +b)3 dividiendo entre 4 a3+b3> (a +b)' de donde a3+b( a +b demostrado. Si a >0, a * 1. Demostrar que: a3+4r >a2+4- a a* Como a * 1 => (a-1)‘ >0, como a4+a3+a2+a+l >0 para a>0 Multiplicando: (a - 1)2(a4+a3+a2+a+1) >0.(a4+a3+a2+a +1) (a-l).[(a-l)(a4+a4+a2+a +l)]> 0 => (a-1)(a5- l) >0 a(a-1 )-(a-l)> 0 => a5(a-1)>a-1 => a6-a5>a-1 a6+1 >a' +a , dividiendo entre a1 SOLUCIOMARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPSULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a° +1 a: +a a° 1 a5 a — ~ >— ~ =* T +~ >T +— a a a a a a 3 1 o 1 a + T > a ^ + — aJ a* a Si a>0, b>0, demostrar que 4(aJ +b3) > (a +b)’ (a +b)2£ 0 => a2- 2ab+b2£ 0 multiplicando por 3se tiene: 3a*’ -6'tb +3b2>0 sumando a2+b2 4a2-6ab +4b2£a2+b2 ahora sumamos 2ab 4a2-4ab +4b2>a2+2ab +b2 => 4(a2-ab +4b2)>(a +b)J 4(a2-ab +4b2).(a +b)>(a +b )3 => 4(a3+b3)>(a +b )! Si a y b son números reales, demostrar que: x/(a+c)2+(b +d)2 <Va2+b'J +Vc2+d2 ac +bd <>/a2+b2Vc2+d2, multiplicando por 2 2ac +2bd <2>/a2+b2Vcs +d2 sumando a2+b2+c2+d2 a2+2ac +c? +b2+2bd +d2<(a2+b2) +2>/as+b£Ve2+d2+(c2+d2) (a +c)2+(b +d)^ <|Va2+b2+Ve2+d2j .V .-.aduKj:fc: -: rr SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 12. www.solucionarlos,net 3» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPfTUi " l ^(a +c)‘ +(b +d)~ £ J(V a' +b2"+>/c2+d2j yj(a +c f +(b +d)2 <Va2+b2+Ve2+d'2 Si a,b,c e R’ , demostrar que: (a +b+c )’ £27abc (a +b+c)3=a3+b3+c3+3(a2c +b2c +bc2+ab2+ac2) +6abc ... (1) (a-b)‘ >0 (a-c)2>0 (b-c)2>0 a +b‘ >2ab a c +b‘c >2abc a2+c2>2ac a2b +bc? >2abc b2+c2>2bc ab" +ac2£ 2abc a2c +b2c +a2b+be2+ab2+ac >óabe Luego 3(a2c +b2c +a2b +bc2+ab2+ac2)>18abc ..-(2) (2) en (1) se tiene: (a +b+c)3>a*+ b3+c3+18abc +6abc ..-(3) Pero a3+b^+c3>3abc ... (4) Reemplazando (4) en (3) se tiene: (a +b+c )’ >3abc +24abc =27abc (a +b +c)3>27abc O Si a, b, c y d son números reales cualquiera. Demostrar: (ab +cd)~ <(a2+c2)(b¿ d2) (ad-bc) >0 => a2d2+b2ca>2abcd SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO iANÁLISIS MATEMÁTICO i ., www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I Sumando ambos miembros a V +c2d2 a2b2+c2d2+a2d2+b2c2£a2b2+2abcd +c2d2 a2(b2+cs) +c2(b” +d2)>(ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2) >(ab +cdf Si a, b e R, Demostrar que: a4+b4>-(a +b)4g f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (ab +cd)‘ ^(a2+cs)(b2+d2) (a2-br) >0 => a4+b4>2a2b2 . Sumando a4+b4 a ambos miembros 2a4+2b4>a4+2a2b2+b4 => 2(a4+b4) >(a2+b2)‘ a4+b* >^(a! +b2)* (a-b)¿ >0 => a2+b2>2ab, sumando a2+b2 se tiene: 2a2+2b2>a2+2ab+b2 => a2+b2>i( a +b)2 (a2+b2)2>-^(a +b)4 . (a+b)4 a4+b4>---- L (1) (2) Colocando (2) en (1) se tiene; Si a >0 y b >0. Demostrar que: 1 a+- v ay 8 -Y (a +b)“ +4 a+b wvvw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 13. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI " o | (a +a-')! +(b +b-')! =a2+b! +^ - + 4 (a-b)‘ £0 => a2+b2^2ab => 2(a2+b2)>a2+2ab+b‘ a2+b2> >(a +b f (2) (a-b)2>0 => a2+b2>2ab => a2+2ab+b2>4ab => (a +b)‘ >4ab (a +b)4>16a2b2 => ——— >a~V v 1 16 Multiplicando miembro a miembro (2) y (3) a2+b2 > 8 a!b2 (a +b)2 Sumando miembro a miembro (2) y (4) ...(3) ...(4) a2+b2+- +b* (a+b)s 8 2.2 a‘b (a +b)‘ de donde 2 , o a a +b + 2+b2 , (a +b)2 8 +4 > --——+------+4 a b (a +b)‘ ...(5) Reemplazando (1) en el primer miembro de (5) y operando en el segundo miembro de (5) tenemos. r ir l p2b+- b >1 2 (a +b)2+4^ a +b i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.sdukparu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Si a >0, b >0 tal que a +b - 1. Demostrar que: 25 Utilizando el ejercicio (33) í 0a+- s+íb+iT ii '(a +b) +4 ' l a, l b j 2l a+b J ; Como a +b =1, lo reemplazamos =2(5)! f t2 f a+- | + k a b+’i >?5 bj 2 Si a, b, c, d e R, demostrar que: ac +bd <^(a2+b2)(c2+d2) (ad - be)" >0 => a2d2+b2c2>2abcd 2abcd <a2d2+b2c2 a2c2+2abcd +b2d2<a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 (ac+bd)2<(a2+b2)c2+(a2+b2)d2 (ac +bd)‘ <(aL>+b2)(c2+d2) ac +bd<yj(a¿ +b2)(c2+d2) Si a, b e R tal que a +b = 1. Demostrar que: a4+b4>- M m rn 7 m ¡nw •V SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 14. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPíTUi OI Utilizando el ejercicio (32) es decir: a4+b4>^(a +b) 8 Como por condición del problema a +b = 1, se tiene el momento de reemplazar a4+b4>-(a +b)4=-(1)4=- de donde a4+b4>^ 8 8 8 8 81 Si a,b e R tal que a +b =3. Demostrar que a4+b4£ — Utilizamos el ejercicio (32), es decir: a4+b4>- (a +b)4; Como a +b =3 entonces lo reemplazamos 8 a«+b‘ * l ( a +b)4- |(3 )« - $ ! ••• + © Si a,b,c,d e R*, demostrar que: ^(a +b+c +d)> Vabcd (Va-Vb) >0 => a+b>2>/ab (Vc-Vd) >0 => c +d>2>/cd sumando a+b+c +d>2(Vab +>/cd) ...(I) Pero >/ab+>/cd >2>/>^b>/cd =2VVabcd =2Vabcd ... (2) Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: a+b+c+d£ 2|Vab +Vcd)^ 2.2Vabcd solucionario-mm.Wiúrdionahos.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net a+b+c +d >4Vabcd => -(a +b+c +d) >Vabcd 4 Si a,,a2,a3,...,an,b.lb2,...JbneR tal que: af +a‘ +...+a2=1, bj +b2+...+b2=1. Demostrar que a,b, +a2b2+... +anbn£ 1 (a,-b,)2>0 => a;+b^>2a)b, (a2-b2)2£0 => a2+b2>2a2b2 K - b n)2^0 => aj +b* £2anbn sumando (a? +a2+...+a*)+(bf +b| +...+b2)í>2(a,b, +a2b2+...+anbn) 1+1£2(a,b, +a2b2+...+anbn) 2;>2(a,b, +a2b2+...+anbn) . a,b, +a2b2+...+anbn£ 1 © Si -1 <a <0, demostrar a1>a -l< a< 0= > a> -lA a< 0 Como a<0=> a2>0 de donde a >-1 => aí .a>-l(a;>) a3>-a2 ...(1) a>-l y a<0 =>a2<-a (por-1) ... (2) CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « WWW Qdukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 15. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) De (1) y (2) se tiene: a'> -a2>a => a3>a O Si -a> 0y (a-b)‘ >(a +b) entonces b>0 (a-b) >(a +b)~ =t< a2-2ab+b2>a2+2ab+b2 CAPITU1*>I -2ab >2ab 4ab <0 => ab <0 ... (i) Como -a >0 => --> 0, multiplicando a (1) a — (ab)<0 => - — <0 => -b<0 => b>0 a a O Si a,b e R tal que 2a +4b = 1. Demostrar que: a2+b2>— 20 jCS22¡iS3IÍI¡jr De acuerdo a la condición del problema 2 > ^ 2 i_° ^ a b a >— a +b* >— +— 10 ^ 10 5 b2£ - a2+b2> 10 a2+b2^2a +4b =_L a2+b2>-I 20 20 20 S ia > 0 y b > 0 a3+b3£ a2b +ab2 (a-b)‘ >0 => a2-2ab +b‘ >0a2-ab +b2>ab, multiplicando por (a +b) 22 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a* - a b + b2)(a + b )^ a b (a + b) a3+ b 3£ a 2b + ab2 Si x,,x2,...,xneR* y si /?=^/x,.x2...xn y « = X| + , demostrar que p<a O / /— /— 2 x, +x„ > 2 J x , x 2//i---------Jx, - Jx 2 ¡>0 => ‘ _____ => x,+x2+x3+x4£2(Vx,x2+Vx3x4) v ' x3+x42:2yJx3xÁ x, +x2+x3+x42:2^VX|X2+>/x3x<)^2.2^Vxix2>/x3x4 =4;¡/x,x2x3x4 Luego <, +•x2+x3+x42 4^/x,x2x3x4, generalizando x, +x2+x3+x4+... +xn£ nVxix2x3x4...xn De donde Vx,x2x3x4...xn <, a b e Si a, b, c, m, n, p e R / m > 0, n > 0, p > 0; , entonces m n p ab+a+c c — <------ <— m m+n+p p Demostración similar al ejercicio (10) que esta desarrollado _ . . a. +a2+...+an Probar que si a,<a2<... <a„ entonces a, <—1-- ------- <an Énrm*vKmt*vw a, £a, <an a, <a2<an a, <a3<a„ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 16. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITII! O a, +a, +...+a, <a, +a2+....+a„ <an+an+... +an , '--------V-------- ’ '-------- v-------- • n-veces n-veces na, <a,+a.,+... +an<nan, Dividiendo entre n se tiene: a, +a¡, +...+a a <—!------------ i--—<a. ® a3-b3 Demostrar que si 0< a< b< c entonces ------ <a+b +c 3c(b-a) a >0, b >0, c >0 => á~ +b2 +3c2>0 ... (1) a >0, b >0, c >0 => ab >0, ac >0, be >0 ab +3ac +3bc>0 ... (2) sumando (1) y (2) se tiene: a2+b2+3c2+2ac +3bc+ab >0 Agrupando apropiadamente (a* +ab+b2)+3c(a +b+c )>0 => -(a2+ab +b2)<3c(a +b+c) (a2+ab +b2) ----------<a+b+c , como b - a >0 3c (b-a)(a2+ab +b2) (a-b)(a2+ab +b2) ---- ——— --- <a+b+c => ----- —— — -----<a+b+c 3c(b-a) 3c(b-a) aJ - b 3 <a+b+c 3c(b-a) O Probar que: a4+b4+c4+d4>4 Iabed I para a, b, c, d e R SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I "" www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net , ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Como a, b, c, d e R => a2,b2,c2,d2e R, además ja2-b2e R i 3' _ b! ) (c2-d2e R ^ >0 l sumando a4+b4+c4+d4>2(a2b2+c2d2) ... (1) (ab-cd)¿ >0 => a2b2+c2d2>2abcd 2(a2b2+c2d2)>4labcdl ...(2) De (1) y (2) por transitividad se tiene: a4+b4+c4+d4>4 1abed I O Si a, b, c>0, demostrar que: 2(a3+b3+c3)>bc(b +c) +ac(c +a) +ab(a +b) (a +b +c f =a3+b3+c3+3(ab2+ac2+a2b +a2c +b2c +bc2) +6abc Además se tiene: (a +b+c)3-(a1+b3+C1) >0 Operando y agrupando adecuadamente y estas operaciones dejamos como ejercicio al lector para obtener el resultado. 2(a3+b3+c ’)>bc(b+c) +ac(a +c) +ab(a +b) Demostrar que: a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c ), V a, b, c e R SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos.net 25
  • 17. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (bc-ac)2>0 (ca-ab)~ >0 (bc-ab)2>' •b2c2+ aV >2abc2 c2a2+a2b2>2a2bc b2c2+a2b2>2ab2c sumando 2 (a V +b2c2+a*c2) >2(abc2+a2bc ++ab2c) a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c) O V x e R, y n par, demostrar que: xn ^ 1 x M ‘ 2 x € R y n es par entonces xn-1 e R (xn-1)S >0 => x2n-2xn+1 >0 x2n+1>2xn es decir: 2xn<xs" +1 2x” x <1 => X x2n+1 <1 x2n+l 2 Demostrar que s ir > 0 y a < b entonces a <-a-~ <b 1+r Como r >0 y a <b entonces se tiene: ar <br a a <b, agregando a +ar <a +br a a +br <b +br a(1 +r) <a +br a a +br <b(l +r) a+br a+br a < 1+r 1+r <b , porque 1+r >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPtTUI * I wwA.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « $ a <a+tz>t <b por transitividr.d 1+r Si a y b son números positivos y distintos, demostrar que: — +— >- + a b 1 1 b2+a2 >a +b a - b e R => (a-b)' >0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab a2-ab +b2>ab multiplicando por (a +b) (a +b)(a2-ab +b2)>ab(a +b) dividiendo entre a2b2 (a +b)(a -ab +b‘ ) ab(a +b) a3+b’ a+b ----- --------- ->— => —r—— >----, separando ab a b a2b2 ab ^ Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que: 2 x2+y2+z +w2>- (xy +xz +xw +yz +yw +zw) ¡ g ¡ y (x - y f >0 (y-z)2^o (x -w )2>0 (y-z)2>o (y - w )2>0 (z-w )2>0 x2+y2>2xy x2+z2>2xz x2+w2>2xw y2+z2>2yz y2+w 2>2yw z2+w 2>2zw sumando 3(x2+y2+z2+w2)>2(xy +xz+xw +yz +yw +zw) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 18. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUI O I $ O x‘ +y2+z‘ +w 2L - (xy +xz +xw +yz +yw +zvv) 3 j u2 Si a y b son números desiguales y positivos, demostrar que: a +b <— +—- . b a Por ser a y b positivos y desiguales se tiene: (a-b)~>0 => a -2ab +b~>0 a2-ab +b2>ab (a +b)(a~-ab +b )>ab(a +b) => ab(a +b)<(a +b)(a2-ab +b2) (a +b)(a2-ab+b! ) a3+b3 D<--------;------- => a +b<-----a + ab ab a2 b2 a +b <— +— b a separando Si a, b ye son números positivos y distintos. Demostrar que: (a +b +c)2<3(a2+b2+c2) (a-b )¿ >0 (a- c)2>0 (b - c)2>0 a2+b2>2ab a2+c2>2ac sumando b2+c2>2bc 2(a¿ +b‘ +c2) >2ab +2ac +2bc sumamos a2+b2+c2 W IM SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.edukperu com www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO I .......................................................................................................................--------------------------------- 3( a2+b2+c2) >a2+b2+c2+2ab +2ac+2bc 3(a2+b2+c2) >(a +b +c)~ (a +b+c) <3(a +b'+c2) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3+b* )(a +b) >(a* +b‘ ) a y b son positivos y distintos, entonces (a - b f> 0 -=> a2-2ab +b2>0 a2+b2>2ab, multiplicando por ab ab(a2+b2) >2a2b2 sumando a4+b4 a4+a3b +ab3+b4>a4+2a2b2+b4 a3(a +b) +b3(a +b)>(a2+b2)2 (a3+b1)(a +b)>(a2+b ) Si x, y son números distintos, demostrar que: (x4+y4)(x‘ +y )>(x3+y3) Como x e y son números distintos, entonces (x—y)2>0 => x2+y2>2xy (por x2y2) x2y2(x2+y2)>2x3y3 sumando x6+y6 x6+x4y2+x2y4+y6>x6+2x3y3+y6 => x4(x2+y2) +y4(x2+y2)> (x3+y3)2 (x4+y4)(x2+y2) >(x3+y3)2 www.edukperu.i www.solucionarios.net
  • 19. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS Si x, y, z son números positivos, distintos, demostrar que: xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz Aplicando el ejercicio (49): 2(a3+b3+c3) >bc(b+c) +ac(a +c)+ Y el ejercicio (17); a3+b3+c3£ 3abc De la combinación de estos dos ejercicios que están desarrolladas. Se concluye que: xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz dfft Demostrar que: a <b < I => ^ <— ? w a-1 b-1 a ^ b < 1 => a <b a b<1 a <b => a - 1£ b - 1 invirtiendo — multiplicando por-1 a-1 b-1 — — sumando 1 a-1 b-1 1— L s i _ _ L = a-1 b-1 a-1 b-1 a3+b3+c3>3abc => 2>6abc Sean a, b, c, x, y, z son números positivos distintos, demostrar que: (a’ +b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax +by +cz)2 CAPITI" 0 I ab(a +b) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■± www.solucionarlos,net www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (bx +ay) £0 b2x2+a?y2>2abxy (cx-azf>0 => c2x2+a2z2>2acxz sumando (bz-cy)* 20 b V +c V í2 b c y z b V +a V +c V +aJz" +b 'V + c V >2abxy +2acxz +2bcyz Sumando a2x2+b2y2+c2z2 a ambos miembros a2x2+b2y2+c2z2+b2x2+a2y2+c2x2+a2z2+b2z2+c2y2> a2x2+b2y2+c2z2+2abxy +2acxz+2bcyz a2(x2+vs +z2) +b2(x2+y2+z2) +c2(x2+y2+z2) >(ax +by +cxf (a2+b2+c2)(x 2+y2+z2)>(ax +by +czf c3 d3 Demostrar que: 0<d<c => —— —> d'(c-d) 0<d<c => 0<d a d <c 0<d => 0<2d => 0 <2d +c 2d +c >0 => (c +d) +d >0 Multiplicando por c - d >0 se tiene: (c +dXc - d) +d(c - d) >0 => c2-d2+cd-d? >0 c2+cd>2dL’ sumando d~ c2+cd +d2>3d2 (multiplicando por c - d) (c-d )(c2+cd +d2) (c-d)(c2+cd +d2)>3d2(c-d) => ------- -------- >d2(c-d) i * i www.solucionarlos,netg W
  • 20. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ........................................................................ • íL ^ l> d ’ (c-d) f £>*(*-<*> ^ Si 0<d <c => d3(c-d )< ^ --y< c2(c-d) Seguir el mismo desarrollo del ejercicio (62) que esta^ en detalle y agrupando convenientemente para obtener el resultado d ( c - d ) < — ~ ^ <c ^ O Si x >0, y>0, z >0, demostrar que: a) xyz =1 => x +y +z >3 b) xyz=1 a x +y +z =3 o x =y =z=l a) Aplicando el ejercicio (30): (a +b+c) £27abc Para nuestro caso se tiene: (x +y +z) £ 27xyz para xyz =1 (x +y +z)3 >27 sacando raíz cubica x+y +z£>/27=3 x +y +z £ 3 b) Es inmediato se deja para que se entrenen. ^ Demsotrarque: x>0, y >0, z >0 => ^ +^ +” - 3 (sus‘ ^ =1 ejercici° 64) Aplicando el ejercicio (50) que es: x2y! +y*2* +x2r - x+y +z) el ejercicio (64) que es: xyz =1 =>x +y +z>3 Combinando estos dos ejercicios se obtiene: x y z —+—+— y z x w v á www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Demostrar para todo a y b rec* >/ab <-|=%¡aJ 4 b2 V2 (a - b )'>0 => a2+b‘ >2ab ab£^(a2+b2) Sacando raíz cuadrada cubica se tiene: </ab <-1=Va2+b2 y¡2 © Si xe y f: R, demostrar que: lxl +ly l^ lx +yl |x+yf =|(x+y)2|=(x +y f =x2+2xy +y2 ... (i) Como xy <I xy l=I x 11y I ... (2) Luego de (2) en (1) se tiene: |x+y|2<|x|2+2|x||y|+|y|‘ |x+y|‘ <(|x| +|y|)‘ de donde lxl +lyl> lx +yl O Si x,,x2r..,xn€R tal que x,.x?...xn=1 entonces x, +x,, +...+xn>n Aplicando el ejercicio (44) esto es: x i-+ x,¿ *n >Wx..x„...x n v i Z n Para x,.x,.x3...xn=1 entonces — +X¿ +"‘+Xn >1 de donde x, +x2+...+xn^n www.¿düíTperu.com www.solucionariosJir,oms MATEMÁTIC01ES
  • 21. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j Si a, b € R, demostrar que: (a +b)4<8(a4+b‘) Es inmediato del ejercicio (32) que esta demostrado en detalle a4+b4>-(a +b)4 de donde (a +b)4<8(a4+b4) CAPITULO i x2+1+a Si a >0, probar que: —-¡== Vx + >a +l Como ejercicio, probar que: >/x2+a >a i sumando >1 Vx2+a ' x2+a+1 >a+1 ^ Si a,b,c e R* y si a2+b2+c2=8, Demostrar que: a3+b3+c3£ 16^| Aplicando la media potencial M, = ¡-i n Como M3>M2 entonces evaluamos a3+b3+ 7 ^ ^ a~ +b +c~ _ ^8 ^|a +b +cT ^ ^8 e¡evancj0 a| cub0 www.solucionarios.net www.edukperu con www.solucionarios.net CAPITULO I c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O a1+b'+c3 a3+b* +c3>3 =8 ¡8 16 Í2 3V3 " 3 V3 16 Í2 _ Í2 3 V3 y3 a3+b3+c3 Sia>0,b>0, demostrar que: ^ j(a* +b*) >4 Como a >0, b >0 => a2—b2eR de donde (a2-b2) >0 =í> a4-2a2b2+b4>0 sumando 4a2b‘ a4+2a2b2+b4Í4 a 2b8 => (a2+b2)‘ >4a2b2 ( 1 (a2+b2)(a2+b2) — £ 4 a b U ! +b2 (a2+b2)>4 Demostrar que si a,b,c son números reales positivos, entonces +c >Vabc 3 Aplicando el ejercicio (30) se tiene: (a +b +c)3>27abc Sacando la raíz cubica se tiene: a+b+c >^27abc => a+b+c >3/abc a +b+c >yjabc Si V x € R, tal que a >0 a b >0 y a2£ x <b => Va <x <Vb v -Vb <x <-Va wvnv ed .kperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 22. www.solucionarlos,net i r a r e n a M i n r a < x 2 < b => a < x 2 a x 2 < b => x 2 - a > 0 a - V b < x < V b ( X - V S ) ( x + > / a )> 0 a - 7 b < x < > / b ( x - > / a > 0 a x + V a > 0 ) v (x - - s / a < 0 a x + V a < 0 ) a (- > / b < x a x < V b ) Por la propiedad distributiva de la intersecccion jjx<>/a a x£->/a) v (x<Va a x<-VajJ a |-Vb<x a x < 75) (Va<x a x<Vb) v (-7b<x a x<-Va) %/a<x<Vb v -Vb <x <- Ja © Si x,,x2,x3,...,xn€ R , tal que: x,.x2.x3...xn=1, demostrar que: x,+x2+...+xn>n J 2 ¡ y £ S ¡¡M ü it Aplicando el ejercicio (44) que es: x, +x2 >^x,.x2...xr Como x,.x2...xn=1 entonces se tiene. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP|TULO I x, +x„ +... +X. n X + X + + X —1--2——— - >1 de donde x,+x2+... +xn>n n $ Si a,be R+, demostrar que: (a2+b8)(a +b)2>8a2b2 (a-b)“ >0 => a2+b2£2ab, multiplicando por (a-t-b)2 H SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO L.NÁLISIS MATEMATICO L . t www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (a2+b2)(a +b)‘ ^2ab(a +b)" => (a2+bL’)(a +b)2>2ab(a': +b2+2ab) ...(1) Pero a2+b2>2ab ...(2) De (1) y (2) se tiene: (a2+b2)(a +b)2>2ab(2ab +2ab) =8a2b‘ .*. (a2+b2)(a +b)2>8a2b2 ¿ 7 1 Si a + b + c = 0, demostrar que: ( - + —+- | ++^a b c j a b‘ c tfm H ñ is w tC T ” 'b Como a +b +c =0 => abc(a +b +c) =0. (abe) a2bc+ab2c +abe2=0, multiplicando por 2 2a2bc +2ab*c+2abc2=0 sumando a ambos miembros a2b2+a2c2+b2c2 a2cb2+a2c2+b2c2+2a2bc +2ab2c +2abc' =a2b2+a2c2+b2c2V. ■■■y ................✓ (ab +ac +be)2=a2b2+a2c2+b2c2 Divididiendo entre a2b2c2se tiene: (ab +ac +be)' _ a2b2+a2c2+b2c2 ( ab +ac +beY a2b2+a2c2+b2c2 a2b2c2 a2b2c2 abe ) a b e 1 1 1 - + — + - c b a) ^ 1 1 1 O 1 l Y 1 1 1J_ J_ _1_ * c ! +b! +a2 © 1 1 8 Si a,beR*( demostrar que: -T +— >------ a (a +b)' n s n ww-w.9dukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 23. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Aplicando el ejercicio (76) se tiene: (a* +b2)(a +b)‘ >8a’b Dividiendo entre a2b2(a +b)2 (a2+b2)(a +b)‘ 8aV . . a2+b2 8 ------ ------->--------- ¡r, simplificando ----- >---- a2b2(a +b) a2b2(a +b)‘ a V (a +b) a2 b2 (a +b) © Sean a, b, c números reales positivos tal que: a <b <c, demuestre que a b 1 <--- <— a +c b +c 2 a c b c c <=> a < b a b < c a < b a b < c => ac< bc a b + b < b + c => ab + ac < ab + be a 2b < b + c 2b => a(b + c) < b(a + c) a ----< 1 b +c a b b 1 => ----- < ------ a ----- < - a +c b +c b +c 2 a b 1 <--- <— a +c b +c 2 Si x >0, x e R - {1}, demostrar que: x"'1+— -<xn+— , V n > 1 x x x > 1 => 1<x, multiplicando por x2n“' -1 >0 CAPITUI O I / ‘ 38 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com ---- www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2"'1-1 <x(x2n‘'- l) => x2""1-1 <x2n- x x2"“' +x <x2n+1, dividiendo entre x x +1 < x2n+1 , dividiendo entre x n-1 x2n"2+1 x2n+1 x.x x"'1+— <X n + — xn xn o Si 0 <a <b <c, demostrar que: —- +— >2 a ac j2B¡ES¡2I3I¡I3r Como a <b <c, entonces se tiene: * > i a c b c b2 b+c b2 0 -> 1 => —+- +— >3 => --- +— >3 Ü1>1ac a a ac ^ Í5 - 1 +— >3 i a ac a ac b +c-a b2 * --------------------+ — >2 a ac C- n 1 2 3 .1 6 3 Si 0 <—<—<—, demostrar que: - <------ <- x y z x x+y+z z Aplicando el ejercicio (10) se tiene: d e f d d+e+ f f _ = > _ < ------<- a b c a a+b+c c www.edukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 39
  • 24. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................... CAPITUi O I 1 2 3 1 1+2+33 . 1 => - < ----------- < - ••V v + V + Z zx y z x x+y +z z x x y-t-¿ ¿ Sean a, b, c, d números reales positivos distintos tal que ad > be, demuestre que: abd +bed be <------- <ad a+d c <d a be <ad abe <abd a ab+be <a2+ad abe +bed <bed +abd a abd +bed <a2d +ad‘ bc(a +d) <bed +abd a bed +abd <ad(a +b) bc(a +d) <bed +abd <ad(a +b) bed +abd , be <----- -— <ad a +d <¡> Sean a, b, c numerous reales positivos, demuestre que: abe >(a +b +c)(a +c - bXb +c - a) Aplicando el ejercicio (30) que es: (x +y +z) >27xyz y el ejercicio (x +y +z)3>2 7(y+ z-x)(z +x-y)(x +y-z), se tiene: (a +b +c)3£27abc >2 7(b +c-a)(c +a-b)(a +b-c) abe >(b +c - aXc +a - b)(a +b - c) SOLUCIONARIO www.solucionarios.net www.solucionarios.net f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « CAPITULO I ' ---------------------------------- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA I. Resolver las siguientes inecuaciones O 5x-2 >10x +8 >2x +16 __ 5x-2<10x+8 <2x +16 => 5x-2<10x +8 a 10x +8<2x +16 -8-2< 10x-5x a 10x-2x <16-8 => -10<5x a 8 x < 8 x > - 2 a x<1 => - 2 < x <1 x e <-2,1> 1 0 1 1 — < 3x — <— 5 ” 4 3 _ 1 < 3 x < — M C M (5 ,4 ,3 ) = 60 =x> - 1 2 < 1 8 0 x - 15 < 20 5 " 4 3 1 7 3 < 180x < 3 5 => — < x ^ — =* X € 60 >36 x 3x 5 , <--- , a >b J _ L 60'36 r a2-b2 a-b a +b -— MCM=a2-b2 => x íU f a^ ^ l< - ^ - a2- b2 a-b a +b V a2-b2 ) a +b 5(a +b) / 5(a +b)1 +3(a~^b) =* X e" ° ' l +3(a-b)/ % £ ^ + 4 > ^ i + 2x, a > b > 0 w 3a 6b ____________ www.solucionarios.WF0"™0ANÁLIS,SMATEMÁTIC0 a
  • 25. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITI)' o I 2x 5x — +4>— +2x, MCM =6ab => 4bx+24ab> 5ax+12abx 3a 6b 24ab> x(5a +12ab-4b) => x--- — --- => xe(-«o,- 24ab 5a +12ab-4b5a +12ab-4b o 6-3x 2x+---- <4 4 6-3x 2x +—-— <4 => 8x +6-3x<16 => 5x<10 => x<2 => X€(-oo,2) O x x i x - +— >1+-, c>b>a >0 • a b c _____ X X X —+—>1+—, MCM =abc bcx + xac >1+abx a b c x(bc +ac - ab) >abe => x >---— --- => x e /---— ---.oo be +ac - ab be +ac - ab ' O 2x-6< 2í¿® l-2x-3x2>0 => 3x2+2x-1 <0 => (3x-l)(x +1)<0 O 3(x-5)-4(4-3x) > 2(7-x)-3 (x-5 ) 3(x-5)-4(4-3x)>2(7-x)-3(x-5) => 3x-15-16 +12x >14-2x-3x +15 15x-31 >29-5x => 20x>60 => x>3 => x g [3 ,oc) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCOGNITA 2x2- 6x +3 <0 2x2-6x +3<0 => x2-3x +-<0 3] 9 3 . x— -- +-<0 => 2 4 2 ( 3 )* 3 J 3 3 & x — <—= > ----- < x — < — 2 4 2 2 2 3-y¡3 3+73 -----<X <----- 2 2 3-y¡3 3+y¡3 X 6< 2 ’ 2 2x2+6x-9 <0 2x2+6x -9<0 => x2+3x --<0 í 3 )* 9 9 _ ( 3Y 27 _ f 3 3y¡3 XH— -----<0 => x+- ----<0 => X+------ 2 4 2 [ 2 4 2 2 3 3>/3 x+- +--- 2 2 <0 3 + 3 / 3 3 + 3 / 3 X € 2 2 -3-3V3-3+3V3 2 ' 2 9x2+54x >-76 www.8dukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 26. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIT1"? I 9x~+54x>-76 =3> x~+6x +— >0 9 (x +3)‘ -9 +-^ >0 => ( x +3)2--^>0 x+3-— 3 x+3+ >0r ~ ~ v -9-¡S 9-y? x . , - -4x2+4x +3>0 1 3 / 1 3 x =—-x-- => x e ( — ,- 2 22 2 4x2+9x +9<0 o 9x 9 4 x '+ 9 x +9 < 0 => x2+— +-< 0 , completando cuadrados 4 4 9Y 81 9 . (9V 63 x+- ———+—<0 =>x+- +—<0como 8] 64 4 l 8 64 f 9Y 63 x+— +— >0, Vx e R 8 J 64 La solución es <j> 4x2-4x +7 >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I 4x2-4x +7 >0 => x2- x +—>0, completando cuadrados 4 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f 1 1 7 f 1V 3 2— +—>0 => x+— +—>0 como se conoce V x e R , x >0 4 4 l 2 ) 2 Entonces la solución es R. x4-2x2-8 <0 x4-2x2-8<0 factorizando (x2-4) (x2+2) <0 x2-/< 0 factorizando (x-2 )(x +2)<0 V ~ ~ V -2 2 /. x e <-2,2> —4x2-8 <-12x -4x2-8 <-12x => x2-3x +2>0 => (x - 2 )(x - l)> 0 / - y 1 • 2 /. x e <-oo, 1> u <0,+oo> x2-2yÍ3x-2 >0 jgg£¿MáÉMf x2- 2y/3x-2>0, completando cuadrados ( x - V 3 ) 2- 3 - 2 > 0 ( x - V 3 )2 - 5 > 0 factorizando se tiene: - •, - " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net 1
  • 27. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPm " 91 © © ( x - V 3 - 7 5 ) ( x - 7 3 + V 5 ) > 0 V 7 3 -7 5 S Í3 + J5 /. x e >/3->/5) ^ V 3 - V5,oo^ 3 x 2 - 8 x + l l > 4 ( x - l ) 3 x 2 - 8 x + 11 £ 4 ( x - l ) =^> 3 x 2 - 8 x + 11 > 4 x - 4 => 3 x 2 - 1 2 x + 1 5 > 0 Simplificando se tiene: x 2 - 4 x + 5 £ 0 completando cuadrados (x-2)2- 4 + 5 ^ 0 (x- 2)2+1 >0 la respuesta es V x e SJ? 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 => ( 3 x - l ) ( x - 3 ) < 0 x e 1,33 x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )? M S » x (3 x + 2 ) < ( x + 2 )‘ => 3 x 2 + 2 x < x 2 + 4 x + 4 = > 2 x 2 - 2 x - 4 < 0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu com www.solucionarios.net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x 2 - x + 2 < 0 facto riz an d o ( x - 2 ) ( x + 1 )< 0 -1 O O (-1,2) 4x2-8x +1<0 4 x 2 - 8 x + 1<0 => x2-2x +—<0, completando cu a d ra d o s o í 3 (x - l)2-l +-<0 =>(x-1)2-- <0 factorizando x—1— X —1+— 2 <0 2 - sÍ T 2+ yi 2 2 ' 2 - & 2 + >/3 2 ’ 2 X € 5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0 IMTNñ'VWt* 5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0 factorizando ( 5 x - 9 ) ( x - l ) < 0 x e www.edukpsru.com SOLUCI' www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 28. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITI" T í O x2+3x+2 >0 ________________ x2+3x+2 >0 factorizando (x + 1)(x +2) >0 -2 -1 xe (-oo,-2)^(-1,oo) 1-2x-3x2£0 J K ü ¡M S M f 1-2x-3x2>0 => 3x2+ 2x-l<0 factorizando (3x-1)(x +1)<0 -1 x e 3x2-5x-2 >0 i— ^ . n n - T i v r 3x2-5x-2>0 factorizando (3x +l)(x-2) >0 V ~ ~ V xe/-<x>,-Mu(2,ao) (x2+2x)(x2-l)-24 >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO) ANALISIS MATEMATICO I . , www.solucionarlos,net www edukperu.com ’ www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O K> + roX 24 >0 => x4+2 X ’ 1 2 -1 -2 -24 2 8 14 24 2 1 4 7 12 0 -2 -2 -12 -3 1 1 4 0 x4+2x3- x2- 2x- 24 =(x +2Xx +3Xx2+x+4) (x-2)(x +3)(x2+x +4)>0 como x2+x +4>0, V x e R entonces O (x-2)(x +3)£ x +x+4 (x-2)(x +3)>0 -3 2 x e <-00,-3>vj <2,+oo> x(x-3)(x-l)(x +2) >16 x(x-3)(x-1)(x +2)>16 =>x(x-1)(x-3)(x +2)>!6 (x2-x)(x2- x - 6 )>16 sea u =x2-x u(u-6)> 16 => u2-6 u - 16>0 => (u -8)(u +2)>0 u =x2-x => (x2-x-8)(x2-x +2)>0, como x2-x +2>0, V x e R 0 Entonces (x - x - 8 )> x2-x +2 =0 => x‘ —x—8 >0 WW'.V eduKperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 29. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Ccompletando cuadrados se tiene: x2-x +->8 +- 4 4 , K 2 33 1 y/33 1 V§3 ( X - - ) > -- => X --- > ----- V X — < ------- 2 2 1+V33 1-733 x> ----- V x<----- 1-V33/1 +V33 xe(-oo,----- ) u ( ------ ,+00 2 /2 x4+2x3-x2+4x-6 <0 rn m s m m x4+2x* - x2+4x-6<0, factorizando por Ruffini 1 2 -1 4 -6 1 3 2 6 1 1 3 2 6 0 -3 0 -6 -3 1 0 2 0 x4+2x3-x2+4x--6 =(x-lXx +3Xx2 (* -l)(x +3)(x2+2) <0 como x2+2 (x~1)(x +3) =0 => (x - l)(x +3) <0 V ~ ~ V -3 1 x e (-3,1) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITIM 0 I wwvv ediikperu cóm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x2+x-6)(4x-4-x2)<0 (x2+x -6)(4x - 4 - x2)<0 => (x2+x-6)(x2-4x +4) >0 (x +3)(x-2)(x-2)2>0 => (x +3)(x-2)3>0 V -3 2 x e <-oo,3]^[2,+00 > 2x3+3x -llx-6> 0 2x3+3x2 -11x -6>0, factorizando por Ruffini 2x3+3x2-llx -6 2 3 - 1 1 - 6 4 14 6 2 7 3 0 2x3+3x2- llx -6 =(x- 2X2x2+7x +3) =(x - 2)(2x + 1)(x +3) entonces (x-2)(2xe+7x +3)>0 => (x-2)(2x +1)(x +3)>0 1 2 x e - 3' - i [2,+oc > O x3-3x2-I3x +15>0 www r?d'jKDei •■¡on SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 30. www solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) x* -3xJ -13x +l5 >0, factorizando por Ruffini x3-3x2-13x +15 CAPI7',,n i O 1 -3 -3 15 1 -2 -15 1 1 -2 -15 0 x3- 3x2-13x+15 =(x -1Xx2- 2x -15) =(x - IXx - 5Xx +3) entonces (x -1)(x2-2x -15)>0 => (x-l)(x-5)(x +3) >0 Y . -3 1 5 x e(-3,l)u(5,oo) x4-4x3-x2+I6x-12 >0 É O L W m U l'M * x4-4x3- x2+16x -12>0 factorizando por Ruffinni x4-4x3-x2+16x-12 1 -4 -1 16 -12 1 -3 -4 12 1 1 -3 -4 12 0 2 -2 -12 2 2 1 -1 -6 0 x4-4x3-x2+16x-12 =(x-lXx-2Xx2-x-6) =(x-1Xx-2Xx-3Xx +2) (x-l)(x-2)(x-3)(x +2)>0 - 2 1 2 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wwv,.3dukperu.com . www solucionarlos,net CAPITULO I .................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x e(-oo,-2)u(l,2)u(3,ao) x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Tnrrrgr.i^r x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0 Factorizando por Ruffinni x5+3x4- 5x3-15x2+4x- 12 1 3 -5 -15 4 12 -1 -2 7 8 -12 -1 1 2 -7 -8 12 0 1 3 -4 -12 1 1 3 -4 -12 0 2 10 12 2 1 5 6 0 x5+3x4-5x3-15x2+4x-12 =(x +l)(x - l)(x - 2 )(x 2+5x +ó) =(x+ 1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2) ~ ^ ^ A r ~ i r r -/ ~ A A T - -3 - 2 - 1 1 2 (x +1Xx-l)(x2+5x +6)>0 => (x +1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2)>0 xe<-3,-2> u< —1,1>u2,oo> ^ x5-6x4-x3+29x2+8x-15 <0 x5-6x4- x3+29x2+8x-15 <0 factorizando por Ruffinni x5- 6x4- x3+29x2+8x-15 . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net S
  • 31. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITUI O I 1 -6 -1 29 8 -15 -1 7 -6 -23 15 -1 1 -7 6 23 -15 0 3 -12 -18 15 3 1 -4 -6 5 0 5 5 -5 5 1 1 -1 0 x5- 6x4- x3+29x2+8x-15 =(x +lXx- 3Xx - 5Xx2+x-1) (x +1Xx-3Xx-5Xx2+x-1)<0, factorizando x2+x-1 (x +1Xx-3Xx-5) (x +1Xx-3Xx-5) (x +1Xx-3Xx-5) ~ ~ V ~ x+: Y . i . 2J 4 <0 i r - 1 s X -I- --------- 2 2 <0 1 V sl x+- +— 2 2 <0 :y ; l+/ 5 -1 -1 +ÍS . l +&/ , - l +>/5 .. x€(-co,---_ W - l , -- -— u<3,5> O (x2- 2x - 5Xx2- 2x - 7Xx2- 2x- 4) >0 (x2- 2x- 5Xx2- 2x- 7Xx2- 2x- 4) >0, factorizando 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukpery.com www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © [(x-1)2-1-5](x2-2x-7Xx2-2x-4) >0 => [(x-1)2- 6][(x- 1)2- 8 ][(x - 1)2-5] >0 =>(x -1 - >/ó)(x-1 +Vó)(x -1 +V8)(x -1 - n/8)(x -1 - >/5Xx-1 +n/5) >0 1-2Í2 1- V6 1-V5 1+¡S 1+46 1+2Í2 x e ^-oo,l-2^2^ u ^1-yjb,1—VH^U^I +>/6^u(l +2>/2,+co^ x5-2x4-15x3>0 x5-2x4-15x} >0 => x3(x2-2x-15) >0 => x3(x-5Xx +3) >0 + > 1 > + > 1 -3 0 5 x e<-3,0 >u <5,oo> (x3-5x2+7x-3X2-x) >0 Factorizando por Ruffinn x3-5x2+7x-3 1 - 5 7 - 3 3 - 6 3 3 1 - 2 1 0 (x-3 )(x-l)2(x-2) <0 + > l > + > 1 www ^dukperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 32. www.solucionarlos,net x e [2,3] ^ {1} (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)< 0 si a<b<c<d m m m m n w ai (x-a)(x-b)(x-c) (x-d)<0 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITU' O l O a b c d xe(a,b)u(c,d) (x2+6x -1Xx3-2x2-2x +4Xx +5)5>0 (x2+6x - IXx1- 2x2- 2x +4Xx +5)5>0, factorizando => [(x +3)2- 9 - l][(x 2(x-2)-2(x-2)](x +5)5>0 => [ ( x + 3 )2 - 1 0 ] ( x - 2 X x 2 - 2 X x + 5 )5 > 0 =>[x +3- VÍÓ](x +3+VÍÓXx - 2Xx - V2Xx +>/2Xx+5)5>0 ~ v : v + v • v + v - a ~ -3- VIO -5 -¡2 -3 +/To ¡2 2 x e (-x,-3-VÍÓ)u(-5,-V2)u(-3+>/ÍÓ,V2)w<2,4oo> ^ (6x +3)2(x2-1)3(3x -5)7<0 (6x +3)2(x2-1)3(3x - 5)7<0 => (6x +3)2(x - l)3(x +1)3(3x-5)7<0 8 m SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO! . , wwwedukperu.comANÁLISIS MATEMÁTICO I ., www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o -1 ••• xe(-oo,-l)u^1,|^ (3-x)3(x2- l)2(l- x )5x>0 M ü B W (3-x)3(x2- l)2(1-x)5x >0 => x(x -3)3(x -1)2(x +1)2(x -1)5>0 x(x -3)3(x -1)7(x + 1)2> 0 -i x4-2x2-3x-2 >0 0 1 /. x e ( 0 , l)u (3 ,o o ) x4-2x2-3x-2>0 factorizando por Ruffinni x4-2xa-3x-2 1 0 -2 -3 -2 -1 1 1 2 -1 1 -1 -1 -2 0 2 2 2 2 1 1 1 0 x4-2x2-3x-2 =(x +1Xx-2Xx2+x+1) (x-lXx-2Xx2+x+l)^ 0 , como x2+x +l>0, Vxe R, entonces. (x-lXx-2) > 0 x2+x +6 =0 => (x- lXx - 2) >0 www.edukperu.com i . S O I 1C www.solucionarlos,net
  • 33. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS $ -i o x e < - o o >- 1 ]u [2 ,+ o o > x4-3x3+5x2- 27x-36 <0 x4-3x3+5x2- 27x-36 <0 factorizando por Ruffinni 1 -3 5 -27 -36 -1 4 -9 36 -1 1 -4 9 -36 0 4 0 36 4 1 0 9 0 x4-3x3+5x2- 27x-36 = (x +1Xx -4Xx2+9) (X +lXx l X Xx> +9) <0, como x2+9>0, V x e R , (x +1Xx-4)<0 -1 4 X€<-1,4> m x4- x2<0 => x2(x2-1)<0 => x2(x-l)(x +l)<0 + V ¿ /~ ~ * - 1 0 1 x e <-1,0> <j <0,1 > CAPITI" n i 36 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ., www.solucionarlos,net www.eduKperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (2x2-4x-1X3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0 Jg ^ S S S S iS M f (2x2-4x-lX3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0, factorizando se tiene: x2-2 x--1 f x2-2x +-1(x2+4x-2) >0 ^(x-l)2- l-^ j^ (x -l)2- l +^j[(x +2)2- 4-2]>0 f(x - l)2- | ^(x —l)2+^j[(x +2)2-6]>0, como (x -l)s +^ >0, V x e R [ o _ (x-1)2- - [(x +2)2-6J >0, factorizando -1_^|)íx-1+^)(x+2+.'^)(x+8“'^)>0 , Í3 2+yfb , ¡3 Puntos críticos x =1+J- =---- , x = - = V2 22 2 -y f b , x =-2-Vó , x =-2+n/ó ~ v 1 - ~ V .+ -2-^6 2 -x/6~ -2 '/6 2 +/6 x5+8x4+12x3-x2-8x-12>0 Factorizando por Ruffinni x5+8x4+12x3-x2-8x-12 www.edukperu.com www.solucionarios.net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 34. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUI n i 1 8 12 -1 -8 -12 1 9 21 20 12 1 1 9 21 20 12 0 -2 -14 -14 -12 -2 1 7 7 6 0 -6 -6 -6 -6 1 1 1 0 x5+8x4+12x3- x2- 8x-12 =(x - 1Xx +2Xx+6Xx2+x+1) (x-1)(x +2Xx +6Xx2+x +1)>0 , como x2+x +l>0, V x e R , simplificar (x-1)(x +2Xx +6)>0 -6 -2 1 xe(-6,-2)u(l,oo) ^ (x2-1Xx2+9Xx +4Xx +5)>0 (x2- lXx2+9Xx +4Xx +5) >0, simplificando x2+9>0, V x e Ry factorizando (x-lXx +1Xx +4Xx-5)>0 - 4 - 1 1 5 xe(-oo,-4)u(-1,l)u(5,oo) 60 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ., www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O © (x +2Xx +3Xx - 4Xx - 5) >4*■ (x +2Xx +3Xx-4Xx-5) >44 => (x +2Xx-4Xx +3Xx-5) >44 => (x2-2x-8Xx2-2x-15)>44 u =x2-2x-8 => u =(u-7)>44 => u -7u-44>0 => (u-1lXu +4)>0 => (x2- 2x-8-11Xx2-2x-8 +4) >0 => (x2-2x-19Xx2-2x-4)>0 [(x-1)2-1 -19][(x-l)2-1 -4] >0 => [(x-1)2- 2 0 j(x - l)2-5]>0 (x -1 - 2>/óXx-1 +2>/5Xx-1 - >/5Xx-1 +>/5) >0 v 1 +2ÍS 1 -ÍS 1+ÍS 1-2^5 xe(-oo,1-2>/5)u(l-75,1 +7 5 )u (l +275,®) x +6x4+6x +4 >0 x6+6x4+6x2+4 >0 => u =x2 => (x2)3+6(x2)2+9x2+4 >0 => u3+6u2+9u +4 >0 Factorizando por Ruffinni; u +6u +9u+4 1 6 9 4 -1 -5 -4 -1 1 5 4 0 u*-1-6u2+9u+4 =(u +IXu2+5u+4) =(u +IXu +4Xu + 1) www edukpervi.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ■L
  • 35. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPrr” ' n i O o u =x2 => (x2+ lf(x 2+4)>0, como )C+1>0 a x2+4>0, V x e R Entonces la solución es: V x e R x4-3x2- 6x-2<0 x4- 3x2- 6x- 2<0 , factorizando x4- 3xJ - 6x- 2 x4-3x2-6x-2 =(x2-2x-lXx2+2x +2) entonces (x2-2x-l)(x2+2x +2)<0, como x2+2x +2>0, Vx e R , simplifican x2-2 x-l< ____-____=0 => x2-2x-l <0, completando cuadrados x2+2x +2 x2-2x +l <2 => (x - 1)2<2 => -72 <x-1 <y¡2 1-72 < x < 1 +72 xe< 1-72,1+72 > x5-6x4-17x3+17x2+6x-l >0 m m m m t X5-6x4-17x3+17x2+6x-l >0 factorizando por Ruffinni 1 -6 -17 17 6 -1 1 -5 -22 -5 1 1 1 -5 -22 •-5 1 0 X 1 X X* -5x3--22x2--5x+l) >0 www.solucionarios.net f-8x +3x CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « XlX-5x3 -5x -2x x4-5xJ -22x2-5x +l =(x2-8x +1Xx2+3x +1) (x-lXx2-8x +1)(x2+3x +1) >0 3 2 9 (x-l)[(x-4 )2-15] (x-1)[(x-4)2-7Í5](x-4 +7Í5) >0 r 3X + -------- 2 2 3 75 X H-- + ---- 2 2 >0 A / 3 + /5 -3 +fS 4-'/l5 1 4 + fl5 2 2 ... x4-2x2+8x-3 >0 Factorizando x4- 2x2+8x- 3 x4+0x3-2x2+8x-3 A 2x v -1 + 2 x ^ * 3 (x2+2x-lXx2-2x +3 )>0, como x2-2x +3>0, V x e R , simplificamos v - 2x v / v „ „ X www.solucionarios.net www edukperu.com' www.edukperu.com . . . SOLUCIO www.solucionarlos,net
  • 36. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUt O I x +2x—1> x -2x+3 [(x +1)->/2][(x +1)+>/2]>0 x2+2x-1 >0, factorizando A / -1-72 -1 +72 xe(-<or 1 - ^ |u ^ - 1 - h ^ o o ^ O x4-2x3-5x2+10x-3 <; 0 Éimmrnaf x4-2x^ -5x2+10x-3 <0 x4-2x3-5x2+10x-3 x2 -3x -3 x2 X 1 (x2- 3x +1)(x 2+x -3 ) <0 , factorizando 3T 9 ix— — +1 2 J 4 n 1 ^x+- --- 3 2 J 4 <0 1Y 13 X H— ---- 2 J 4 <0 r 3+75X -------- í 3--75 ¥ 1-7Í3 x—■ X + ■ <0 -1 -¡13 3-/5 713-1 3+75 2 2 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu.com : www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X € '-1-73 3-y/S u n/T3 -1 3+75 2 2 2 ' 2 $ (x-7Xx-3)(x +5Xx +1)>1680 (x - 7Xx +5Xx - 3Xx +1) >1680 (x-7Xx +5Xx-3Xx +1)>!680 => (x2-2x-35Xx2-2x-3) >1680 u=x2-2x-3, reemplazando se tiene: (u-32) 1680 => (u2-32u-1680)^0 => (u- 60Xu +28) >0 (x2- 2x - 63Xx2- 2x +25) £ 0, factorizando se tiene: [(x -1)! -1-63][(x - 1)! -1 +25]20 => [(x -1)*-64][(x-1)* +24]£0 Como (x - l);' +24>0, V x e R, simplificando (x - l)2-64>0 (x-1)2>64 <x> x-1^-764 v x- 1<-Vó4 x- 1>8 v x - 1<-8 x>9 v xú-7 x e <-oo,-7] u [9,+oo> (x +9Xx - 3Xx - 7Xx +5) ^ 385 (x +9)(x - 3)(x - 7)(x +5) ^ 385 (x +9Xx-7Xx-3Xx +5)<385 => (x2+2x-63Xx2+2x-15) <385 u= x~+2x-15, reemplazando se tiene: • . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 37. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ................................................................................... (u-48)u^385 => u2- 48u-385 <0 => (u - 5 5 X u + 7)^0 (x2+2x-15-55)(x2+2x-15+7)<0, factorizando se tiene: [ ( x + 1)2- 1 - 7 0 ] [ ( x + 1)2 - 9 ] ^ 0 => [(x + l ) 2 - 7 l ] [ ( x + l)2-9]<0 (x +1 +V7l)(x +1->/7Í)(x +1-3Xx +l +3)<0 (x +1+%/7Í)(x +4)(x +1->/ñ)(x-2)<0 -1 ~¡71 -4 2 ¡7Í-1 xe[-l->/71,-4j^[2,-l+>/7Íj CAPITI1' « I www edokperu con« www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O INECUACIONES FRACCIONARIAS Resolver las siguientes inecuaciones: x+1 x < 2-x x+3 x+ 1, x 2 ilI_ _ JL _ < 0 => (x +1Xx+3)-x(2-x) 2-x x+3 2-x x+3 (2-xXx +3) x2+4x +3-2x +x2 A 2x2+2x +3 _ ---- --------------- <0 => -------------- >0 (2 -xXx +3) (x-2Xx +3) como 2x +2x+3>0, V x e R, entonces expresamos asi: 1 - o = > ---- !_____ >0 (x-2Xx +3) 2x2+2x +3 (x-2Xx +3) -3 2 /. X€<-oo,-3>u<2,oo> 3x-7 3-2x — í— >0 =» — 1 - ^ 0 => 3-2x -4(3x - 7 ) , 0 3x-7 3-2x 3x-7 3-2x (3x-7X3-2x) 31-14X ^ ^ ___14x_-31 (3x-7X3-2x) (3x-7X2x-3) 31 7 3 x =— , x=-, x = -, puntos críticos 14 3 2 . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I. . . S O L IO www.solucionarlos,net
  • 38. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIW * • 3 31 7 2 4 3 '3 31 X € < ( — 2 14 x+2 >x2+2 x+2_x^+2>0 x2(x -t-2) -(x - 2)(x2+2) ^ Q x-2 x2 " ~ x2(x-2) x1+2x8-x3+2xg-2x +4 )a 0 ^4>^-2x±4 a0 como 4x* _2x +4 >0, V x e R x2(x-2) . x (x-2) 1 > „ ° --------------- = 0 => —r — --- > 0 x2(x -2) 4x2-2x +4 x2(x -2) : ~ V 0 2 /. x e < 2 ,0 0 > x-2 > x x+4 x-2 =» ü z 2 . _ í _ a 0 x+4 x-2 x+4 x-2 (x-2)2-x(x +4) x2-4x +4-x2-4x ----- ----------- > 0 => -----------------------> U (x +4Xx-2) (x +4Xx-2) ~8x+4 ¿o =. — — — <o(x +4)(x-2) (x +4Xx-2) m www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net capitulo I { EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -4 I 2 2 /. xe< -oo,-4 >u ,2> x -4 ; x -2 x2+2 x2+1 x3-4 x3-2 < (x3-4)(x2+1)<(x3-2)(x2+2) x2+2 x¿ +1 x5-4x2+x3-4<x5-2x2+2x3-4 =>2x2+x3>0 => x2(x +2)>0 x =0; x =-2, puntos críticos v : -2 0 x e < - 2 ,0 > ^ j< 0 ,o o > x-1 < 2x x x x +1 x-1 M K S B M M x-1 2x x x-1 2x x ^ . ---- < ------------ = > -------------- + ----- < 0 X X +1 X-1 X x +1 x-1 (x8—l) ( x —1)—2x 2( x - 1 )+ x 2(x +1) x(x +1)(x —1) x —x —x+1—2x +2x +x +x . 2x -x +1 . => ------------ ;-----r;-----:---------- < 0 =>— -----T7------ < 0 x(x +l)(x - l) x ( x + 1 )(x - 1 ) Como 2x2-x +l>0, V x e R , entonces simplificamos ” —^ SOLUQONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Il ■ ±www.solucionarlos,net
  • 39. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...........................................................................CAPITU' O I 1 - o ^ ------1— so x(x +l)(x - l) 2x2- x+1 x(x +lX x -l) x =-1; x =1; x =0, puntos críticos A / ± V : •i 0 1 X G < -00,-1 > U < 0,1 > x2+2 x~+1 y4+1 y4+1 ___ MmxmAwm — íll simplificando x4+l se tiene: x4+1 x4+1 x2+2 >x2+1 => 2 > 1, V x e R /. La solución es V x e R x2-2x <x+8 x2-2x x+8 x! -2x x+8 _ 2(x*-2x)-(x +8X x-4) ^ I T T “ T * x-4 2 - 2(x-4) 2x2-4x-x2-4x +32 ^ ^ (x-4) +16 ^ Q 2(x-4) ” 2(x —4) Como (x-4)2+16>0, V x e R => V 4 t ■ * ■ www.solucionarios.net www eduKperu com www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 1 3x+l —<---- <4 X X X G <-oo,4> 1 3x+l 1 3x +l 3x +l . —<---- <4 => —<----- a ---- <4 x x x x x 1 3x +l 3x +l , l-3x-1^.rt 3x+l-4x „ ------- <0 a ------4 <0 => -------<0 a -------- <0 x x x x x — < 0 a ^ Í l < 0 => - 3 < 0 a — > 0 X X X i» x—1 x—1 x g 9? a -----> 0 =2» ------> 0 x x © x2+8 5x-8 x+4 ~ 5 0 1 XG< -oo,0> U< l,oo> x2+8 5x-8 x2+8 5x-8 ^ rt 5x2+40-(5x-8)(x +4) „ ----- > — -— = > ------------->0 => ---------- ------ ----- - > 0 x+4. 5 x+4 55(x+4) 5x* +40-5x2+8x-20x +32 _ 72-12x x+6 => ---------- ---- ---------- >0 => ---->0 => ------------- <0 5(x +4) 5(x +4) 5(x +4) x =-4; x =6, puntos críticos -4 6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 40. www.solucionarios.net x e <-4,6] » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...............................CAPITU' f i © O x+4 x-2 > x"+4x +4 x -4 ^ ■ arrn m .T M T x+4 . x-2 _ x+4 x-2 , 0 > x2+4x +4 x2-4 (x +2) X--4 (x +4)(x-2)-x2-f4 n x2+2x- 8- x~ +4 ^ n (x +2)2(x-2) (x +2)2(x-2) 2x~ 4 >0 ^ — L_^>0, Vx e R, x^±2 1 2 <• x+1 3x-l (x +2)2(x - 2) (x +2) x e R- {-2,2} _ L < _ L - * — _____ — <0 => 3x- 1-2(^ < 0 x+1 3x-1 x+1 3x-1 (x+1X3x-1) 3x-1-2x-2), n ^ ____x^3--- <0 (x +1X3x-1) (x +lX3x-1) x =3; x = 1; x =- puntos críticos 3 -1 1 3 3 xe<-oo,-l,>u/^,3 © f l 2 2x2-3x +3 2 <(x -2X2x +3) SOLUCIONARI WWW.soimtbnarios.net www.edukperu.connr www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x2- 3x +3 1 +->0 (x-2)(2x +3) 2 4x~-6x +6+2x2-4x +3x-6 _ 6x2-7x --------------------------------------------------------------- >0 => ------------------------------->0 2(x-2X2x +3) (x-2X2x +3) x(6x-7) (x-2X2x +3) >0 3 7 Puntos críticos: x =2; x =0; x =-; x =- 2 6 .3 0 7 2 2 6 w <2,+oo> X E ( ^ i u© 2x-1 3x-1 x-7 ---- +----- <4 + v o. 1 v -i_Ox+1 x+2 x—1 (2x-lXx +2) +(3x-1Xx +1) 4x-4 +x-7 . ------ ;— ~ ----------------------------- <-:------ , simplificando (x +lXx +2) x-1 5x~+5x-3 5x-12 5x2+5x—3 5x-12 (x +1Xx +2) x-1 (x +1)(x+2) x-1 (5x2+5x -3)(x -1)-(x +1Xx +2X5x -12) <0 (x +lXx +2Xx-l) <0, simplificando -3x2+18x +27 x2-6x -9 _ , <0 => -— —-- —----- >0, factorizando (x +lXx +2Xx-l) (x +lXx +2Xx-l) www.solucionarios.net matemáticoi 73
  • 41. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITI"OI O o (x-3 +3j2)(x 3 3>/2)^ n HnnHp x =-2; x=3-3>/2 ; x =-1 (x +1Xx+2Xx-1) x =1, x =3+3v2 , puntos críticos -2 3 - 3 ^ 2 -1 3 +3 ¡2 x e x < x-3 <2+4 x2+x+4 (-2,3 - 3>/2j u <-1,1 >u(3 +3>/2,+0°) _ J L _ < x — = > x ( x 2 + x + 4 ) < ( x 2 + 4 ) ( x - 3 ) x2+4 x2+x+4 puesto que x2+4>0, x2+x+4>0, V x e R x ( x 2+ x + 4 ) é ( x 2+ 4) ( x - 3) => x3+ x E+ 4x £ x 3- 3x e + 4x -12 => 4x2<-12 => x2<-3 pero Vx e R . La solución es <t> (xg-2 )(x-5)(x -3 )^ x(x2+2)(x -3) (xi -2)(x-5)(x-3) ' ^ x(x2+2)(x-3) ( x - 7 2 ) ( x + 7 2 ) ( x + 5 ) ( x - 3 ) ^ > x(x + 3 ) puesto que x2+2>0, V x e R Puntos críticos: x =± 3; x =±72 ; x =-5; x =0 V v : v -5 ■72 0 72 / www.solucionarios.net wwv.'.©dukperu.com www.solucionarios.net O x e<-oo,-5'>u^-3,-72^'^0,—72^u<3,-oo> ' (6x-3)~(x2+1) (3x-5)' CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (x +6)¿ (2x +3 ),., (6x +3)2(x2+l)3(3x-5)7 ^ (6x +3)2(3x -5)? ^ (x +6)2(2x +3)17 > ^ (x +6)2(2x +3)’7 > puesto que x¿ +1 >O, V x e R - O V ¿ V -6 3 1 5 '2 "2 3 x e < - o o ,- 6 > u ( - 6, - | W - | , c o ( 4 x + 2 )2 ( x 2 + 2 )5(2 x - 8 ) 9 ( x + 1)2 (2 x + 5 )'7 ISMUlHT (4x +2)¿ (xa+ 2 )5 ( 2 x - 8 ) q _o ^ (4x +2)g(2x-8)g , Q ( x + 1)! (2 x + 5 )'3 ( x + 1)’ (2 x + 5 )'3 puesto que x¿ +2>0, V x e R 1 5 PuntOS críticos: X =4; X =--: X =-- : X =-1 2 2 ■•edukperucom . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 42. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j W (x-5) (x +3) cAPrrui o i (x +4) (x-2) (x-5) (x +3)x-5 x+3 (x +4)(x +3)-(x-2)(x-5) (x-5)(x +3) x2+7x +12-(x2-7x +10) <0 =* (x-5)(x +3 T 14x42__ <o ; Puntos críticos: x =5; x= -3; x - (x-5)(x +3) -3 C.S.: xe(oo,-3)u(--,5 x-4 x+2 7 +- U - 2 :-4 x+2 beeem m Z í í í ! h í d +2<o (x-4)(x +2) 7x +14+x-4 +2(x-4)(x +2) n (x-4)(x+2) 8 x + 10 + 2 ( x 2 - 2 x - 8 ) (x-4)(x+2) x2+2x-3 <0 2x2+4x-6 (x-4)(x+2) (x+3)(x-1) , n (x-4)(x +2) <0 (x-4)(x +2) www.solucionarios.net www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Puntos críticos: X =-3; X = X = 1; X =4 o + V 1 V t V 1 V + - 3 - 2 1 4 C.S.: x e(-3,-2)u(l,4) (x* +x-6)(x’ -x-6) (x2-4)(x2-2) jBEimSÜSMt ( * ! + *-6)(.r! - *- 6 ) (* +3)(a'- 2 )(a'-3)(.v +2) ( * * - 4 ) ^ - 2 ) >0 " ( , - 2 ) ( , +2 ) ( x - ^ ) ( , +^ ) >0 (x +3)(x-3) _ 7--- pr---- — >0 a x^±2. Los Puntos críticos: x =±3; x =±v2 (x-V2)(x +>/2) -3 -s¡2 s¡2 3 C.S.: X€<-co,-3>u<-Í2,yj2><j<3,co> @ x1z 2x±3>_3 ^ x -4x+3 x2-2x +3 x2-2x +3 _ _ I — --- >-3 => -r— ---- +3>0, operando se tiene: x -4x +3 x -4x +3 x -2x +3+3(x“ -4x +3) 2x2-7x +6 _ (2x-3)(x-2) --------— --- ------ ^>0 => — ------->0 => ^---------r >0 x -4x +3 x -4x +3 (x-l)(x-3 ) Puntos críticos: x =-; x =1; x =3; x =2 2 www edukpem.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 77
  • 43. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITUl O I O V : V i V ___±—1 3 2 3 2 3 C.S.: xe<oo,1>u<-,2>u<3,co> J L + J_ > 2 x+3 x—1 ____ jnm M M 5 , 1 ^ O _É —+—l--2 >0, de donde se tiene: x+3 x—1 x+3 x—1 5(x-1) +x+3-2(x +3)(x-1) n (x +3)(x-l) 5x-5 +x+3-2(x2+2x-3) -2x2+2x+4 ^ n (x +3)(x —1) > ^ (x +3)(x-1) x*-x-2 <0(x-2Kx.tij<0 (x +3)(x-1) (x +3)(x-1) Puntos críticos: x =-3; x =-l; x = 1; x =2 -3 -1 1 xe<-3,-l >u<1,2> « 3x+1 1 2 > ------> - . 3x+1 1rt^3x +l , 3x+1 1 2 > ------> - => 2 > - a — — X X x x x soLucios otw¡/^^f¡f£¡onarios.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 3x +l „ 3x+l 1 n 3x +1+2x 3x --------2 < 0 a ---------- > 0 = > ----------- < 0 a — > 0 x x x x x — < 0 a 3 > 0 => — < 0 Puntos críticos: x =0; x =-1T ~ ~ V -1 0 La solución es: x e [-1,0> 0 x ^ -2 _x i 3 > _ 3 W v2 -L. 3x -4x +3 x2-2x +3 0 x2-2x +3 0 ,.| —------- > -3 => —t---------+3 >0, efectuando las operaciones x -4x +3 x -4x +3 x2-2x +3(x2-2x +3) x2-7x +6 A (2x-3)(x-2) ------ s— ^--------- >0 => —-------- >0 => ----¿r— z r > 0 x —4x +3 x —4x+3 (x-1)(x-3) 3 Puntos críticos: X =- ; X =1; X =3; X =2 2 V 1 V + V = V 1 _3 2 3 2 Conjunto solución © 2x4+7x3+8x2+6x +1 ^ óx^1+17.x4+23x3+18x2+7x +1 2x4+7x3+8x2+6x +1 6x5+17x4+23x3+18x2+7x+«1 >0 wwwedukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 44. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Factorización por aspa doble en el numerador (2x2+5x+l)(x2+x +l) >0 ÍX~2IX+1)X+1)(6X!+6X+7) como x2+x+1>0, V x é R V 6x2+6x+7>0, V x « R, simplificando 2 5x 1 x +— +— 2 22x2+5x +1 ^ __________ x+sXx+Í)(x+1) (X+Ü(X+9(X+1) >0 2 5x 25 1 25 X2+— +— +r.~77 ____ 2— 16—2— 16_>o => tw — KHH (x+iXx+3>+i) X + - T - - ^ --- >0, factorizando 5 (17 Ì 5 17 X+4 'V Í 6 j r K 4 + Í 6 j f 5 - V Ì7 x+ V 5 + >/Í7 x+— -— (x4)H)x+1) H)K)(X+1) 5-Vv7 5+y¡V7 ____ 1_ v =- i x =-1. puntos críticos X --------- , X ------- » X - 0 > o ' -/ + V - V — ^ ! 7 & ------ -i 4 1 Conjunto Solución: x e <5 _2fl7+5 A<_I 1 3 4 1 /V i7-5 2 3 >vj X—1 x2-1 www.soiucionarios.net www.edukperu.corrí www.solucionarlos,net CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X—1 X —1 <5 X —1 (x-l)(x +1) <5 => x—1 (x-lXx +1) -5 <0 7(x +1)-6-5(x-1)(x +1) 7x +7-6-5(x2+1) (x +1)(x-1) (x +1)(x-1) -5x2+7x +6 . 5x2-7x-6 . (5x +3)(x-2) „ <0 => T---- —---- -> 0 => — ,---- r r --- ^ > 0 (x +l)(x - l) (x +1)(x-1) (x +l)(x-1) Puntos criticos x =-1; x =— ; x =1; x =2 5 -1 xe(-»f-l)u^-|,1^u(2,+co) <0 12x5-35x4-53x3+53x2+35x - 12 x6+15x5+78x4+155x3+78x2+15x+1 12x5- 35x4- 53x3-f53x2+35x- 12 ^Q x6+15xs +78x4+155x3+78x2+15x +1< Agrupando término en forma adecuada para su factorización 12(x5- 1 )- 3 5 (x 4 - x )- 5 3 x 2(x - 1 ) x6 +1 + 15(xs + x) +78(x4 +x 2) +155x3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 45. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................... .....................................CAPITU! 12(x4+x3+x2+x +l)-35x(x" +x+l)-53x* j x3+¿ +,5l( x2+? l + 00 íX+x]+155 <0 3 |r n3u = X + — 1V XJ í 1Yu = X + — l XJ 1 3 - +— => u X J X ( 23 12 ( x - 1 ) ( 1 2 x 4 -23x3-76x2-23x +12) ^ (x l)|^12x 23x 76 ^ x% u3-3u +15(u2-2) +78u-f 155 <^ u3+15u2+75u+125 (x —1) 12| x 2 + x12 l - 2 3 Í x + M - 7 6 <0 (u +5) (x-l)[l2 (u 2-2)-23u-76] ( u + 5 )3 <0 (x—1)f12ug-23u-lOO] -A (x -1)(12u +25)(u, 4) ^ ^ u =x +i (u +5)3 ( u +5) x (x"1)líl2x +^+ 25j (X+x _ 4 J (x-l)(l2x2+25+12)(x2-4x +l) ^ I(X+H3 (x2+5x +l) (x-l)(3x +4)(4x +3)[^(x-2)2-4 +lJ 5Y 25 , x+-¡ +1 2 J 4 <0 (x-l)(3x +4)(x +3) x-2x>/3j(x-2 +^ ) B*f)H-#)I <0 H www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ............................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 4 3 r- x =1; x = ; x = x =2+V3 X - 2 - J 3 ; X - 4 - & 2 2 2 2 ~ A~^/ : y /~r . 4 .3 7 2 1 - 5 2 -^3 1 2 +/3 4 3 4 2 , :r | ) v ( 4 í , á ) ^ . ( ) 2x-l x+2 x—1 x+4 +3-x >x+3 2x-l _ x+2 x—1 2x-l x+2 x—1„ , ! T ¡ T + 3 ^ > ^ 3 = > i r r 4 + í 3 5 ' Í Í 3 > 0 ' A c t u a n d o las o p e ra c io n e s (2x-l)(x2-9)+(x +2)(x +4)(x +3)-(x-1)(x +4)(x-3) (x +4)(x-3)(x +3) >0 2x3-x2-18x +9+x3+9x2+26x +24-x3+I3x-12 (x +4)(x-3)(x +3) >0 -10x2-31x-27 10x2+31x+27 > 0 => 7---- t ;-----TT----- < 0 (x +4)(x —3)(x +3) (x +4)(x-3)(x +3) como 10x~ +31x+27 >0, V x e R entonces se simplifica, es decir: (x +4)(x-3)(x +3) <0 dedonde x =*4- x =-3» x =3 puntos críticos www.solucionarios.net 83
  • 46. www.solucionarlos,net _______________ _____________ . CAPITUl O ) » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ............................................................................... :/ +/ .4 -3 3 xe(-co,-4)'-'{-3.3) O S 1+X3 ^ * - x * + * “ -j L + 9 w (l- X ! )(1-x) (1-x) (1+x ) ___________ jg g a s s a a a B T . » .. (1 +x )(l- x +x! ) x(1-x)+x4(1-x)^0 ( í d ? f r ^ >l ^ x f n ^ +9 * M f d « ) _ b ü --+9; x*±l (l—x)(1—x) (l-x)(l+x) 1 - X + X* : X ( U X ] _ ^Q; X*±1 (l-x)O-x) (1 -x)(Ux) _ ¡ W X(H X)(1-X +X‘ ) ^0 xse±1 (1-x)(1-x) (1-x)(1 +x) x - xg+x3 1 -x+x8 ^o^r,. x#±1 (1-x) (1—x)(1-x) ( x - x i + x 3) ( 1 - x ) - 1 +x-xi ^o ^ n XJ¡±1 (1-x) -x4+2x3- 2xg+ x - U x - x ^ Q^ n, X5t±1 (1-x)! -x4+2x3-3xa+2X-1 +g <Q. X,± 1 (x - lf ______________________;------- rsoLucioNAtvWvv.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O 9- x4-2x3+3x2-2x + l (x - l)! <0; x * ±1 => 9- r •> *2 x~- x+1 x—1 <0; X * ± l í ..2 3- X —1 f ..2 3+ ) X —X-f1 X —1 <0; x* ±1 ' 3 x - 3 - x 2+ x - l Y 3 x - 3 +x2- x +1 x" ! A x—1 ( -x2+4x - 4 x^7~ f ..2x +2x-2 X—1 <0; x*±l => <0; x*±1 (x-2)![(x+1)! -3] (x-1)2 >0; x*±1 (x-2)J (x +1->/3)(x +1+>/3) >0; x*±l x =2; x*±l; x=-l±>/3. Existe multiplicidad par en x =2yx =1 -1 -n/3 v/3-1 -V3-l)u(V3-1,l)w{1,2)w{2,co} 4x4-20x2+8 x4-5x2+4 4x4-20x2+8 <8 <8 4x4-20x®*+8 x4-5x2+4 x4-5x2+4 4x4-20x2+8-8x4+40x2-32 -8<0, operando se tiene: x4-5x2+4 <0, simplificando www.ftdukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 85
  • 47. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................................... S 9 fE r” O o -4x'l +20x1-8 n x4-5x*+6 - _ (x___» o . factorizando x4- 5x* +4 ~ x4-5x2+4 ® (x2-l)(x! -4) (x->/5)(x +-J2)(x-£ ) ( * +£ ) ' n (x-1)(x +1)(x-2)(x +2) Puntos críticos: x= ±¡2; x=±l; x=±3; x=±2 + / : / r ~ y -A ~ r ~ y _2 V3 s il -1 1 v/2 VB 2 Conjunto solución es: x e(-<r,-2) ^ - >/ í- >/2^u(-lfl)u(>/2,>/3)vj(2f-Hx) ( x -1)8( x 2- 1 )(x 4- 1 )_ (x4+])(x-2) m i f M l i i ' T (x-1)’ (x»-l)(x4- l ) _ (x-1 )T (x»-l)(x»-l)(x»^ )%n (x4+l)(x-2) (x4+l)(x-2) Simplificamos los términos (x4+l) y (x2+l), (x-1) por ser siempre positivos íx2- lf i ^____L >o => --- £ 0 => x >2 de donde x e <2,+qo> x-2 * x-2 (x2+5x +6)(x4-16)(x2—4x —12) ^ (1-3x)3(x-1)(x! +l) ( x * +5x+6)(x4-16)(x*-4x-12) ^ (1-3x)3 (x -1)(x! +1) Factorización por diferencia de cuadrados y aspa simple: SOLUCIONAR! www.solucionarios.net www edukperu com www.solucionarios.net CAPÍTULO I JCEDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x +3)(x +2)(xJ -4)(x‘ 4)(x-6)(x +2) (l -3x)3(x -1)(x2+1) (x2+4) y (x2-rl) son positivos V x € R, entonces simplificamos (x +3)(x +2)(x-2)(x +2)(x-6)(x +2) (x +3)(x +2)’ (x-2)(x-6) (3x —I)3(x —1) (3x —l)(x —1) -3 -2 3. 1 ‘ 3 xe(-oo,-3)u^-2,-^u(l,2)u(6,+oo) O 4 x-2 4 <— 4-x 5 x 4 x—2 4 4 x—2 4 <— => ------- ----- <0, efectuando la operación 4-x 5 x 4-x 5 x 20x-x(x-2)(x-x)-20(4-x) 5x(4-x) 20x+x3-6x2+8x-80 +20x 5x(x-4) Factorización por Ruffinni: <0 _ x3-6x2+48x-80 . f >0 => --- — :--- --- >0, factonzando 5x(x-4) 1 -6 48 -80 2 .8 80 2 1 -4 40 0 _ * SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net K
  • 48. www.solucionarlos,net ■ CAPJT-w'l » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................... (x -2 )(x2- 4 x + 40) (x -2 )[(x - 2) 4 + 40J ^ fi - ¿ (x - 4 )— >0 ~ S F * ) . (x-2)[(x-2)*+36]>0 (x-2)*+36>0, V x e R, simplificamos 5x(x-4) x~2__ >o de donde x =2; x =0; x =4 son los puntos críticos 5x(x-4) v - t a z : 3xg+7x +5 x2+3x+2 “ 0 2 4 xe(0,2)u(4,oo) 3x2+7x +5 <2 3x2+7x +5 _ 2<o , operando y simplicamos x2 +3x +2 x‘ +3x +2 3x2+7x+5-2x2-6x-4 n _ _ í! ± í± L - <;0, como x2+X+1>0, V x e R ------------------- s0 =* (x+2)(x+l) 1 Entonces simplificamos ^X+2)(X+Í ) " entonces x =-2, x =-1 son los puntos críticos -2 -1 X 6 (-2,-1) SOLUCIONARIwww.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (x'-' +x—o)(x? —x—6) (x2-4)(x2-16) (x2+x-6)(x2-x-6) -— -----r—-<0 , factorizando se tiene: (x2-4)(x2-16) (x +3)(x-2)(x-3)(x +2) (x +3)(x-3) 7----77---77--- 7 --- (<0 simplificando 7 --- ( 7 ----£<0; x * ± 2 (x-2)(x +2)(x +4)(x-4) (x +4)(x-4) x =-3, x =3, x =-4, x =4, son los puntos críticos - 4 - 3 3 4 x e (—4,3] w[3,4) (l +x+x2)(2-x-x8)(x4-2x2-3x-2) (2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x-2)(x2-7) (l +x+x2)(2-x-x2)(x‘l -2x2-3x-2) (2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x -2)(x2-7) factorizando cada expresión se tiene: <0 1 0 -2 -3 -2 -1 1 1 2 -1 1 -1 -1 -2 0 2 2 2 2 1 1 1 0 (x +1)(x-2)(x2+x+l) 2Í x2—2x——j(3)í x2-2x +^-](x2+4x-2)(x2-7) <0 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 49. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Como x2+x+1>0, x CAPITULO I © X2-2x+- >o , V X 6 R, entonces simplificamos _________(x +1)(x 2)_________<0 ^^ctonzando (2x2-4x-l)(x2+4x-2)(x2-7) (x +l)(x - 2 ) -,-IÍx-i+I)x+2^ )(x+2+^)(x'^)(x+'/7) Í =1+J | , x= x=-2+^ x=- 2 - ^ ; x =^ ; x=-V7:x =l; x =2 X 12 X + 1 < 19 < x+2 x I2 < i± l =, - * _ < H A 2 | < ^ x T Í 19 x+2 x+1 19 x+2 x+1 19 X +2 19 in v - iO v - 1 9 1 9 x + l9 - l2 x - 2 4 n , 7 x ~--^- < 0 a 19(x ^ T <0 A ~ W ( x - g ) ~ 19( X +1) 19(x } 15 12 /. x e ( . 7 _ ( x - 3 M x + 2 )8 ( x + 1 ) ( x - 4 ) _ „ n W x(x+2)(xs - 3 ) ( x +3)(x2+4 ) g jm mvmñwww.solucionarlos.net www.edukperu.com www.solucionaríos.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « >0, x2+4 >0 siempre positivo (x-3)(x +2)2(x +l)(x-4) x(x +2)(x2—3)(x 3)(x2+4) Í x - 3)¡x +2Kx +1) ( x - 4 ) >o -2 x(x -3)(x +3) Los puntos críticos: x =±3; x =-2; x =-l; x =4; x =0; x =±¡3 -3 -2 ->/3 -1 0 n/3 3 4 Conjunto solución: x e (-oo,-3]u ^-2,-V3) u [-1,0) u (>/3,3]u[4,+°o) 2x2-3x +3 ]_ (x —2)(2x +1) _ 2 2x2-3x +3 ^ 1 2x2-3x +31 >— => + - >0, efectuando la operación (x-2)(2x +1) 2 (x-2)(2x +l) 2 4x2-6x +6+2x2-4x +x-2 _ 6x2-9x +4 (x —2)(2x +1) " ^ (x—2)(2x +1) " como 6x2-9x +4>0, Vx e R , entonces simplificamos 7— - rr-— —^ 0 , Los puntos críticos: x = x =2 (x-2)(2x +l) 2 V ~ ~ V www.edukperu.com www.solucionarios¡?mmR,omAus>sMATEMATIC01
  • 50. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j .............................. Conjunto solución x e ^-oo,-—^u(2,+<x>) O o x+1 x-1 1-x2 JB_ I^ITí MT _ 2 _ +_ 3 _ > ü ± l => _ l _ +^ _ + — x +1+x - l 1 - x 2 W X +1 x-1 (x-1)(x +1) 2 (x - l) +3(x +l) +x+5 6x+6 ^ J - > 0 ( x +1 )(x -1) ( x +1 )(x -1) x-1 Los puntos críticos: x = 1; x * -1 i Conjunto solución: x €(1,+oo) _2_> 2x x2-5x +6 2-x (3-x)(l-x) 2 _ > 2x x2-5x +6 2-x (3-x)(l-x) x 2 2x (x-3)(x-2) x-2 (x-3)(x-l) x(x-l) +2(x-3)(x-l)-2x(x-2) (x-3)(x-2)(x-l) x2—x+2(x2-4x +3)-2x2+4x >0, efectuando la operación (x —3)(x —2)(x —1) >0, simplificando www.solucionarios.net CAPITI OI www.edukperu.cont www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 3x +2x2 -8X +6 - X 2 x2-5x +6 _ _ —,------------------------------- rw— T77— 7r £ 0 => --—----- —----- >0 (x“ 3)(x —2)(x —1) (x —3)(x —2)(x —1) (x-3)(x-2) i (x —3)(x —2)(x —1) ^ x ^ T " °; * * 2 ,3 Conjunto solución xe(l,+oo)-{2,3} O 3 13 1 —<----- r + x 4^x—1) 4x +12 Ém m rM vw m 3 13 1 13 1 3 A —£ — ---- r +------ => — ---- -+ —----- ---- > 0 x 4(x-l) 4x +12 4(x —1) 4(x-3) x 13x(x +3) +x(x-l)-12(x-l)(x +3) 4x(x-l)(x +3) 13x* +39x+x2-x-12(x2+2x-3) -----------7----77---- r-------- £ 0, simplificando 4x(x —l)(x +3) 14x2+38x-12x2-24x +36 ^ Q 2x2+14x+36 x2+7x +18 >Q 4x(x —l)(x +3) 4x(x-1)(x +3) ~ ^ 4x(x-l)(x +3) ~ Como x2+7x +18>0, simplificamos —7---- ----- >0 x(x-l)(x +3) Los puntos críticos: x =0; x =1; x =-3 -3 0 11 www.solucionarios.net
  • 51. www.solucionarios.net --------------- ---------------------- V CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Conjunto solución: xe(- (!,+<*) A (x ' +4x +4)(x-9)- ^ w (||-x)(x'+ 5) — . n w . f (x? +4x+4)(x-9)J ^ ^ (x +2) (x-9) %f| (I1-x)(x- +5) (x-1l)(x? +5) Los términos (x+2)s, (x-9)' y x'+9 son siempre positivos. Se simplifican — — >0 =>x >11 X —I I í i x e <1 !,+<*> J _ +_ L > 3 X - 1 X +1 x Q — +— >- 3 1 3 3(x +l) +x-13 ^ n_ (4x+2) 3jx— l ) ^ Q ____ >_ —S ---- ------- — K / o « x—1 x+1 X xe+2x +3 ^ 0 como x2+2x +3 >0 , V x g R, entonces simplificamos x(x2- l) 1____ >0. Los puntos críticos: x =0; x =±1 x(x; - l) -i ri www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © Conjunto solución: x e (-l,0)U(l,o°) X‘ 1 <1 • j g g ¡ 2 M ¡H M x+2 x-l , x-1 x-1-x-2 . . <1 => — 1<0 => ---- :— <0, simplificamos x+2 x+2 3 <0 => — >0 x+2 x+1 x+2 :v: o o x € (2.») (x2-5)(x2+7) (x2+x +l)(x2-3x +2) (x2-5)(x¿ +7) (x2+x+1)(x2-3x +2) >0 M a & m zbvm / >0 como x2+7>0 y x2+x+l>0 entonces simplificamos (x-V5)(x +%/5) (x-2)(x +1) >0. Los puntos críticos: x =—1; x =2; x =±>/5 + V = V + V 1 V ~ -¡S -1 2 sfS Conjunto solución: xe^-3o,-V5ju(-1,2)uj^>y5>+oo^ 3x- > , -6 m m ¡ m m x2—x—6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 52. www.solucionarlos,net _______________________________________ CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ........................................................... 3x 3x i n _ 3x-x? +x +6 Q simpiificando — -- >1=>—----- 7-1> ° => v 2 _ * _ f c x8-x-6 ~ x2-x+6 " ' x¿-x-6 -x2+4x +6 x2-4x-6 ^ (X~ 2I— 1 _Í< 0 x2- x - T * (x-3)(x+£) (x-3)(x+2) (x-2->/tÓ)(x-2h->/To) n ^ puntoscríticos: x=-2; x=3-, ^ 2 ± J W (x-3)(x +2) — T ^ / ~ ~ r - y ♦ ~/ • ------- -2 2 - M 3 Conjunto solución: x e (-2,2 - 7 ÍÓ )ü (3,2 +7ÍÓ) ¿ A x i~3x+2 <2 w x ¡ - 4 x + 3 « ^ n t t i a r í « * x2-3x+2 < 2 xg-3x+g , 9 ^-n=> y*-3xf : 2X^ +8— <0■simplificando x*^4x +3 x! -4x +3 x v* +Sx-4 x2-*5x+4 n (x-4)(x~1L n íZ Í> 0 ;x * 1 ^ 7 1 <0 => 7 ^ 3 (x -3)(x -1) x -3 Los puntos críticos: x =3; x =4; x * l -1 5 Conjunto solución: xe (-«>,3)vj(4,<o) a x * l U solucionaimmsolucmnarios.net www.ed'Jkperu i www.solucionarlos,net CAPITULO I I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x-25 2x + 1l •+—---- r > 2(xs+2x-3) 2 (x 2-1) x +3 2x-25 2x+1l 1 '+—;---- r > 2(x2+2x-3) 2(x2-1) x +3 2x-25 2x+11 1 . _w <w . +—:-----------------—------ ------>0; MCM =2(x +3)(x -1)(x +1 2(x +3)(x-1) 2(x-1)(x +1) x+3 (2x -25)(x +I) +(2x +11)(x +3)-2(xs -1) 2(x +3)(x -1)(x +1) 2x2-25x +2x-25 +2x2+11x +6x +33-2x2+2 2(x +3)(x —l)(x +l) >0, efectuando las operaciones >0, simplificando 2x2-6x +10 x2-3x +5_ •>0 =>---- —--- —--- - >0 2(x +3)(x-1)(x +l) (x +3)(x -1)(x +1) como x2- 3x +5 >0, V x e R, entonces simplificamos 1 (x +3)(x-1)(x +1) >0. Los puntos críticos: x =-3; x * ±1 -3 -1 Conjunto solución: x e (-3,-l) U (l, ®) © x W 4 a() x - 4 x -5 4 ± i í i i a0 => J r f >o x —4x—5 (x —5)(x +1) www.edüKperurcófTi SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 97
  • 53. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Los puntos críticos: x =—1; x =5 -1 5 Conjunto solución: x e (-oo, -l) U (5,ce) 2 x - x 2 - 1 x2-2x +1 (xlD ----<0 => * % <0 x! -"x~ x2(xa—i) x! (x-1)(x+1) x2(x +1) Los puntos críticos: x =0; x*±1 -1 0 Conjunto solución: x e (-1,0) U (0,1) 0 ( 2 x ; - 8 x + 8 ) ( x + 3 ) ^ ^ x+6 ( 2 x ! - 8 x +8 ) ( x +3) n _ (xg-4x +4)(x +3 )^^ (x -2 ¿(x +3) ^ Q ^76 2 ^ x+6 ' x+6 Podemos simplificar (x +2)‘ por ser positivo: ^+^^ 0 Los puntos críticos: x =-6; x =—3 -6 -B Conjunto solución: x e (- c o ,- 6 )U [- 3 ,o o ) www.solucionarios.net www edukperu.com www solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X —1 x2-2x +1 . (x _ 1)2 « / x2------— ^ 0 => i--- '->0 => (x—1) >0, V x e R X —1 X —1 v ’ Simplificando se tiene — >0 x—1 1 Conjunto solución: x e (l,o o ) ^ 6 3 X +1 MESUSaSMÍ 2x+1 _2x+1 - _ 2x +1-3(x +1) ---r - 3 => ---—-3>0 => ------- ---->0, operando x+1 x+1 x+1 gx +1-3x-3a0 => í ± ? S 0 x+1 x+1 x+1 -2 -1 Conjunto solución: x e[-2,l) x2+4x +9 <U jB33SS2E2WF © x ^ x +9 x -4x-5 x" ^4x +9 —z— --- <0 como x2+4x +9 >0 , V x e R, entonces simplificamos x -4x-5 _ “ ' ‘ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 54. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI' O I © © ---- ----- <0 (x-5)(x +1) ZZZVZZZV3 H-1 5 Conjunto solución: x g (-1,5) x2+x-tg-<o x(x2-x-2) _________ rnmmmim i x2+x+2 <0 como xs +x +2 > 0 , V x g R, entonces simplificamos, obteniendo x(x2-x-2) _______}_______<o. Los puntos críticos: x =0; x =2; x =-1 x(x-2)(x +1) -1 0 Conjunto solución: x e(-<»,-l)U(0,2) 2 3 < 3x-2 x+2 __________ M T f T T T ™ 11* 2 3 __2_____ 3___Q _ 2(x+2)~ 3(3x~2L n 3x-2 < x+2 ^ 3x-2 x+2 (3x-2)(x +2) 2x +4-9x +6 ^ -7x +10 <o => --------- 7x T 1-— r>0 (3x-2)(x +2) (3x-2)(x +2) (3x-2)(x +2) 2 10 Los puntos críticos: x =-2; x - -; x - ^ 1SOLUCION - ‘--.nei www.edukperu.cfcfn www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « o a¿ 3 z y : -2 10 7 Conjunto solución: xG(-2,?u/y,+oc x -4 x-2 x+2 32 > x x 32 X + - ^ - > 0 -4 x-2 x+2 (x-2)(x +2) x-2 x+2 32-x(x +2) +4(x-2) (x-2)(x +2) >0 32-x2-2x +4x-8 (x-2)(x +2) £ 0 -x2+2x +24 (x-2)(x +2) >0 x2- 2x-24 . (x-6)(x +4) <0 => ^ ---- r< 0 (x-2)(x +2) ” (x-2)(x +2) Los puntos críticos: x =-2; x =2; x =6; x =-4 -4 -2 2 6 Conjunto solución: x g [-4,-2>u <2,6] 2+x-x2 x* -2x +1 - > 0 2+x-x2 >0 x -x-2 <;0 (x-2)(x +1) x -2x +1 (x - 1)* • (x —1)* Los puntos críticos: x =2; x =-1; x = 1 <0 V -1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net «
  • 55. www solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITU ^ ' O Conjunto solución: xe[-l,1>u <1,2] x3-x2-8x +12 <Q j t T í i n r a ri« r x2+5x-14 x3-x2 8x+12 ^ 0 pGr Ruffinni el numerador x2+5x-14 1 -1 -8 12 2 2 -12 2 1 1 -6 0 x3-x2-8x +12 =(x-2)(x-2)(x +3) =(x-2)s(x +3) (x-2)(x2+x-6) (x-2)(x-2)(x +3 )^ n ^ (x-2)(x +3 )¿p ^ x í2 (x-2)(x +7) " (x-2)(x +7) x+7 x2+8x-12-x3 7x-x2-6 x2+8x-12-x3 > 0 -7 -3 2 x € (-<»,-7) u[-3,2) x3-x2-8x +12 7x-x2-6 ' x -7x +6 Factorizamos por Ruffinni el numerador 1 -1 -8 12 2 2 -12 2 1 1 -6 0 www.solucionarios.net www.edJkperu.com www.solucionarios.net CAPITULO 1......................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (x-2)(xz+x-6) (x-2)(x +3)(x-2) (x-6)(x-1)(x-6)(x-1) Puntos críticos: Abiertos: x =1; x =6 Cerrado: x =2 multiplicidad par 1,-3 V ♦ V -3 1 2 Conjunto solución: x e[-3,l)u(6,+oo)u{2} x2+3.' +2 x-2 j b m m m x-2 x+2 x +3x +2 x-2 x +3x +2 x-2 ------- r — < — - = > ----------------------< 0 x-2 x+2 x-2 x+2 x3+5x2+8x+4- x2+4x- 4 A _ x 3+4x2+12x (x-2)(x +2) < ^ (x-2)(x +2) Como x2+4x +12>0, V x e R, simplificamos (x +2)(x2+3x +2)-(x-2)2 (x-2)(x +2) x(x2+4x +12) (x-2)(x +2) <0 <0 (x-2)(x +2) <0 . Puntos críticos: Abiertos: x =2; x =-2; x =0 V + V 1 -2 0 Conjunto solución: x e (-<o,-2) U(0,2) 1 2 3 + ----- > x+1 x+3 x+2 www.edukperu.com ^ _ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 56. www.solucionarlos,net besem m i => - L i + i i — — > 0 x+1 x+3 x+2 x+1 x+3 x+2 íx +3Ux+2^ +2fx +1)(x +2 )- 3 (x +l)(x +3 )^ n (x +1)( x +3)(x +2) x2+5x +6+2(x2+3x +2)-3(x2+4x +3) x -1____ <0 --------- ( x ; i ) ( x +3)(xT 2 ) (x +1)( x +3)(x +2) ---------------------------------CAPITU¡ * t » EDUARDO ESPIN02A RAMOS ................................................................................................................................. Puntos críticos: x =± 1, x =-3, x =-2 ^ -a — y - r - A A — V + -3 -2 -1 1 Conjunto solución: x e <-3,-2>^ <-1,1> ® 5 il- 2 < J= í 1—X X x+1 2 1 - x _ x +1 _ o_ l z x ^ n=>xg+x-2x(1 - x )- (1 -xJ- < 0 , opeando 1—x X 1-X X X(1 x) x2+x-2x+2x2-1+2x-x2 . 2x n x - 1 . n j .(^-|-1)(2x-.l) > 0 --------< 0~ x(1-x) X(x-1) Puntos críticos: x=-l; x =-; x =0; x =l -1 0 i 1 2 x e ^ - l M O ^ M l + o o ) + www.solucionarios.net www.edukperu.cort! www.solucionarlos,net x 2+ 8 x +24 _ O - ^ £8 x2+8x+24 xa+8x+24 x2+8x +24-8x-16 _ x+2 a8 --- =“ --------- J7 i------ ° simplificando xz+8 „ i ---— >0 como x‘ +8 >0, V x e R, simplificamos --- >0 x+ - x+2 CAPITULO I .................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © © -2 x e <-2,+oc> x-2 2x-3 x+2 ~ 4x-1 j H S i l ü E x ^ > 2 x - 3 X ;2 _2 x -3 (x-2)(4x-l)-(x +2)(2x-3), „ x+2 4x-1 x+2 4x-1 (x +2)(4x —1) 4x*-9x +2-2x2-x +6 >0 x2-5x +4 (*-4)(x-1) . (x +2)(4x-1) (x +2)(4x-1)(x+ 2)(4x-1) Puntos críticos: x=4; x=1; x =-2¡ x =- 4 A /- - 2 1 1 4 4 Conjunto solución: xe(-<x>,-2)u^,1 u[4,+x>) 6 3 7 n <0 x-1 x+1 x+2 . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I. . . SOLUCION www.solucionarlos,net
  • 57. www.solucionarios.net y, EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO | O h 3 7 6 (x +1)(x +2)-3(x+1)(x +2)-7(x +1)(x +2) — í i r ^ <0 * ------ ( íT T ) ( í7 í) ( J T 2 r <o —4x" +15x+25 (xT 1K ; ; , K xT 2 )<0 ** (x-1)(x +1)(x+2) " U = (x-1)(x+1)(x+2) 4x2-15x-25 o (x-5)(4x +5) Puntos críticos: x =5; x =±1; x - -2; x - ^ N/~ Conjunto solución: x s /-2,-¿ju(-U)U(5,°°) x4+3x3-6xg-28X-24 <0 40 +(x - 1 )(x - 3 )(x +4)(x +6) Desarrollamos el denominador haciendo (x - 1)(x +4 )(x - 3 )(x +6) +40 = (x2+3x - 4)(x a +3x-18)+40 Hacemos u =x2+3x-4 => de donde u( u —14) +40 = x =u2-14U +40 = (u - 1 0 )(u - 4 ) = (x2+3X-4 —10)(x2+3x—18-4) = (x2+3x-14)(x2+3x-22) Factorizando el numerador 1 3 -6 -25 -24 -2 -2 16 -24 -2 1 1 -8 -12 0 -2 2 12 -2 1 -1 -6 0 www.solucionarios.netJMMJl www eduKperu com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x +2)(x +2)(x* -x-6) (xi +3x-14)(xi +3x-22) (x +2)‘í(x-3)(x +2) (x +2)'(x-3)(x +2) H i - : - <0 3 ) 65 x+— --- 2 4 3) 97 x+ 2 4 <0 (x +2)'(x-3) 3 765 ' 3 V65 x+---- 2 2 x+- + 2 2 y . ( 3 v/97 r 3 n/97 x+ + 2 2 < 0 Puntos críticos: X =-2¡ X =3; X = - l ; X = — — x = - l ^ Z © y:-3 - ,§7 -3 - n/65 -2 2 2 -3-sÍ97 /-3-n/65 -1 -3 + .65 3x x* - x-6 >1 3x x -x-6 •-1>0 3x-x'-x -6 . -x2+2x -6 . -----5--------1“ >0 ^ ------------- 7 - >0x - x -6 x* —x—6 x* —2x—6 (x-3)(x +2) < 0 Como x--2x->-6 >0 V x e R. simplificando se tiene: 1 (x-3)(x +2) >0. Puntos críticos: x =3; x =-2 V -2 - www.solucionarios.net
  • 58. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................ x e <-2,3> CAPITULO I O 7 | 30 , 7 x-4 x+2 x+i . 7 30 7 7 (x +2)-*-30(x-4) 7 _ <ñ 7 T i +7 T 2 S x+1 ^ (x-4)(x+2) x+1 (7x +14+30x-120)(x +1)-7(x +2)(x-4) (x-4)(x +2)(x +1) |37x-106)(x +1)-7(xs -2x-8)^n _ 30xg-45x +50 ----- (x - 4)(x +2)(7 7 i) - ° (x-4)(x +2)(x +l) 6x: -9x +10 cr} (x —4)(x+2)(x +l) ” ________ 1________ Como 6x2-9x +10>0, V x e R, entonces simplificamos (x_ 4)(x+2)(x +1) <0 / + / 1 VI © -2 -1 x € <-%,-2> <-l,4> —í— +—^— <2 x-2 x+4 1 7 1 7 x + 4+7(x-2)-2(x-2)(x +4 ) ^ 7 ^ +7 T Í <2 * 7 ^ +^ ' 2 (x-2)(x +4) x*4+7x-14-2(x! +2x-8) n _ -2x8+4x +6 (x —2)(x +4) <(x —2)(x +4) i ____ —--------____________________________________ f "----i------------- ■ £ www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO 1 EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2-2x-3 (x-2)(x +4) < 0 (x 3 )(x + 0 (x-2)(x +4) < 0 V + V : V + -4 x e <-4,-1>u<2,3> © 3x'+7x-6 3x +16x-12 — 5------ >— ó-------- x‘ -x-6 x‘ -4x-12 3x2+7*.-6 3xg+16x-12 x2- x-6 x2-4x -12 > 0 (3x-2)(x +3) (3x-2)(x +6) (x-3)(x +2) (x-6)(x +2) > 0 3x-2 x+2 x+3 x+6 x-3 x-6 > 0 (3x —2) (x+2) -6(x+ 1) (x-3)(x-6) > 0 (3x-2)(x +1) (x +2)(x-3)(x-6) < 0 V ~ T “ V “ -1 V 6 © 0 x-2 x-3 2----->---- x—1 x-2 ... x e (_Q¿>_2>u ^-1,0w(3,6) 0 x - 2 x - 3 2 ( x - 1 ) - ( x - 2 ) x - 3 2---- >---- => —i--- — ----->--- x -1 x - 2 x —1 x - 2 _><___x - 3 ; Q _ x(x-2)-(x-3)(x- I) o x—1 x-2 (x-1)(x-2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 59. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO | (2-2x-xJ +4x-3 (x-1)(x-2) > 0 2x -3 (x-l)(x -2 ) > 0 2x 2x2+7x +5 x'+6x +5 2x 2x 2x2+7x +5 > x2+6x +5 2x**+7x+'5 x’ +6x+5 > 0 2x______________ ___________ _ >0 => -- : (2x +5)(x +l) (x +5)(x +1) x+1 1 2x +5 x+5 > 0 Q x 2x +10-2x-5 (2x +5)(x +5) > 0 5x (x +l)(2x +5)(x +5) > 0 -5 x e (-qo,-5 ) +co) x2+10x+16 x-1 >16 x2+10x +16 _ x2+10x+16-10x +10^n x-1 X ' 1 www.solucionarlos,netCAI i irm w ARin ANÁLISIS MATEMÁTICO I w w * ediikperu con*t www.solucionarlos,net CAPITULO I (---1~--- ------------------------- .............I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x2+26 x - 1 >° ' como x‘ +26>0, V x € R, entonces simplificamos —— >0 x-1 © X € < 1 ,+ o c > x2-3x +2 ~ r------->0 x* +3x +2 4 4 xi | > o => Í l - ’Mx - 2 ) > 0 x +3 +2 (x +l)(x +2) -2 -1 i 2 x e <-co,-2>u <-1,1] u (2,+oo> < D -^— +4 > x +10 x-2 ¿ +4>x +,0 => ^ - x - 6 > 0 =¿ M l > >0 x ¿ x-2 — X^ g X+l 2 > 0 - ^ ± ^ > 0=» Ü Z 3 < 0 x-2 . x-2 2 3 ■. X 6 <2,3> 3x2- 4 ------< x +6 x -6 WWW É*dti(..jie.r .--irn - — ■' ---- — - ~ l~T‘" íL ' * ~ I |¡- ■ > ~ l i l WWW.SOlucinnarin.<tn%Í T AWu ANAL,S,S mat™ a t,co i m
  • 60. www.solucionarlos,net 3xg- 4-<;x+b o 2í- = i- (X- 6 ) £ 0 x-6 x-6 3x2-4-(x2-36) 3x*-4-x2-f36.,„ = 2x^+32s0 -----¡T= 6 * x- 6 x- 6 ---------------------------------- - c a p it wO i » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................................................................... 1 como 2x2+32 >0, V x £ R entonces simplificando se tiene: — _ u CD 1+-r-rSs0x +4x +3 6 x e <-oo,6> 1-8x n ^ xa+4x+4+1^8x x2+4x+3 x2+4x+3 2 x2—4x +4 2)^a ---1 ^ < 0 r> V oW ~T-° x2+4x +3 (x +3)(x +1) V Z Z Z ^ Z Z Z ^ - -3 -1 2 x e <-3,-1>u {2} 112 www.solucionarlos,net www.edjk.per'j.ct'm www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « INECUACIONES EXPONENCIALES IV. Resolver las siguientes inecuacines 4x-3 3x^2 J 0,5 2 >0,0625 5 4x-3 3x-2 4x-3 3x-2 0,5 2 >0,0625 5 3x-S 1 Y"5 v16 T 2> 4x-3 4<3*-2) 2 M Y 5 4x-3 12x-8 >I - => ---- <------ => 20x-15<24x-16 2 2 5 4x >1 => x >— => x e (—,oo 4 4 27 <9 27**1 <Qx-*3 ^ 3 3(X-D < 3 2(x+3) 3(X_ I) <2(x +3) 3x-3<2x +6 => x<9 => xe(-oo,9) Oy• 1 Oy_* ^ (0,2) s <(0,0016)^ 2x4-1 2x-2 2x-2 f O o f2x->l 2x-2 f Oj (0,2) * <(0,0016) 5 => | — I < 10000 2x*l 2x-2 M 1' 1625 2x*1 <{l 2x +1 8x-8 ---- >----- I0x +5>16x-16 7 / 7 21 >6x => 21 >6x => x <— => x e(-oo,- 22 WV.-V -J>36'.: con SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 61. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J 25x*8 <16x+5 jB L L L f 1!!! í i M f 2&x+8<|£x+5 2:>**6<24'X451 => 5x +8<4x +20 x <12 => xe (-qo,12) 32*-33<2 >^32x+.yx-2» Í. 1IIM 0Í] i5x-1 32x'33 35,-1 >V ) -4x +2>2x2 +x-3x-2 =>2x5 +x-4<0, completamos cuadrados x’ +| - 2 < 0 =» (x + lj - ¡ ^ - 2 < 0=» [ x+4 ) '1 6 <0 x+---. 4 4 x + - + ^ — l < 0 4 4 1 ->/33 -l+/33 " X - 4 -1-V33 -1+V33' xe ' 0 [(0,5)" .(0,5)"] 6,125 8V "" "• -'»SU CAPITULO I mj www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I ......................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x4-3x*»6xs-18 8 2 3x4 x4-3x! -18 <491 i 3x4-3 -2x4*3x!-2I <49 =7! -2x’ +3x2-21 <2 =í> 2x4-3x~+23 >O, V x e R . La respuesta es x € R g M > 9 .3 > 9’~ 9 .3 => 32(’‘-')S>93-x.x-33-I 32(x-I)’ > 3 ^ , . 2 2(x-1)‘ >-4x-2 => 2x2-4x +2 >-4x-2 => 2x2+4>0, xe'.H V x e R ^ <^322~5 jg g ^ ¡S ¡¡¡¡¡¡g g x^gTTT ^ x-^322’1*5 ^ 2 ^<32^x_l ' 9 <. +25 x+1 x-1 3x +9 10x+25 ^ (3x +9)(x-l)-(l0x +25)(x +l) x+1 x-1<^ (x +1)(x—1) 3x2+9x -3x -9-10x2-10x -25x - 25 (x +l)(x - l) < 0 -7x2 -29x-34 7x2 +29x +34 (x +1)(x—l) < ^ (x+ l)(x -l) Como 7x2+29x +34 >0, V xeR, simplificando se tiene: (x +1)(x —l) > 0 V 1 V - 1 v/vt'wed.jfrva-. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 62. www.solucionarios.net ___________ _________ _________ ___________V CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j S' x e <-oc,-1>U <1 ,+®> A s¡27^ < (x+1) (x-3) O 2 , „ x => 33 2 <32 3 => -(x +1)^ -(x-3 ) 21 9 ( x + 1 ) < 4 ( x - 3 ) = > 9 x + 9 < 4 x + 12 => 5 x 5 - 2 1 - 2 1 => x < g x * - | =* $ jg g g iT Q Q a e f JÓ F * < J2 4 3^ => 34<x+,^<35<x",0> => 4(x +15) <5(x-10) 4x+60<5x-50 => 110<x => xe<110,+®> © 2561' t L >2"<«! .8j,*'.256s"' , o.* - 3(x-2)a i'S ,3x-l 256SX i > 2 ^ ^ .8 - ,.256^“ ' =» ( í ) * >2"' .(2’) .(2*) -2)* > *J<í,“'>*<0l,S'“) => 12(x-2)2>9(x2-9)2+9x +3+40x2-640>4(3Xx- 12x! -48x +48>9x* -162 +729+9x+3 +40x! -640 105±n/4513 37x2-105X +44 <0. Puntos críticos x- — 1 ____ ^ _ _ _ _ — WWW.SdokpQCU.COTTi solucionawww.solüCÍÓfiarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © o 729x?.243x 243xb.275x-<> 812x > 274x _ _ _ _ _ 729xz.243x 243x6.275x-* 36x’.35x 35<‘33<5*-6> g 'j íx ^ 274x 3^(2*) ^ 03(4x) 3 6x*+5x-8x > 3 ( ) 30..5x-t8-12x ^ 6 X 2 + 5 X ~ 8 X > 1 2 + 3 x 6x2 -6x-12>0 => x2-x-2>0 => (x-2Xx +l)> 0. Puntos críticos x =-1; x =2 -1 2 x e ( - o o f- l ) u ( 2 f-oof) ( P 3x*.32x>27 JB E 2S3E2MÍIf 3x+2x >33 =>x3+2x >3 =>x3+2x-3>0. Factorizando por Ruffinni (x -1)(x2+x +3)<0 => x-l< 0 => x<l => xe<-oo,l> Puesto que x2 +x+3 >0 , V x e R x-5 x-9 2 2 >8 3 ÍÍKESSMiSMf 2¥ >8T = 27 >2. - . J ! ^ x^ 2 x-5>2x-18 => 13>x => xe<-oc,13> vmw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 63. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................................................................... CAPITULO I 5x->3 I 2xTl Q (0.216) < >yj(0.36) o 5x»3 I 2^7 3(5x+3) 15x+9 2x +1 (0.216) * >y¡(0.36)o =>(0.6) 4>(0.6)«s, 131 / 131 225x+135 >8x+4 => 117x>-131 =>x>-— => x e ^ , ^ (42)x*-1 >(64)*1' , ,-5- J_ 10 3 10 3 „ ( 4 ° y - < >(64).- => (4! y->4«-> ^ — ^ ^ - ^ > 0 10-(3x +l) A _ 7-3x __ 3x-7 <Q (x —!)(x +l ) > ^ (x-l)(x +l) ^ (x-l)(x +l) 7Puntos críticos: x =-1, x = 1; x =- -i i z 3 0 [(0.3)(‘",Xx !)] K"3 >[(0.09)*1 J ? * [(0.3)<,-'x,-!>J ' 3>[(0.09),'-,>J ’''‘ => (0.3)l- '>t,-!Xx-3>>[(0.3),'-,>]"' ’ H T 7 * 1 s o lu c io n a r io a n á lis is m atem á tico I w m m m p m m www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (0.3)tx' 1Xx_2Xx_3>>(0.9)(xi' ' Xx''9) => (x-l)(x-2)(x-3)< 2(x2-4)(x2-9) 2(x-2)(x +2)(x-3)(x+3)-(x-!)(x-2)(x-3)>0 (x-2)(x-3)[2(x +2)(x +3)-x +l]> (x-2)(x-3)(2x2+I0x +12-x +l)>0 (x-2)(x-3)(2x2+9x +13)>0 => (x-2)(x-3)f x2+y +y l >0* x-2)(x-3)>0. Puntos críticos: x =2, x =3 ^ / = / ^ 2 3 x g (-oo,2)u (3,oo) $ ^ (0.00032)5x i < yj(0.2f? WWW edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 119
  • 64. www.solucionarios.net ft EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I <D gx-3 2»-2 -■ -'i)“«r■ # )’ 2x -3 £x -2 2(x -3) 2x - 2 , q _ 2(x -3Xx +2 )-(x +3)(2x -2) x+3 x+2 :+3 x+2 (x +3)(x +2) © 2x2-2x-12-(2x2+4x-6) ^ -6x-6 (x +3)(x +2) ' (x +3)(x +2) Puntos Críticos: x =-2, x =-3, x =-1 ¿0 => x+1 (x +3)(x +2) < 0 -3 -2 -1 x e <-oo,-3>u <-2,-1] ^ / o T Ü T ^ ^>¡0.0256^ Seasabe: 0.16 f 0.0256= - 0.004096 =1- <'/^/a0Ó4096 2^x-í sVxTb 2X1%^ ( 2X3**^ 2^ í b'JxZb 2 ( 2J**' x- 1 2-v/x-T +5>/x+6 >7 www.solucionarios.net www^edukperu.coi www.solucionarios.net CAPITULO I .CEDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2(x-l) +5^(x +6)(x - l) >14 => 5>/x'; +5x-6 >16-2x 25(x2+5x-6)>256-64x +4x2 => 21x2+189x-406 >0 25(x2+5x-6)>256 - 64x+4x2 => 21x2+189x-406 >0 D , r v. -27-5^27 5^7-27 Puntos Críticos: x =----- -— ; x =— ----- A T ~ ~ V •27 - S¡27 5/27-27 -27-5>/27 /5n/27-27 ' x e ( -00,----:----)u ( —------ ,+00 ( j ) x-^(0.08)x"' 2:x-^(0.04)x *-fj(0.08)*~' >^(0.04 f 3 x-1 ^ 1 — / 1U 25 v25, 3x-3 2x+6 3x-3 2x +6 _ <---- =>-----------< 0 x - 8x+l5 x- 2 x—l (x-3)(x-5) (x —2)(x —1) x- 2 x- 1 < 0 (x - 2)(x - l) =0. Los puntos críticos son: x = 1; x =2; x =3; x =5 v 1 v * v : 1 2 3 5 x e <1,2>u [3,5] www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 65. www.solucionarios.net » rnUARPO ESPINOZA RAMOS ) .......................................... j K i i ü U I i ü W 2x-l '• jc Ó M f* a => (0-04)«*3 2(0.2) - CAPITULO I de donde (0.2) x*3¡ Z (02) x+3 2 (2x - l) ' 2x- 1 <q ^ 2x(2x - l H 2* - lX x+! L n x x(x +3) x+3 x 4x~-2x -2x -5x +3 ^ q ^s¡mp|jfjcando x(x +3) 2 x^ 7 x+3 s 0 ^ (2x-1)( ^ 3 ) ¿ 0 x(x +3) x(x +3) o XG <-3,0>U i-3 x+3 , iííi21 lül ~¡¡Z => (0.2r x"2 >(0.2 ) x' 5(0.0016)x*2>(0.2) 4| í ± D < í p Í => 4 Í ^ ~ < 0 x-2J x-5 4 ( x , 3 K x - » ) - ( ! ^ í a < 0 ^ ^ ^ < 0 (x+2)(x - 5) (x +2 )(x ) www.solucionarios.net wwwedukperu. www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « -17X-62 . 17x+62 < 0 => ---- —--- - > 0 (x +2)(x-5) (x +2)(x-5) 62 -2 *17 x e ^ , - 2 ^ ( 5 , +co) ^ >>-^22x jgEESffliEMt x-5 x+1 2 x -8 2x A (2 x - 8 )( x + 1 )- 2 x ( x +5) --------- > 0 => ---- ^ — - j -----------e-- > 0 x-5 x+1 (x —5)(x +1) 2x2- 8x+2x-8-2x2+10x 4x-8x-2 (x —5)(x +1) “ (x —5)(x +1) — ^ (x —5)(x +1) —° Puntos Criticos: x =-l, x =2, x =5 1 V + V 1 V + -1 2 '1 5 x g <-l,2] O <5,+oo> ^(0.01 f ‘ S ^ ( 0.1 f -3 j b e s m m b í í z ? íx -3 2 [ í r l ) 2*-3 O y - ^ (0.01)**1 <(0.1 ) x*3 => (0.1)l)t+,j <(0.1 ) x*3 => 2 — - { x+1J x+3 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 66. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ....................................... o<«-9 Ov-T 2 (x - 2 )(x +3 j- (2 x 2 Í)fc il> o => t--- 0 => -A------ ( ^ 0 ( 7 7 3 ) (x +1)(x +3) CAPITUuO I x - 3 ;>0 x+1 x+3 V •3 -1 : x e <-3,-1>^ 13i+co> ^ x+^(0.04)2*~^>>/(0^2)2x ' J g g i 2 jg 2 ¡ H f ________ ___________2 (2x - l) 2x-l 2 (2x ^(0.04)2^ > # - 2 ; P => " ^ J " < x x+3 x (2x-1)(x-j) , n x(x +3) x e < - 3 ,0 > u (- ,3 ¿ O j _y r if % r ir í-l 250J V5J l 5J ^625 x*-3x i Y O v4x’ +1 y +2 n n 4(*»-3k) /-!> ■I 1 * 1—^ I I .1 UJ u ,4x*+1 / -j y ” ( 1 <| - x*2 5j U , 125J V5( 4x2+ 3 x + 1 s 4 x 2- l l x + 2 £ li wwwedukperij com SOLUCIO www.solucionarios,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « o o 14x >1 => x >— => xe 14 14 ,+ co) < * Y 9 19 x+2 2x-2 3 x-3 < 3 _ x+2 x+2 < 2x-2 x-3 x+2 x+2 2x-2 3x2-4x +10 A -- - +---—< 0 => --- — --- r ^ 0 x-3 x+2 (x-3)(x +2) Como Sx'-4x +10 >0 , V x e R, simplificamos (x-3)(x +2) <0 * 25 * X+* -2 x e <-2,3> ,2 ; ■ 2(*~3) 2x-2 ^ ^ x+3 ' 5 ' iW * 2(x-3) ^ 2x-2 2(x —3) 2(x-l) x+3 x+2 x+3 x+2 £0 (x-3)(x +2)-(x-1)(x +3) x! - x -6 -x! -2x +3 _ . -------------- 7-------ow------------------------- - ° =* --------- 7-------ttt-------^ --------- ° » simplificando (x +3)(x +2) (x +3)(x +2) -3x-3 >0 x+1 (x +3)(x +2) (x +3)(x +2) <0 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net I 25
  • 67. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) -2 x e <-oo,-3>^ <-2,-1] © O P --«3 2x+3 *ï±2 _ 2x+32x+3 ^ g n 2 <2 - => 2- * ! <2 «*' =» "íT+T ~xTT 25x+1 ^ 1 2x+3+(4x-2)(x +1 )' „ ^ 4 ¿ +4 x + l> 0 (2x+|L > 0 X +1 x+1 x+1 -i -O- 1 ^ ' 2 x e CAPITUI r> I 126 www.solucionarios.net f ' www edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « INECUACIONES CON RADICALES V. Resolver las siguientes inecuaciones F t 1 +Vx2- 2x - 4 >2 Vx2-2x -4 j M K r n «r,i ? M í Calculando el universo donde debe estar la solución: x2 - 2x- 4 >O x2-2x +1>5 => (x-1)2>5 => x-l>>/5 v x-l<-VÍ5 => x>l +V5 v x<l-V5 xe(-<o,l->/5)u(l+>/5, +00^ Ahora desarrollamos 7 xg-2x-4- 2 +-=-i- 1 > 0 >/x2 -2x-4 / _________ 1 * Vx2-2x-4— . > 0 => Vx2- 9y - 4 ^> --- < >/x2 -2x-4 J Vx2-2x-4 (x2-2x-4)>1 => x2-2x-4>1 v x2 -2x-4 <-1 x2 -2x +1>6 v x2-2x +1<4 (x—1)2 > 6 v (x - lf <4 (x-1 >>/6 v x—1<—n/6j v- 2 < x - l< 2 (x>1 +>/6 v x <1—>/6^ v -l< x< 3 1 - s f ë -1 3 1 + [6 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net |
  • 68. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) xe 1,3)u^l +>/6,+oc^, y lasolucion es: x e ^-oo,1-V5^u^1 +75,-hx>^|n^-oo, 1 -*s/6^vj(-l,3)^l +V6,+<x^) /. xe^-^o,l-V6 ^ ^ 1+>/6,+oo^ ^ 7x +5 +Vx<5 Calculando el universo donde esta la solución: x +5 £ 0 a x > 0 = > x > - 5 a x > 0 x e [0,+<x» Vx+5 <5 - Vx , elevando al cuadrado x+5<25-10Vx +x => 10>/x<20 => >/x <2 => x <4 Luego la solución es: x e [0,+<x» n <-oo,4>=[0,4> x e [0,4> D Vx +V2^ T + >Jx - ' J 2x-l <>/2 ■ r r w w r Elevamos al cuadrado ambos miembros |Vx +>/2x-T+Vx->/2x-l j <2 a 2x-l£0 x+>/2x-l +2^x +>/2x-lj(x-^2x-lj +x- V2x-1 <2 a x £ ^ 2-^x2-2x +l <2-2x a x - ~ => ^(x-1)2 <1—x a x £ ^ CAPITi(Lr> I Í SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X —1 < —X A X > - 2 X < 1 A X > - 2 xe n/x -9</x +118S>0 r“ r* /— QV Oí yJx-9/x +118>O Completamos cuadrados:> / x - - ----- + 118>0 391 + — > O a x > O = > x > O =s> x e [0 ,o o ) x+2 <Vx3 + 8 x + 2 < V x 3 + 8 = > ( x + 2 ) 3 < x 3 + 8 = > x 3 + 6 x 2 + 1 2 x + 8 < x 3 + 8 6 x 2 + 1 2 x < 0 = > x ( x + 2 ) < 0 -2 xe (-2,0) >/x-4 ->/8 -x >1 •Jx-4 -yj8-x £ 1 => X-4 >|l +>/8-X j A X >4 A 8 >X x- 4 > 1+ 2y/8- x + 8- x A 4<x<8 => 2x-13>2%/8-x a 4<x^8 (2x-13)2>4 (8 -x ).a 4<x <8 => 4x2-52x +169 >32-4x a 4^x<8 4xJ -48x +137^0 a 4<x^8 => x2-12x+ — £0 a 4^x<8 4 w w í edukperu com www.solucionarios.net SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 69. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (x_6)2-36 + ^ £ 0 a 4 <x <8 =>(x-6)2-^>0 a 4<x<S8 12 —>/7 4,- 4 12+V7 ,8 >/x2 - 1 <>!*.+1 >/x2 - 1 <>/x+l n/2x -9< 3-x . x2—1<x+1 A x+ 1^0 A x2-1 >0 x2- x - 2 <0 A X +1^0 A (x~l)(x +l) >0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) < 0 A x>-l A (x -l)(x +l)>0 xe[l,2) V2X-9 <3-x => 2x-9<(3-x)2 a 2x-9>0 a3 - x > 0 2x-9£9-6x +x2 => 2x>9 a x£3 Pero 2x>9 a x<3 >/9x - x 2- 8 ( x 2- 8 x +12) >/x >/9x-x2- 8 (x2 - 8x+1 2) ^ 0 n x >0 n 9x-x2- 8>0 x>0 n x2-9x +8<0 x2-8x +12<0 x > 0 n ( x - 8 )(x - 1)<0 n (x - 6 )(x - 2 )> 0 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTJCO I www.solucionarlos,net CAPITULO I * --------- —*■/ www.edukperu.corp • xe[2,6]U[l,8] www.solucionarios.net CAPITULOI ............................................................. f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © o © o (x-4)Vx2-2x +2 x + 2 x-4<0 n x'-2x +2>0 Puesto que x2+2 es siempre positiva x<4 n (x-1)2-l +2>0 => x<4 n (x - l)‘ +l>0 x<4 puesto que (x - l)2 +1 es siempre positiva xe(-00,4] Vx2-Lx-15 £x +1 Vx2-2x-15 >x+1 => x2-2x - 15>0 n x2-2x-15>(x +l ) 2 (x +3)(x-5)>0 n x2-2x-15>x2+2x +1 (x +3)(x-5)£0 n -2x-15£2x +l Luego xe(-oo,-4 ] 73x-6 >-n/4x-12 ÉffTrnf'fiy* W •* «I - - / V3x-6 >-V4x-12 3x-6>0 n 4x-12>12 => x > 2 n x>3 => x[3,oo) V5x-3 - Vx- 1 > 0 0<(ó-x)x www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I wwiv.solucionarios.net H
  • 70. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................. V5x—3- >/x—1>0 => yJbx-3 — Vx —1 o 5x- 3 >0 o x - U 0 •5x-3> x-1 n 5x>3 n x2>1 4x>2 n x>l => x>l => xe[l,co) O VVx-4 - Vx X—1 V^x-4-Vx X—1 >0 o x >0 >/x-4-x x—1 £ 0 n x >0 :-(x +4)J x—1 x—1 x- x3- 12x2 - 48x-64 Q n x ^ 0 ^ x3 +12x +47x +64 ^ Q n x > 0 X—1 X~1 /. x e [64,+ qo> y/x2 -6X->/x 8 - x >0 n x- 1 0 <0 x2- 6x- x x(x-6)£0 n x >0 o x_-— n x<10 x(x-7) x(x-6)>0 n x>0 n ° x<1° www.solucionarlos,net www.edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o x e (<-qo,0] u [7,.8>) n <-oo,10> Vx-3 +V6-x <Vx +1 x e <-oo,0] u [7,8> x-3 >0 n 6- x >0 n x+l>0 n (Vx-3 +>/6 -x) >x +l x >3 o x- 6 n x >-1 n x-3 +2>/x-3>/6-x +6 -x <x+1 3<x<6 n 2yjx-3yjb-x <x-2' 3<x<6 n 4(x-3)(6-x)<(x-2)2 3<x<6 o 4(6x-18-x2+3x)<xs-4x +4 3<x<6 r> 36x-72-4x2<x2-4x +4 => 3£x<6 n 5x2-40x +76>0 3<x<6 n x2-8x +— >0 => 3<x£6 n (x-4)2-16 +— >0 5 5 3 < x <6 n ( x - 4 ) - - >0 => 3 < x <6 n x-4— -= s x-4 +-^= s/5 > 0 x e Vx-1 +>/x-3 >>/x+1 Vx-1 +>/x-3 >>/x+l x-1 >0 n x-3 >0 n x+1>0 n (>/x-l +Vx-3) <x +l x>l o x£3 o x >-1 n x-1 +2 Vx-3Vx-l +x-3<x +l www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 71. www.solucionarios.net x>3 n 2 ylx-3Jx-' <5-x x>3 n (4x2-4x +3)<(5-x)' x£3 n 4x2- I 6x +12<25-l0x+x‘ » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................... CAPmJLO I 13 x >3 n 3x2-6x-13<0 => x>3 n x2- 2x -— <0 x >3 n <0 x e n/n/x -3 +^6-7x _ , r, xso V n/x +1 ( V 7 ^ 3 W 6 - ^ ) 2<(VVx +lj n x> 0 n V ^ 3 > 0 n 6 - V x > 0 j x ^ +2y[j^ 3 s¡y¡x^ 3 ¡t-jx +6 ->/x ^VjTTÍ n x >0 n x £ 9 n x < 3 6 ______________ c j i . 3 +2^(>/x-3)(6-Vx)<Vx +T n x>0 n x>9 r> x<36 2./f7x-3)(6-x) <Vx-2 n 9 <x <36 4|>/6Vx-18-x +3VxJ2<(Vx^2)2 n 9<x <36 , ,______________ _______ 4(9>/x-18-xj£x-4>/x +4 n 9<x<36 ____ 36n/x -72-4x <x -4n/x +4 n 9<x£36 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I .................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 5x+76>40Vx n 9<x<36 => (5x +76)2>1600x n 9<x^36 25x2+760x +5776£ 1600x n 9<x^36 25x2- 840x+5776>0 n 9 <x <36 Puntos críticos: x=840 ±^ ~4^ X5776) 84± W s 2(25) Conjunto Solución xe 9, 16>/5 >/4->/l-x->/2-x>0 l-x> 0 n 4-VToc>0 n 2-x>0 n x <1 n 4 >Vi-x o x<2 n 4->/l-x >2-x x<l n 16^1-x n (2 +x)2>l-x n 2+x^0 x <1 ri x >-15 n x>-2 r> 4+4x +x2>1- x - 2 < x < 1 n x 2+5x +3£0 => - 2 < x < 1 n lx +- l — +3>0 - 2 <x <1 5 X H-- V 2 y 2 13 — - >0 => - 2 <x <1 n 4 5 VÍ3 x+— -— 2 2 5 >/Í3 x+-+-— 2 2 x e -2, VÍ3-5 www edukpenj.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 72. V. EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................. www.solucionarios.net C /'r'<TUtX> I x2 _14x +13^0 n x-3<0 n x2 - !4x+13>(x-3) (x - 1 3 )(x - !)> 0 o x <3 n x2-14x +13> x2 - 6x+9 (x - 1 3 )(x - 1 )> 0 o (x<3 o 4>8x) => ( x - 1 3)(x -1) S 0 o (x <3 n x ^ xel-co,- O >/x2+3x +4 >q <2 + 3x + 4 £ 0 o x2- 4 a 0 = > j^x+ l j -^ + 420 o x‘ >4 3 t +I a0 o - 2 > x S 2 xe<-c,-2] u [ 2, CO > X+ 2 J 4 0 y¡2-x<,l2-4x +n/6- 9x _________ _ jEjüO H af 5>/2-4x +>/6-9x 1 2 1 2-X20 n 2 - 4 x s 0 n 6 - 9 i0 =* xS2 n x< - n x< - =» x<- www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « >Jb25-x" yjx' -4(x +4)s(x2-1j x1 - 2xr-x +2 < 0 625- x2 >0 n x - 625 <0 n < 0 J K S S B Í (x¿ -4)(x +4)8(x'J -l) x(x2- l)- 2 (x2- l) (x2-4)(x +4)8(x2 -i) (x’ - l)(x - 2 ) 50 (x-2)(x+2)(x +4)8(x2 - i) (x -25)(x +25) <0 n ---- --- — V---------- '-<0 n x*±1 (x-25)(x +25)<0 n (x +2)(x-l)(x +l)<0 n x ±1; x*-2 De donde: x e [-25,-2] u <-!,!> u {25} « . l i m i . » -=J--- fVx+l)>0 =>- ¡J--- ÍVx +l)>0 n x>0 Vx- 1 v ' V x- 1 v ’ 1—(X —l) 9 —v y —2 v ; > 0 n x £ 0 => —f=— > 0 n x > 0 = > — < 0n x > 0 Vx- 1 x — 1 I t xe<l,2 > SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 73. www.solucionarios.net y>EDUARDO ESP1N0ZA RAMOS ) CAPITULO I ® íx +6 íx +2 r r ' f c í ____________ !EI<IEHnííí>0A^0V x Vx-1 X X^T X x-1 X x-l x x-1 X X-1 (x +6)(x -l)-x (x +2 ) „ ^ x+6 a 0 n x+2 a 0 x (x - l) X X-1 x ! ± 5 x ± o ^ X± 6 i ± i i O = - £ ^ < 0 * ^ T * ° n 7 ^ ' ° x(x-l) X x-1 x(x-1) X X-1 X€<-QO,-6]u < 1,2 > Vx2-3x-4 >/2T->/x2-4 _____ a m iffiw x2-3x-4 £ 0 o x2 -4 >0 r 1. -- *0 >/21- vx -4 (x +l)(x - 4 ) > 0 o (x - 2)(x +2 ) > 0 o — L - ^ ; > 0 (x +l)(x - 4 )*0 r» (x -2)(x +2)>0 n ^ 7 ^ ° (x +l)(x - 4 )a0 o (x-2)(x +2)>0 o (x _ 5)(x +5) x e< -5,-2] v j[4,5 > i SOLUCIONARIO ANÁLISIS.MATEM4TICO I . www.solucionarlos,net www.edukperu. www.solucionarios.net CAPITULO l_...................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS <( O) l' J x 2 -4x-5 4 - Jx 2-9 >x-6 x2-4x-5 >0 n x2- 9 >0 n > 0 o x- 6 < 0 4-/x2-9 © (x+1)(x 5)>0 n (x-3)(x+3)>0 n ---- --- ^0 n x < 6 16-x* +9 (x +l)(x - 5 )>0 n (x-3)(x +3)>0 n - — - ^ 0 n x <6 (x +1)(x-5)>0 n (x-3)(x +3)>0 n 1 (x-5)(x +5) <0 n x <6 x € <-5,-3] u {5} >/x2-x +1<V4-x ^ esmsmI— ^ Vx2-x +l<V4-x => x2-x +1<4-x r x2-x +l>0 n 4-x>0 x* - 3 < 0 n | x—1 ) -- +1 > 0 n x < 4 2) 4 (x-V5)( x+V3)<0 n ' 1 f 3 . X-- +- £ 0 n x <4 2 1 4 -V3 V3 x e ^-^3, >/3^n^-oo,4] =^->/3 ,>/3 ^ www.edukperu.com WWW.solucionarioiffltARI0ANAL,SISMATEMÁTIC01
  • 74. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITULO I Q >/x2 + 3 + V 3 x - 2 - n/2x + 5 ^ > / 3 x _ 2 2x +3¡>0 n 3x -2 >0 n 2x+5>0 n 3x~ 3 O (V2xT3 W 3 x - 2 )2 < (^ x + V 2x+5) 2x+3+2yj2x+37 3 ^ 2 +3x- 2<3x+2,/3x(2x+5) +2x 2>/6x2 +5x+6 <2>/6x2+15x+4 6x2 +5x+6 <;6x2 +6x+8V6x2 + 15x+4 =* 2x <; 8>/6x2+15x 4 - 4 x + x2 <64(6x2+15x) => 383x2+ 964X-4 <;0 x = -964 ± J964s+16( 383) -964 ± 48>/4Ó6 ~ 2(383) 2(383) x = -482 ±24^406 383 Vx- 1 +Vx- 2 Va-x2-Vx x- 1 £ 0 o x-2 >0 o x^O o a- x2£ 0>/a- x2- >/x >0 x > i n x > 2 o x> 0 n x2< a < 0 n a - x 2£x x>2 o (x-Vá](x +Vá)^0 o x‘ +x-<0 x e sotucoNAR^soluciónanos,net www.edukperu.cocs í www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO I. Hallar los valores de x que satisfacen a las siguientes ecuaciones: I 2x +3 I +4 =5x |2x +3| +4 =5x => 12x+3| =5x-4,se debe cumplir 5x>4 de donde x> Luego (2x +3 =5x-4 u 2x+3 =4-5x) n (5x-4>0) => (7 =3x kj 7x =1) n 5x>4 7 1>l 7 . * 7x =- u x =-n x =>- => x =-. La respuesta es x =- 3 7) 5 3 3 13x—11=2x +5 Jtt^üSSSSM/ 13x—11=2x +5 => 13x—11=2x+5 (3x-l=2x +5 u 3x-l=-2x-5) n 2x +5>0 |m
  • 75. www.solucionarlos,net X>EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) X —1 =|x-4| x2 x2 . =x-4 v --- =4 - x x—1 x—1 x2 =(x-4Xx-1) v x2 =(4-x)(x-1) x2 =x2-5x +4 v x2 =-x2 +5x-4 5x =4 v 2x2-5x +4 =0 4 , „ 4 _ . _ c f4 x =— v 2 xeR => x =—. El C.S = ^- 5 55 x—1 x—1 x = í u —^—=—4 I n x >0 X —1 X x-1 (x2=4x-4 =0 y u x2 =-4x +4 =0) n x >0 (x2-4x +4 =0 < j x2+4x-4 =0) r> x>0 (x- 2 )2 = 0 u x = n x >0 => x =2; x =2>/2 - 2 C.S.={2,2n/2-2} 0 (x —4)2—2 |x —4|—15=0 ¿ « a [ ííHTf i, g y (x-4)2-2|x-4|-15*0 => |x-4f-2|x-4|-1.5 =0 (| x-41-5)(| x-41+3) =0 => |x—41—5 =0 solucionarmw^ófwmarios.net CAPITULO I ______________ y * www.solucionarios.net |x—41=5 => x-4 =5 u x-4 =-5 => x =9 u x =-l CAPITULO l ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © |2x +9| =x-l /. C.S. ={-1,9} |2x +9| =x-1 |2x +9| =x-1 => (2x +9 =x-1 u 2x +9 =-x +1 ) n x-1 £0 =>(x =-10 u 3x =-8) n x >1 => <f> |x2—3x—71=3 |x2—3x—71=3 => x2-3x-7 =3 u x*-3x-7 =-3 % => x2-3x-10 =0 u x2- 3x-4 =0 =>(x-5)(x +2)=0 vj (x-4)(x +l)=0 =>x=5 u x =-2 x =4 k j x =—1 /. C.S. = {-1 -2,4,5} x+8 x+4 x+8 x+4 =3 =3 n B i i i a r x+ 8 x+ 8 _ => --- =3 u ---- =-3 x+4 x+4 => x+8 =3x+12 u x+8 =-3x-12 => 2x =-4 4x =-20 => x =-2 kj x =5 www edufcpenrcon SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net w
  • 76. www.solucionarios.net C.S. ={-5,-2} ¿ S t |3x +l|=7-x |3x+1|=7-x => (3x+l= 7-x u 3x+1 =x-7) n 7-xaO ^ (4x =6 w 2x =-8) m X S 7 o [x =| w x =-4^ n x<7 _____________________ _____________________CAPITULO I » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ........ ....................... .................................................... cs-={-4'-!} ¿T ) |4-8x| =|x-|2x +l|| |4- 8x | = | x - | 2 x + 1|| « (4- 8 x = x - 1 2 x + 1 I) v (4- 8 x = 1 2 x + 1 I - x ) O I 2x + 1I =9x - 4 V I 2x +l l =4- 7x 4 o (2x + 1 =9x - 4 v 2x + 1=4 - 7x) a x >- 4 v (2x + 1 =4 - 7x v 2x + 1=7x - 4) a x < ^ <=> (7x =5 v 9x =3) a x >^ v (8x =3 v 5x =5) - 4 5 1 1 i <=> x =- v x =- v x - -, x - 1 . I5UPor lo tanto C.S. =^-,-| -------------- ----------------- -. — ------------------------------------ . -kper. *3r www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o |3x-5| +x-7 =0 ttr im w |3x-5| +x-7 =0 =t- (3x-5 =7-x u 3x-5 =x-7) r 7-x >0 => (4x =12 u 2=-2) n x <7 => x =3 kj x =-1 15x- 3 1=13x+51 15x-3| =|3x+5| C.S. {-1,3} 5x-3 =3x +5 u 5x-3 =-3x-5 e o 2x =8 u 8x=-2 => x =4 u x =— 4 ••• c .s .H - ? ,4 12x—6 1=14—5x | 12x—61=14—5x | m w 2x-6 =4-5x k j 2x-6 =-4 +5x 10 27x =10 u -3x =2 => x =— u x = — 7 3 |6x+3| =|l8 +x¡ 16x+3| =|18+x | 6x+3 =18+x u 6x+3=-18-x www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 77. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULOI 21=> 5x =15 'u 7x =-21 => x =3 u x - —- =-3 C.S. ={-3,3} 13x—1 1=15x—151 JMfcTiTnNMTHlf 13x—11=15x—151=> 3x-l =5x-15 o 3x-l = 15-5x => 2x =14 u 8x =16 x =7 u x =2 C.S. ={7,2} ¿ f r |5x +3| =3x-1 15x+3| =3x-l => (5x +3 =3x-l u 5x+3)-3x +1) o 3x-l >0 por definición => (2x =-4 u 8x=-2) o x>^ => |x =-2 u x =- | | n x>^ C.S. ~4> 0 11X2 - 1 1- X |=x 11x2—11—x| =x => (|x2—11—x =x u IX2 —11—x =—x) n x>0 => (| x2—1 1=2x u |x2- 1 1=0j n x > 0 => (x2 - 1 =2x x2 - 1 =-2x w x =±l) o x > 0 =>(x2 - 2x - 1 = 0 u xs+2x-1 = 0 u x =1 ) o x^O ____________ _______________________________________ ________________________________________________________________ cf. SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁJICO I . www.eduknsRIO ANÁLISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net S W W f i 1. ............................................................................................ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « *-2i£ Ü - *íM .8s,/5 ^ ¿ 2 2 9 ~ Luego: x = {l± ^ ,l} 0 |2x-3| +2 =|x-6 | o Valores críticos: x =- ; x =6 2 V.A. 2x-3 x- 6 {r*J) -2x +3 -x+ 6 [t's) m i ¿3 -x +6 [p/oo) 2x-3 x- 6 X e( _00' f ) ^ -2x +3 +2 =-x +6 => x =-l x e | , 6^ =s>2x-3 +2=-x +6 => 3x =7 => x =^ x e[ó,oo) => 2x—3+2 —x—6 => x =—5 e^6,+oc^ O El conjunto solución: CS =j -1,1 3x-11-1x+21=1 13x—1 1—I x+2 1=1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 147
  • 78. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................................................... CAPrOJLOl V.A. x+2 3x-l (-00,-2) -x- 2 -3x +1 °fi____i x+2 -3x +l i—■i <j0i—* ^8^ x+2 3x-l Luego: xe(—oo,—2) => —3x+1—(x—2) =1 => —2x ——2 => x —1é(—co, 2) xe x e •3x+1 -(x +2) =1 => -4x =2 => x =- —e 3x - l-(x +í) =1 => 2x =4 => x =2 e 1-,+00 3 Conjunto Solución CS =- -, 2 ( Q |x-4 f-5 |x-4| +6 =0 IX — 4 |2 —5| x—4| +6 =0 Si hacemos u=| x-41 u2- 5u+6 =0 => (u-3)(u-2) =0 => u=3 v u =2 Luego-. |x—41=3 v |x—41=2 => x-4 =3 v x-4 =-3 v x-4 =2 v x-4 =-2 => x =7 v x =1 v x =6 v x =2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu.com- www.solucionarios.net CAPITULO I El conjunto solución: CS. ={1,2,o,7} ^ 2|x2-2|+5 =6|2x2- 3 1 2i x2-2 +5 =6 2x2-3 Si hacemos u=x2 2¡ u-21 +5 =6|2u-31 EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Valores críticos: u =-¡ u =2 2 Luego: x e V.A. 2u-3 u- 2 -2u +3 -u +2 &■) 2u-3 -u +2 2u-3 u- 2 0,-) => 2(-u +2) +5 =6(-2u +3) => -2u +9 =-12u+18 x e 9 L 3 ^ 3 => u =— e (0,-) =>x =± -= 102/ Jñ -,2) => 2(-u +2) +5 =6(2u-3) => -2u +9 =12u-18 27 => U = -- € 14 2 L V 14 xe[2,+co) => 2(u-2)+5 =6(2u-3) => 2u+l=12u-18 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 79. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...................CAP'TULO I 19 r0 r=> u =— e 2,oo => x =± J— 10 L L V 10 3 Í27 ÍÍ9 I El conjunto solución: CS =j ±-^=-±y— ,±y— ^ 0 |6x+3| =|18+x| J E — T | 6 x +3| =|18+x | <=> 6 x +3=18 +x v 6 x +3 =-18-x <=> 5x + 15 v 7x =-21 x =3 v x =-3 C.S. ={-3,3} 0 3|| x+11-412-5|| x+11-4|=2 _____ j^ 22SÜ2H¡IW Factorizando 3||x +l|-4¡ -5||x+l|-4|=-2 =0 (3||x +l|-4| +l)(||x +1|-4|-2) =0 => ||x +l|-4 |- 2 «0 11x+11-4 |=2 o I x + 1I -4 =2 v I x +1I -4 =-2 I x +1 I =6 v lx + 1 1=2 (x +1 =6 v x +1 =-6) v (x + l= 2 v x+ l= -2) (x =5 v x =-7) v (x = 1 v x =-3) /. C.S. ={-7,-3,1,5} O |Ix|-3|” |3x+2| SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www eajKoeru.com .. www.solucionarios.net 9 * * ™ :° ........................................................................ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ||x|-3|=|3x+2| => |x |- 3=3x +2 v|x |- 3 =-3x-2 |x| =3x+5 v |x|=1—3x (x =3x+5 v -x =3x+5) v (x =1-3x v -x =1-3x) a 1-3x >0 (2x =-5) v 4x=-5 a x > - | v (4x =1 v 2x =1) a x<- 3 í 5 5 ^ 5 M X > -1 II X x =— < X II 1 1 A X > ----- V l 2 4J 3 L 4 2) A X < ,~ 3 x =4 v - El conjunto solución: CS = 4 4 I 4 4 ^ 11x+2 |- l|2 -5||x+2|-1|-6 =0 É m m v m M Factorizando: (| |x +2|-l| +l)(||x +2|-l|-6) =0 ♦ 11 x+2 | - 1 1 =6 <=> I x +2 I - 1 =6 v I x +2 1- 1 =-6 I x +2 I =7 v I x +2 I =-5 (x +2 =7 v x +2 =-7) v (x +2 =-5 v x +2 =5) (x =5 v x =-9) v (x =-7 v x =3) .-. C.S. =(-9,-7,3,5} ^ 12x—31—1 =|x—31 3 . Valores críticos: x =-; x =3 2 wwwedukpenj.com www.solucionarios°net0anAusisMATEMÁTIC0'
  • 80. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAP'TUL0 I V.A. 12x—3 x- 3 H ) -2x+3 -x +3 i h 2x-3 -x +3 [3/°o) 2x-3 x-3 Luego: . xe (ao,-) =>-2x +3-l =-x +3 => x =-l x e -,3; => 2x-3-l =-x +3 => x =^ 2 / 3 xe[3,oo) => 2x-3-1 =x-3 => x =1«é[3,oo) El conjunto solución: CS =-1 x2 -5x +15|-x2+ 8 =3x+9 x2-5x +15|-x2+8| =3x+9 [|x2-5x +15|-x2+8 =3x+9 n |x2-5x +15|-x2+8 =-3x-9] n 3x +9£0 |j x2-5x +15| =x2+3x +1 r> |x2-5x +15j =x2-3x-17j o x>-3 j[(x2-5x +15=x2+3x +l) u (x2-5x +15=-x2-3x-l)] r |[(x 2 -5x + 15 = x2- 3 x - 1 7 ) u ( x 2- 5 x +15 = - x 2+3x +17)] n x > - 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukpen.i.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ................. ............................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « | ( X =í j U (x2-x +8=0) n |[(x =16) u (x2-4x-l =0)]} o x>-3 De donde x =- ; x =16; x =— ^ =2í>/5 4 2 CS. =| I 16,2±>/5] |x+l |+2| x-2| =|x—81 TTHTITITIF Los punto? críticos de cada valor absoluto x =-1; x =2; x =8 V.A. X +l x- 2 X i 00 -x +l -x +2 -x +8 [-1,2) x+l -x+ 2 -x +8 [2,8) x+l x+2 -x +8 [8,+eo) X +1 x+2 x- 8 xe(-oo,-l) => -x -l +2(-x +2)-x +8 => -3x +3 =-x +8 => x =- | xe[-l,2) => x+1+2(-x +2) =-x+8 => 5=8 => noesposible^ xe[2,8) => x+l +2(x-2) =-x +8 => x =— 4 xe[8,+oo) => x+1+2(x-2) =x-8 => x =| Puesto que x e[8,+<x^ se descarta El Conjunto solución: CS = j www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I www.solucionarlos,net
  • 81. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j www.solucionarios.net CAP'-' 'LOI © 3|x+l|-2|x-2| =2x-l È Ê Ë X m X M W Ê Los puntos son x =-1; x =2 V.A. x+1 x- 2 (-co,-l) —x+1 -x +2 [ H 2) x+1 -x +2 [2,+co) x+1 x- 2 Luego en cada universo xe(-ao,-l) => 3(-x-l)-2(-x +2) =2x-l => 3x =6 => x =2 Puesto que este valor no pertenece a xe(-oo,-l) se descarta xe[-l,2) => 3 (x +1)- 2 (-x +2) =2x-l => x = 0 xe[2,oo) => 3(x +!)-2(x-2) =2x-l => x =8 El conjunto solución: C.S. ={0,8} 2||x-2|+2f-ll||x-5|+2|+12 =0 * Hacemos u =11x- 51+21 3 2u2 - llu +12 =0 =o (u-4)(2u-3)=0 => u =4; u =-, dedonde: ||x-5| +2|=4 u ||x-5| +2| =| |x-51 +2 =4 u |x —51-h2 =—4 u |x-5|+2 =| u |x-5|+2 =- | ____ ___________ -------------- — - — -S SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . ± www solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x—51=2 u |x +5| =-6 u Ix-51=-- u Ix-51 =— 1 2 1 1 2 II. O Puesto |x—51=2 => x-5 =2 u x-5 =-2 => x =7 u x =3 Hallar el valor de las siguientes expresiones. 112+5x|-12-4x 12 +5x I—12 —4x si xe(!,3) m p m rn * v m si xe(l,3) Por definición: 12+5x1 = 12l2+5x ; x>- — 5 —12—5x; x <- — 5 12 +4x I= 12-4x; x<3 4x—12; x >3 © Para x e(l,3) 12+5x| -| 12-4xI 12+5x-l2 +4x 9x X X X 10+7x |—!5x—101 o: 2x 10+7x I—15x—101 2x Si xe(0,l) si xe(0,l) Por definición 10+7x1 = 10+7x ; x >--- 10 5x—101= -10-7x; x <- 5x-10; x<2 10-5x; x>2 10 Para x.(0,l> => l'0^x|-|5x-l^ 10+7x-(10-5x) 12x 2x 2x 2x SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 155
  • 82. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j 0 I9x+8|-I2xlgjsi xe{1,2) |9x+8|= 9x +8 ; x >— 9 g -9x - 8 ; x <— 9 12x- 8 1= 2x- 4 ; x >4 4-2x; x <4 Para x«(1.2) ^ l g +8H * l i L * +8~8 +2x _ 11x . ' ' X 2x X 11 O |2x +3|-|3-x| s ¡x g (a l) l2* +3 |-|3-x| si x e(0,l) 3 2x +3 ; x>—- f |2x +3|=- 2 3 -2x-3; x <— 2 |3-x|-| x-3 ; x >3 3-x ; x <3 . . 12x+31—13—x| 2x+3-3+x 3x Para x e (1,2) => '■----- !—----1=---------- =— =3 © 16x +3| +2|2-3H s¡xe(2j3] BEOSSMMt/ Por definición de valor absoluto CAPITULO i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net ----------- +www edvjkpepj.c(j«r www.solucionarios.net CAPITULO l_.................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © O |6x+4 |= óx +4 ; x >— 2 -ÓX-4 ; x<-- 2 3x-2 ; x > 2-3x ; x < Luego en el intervalo dado: R=.^ ( 'f '*+2(3x 2) _ I2x _ ^ 12x 12x 16x+321- 418 - x I .. 1------L - J---- I Si x e(-3,-2) ■rrrmar|6x+321- 418 - x| oX Si X€(-3,-2) Por definición 16x+321= 6x+32 ; x>- — r 0 3 •Is—xI=jX’X<8-óx-32; x<- — ’ ' [8- x ; x >8 3 Para xs(-3,-2) => [6x+32|-4|8 -x| _ 6x+32-32 +4x_ 10x X ' 5x 5x 5x 14x +l I-I x- 1 1 1-----U ----i Si x e (0,1) á E ü S ■ |4x+1|= 4X +1 ; X > --- 4 —4x —1; X <—— 4 X-1 = X-1 ; X >1 1—X ; x< 1 Para xe/0,1) =» L4x+32HM . 4x +l - 1 +x=5x =£ x X X © [Zx+2|-|3x+2l s¡ x e (0,3) edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net <NI00CM100
  • 83. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ................................... W Î T T f î i H * 17x 21—13xh-21 g. x e^o,3) Por definición CAPITULO i i7x +2| = 7x +2 ; x £ -- 2 -7x- 2; X < - - 3x+2 1= 3x+ 2 ; x > - ^ 2 -3x-2; x <-- Para xe(0,3) 7x+2|-|3x +2| 7x+2 -3 x-2 _4 x_ /1 ^ 3|3x-8|^ |3x +24| ^ g ^ 3|3x-8|-|3x +24| Por definición 3x - 8 |= 3x-8 ; x>- 8-3x+8; x <— *3 3x+241= 3x+24 ; x >-8 -3x- 24; x <-8 3|3x-8 |-|3x+24| 3 (-3x+8)-3x-24 -12x _ Para xe(-5,^l) =>------ — 2x 2x 5x+41-| 4+4x I Si xe(0,3) Por definición de valor absoluto: 5x +4 5x +4 ; x>-- 5 4 -5x-4 ; x<- — 5 4x+4 = 4x +4 ; x>-l -4x-4 ; x <—1 I www.solucionarios.net www.edukp9ru.c0rp• www.solucionarios.net CAPÍTULO I . c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Luego en el intervalo dado: x e <0,3> 115x +4¡=5x +4 ||4x +41=4x +4 |5x +4|-|4 +4x| 5x+4-4x-4 x 1 x x x O Resolver cada una de las siguientes inecuaciones x+2 2x-3 <4 Ê Ê Ê m m * v m i x+2 2x-3 <4 por propiedad -x+2 <4 n - +2 >-4 2x-3 2x -3 -7x +14 < 0 n 9x-10> 0 ^ _x-2_>Q n 9x - to >o 2x-3 2x -3 2x-3 2x-3 / 10 X € '^°'"9/u<2'00> O 6-5x x+3 a I<b => a <b v a >-b 6 _ 5 x ^ 1 - 6-5x 1 6-5x 1 n 6-5x 1 n 7 7 ? ^ =» T ¡ T - 2 n ,2- 10x- x-3 so n 1 2 - ’ 0 x + x + 3 1 0 2(x +3) 2(x +3) www.edukperu.com . . . s o l u :io www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 84. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS n i5 - 9 x * o 2(x +3) 2(x +3) 11x-9 2(x +3) >0 n 9 5 x s (1ñ ’3 © 4+— X 4+— X <5 <5 Por propiedad 4+—<5 n 4+—>-5 1 - 1 < 0 o 1 +9 < 0 => — < 0 o l ^ > 0 x x x x ^ > 0o 1 ^ S > 0 x e (- o o ,- )u <I, « > o 8x+— X <6 8x+— x 8 8 <6 Por propiedad: x+—£ 6x+- ^ - 6 «*- 6* +8 , n n x l-6x+l i 0 ;. x e ( -°°,p )u <I»00 > www.solucionarlos,net 3 x ~- - < ; 0 2(x +3) CAPITULO I _____________ y * www.eduKperu.aHT>j www.solucionarlos,net CAPITULO I ......................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o x2+3x +11 x- 2 x +3x +l 1 <3 x- 2 tMWVMiW <3 Por propiedad se tiene: x- 2 x2+3x +11 x- 2 -3 <0 n x- 2 x2+3x +11 x- 2 +3>0 x¡2+18 ^n _ x2+6x+5. . x --- - 0 ^ --------— > 0 => --- < 0 o ---- —--- ->0 x- 2 x- 2 x- 2 x- 2 (x +5)(x +l) xe 5 - ’ 5 - Ì X <3 jgESSESSMÍ <3 Por propiedad se tiene => 5-1 <1 n 5-1 >-1 => 1-4>0 n l-6 < 0 x x x x l z f 5 > 0 n — < 0 => ±SZ1<o n X X X X «-(H > 0 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 85. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITU IOI O 1X H--- X < 6 <6 por propiedad se tiene: x2- 6x+l A x2 +6x+l * => ------- < 0 n -------- > 0 (x-3)2 - 9+1 (x +3)2 -9 +1V--- l----- < 0 n v---- i----- > 0 (x-3)2 - 8 (x +3)2 - 8 i--- --- < 0 n *---- ---- 1 0 ( x - 3 - 2 ^ (x -3 +2V2) (x +3-2>/2) (x +3+2>/2) > 0 , x e (-3-2j2,- 2>/2) u (-3 +2 ^ 3+2V2) O 3-2x x+2 3-2x <4 x+2 <4 Por propiedad se tiene: 3-2x , 3-2x , 3-2x-4x-8 _ ---- <4 n ----->-4 => ------ ---- <0 n 3x+x+8 x+2 -6x-5 x+2 <0 r> x+2 2x+ll x+2 > 0 x+ 2 x + 2 6x+5 _ 2x +ll > 0 x+2 >0 n x+2 > 0 1ofti SOLUCION,ARLQANM-ISIS MATEMATICO I . A www.solucionarlos,net vavw edukperu.col www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O x+3 6-3x x+3 6-3x < 2 £ 2 Por propiedad se tiene: X+3 - 2 " ^ - 2- ^ 2 n J i ± i + 2 £ 06-3x 7x-9 6-3x <0 n 6-3x -5x +15 6-3x 7x-9 de donde xe/-oo,y 2x x+6 2x > 6 6-3x x- 2 u [3'+»>Hf3x nsovttie 6-3x x-3 > 0 o — > 0 x- 2 x+6 9v ov - 6 > 0 o -+6 < 0 x+1 x ;5bnob i>b 8 < XC x+1 -2x-3 x+1 X‘ 3 X ‘ 3 > 0u X + 3 X + 3x+1 x+1 <0 >0 u ü ± 3 < 0 => 2 íü 3 <0 w l í l 3 < 0 X + 1 X + 1 x+1 X 6 © X — 1 X — 1 >1 ^ ebsm m 5=1 < - 1 00- ' >r> X wwa>edukperu.com www.solucionarios.netSOLUCIgNARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I
  • 86. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j X—1- 1 > 0 u í-+1 < 0 x z llü x ) © © 1 Ov_i T « 2x - 1 A _ i > 0 u ^S—: < 0 => - < 0 u ---- < 0 x - x x x xe(-flo,0)u / 0fi 4—14—x| |x| +4 <0 ■«iinwnTMr El denominador es simepre positivo en x € 4_| 4 _ x| <0 => 4-x >4 u 4 - x <-4 x < 0 u x > 8 de donde-, x e <-oc,0>u <8,+*» 6x-4 x+3 1>- 2 Propiedad: |a|>b => a >b u a <-b 6x-4 1 6x-4 1 É íz l- 1 ^ 0 u ^ +¿ * 0 T ¡ ¥ 2 x+3 2 x+3 2 X + 32 2(6x-4) ^ » (tx - ^ +x+a ^ ^ T j x ^ l l ? 0u j3 x - ^ ¿ 0 2 (x +3) 2{x +3) “ 2(x +3) 2 (x +3) O xe<(-°o,-3)u<-3,— u[l,+®> 2x-5 4-x >1 c a pitu lo i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net www eciviKperu.cp*Ti www.solucionarios.net Propiedad: Ia I>b => a >b <j a <-b CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 4-x 4-x 2 x - 5 - , > 0 w ? ^ + l < 0 4-x 4-x 2x-5-4 +x^_ 2x-5 +4-x >0 kj -------- <0 4-x 4-x x-4 /. x e ^ - o o ,l]^ [3 ,4)^(4,oo) 3 x - 9 < 0 u ^ > 0 x-4 x+3 6 - 2x > 1 Propiedad: Ia I>b =í>a >b u a 5 -b x+3 1 x+3 ^ 1 x+3 ^ , x+3 > ---- >- u -----<— => ----> I u ---- <- 1 6-2x 2 6-2x 2 3-x 3-x 2+3-1i0 u í ^ +líO3-x 3-x © 3x2-1 x- 2 V x e R, >—6 3x2-1 x- 2 x+3-3+x x+3+3-x . 2x 6-------- > 0 u --------- < 0 =>----< 0 u ----> 0 3-x 3-x x-3 x- 3 /. xe[0,3>u<3,oo> jK ü M iM Í >0 >-6 ,. x * 2 Luego la solución es V x e R- {2} www 9dukp&ru.00m SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 87. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ......................................................... ffft |x2-4|<4-2x Propiedad: ja|^b => a<b o a >-b _> x2 -4 <4-2x n Xs -4 >2x-4 => x2 +2x- 8 <0 n x2 - 2x > 0 => (x +4)(x - 2 ) < 0 n x(x-2 ) > 0 x e(-4,0) O x+3 x+2 <5-x Propiedad: |a|>b => a<b u a>-b í l ^ < 5 -x o í- ^ > x - 5 => ^ i|- 5 + x < 0 n x+ 2 x + 2 x+ 2 x+¿ x +3-5x-10 +x2+2x n ^ X +3 +5X +10-X2 2 x ^ n ^ 2 x+2 x 2 - 2 x - 7 ^ 0 n x 2 + 4 x + _ 1 3 > q x+ 2 x + 2 H L l z Z < 0 n x 2 ~ 4^ < 0 x+ 2 x+ 2 (M L i<0n (»-«y-irü <0 x+ 2 x+ 2 www.solucionarios.net CAPIT'" 0 I x+5> 0 __________ i _ edukperu flom www.solucionarios.net CAPITULO I cEDUARDO ESPINOZA RAMOS « (x - l- V s )(x - l +>/8) (x-2->/T7)(x-2+>/l7) x+2 < ° x+2 X 6 ^-Q0,2->/l7)u(-2,l +2>/2) > 0 13x—11+2x |x+11—3x (|3x -1| +2x >0 n |x+11—3x <0) u (| 3x-l |+2x <0 n |x+11—3x <0) (|3x-l|>-2x o |x+11>3x) u (|3x -1|<-2x n |x +1|<3x ) [(3x-1>-2x u 3x-1<2x) n (x +l>3x u x+1<-3x)] u u [(3x-1<-2x n 3x-1>2x) o (x +1<3x n x+l<-3x)] [(5x>1 u x< l) n (l>2x o 4x<-1)] u [(5x^1 r> x>1 n 1<2x n 4x>-1)] x>- u x<1 5 )nHU X < ------- 4 u |x<- u x2:1 r> x>- n x > 5 2 4 x<- u ¿ =s> xe'.H n í x<- 2 i 2 1x<- 2 |x—21<2x •• xe(-oo,- Propiedad: Ia I<b => a<b n a>-b wo/wedukperu.com S0LUCI0NAR10 ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net I
  • 88. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ..........................................................CAf1™ 101 © 2 x-2 <2x n x-2>-2x => x>-2 n 3x>2 => x>- =* xe 2 x 3’ © fee*» Como I 3x - 1 i +2x >0, V x e R , entonces simplificando, obtenemos 7--- -,--- £ 0 <=> lx+ ll-3x> 0 |x+11—3x 3x <I x + 11<=>x + 1>3x v x + 1<-3x 2x < 1 v 4x <-1 1 1•X < - V X < — 7 2 4 © |3x-9|<x+1 13x-9| <x+1 o (-X —1<3x —9 a 3x - 9 <x +1) a x>-1 o (4x > 8 a 2x < 10) a x >-1 o (x > 2 a x<5) a x >-1 0 X 6 <2,5> A <-l,+Q0> x e <2,5> x—21 x+3 Ix+4 1 x-6 S0LUCI0NAR10 ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « L l- ?j <2± | por propiedad: i l l < ^ x-2 <x+3 x+4 1 x-6 x+4 x-6 x+4 x-6 x-2 x+3 x-2 x+3 _ <0 n -----+----- >0 x+4 x-6 x+4 x-6 (x-2)(x-6)-(x +3)(x +4) (x +2)(x-6)-( x+3)(x +4) (x +4)(x-6) (x+4)(x-6) x'-4x-12-xg-7x-12 x2-4x -12+x2+7x +12 „ (x +4)(x-6) ~(x+4)(x-6)" -llx-24 2x2+3x < 0 n --------- -^ 0 (x +4)(x-6) (x +4)(x -6) llx +24 x(2x +3) (x +4)(x-6) " ° (x +4)(x-6) x e <6,+oo> SOLUCIOI www.solucionarlos,net 169
  • 89. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPIT’" *>I IV. Encontrar el menor número M con la propiedad de que para todo x € R, se cumple: A 2x-x2<M . __________ -00<X<00 => -QO<X-1<0O => 0<(x-1) => 0<x2-2x +1 => 2x-x2-l< 0 => 2x - x2<1 de donde: M = 1 1-4x-x2 <M -oo < X < CO => -oo< X +2<co => 0<(x +2)J => 0<x2+4x +4 => -4x-x2- 4 <0 => 1-4x-x2<5 de donde: M =5 22-x3 +x3 <M ( T f f l ' T W * ¿ ' i i -OO < X3 < CO => -co < X3 -- <00 2 ( i 0 < _ -M £ 1 1 Q ? 1 1 9 x3-- I => 0<x3-x3+- =>— <x3-x3+ --- 4 4 4 4 q ? 1 £ I o 9 — <x3 - x3 -2 => 2-x3 +x3 <— => M =— 4 4 4 ? * 2x3 -x3 <M SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukperu.coir*I f ' www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « l i 2 2 2xí -x3<M = > - o o < x 3 < od => - c o <x3 - 1 <30 0 < ( 2 Y 4 2 2 4 x3-l => 0<x~3 -2x3+l => 2x3 - x3 <1 => M =1 1+6x - x2<M l+ ó x-x2<M => - 00< X <00 => -oc<x-3<oo => 0<(x-3)~ =>0<x2-6x +9 => 6x - x2+1<10 De donde: M =10 3+36x-12x2<M o 3+36x- 12x‘ < M -oc < x < oo => —oo < x— < oo • 2 0 < x- 5 i => 05x2-3x +- l 2J 4 4 => 3x-x2<- => 36x-12x2<27 4 ^ 3+36x-12x25 30 de donde: M =30 Encontrar el menor número M con la propiedad de que para todo xe 91se cumple: O MS3 +4 - - x¿ X jk b e q e b t www.edukperu.ee _ " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 90. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPIT"LO I 2 12+3x -X . i i / M<3 +— — => ---“ i x2 x x 3| x2-^ | +2 —OC < X < => -* > < X - - < < » o 0 < |x --| => 0 <x - - + 3 6 También: -oo<x <oo => O <xJ => 2<, x2 - 00 Término a término con (I) _ ,2 3 ^ 2 +3x2-x _ 23 2+3x'-_x de donde M = ^ 12 ------- ‘ 6 2 1 1 -1 1 M<xi -x5 - 2 => -cc<;x5 <oc<x5 0 <| x5 -- i i f ? 1 1 1 > O^x5 -x5 +-<°o 9 ! : 1 9- < X5 - X 5 +7 - 7 4 4 4 2 1 M <9x2 - 48x- 36 2 16x . M£9x2 -48x-36 <9l x - 4 www.solucionarios.net -l— wwA.edukperifSom www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O<I x—^ Ì => O<x* - — x+— => O<9x¿ - 48x +64 81 16 .64 _ => 100<9x2- 48x+64-100 => 100<9x2-48' -36 De donde: M =-100 M <5x2-20X +16 / ,2M<5x‘ - 20x +16<5 x -4x +— I => -oo<x<oo z=> - qo< x - 2 < oc 0<x2 => 0<x2-4x +16 => 0^5x2-20x+80 - 64 <5x2 - 20x-64 +80 => -64<5x2-20x +16 De donde M =-64 Si 2x +3e[7,1l] encontrar el valor de M que satisface a la siguiente desigualdad ^ < M x-7 J ¡ K i l i W x+5 x-7 12 , 12 +--- =1 +• x-7 x-7 x-7 x-7 2x +3 e [7,11] => 7<2x +3<!1 =>4<2x<8 => 2 <x <4 => -5<x - 7 <-3 3 x-7 5 x-7 5 => -3<1 +— <;-- => -3< — <-- x-7 5 x-7 5 7 De donde M =— 5 www edukpiru.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net iMÁTICO I j j j
  • 91. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J Si xe i 5 2'2 encontrar el valor de M que satisface la desigualdad M < X€ i 2 2'2 2 2 M < x+2 x^ 2 M < x-2 +4 x- 2 M<1 + x- 2 =. i < x < 2 - . _ | S x-2 s-± =>-2 < - i- S - ? 2 2 2 2 x-2 3 - 8 < — < - - => - 7 < l + - ^ - < - | x-2 3 x-2 3 De donde M =— 3 -i Si - e[(-oo,l)u(2,+oo)]. Hallare! menor valor de M tal que x—1 1 7 2x+5 _ 2 2(2x +5) x—1 2x+5 —e<-oo,1> v X € < 2 ,+ 0 0 > x De donde — <x <- => 0 <x < oo 2 2 Como 0<x<- => O<2x < 1 => 5 <2x +5<6 2 1 1 1 7 => —<---- <- -— <- <— 6 2x+5 5 10 2(2x +5) 12 www.solucionarios.net CAPITULO I x+2 x- 2 <M www etíukperu www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 1 X —1 1 — < -------< — 2 10 2 2(2x +5) 2 12 ^ 5 <2x+5 < 12 x—1 2x +5 Si |x —3 1< 1 Hallar el número M tal q u e <M x+1 x+5 x+1 |x—31<1 <M x+1+4 x+1 -1 <x-3< 1 <M => 1 +. x+1 3<x+1<5 <M . Hallamos la expresión => - <— -s 4 4 9 4 7 5 x+1 77 < 7<— => -<1+-------- <- b x+1 3 5x+ 1 3 5 x+13 9 - < 5 1 + x+1 <— de donde M =- 3 3 ( r Hallar M tal que si |x| <2 x-3 x+4 <M J K i M M M tf x-3 x+4 <M x+4+7 x+4 <M x+4 <M . Hallamos la expresión x( <21 => —1 <x—1 => 3<x +4 < 5 => => _ Z < — Z 5 x+4 3 3 " x +4 < _¡ =>' | <1 - ^ 4 <- f de donde M =- . 3 www.edukperu.com www.solucionario¿?fí&tNAR}0ANAus,smatemátic° <
  • 92. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESP1N0ZA RAMOS j VI. Resolver las siguientes ecuaciones: A |3xl| =x+2 jK 2 íS ¡ a i¡ M Í 3 |3xj =x+2 => x+2<3x<x +3 =>2<2x<3 =e>l<x<- Pero (x +2)eZ => x =1 xfl =2x +2 t i t T I ' W í M t xfl =2x+2 => 2x+2<3x<2x +3 => 2<x<3 5 Pero (2x +2)eZ => x =2; x =- j h e a a a a a B r < 6 ==>10<|x-2| +3<12 => 7 5|x-2|<9 => 7<|x —21n |x-2|<9 => (x-2>7 v x-2<-7) a - 9 <x-2 <9 => (x>9 v x<-5) a -7 <x <11 /. x e< -7,-5]u [9,11 > O l2-MH capiti ” o i SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net ----------- <4-' wvw ->dukperü zpfn 12—|xf| =1 => 1<2| x |<2 => 1<2—|x | A 2—|x |<2 => I X I < 1 a I x l>0 => -1 5 x < 1 a x e R - {0} X 6 <-1,0>u <0,1> O |3x-5j =2x+1 MKHilWiai.l.'Hf [3x-5j =2x +1 => 2x +153x -5<2x +2 => l< x - 5 < 2 => 6 <x <7 pero (2x +1) e Z => x =6;x =— 2 VII. ResoK ix las siguientes inecuaciones www.solucionarlos,net CAPITULO I ..................................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O x +1 x+2 <2 x2+l ] X2 +1 x2+1 x2+1 ---- < 2 => 15---—<2 => 1 5 ^ 1 o — <2 X+2 J x+2 x+2 x+2 x +1 x +1 „ „ ---- - 1 > 0 n ----- 2 < 0 x+ 2 x+ 2 x +1-x - 2 ^x +1-2x-4 . ------------->0 n --------- ------<0 x+2 x+2 x x—1 x - 2x- 3„ ----—- > 0 n ---------< 0 x+ 2 x+ 2 Ü i ! „ (X-1/-1-3 >0 n ---------------<0 x+ 2 x+ 2 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net
  • 93. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I f X" i ] 4 X -1) - 4 ni___ ±1-- 2 - 2 0 O i--- --- < 0 x+ 2 x+2 I1 í 1 S)x -5 - t J t '2 t J > ( x - 1- 2) ( x - U 8l , ft ----- - x+2x +2 r V s W i Vs - 2 - 2 J Í X _ 2 j j > o „ (x-3)(xV I)< o Puntos críticos x = x+2 -1±n/5 ; x =-2; x =3; x =1 A/ - V + V r~V -1-V5 -2 -1 3 0 |4x! -5 x-4 l< 1 ______ ¡4x2—5 x - 4 j £ 1 =* 1<4x2- 5 x -4 < 2 => 0 £ 4x2—5x-4 o 4x2- 5x-4 <2 fx-—1_^-1^0o (x-2)(4x+3)<0 8) 64 f x- * Y - £ s O ^ (x-2)(4x +3 )<0 { 8) M / _ > <0 o (x - 2)(4x +3) <0 8 f 5-J89 x--- 5 + V § 9 v _ o . v — 5 x e 1 - ^ , 2 ) Puntos críticos x =— -— , x _ ¿ ' x _ 44 / www.solucionarios.net www edukpdPi.cor1 www.solucionarlos,net CAPITULO I .cEDUARDO ESPINOZA RAMOS « <g¡ ||2xsr+5x¡-2||| <1 JMPTiTHCT.r—r ||2x2 +5x|-2||| <1 => 0<|2x2 +5x|-2||<2 0<2x’ +5x-2 o 2x‘ +5x-2<1 |2x2 +5x| >2 o |2x‘J +5x| <3 (2x2 +5x>2 2x? +5x£2) o ( 2 x 2 + 5 x < 3 o 2 x 2 + 5 x > - 3 ) ( 2 x 2 + 5 x - 2 ^ 0 ^ 2 x 2 + 5 x + 2 < 0 ) o x2+ ^ - 1 £ 0 u (2x+1)(x +2)<0 n [(2x-l)(x +3)<0 r (2x-3)(x +1)>O] o [(2x-1)(x +3)<0 o (2x-3)(x +1)>0] üO (2x+1) (x +2)< 0 [(2x-1)(x +3)<0 o (2x +3)(x +l)> 0] _ 5±v41 1 . 3 Puntos críticos x =----- : x =- 3; x =-; x =-1; x =— Q O' O SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net i
  • 94. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS l-x|- 1 < 2 J£ £ ¡I£ L *1:1100 I|—x|—ij c 2 => |—x|—1<2 => |x|<3 o -3<x <3 [x2-l|>0 |x2 - l] >0 => x2- 1 >0 => (x -1)(x +1)>0 Puntos críticos x = 1; x =-1 y ~ ^ / ~ -i x e< -oo,-1] vj[l,oo > Por propiedad [xj <u o x<n [ S -2x|<>/3 => y¡3-2x<¡3 => -2x <0 => x >0 =>xe <0,+oo> |x2-11<0 Por propiedad: |xJ <n x <n +1 J x2—1] <0 => x2-1<l => x2<2 f f ll SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPP“ -01 x e <-33> vmv.' edukperu.ccyv www.solucionarios.net CAPITULO I O o 0 i £ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 5+x 5^~x <1 =^> - 7 2 < X < y ¡ 2 => X 6 ( - 7 2 , 7 2 ) an ^ FT iif 5+x| 5+x 5+x , _ --- < 1 o --- < 1 =>----- 1 < 0 5 -xI 5-x 5-x 5+x-5+x 2x x -- ------ < 0 <=> ----< 0 => ----> 0 5-x 5-x x-5 0 5 x e <-oo,0>u <5,+oc> Ix2—4 I<—1 [xe- 4J <-1 => x2-4<0 => x2 <4 => -2 <x <2 2x +3 x+1 2x+3 x+1 -1 -1 <1 < 1 o /. x e <-2,2> 2x+3 x+1 - 1 <2 => x+2 x+1 < 2 => - 2 <— < 2 x+1 n x+2 x+2 _ => - 2 < ---------- a ----------< 2 x+1 x+1 www edukpsru.com . . . SOLUCIO www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 95. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS C A P IT I"O I x+2 _ . x+2__ --------+ 2 > 0 a ------------2 < 0 X+1 x+1 3x+4 x ----------> 0 a -------- > 0 x+1 x+1 A/ : V -1 A -i xe^-oo,-^u(-1,+oo) n((-co,-l)u(0,+»)) •••xe/— 0,+oo) VIII. Resolver la inecuación logarítmica Log1/2|2x—3| >—3 _ _ _ _ _ Log, |2x—3|>—3 => Log2|2x-3|’’ >-3 => Log2|2x- 3|>-3 Logjj|2x—3|<3 => |2x-3|<23 n 2x-3*0 (2x-3<8 u 2x-3>-8) r. x * - (2x<11 u 2x>-5) r x * - 11 5 ] 3 => x <— u x >— n x * - 2 2 2 5 11 x e ^ 2 ' T n x * Log., (x-3>/x +1+3) <1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net www eduKperu dòn COICM www.solucionarios.net CAPITULOI ............................................................. ^ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Log2(x-3>/x"+T +3 )< 1 =>x - 3 ^ T T +3<2 n x-3>/x +1+3>0 => x+1<3>/x+1 n x+3 > 3Vx +1 => x2+2x +l <9x +9 n x2+6x +9>9x +9 o x+1>0 => x2-7x-8<0 n x2-3x <0 r> x >-1 => (x —8)(x +1)<0 r> x(x-3 )>0 n x >-1 V ~ r ~ - 1 0 3 8 ________/ V W _ Logy |x2+4x| +3 x2+|x—5| >0 x € <0,3> ^|x2+4x| +3 x2+|x-5¡ L0S7 >0 x2+4x +3 x + x—5 > 1 => I x2+4x I+3 >x2+| x-5| x +4x +3l>x2+x-5 3x>-8 => x >— 3 También: x2+4x +3>x2+5-x => x>- 5 De donde: x € !■ ** SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO I www.solucionarios.net
  • 96. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP'-M'LOI Log2 4x -11 2x" -4x-6 <-1 los2 4x-n 2x -4x-6 <-1 2x -4x-6 <2' 4X-11 _1 2x -4x-6 2 8x-22-2x2+4+6 2x2-4x-6 <;0 -2x~ +12x-16 2xs -4x-6 -2x2- 6x+8 2x2-2x-3 (x-2)(x-4) (x-3)(x +1) SO -4X-11 2x2-4x-6 >0 4x-1l 4x-11 x2-2x-3 (x-3)(x +l) >0 (x-2)(x-4) 4x-l 1 De donde: ' ----A----r >0 n ----— --- -r >0 (x-3)(x +1) (x-3)(x +1) X € 2,j ) u (3,-kc) o Log |2x-3| x+1 >1 Log |2x-3| x+1 >1 |2x-3| x+1 <10 n x+l>0 n 2x-3*0 |2x-3|-10(x +1) !---- !-------->0 X +1 n x >-1 n x* - 2 V www.solucionarios.net ww,v.edukperi/com< www.solucionarios.net CAPITULO I o o ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « |2x-3| = 2x- 3 ; x>- 2 3-2x; x <— 2 y> 3 2x-3-10x-10 „ 3 9 =* ------- ----- >0 n x >-I n x *- ¿ x+l 2 8x+13 . 3 =* -— <0 n x >—1 n x* — x+1 2 13 * X €<---,-l> 8 Y 3 3-2x—IQx —10 3 12x+7 2 ~ x+i > 0 n x > - l n x * - = > --- ~ <0 n x* A+i 2 x+1 X€ -’•"is LoS(x-4)(3x-2) <2 ^°S(x-4)(3x -2)<2 => x-4>0 n 3-x>0 => x >4 n x <3 => 0 Log1/3(2x +6) <-2 je ib e m r Log3(2x +6)_1<-2 r> 2x +6>0 -log3(2x +6)<-2 n x>-3 log3(2x +6)>2 n x>-3 2x +6 >32 n x>-3 2x+3 > n x>-3 x >- n x >-3 2 www.solucionarios.nefMmomAus'smateuat|c° 185 to|CO
  • 97. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITl"-0 I =» =» « ( I - « |3 - 4x|>23 a 3-4x * 0 => |3—4x|>8 a x * - (3-4x>8 v 3-4x<-8) a (-5 >4x v 11<4x) a x * - 5 ’ 3x < -----V X > -— A X * - 4 4 ) 4 X£(^°~i)u(7’_TO O L°S3|3-4x| >2 ljOg3|3-4x|>2 <x> |3-4x|>32 |3_4x| >9 => 3- 4x >9 v 3 - 4x <-9 => -6>4x v 12 <4x => x <—— v x >3 2 O LoSt x-2 x-5 +35 >2 xeí-cof--)u(3,+co) P r t SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net vw. .•.edükperu ^óm www.solucionarios.net
  • 98. www.solucionarlos,net V) EDUARDO ESPINOZA RAMOS ] ....................... CAPITULOI RELACIONES Y FUNCIONES En cada caso determinar los valores de x e y (x,4) =(-2,y) -• ^ ^ m i it1n i i W f (x,4) =(2,y) <=> x =2 a y =4 (4, 2x- 10) =(x- 1, y +2) j k s titlB M Mediante identidades: 4 =x- l => x =5 2x - 10 =y +2 y =2(5)-10-2 =-2 => y =-2 (y -2, 2x + 1) =(x - 1, y +2)__________ j y Q J í S B E S M f Mediante identidades: y - 2 =x - 1 => y =x+ l 2x + 1=y +2 => 2x +1=x +1+2 => x =2; y =3 (5x +2y, -4) =(-1, 2x - y) J________ Mediante identidades: 5x +2y =-1 a 2x - y =-4 5x+2y =-l _ „ 1 7 => 9x =9 => x =-l 4x-2y =-8 Como 2x - y =-4 => -2- y =-4 => y =2 (x +4, 6) =(10, y - x) Ém m m i w * Mediante identidades: x +4 = 10 x =6; y-x =6 => y= l2 (x +5,3 - y) =( 7 , 2 ) __________ M Mediante identidades: x +5 =7 => x =2; 3- y =2 => y= l HSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net wv.vv.eduKpera.com www.solucionarlos,net CAPITULO I ............... .............................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « & (x +y, 3) =(5, y - x) Mediante identidades: x +y =5 a y-x =3 jx +y =5 2y =8 => y =4 [y-x =3 x+y =5 => x+4 =5 => x =1 0 (x - 7y, 2x - 6y) =(15,-10) _____________ x- 7y =15 a 2x- 6y =*10 =>x =3y-5 En la primera ecuación: 3y - 5- 7y = 15 => y =-5 => x =-20 ^ (3x - 8x, 4x +3y) =(4 - 2x - 1Oy, 2x +4y+ 7) Mediante identidades: 3x-8y =4-2x-lOy a 4x +3y =2x +4y +7 0 (5x +2y; 4) =(-1, 2x - y) Mediante identidades: 5x +2y =4 a 2x-y =7=> 9x =21 => x =- ; y =-- 3 3 JB E ÍM 2 E ¡¡IW 5x +2y =-1 Í5x +2y =- 1 2x -y =4 . . =>9x =7 = > x =- 4x-2y =8 9 2x - y =4 => — -y =4 => y =- — 9 9 0 (x3 -19, x£y-ó) =(y3,xy2) M T T T F í i l f * Mediante identidades: x3-19 =y3 => (x-y)(x2 +xy+ y2) =19 'Www ftdukpftru com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 99. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J ............................................................................................. CAfm'LO I x2y-6 =xy2 => xy(x-y) =6 Dividimos ambas ecuaciones x +xy +y _ 195x2+6xy +6y2=19xy => 6x2-13xy +6y* =0 xy 6 2x 3x (2x-3y)(3x-2y)=0 dedonde y =— a y =—- O O Con y =— =>x3-19 =y3 => x3-19 =^ - => = 19 => x =3; y =2 3 27 27 (2x - y, x +y +3) =(x +y +1, 2x +y) Mediante identidades: 2x-y =x +y +l a x +y +3 =2x +y Simplificando x =2y+l; x =3 => y = 1 x+y 1 x - y , A ( y-x ~ y +x Mediante identidades: ^ i v _ 1=y ^ +2 a ^ y +i = ^ - 2 2 2 2 2 => x+y-2=y-x+4 a x-y+2=x+y-4 => 2x =6 a 2y =6 => x =3, y =3 En cada caso hallar los conjuntos y graficar. Dado los conjuntos: A ={xeZ/-l^x< 3}, C ={xeZ/l<x<4¡ Hallar los conjuntos y graficar SOLUCIOhNARJ.QANÁLISIS MATEMATICO I . ,www.solucionarlos,net B-{xeZ/l <x <14}; i.6dukpe<u.c0*r www.solucionarlos,net ' ........................................................................ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a) A x B b > B x C o (a - C ) x B Desarrollaremos los conjuntos A ={x eZ^-l <x< 3} ={-1,0,1,2,3}; B - {x eZ /lSx S4 }- {l,2 ,3 ,4 }; C ={xeZ/l£xS4j= {1, 2,3,4) a) A x B = | ( " 1' 1 ):(- 1 ' 2 ) ( ' 1' 3 ) ! ( 1>4 ) ; ( 0 >, ) ¡ ( ° . 2 ) ( a 3 ) ;( 0 ,4 ) ; ( 1 ,1 ) ¡ ( 1 ,2 ) ( 1 ,3 ) ; ( 1 ,4 ) ; l l ( 2 . 1 ) ; ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ; ( 2 , 4 ) ; ( 3 , l ) ; ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ; ( 3 , 4 ) } b) B x c J (1'l);(,'2)(1’3) :(1'4^ (2’1)i(2'2K 2'3);(2.4);(3.1):(3,2)(3,3);(3,4);l 1(4,1);(4,2)(4,3);(4,4) | c) (A-C)xB ={-l,0} (A-C)xB= {(-1,1);(-1.2)(-1,3);(1,4);(0,1);(0,2)(0,3);(0,4)} I . . SOLUCION/ www.solucionarlos,net
  • 100. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J .................................................................... CAPr 0 ! __________ relaciones y funciones £ Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones, a) R = j x, y e ÜR2 /y =x2- 4x; y £ O} JBE222I¡HMt y =x2—4x =(x —2) —4 ; Dominio: D={xeW¡ Rango: y =(x-2)2-4 => (x-2) =4+y =í>x=2±Vy+4 => y +4>0 => y >-4 Luego: D={y e'.H/y £4} Para y < 0, el dominio corresponde a los reales y el rango en ye(-ac,o] Intersectamos para obtener el dominio de la relación: Dominio: DR=[0,4] Rango: D={y e 'R/-4 <y <0} b) R = {(x,y)e«2/y =V4-x2J Dominio: El rango de la raíz cuadrada debe ser positivo 4 - x2>0 => x 2 < 4 => -2 <x£2 dedonde D={y eW/-2<x<2} Rango: Para y >0, despejamos x en función de y: -_2y-x =0 x(y-l) =2y => x=_~ f dedonde D={yett/y*l}xy- c) R ={(x ,y )e « 2/x2=y-1¡ É m m m x w * SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I d) e) f) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Dominio: x" =y -1 ==> y =x2+1 => D =jxe'.H¡ Rango: Despejamos x en función de y: x2=y -1 => x = y-1 De donde el argumento de la raíz cuadrada debe ser positivo y-l> 0= > dedonde D = {yesJí/ y >1} R={(x,y)e9?2/xy-2y-x =0¡ Dominio: Despejamos y en función de x: xy-2y-x =0 => y(x-2) =x => y =— dedonde D={xe'.H/x^2j x-2 Rango: Despejamos x en función de y: xy-2y-x =0 => x (y- l) =2y => x = dedonde D = {y € « / y * l} R ={(x,y)eiR2/Vx+7y =1} f ■ nn iwr«Trm t Dominio: Despejamos y en función de x: Vx+Vy=1 => y =(l- 7 x )‘ => D={xe9í/0<x<1¡ Rango: Despejamos x en función de y: Vx+Vy =1 =>x =(l +Vy) => D={xetf/0<y<1¡ ✓ R ={(x, y ) e Dí2/x2y2+xy =5] SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 193
  • 101. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAr-'JU) I Dominio: Despejamos y en función de x: x2y2+xy =5 => x2y2+xy-5 =0 Fórmula general y = _ -x±>/x2+2 0 xT = - 1 ± n/2 1 d e d o n d e D = <-oo(0> u <0,+cc> 2x2 2x Rango: Despejamos x en función de y: x2y2+xy =5 => x2y2+xy-5 =0 Fórmula general _ -y±Jy*+20y* _ -± J¿ de donde D , <^o0>u <0, X ^ 9 O . . +co> 2y 2y 1 g ) R = | ( x , y ) € « V y = 2 x ! _ 3x— 2x2-3x-5 =0 => (x +1)(2x-5) =0 de donde D = { x e < R / x *-1aX*5/2} Rango: Despejamos x en función de y: 2x2- 3x-5 =— =>2x2-3x-5-y'' =0 Fórmula general y x =/ ~ ~ V 40 0 ' 9 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net M.'ww.sduk' www.solucionarlos,net h) R =(x,y) e $?2/(x‘~-4)y =y2 Solución Dominio D={xeiH} Rango: Despejamos x en función de y: CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x2-3x-5 =— => 2x2-3x-5-y-' =0 Fórmula general y x2y +4 => x =±yjy +4 => y +4>0 =>y >-4; R ={y e s.H/y >4} Si U =x f Z* /x impar a x <8. Tabularlas siguientesrelaciones en U. a) R =|(x,y)e UxU/x =3vy =5} b) R ={(x,y)eUxU/x +y =8} c) R ={(x,y) e Uxü/xy =2} d ) R ={(x,y)eUxll/x divide a 20} El conjunto universal es: U ={1,3,5,7} a) R ={(x,y)eUxl)/x =3 v y =5} R ={(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5);(3,6);(3,7);(3,8);( 1.5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,5);(6,5); (7,5);(8,5)> b) R =|(x,y) e UxU/x +y =8¡ Para x +y =8 donde x ={1,3,5,7} en la resta: y =8-x tenemos: R ={(1,7);(3,5);(5,3);(7,1)} 9d.iKperj.coi" SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net I
  • 102. www.solucionarlos,net c) R ={(x,y)eUxU/xy =21} Para y =— de donde x ={3,7} tenemos: R ={(3,7);(7,3)} x d) R ={(x,y)eUxll/x divide a 20¡ Para x divide a 20, de donde x ={1,3,5,7} tenemos: R ={(1/1);(1,2);(1,3);( 1,4);(1,5);(1,6);(1,7);(1,8);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6); (5,7);(5,8)} 9 En el conjunto de los naturales N se define una relación R de la siguiente forma R =j(x,y)e NxN/x2+x =y2-t y} Es decir si es una relación de equivalencia, justifique su respuesta Reflexiva: (x,y) e R, x: +x =x2+x Simétrica (x,y)eR, x2+x =y2+y => y2+y =x2+x; (y,x)€R Transitiva (x, y) eR, x2+x =z2+z =>(z,y)eR, z2+z =y2+y =>x2+x =y2+y; (x,y)<=R Por tanto Res una relación de equivalencia. En Rse define las siguientes relaciones V x, y e R a) R ={(x,y)e RxR/|x-1| =|y-l|] b ) R ={(x,y)eRxR/x2-x =y2-y¡ Demostrar que son relaciones de equivalencia, Justifique su respuesta » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP,TULOI P E I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO ; www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « m x iv v A iv m t a) R ={(x,y)eRxR/|x-l| =|y-1¡j X—1; X >1 |x-1| =----- ; |y-l| =| y - 1 : y a l ' ' [l-X ; X <1 ' ll- y ; y <1 De donde: x =y; y =-x i) Res reflexiva: (x,x) eR; y =±x ii) R es simétrica: (x,y) eR, y =x => x =y; (y,x) e R iü) R es transitiva: (x,z) € R, y =z =>(z,y) e R, z =y => x =y; (x,y) e R Por tanto es una relación de equivalencia b) R={(x,y)e RxR/xe-x =y2-y} i) R es reflexiva: (x,x)eR, x2-x =x2-x ii) R es simétrica: (x,y) e R,x2-x =y2-y => y2-y =x2-x(y,x)e R iii) Res transitiva: (x,z) eR, x2-x =z2-z => (z,y)eR,z2-z =y2-y x2- x =y2- y (x, y) e R Por tanto es una relación de equivalencia Siendo A ={1,2,3,4,5,6} estudiar las propiedades de las relaciones binarias a) R ={(x,y) e AxA/x +y>0) b) R ={(x,y) e A x A / x - y <2} c) R ={(x,y) eA x A /x < y} jm m M 'T im r a) R ={(x,y) e A x A /x +y>0} Desarrollaremos los pares ordenados para evaluar las propiedades SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 103. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS u CAPr toi R = {(1 ,1 );(1 ,2 );C 1 i3 ) ;(1 ,4 );(1 i5 ) ;(1 ,6 );(2 i 1 );(2 i2 );(2 ,3 );(2 ,4 );C 2 ,5 )/2 ,6 );(3 ,1 );(3 ,2 ); (3 ,3 ); (3 ,4 ); (3 ,5 );(3 ,6 );(4 ,1 );(4 ,2 );(4 ,3 );(4 ,4 ):(4 ,5 );(4 ,6 );(5 ,1 );(5 ,2 );(5 ,3 ),(5 ,4 ), (5 ,5 ); (5 ,6 );(6 ,1 );(6 .2 );(6 ,3 );(6 ,4 );(6 ,5 );(6 ,6 )} R es reflexiva: (x,y) <=>(y,x) Res simétrica: R es transitiva: b) R ={(x,y) 6 AxA/x-y<2) Desarrollaremos los pares ordenados para evaluar las propiedades R =KU );(' ,2);(1,3);(1,5);(1,6);(2,1)¡(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(3,2X3,3);(3,4); C3,5);(3,6);(4,3)¡(4,4);(4,5>¡(4,6);C5j4);(5,5); (5,6);(6,5);(6,6)| No es simétrica, si reflexiva, no es equivalente c) R ={(x,y) € A xA /x <y} Desarrollaremos los pares ordenados para evaluar las propiedades R ={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(3,3);(3,4);(3,5); (3,6);(4,4);(4,5);(4,6);(5,5); (5,6);(6,5);(6,6)} No es simétrica, si reflexiva, no es equivalente A ={1,2,3,4}; R ={(x,y) e AxA /x =y v x +y =3} arTTirírr¡w Desarrollamos la relación dada R ={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(1,2);(2,1)} Reflexiva: (x,y) o (y,x) Simétrica Transitiva En Z define la relación R :{(x,y)eZxZ/x2+x =y2+y¡ Graficar R. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I _ www.solucionarlos,net www.edukpdrtfvwffl www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Completamos cuadrados 2 2 x +x =y +y XH-- 2 iY i - r ly+i) X+ 2 V+2 1 1 1 1 x+-=y+- v xh— =—y — 2 2 2 2 x =y v y =-1- xY A , , - -3 -2 -1 1 2 3 X X1 Q Clasificar la relación R definida en Z x Z mediante (a,b) R (a',b’) <=>ab’ =ba’ Si ab' =ba’ => La relación es reflexiva. (a,b) R (a’,b’) => La relación es simétrica y transitiva Por tanto, R es equivalencia Definimos en el conjunto Z x (Z - 0) si la siguiente relación: (a,b) R (c,d) o ad =be Z x (Z - 0) => (a,b) R (c,d) o ad =be => Relación transitiva (a,b) R (c,d) relación simétrica reflexiva R es de equivalencia (Jj) Demostrar que la relación dad por R ={(a,a);(b,b);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} i ■Bww.etíukperu SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 104. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) El conjunto A ={a,b,c,d} es una relación de equivalencia Solución R ={(a,a);(blb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Simétrica: R ={(a,a);(bfb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Reflexiva: R ={(a,a);(b,b);(c,c);(d,d)} Transitiva: R ={(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Por tanto R es de equivalencia O Discutir y graficar las relaciones siguientes: a) xy2-3y2-1=0 « ■ m e m i — 1 Extensión: Dominio y2(x-3) =1 => y =±-j== — >/x-3 x-3 >0 D={xeiH/x>3} Rango: xy2=3y" +1 => x = — => R =(y e SR/y * 0 Asíntotas Asíntotas Verticales; x =3 Asíntotas Horizontales. x =< Simetrías: Eje x: Cambiamos y por-y: x(-y)2-3 (-yf -1 =0 =>xy2-3^ Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: -xy2- 3y2-1 =0 =>xy2+3 / +1 = No hay. r r | soLucioNARio análisis matemájico i . www.solucionarlos,net capii i => x >3 ■2-l= 0 0 vvww.edul'.peru www.solucionarlos,net CAPITULO I b) ■www“d’jfcpe”; .................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS </ En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y) —x(—Y)" —3(—y)2~1 =0 => xy" +3y 1=0 No hay. y2(x2-4) =x+2 f Extensión: Dominio: y2(x2-4) =x+2 => y± -X,+^ = V x2- 4 x +2 >0 => x >-2 => D ={x € R /x >-2} =± y/x+2 Rango: x2y2-x-4y2=0 => x 1 ± ^ 4 / ( 4 / ) i ±J 16y4+8y» 2y2 2y2 1±J(4y2+l)‘ 1±(4y2+1V x ----- -------=----— 2--- de donde: R ={y € */ y *0} Asíntotas Asíntotas Verticales; x =-2 Asíntotas Horizontales, y =0 Simetrías _ . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I BW www.solucionarlos,net
  • 105. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J C A P P 'JL O I Eje x: Cambiamos y por-y: (- y f(x 2-4) =x+2 =o y2(x2-4) =x+1 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: y2jj-x)2-4^ =-x +2 =>y2(x2-4))-x +2 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): (-y)^(-x)¿ -4j =-x +2 =>y2(x2-4) =-x +2 No hay. c) y2= 3-x Extensión: Dominio y2= y± JE-3-x 3-x V3-x 3-x>0=>x<3=> D ={xeR/x< 3) Rango: 3y2- xy2=x2 => x2+xy2- 3y2=0 =y ± V 7 W =y iy V Z ± ]2 de donde R ={y e9?} 2 2 Asíntotas Asíntotas Verticales; x =3 Asíntotas Horizontales. No hay. i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net nvw.edukperú.cpffi www.solucionarlos,net CAPITULO I .................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Simetrías: 2 2 Eje x: Cambiamos y por-y: (-y)~= —— => y2=—— Si hay 3-x 3-x Extensión: Dominio y = 1 1 2x2-3x-5 ( x + 1)(2x-5); * * 1; X * 2 Rango: 2x" -3x-5 - — => 2x2-3x-5- —=0 fórmula general y y y±/y4+12y2 2 3±i 9+40- 8 V y de donde R ={y €'.)?} de donde: 49- >0 => —- >0 4 y y SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I gSfl www.solucionarios.net
  • 106. www.solucionarlos,net R =|y e'.R/y e (- o o ,0 ]u » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ............................. CAP 0101 Asíntotas Asíntotas Verticales; x =-1; x =- Asintota Horizontales; y =0 Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: y(2x2—3x —5) =1 =>-y(2x2-3x-5) =1 No hay Eje y: Cambiamos x por -x: y(2x2-3x-5)= 1 => y(2x2+3x-5) =1 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); y(2x2-3x-5) =1 =>-y(2x2+3x-5) =1 No hay. Interceptos: Eje x: y =0 => No hay 1Eje y: x =0 => y * -— 5 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net .vww eaukoer'j » www.solucionarios.net CAPITULO I ........ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « e) x'V -x* +y2+1 =0 J»TiTTTrer.T7l Extensión: Dominio y2(x2+1] =x2-1 x~-l>0 (x-l)(x +1)>0 D =|xe '.H/x € oo,—1J 00^} Rango: x2(y2- l) =-y2-1 => x =± ^ )~ j 1- y2>0 => y2-1 <0 => (y-1)(y +l)<0 R ={y g 9í/x € (-1,1)} Asíntotas y =± x —1 x2+1 A. Horizontales, y =±1-A. Verticales; No hay Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: x2y2-x2+y2+1=0 => x2y2-x2+y2+1 =0 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: x‘y2-x2+y2+1=0 => x2y: -x2+y2+1=0 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): x2y2-x2+y2+1=0 => x2y: -x: +y2+1=0 Si hay. Interceptos: Eje x: y =0 => x2=1 => x =±1 wvm.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 107. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAP,T,,LO I Eje y: x =0 => y; =-1 No hay f) x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0 Extensión: a r r f f li1* 4 x -1 Dominio y 2 ( x 2 - 4 ) = 4 x L> => y = ± ^ — — ^ x 2 - 4 > 0 => ( x - 2 ) ( x + 2 ) > 0 D={x € ïH/x e (-00,- 2 ) u (2, oc)} Rango: x‘ ( y 2 - 4 ) = 4 y 2 =>x = ± R ={ y e * } Asíntotas -A. Verticales; x =±2 ; Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: 4 y y2- 4 A. Horizontales, y =±2 H SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I www.solucionarlos,net w a “»djkp^ru.cím www.solucionarios.net CAPITULO I .c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (-y)2(x2-4)= 4xa =* y2(x"1-4) =4x2 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: ys[(_x)2-4j=4(-x)2 => y2(x2-4) =4x2 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); (-y2)[(-x )'-4 ] =4(-x)2 => y2(x2-4) =4x2 Si hay. Interceptos: Eje x: y =0 => x2=0 => x =0 Eje y: x =0 => y2=0 => y =0 www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 207
  • 108. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITM'CH g) xy-2x-y-2 =0 2x -f 2 Extensión: Dominio y(x-1) =2x+2 => y =--- — => d ={x e <R/x * 1} Rango: x(y-2) =y +2 => x =^-^- => R ={y e'J?/y * 2} y-2 v Asíntotas - A. Verticales; x = 1 A. Horizontales, y =2 Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: -x(-y) +2x-(-y)-2 =0 => xy +2x +y-2 =0 No hay Eje y: Cambiamos x por -x: -(-x) +2(-x)-y-2 =0 => xy-2x-y-2 =0 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): -<-x)(-y) +2(-x)- (-y) - 2 =0 => -xy-2x +y- 2 =0 Si hay Interceptos: Eje x: y =0 => x =-1 Eje y: x =0 => y =-2 208 * SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukoeru.conv www.solucionarlos,net h) y2(x +1) =4 Extensión: Dominio y2(x +1) =4 =>y2 =2 =>D={xeiH/x>-l} 4 Rango: x+1=— R =|y e M /y * 0} Asíntotas -A. Verticales; x =-1 A. Horizontales, y =0 Simetrías: Eje x: Cambiamos y por -y: (-y)'(x +1) =4 => y2(x +1) =4 Si hay Eje y: Cambiamos x por -x: y-(-x +1) =4 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); y2(x +1) =4 => y2(-x +1) =4 No hay. Interceptos: Eje x: y =0 => no hay Eje y: x =0 => y =±2 CAPITULO I i EDUARDO ESPINOZA RAMOS « www eduKper, -.qiti SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 109. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I O Discutir y graficar las relaciones siguientes a) xy2+xy-6x-3 =0 Extensión: Dominio xy2+xy-6x -3 =0 => y = -±yjx' +4x(6x +3) 2x _-x±^x(25x +12) V ~ 2x De donde: D=h e íí/ x e (- o o ,- — 1 ' 25 Rango: x(y2+y-ó)=4 => x = (0,co) R ={yeüH/y *-3, y *2} A. Horizontales, y =-3; y =2 (y +3)(y-2) Asíntotas *A. Verticales; x =0 Simetrías: Eje x: Cambiamos y por-y: x(y2-y-ó) =4 No hay Eje y: Cambiamos x por-x: -x(/2+y-6) =4 No hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): -x(y2-y-6 ) =4 No hay. Interceptos: Eje x: y =0 => x =-- no hay Eje y: x =0 => No hay 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wvw ed-.kperu.corp- www.solucionarios.net CAPITULO I b) EDUARDO ESPINOZA RAMOS « y = 3x2-8x +4 3x2 Extensión: Dominio y = 3x2-8x +4 3x2 Rango: x2(y +3) +8x-4 =0 => x = => D={x eiR/x *0} -8±>/64+16(y-3) 2(y2-3) 64+16(y-3)£0 n y 2- 3 *0 => y >-1 o y^V^) R =jye'.R/y >-1 ny*> /3j Eje y =0 => 3x2-8x +4 =0 Asíntotas Asíntota Vertical: asíntotas Asíntota Horizontal: y =3 (3x-2 ) (x-2) =0 2 x =- 3 x =2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 110. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Simetrías Eje X: x =-x => y = 3x2+8+4 Eje Y: y =-y => y = 3x2+8+4 Origen y: x => -x = y =-y Eje x =x =0 =>3 3x2+8+4 d) R =ux,y)e W2/y = 1 2x -3x-5 Dominio y = i 1 2x2-3x-5 (2x-5)(x +l) D={yeiH/x^ - 5 / 2 a x ?¡ -1} Rango: Despejamos x en función de y: 2x2-3x-5-—=0 => x =3- 3± 9+40+- y —+49 >0 => 49y +8 >0 y y Se toma los intervalos positivos D=•{x g '.H/x e (-oo,—l V '49 u <0,oo SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO I www ©oukperu.corrí www.solucionarios.net CAPITULO I 2 4X c) y =- x* -4 m m m Dominio dejando en términos de x y =-7--.^= , elevando al cuadrado se tiene: y£ 4 I) Extensión ±2x Dominio: y = Vx2-4 x2- 4 >0 => (x - 2)(x +2) >0 D ={x e '.H/x e (-oo,-2) kj (2,+x>) {0} J II) Interceptores: eje X y =0 => x III) Asíntotas: IV) Simétricas: ejeX: y => -y ¡ 4x2 2 4x2 (-y) = 75— r => * = d) y = x* - 4 ' x2- 4 Rango: x2y2-4y2=4x8 => x2(y8-4) =4^ ±2y x = .— —- >/y2-4 y2-4>0 => (y-2Xy +2)>0 x2+1 2x -5x +2 I) Extensión: 2x2-5x +2 =0 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 4x2 x2-4 .2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 213
  • 111. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAM OS j Dominio: (2x - 1)(x - 2) * 0 x * - : X * 2 2 Rango: 2x2y-5xy+ 2y =x2+1 x2(2y-l)-5xy+ 2y-l =0 5y±j25y2- 4 (2 y - lf x = ---------- — 7------------ --------------- = > 2y-1*0 a 2(2y-l) A (5y-4 +2)(5y +4- 2) £0 A (y +2)(4y-2) £ 0 2 1 — oo > a y * - 4 2 r =y e í R / y e < - o o - 2 ] e) x3+xy2- y2=0 I) Extensión _,3 Dominio y2(x-1) =-x* => y± x3 x3 £ 0 => --- <0 de donde se tiene: D 1-x x-1 Rango: y e II) Asíntotas AV: x = 1 AH no hay SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net CAPITULO I 25y2-4(2y-1)>0 ={xett/xe[0,1 >} ------------ j wwvv.edufcpenj co?»- www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f) y = III) Simétricas Eje X: y => -y x3+x(-y)2-y2=0 Origen: x => -x: -x3- xy2- y2=0 y => -y IV) Interceptor Eje X: y =0 => x =0 Eje Y: x =0 => y =0 x(x +3) (x +2Xx-2) Extension Dominio D={xeíR/x*±2¡ Rango: x2y-4y =x2+3x => x2(y-l)-3 x -4 y =0 _ 3±yj9 +]6y(y—1) ^ 9+16y^y _ 1j ^ 0 A y#1 2(y —1) v ' 16y2-166+9>0 a y * l y2-y +¿ > 0 a y * 1 lo f i y c y — + — > 0 a y * 1 = > 9í = {y e íR / y *1} 2, 16 1 J II) Asíntotas: AV: x =±2 AH: y = 1 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 112. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) III) Interceptor: Eje X: y =0 => x =0 x =-3 Eje Y: x =0 => y =0 IV) Simétricas x(x +3) Eje X: y => -y =——--- NO x y x(x-3) x2-4 Eje Y: x => y =—^— — NO Origen -x _ y = x(x-3) N0 y => -yI x -4 16- 8y(5 - 4) >0 a y * 0 8y2+10y +16>0 a y * 0 y2-5y +2>0 n y * 0 y ——I - — +2^0 o y * 0 2 J 4 5^ y _ 2> 17 - — £0 n y * 0 4 5 Vl7 V 2 2 f 5 y/l7 yT T >0 a y * 0 . . -2Vl7 5+VÍ7 Asíntotas A =ye'¿R; ye<-oo------ , ------- > A.V. x =±1 A.H. No hay fü SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO I _________________J www.edukperu.coiT www.solucionarlos,net CAPITULO i ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « i 5 5 III) Inteceptor y =0 => x = x =0 => y =- IV) Simétricas AY_5 No -4x-5 Eje Y: x =x => y = x => -x y => -y 2(1’ - 1) -4x-5 ^ _y _ 2(x2-1) No No Discutir y graficar las relaciones siguientes: x2-15 a) y = x+1 Extension: Dominio D =(x € S.H/x * -1} Rango: xy +y =x2-25 => x2-xy-25-y =0 x = _ y±ly2+4(25 +y) 2 y2+100+4y >0 (y +2)2-4 +100>0 => (y +2)2+96 >0 Asíntotas A.V. x =-1 A.H. No Hay III) Interceptor EjeX =>y =0=>x =±5 '.R={xer} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 113. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I Eje Y => x =0 => y =-25 IV) Simétricas x2-25 Eje X: y =-4y => -4 = eje x =>-x=> -y = x+1 x2-25 -x +1 x=> -xI x2-25..^ ongen >- y =-----NO y => -yj -x +1 V =- /X0 5 x; x2-1 * 0 => x* ±1 2(x -l) J B E 2 2 E Ü J W D ={xc'.R/x * ±1} 2x2-5x +2 Y 3x2-10x +3 I) Extension Dominio 3x2-10x +3*0 => (3x - l)(x - 3) * 0 x * —; x * 3 de donde se tiene: D=ix e W / x * l a x *3 3 1 3 Rango: 3x2y-10xy +3y =2x2-5x +2 x2(3y-2) +(5 +10y)x +3y-2 =0 10y-5±V(5-10y)2-4(3y-2X3y-~2) 2(3y-2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www edjkperu.cotr www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « => (5 -1Oy)2- 4(3y - 2)2>0 a y * - 3 [5-10y-2(3y-2)] [5-10y +2(3y-2)] >0 Ay * | II. Asíntotas A.V. x =— a x =3 3 A.H. y =- 3 III. Interceptor EjeX: 2x2-5x +2 =0 => (2x-lXx-2) =0 x =—; x =2 2 Eje Y: x =0 => y =| IV. Simétricas Eje Y: y => -y „ 2x2-5x +2 Y ~ 3x2-10x +3 d) xy2-4x2+12x-3y2=0 I) Extension Dominio: y2(x-3)= 4x2-12x => y2= x^4x—— x-3 . . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 219
  • 114. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ±— 3 ) ( jg ¿Q p j- jg s e rje n e . y=±2y[ A X * 3 V X-3 D= {xe'.R/x>0} y2 Rango: y2=4x => x =— R =<¡y€'JÍ/y II. Asíntotas A.V. No hay A.H. No hay III. Interceptor y =0 => x =0 x =0 => y =0 IV. Simétricas EjeX: y => -y (-y)! =4x =* y! =4x Eje Y: x => -x y2=-4x => NO Origen: x => -x-y2=4x y => -y NO CAPITULO i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . , www.solucionarlos,net _____________ f w w w edukperu com www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « FUNCIONES Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones a) f c) f e) f S) f i) f k) f =Vx2-4x +3 2x2-x-1 x2+3x b) f(x) =>/l-|x| d) 5x+6 =Vx2-3x +2+ . 1 - h) f(x) = -x4+17x2-16 1 V3+2x - x = E I + E l V X +2 VVx +1 V^-w j) f(x) =Vx-1 +2>/l-X +>/x2+1 4 . X " 3 yin +-----49 '(x+lj x+1 1) f(x) =, Vx2-3x-4 V2T- Vx2- 4 WTITfífíMf a) f(x) =Vx2-4x +3 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: Tomamos los intervalos positivos f(x) esta definido si x2- 4x+3>0 (x-3)(x-l)> 0 x € <-00,1] vj [3,+oo> Finamente D={xe9?/xe(-oo,l]w[3, «o)} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 115. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) b) f(x) =^1-|x| j K S . U H ' Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: l-|x|^0 =>l>|x| => |x|<1 => -1 <x <1 Finamente se tiene: D ={xeW /xe [-1,1J¡ c) www.solucionarlos,net Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 4 ~ S ~ ° ^ x*~-4 ^ (x-2)(x +2) 1 V + V : V + 2 0 2 Tomamos los intervalos negativos: x e <-oo,-2>vj [0,2> Finalmente D =|xe9í/xe(-oo,-2)^[0,2)j -------- _________________ M E U S S S IÜ JB / Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: x—1 ^ . x-1 ~9------ -0 7--- w--- 7-0 x —5x+6 (x-3)(x-2) 1 2 3 CAPITULO I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I .. www.solucionarlos,net www.ediikpéru com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « e) Tomamos los intervalos positivos: x e [1,2> vj <3,+oo> Finalmente D= jxe R/xe[l,2)u(3,+°o)J 2x2- x-1 x2+3x JgEÜÜEíMÍ Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 2x1-x - 1 >o ^ (2x+1)(x-l) ^ 0 x2+3x x(x +3) -3 Tomamos los intervalos positivos: x e (-oo,-3) u Finalmente D=ix e R/xe(-oo,-3)u R f(x í- (x t- 4)(x8- 9) 0 f( x )' l - x <+17x! -16 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: (x2-4)(x2-9) >o (x-2)(x +2)(x-3)(x +3) -x4+17x2-16 x4- 17x2+16 £0 (x-2)(x +2)(x-3)(x +3) ^ (x-2)(x +2)(x-3)(x +3 )^ n x4-17x2+16 (x-1)(x +1)(x-4)(x +4) ,V, A *dJkperu coir, SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 223
  • 116. _ t V 1 V ♦ V 1 V * V - / ♦ / -/7 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 Tomamos los intervalos negativos: x e (-4,-3]u[-2f-l)u (l,2 ]u [3 t4) Finalmente D ={xeR / xe(-4í-3]u[-2,-l)u(l,2]u[3,4)} g) f(x) =>/x2-3x +2 +-=^-1... /3+2x-x~ d ¡ B W Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: x2-3x+2£ 0 => (x-2 )(x-l)£ 0 3+2x-x2>0 => x2-2x-3<0 => (x-3)(x +l)<0 Tomamos los intervalos comunes: xe (-1,l]u[2,3) Finalmente D =|x e R / x e h) fM ~rVrv x~lxl www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Desarrollamos el valor absoluto: |x Si x >0 => x - lx l =x- x =0 por lo que la función no puede ser definida Si x<0 => x - lx l =x +x =2x pero x £ 0 para cumplir con la función raíz cuadrada. Luego x<0nx>0=><j> Finalmente D ={<}>} x >0 i-x ; x >0 224 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edukperu com www.solucionarios.net i) CAPITULO i j) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x-2 I 1—x x+2 VVx +1 ____ Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: x-2 x+2 >0 n 1-x >0 n x+1 >0 x - 2 x +2 >0 n x <1 n x >—1 Como se ve, la intersección de los tres dominios es vacío; por tanto el dominio de la función es nulo: D ={<{>} f(x) =Vx —1+2>/l-x +Vx2+1 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 1-x^0 r x- I > 0 n x2+1 >0 =>x<1 n xe'Jí x = 1 => D={x =1} f(x)= I— 4-- +— -49 (x+1) x+1 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 4 x-3 4 +( x - 3 )(x +1)-49(x +1)‘! +— -49> 0 =>— *---- ^-------------- - >0 (x +1)‘ x+1 49(x +1)2- x 2+2x +3-4 (3x +4)(4x +3) (x+i y 48x2+100x+48 _12x2+25x+1 <0 => -------- ;--- <0 =>------- =---<0 (x +1) (x +1) (x +1) 4 3 <0 Puntos críticos x =— :x = — ; x =-1 2 O ’ A' www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 225
  • 117. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................... CAPITULO | XÉ 3 u(-1 -1 por lo tanto D, =-jx e R/x e ( -qo,- - Vx2- 3x-4 V21 ->/x2-4 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: x2-3x-4 >0 r>x2-4x >0 n V21-V8-4 >0 (x-4)(x +l)>0 n (x-2)(x +2)>0 n 21 >x2-4 (x-4)(x +1) >0 o (x-2)(x +2) >0 n x2-25 <0 (x-4)(x +1)>0 *n (x-2)(x +2 )> 0 n (x-5 )(x +5)<0 Puesto que tomamos la triple intersección: x e (-5, -2]u[4,5) Finalmente D=|x e R / x e (-5,-2]u[4,5)J x->/x2-16 Halle el dominio de la función: f(x) = x x+4 -x f(x)= ;->/x2-16 x-Vx2-16 x[x +4]-x x(|x +4j-2) El denominador debe ser diferente de cero y el argumento de la raíz positivo. ____________________ —-— ------- — -y wwsv edukperu c.oolj SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net _ www.solucionarlos,net CAPÍTULO I.......................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « x“ -16>0 a x*0 A |x +4fl-1*0 (x-4)(x +4)£0 a x *0 a |x|+4-1 *0 (x-4)(x +4)£0 a x*0 a ¡xJ*-3 (x <-4 u x >4) a x *0 a [x|*-3 Puesto que [xj =-3 en -3<x <-2, tendremos: (x <-4 u x >4) a x * 0 a x<-3 a x >-2 Luego: x € <-00,4] u [4,+oo> por lo tanto D={x e R / x e (-oo,-4]u[4,+oo)J Halle el dominio de la función f(x) =^|x2—x—2|—|l - x2|-|x +1|+>Jx El argumento de la raíz cuadrada es siempre positivo |x2—x—2|—11—x2|—|x +1|>0 |x -2||x +1|-|x -1||x +1|-|x +1|^0 => |x+l|[|x-2|-|x-l|-l]>0 Simplificamos: |x—2|—|x—1|—1£0 Simplificamos el valor absoluto Valores críticos: x =-1; x = 1 1. V.A. X-1| x -2 (—co,—1) -x +1 -x +2 [- 1,2) X —1 -x +2 [ 2/00) X—1 x -2 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net I
  • 118. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO} Luego xe(-oo,-l) => - x +2 -(-x +1)-1 => 0<0 => xe(-oo,l) x e [l,2 ) => -x +2-(x-1 )-1 >0 => - 2x+2 +1-1 <0 => x > 1 => x = 1 x e [ 2 , o o ) => x - 2 - ( x - 1 ) - 1 > 0 => - 2 > 0 => <p Luego, el dominio está dado por unión de las respuestas obtenidas D= jx €9?/ X €( - ° ° , 1 ] } O . x+1 x +2 i— Hallar el dominio de la función flxW * —--{-s—r +v 7-: v ' y|x|+1 |x|+3 En la segunda raíz 7- x >0 => x <5 k¡7i'w73s0^lx+1KM+3Hx+2l(M+1)S:0 Desarrollamos el valor absoluto: Valores críticos: x =-2; x =-1; x =0 1. V.A. x+2| x +lj X -x-2 —X—1 -X [-2,-1) x+2 —X —1 -X [ - 1.0) x +2 x+1 -X [0,eo) x+2 x+1 X Luego xe(-co,-2) => (-x-1)(-x +3)-(-x-2)(-x +l)>0 tSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu coi www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « "ft x2+x-3x-3-(-x2+2x-x-2)>0 2x2- 3x-1 £ 0 => x+• 3 -V Ì7Ì x+• 3+VÍ7 xe 3-VÍ7 nxs(-oo(-2) => xe (-oo,-2) D =•[x e 9?/x e (-00,-2)] Hallar el dominio de la función f(x) =^xsSgn(|xj +l)-1 +</4-x La función signo: Puesto que I x I + 1 >0 para cualquier valor de x tenemos sgn(l x I + 1) = 1 Luego: f(x) = . .-1 - +ij4-x Vx2-1 Dominio: x2-1 >0n4-x>0 => (x-1)(x +l)> 0nx< 4 -1 Luego D =jx € 9?/x € (-00,-1) n(l,4]| Dadas las funciones f(x) =xs-5x+5, g(x) =-2x +-Hallar el dominio de F(x)= f3(x)-4g(x) f(x) +3g(x) Hallamos la nueva función SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 229
  • 119. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO I F(x) = f3(x)-4g(x) (x2-5x +5)5-4 ¡5 -2 x ) f(x) +3g(x) x2-5x+5+3í ^ - 2Xj Puesto que el denominador debe ser diferente de cero, hallamos el dominio según: xz- 5x +5+5-6x =0 => x2-11x +10=0 =x>(x-10)(x-1) =0 Luego: D = ¡X€s.H/x *10a x *1} x2- 9 ; x <4 Determinar el dominio, rango y graficar la función f(x) = Dominio: x<4 n x >4 => x e R => D =x e R Para x <4; y >-9; x >4; y > 18 => R ={x € R/y >-9} 5x-2; x>4 Hallar el dominio de las siguientes funciones a) f(x)= ^ w b) f(x)= 1 2x- x ] J SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO l www.solucionarios.net www.edukperu.com www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « C) f (X) = e) f(x) = 2x2 X - x x-3 <J) f(x) =|- 0 f(x) =|x'| s) í(x h J r ¿ h) f(x)= 4- x i) f(x) =Vx-xt k) f(x) =1->/8-x2-2x a) f(x) = j) f(x) =>/l->/4-x2 D f(x) =Vx2+4x-12 +- V 3x2 x+20- x2 X- - X Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x:'- |x |^ 0 => x2* |x j Esta condición solo se cumple si x =0; x = 1 Finalmente D= { x € M / x * 0 a x * 1 } 1 b) f(x) = 2x- x Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: 2x-|x|^0 => 2x*|x| Esta condición sólo se cumple si x =0 Finalmente D={x eíR /x *0 } SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 231
  • 120. www.solucionarios.net 2x2 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I c) f(x) = - [* ] Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x - |x ]*0 => x*|x|] Esta condición sólo se cumple si x =z, z entero. Finalmente D={xe9 i/x *z} d) f(x) =[- I X Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x-[xjvt0 => x * jx ] Esta condición solo se cumple si x * 0 Finalmente D ={x e y? /x * 0} 1 II e) f(x) = x-3 Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x - 3 *0 Esta condición solo se cumple si x * 3 Finalmente D={xe9?/x*3} f) f(x) =Ix '| La función mayor entero por no tener ninguna restricción es definida para todo x real: D ={ x e 9?} g) v Vx+1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.edukperu.qom www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Determinamos los intervalos donde el argumento de las raíces sea real: 2-x.„ x-2._ i V - /~¿0 => --- <0 X+1 X+1 Toamos el intervalo negativo: x e (-1,2] Finalmente D=jxeW/x€(-1,2]| h) f(x) = 4—x Se cumple r-¡— >0 por ser una raíz par x -1 Si x>0 => I x I =x de donde -—- >0 => -—- <0 x—1 x—1 V 1 V x e <1,4] o [0,+oo> =<1,4] Si x <0 => 1x1 =-x => ——— >0 => -—- >0 —X—1 x+1 - 1 4 x e (<*oo,-1 >u [4 ,+ x > ) n <-oo,0> de donde x e <-oo,-1> Df = {x / x e <-oo,-1> u < 1 ,4 ]} f(x) =Vx —x3 La raíz cuadrada debe tener un argumento positivo: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 121. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) x-xf >0 => x(x2- l)^ 0 => x(x-1)(x +1) <0 - 1 0 1 El dominio: D=|x e '.R/x € (-oo,-1]w [0,1]} j) f(x) =>/l-V4-xi’ La raíz cuadrada debe tener un argumento positivo: 4 - x2£0 1- V4-x2 >0 => x2- 4 <0 n 1->/4-x2 >0 (x-2)(x+2)<0 o l> 4-x2 => (x-2)(x +2)<0 n x2- (x-2)(x +2)<0 o (x +V3)(x->/3)>0 (x-2)(x +2)<0 o (x +V3)(x->/3)^0 El dominio: D =|x e '.R/x e [V3,2jj k) f(x) =l->/8-x2-2x 8- x2-2x >0 =>x2+2x-8>0 => (x +4)(x-2)>0 xe[-4,2] => El dominio: D ={x e 9?/x e[-4,2]} x2+4x - 12>0 r» x - x2+20>0 => (x +6)(x-2)£0 n x: (x +6)(x-2)>0 n (x-5)(x +4)<0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO I 3 >0 - x- 20 <0 www.edukpenj.c3fn www.solucionarlos,net c a p it u l o i ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « v : A -6 2 ' ' -4 5 Tomando la intersección de las gráficas obtenidas x € (<-oc,-6] u (2,+qo>) r<-4,5> de donde x e [2,5> El dominio: D= ¡x e ÍR /x € [2,5)} Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes: X2 ; X <1 a) f(x )= c) f(x) = -x3; x £ 1 >/x-2 ; x £2 x" +2x—3 ; x e (-1,1) b) f(x) = d) f(x) = 3 x - 2 ; - 4 < x < 4 x ; 4 < x < 6 x2- 4 ; x <3 2x-1 ; x >3 a) f(x)= , 3 X2 ; X <1 - x 3 ; X >1 Dominio: x < 1 u x > 1 =>X€'.R Rango: x<1 => x2>0 => y >0 x >1 => —x3<—1 => y >-1 D ={x e 9?) R =|y e'.R/y€ (-ao,-l]^j[0,oo)| . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 122. www.solucionarlos,net b) f(x) =l 3x- 2 ; - 4 S X S 4 ' 'X ; 4 <X < 6 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP|TULO I Dominio: -4<x <4 u 4<x<6 => -4<x <6 => D ={x e '.K/-4<x <6} Rango: -4<x <6; -12<3x < 12 => -14<3x - 2 <10 => -14 <y < 10 R ={y e 9í/y e -14 <y <10} c) f(x) = [Vx-2 ; x >2 x2+2x-3 ; x e (-1,1) Dominio: Df =<-1,1>w {2,+x> Rango: Rf =(-4,+oo> d ) f (x )= x2- 4 ; x <3 2x-1 ; x >3 Dominio: x <3 u x >3 => D ={x e V.K) x <3; y =x2- 4 => x‘ =y +4 => x =±>/y+4 y +4>0 =t> y >-4 => y e [4,+co> HSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net w w w K fu lT e r'j ••»in www.solucionarlos,net CAPITULO I I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « X >3 Determinar el dominio, rango y graficar la función a) f(x) = |x+2|-x ; Si x e (-4,0)/4 - X ; Si X € (0,4) 2x-8 ; Si xe(4,oc) b ) f(x) = fx2—1; 4 <X <7 llxl ; x <4 c) f(x) = 2¡x) +2 6 -5 <x <1 1<x <4 -7 <x-5 d ) f(x) = [x -11; 4<x<7 ; x<4 e) f(x) =I x —1l +lx+1 I a) f(x) = ¡x+2|-x ; Si x e (-4,0) V4-x ; Sixe(0,4) 2x-8 ; Si xe(4,oo) »1 (c SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net y =2x - 1 => x = >3 2 y+l>6=>y>5=s>ye [5,+oo> Rf ={x /x e [-4,+x>)
  • 123. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ........................CAPITULO j a) f(x) = |x+2|-x ; Si x € (-4,0) /4-x ; Si x e (0,4) 2x-8 ; Si xe(4,oo) f(x)=V4-x 2x-8 II 1K> X 1 to - 4 <x £ -2 2 -2 <x <0 x € (0#4) x e(4,oo) 04 1 X CN 1 - 4 <x <-2 2 - 2 <x <0 V4-x x e (0/4) 00 1 X <N x g (4,oo) Es decir: f(x) = Dominio: D= {x e ìK/x e (-4,0) w (0,4)u(4,oo)} Y' b ) f(x) = x2-1 ; 4 <x <7 |x| ; x <4 Desarrollamos el valor absoluto: x = x ; x >0 -x; x<0 De donde f(x) = -x2—1 X -X 4 <x <7 0<x <4 x<0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net w w a e d jk p e rj c3m www.solucionarios.net CAPITULO I I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « jxJ +2 ; -5 <x <1 c) f(x) =< y/x ;1<X^4 6 ; -7 <x-5 Desarrollamos la función mayor entero ♦u M - -8 - 5 <x <—4 -5 ; - 5 <x <-4 -6 - 4 <,x <-3 -4 ; - 4 <,x <-3 -4 - 3 <x <-2 -3 ; - 3 <x <-2 -2 -2 <x <-1 -2 ; -2 <x <-1 => f(x) =•0 -1 <x<0 -1 ; -1 <x <0 2 0 <x <1 0 ; 1<x <1 4 x =1 1 ; x =1 yfx ; 1<x <4 b - 7 <x <-5 Dominio: D = {xeW /x£ l} Rango: R ={y e 1H/y =-8; y =-6; y =-4; y =-2; y =0; 1<y <2; y =4; y =6}
  • 124. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................. CAPTTUtO| X-1 = 4 ; 4 <x <5 5 ; 5< x <6 => f(x) = 6 ; 6 <x <7 [x—1D; 4 <x <7 ; x <4 La función valor absoluto !X1=|X ' X>° Luego f(x) = 1-X ; X <0 Dominio: D ={x e '.H/x <7} 4-1=3; 4 £ x <5 5-1 =4; 5<x <6 6-1 =5; 6 <x <7 Vx ; 0 ^ x <4 >/^x ; x <0 e) f(x) =Ix - 1I+Ix +1I Desarrollamos el valor absoluto Valores críticos: x =-1; x = 1 www.solucionarios.net l. V.A. X+1| x - 1 | (-00,-1) —X—1 - x + 1 [-1.1) X+1 —X+1 [1,®) X+1 X—1 -±- www.f*djkperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO I .............................................. ( EDUARDO l& M PS « Luego: xe(-x ,-l): f(x) =-x +1-x-1 =-2x xe[-1,l): f(x) =—x+1+x—1=2 xe[l,oo): f(x) =x—1+X+1=2x Donde f(x)= -2x 2 2x x e (- x ,- l) xe[-1,l) x 6 [ i'30) 0 f(x )= (x2+4)[2x +3] Dominio: D ={xe'JÍ¡; Rango: D ={y e } Desarrollamos la función mayor entero n>2X +3<n +1 => n-3<2x<n-2 En algunos valores tabulados: n-3 ^ n-2 —— <x <--- 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 241
  • 125. www.solucionarios.net 0 1 » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) [2x +3¡ = -2 -1 De donde: f(x) = S) f(x) = ^4-x2+2 - <x <-1 2 •1<x<-- 2 -- <x <-2 2 2 <x < 2 0 x2+4 -2(x2+4) -x2-4 -2 <x <2 x >2 x <-2 — <x <-1 2 -1< x < 2 - - <x <-2 2 -2 <x <-- 2 Solución Dominio: D ={xe9í/x^-2} ; Rango: D={yeiH) Desarrollamos la función mayor entero n>2X +3<n +1 => n-3<2x<n-2 En algunos valores tabulados: n-3 n-2 --- <x <---- 2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net CAPITULO I ------------¿ www edukperu 'Qtti www.solucionarios.net ti»*™ ? I........................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(x) = V4- x2+2 2 3 -2 <x £ 2 2 <x <3 3 <x <4 x <-2 h) f(x) = |2x||; xe[0,3] 2[xJ; xe(3,5] Sglgción Dominio: D=jxe;H/x6[0,5] ; Rango: D ={yez} Desarrollamos la función mayor entero mmob n <,|2x| <n+1 -f >x > f 0<x <- 2 -<x<1 2 1áx< - 2 , , |s x < 2 2 4; 2<x <- 2 5 ; - £ x <3 2 6 ; 3 <X <— 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 126. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ..................................................... CAP!TUL? ! !x| = 3 ; 3 <x <4 4 ; 4 <x <5 De donde f(x) = 5 ; 5<x<6 0; 0 <x <- 2 1 ; | s x < 1 2; 1 S X < ¡ 3 3; - <x <2 u 3<x <4 2 5 4: 2 < x < - u 4 < x < 5 2 5 5; - < x < 3 u 5 < x < 6 2 6; 3<x <^ i) f(x) = 2|x] ; xe(-5,l] >/x ; xe(l,4] x2+3 ; x e(-7,-5] > 'V $QlMCl$n El dominioD =|x e sJ?/x e(—7,4]| Desarrollamos la función mayor entero -10 -5 <x <-4 -5 - 5 <x <-4 -8 - 4 <x <-3 -A - 4 <x <-3 -6 - 3 <x <-2 -3 - 3 <x <-2 -4 -2 <x <-1 [x| = -2 -2 <x <-1 de donde f(x) =-2 -1 <x <0 -1 -1 £x <0 0 0 <x <1 0 1<x <1 2 x =1 1 X =1 1<x <4 Xs+3 - 7 <x <,-5 V ±1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . www.solucionarlos,net www.edukperu.som www.solucionarios.net CAPITULO I { EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes a) f(x) =|x+l|+|x-l|-2|x| b) f(x) =I xl-|x| c) f(x) =|x+2|+|2x-2| +|5-x| d) f(x) =|x||x-l| e) f(x) =|x-2| +|x+1| f) X II X + JO + X 1 to 1 X 1 g) f(x)=V2l 2x+5l~ 4I xl h) i) f(x) =|x|-[x] j) '(* ) = |x+3| ; x<0 2(x—1)2 ; x e [0,2) 2-|x-4|; xe[2,oo) k) f(x) =-X2 X+11-1 L si -3 <x <4 x+3 I) f(x) =—>/2x-Vx , si x e [1,9] — a) f(x) =|x+l|+|x-l|-2|x| Desarrollamos el valor absoluto; Valores críticos: x =-1; x =0; x =1 1. V.A. |x+1| M |x-l| (-00,-1) —X—1 -x -x +1 [-1,0) x+1 -x -x +1 [0,2> x+1 x -x +1 [2,») x+1 x X—1 wvw.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 245 k.í-4f
  • 127. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Luego: xe(^o,-l): f(x) =-x-1-x +1+2x =0 xe[-1,0): f(x) =X +- X +1+2x =2+2x x e [0,1) : f(x) =x+-x +l-2x =2-2x x € [i,00) : f(x) =x+1+x-l-2x =0 Donde |x| = O ; x e ( - 00, - 1) 2+2x ; x e [—1/0) 2-2x ; x e[0,1) 0 ; x e[l,oo) Dominio: D ={xe9í) Rango: 0<¡y<¡2 => R ={ye9í/ye[0,2]j b) f(x )- |x |- H Desarrollamos la función mayor entero: n <x <n + 1 1-1= 0 ; 0^ x <1 1 ; 1£ X <2 -1 ; -1< x <0 -2 ; - 2 <x <0 f(x)= -x 1—X —1—X - 2 - x 0 £ x <1 1<x <2 -1 £x<0 -2 <x <-1 (8 Rango: R ={yelH/y-1<y<0} c) f(x) =|x+2| +|2x-2|+|5-x| V.A. 1. x+2| |2x-2 x—5| (-oo,-2) -x-2 -2x +2 -x +5 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukperu.corc www.solucionarlos,net ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « [-2,1} x+2 -2x +2 -x +5 [1,5) x+2 2x-2 -x +5 [5,<x>) x+2 2x-2 x-5 Determinamos la correspondencia xe(-oo,-2): f(x) =-x-2-2x+2-x+5 =5-4x xe[-2,l): f(x) =x+2-2x+2-x+5 =9-2x xe[l,5): f(x) =x+2+2x-2-x+8 =2x+5 x e [ 5 , o c ) : f(x) =x+2+2x-2 +x-5 =4x-5 5-4x xe(-oo,-2) La función f(x) = 9-2x xe[-2,l) 2x+5 xe[l,5) 4x-5 xe[5,oo) Rango: R ={yeiR/y> 7} d) f(x) =|x||x-l| =|x2-x| Valores críticos x2- x =0 => x =0 ; x =1 x2- x; x <0 u x >1 La regla de correspondencia f(x)= e) f(x) =|x-2|+|x +l| Desarrollamos el valor absoluto Valores críticos: x =1; x =2 x- x2; 0 <x <1 www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 128. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULOI 1. V.A. x+l| x-2 -x-1 -x +2 [-1,2) x+1 -x+2 M x+1 x-2 Luego xe(-oo,-1): f(x) =-x +2-x-1=1-2x xe[-1,2): f(x) =-x +2+x+1=3 x e [2,oo): f(x) =x-2 +x+1=2x-l De donde f(x) = 1—2x ; x€ (-oo,-l) 3 ; x e [-1,2) 2x—1; x€[2,oo) f) f(x) =|x+2|+|x-2|-|x|-l J I E ¡ 2 ¡ E ¡ ¡ M Í Dominio D ={xe9í} Desarrollamos los términos en valor absoluto Valores críticos: x =-2, x =2; x =O VA. 1. x+2| X x—2| (-00'-2) -x-2 -X -x +2 [-2,0) x+2 -X -x +2 1-------1 O 7o x+2 X -x +2 M x+2 X x-2 e(-co,-2): f(x) =-x-2-x +2+x-1 =-l-: V SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO i xe[-2,0): f(x) =x+2-x +2+x - 1=3+x xe[0,2): f(x) =x+2-x +x-x-l =3-x x e[2,00): f(x) =x+2+x-2-x-1 =x-1 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « De donde: f(x) = —1—x x+3 3-x x—1 X€ (-00,-2) x e[-2,0) xe[0,2) X €[2,+00) Rango: R =jy e ^ / y > l} g) f(x )=>/2[2x+5j-4|[x] §> x£f ; r-x| Tnyni,w r Dominio: 2[x +5]-4[x|>0 2[2x]-4[x] +10£0 =>[2x]-2[xJ+5^0 => D ={xeüR} Ahora determinamos la regla de corresponde para las expresiones de mayor entero WWW «dukper-.i com " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 129. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS n<[2x|<n +l =>=* n ^ lxJ<n +l => n<x<n +1 Evaluando para valores comunes de n: VÌÓ ; - l< x < — 2 f (x) = Y* VÌ2 ; -- <x <0 2 VÍÓ ; -0 <x <- 2 V Ì2 ; - < ,x < - 2 2 VTo ; - ú x <- ' 2 2 OVI2 Vio -i j . 0 2 Rango: R ={y e vJÍ/y =VÍ0; y =VÍ2) h) f(x) =^|x-2]-[x¡ = ^|x]-2-[x] =V-2 No existe _ _ íx—|x| ; x£0 . . i) f(x) = x +íxl =•! _ de donde D={xe'.R v ' 1 1 11 1 |-x-[xj; x <0 Desarrollamos la función mayor entero: n <[xj <n+1 | x | = 0 ; 0 <x <1 1 ; 1<X <2 -1 ;- 1 < X < 0 -2 ; -2 <x <-1 f(x) = x ; 0 £ X < 1 x-1 ; 1<X<2 1—X ; -1 <x <0 2- x ; -2 £ x <-1 El Rango: R ={yett/y> 0} ! SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . . www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « j) f(x) = |x+3| ; x<0 2(x-1)¿ ; x e [0,2) 2—|x—4|; x e [2 ,x ) Desarrollamos la función valor absoluto |x+3¡ =j X+3 ; X i -3 ; ¡x-4| =j X~ 4 ' X i4 1 1 l- x - 3 ;x < - 3 1 1 Ì4-X ; x <4 En la función dada: f(x) = -1-3 ; x <-3 x +3 ; -3 <x <0 2(x —l)2; 0<x<2 x-2 ; 2<x<4 6-x : x>4 ,/ * of x+l - l] k) f(x) =-x‘ --- '— si - 3 ^ x <4 x +3 J Desarrollamos el valor absoluto x + 1- X +1 ; X >-1 X-1 ; X <-1 f(x)= X2 [l-x —1—1|| A x+3 X’ |-x-1-l| x + 3 I ; -3 £ x£ -I ; -1 <x <4 f(x)= 2 [ - x -2 1 x I 1-----1 ; -3 <x <-1 fl x+3 J3J x+3 ; -1 <x <4 www.edukperu.com www.solucionarlos,netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 130. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I O Para evaluar |—x —2| x+3 graficamos: y = -x-2 x+3 I) f(x) =-V2x-Vx, xe[l,9] Hallamos el dominio de la función. El argumento de la raíz cuadrada es siempre positivo, 2x->/x£0 n x>0 => 4x2- x >0 n x¿:0 Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones a) f(x) =2[xj-2x =2(|xJ-x) jM Cf¡iTrrai.irf D ={xe9t} f(x) = -2x ; 0 £ x <1 2(l-x) ; 1^ x <2 X 1 <M (N 2 <x <0 2 (- l- x ); -1 <x <0 2(-2-x); -2 <x <0 -3 -2 -1 b) f(x) =^5-|x-3| |x-3| = X-3 ; X >3 3-X ; X <3 f(x) = >/8-x ; 3<x<8 [V2 +X ; -2< x <3 iSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu.coin www.solucionarios.net CAPITULO I c) d) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « D ={x e*/x e[-2 ,8 } R, =[o,V5] f(x) =(2-3x] Dominio: D ={xe'JÍ¡- Gráfica: La regla de correspondencia para la función mayor entero: n-|2-3x]<n +1 => b<2-3x<n +1 => n-2^-3x<n-1 1 ; 0 <x <1 2 ; 2£ x <3 f(x) = -1 ; -1 <x <0 -2 ; -2 <x <-1 O á x , x ! . . i * :r n cW] J B E S S E E E jg f D, ={x e iR/x * 0} >x|=n => n<2x<n +l n ^ n+1 - <x <--- 2 2 0 ; 0 <x <- 2 - ; ^ x < l x 2 -2 . _ i á x _ i x 2 0 > x 2 f - es: 1— = I x jJ < = 0 = I+ [ jx J 3-x|=a f(x) = ; , a - = ( x ) ì SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 253
  • 131. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I R, = {ye 'Jí/y * 0} x i i í x . x^O o f(x) = r ir T ; X H A[xj +1 11 [- X , x<0 |x] +1=0 => 1-1= -1 =>-1 ^ x <0 D={x e'J?/x €<-oo-l > (0,+oo>j 8) f(X>=[ * - 3 H x ] lx - 311-1x1=1x1-3-1x1=-3 — > X £ h) f(x) =Ix|+^|x|-[x] |x|-|xj>° => |x|a|x| x >0 => x>|fxfl => x >0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu coni- www.solucionarios.net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « * X < 0 —X 2: x | => x e '.H x á - [ - x ¡ D = { x e « } i) Repetida j) f(x ) -xf. -x¡ 2 - [[x {]> 0 => | x j< 2 -2 á x < 3 “ X ¡J- X Constnjir la gráfica de las funciones siguientes a) f(x) =Sgn(|x2—1|—1) MTfTYHlf18* Desarrollamos la función signo l'x )t (o (x)i (8 íí= 5 ± ii« * - ( r+. n ¿ 8 = ( x ) Í ( i |x2—1|—1=0 => |x2—1|=1 => x2—1=1 xs —1=—1 x2=0 'u x2=2 => x =0 O ±72 ÍQr“■Xy ~ x)(f*x)Los intervalos donde la función positiva, la función signo toma valor 1, donde es negativa toma valor -1 y en los valores críticos es cero. !f(x) = -1; X6<-72,72 >, x *0 0 ; X = 0 a X ± 7 2 _ e+xd^x 1 ; X €< -00, 7 2 > y j < 7 2 ,o c > ----------= .oinimoQ I X < R'3x} = ^bíK )b 3<J www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 132. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I O En cada una de las funciones dadas, hallar el dominio, rango, y hacer su gráfica a) f(x) = c) f(x) = (x +1)(x2+3x-10) x2+6x+5 4x2-9 2x+3 e) f(x) =[xJ+|x| +x+2 8) f W - t S í b) f(x )= d) f(x) = 0 f(x) = x2-10x-l |x2J-2x-l (x2+3x-4)(x2-5x +6) (x2-3x +2)(x-3) 1 |x] h) f(x) =Sgn([x-l]-l) +Sgn(|x-lj-l) i) f(x) =Sgn ( x +x- 6 X +1 a) f(x) = (x +l)(x2+3x-10) x2+6x+5 ' x2+6x +5 (x +l)(x +5) De donde D( ={x€íR/x*-1 a *-5} Rango: f(-1) * -1- 2 * -3; f(—5) * -5-2 * -7 => R ={y e'.R/x*-3 a x*-7} ¡aSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ca pitu lo i EDUARDO ESPINOZA RAMOS « b) f(x) = x2-10x-l :o .. c) f(x)= |x21—2x—1 Dominio: D ={xe'.R} Rango: D ={xel¡R} 4x2-9 2x +3 + 6 = d C= 0 = D + d if d 4 x ^ ,(2 x - 3 )(2 x 1 3 )= 3 v ' 2x +3 2x +3 2 Dominio: 2x+3 * 0 => x * de donde D=jx e '.K / x * - ^ Rango: y * 2 -3 *6 de donde R ={ye'JÍ/y *-6} www.edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 257
  • 133. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I © o Si f(x) =ax! + b x + c,f(-1 )+ f|^ l= j, f(-1) =0 y f(1) =8.Hallar f(5) g ¡ ' n rirn ii w En la función f(x) =ax2+bx +c f(-l) =0 => f(-l) = a-b+ c= 0 => b =a +c f(1) =8 => a +b +c =8 ei 15 A a b 15 f(-1) +f - =— => 0+- +- +C =•— v ; l 2 J 4 4 2 4 (1) en (2): a +c +a +c =8 => a +c =4 (2) en (3): a +2a +2c +4c = 15 => a +2c =5 De(4)y (5): b =4; c=1; a =3 La función es: f(x) =3x2+4x +1 =>f(5) =3(25) +4(5) +l =96 Determinar las funciones lineales ..(1) ..(2) ..(3) ..(4) ..(5) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edukperu.cont- www.solucionarlos,net a) f(1)= 1y f(3) =3 b) f(1) =3 y f(3) = 1 c) f(7) =Oy f(8) =9 MTTTTWlir La función lineal se define mediante:f (x) =ax +b a) f(1)= 1=> 1=a + b =>f(3) =3 => 3 =3a +b £,4- t f —ij s=tU , Restando ambas ecuaciones: 2 =-2a; a =-1; b =2 De donde: f(x) =2 - x b) fC1) = 3 => a +b =3 f(3) = 1 => 3a +b = 1 Restando ambas ecuaciones: -2a =2; a =-1; b =4 De donde f(x) =4 - x c) f(x) =ax +b => f(7) = 7a +b =O f(8) = 8a +b =42 de donde a =42 b =-7a =-7(42) =-294 f(x) =42x - 294 Si f esuna función rea de variable real tal que: f(x +2) =x2+x. Calcular: f(a +3)-f(a-3) 3 2a-3 ' 2 Se determina lafunción: u =x+2 =>x =u-2 =>f(u) =(u-2)2 +(u-2) ;'f ^ . ¡1 ¡ g L _ f r 19.0] 'M * f(u) =u2-4u +4+u-2 =u2-3u +2 => f(x) =x2-3x +2 Ahora: f(a +3) =(a +3)~ -(a +3) +2 =a2+3a +2 CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(a-3) =(a-3)2-3(a-3) +2=a2- 9a +20 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net ( . ! ________
  • 134. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ] CAPITULO I f(a +3)-f(a-3) a¿ +3a +2-a2+9a-20 _ 12a-18 _ 6(2a-3) _ 2a-3 2a-3 2a-3 2a-3 =6 O Si f es una función real de variable real tal que: f(x +l) =x"+3. Calcular: f(a + l)- f(l) -, a^O u =x+1=> x =u-1 => f(u) =(u-1)2+3 f(u) =u2-2u +l +3 =u2-2u +4 => f(x) =x3-2x +4 Ahora: f(a +1) =(a +1) -2(a +l) +4 =a2+3; f(1)=1-2 +4 =3 2 * b2- t^3(10Í3BUJ9 «"»bdlTIfe Obn6Jí?f». f(a +1)-f(l) a2+3-3 _ ---------- =•------- —a a a O Hallar el rango y graficar las funciones: ------- i; xe[-l,3] leluDl •Si y = -2x-1 (x-1)’ -2 te- 6)í-(€+ s)i ,r2 2 La gráfica que facilita el desarrollo de la función mayor entero [- 1 ; 1 - n/ 2 < x <1 + n/2 j o i xe[-l,1-N/2]u[l +>/2,3] El rango: R ={y =0, y =-1} *» fW=, p 3; xe[-2,1> SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.edukperu. www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Desarrollamos la función mayor entero en el intervalo dado V-x+1; -2 <x <-1 f(x) =x = -1; -2 <x <-1 -1 ; - 1< X <-0 0 ; 0 < X < 1 1 X h— ; -1 < x < -0 2 Vx ; 0 ^ x <1 Calcular el rango y graficar las funciones dadas f(x) = a) Desarrollamos el valor absoluto x+5 x^2 ; |x-2|>3 yjx2+4X-1 ; 0<X<1 2+|2x-5| ; 2 <x <3 I x—2 I >3 x-2>3 v x - 2 <-3 x >5 v x <-1 Luego la función f(x) = x+2+7 ; xe(-oo,-l)u(5,+oo) x-2 Vx2+4x-l ; 0<x<1 2+|2x-5| ; 2< x <3 Ahora: |2x-5|= 2x-5; x>- 5 5- 2x ; x <- 2 WWWedukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 135. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) De donde: f(x)= 7 1+ — y ; x e (- o o ,- l)u (5,+cc) yj(x +2)2-5 ; 0< x< 1 7-2x 2x-3 0 <x <- 2 - <x <3 2 b) f(x) = Vx2- 9-2; -5 <x <-3 |x+2|-3 ; 0<x<5 ; |x+2|= 3x-16 x-5 x >6 x+2 ; x >-2 -x-2; x <-2 De donde: f(x) = Jx¿-9-2 ; -5 <x <-3 —2|—3 ; 0<x<5lx 3x-16 x-5 x >6 c) f(x) = |x+3| ; -4<x<-0 3-x2; 0 <x <4 -2 ; |x| >4 x+3|= x+3 ; x >-3 -x-3; x <-3 f(x ). -x-3; - 4 <x <-3 x+3 ; -3 <x <0 3-xs ; 0 <x ^4 -2 ; x>4ux<-4 d) f(x) = -|x +4| Xs-4x-2 -x2+10x-22 -3 -8 <x <2 2<x <5 5 <x ^8 Ixl >8 CAPITULO i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.9djkperu.coni- www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(*)= x+4 - x- 4 2 (x- 2) - 6 25-22-(x-5)‘ -3 -8 <x <-4 -4 <x <2 2 <x <5 5 <x <8 x <-8 u x >8 f(x)= x+4 -x-4 vS -8 <x <-A -4 <x <2 (x-2)z-6; 2<x<5 3-(x-5)2 ; 5 <x <8 -3 ; x < - 8 u x > 8 WWWedjkperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 263
  • 136. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I _________ ÁLGEBRA DE FUNCIONES __________ J Calcular f±s, f g; I donde: f ={(1,2);(3,4J;(2,5);(4,1)I; S =!(3,-1);(2,1);(1,0);(0,2)¡ Definimos los demonios: Df ={1,2,3,4}; Dg ={3,2,1,0} Intersección de dominios Df n Dg ={1,2,3} Operaciones con funciones (f +g)(l) =f(l) +g(l) =2 +0 =2 => (1,2) (f +g)(2) =f(2) +g(2) =5+1=6 => (2,6) (f +g)(3) =f(3) +g(3) =4-1=3 => (3,3) f +S={(l,2);(2,6);(3,3)} f- g ={(1,2 - 0);(2,5 - 1);(3,4 - 1)} ={(1,2);(2,4);(3,5)} f-g={(1,2x0);(2,5x1);(3,-1x4)} ={(l,0);(2,'5);(3,-4)} rírí. Calcular f±g; f.g; - donde: f ={(-3,2);(0,0);(2,4);(3,-1);(4,3)}; S g ={(2,0);(3,4);(4,7);(6,2)} Definimos los demonios Df ={-3,0,2,3,4}; Dg ={2,3,4,6} Intersección de dominios DfnDg ={2,3,4} Operaciones con funciones SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f +S =t(2,2 +4);(3,-1 +4);(4,3 +4)| ={(2,6);(3,3);(4,7)} f - S ={(2,2-4);(3,1 +4);(4,3-4);} ={(2,-2);(3,5)¡(4,-1)} f-S={(2,2x4);(3,-1x4);(4,3x4)} ={(2,8);(3,-4);(4,12)} g={ K K 3'4}(4'4)H(2’2)( 3,'4)(4'4 0 Si: f ={(1,3);(2,6);(4,8);(6,2)}; g ={(l,2);(2,-1);(0,1);(4,5);(7,0)}. Hallar f ±g; f-S; - s Definimos los demonios: Df ={1,2,4,6} ; Dg ={1,2,0,4,7} Intersección de dominios Df nDg ={1,2,4} Operaciones con funciones f+g ={(l,3+2);(2,6-1);(4,8+5)}={(l,5);(2,5);(4,13)} f-g =((1,3-2);(2,6 +1);(4,8-5);} = {(1,1);(2,7);(4,3)} f-S={(1,3x2);(2,-1x6)¡(4,8x5)} ={(l,6);(2,-6);(4,40)} í-K*=!>*5 - Si: f ={(1,4)¡(2,5);(3,6);(4,-6);(5,-5)}; g - {(0,8);(1,3);(2,0)¡(3,7)}. Hallar f± g; f-S; - s ________________ Definimos los demonios Df ={1,2,3,4,5}; Dg ={0,l,2,3,4,5} www edukperuxom SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net ■rfi -
  • 137. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Intersección de dominios Df n Dg ={1,2,3,4,5} Operaciones con funciones f+g ={(1,4+3);(2,5+0);(3,6+7);(4,-6+0);(5,-5+10)} f +g ={(1,7);(2,5);(3,13);(4,-ó);(S,5)} f-g ={(1,4-3);(2,5-0);(3,6-7);(4,-6-0);(5,-5-10)} f- S ={(1,1);(2,5);(3,-1);(4,-6);(5,-15)} f.s ={(1,4x3);(2,5x0);(3,6x7);(4,-6x0);(5,-5x10)¡ f.g ={(1,12);(2,0);(3,42);(4,0);(5,-50)} 0 Sean: f ={(2,8);(8.4);(6,9);(4,7);(3,6);(1,5)}; g={(7,1);(3,2);(5,5);(10,5);(1,3)} Hallar f ±g; f.g; - s Definimos los demonios Df ={2,8,6,4,3,1}; Dg ={7,3,5,10,1} Intersección de dominios Df nDg ={1,3} Operaciones con funciones f+g ={(1,4 +2);(3,6+2)}={(l,6);(3,8)) f - S = {(1.5-3);(3,6-2)} = {(1,2);(3,4)} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net ___i www ediAoeru www.solucionarlos,net f.g ={(1,5x3);(3,6x2)} ={(l,l5);(3,12)} ¡■{(’'DNHKM 0 Sean: f ={(4,1);(6,5);(5,4);(8,3);(9,2)¡; g ={(8,-5);(2,2);(5,-4)}. Calcular: f ± g; f-s; - s _________________ Definimos los demonios Df ={4,6,5,8,9}; Dg={8,2,5} Intersección de dominios Df nDg ={5,8} Operaciones con funciones f - g ={(5,4 - 4);(8,3- 5)} ={(5,0);(8,-2)} f+g ={(5,4 +4);(8,3 +5)¡ ={(5,8);(8,8)j f.g ={(5,4x4);(8,3x5)} =j(5,16);(8,15)} I - l í s A ' CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « *-5 Calcular f +g; f-g; f.g; - g 2x+1; x>1 x f.3x+l ; x<8 3x2 ; x >10 Í2X +1; x>1 í 3) f W 1 x = - 2 ;x < 0 : 3 W Í b) f(x)-{ 7/ XS1° ; g(x)-{ [X —1; X >11 7 ; X<10 ( x 13x—1 ; jx—1|<1 x ; X >3 Y ••• u : ooi SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 138. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULOI . f , , , x2 ; X>1 JVxTT; x>-1 C) f W 1 x - l | ; x „ ; S(x)=ix“ - 1: x<-l d) f(x )= x2 ; xe[-10-7) 2x ; xe[-4,0) ; g(x)=< 2x2-2; x e< 0,8 > X - X 2; X€(-8,-4] 3-x ; xe(-4,0] x‘ +2; xe(0,3] ^ , |2x+1; X€[0^) ( ,_}3x; x e (—1,1] e) f(x)=l x! ; xe[2,5) S W > ; xe(0,3] 0 f(x)= I W 1 X S ^ U ) . X c ll'4> 1 ' }3 - 2 x ; x e[3 ,6 ] ' 81 ’||x| ; x e [S,7> ,, v Ix2—1; Ixl <2 , , [x —1; 0 <x <3 3) f x = ’ 1 1 ; 3 x =’ 1 x ; x >2 |x +1; x<0 . . Í2x +1; x>1 . . [3x +1; x<8 a) f W Í » - 2 ; x < 0 i S <X )= W ; x>10 8 10 Intersección de los dominios DfnDg=<^,0>v_£l,8]u<10(-Ko> x2+x-l ; x<0 Operaciones con funciones [f +g](x) = 5x+2 ; 1<x <8 Xa+2x +1; x >10 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.e d jk perú www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « [f.g](x) = 3xi +xí!-6x-2 ; x<0 6x2+x-1 ; 1<x <8 2x4+X3 ; X >10 (x) = (3x+l) ; X<0, X »3 (2x +1)(3x +1); 1<X < 8 V 2 y ; x >10 n o i jru r) n o D ^ > n o i. b) f<x)= 1 ’ i, ; gW ’ X > „ _ í3x —1 ; |x-l| <1 Intersección de los dominios DfnDg=<0,2>u<3,10>w<11,+ao> 13x+6 ; 0 <x <2 Operaciones con funciones [f+ g](x) =<4x-2 ; 3<x<10 2x-1 ; x >11 21x-7 ; 0 <x <2 3x2-4x +1; 3 <x <10 X2- X : X > 11 f Lsj (x) = —^— ; 0 <x <2 a x * - 3x-1 3 X —1 3x-1 X —1 3<x <10 x >11 www edukperj.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 139. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ................................. CAPtTUL? I . . . x 2 ; x > 1 . . í y fx +T ; x £ -1 -1 Intersección de los dominios: Df nDg =<-oo,-1 > < 1,-k » > Operaciones con funciones [f +S » = 3x +6; x <—1 4x-2; -1<X<1 ; [f.gjx) = 2x -1 ; x >1 21x-7 ; x<-1 3x2-4x +l ; - l£ x < l x2- x : x >1 f LSJ (x) = 3x-l x—1 3x-1 x—1 X ; X < -1 ; -1 < X < 1 : X > 1 x2 ; xe[-10-7) x-x2; x e (-8,-4] f(x )~ 2x ; x e[-4,0) ; s(x)=- 3-x ; x e (-4,0] 2x2; x e[0,8) x2+3 ; xe(0,3] Intersección de los dominios Df, o Dg, => -8<x<-7 Df, o Dg,, =><f> Df, n Dg3 => <fi Df2 r Dg, => x =4 Df2nDg, => -4< x <0 Df2r Dg3 => </> SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Df, n Dg, => <p Df., n Dg3 => 0 < x < 3 Operaciones con funciones p+sl*)- Df„ r Dg, => <f> x ; - 8 < x < - 7 -28 ; x — 4 ; [ f - g » = 3 x 2 ; 0 < x < 3 2 x 2 - x ; - 8 < x < - 7 12 ; x = —4 x 2 - 4 ; 0 < x < 3 [f.g](x) = x 3 - x “ ; - 8 < x < - 7 ■f' 160 X =—4 ; 2 x 4 + 2 x 2 - 4 ; 0 < x < 3 .8. (x) = 1— x 2 1—x 2(x2-1) x +2 ; - 8 < x < - 7 ; x = -4 0 < x < 3 Í2x +1; x e [0,1) Í3x; xe(-1,l] e) f(X)=j x» , X < 2 ,5 ): * |2 x ; xe(0,3] Intersección de los dominios Df, n Dg, => 0 <x <1 Df2 n Dg, => <p Operaciones con funciones Df, n Dgj =><f>• Df2n Dg„ => 2 <x <4 nili 5x 1 ; 0 x <1 - , í—x—1 ; 0 < X < 1 P +8» H y + 2 x ; 2 £ x £ 4 .- [f -s» = L 2 á x s 4 [f-S](x) = 6 x 2 - 3 x ; 0 < x < 1 2 x 3 2 < x < 4 (*) = - — - ; 0 < x < 1 3 3x - ; 2 < X < 4 2 SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 140. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) f) f(x)-í |x| ;X<-,'3). c lx u l^ XS(1'4^ ° f(X ,Í3 - 2 x j x<3,6] ' •' ' I |x| ; xe(5,7] Se desarrolla las funciones x ; x >0 x = -x ; X <0 f(x) = -x ; —1<X <0 x ; 0<x<3 3-2x; 3 <x <6 [5 ; 5<x<6 , v ' H b ; 6£x<7 ^ S(X) = Intersección de dominios Df, nDg, Df, Dg3 Df2n Dg2 Df3n Dg, Df3n Dg3 Operaciones con funciones /x-1 ; 1<x <4 5 ; 5 <x <6 6 ; 6<x<7 => <t> Df, n Dg2 =><P => <t> Df2n Dg2 => 1<x<3 => Df2n Dg3 => <t> =>3<x <4 Df3n Dg2 =>5<x<6 => x =6 [f +S » - x+V x-í ; 1<X <3 • 3-2x +>/x-l ; 3<x<4 8-2x ; 5<x<6 -3 ; x =6 CAPITULO I SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net _____________ -l w w w .dduk.peru f‘ot' www.solucionarios.net CAPITULO I g) EDUARDO ESPINOZA RAMOS « P - S j x ) - X - /x- 1 1<x <3 3-2x -7 x -1 3 <x <4 X OJ i 00 1 •5 <x <6 -15 o ii X x+Vx-1 ; 1<x <3 [f.g](x) = j(3 - 2 x )- > / ^ T ; 3 í x <4 5(3-2x) ; 5 <x <6 (x) = -54 x =6 x yjx -1 3-2x Vx^T 3-2x 5 3-2x f ( x ) J x !- 1: M £2 ; g(x)= !X- ,:0SX<- 3 U I X ; x>2 u lx+1; x<0 Arreglamos la función f(x): I x I <2 => -2<x <2 f ( x ) J x' - , ; - 2 Sx S2 ' x : x>2 Intersección de los dominios Df, r>Dg, => -2 <x <0 Df, n Dg, => <j> Operaciones con funciones 1<x <3 3<x <4 5<x <6 x =6 Df, n Dg„ =>0 <x <2 Df n Dg., 2 <x <3 X' - 1+X+1 -2 <x <0 x’ +x ; - 2 <x <0 P +S jx )* « x2- l +x-1 0 <x <2 =•x2+x-2 ; 0< x <2 x+x-1 2<x <3 2x-1 ; 2<x <3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 141. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ; ..................................................... CAPITULO ¡ [ f - s » - [f.gjx) = x2-1 - x-1 X‘ - 1- X +1 x-x +1 (x2- l)(x - l) (xa—l)(x —l) x(x-1) -2 <x <0 0 <x <2 = 2 <x <3 -2< x <0 0 <x <2 = 2 <x <3 x2-x-2 ; -2 <x <0 x2-x ; 0<x<2 1 ; 2 <X <3 xJ +x2- x-1 ; - 2 <x <0 x3- xJ - x+1 ; 0 <x <2 x ' -x ; 2 <x <3 (* )« x2-1 X —1 x2-l X —1 X ; -2 <x <0 ; 0 < X <2 = X —1 2 <x <3 x—1 ; -2 <x <0 x+1 ; 0 £ x <2 x x^í -x / V [>/1-x ; x <1 , x Hallar (f +g)(x) Donde: f(x.)=^ ; g(x) = I vx ; x >4 x" -1 ; x <0 x x+5 0 <x <2 x >2 Intersección de los dominios Df, n Dg, => x <0 Df, n Dg3 => <f> Df2n Dg2 => <f> Df, rDg2 =>0 <x <1 Di, n Dg, => <¡> Df2r Dg3 => x >4 Operaciones con funciones [f +g](x) = Hallar (f +g)(x) Donde: >/l-x +x2 ; x <0 x+>/l - x ; 0 <x <;1 x+5+s[x ; x >4 SOL'JCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www edjkperu.í www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « f(x) = X € (- 4 ,- 1 ] X€[0,2] p - 1! (xj +l- ; x €[0,2] ; g(x) |x-2| +3 ; xe(-l,0)u(2,3] 3 ; x€ (-4,-1] -2; x e [0,2 > - 3 ; [ - l , 0 > u [ 2 , 3 ] ■ m ' n w r Desarrollamos las funciones de mayor entero y valor absoluto: n<|x-l|<n +1 =>n<x-1<n +l => n+1<x<n+2 í-5 -4 -3 -2 - 4 <x <-3 - 3 <x <-2 -2 <x <-1 -1 <x <-0 n<|xl|<n +l =* 11x11= 0; 0£ x <1 1; 1<x <2 ; |x-2| = 2; 2< x <3 x - 2 ; x >2 2 - x ; x <2 II + X 1 ; 0 <x <1 2 ; 1<x<2 ; 3 ; 2 <x <3 |x-2| +3 j X+, ; X i 2 [5-x; x<2 De donde f(x) tote/ y 013jos lo^bm :4>asm -5 ; - 4 <x <-3 -4 ; - 3 <x <-2 -3 ; -2 <x <-1 i ii X <N 1 5 ; xe(-4,-1) n<[x]<n +1 => [xj =. 1 ; 0 £ X <1 ; g(x) =■-2; x e (0,2) 2 ; 1<x <2 3 ; x =2 -3; [-1,0)u[2,3) 5 - x ; —1<x <0 x+1 ; 2 <x <3 www edukperu.com www.solucionarios.netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
  • 142. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Intersección de dominios Df, n Dg, => - 4 <x <-3 Df3n Dg, => -2< x <-1 Df5n Dg2 => 0 <x <1 Dfqn Dgj Operaciones con funciones: [f +g]( x) = Df2 n Dg, =>-3 <x < Df, n Dg3 => x =-1 Df„ n DSo => 1^ x <2 1 ; - 3 <x <-2 2 ; -2 <x <-1 -1 ; 0 <X <1 0 ; 1^ x <2 -5 ; X =-1 2 - X ; -1 <X <0 x - 2 ; 2< x <3 O Dadas las funciones definidas por Í4x +|xJ ; xe(-3,0) JI- x J- 5 x ; xe(-4,-l) [|x2+l|-3; x e (1,6) ' S X [ |x-3| ; xe(0,2) Desarrollamos las funciones de mayor entero y valor absoluto: n <flx1< n+1 x = - 3<x <-2 -2 <x <-1 -1 <x <-0 n<|-x]<n +1 => -n £ x >-n -1 => IIxU= 0; -1< X <0 1; - 2<x <-2 2 ; - 3<x <-3 3 ; -4 <x <-4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULO I -2 Hallar (f +g)(x) www.solucionarlos,net lx-3| =j X~3 ' X£3 ; |x2+1¡= X2+1; V X € * (3-x ; x <3 1 CAPITULO! ( EDUARDO ESPINOZA RAMOt « De donde: |í f(x) = 4x-3 ; -3 <x <-2 4x-2 ; -2 <x <-1 4x-l ; -1.<x<0 x2+1- 3 ; 1<x <6 S(x) = 1-5x 2-5x 3-5x 3- x -2 <x £ -1 - 3<x <-2 - 4 <x <-3 0 <x <2 4x-3; - 3 <x <-2 <y 4x-2 ; -2 <x <-1 4x-1 ; -1 <x <0 x*-2; l<x<6 brn oó 20(K) u >0 ' j 0 >X :x- Intersección de dominios Df, o Dg, => <p Df3r Dg, => x =-1 Df, o Dg,, => - 3 <x <-2 Df, nDg„=>^ Df, Dg3 => <p ^ Dg3 => <f> Df, o Dg, => <f> Df3n Dg4 => <t> Operaciones con funciones pQ (f +g)(x) = 1 —X—1 2 1 x2- x+3 <K3 ¿CJ > X £ (J ; 0 Df„ o Dg, =>- 2 <x <-1 >x ¿ 2 - •í| Df, r Dg3 => <p Df2r Dg., => x =-2 Df, o Dg„ =><fi Df2r Dg, => <p Df, nDg., => <f> Df, r Dg4 => 4> ii(TK>t) 9 b n o i D D 6 < n ^in l <fi c= n ,KI Df, Dg, -3 <x <-1 a x * -2 ,gü c ¿KJ >1<x<2 C= jg a n ,K1 k,<r: #3 r JKJ x =-2 x =-1 1<x <2 , de donde se tiene: *3 r ,KI -www.edufcperu com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 143. www.solucionarlos,net ): EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I O (f +S)(x) = —X —1 2 1 x2- x+3 3 <x <-1 a x * -2 x =-2 X = —1 1<x <2 Hallar ('f'l , . X ; xe[-5,-l] I « “ 2!; *6[0,3) - (x) donde: fix) =J ; S(x) =1 , r_ I s J [2x ; x«[l,4] I x ! xe[3,6] Desarrollamos las funciones de mayor entero y valor absoluto: M - x ; x<0 ! X e [‘ 5'-1] n<[x|<n +1 => |xJ = 0 ; 0 <, X < 1 1; -1 £ x <2 , de donde: 2; -2 <x <3 f(x) = -x; -5 <x <-1 2x; 1<X<4 S(x) = Intersección de dominios Df, r Dg, => <p Df3n Dg, => x =-1 Df, r Dg,, => - 3<x <-2 Df3n Dg2=><f> Df, n Dg, => 4> Df3n Dg3 => </> -2 ; 0<x <1 -1 ; 1<x <2 0 ; 2 <x <3 x2 ; 3 <x <6 Df, n Dg, Df, n Dg, Df2n Dg., Df4n Dg, Df,, n Dg3 Df, n Dg. -2<x<-1 x =-2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net vvww.edukperu ;cr* www.solucionarlos,net CAPITULO I Df, nDg, => <p Df3r Dg, => <¡> Operaciones con funciones: Di, o Dg, Df, o Dg, (f +g)(x) = (f +s)(x) = -x- 1 ; - 3 <x <-2 2 ; x =-2 -x- 1 ; -2 <x <-1 1 ; X = —1 x2- x+3 ; 1<x <2 —X —1 ; - 3 < X < - 1 A x *-2 2 ; x =-2 1 ; X = —1 x2-x +3; 1<x <2 12. Hallar (f +g)(x) y graficar donde x—1 ; x [-4,-1] f(x) =-j x ; x [0,2] ; g(x) = |x-2| +3; x (-1,0)^(2,3] x—1 x |x-2|-t ></> > 1<x^2 ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ; x [-3,-1] ; x [0,2] 3; x ([-1.0)]u[2,3] www e-tjt i«) -com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 279
  • 144. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) Df, n Dg, => (p • Df3n Dg, => -2 <x <-1 Df5n Dg, => <p Df7n Dg, =><¡> Df, n Dg, => <p Df2n Dgj => <¡> Df, o Dg,, => <p Dfbr>Dg., => 1<x <2 Df8n Dg2 => <p Df, n Dg3 => <p Df3n Dg3 => </> Df5n Dg3 => <p Df7 n Dg, => x =2 Df„ n Dg} => 2 <x <3 Luego; [f +s ](x ) = CAPITULO I Df2r Dg, =>- 3 <x <-2 Df, n Dg, => <p Df6n Dg, => <p Df8o Dg, =><p Df, n Dg2 => <p Df3n Dg2 => <p Df5n Dg„ => 0<x <1 Df7r Dg2 => <f> Df0n Dg2 => 4» Df2 n Dg3 => </> Df4n Dg3 x =—1 Di, n °S 3 =* <P Df8n Dg3 => -1 <x <0 2 : - 2 <x <-2 3 -2 <x <-1 -4 ; -1 2 0 <x <1 1 ; 2 3 -4 1<X <2 r, v x =-1 = [ f +s](x) =' 2 ; 3 ; - 3 íx < - 2 u 0 íx < l -2<x<-1ul<x<2 1 2 3-x; -1<x <0 3 -x -1 <x <0 X - 1 ; 2<x <3 x—1 ; 2 <x <3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I . www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Y ‘ y; -4 -3 -2 -1 é............................ -1 2 3 ,£-x2* © Halle D ,.,nR si f(x)={S,( > < ) g(x) =| h(x) ; [x +2; xe[2,x) [2x-1 ; xe(2,oo) Df, n Dg;, =></> Intersección de los dominios: f- Df, o Dg, =>-1 <x <1 Df2n Dg, => <f> Df2o Dg2 => x >2 íg(x) +li(x) ; - I <x< I x2+2x +1 ; x>2 2 Luego: [f +g jx ) = Si x>2 =>x +1>3 =>(x +1)2>9 de donde R)¡?=y>9 Luego: Df+g u R Ug = x>2n y >9 => (9,x) O Dado las funciones f(x) =2x-3, -1 <xíS3; g(x) =x-[x|, x€ÜK.Hallar -j(x ) jH g w i.ir a r o :f DfnDg; -1 <x <3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 145. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO I © Se desarrolla la función mayor entero en el intervalo dado: n<[x|<n +1 => |x| = -1 -1< x <0 0 0 <x <1 1 1<x<2 2 2 <x <3 3 3 <x <4 De ¡onde: f(x) =2x-3, -1 <x <3 ; g(x) =x-flx| = Operaciones con funciones: Dado las funciones (25- x 1 x+2 f(x ) = 2x-3 x+1 2x-3 (x) =. X 2x-3 x—1 co 1 X (N x-2 5 x+1; -1 <x<0 x ; 0 <x <1 x-1 ; 1£x<2 x-2; 2 <x <3 o CO ii X ,5r> ,Q 9 7- x I' x- 4 2 >iF-3¡ ; | Sx<4 s ( x) ~ -1 <x <0 0 <x <1 1<x <2 2<x <3 |x—11x2—2x ; -1<x<2 |x-4| ; 2^x<9 Hallar (f +g)(x) y graficar Se desarrolla la función mayor entero en el intervalo dado x+2 x- 4 <0 x € (-2,4) Con la función SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ut25-x H(x) =y =— x = / - X 7y- 25 y-1 De donde f(x) = -2 <x <1 1<x<- 2 5 17 - <x <— 2 5 17 — <x <4 5 Para el valor absoluto: |x- 3|= -2< x <1 X -3 ; X >3 3 - X ; x <3 De donde f(x) = 3 4 6 Vx-3 >/3^x 1<x <- 2 5 17 - <x <— 2 5 17 <x <4 Para la función g(x): |x- 1|= 5 x >3 - <x <3 X — 1; X >1 1— X ; X < 1 |x~4|= x - 4 ; x >4 4 - x ; x <4 S(x) = |¡x—1—2||x2-2x 1<,x <2 X 1 OJ X fO 1 5? 1<x<2 ||x—1—2j|x2-2x - I <x <1 ||-1-x||x2-2x ; —1<x <1 x-4 4 <x <9 x-4 4 <x <9 4-x 5 - <x <4 2 4-x 5 - <x <4 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 146. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I $ Ahora las funciones mayor entero n <||x-2|| <n+1 n<x-3<n+l => n+3<x<n +4; ||x—3||=—2; 1<x<2 n<||-l-x||<n+1 =>n<-l-x<n +1 =>n +l<-x<n +2 -n-2<x<-n-1 II-1- x||=i l ' 1<X de donde: (f +g)(x) = -2 ; 0 <x <1 V /V ; Hallar (f +g)(x) y graficar donde |x2|+|x2-l|-3; xe[-2,2] -2x2- 2x ; 1<x <2 - X 2 -2x ; -1 <x <0 -2x2- 2x ; 0<x <1 x-4 : 4 <x <9 4- x - <x <4 2 f(x) = 2x - 1 / o ,: S ( x ) = ; x e (2,4) 4—lix2II; x <2 x—1 -2 ; x >2 Df, AÜg, =>-2 <x <2 Df2a Dg, =><f> De donde (f +g)(x) = ; Df, a Dgg =>x =2 ; Df2a Dg2 =>2 <x <4 5- |x2-1| ; -1 £ X <2 ||x2||+|x2-2| ; x =2 2x-1 x—1 -2 ; 2 <x <4 Pero Ix2-1| = x2-1 ; x <-1 u x >1 1 - X ? ; -1 < X < 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (f +g)(x) = 4+X2 ; - 1<X <1 6-x ; -2 <x <-1 kj 1<x <2 2 ; x =2 —— ; 2 <x <4 x—1 © Dadas las funciones f(x) =2x-||2x +[xj¡; ^<x<1; g(x) =||x-2|-|x||; |x|< 1 Hallar (f +g)(x) Desarrollamos f(x): |xj =0 <=> 0 <x <1 => f(x) =2x-[2xj; ^ <x <1 x(l =n => n <2x <n+1 => -<x<^-^ 2 2 x| =1; ^<x<1 => f(x) =2x-1; ^<x<1 Para g(x) =||x-2|-|x||; —1<x <1 . .x ; x >0 , fx-2 ; x >2 x=i ; x-2=^ 11 l-x; x <0 1 1 12-x ; x<2 g(x) = 1 Luego: Df O Dg :—<X <1; (f +g)(x) =2x-1+2-2x =1; —<X < 1 X 1 X 1 CM ; 0 ^ X < 1 [|2 - 2 x | ; 0 < x < 1 j | 2 - x + x| ; -1 < X < 0 | | 2 - x + x| = 2 ; -1 < x < 0 ^ Hallar (f +g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x) donde SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 147. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I f(x ).I3X" ,!X ,["U ) g (x )J2^ ' X^ 0,3) I 5x ; x 6 (1,6] ’ | x-2 ; xe (3,5]u[6,8) f(x) =j 3X" 1 :X e t" 1’1) • gíx) =j 2^ X£t° ,3) [ 5x ; xe(l,6] ’ j x-2 ; x e (3,5]v^[6,8) Intersección de los dominios es: Df, uDg, => xe[0,l) Df, uDgo => <f> Df2uDg, => xe(l,3) Df2uDg2 => xe(3,5]^x =6 Operaciones con funciones: [ f + g » = [ f * ) = 3x+2-Jx ; xe[0,1) 5x+2Vx-1 ; xe0 6x-2 ; xe(l,3) 3x-2>/x+2 ; xe[0,1) 5x-2Vx +l ; X€(l,3) 4x-2 ; xe(3,5]ux =6 w = 3* +^ ; x eTO,!) a x ? ¡ - 2x+1 L ’4 5x 2 V ^ T ’ x e 0.3> ^ 2 ■ x e (3 ,5 ]u x =6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO I cEDUARDO ESPINOZA RAMOS « Hallar (2f-4g)(x) Calcular y graficar donde |x~—4| f(x) = xf|; x«(-1,l) |x-3|; x € [l,4> ; s(x)= x+2 2 ¡_ | 2x-l x I 13x -1 ; -1 <x <0 -1 ; -1 <x<0 0 ; 0 <x <1 0 ; 0 <x <1 1 ; 1 £x<2 ü —» X II i 00 11 1 ro 1<x <2 2 ; 2< x <3 i n co 1 CM 2<x <3 3 ; 3 <x <4 3-3=0 ; 3 <x <4 X I = Para la función g(x): El desarrollo de y =— en modo gráfico. x Luego: j “ | =0 en xe[l,10) La función valor absoluto x2-4 © . x -4 = Jx2-4 ; x e ^-oc,-2]u[2,x¡) 4-x2 ; xe(-2,2) Calcular (f +g)(x), (f - g)(x), (f.g)(x), f- l(x ) y graficar donde a) g(x) ='/x; DS=[1,4] am sm m f Df, n Dg, =>1<x <2 Df2n Dg => 3 <x <4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 148. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I i , w2x-1+/x; !< xS2 . . . í2x—1- y f x i 1£ x <2 ( f +S)(x)= ; (f-S)(x) = I vx+3 ; 3<x<4 . ( 3-vx ; 3<x<4 (f.g)(x) = f(2x - 1)Vx ; 1<x <2 ( n 3n/x ; 3<x<4 U J (x) = 2x-1 ; 1<x <2 - j= ; 3 <x <4 n/x b) f(x) = X ; X <1 3x ; 1<x <3 ; s (x) = Cos(x) ; X>3 -x ; X <-2 11 ; 2 <x <3 34 ; x >6 Las intersecciones de los dominios: Df, n Dg, => x <-2 Df2 n Dg, => <f> Df2 n Dg¿ =>2 <x <3 Df3n Dg3 => <p Df2Dg, => <p Df3n Dg, => <p Df3 n Dg, => <p Df2o Dg3 => <f> Df3o Dg3 => x >6 (f +g)(x) = X - X =0 ; X <-2 3x +ll 2 <x <3 = 34+Cos(x); x>6 x+x =2x ; x<-2 (f-g)(x) =- 3x-ll ; 2<x<3 = Cos(x)-34 ; x>6 x(-x) =-x2; x <-2 (f-g)(x) = 3x(11) ; 2<X <3 = Cos(x)(34) ; x>6 0 ; X <-2 3x +11 ; 2 <x <3 34+Cos(x); x>6 2x ; x <-2 3x-ll ; 2<x<3 -34 +Cos(x); x>6 - x2 ; x <-2 33x ; 2 <x <3 34Cos(x); x>6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www eduFpéru.C^m www.solucionarios.net CAPITULO I C) ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « w - — =-1 ; x <-2 x -1 ; x <-2 3x3x 3x n - = 2< x<3 =| - ; 2<x<3 Cos(x) Cos(x) - x >6 34 34 x >6 l xI x 4 ; x <3 / í x •x<2 f(x)= ______“ ; s ( x ) = J ’ f l Vx3- 16 ; X >4 lx 1 .X > 5 Las intersecciones de los dominios Df, r Dg, =>x <-2 Df, Dg2 =><f> Df2 n Dg, => (f +g)(x) = ( f - S ) ( x ) = ? (*)r»3 +¡!(x xilK-4||+x ; x <—1 V x 2 -16 +X - 1 ; x >5 (Ixllllx2 - 4 | | - x ; x < -1 (f.g)(x) = [Vx2-16 -x+ 1 ; x >5 x|x||||x2-4|| ; xS-1 ¡ ] W = (x-1 )>/x2-16 ; x>5 xBllx2-4|| ----- ; x ^ -1 X Vx2-16 x-1 ; x >5 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net 289
  • 149. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I C, ^ i 1_2x ; -3 <x <-1 í x2 ; x <2 d ) ( * H ' | - 4 + CO Sx ||; x >0 ; =ix - l ; X>5 Las intersecciones de los dominios Df, n Dg, =>-3<x<-1 Df, n Dg,, =></> Df, o Dg, => <p Df„ n Dg., Para el coseno en 0 <x <n de donde x = 1 ; x =0 0 ; 1<X <— 2 -1 ; —<*< n 2 Í1-2x +x2 ; -3 <x <-1 (f +S )(x) |J_4 +cos^x)| +sen(x) ; 0<x<;r ( f + S ) ( x ) = 1-2x +x‘ +x2 ; -3£x<-1 -3 ; x =0 Sen(x)-4 ; 1<x <n 71 —<x </r 2 (f -S)(x) = Sen(x)-5 1-2x-x2 |[-4+Cos(x)|-Sen(x); 0<x<;r ; -3£X<-1 (f-3)(x) = 1-2x-x2 ; -3£x<-1 -3 ; x =0 -Sen(x)-4 ; 1<x <n -Sen(x)-5 ; ^ <x <,n ;i _ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (f.g)(x) = í(l-2x)x" ; -3 <x <-1 (fg)(x) = ||-4+Cos(x)|Sen(x) ; 0<x<;r x2(1—2x) ; -3 <x <-1 0 ; x =0 -4Sen(x) ; 1<x <n -5Sen(x) ; (x) = 1-2x ; -3 <x <-1 |-4+Cos(x)| Sen(x) 0 £ x <;r 1-2x ; -3 <x <-1 x* -4 n ---— ; 1<x <— Sen(x) 2 -5 n ---7—r; —<<7T Sen(x) 2 í x +3; xe[-4,0] Í2x-4; e) f X) H # v i S x [3x +2; x e (0,5) [2-X ; Las intersecciones de los dominios Df, n Dg, => -3< x< 0 Df2n Dg, => 0 <x <2 Las operaciones; x €[-3,2] x e (2,8) Df, n Dg« Df2n Dg,, 2 <x <5 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net jj|--
  • 150. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO I (f +g)(x) = (f-s)(x) = x+3+2x-4 3x+2+2x-4 3x+2+2-x -3 <x <0 0 <x <2 =■ 2<x<5 3x+1 5x-2 2x+4 -3 <x <0 0<x <2 2<x <5 x+3-2x+4 ; -3 ^ x <0 3x+2-2x+4; 0<x<2 3x+2-2 +x : 2<x<5 x+3)(2x-4) (f.g)(x) =j(3x +2)(2x-4) [(3x +2)(2-x) x+3 -3<x<0 0 <x <2 = 2<x <5 7 - x ; -3 <x <0 x +6 ; 0 <x <2 4x ; 2 <x <5 2x2+2x-12 ; -3 <x <0 6x2-8x - 8 ; 0<x<2 4x-3x2+4 ; 2<x<5 (x) = 2x-4 3x +2 2x-4 3x +3 2-x ' ; -3 <x <0 ; (2x-4) 2 <x <5 yJx-2 ; x e [2,4) 0 fM = ri S(x) = |x2- 14x+48 ; xe[6,10) R q iiW r .V M Í 2 1 ¡x6[>8) |2x-10|; xe(8,12) Desarrollamos - 2 : n <u- If <n+1 2x <x <2n+2 con n =0 0; 0 <x <2 1; 2<x<4 donde 2; 4Sx<6 II 2 3 ; 6< x <8 0 1 2 3 2x-10 1<x<2 2 <x <4 4 <x <6 6 <x <8 8 £ x <12 Las intersecciones de los dominios SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I f EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Df, n Dg, =>0 Df, n Dg3 => <t> Df2 o Dg, => <f> Df, n Dg, Df, n Dg4 Df„ n Dg, Df, n Dg4 => 6 <x <8 Df2n Dg^ Las operaciones =>-4 <x <6 => <t> Df, o Dgs => <p Df2 n Dg, => 8<x<10 (x) = x+3 2x-4 3x +2 2x-4 3x +3 2-x ;-3 <x <0 I (2x-4) ; 2<x <5 Vx-2 ; xe|"2,4) 0 f(x)= y 1 ; g(x) = [x2-14x +48; X € [ó,10) f| i xe[>8> |2x—10|; x e (8,12) Desarrollamos ^ : n< ^ <n +^ =>2x<x<2n+2 con n =0 0 ; 0 <x <2 1' 2“ X <4 , de donde ii-»= < 2 ; 4 <x <6 II 2 3 ; 6< x <8 0 ; 1<x <2 1 ; 2 ú x <4 2 ; 4 <x <6 3 ; 6<x<8 2x—10 ; 8<x<12 Las intersecciones de los dominios Df, n Dg, =><fi Df, n Dg2 =>- 4 ^ x <6 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 151. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Df, n Dg3 => 4> Di, c Dg, => <p Df, n Dg, => <j> Df2n Dg, => (f> Df, n Dg- =$ <p Df r Dg. => <f> Df2n Dg, => 6<x<8 Df, n Dg:> =>8<x<10 Las operaciones (f +g)(x) = (f-g)(x) = Vx-2 +1 ; 4 <x <6 x2-14x +48+3 ; 6<x<8 = x2—14x+48+2x—10 ; 8<x<10 Vx-2 -1 ; 4<x<6 x2-14x +48-3 ; 6<x<8 x2—14x +48—2x +10; 8<x<10 Vx-2 +1 ; 4 <x <6 x2-14x +51 ; 6 < x <8 x2-12x +38 ; 8 < x <10 Vx-2-1 ; 4<x<6 x2-14x +45; 6<x<8 x2-16x +58 ; 8 <x <10 Vx^2 3(x* -14x +48) (x2- 14x+48)(2x —10) Vx-2 ; 4 <x <6 4 á.x <6 6 <x <8 8 <x <10 x2-14x +48 x2- 14x+48 2x-10 ; 6< x <8 ; 8<x<10 S)f(x)=(|x2‘4|:xe[r,'!];s(x)=íx+2;xs-2} 2 ; xe[l,6) 1 1 ; x<-2 Desarrollamos |x2- 4|: x2- 4 =0 =>x =±2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « De donde: |x¿ —4-|= x2—4 ; x <-2 u x >2 4—x2; -2< x<2 La función f(x): f(x) = x2-4 ; x e[-6,0 ! 4- x2; x e (-2,0] ; g(x) = 2 ; xe[l,6) Las intersecciones de los dominios; x+2 ; x £ -2 1 ; x <-2 Df, o Dg, =>-6 <x<2 Df2n Dg, => </> Df3o Dg, => </> Las operaciones (f+g)(x)- Df, n Dg* =>x =-2 Df2n Dg2 => - 2<x <0 Df3n Dgj => -1 <x <6 (f-S)(x) = C2— 4 +1 ; -6 £ x <2 en i 04 X - 6 <,x < -2 - 4 + X+4 ; x =-2 0 OJ i ii X ^-X2+X +2 ; -2 <x <0 6- x2+x -2^x<0 2+X+2 ; 1 < x <6 x +4 1 < x < 6 X2- 4-1 ; -6 £ x <2 x2-5 ; - 6 £ x <-2 2- 4 - X - 2 ; X II i K5 1 0 ; X ti i to CM i X l 04 X 1 - 2 <x £ 0 fO 1 XfO 1 X -2 ^ x ^0 2+x-2 ; 1 <x <6 x ; 1 £ x <6 (f s)(x) = x -4 - 6 < x <2 (x=-4 )(x - 2 ); x =-2 /f , (4-x: )(x-2); -2<x£0 IsJ 2(2 +x) ;1<X<6 x2-4 x2-4 x - 2 x2-4 x - 2 2 2+x -6< x <2 x =-2 -2 <x £ 0 1<x <6 BpftV' ^akü9fXt corr- SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net Ü
  • 152. www.solucionarlos,net y EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULOI f/v^_|lX~1HSsn(3'x)I;X£[°'6] Ilx“2l;x^-8'3)8 U { x2 ; x e (6,10) ' 81 ' [x|x-2|; xe<3,8] Desarrollo |Sgn(3-x)|: Sgn(3-x) = 1 x <3 0 x =3 -1 x >3 Luego: f(x) = |x - 1| x e [ o , 3 ) 0 X=3 T i -/ i lt jx-1 x >l . También x-1 =^ -|x - 1| x e (3,6] —x x<1 x2 xe(6,10) De donde: |x-2| = x-2 ; x >2 2-x ; x <2 S(x) = 2-x -8<x<2 x-2 2£ x <3 (x-2) 3 <x <8 O Determinar fog, cuando: f ={(1,3);(2,4);(3,5);(4,6)}; g ={(4,1);(l,2);(6,3);(0,-2)} i F T H i f ' i í P * fog ={x e Dga Rge Df} # <f> Dg ={4,1,6,0} n[{l,2,3,-2} e Df ={(1,2,3,4}] Dg ={4,1,6,0}n[!,2,3]=>{l}*¿ Luego: fog ={(4,3)} Determinar fog, gof, cuando: f ={(0,1);(1,2);(2,3);(4,3);(5,2)}; SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.edufc oenj.ó-r www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « n O S ={(6,7);(5,4);(4,3);(2,4);(1,4);(0,7)} K W a) fog ={x€DgARg€Df] Dg ={6,5,4,2,l,0|r,[Rg= {7,4,3} s Df ={(0,1,2,4,5}] Dg ={6,5,4,2,1,0}r[4]=^ {4} *<p Luego: fog ={(4,3)¡(2,3);(1,3)} b) gof ={x€Df a Rí €Dg}' ° i * Df ={0,1,2,4,5} n[Rf ={1,2,3} e Dg ={(6,5,4,2,1,0}] Dg ={0,1,2,4,5}n[l,2]^{l,2}*¿ Luego: gof ={(5,4);(1,4):);(0,4)} Hallar gof si: f ={(2,5);(3,4);(6,2);(5,0);(1,7)} g ={(4,8)¡(5,3);(0,9);(2,2)¡(7,4)} da/, i , gof ={xeDfARfeDg}*í> Df ={2,3,6,5,1} n[Rf - {5,4,2,0,7} e Dg={(4,5,0,2,7}] Dg={2,3,6,5,1}n[0,2,4,5,7]=> {2,5} * «i I&91 Sld6ÍlbV ab rfOl:' •! 2V HilXlLft '¿t>I - -rT16it)Olr?;u: ) Luego: gof ={(6,2);(2,3)} $ Hallar gof si: f ={(2,5);(5,7);(3,3);(8,1)¡; s={(1,2);(2,3);(4,5);(6,7)} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 153. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ■IHggiWWriTTif gof ={x g Df a Rf g Dg} * <p Df = {2,5,3,8} n [ Rf ={5,7,3,1} g Dg = {1,2,4,6}] Dg = {2,5,3,8} o [ l ] * <f>. Luego: gof =<¿ @ Si f(x) =| 3X 2 ' ; g(x) =x2+1. Hallar (fog) (x) l x ; x g [4,6J gjjnrjrrrn Definimos las funciones según se muestra . . í f . : 3 x - 2 ; - 4 £ x > 5 . . „ f x = 1 ; g(x) = x + l V 1 [f2: x ; 4 < x <6 V ’ ftog ={x g DgARg g Df,} * <f> x g ^ R u x 2+1 g [-4,4) => - 4 < x i!+ l< 4 =>- 5 < x2 <3 -y¡3 < x < n/3 => f,og =3(x2+ l)- 2 =3x2+1 f2og = {x cD g A R g G D f2} * <p x g W o x g [4,6) 4 < x < 6 * 0 =>fgog = x‘ +1 Finalmente fog = 3x-2 - V3%< <>¡3 x2+1 4 <x <,6 $ Consideramos las funciones reales de variable real S (x )* { X ' X<° ; f(x) = ] í +2, X ~!- Hallar (fog)(x) 1—x; x£0 • 11—x ; x <1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net CAPITULOI www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 0 Definimos las funciones según se muestra: « í x u ! S,(x) =x2 ¡ X<° ■ flxl =l f,(x) =x+2 ; XS1 1 ’ [g2(x) =1-x; x>0 U [ft (x )- x - l ; x >1 f,O g, : f,o g , := {x g D g , A R g, g D f ,} * (¡> X<0 A x 2 g x < 1 => x<0 A x2 < 1 => X<0 A —1< X < 1 ==> -1 < X <0 * 0 Luego; f,og, =x2+2 f,og2:={x G Dg2ARg2G Df,} * <t> X>0 A 1-XGX<1 => x£0 A 1- X <1 => X>0 A x>0 => x>0 *<f> Luego; f,og2=1-x+2=3-x f2og, :={x g Dg, a Rg, g Df2} * <¡> x > 0 a x 2 g x >1 = > x>1 a x - 1 <0 = ^ x > 1 a x <1 => <f> f2og2 := {x g Dg2 ARg2 G Df2} * <f> X>0 A 1—X G X > 1 => X>0 A 1—X >1 => X>0 A X <0 => <f> Finalmente fog = x2+2 ; - 1 <x <0 [3-x ; x>0 Sean las funciones f y g definidas por: . í x2-5x ; x<-2 . , Í 2 x - 4 ; x > - 2 f(x) =i , , ; s(x) =i 0 . Hallar (fogXx) v ’ l|x-2|-2x; x £-2 ' [x +3x; x£ -2 ^ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 'ti
  • 154. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I Se desarrolla f(x): jx- 2| = x - 2 ; x£2 2 - x ; x <2 De donde: f(x) = 'x2-5x; x<-2 -x-2 ;-2 <x <2 2-3x ; x >2 Definimos las funciones según se muestra: f(x) = f, ( x ) =x 2 - 5 x ; x < - 2 f, (x) =-x-2 ; -2 <x <2 ; g(x) = g,(x) =2x-4 ; x >-2 g, (x) =xs+3x; x <-2 f,(x) =2-3x ; x>2 f,og| : = { x e D g , A R g , e D f , ¡ * <f> x >-2 n 2x-4 e(-oc,-2) => x>-2 n 2x-4 <-2 => x >-2 o x<1 z2< x*0 f,og2=(2x-4)2-4(2x-4) =4xs-26x+36 f2Og, := {x e Dg, a Rg, e Df2¡ * <f> x >2 n 2x-4e-2< x<2=>x>2 n -2 < 2 x-4 £ 2 => x > 2 o 1< x < 3 => 2 < x < 3 f2og, =-(2x-4)-2 =2-2x f3og, :={x e Dg, a Rg, e Df2}*<f> x > 2 o 2 x - 4 e x > 2 =>x>2n2x-4>2 => x >2 rx >3 =>2x >3 f3Og, =2-3(2x-4)= 14-6x f,og2:= {x e Dg2A Rg2e Df,} * <f> n jjj SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I S(x) = íg, (x) =1-x-4 ; x <-2 [g2(x) =2x ; x >6 Desarrollamos la composición f,og, :={xeDg, ARg, eD f,}*^ x <-2 n 2x- 4 => x >-2n2x-4 <-2 =>x>-2nx<1 f(x) =2x2+1; xe(-1,10) 1—x xe (-oo,-2) s(x)= 2x xe(6,oo) log =x e Dga Rg, € Df * <f> ,51a ,0sx Joj» x <-2a ! - x €(-2,20) x >6a 2x e (-2,20) x <-2a -2<1x <20 x >6a -2<2x <20 x <-2a-3< 1x<19 x > 6 a - 2 < x <10 x<-2a3<1x<-19 x e ( 6 , 1 0 ) * 0 ------ 'Y'------ X € (-1 9 ,-2 )* 0 Luego: X e <-’9'-2> ¡8x2+1 ; xe(6,10) 2x ; x <0 XJ f(x) =3x +2; xe<-oo,3>; g(x) = 3x ; x >1 {0,oo-> a f —x2 a f->x x e Dga Ige D7* <f> : SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
  • 155. www.solucionarlos,net » gPUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I x < 0 a 2 x £ < - o g , 3 > x >1a - 3 x g < —x , 3 > x < 0 a 2 x < 3 x > 1 a - 3 x < 3 X < O A X < - 2 x e< -oo,0] * (f> x £ 1a x > -1 =>x>i * <p Luego fog = Í3(2x) +2 =6x +2 ; xe<-oo,0] [3(3x) +2 =2-9x ; x >1 í2x —1;x < —1 J x ; x £ O jx +2 ; x >2 ; [2x; x>0 g,of, : xeD, a R7eDg* t}> x <,-1 a 2x - 1 e <-oo,0) x <-1 a 2x - 1£ O x <-1 a x <- 2 X <,-1 * ggOf, => xeD, A R, eDft x < -1 a 2x-1 e <-oo,0] x < -1 a 2x - 1> 0 x^-1 a x > —• =>ó 2 g,of2: xeDt a R^ x e D ^ jí x >2 a x +2 e <-oo,0] x £ 2 a x +2 £ 0 x >2 a x <-2 xeD, a R, eDa *%9* S,of2 x >2 a x +2 e x <0 x £ 2 a x +2>0 x >2 a x >-2 x >2* 0 g.,oí, =2x +4 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I w trrr www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Luego gof =«j f 2x —1 ; X <-1 2x +4 ; x >2 f(x) = x ; x <1 -1 ; 1<X<2 ; g(x) = 1 ; x >4 2 ; x <1 1; x>2 fog,: xeDg a R3eDg*0 f,og, : x£2 a le(-^o,-l) f,og, : x <1 a 2 e (-oo,-l) => (j> f2og, : x<l a 2e 1<x <2 => <f> f2og2: x>2 a 1€[1,2> => x>2*<(> f3og, : x<l a 2e [4,+oo>=> <j>, f3og2, x >2 a 1 e [4,+oo> Luego fog =-1, 1<x <2 Hallar fog y gof, donde f(x) =-j * X€P ^ ] ; g(x) =Vx ( x ; x e< 3,5] Dfog=(xeD? /xeDg a g(x)eD,} íf,(x) =2x-1; x e[0,2~| r f(x) =j J ; g(x) =>/x, x e [0 ,+ o o > [f2(x) =x ; x e< 3,5] Di,os =(xeD8/xeD3 a g(x) e D, } = ¡x e Dg/x e[0,-wo > a Vx e[0,2]j x e [0,+oo > a 0 <Vx <2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net H
  • 156. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I X€[0,-h» > a 0<x <4 => D(og=[0,4] Dt,o8=(xeDg/xsD9 a g(x)eDt } = {xeD g/x€ [0 ,+ o o > a Vx e<3,5]} •x e [0,+x > a 3 <Vx <5 => x e [0,+x> a 9 <x <25 x € <9,25] (fogXx) ={ (flOSKx): X e[° ' 4] l(f2Og)(x); x €<9,25] =j f.(s(x)); xe[0,4] lf2 (s(x)); x e< 9,25] (fog)(x)=Kx-,: x e [ 0 ' 4 ] [ Vx ; xe<9,25] f, (Vx); xe[0,4] [2,£-1; x 6[0,4] f2(Vx); x e< 9,25] } Vx ; xe<9,25] Si H(x) =>/x2-2x +3 y (Hof)(x) =^|xJ+3, calcular f(x) (Hof)(x) =H(f (x)) =^[x¡+3 ^f2(x)-2f(x) +3 =Jx J+ 3 (f(x )- l)2+2 =[xJ+3 (f(x )- l)2=lx| +1 => f(x) =1+>/|xJ+l SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I wwwedukpéfü.confc www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net ^p^LO, ^ EDUARDOESPINOZARAMOS « ^ s Íjx* 11•x <3 f x •x >4 I-----1 : S W = Ivl v * y < n y ¡7 T h x > 3 yx|-X,X<0 - jf,(x );x < 3 j g,(x );x * 4 ( ’ }f2(x); xS3 ' 31 ’ [S i(x ); x <0 (fog)(x) = (fi°gi )(x) ¡ xeD (oSi (f,°go)(x); XcD h (f2og,)(x); x € Dtogi (tyOg2)(x ); x e D l;09f Df(OS ={xeDSi/xeDg a g,(x)eD ( ¡, x e [4 ,+ o o > a x € <-x,3>, 3 <}> D(o8i ={x € /x e a g2(x) e D(i}, x € <-x,0] a I x I-x e <-x,3> x e <-x,0] a -2x e <-oo,3> 3 x e <-x 0] a — <x <x 2 X €<——,0] 2 (f,os! )(x)= fl(g! (x)) =f,(|x|-x) =||x|-x-lf, X<=<-|,0) = |2 x + 1 |X € < - - , 0 ] D(og =jx e Ds /x € Dg A g, (x) € D(J}, x € [4,fx> a x e <-x,3> x e (3,4] SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I BgT www.solucionarlos,net
  • 157. www.solucionarlos.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) (f2°S,)(x ) =f2(g, (x)) =f2(x) =Vx2+1, x e[3,4] Du^ ={xeDs /X6 Dg a g2(x)e D, }, x e <-x,0] a I x I -x e [3,+x> x € <-x,0] a -2x e [3,+x> x e <-x,0] A x e (- x ,- - (f2oS¿)(x) =f2(go(x)) =f8(|x|-x) =^(|x|-x)¿ +1 =V4x2+1, x e ^-x,-| ( f o g ) ( x ) = V 4 x J + 1 ; X < --- 2 |2x + l f ; - ^ < x < 0 V x 2 + 1 ; xe[3,4] /v í l ^ í ; x<0 i Calcular(fogXx)si: g(x) =< ( ; f(x) =vx +1; -l<x<2 [x2-1 ; x >0 awj.f«mriWTo:iMbt u tí ( fo s>)<x ) ; x e D '<*. ° S * l ( f°S 2)(x); x e D(ogj D(og, ={xeD s, /xeDs, a S,(x)eD ,} x e Dg a g, (x)e D, x € <-x,0> a |x|e[-1,2> x e <-x,0> a x € [-1,2> de donde x e [-1,0> CAPITULO I TEI SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www «lufcjwo cerní/ www.solucionarlos,net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « (fog, )(x) = f(g, (x)) = f([xj) = T lx J+ l, X € [-1,0> D«* ={xeDs,/xeDs, A S2(x)eD,} X£l A SsM eD , x € [0,+x> a x2-1 e D, x e [0,+x> a xe^-V3,>/3^ de donde xe[0,>/3^ (fog2)(x) =f(g2(x)) =f(x2- l) =>/x2-l+1 =Vx2 =|x|, x s [0 ,S ) •• (foS)(x) = Jx j+ T ; x e [-1,0 > |x| ; x e [0 ,S ) , - . . , x Í2x-5 ; x <2 ,, v [x2-2x; x <1 Calcular fog donde g (x )H ; f x) ={ 51 ' 1—x-2; x >2 V M ex ; x>1 JHK-TílTiriltiTM» (f,og,)(x); x e D, (fog)(x) = (f,°g2)(x) (f2°S,)(x ) (f,°S2)(x) f.oSi x e D x e D ».OS, (:o9, X € D f (x) =X2-2x ; X < 1 gi(x) =2x-5 ; x <2 f*X| 1 f2(x) =e' ¡ x í l ' S*X* [g¡,(x) =-x-2; x>2 Dv», ={xeDs, /xeDs, A S,W sD ,,¡ x e Dg a g2(x) e D, => x e <-x,2> a 2x - 5 e <-x,l> SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net w
  • 158. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I => x e <-x,2> a x e <-oo,3> x € <-oc,2> (f|°Si )(x) =f, (g, (x)) =f, (2x-5) =(2x-5)2-2(2x-5) =4x2-24x +35 ; x e <-x,2> ={x 6 D* /x e D,. A S2(x)e D, } x e Dh a go(x)e D, => x e [2,+x> a -x- 2 e <-x,1> ^ x e [ 2 , + x > a x e < - 3 , + x > x e [ 2 , + x > (f.°S2)(x) =^(s8(x)) =f,(-x-2)=(-x-2)2-2(-x-2)=x2+6x+8; xe (2,+x> Dw, ={xsD * /xeD». a S,(x)eD ,j xeD? a g,(x)€Dt x e <-x,2> a 2x-5e[1,+x> x e <-x,2> a x e [3,+x> => 4> 3 DIj03¡ ={X € Ds /X 6 A go(x) € D( } x e Dfl a g2(x)eD 1 => x e [2,+x> a -x- 2 € [1,+x> x e [2,+x> a x € <-x,-3] => <}> 3 (fog)(x) = 4x2-24x +35; x <2 x2+6x +8 ; x >2 Si f(x) =V2x-1 y g(x) =VÍx^-7r hallar la función h tal foh =g m m m r . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www edukpenj:corr • www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O (foh)(x) =g(x) =>/2x2-7 => f(h(x)) =V2x2-7 y¡2h(x)-=v/2x2-7 => 2h(x) —1=2x2-7 2h(x) =2x2-6 => h(x) =x2-3 Dadas las funciones f(x) =|2x +|2x||, -<x<1 y g(x) =I x +2 I -1x I, I x I < 1, hallar fogygof. jMH.wwra-iMr ^<x<l => l<2x<2 => |2x|=l f(x) =[2x+¡2x|| =[2x +l| =|2x|+1=1 +l=2 => f(x) =2, ^<x<1 /i »i i i [2 , 0<x <1 g(x) = x+2 - x = [2x +2, -1 <x <0 (fog)(x) =2; X 6 <-1,0> (goO(x), a Sean f(x) =2x2- l, g(x) =4x3-3x, x € R, probar que fog =gof. (fog)(x) =f(g(x)) =2g(x)2-1 =2(4x3-3x)-l =32x6-48x4+18x2-1 (gof)(x) =g(f(x)) =4(f(x))3—3f(x) =4^2x2- lj -3(2x2- lj =32x6-48x4+18x2- (fog)(x) =(goO(x) »' Si f(x +1) =3x+ 1, g(x) =2x - 3, hallar (fog)(x + 1) _ wvwrBtfukpert; com SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 159. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) www.solucionarlos,net CAPITULO I O *MHjnirariT.'Mr f(x + 1) =3x + 1 => f(x + 1) =3(x +1) - 2 => f(x) =3x - 2 (fogXx) =f(g(x)) =3g(x) - 2 =3(2x - 3) - 2 =6x - 11 (fog)(x) =6x - 11 => (fog)(x + 1) =6(x +1) - 11 =6x +6- 11 =6x - 5 (fogXx + l) =6x-5 iQ j Sean f(x) = |x2, x <1 -x3, x >2 ; S (x )= -x, x<2 2x, x>4 . Hallar gof Dsof * {xeD ( /xeDf a f(x)eD gj, calculando ,-HJO> (gof)(x) = 2x2 ; x <-2 -x2 ; xe(-V2,l) x3 ; x >2 Hallar fog y gof si existen, donde: f(x ). ~ i - « « H 1). s (x )J 1*1 ; x «[0,1 > |x2+l|, xe(1,2)IVx2—1; xe[1,3> D,oS =|0,1>w(l,>/2}u^>/2,>/5) mediante Dfog =jx e D,/x e D, a g(x)<=D,¡ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wwwfidtikpdfü Cortif www.solucionarlos,net CAPITULO I cEDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o (fog)(x) = -1 ; 0 £ x <1 1 ---- ; 1<X<V2 Vx*-1-1 x2 ; y¡2<x <IE D^f =(l,>/2) mediante ={x e Df/x e Df a f(x)eD gj (gof)(x) =Vx2+2x , ]<<y¡2 Hallar (fogohXx)si f(x) =x2+2x +l , g(x) =x-2, h(x) =x-3 (fogoh)(x) =(fog)(h(x)) =f(g(h(x))) =g(h(x))2+2g(h(x)) +1 =(h(x)-2)2+2(h(x)-2) +1 =(x-3-2)2+2(x-3-2) +1 =(x-5)2+2(x-5) +l =x2-10x +25+2x-10 +l =x2- 8x+16 /. (fogoh)(x) =x2-8x +16 Sean f(x) =ax +2, g(x) =x-6, a^O, b*0, si fog =gof, hallar b(a-l). inr» 1 (fogXx) =(goO(x) => f(g(x)) =g(f(x)) ag(x) +2 =f(x) - 6 => a(x - 6) +2 =ax +2 - 6 ax-6a +2 =ax-4=> -6a =-6 => a =1 b (a- l) =b(l -1) =0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 160. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO l Sean f(x) = O si existe. ^x+1: ,< x ^3 fx2IIx2I-2|x|; siV2<x<0 x ; S(x)= U. Hallar fog 2 ; 4 < x < 6 [x|x-3j+2 ; si 2<x<4 w(2,3)u[3,4 >, calculando mediante D f o s = ¡ x € D g / x e D 8 a S (x)e Df} (fog)(x) = Vx2+2x-1 ; X €< > V2x-1 1 3 ; x € ( 2 2 VT+x ; x €<2,3 > 1 ; x €[3,4] dadas las funciones f y g definidas por: f(x) = 2 x-2 ; x €<-1,1 > I 3- X I Vx2+2x ; xe[l,2 > g(x) = x-1 ' x € [ 2' 1>. Calcular (f o g)(x) y (g o fXx) 1—x ; X€<0,6> JM E M V W rfflT F Dfog =[-2,-1 > u< 0,3>, mediante Dfos=(xeDg/xeDg a g(x)eD ( j uH ; x e [-2,-1 > (fo g )(x H r [ S ] xe<0,3> Dfog=[1,2>, mediante D ^ ={x e Df/x e Df a f(x)e Dg} (S o 0(1) = 1, x e [1,2> SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net w ' . i-,- www.solucionarlos,net y-k | x ; x e[-3,0] tjñ Determinar gof si f(x) =< ; g(x) =x - 15, x € <-10,9] (x2 ; x e< 0,5] M E ÍS S 2 M M / Dsof =[-3,0]vj<0,3], mediante Dgof ={x € Df/x e Df a f(x)eD gj CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O Luego (gof)(x) = x-15 ; xe[-3,0] x2-15 ; x e<0,3] Sean f(x) =|x |y g(x) ={^ , hallar h(x) = ( x2 ; x <0 (f°S)(x2) =f(s(x2)) =[g(x2)] =|x41, xS 0 (gof)(Æ) =g(f(Æ )) =Jf(Æ )- 4 | =[|Æ |- 4 j, x>0 h(x) = (fog)(x2); x <0 (gof)(Vx); x >0 X 4 ] ; X ^ 0 xj —41 ; x<0 Si F(x) =ctg x y g(x) =cosec x encuentre una función f tal qu F(x) =(f o g)(x). (f o g)(x) =F(x) =ctg x => f(g(x)) =ctg x f(cosecx) =ctgx =Veosec3x-l f(x) =Vx2-1 Si (gof)(x +2) =2x2-x; f(x-l) =x-2, calcular g(x). SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos.net
  • 161. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPlNOZA RAMOS j CAPITULO I (gof)(x+2) =2xL>-x => (gof)(x) =2(x-2)‘ -(x-2) =2x2-9x+ 10 f(x- 1) =x-2 => f(x) =(x+1)-2 =x-1 (gof)(x) =2x2-9x +10 => g(f(x)) =2x2-9x +10 =2(x2-2x +l)-5(x-1) +3 g(x-1) =2(x-l)2-5(x-1) +3 g(x) =2x2-5x +3 v ' © Si ( f o g ) ( x - 1 ) = x 2 - 2 x y g (x ) = x + 3, determinar f(x ). (fog)(x-1) =x2-2x => (fog)(x) =(x +l f -2(x +1) =x2-1 (fog)(x) =f(g(x)) =x2-1=(x +3)2-6(x +3) +8 f(x+3) =(x +3)2-6(x +3)+8 _ V; .... f(x) =x2-6x +8 Dadas las funciones f„g: R -* R, definidas por: f(2x + 1) =4x + 1 y g(x) =x2+3, determinar (fog)(x) y (g o 0(x). f(2x +3) =4x + 1=2(2x +3) - 5 => f(x) =2x - 5 >:pij _ (( y)p 'i <= X pr- =(Xll a yVoA^ (fog)(x) =f(g(x)) =2g(x) —5 =2(x2+3)-5 =x2+1 (gof)(x) =g(f(x)) =f2(x)+3 =(2x-5)2+3 =4x2-20x +28 Si F(x) =(1 - eos 2x) sec x y f(x) =sen x, hallar una función g tal que F(x) =(g o f)(x). SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ~ Z 7 ~ ' www.solucionarlos,net www solucionarlos,net CAPITULO I ' EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O o gfintsra (g o f)(x) =F(x) =(1 - cos 2x) sec x g(f(x)) =g(senx) =(l -eos2x+sen2x)secx = 2sen2x 2sen2x cosx g(senx)= VI -sen' g(x) = 2x V i—1 Si F(x) =eos2x y f(x) =^ ^ g , hallar una función g(x) tal que F(x) =(f o g)(x). (fog)(x) =f(g(x)) =F(x) =eos2x =eos2x => 1+g2(x) =sec2x 1+S2(X) g2(x) =sec2x-1 =tg2x de donde g(x) =tg x Si F(x) =sen 2x y g(x) =eos x, encontrar una función f tal que F(x) =(f o gXx). (fogXx) =f(g(x)) =F(x) =sen 2x f(eos x) =2senxeos x =2>/1-eos2xeosx f(x) =2x>/l-x2 Determinar g o f si f(x) = 0 ; x <0 x2; x e[0,l]; g(x) = 0 ; x >1 1 ; x<0 2x; xe[0,l] 1 ; x >1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 162. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITULO I D^0( = (-o o ,0 )u [0 ,l]u (l,+ -x ), mediante la definición Dsof ={xeDf /xeDf A f(x )eD 8} (gof)(x) = 0 ; si x <0 2x4; si 0<x<1 0 ; si x >1 O Si f(x) =4x-x2; 0<x<7; g(x) =j X< 4 i x< 0; hallar (gof)(x) v ' v x+2 ; x >2 Dsof =^2->/2,2+>/2^u[4,7] es obtenido de la función del dominio de la composición go f es decir: (sof)(x) = © Dgoi ={x e D, /x e D, a ((x ) í D,) 4 x - x 2 + 2 ; si X 6 ( 2 - x / 2 , 2 + n / 2 )- {0 ) ^ • n- 4; si x =0 (4x- x2) - 4; si 4 <x <7 Si (g o f)(x) =x +2; f(x) =x3+6x2+12x+8, hallar g(x). (gO 0(x) = g(f(x)) = X +2, pero f(x) =x3+6x2+12x+8=(x +2)3 g|(x +2)3j =x+2 =yj(x+2)3 g(x) =^ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net tf ' www.solucionarlos,net CAPITULO I . c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Dadas las funciones f(x) =|x"-l|y g(x) =>/9-x‘ , determinar (sofXx) (2 ) ( S o f ) ( x ) = g(f(x)) =>/9-f2(x)=^9-|x2-l|2 í[ x—1J ; 0 <x <3 X+1 Si f(x) =] ,------ y g(x)=----, determinar gof. y i- x l- 2 ; x >3 x-4 ¿ ¡ l ü ü i e r Dgof =[0,1>u (1,2>u [2,3>u {3}u <3,-kx» O (s °f)(x) = 2 5 4 _ 2 3 _ 3 2 7x^3+1 Vx-3-4 ; x e [0,1 > ; x e [1,2 > ; xe[2,3> ; x =3 ; x >3 2x —1; -4 £ x <4 M ; x>4 Hallar fog, siendo f(x) =<{ . . , g(x) =x3-2x D(og =[-2,2]u< 2,+oo>, obteniendo de la definición Dfos={xeD3 /xeDs A s(x )eD f} SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net 317
  • 163. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO l (2x xe(6,oo) log =x e Dga Rg, € Df * <f> x < -2 a 1- x € (-2,20) x > 6a 2x e (-2,20) x <-2 a - 2 <1x<20 x >6a -2 <2x <20 x <-2a -3<1x <19 x >6a -2<x <10 ^x <-2a 3<1x <-19^ xe(6,10)*0e (- 1 9 ^ 2 )* 0 ^ LueSo:fos =| 2(1- X)’ +1 X£<-,9'-2) (8x2+1 xe(6,10) 2x* —4x—1; si - 2 í xs2 (fog)(x) =j j x 3 _ 2 x | ; s¡ x > 2 @ Si g(2-x) =>/x"^7 y (gof)(x) =2x - 1, hallar f(x). g(2-x) =>/í-(2-x) => g(x) =VTo< (go0(x) =g(f(x)) =2x- 1 => ^1-f(x) =2x-1 => 1-f(x) =(2x-1)2 1-f(x) =4x2-4x +1 => f(x) =4x-4x2 g(x)J , - x X 6 <-».-2) 12x x e /6.oo SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net w* w edukpe .i rorst ' www.solucionarios.net FUNCIONES INVECTIVAS, SURYECTIVAS Y BIYECTIVAS ££ Sea la función f :[1.4] ->[a, b] tal que f(x) =x2- 2x +3 Demostrar que f es inyectiva y hallar los valores de a y b para que f sea biyectiva Debemos probar que f(m) =f(n) => m =n f(m) =f(n) =t> m2- 2m+3 =n2- 2n+3 => m2-n2-2m +2n =0 (m - n)(m +n) - 2(m - n) =0 => (m - n)(m +n - 2) =0 m-n =0 v m +n- 2 =0 de donde m =n Determinamos a y b: 1<x <4 =>0£x-1<3 => 0 <(x-1)' <9 => 0<x2-2x +l<9 => 2^x2- 2x +3<1l => 2 <f(x) <11 a <f(x) <b de donde a =2, b = 11 Ó x Es inyectiva la función real f =— CApmjL01 fEDUARDO ESPINOZA RAMOS~« Debemos probar que f(x,) =f(x2) =^x,=x2 f(x,) =f(x2) = > -^- =- ^ - => x,x2+x, =x2x? +x2 => (x2-x,)(x,x2-1) =0 ' 7 X, +1 x2+1 x2—x, =0 v x,x2-1=0 => x2-x, =0 => x,=x2 fes inyectiva 4-11x Sea f : A ~»(l,10] dada por f(x) = 4-2x SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 164. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I a) Determinar A inyectiva b) Mostrar que f es a) setiene: 1< - - 11x <io i n <10 4-2x 4-llx 4-2x 4-2x 4-2x 9x 2x-4 4-2x n 9x-36 A >0 n ----- >0 2x-4 4-2x 4-2x 2 2 A: X€^-Ó0,b]u[4, oo) + b) f(x) = 4-llx 4-2x Debemos probar que f(x, ) =f(x2) =>x, =x, 4-llx, 4-llx, f(x,) =f(x2) 4-2x, 4-2x2 (4-llx,)(4-2xt ) =(4-2xI )(4-1lx¡ ) 16-44x, -8x2+11x,x2=16-44x28x , +11x ,x 44(x2- x,)-8 (x2-x, ) =0 => x, =x2 .f es inyectiva 10+3x Sea A -»(-4,1] definida por f(x) = 10-2x c) determinar A d) Mostrar que f es inyectiva SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ------------------- t ' www.solucionarlos,net _ www.solucionarios.net CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a) se tiene: , 10+3x - 4 < ---------------- <1 10-2x 10+3x 10+3x 10+3x ^, 4 <----- r> ----- <1 10-2x 10-2x 10+3x +4>0 n ------ 1<0 10-2x 10-2x 10+3x +40-8x 10+3x-10 +2x •>0 n --- — r----- ^0 10-2x 10-2x -5x+50 A 5 x . _ x-10 x ------ <0 n ----- >0 => -----<0 n ----<0 10-2x 10-2x x-5 x-5 A: xe(-<x>,0]^(l0,oo) b) f(x) = 10+3x 10-2x Debemos probar que f(x,) =f(x„) => x, =x2 f(x ) =f(x1°.t^ x_i =10+..3x2. [ ^ 10-2x,10-2x2 => (10 +3x ,)(10-2x2) =(10-2x ,)(10+3x2) 100+30x, -20x2- 6 x ,x2 = 100+30x2-20x, - 6 x ,*2 30(x2x,)-20(x2x,) =0 => x ,x 2f es inyectiva. Sea A -♦[-9,-1) definida por f(x) =- —X O X a) Determinar A inyectiva c) ¿f es suryectiva? b) Probar que f es SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 165. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITULO I a) f ( x ) . 3 í j i . g l 4- ^ ^ . 3- 4(3 - x -3 ). 15-4(3-x) ^ f . )mj s _ 3-x 3-x 3-x 3-x ' ' 3-x Luego: -9<x<-l => 1<-x <9 =>4<3-x<12 1 1 ,1 . 15 .15 ^ 5 15 . 1 5 — < -----< — => — < ------< — => — 4 < ------- 4 < -----4 12 3-x 4 12 3-x 4 4 3-x 4 11 3+4x 1 .11£/1 ^ —---<--• Luego: A : --- <f x <— => A: 4 3-x 4 - , 4 K b) Debemos probar que f(x, ) =f(x2) => x, =x„ f(x,) =f(x2) -11 _ i 4 ’ 4 3+4x, _3 +4x, 3-x, 3-x2 (3 +4x ,)(3 - x2)= (3 - x ,)(3+4x,) 9+12x, -3x2-4x,xe =9-3x, +12x2-4x,x2 „xS-OÍ => 12x, - 3x2 =3x, +12 x5 => 12(x, -x2)-3(x, - x ^ O => 9(x, -x2) =0 => x,=x2 11 1 c) Puesto q u e:---- <y< — * I -9,-1) Noes suryectiva 4 4 L Dadas las funciones siguientes: y i 1 f(x) =3x+2|x|; g(x) = ——¿ h(x) =3x+7; p(x) =x+2|x| x ¿Cuál de estas funciones es inyectiva? CTOI SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I *■ www.solucionarios.net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « a) f(x) =3x+2¡x| = 3x+2x =5x x>0 3x-2x =x x<0 Debemos probar que f(x,) =f(x2) =>x, =xL, 3x, +2x, =3x2+2x2kj 3x, -2x, =3x2-2xs x, =x2u x, =-x2 f es invectiva x+1 b) g(x) = x—1 Debemos probar que g(x, ) =g(x2) x, +1 _ x2+1 x, —1 x2-1 b) f(x) =S e n (x );x e |- |,| (l +x,)(x2-1) =(x, -1)(x2+1) =>x2+x,x2—1—x, =x,x2-1 +X, -X Demostrar que las siguientes funciones son inyectivas a) f(x) =3x-2; x>0 c) f(x) =(x-h)2+k; x>h d) f(x) =2-x3; xe'Jí e) f(x) =V9+x! ; x>1 En forma analítica y gráfica a) f(x) =3x-2; x>0 Debemos probar que f(x,) =f(x2)=>x, =x2 f(x,) =f(x2) =>3x,-2 =3x-2 => x, =x2 www edukperv corrí SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 166. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I /. fes invectiva b) f(x) =S e n (x );x e ^ - |,| Debemos probar que f(x,) =f(x2) =>x, =x2 Sen(x,) =Sen(x2); xeí “ f , | f es invectiva c) f(x) =(x-h)¿ +k; x£h Debemos probar que f (x,) =f (x2*) x, =x2 f(x,) =f(x2) =>(x, -h)~ +k =(x2-h)‘ +h x,-h =x2-h =>x, =x2; x>h f es invectiva d) f(x) =2—x3; x€'JÍ Debemos probar que f(x,) =f(x2) f(x,) =f(x2) =s 2(-x?) =2(-x3) =>-xj =-x2 => x, = f es invectiva i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net A/W.v<9üur.:•' www.solucionarios.net CAPITULO I { EDUARDO ESPINOZA RAMOS « e) f(x) =V9 +x2; x> 1 Debemos probar que f(x,) =f(x2)=>x, =x2 f(x,) =f(x2) => ^/9+xf =^9 +x2 => 9+x* =9+x2 => x,=x2; xeíH; x >h f es invectiva Demostrar que la función f definida por f(x) =1- Vx2-4x-5; x <-1 es inyectiva Debemos probar que f(x,) =f (x2) x, =x2 f(x,) =f(x2)=>l-^xj -4x, -5=1-^x2-4x2-5 >/xJ-4x,-5 =^x2-4x2-5 => xj-4x,-5=x|-4x,-5 x;-x2-4(x, -x2) =0 => (x, -x2)(x, +x2-4) =0 x2=x, si x <-1 => x, =x2 X —1 es inyectiva Demostrar que f( x) =--- ; x * -2 es inyectiva ' x+2 OLUCI Debemos probar que f(x,) =f(x2)=>x, =x2 (x, —1) (x 2 + 2) = (x 2 - 1 )(x , + 2 ) => x,x2 +2x, - x 2 - 2 = x,x, +2x2- x , - 2 3(x, - x2) =0 => x, =x2 /. fes inyectiva — SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 167. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO l O Sean f :A ->B, g :B ->C, demostrar que: a) Si gof es suryectiva entonces g es suryectiva b) Si gof es inyectiva entonces g es inyectiva a) Sea h =gof; h: A -* B; g: B ->C; Rh: B ->C b) Sea h =gof por propiedad h ' =g 'of 1, luego si h es inyectiva, también f y g son inyectivas La función f(x) =^-^-j ¿Es inyectiva? El dominio: >0 => Df ={xe}í/xe(-oo,-lju(l,oo)j O Puesto que F: ÜR [0,+oo>, debemos probar que V y e [1,+oo>, no existe xeli] tal que f(x) Pero y e [ o , o o ) e [l,o o ) por tanto, f(x) no es suryectiva x=ax Sea f una función definida por: f(x) —— x e(0,2)u(2,oo) determinar si f es x -4 función biyectiva ^ K ¡ m r a r . T ? T El dominio; x2-4 * 0 => x * ±2 El gráfico facilita para determinar si es biyectiva o no SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS « © Determinar si la función f(x) =6x-x2-5 es inyectiva. Si no lo es, restringir su dominio para que lo sea. J b b m c m í f(x) =(x2-6x)-5 =- (x-3)2+9-5 =5-(x-3)2 No es inyectiva si el dominio es de x >3 si es inyectiva. O a«iTnw r.T,'— . .. . ídukperu coi" SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO www.solucionarlos,net
  • 168. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I O o f(x)= X +1 x+1 X x^í ; x £ 0 , del gráficos es inyectiva. ; x <0 (x +2)(x2+6x-16)(x-6) Dada la función f(x) =— -----7—— -— — -— . Mostrar que f es inyectiva (x-2)(x2—4x —12) Si ordenamos y simplificamos la expresión dada: (x +2)(xg+6x-16)(x-6) (x +2)(x +8)(x-2)(x-6) (x-2)(x2-4x-12) (x-2)(x-6)(x +2) Donde x*±2; x*6. Probamos si f(x) es inyectiva: f(x,) =f(x2) => x, +8 =x2+8 => x,=x2 fesinyectiva La función inversa: x =y-8=> f’ (x) =x-8 donde x*10; x*6; x*14. x-3 1 Dada la función f(x) =-- -+---- xe(l,2). Demostrar que f es inyectiva (o x—1 (x —1) univalente) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net f'-TT www.solucionarios.net CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 0 Si ordenamos y simplificamos la expresión dada: (x-3)(x-1) +1-(x-1)2 f(x) = ( x - 1 ) x2-4x +3+1-x2+2x-1 x+8 (x-1)! (x-1) Si se sabe que f(-1) =4 y f(3) = -2 donde f es una función lineal, hallar ecuación que define f*(x) Para una función lineal: f(x) =ax +b => f(-l) =4= > b-a =4 f(3) =-2 => 3a +b =-2 Restando ambas ecuaciones: -4a =6 3 5 5-3x a =--, b =- => f(x) =---- La función lineal es inyectiva en x e ii 2 2 2 5-2y 5-2x Despejamos la inversa: 5-3x = 2y => x = ----- => f* (x ) = — -— J J 0 Si f(x) =2x +c y f(c) =2f‘ (c2). Encontrar el valor de: a) f(0).f*(0) b) lili r o í Hallamos la función inversa: x = f ( x ) = Si: f(c) =2f’ (c2) => 2c+c =2 =4 => f(x) =2x +4 V ' - . y a) f(0) =4 => f* (x) = x-4 f*(0) =-2 => f(0).f*(0) =4(-2) =-8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net 1
  • 169. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO l b) f(l) =6 =. f'(l) =— = i í l L A =-4 w 2 2 r (1) _3 2 <D Si f(x) =3x +2a. Determinar los valores de a de modo que f(a2) =f’ (a +2.) La función es lineal y por tanto es inyectiva. Su inversa: y =3x+2a => x = => f ( x) =* J Ü 3 ' 3 Luego: f(a! ) =f'(a +2) => 3a! +2a =— => 9a! +6a =2-a O ¿m. 9a! + 7a-© 0 => a =-1 ;a =- Q Hallar la inversa f(x ) si existe de la función f(x) =x2+4x-l, xej-4,-3) Despejamosx: y =x2+4x-l => y =(x +2)2-4-1 => x +2 =-^y +5 x =-2-yjy +5 => f (x) =-2->/x +5; x e (-4,-3) Hallar la inversa f* (x) si existe la función: f(x) =x2—2x—1; x>2 Analizaremos si f(x) =x2-2x-1 es inyectiva Si x>2 => f(x) =x2-2x-1=(x-1)2-2 => f(x,) =f(x2) (x,-1)2-2 =(x2- l)2-2 => (x,-1)2=(x2- l)2 =>x,=x2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios,net www.edukperu.cor* www.solucionarlos,net CAPITULO I c EDUARDO ESPINOZA RAMOS « El rango de la función: y >-1 Hallamos la inversa y =(x - l)2-2=>x-1= >/y+2 =>x =yjy +2 +1 De donde: f (x) =Vx +2 +1; x>-1 Hallar la inversa f"(x) si existe para la función: f(x) =(|x-5| +x+l)v5-x Determinamos el dominio de la función, 5-x >0 Ahora la función valor absoluto |x-5| =j X X _ ^ de donde: f(x) =(5-x +x+1)>/5-x 15-x, x ^ 5 f(x) =6>/5-x Probamos si f(x) es inyectiva: f(x,) =f(x2) los demuestra que f(x) es inyectiva. Í w*- i Ox i O y ^ 1 Hallar la función inversa de f(x) si existe x3+4 x <1 Mediante el gráfico se observa que es inyectiva puesto que la línea horizontal corta el gráfico en un solo punto. www edukperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 170. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO I O Dada la función: f(x) = 2x-1 ; x <—1 4x" ; -l< x< 0. Hallar f*(x)si existe. x+4 ; x >0 Determinamos la función inversa x <-1 : y =2x-1 => x = ; y <-3 => f'(x) =- ~ x < - 3 -1 <x <0: y =4x2 x >0: y =x+4 =>x =y-4; y>4 => f‘ (x) =x-4; x>4 x-2 f(x)= ; x <-3 0 S X S 4 2 x-4 ; x > 4 O Dada la función f* (x) = |x -4| „2 0 <x <2 ---+X—1; X >2 2 Hallar f’ (x)si existe. x -4 = x2-4 x <2ux >2 4 - x -2<x<2 Determinamos la función inversa: f(x) = 4-x2 ; 0<x <2 x2 — + X —1 ; X>2 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wwvvedjkperu aárn www.solucionarios.net c a pitu lo i EDUARDO ESPtNOZA RAMOS « Por tanto la función es invectiva. Los rangos en cada inteivalo se detallan en el gráfico Determinamos la función inversa 0<x <2: y =4-x? => x =V4—y ; 0<y<4 => f’ (x) =V4-x; 0< x¿4 x >2: y =-^- +x-1 => x2 - 2 x + 2 +y =0 => ( x —1) -1 +2 +y =0 => x =1+>/-1 - y f‘ (x) =1+V-1-x x^-1 x >0: y =x+4 =>x =y - 4 ; y > 4 => f‘ (x) =x-4; x >4 V4-X ; 0<X £4 f*(x) = 1+>/—1—X ; x <-1 x2+2x+x ; x<—1 Dada la función f(x) =«T Hallar f* (x) si existe [ -Vx +1 ; x£-l Determinamos la función inversa x <-1: y =x2+2x+2 => (x +1)*=y-1 => x =—1—>/y—1; y>1 x >-2: y =-Vx +1 => x+1 =y* => x =y2-1;y<0 f*(x) =x2-1; x<0 —1—VX —1; X >1 x2-1 ; x£0 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 171. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I O Dada la función f definida por: f(x) =• Hallar f*(x) si existe. yjx‘ +X+2+1 ; -1^x<- 2 2— ; 2<x<4 x+1 M m a s n m v a m Determinamos la función inversa -1<x¿-: y =Vx +2-x2+1 => (y —1)2 =x +2-x2=^(y-1)2=|-^X- Ij 2 < x < 4 : y = 2 - x+1 7 7 x + 1 = ------ => X = ---------- 1 y-2 y-2 7 i x+5 1 1 • x) = ------- I = - — ; — < x < - x-2 2-x 3 5 f"(x) = - - 1 1/9-4(x +l)2; 1 S x á | x + 5 2^x 1 1 ; — < x < - 3 5 Dadas las funciones f y f definidas por: f(x) = 0 ; X < 0 X 2 ; 0 < X < 2 ; g ( x ) = n ; x>2 2 ; x < 0 4x ; 0 < X < 1 -1 ; x > 1 Hallar (f+ g )(x ), determinar si es inyectiva, en caso afirmativo hallar (f +g)*(x) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ‘ _ J www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net CAPITULO I Intersecamos los dominios Df, n Dg, =><0 Df, o Dgo =></> r EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Df, n Dg, => </> s, Df n Dg¿ => 0 <x <1 Df n Dg3 => S, =><0 Df3n Dg2 =></> Df3n Dg, => +g)(x): 2 x <0 x2+4x 0 <x <1 2 1 X -1 1<x<2 7t~ x >2 f(x)> Como se sabe, las funciones constantes no son inyectivas, como es el caso h(x) - 2 en x<0 y h(x) =;r-1 en x>2 por lo que función hallada no es inyectiva, y por tanto no tiene inversa. O Analizar la inyectabilidad d de tal función x2+2x-1 x^2 f(x) = -X x >2 En caso afirmativo hallar f* ( x ) . Analizaremos si f, (x) =x2+2x-1 y f2(x) =-x3 es inyectiva Si x ^ 2 =>f,(x) =x2+ 2 x - l= ( x + l)2 - 2 => f,(x ,) = f,(x2) (x,+l)2-2 =(x2+ l f -2 => x,=x2 v x, =x2-2 Por tanto, la función no es inyectiva. - SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarlos,net
  • 172. www.solucionarlos,net www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO II .. í EDUARDO ESPINOZA RAMOS jE g a a m LÍMITES Y CONTINUIDAD Mediante la definición de límite, demostrar que: D lim(3x! -x-2)=8 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e > 0 , tal que se cumple: |3x2-x-2-8|< í o |x -2 |< 8 Pero |f(x)-L|=|3x2-x-2-8|*|32-x-10|á|x-2||3x +5| ...(1) Tomamos 8 X =1 para acotar |3x+5|. En efecto |x—2| <1 <=> -1 <x-2 <1 <=> 1<x <3 <=> 3<3x <9 <=> 8<3x +5<14 |3x+5| <14 ...(2) Si (2) en (1): |f(x)-L|=|x-2||3x +5|=14|x-2)<f <=>|x-2j <^ =S2 Por lo tanto tomamos 8 =min1,— 1 Luego, dado e >0,3 8 - min1,— 14J l 14. setieneque: 0<|x-2|<¿> =>|x—2¡|3x+5| =14¡x—2| < e Ijm (3x~-x-2) =8 ^ lim(3x2+2x) =5 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0 ,tal que se cumple: |3x2-x-2-8| < e o|x-l|<<? Pero |f(x)-L|=|3x2+2x-5|<|x-l||3x +5| ... (1) . . . SOLUCIOf^RIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Ii ■ 'i www.solucionarlos,net
  • 173. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II Tomamos ¿>} =1para acotar |3x+5|. En efecto: |x -1|< 1 <=> —1 < x—1 <1 o 0<x<2 <=> 0<3x<6 o 5<3x +5<11 <=> |3x+5|<11 ...(2) Si (2) en (1): ¡f(x) —L| =|x-l||3x +5| =11 ¡x -1| <£•<=>¡x -1| <^ =¿>2 Por lo tanto tomamos S =minj 1^ j . Luego, dado £ > 0, 3 S =min j l ^ j setieneque: Si 0<|x—1|<5 =>|f(x)-L| =|x-l||3x +5| =1Ijx —1|<e lim(3x2+2x) =8 lim(4x2+x-4) =14 Debemos hallar S >0siempre que exista e >0, tal que se cumple: |4x2+x-4-10|<f<=>|x-2|<<5 Pero |f(x)-L|=|4x2+x-4-14|<|4x2+x-18|<|x-2||4x +9| ...(1) Tomamos =1para acotar ¡4x+9|. En efecto |x-2|<l <=>-1<x -2< 1 o l< x < 3 <»4<4x<12 cc> 13<4x +9<21 <=> |4x+8|<21 -..(2) Si (2) en (1): |f(x) —L| =|x -2||4x +9| =21 |x - 2 |< ¿:o |x - 2 |< ^ =<52 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I - , www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Por lo tanto tomamos S =minjl ^ j. Luego, dado c >0, 3S =min j 1,—j setieneque: Si 0<|x—2|<¿> => |f(x)-L| =|x-2j|4x +9| =2l|x —2j <e lim(4x2+x-4) =14 lim(ax“ +bx +c) =aXo +bx0+c Debemos hallar 5 >0siempre que exista £ >0, tal que se cumple: |ax2+bx +c-ax2-bx0-c| <£<^>|x—x0|<S Pero |f(x) —L| =|ax2+bx +c-ax2-bx0-c| <|a(x2-x2)+b|(x-x0) <|x-x0||a(x +x0)±b| ...(1) Tomamos =1 para acotar |a(x +x0) +b|. En efecto. |x—x0|<1 <=>-1<x-x0<1 <=>2x0-l <x-x0<l +2x0 a(2x0- l)< a(x-x0)< a(l +2x0) a(2x0- l) +b<a(x-x0) +b<a(l +2x0) +b |a(x-x0)+b|<a(l +2x0) +b ..-(2) Si (2) en (1): |f(x)-L| =|x-x0||a(x-x0)+b| =|x-x0|[a(l +2x0) +b]<£ <=>lx-xj< v - =<R a(l +2x0) +b i SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 174. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II 0 Por lo tanto tomamos 8 =min^ I a(1 +2x0) +b J Luego, dado e >0, 3 8 =min ¡1 y se tiene que: a(l +2x0) +b Si 0 <|x-x0|<£ =* ¡f(x)-L| =¡x-x0||a(x-x0)|[a(l +2x0)+ b] |x-xç| <¿r lim(ax2+bx +c) =ax2+bx0+c 3x-1 1 rn aÉ& m m n t& É lim k-*o x-2 2 Debemos hallar 8 >0siempre que exista e >0 , tal que se cumple: 3x-l 1 x-2 2 <e<=> Pero |f(x) —L| = |x-0| <8 3x-1 1 x-2 2 6x-2-x+2 2(x-2) <6 2(x —2) Tomamos 8} =1para acotar 2(x-2) . En efecto. <1 <=> —1<x <1 <=>-3<x-2<-1 <=>1<¡x—2|<3 o 2<2|x-2|<6 o - < 6 2(x-2) <- o 2 2(x-2) 1 <- 2 ...(2) Si (2) en (1): |f(x) —L| =6 2(x-2) =3 |x <e <=> Ix <—= SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net www.solucionarios.net CAPITULO ¡I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Por lo tanto tomamos 8 =min-j1^ j-. Luego, dado e >0, 3 8 =minj 1,- setieneque: Si 0 <jx| <¿> => jf(x)-L| =|x| 2(x-2) =3 Ixl <£ .. 3x-1 1 lim---- =- x-o x-2 2 .. x-1 lim--- =-I x-»0x+1 m m m j * Debemos hallar 8> 0siempre que exista £ >0 , tal que se cumple: x-1 x+1 ■+1<£ O X- 0|<8 Pero |f(x) —L| = x-1 x+1 +1 X-1+X-1 Tomamos 8. =- para acotar 2 x+1 1 +1<2 x+1 x+1 . En efecto. ..(1) 1 , 1 1 1 1 , 3 2 X <=>--<X <- O -<x +1<- <=>-< 1 1 2 2 2 2 2 3 1 A K> 0 1 x+1 X+1 <2 ...(2) Si (2) en (1): ¡f(x) —L| =2 x+1 =4 |x| <£ <=> |x|<- =£2 Por lo tanto tomamos 8 =minj-L-1 . Luego, dado £>0, 3 ¿ =m in ji,- 12 4J (2 4 ' , (.• :? -*>up s.v- y se tiene que: Si 0 <|x| <¿> => |f(x)-L| =|x|— - =4 |x| < SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 175. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II X-1 lim --- =-1 x-,0 x + 1 .. 2x+3 8 lim---- =- »-a 5 -x 9 Debemos hallar 5 >0 siempre que exista £ >0, tal que se cumple: 2x +3 8 ---- =—<£ C3> 5-x 9 1 x— 2 <6 Pero |f(x) —L| = 26 1 x— 2x+3 8 18x+27-40 +8x 2 5-x 9 9(5- x) ^ 9|x—5| Tomamos S. =1para acotar x-5 En efecto: 1 x— 2 i 1 i 11 c 1<1 <=>—l<x — <1 <=> — <x-5< — 2 2 2 7 i d 11 2 <=>-< x-5 <— o — < 2 1 1 2 11 1 2 <- <=> 1 2 <- x-5 7 x-5 7 Si (2) en (1): |f(x)—L| = 26 1 x— 2 _ 26 ' 2> 1 1 9 x-5 ” 9 x— 2 <£ <=> X-- 2 63¿r . <---=<£> 52 2 Por lo tanto tomamos S =min-! 1 . Luego, dado £ >0, 3 S =mini 1,^^ ' 52 I 5 I ' 52 y se tiene que: Si 0 < 1 x— 2 <S => |f(x) —L| = 1 X-- 1 52 1 x— 2 x-5 "63 2 <£ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net _ e ____ www.solucionarios.net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS << .. 2x+3 8 lim---- =- 5-x 9 lim =-21 x—7x+8 Debemos hallar S >0siempre que exista £ >0 , tal que se cumple: 3x x+8 =-21 <£<¿>|x+7| <6 Pero |f(x) —L¡ = 3x x+8 +21 3x +2x +168 x+8 24|x +7| |x+8| Tomamos =- para acotar x+8 . En efecto: , ,| 1 1 _ 1 1 Q 3 2 x + 7 < - <=> — < x +7 < - <=> - < x +8 < - co - < 1 1 2 2 2 2 2 3 x+8 <2 x+8 <2 - (2 ) Si (2)en (1): |f( x ) - í| = =24(2)')x +7|<£ o |x +7 | < ^ = ^2 Por lo tanto tomamos S =min ¡ . Luego, dado £ >0, 3 S =min--, — l [2 48! 12 48J setieneque: Si0<|x +7¡<^ => |f(x) —L| =24|x +7| x+8 =24 ix+7| <£ lim — X—=-21 x-*-7x 8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 176. www.solucionarios.net y EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II 0 lim( x1-3x2+3x-l) =8 x-»3' / Debemos hallar 8 >0 siempre que exista e >0 , tal que se cumple: ¡x(-3x2+3x —1—8| <£ <=> |x-3|<¿> Pero |f(x) —L| =|x 3 -3x2+3x-l-8| < (x —1)3—8 < <|x-1-2||(x-l)2+2(x-l) +4| <¡x-3||x2-2x+1+2x-2 +4| <|x-3||x2+3| Tomamos 8. =1para acotar |x2+3|. En efecto. :—3|<1 <=>-l<x-3<1 <=> 2<x<4 <=> 4<x2<16 <=> 7< x2+3<19 <=> x 2+3<19 O) (2) Si (2) en (1): |f(x)-L| =|x-3||x2+3|=19|x-3|<£ o |x-3|< — =¿2 19 Por lo tanto tomamos 8 =min1,^ l . Luego, dado e >0, 3 8 =min 1,^ setieneque: Si0<|x-3|<¿ => |f(x) —L| =|x -3||(x2+3) =19| |x-3|<e lim(x3-3x2+3x-l) =8 lim(x3-x2-2x) =140 ja *T .rrim r.T » r Debemos hallar 8 >0siempre que exista £ >0, tal que se cumple: SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net v/ww;e"dukí>erj.co'7<• www.solucionarios.net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ¡x'1—x” —2x—140| <£ o jx—5| <<5 Pero |f(x) —L| =¡x3—x'^-2x-140¡ <|x-5||x'J +6x +30| Tomamos 8i =1para acotar ¡x2+6x+30|. En efecto. |x—5| <1 <=>—1<x —5<1 <=>7<x<3<9 o 49 <(x +3)“ <81 o 49+61<x2+6x +9<81 +21 49+61 <x2+6x +9+21 <81 +21 <=> 70<x:'+6x +30<102 x2+6x+30<102 ...(1) ...(2) Si (2)en (1): |f(x) —L| =|x-5||x2 +6x +30| =102 |x-5| < £ o |x —5| = Por lo tanto tomamos 8 =min>{1,-^- L Luego, dado £ >0, 3 8 =min ,-^— 1 102 5 1 102 setieneque: Si 0 < |x—3|< ¿> => ¡f(x) —L| =|x-5||x2+6x +30| =102 |x—5| <£ lim(x3-x* -2x) =140 © lim(3x3-2x2+2x-3) =-39 Debemos hallar 8 >0siempre que exista £ >0 , tal que se cumple: 3x"’ -2x2+2x-3 +39|<£ |x+2¡<<5 Pero jf(x)—L| =|3x *-2x2+2x+3ó| _ SOLUCION ARIO ANALISIS MATEMATICO www.solucionarlos,net
  • 177. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULOII 3 -2 2 36 -6 16 -36 2 3 -8 18 0 <|x+ 2||3x 2 - 8 x + 18|< 3|x + 2||x 2 - 8 x /3 + 6| Tomamos <5, =1para acotar |3x2-8x +18¡. En efecto. |x+2|<1 co -1 <x+2< 1 <=>-3< x <-1 o - — <x~—<-— 1 1 ' 3 3 3 (1) © 49 I 4) 169 49 2 8x 16 169 —- < X—— < ------- ----< X ‘ --------+ — < ------ 9 i 3) 9 9 3 9 9 — <x2- — <17 « 11<3x2-8x<51 3 3 o 29<3x2-8x +18<69 o 3x~-8x +18<69 ...(2) Si (2) en (1): |f(x)-L| =|x+2||3x2-8 +18| =69|x+2|<£ |x+2|< ^ =¿ Por lo tanto tomamos S =m¡n<¡!,^|. Luego, dado £>0, 3<? =m in jl,^ se‘iene que: Si 0<|x +2|<¿> => |f(x)-L| =|x+2||(3x2-8x+18) =69| |x+2|<¿- lim(3x3-2x2+2x-3) =-39 limVx +1=2 kiOUIgii) Debemos hallar S> 0 siempre que exista e >0 , tal que se cumple: www.solucionarios.net wvvw.edi^ ;éru.corv www.solucionarios.net CAPITULO II EDUARDO ESPINOZA RAMOS « /x+1-2¡ <c <=>|x—3|<<5 Pero [f(x)—L| =|Vx +1-2| <|x-1-2| < x+1-4 Tomamos 6. =1para acotar 1 íx +1 +2 n/x +T+2 En efecto x-3 >/x4-1+2 (1) :—3| <1 <=>-1<x-3<1 o 3<x +1<5 <=> ¡3 <yJx +'<y¡5 <=> ¡3 +2<-v/x+T+2<y¡5 +2 o —fJ — < 1 1 < V5+2 >/x+1 +2 >/3+2 Si (2) en (1): |f(x)-L| =^ L | = (2- S p <« Por lo tanto tomamos 5 =min j1,^(2- V 3 j|. Luego, dado ¿:>0, 3 S =min Jl,¿:(2->/3)J y se tiene que: i 0 <Jx—3| <<5 => |f(x) —L| = —j^ ^ ={2-y¡3^S<£ limVx +1=2 (2) Si SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 178. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II lim74x-5 =3 x—>8 Debemos hallar S >0siempre que exista e >0 , tal que se cumple: |%/4x-5|<e <=> |x-8|<¿> pero |f(x) —L| =|</4x—5 —3| h/---- l |4x—5—27) 4¡x—8l K/4x-5-3k 1 ■— — i— — < - = = J --- j------— ^(4x-5)' +74x-5 +9 ^(4x-5)‘ +3>/4x-5+9 Tomamos ¿>, =1para acotar ...O ) 4|x-8| . En efecto. ^/(4x-5)2+374x-5+9 x—8| <1 => -1 <x-8< 1 => 7<x<9 =>28<4x<36 ==> 5<4x-23<13 75<74x-23<7Í3 => 75 +|<3/4x-23+-<7Ï3 +- 1 1 1< , ...— < 75+2 7x+1+2 73+2 75 +| <^4x-23 +| j <^7Í3+^ ... (2) 23^23 +3^23 +- <^/(4x- 23) +3^4x-23 +-< 13^13 +3^13 +- ...(3) Si (3) en(1) 4|x-8| 4<y ^(4x-5)2+3^4x-5 +9 23^23+3^23+9 r(23^23 +3 ^3 +9) ’ 4 X s o l u c io *mw:mmmarios.net www.solucionarios.net CAPITULO II EDUARDO ESPINOZA RAMOS « ¿'(23^23+3723+9) Por lo tanto tomamos ¿>=min . . .,*23723 +3723+91 .. 3/----- 0 Luego, dado £> 0, 3¿>min=-M,-------------- W se tiene que: limv4x-5=3 4 . j *-»8 lim(3-73x) =0 Debemos hallar 5 >0 siempre que exista e >0, tal que se cumple: |3-73x -0|<¿- <=>|x|<£ Demostramos |3- 73x —oj <>/31Vx —73j<73 x-3 x-3 Tomamos S. =1para acotar 7^-73 En efecto. 7x-73 :—3| <1 =>-1<x-3<1 =>2<x<4 =>72<7x<72 ...O ) © 72 +73 <7x +73<2 +73 2+73 7x+75 72+73 En (1): 73 x-3 7x+73 , , e (j2 +S ) <—=-- =•=¿T => Ò= •J2 + J3 s í (x/2+73) ’’ Æ lim <Jx-H =-5 x-»27 ... (2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 179. www.solucionarios.net __________ » EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO II TtlITiniiMT Debemos hallar 8>0 siempre que exista e >0, tal que se cumple: |^x-8 +5| <e o |x-27|<£ Demostramos: |Vx-8 +5| <|Vx-3| < x-27 >/x* +3^x+9 s | ^ _ 3 | ^ i 4X- 5-27i 4¡x—8i Tomamos Ô. =1para acotar ^(4x-5)‘ +^4x-5+9 ^(4x-5)2+3^4x-5+9 1 ... (2) x‘ +3>/x +9 . En efecto. |x-27|<1 => -1<x-27<1 =>27<x<28 => >/26 <v/x < ^26 +^ <>/x+“ <^28 +1 => ^26 +| j <ÿx^ +3ÿ^ +5< 3 +— 2 +- 2 ( 2 ^28 +1 ) + Ç (2^8+3) +27 Luego en (1): Vx*+3ÿx+9 (2^26 +3) +27 Luego: ¿ „ „ » j v (2^6+ 3)' +27 1 limV2x =/^4 x-*2 (3/26+3) +27 (2V26 +3)' +27- £=>S =£ •VV SOLUCI1 www.solucionarios.net ^AVw.edukperucoiTt www.solucionarios.net CAPITULO II ( EPUARPO ESPINOZA RAMOS « Debemos hallar ¿>>0siempre que exista £ >0 , tal que se cumple: ^3/2x+V ?I<£■ o |x+2|<¿> Demostramos |%/2x+>/4| < Tomamos =1para acotar 2x+4 >/4x +2^x +ÿlô ■(1) . En efecto. ^ +2 ^ +2^2 x+2| <1 =>-1<x +2<1 =>l<x<3 =>2<2x<6 => V2x +V2x +^6 =>^2+1 <^2x +1<Vó +1 =>(^2x +l) <>/4>? +2V2x+1<(^6 +1 ) =* ^4 +2^2 +1 <V4xF +2^2x+1 <^36 +2^6 +1 => V4 +4V2 <V4xF +2V2x+2V2<V36 +2Vò+2V2 1 ^36 12^6 +2^2 ^4xF +2V2x +2V2 -=-^—= =£=>¿>=¿:(V4 +4V2 ) Æ +4^2 V1 ^4+4^2 Luego: 4 «,- {v [(V Ï+ 4 ?/ 5 )]} lim/4x-5 =3 NÉir x-»8 Debemos hallar <5>0siempre que exista £ >0 ,tal que se cumple: www.solucionarios.netONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 180. www.solucionarlos,net _________ » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II |%/4x—5j <e o |x-8|<¿> Demostramos |^4x-5-3|< |4X—5—27| < -p- X i 00 ^/(4x-5)2+^/4x-5+9 ^/(4x—5)2+3/4x-5 +9 Tomamos 8. =1para acotar 4|x —8| ^/(4x—5)" +3>/4x-5 +9 |x—8| <1 => —1<x —8<1 =>7<x-9 =>28<4x<36 =>28 <4x-5 <31 =>^23<^/4x-5<V3Í +3/2 < /4x-5 +3/2 < V3Ï+3/2 En efecto. (1) 4 1 4 (V5Ï +3)' ' Í¡(4 x-5 f +3>/4x-5 +9 ' ( ^ 3 +3 f Luego: * _______ _(2^3 +3f ^4+4^2 4 = ^ í (2^23 +3)" © lim(3-V3x) =0 SOLUCIOI www.solucionarios.net ww/..edukperu.com www.solucionarlos,net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Debemos hallar 6 >0 siempre que exista e>0, tal que se cumple: |3—>/3xj< o |x-3|<¿> Demostramos ¡3-V3x|< 9-3x Tomamos Ô, =1para acotar 9+3l¡3x+lfihf 1 3(x-3) l¡ 9 x F + 3 í¡3 x + 9 Enefecto: |x—3|<1 => -1<x —3<1 => 2<x<4 => 6<3x<12 %/ó < ¡3 x < > fÍ2 = * V6 +|<V3^ +|<^/12 +| En (1): f^/6+|i< ^ 9 Íi' +3V3^ +9<ÍVÍ2 +| ..(2) Luego: 4 1 4 |v/Ï2 +3)2 ^/9xF +3V3x +9 ' (2>/ó+3)' Luego en (1): 12S Luego: ¿>Mj = (2ÿ6 +3)‘ ^(2^6 +3) 12 •=£ => S =£ +3)2 12 !+óV limV2-x; -Vx =0 Debemos hallar 6 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www solucionarios.net
  • 181. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO || — 72-x" - Vxj <e <=> |x-l|<¿>; demostramos V2-X2-7x| < 2- x‘ - x 72-x2+7x x" +x-2 72-x*’ +7x x+2 (x-1)(x+2) V2-X2+7* Tomamos £ =- para acotar +7x x+2 (1) V2-X2+7x En efecto. k, ,1 , 1 1 1 5 1 » 25 x—1<1 =>— <x <-=>-< x <- =5« — <x <— 4 4 4 4 16 16 25 31 =>--- <-x*<----- => —<2-x <— 16 16 8 16 V3T+2V5 < x+2 72-x? +Vx 13 Vó+2 En (1): ¡x—1j -=— 1 1V6 +2 Iim72 - 72x=2 =£ => ¿>= (V6+ 2) — ¡3 ¿r|76 +2j ' Í2 ~ Debemos hallar 8>0 siempre que exista e>0, tal que se cumple: |n/2-V2x =2|<¿ o |x-8| <8 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net * ____ www.solucionarios.net CAPITULO II Demostramos ¡V2- 72x =2| <J>/2x—4—>/x+2| < ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 2x-16 x-8 72x+4 Tx2+27x +4 |x—8 < ' _ 1 + ;-8| 2>/2x+4 y]x~ +2Í2x +4 Tomamos =1 para acotar 1 1 72x +4 y 7x^ +7x +4 . En efecto. Ix—8| <1 =3> -I<x-8<1 => 7<x<9 => 14<2x <18 => >/Ñ <n/2x <n/Î8 ^ V24+4<V2x +4<VÏ8 +4 3-72+4 y¡2x +4 VÏ4+4 ...(2) Luego: Ix—8|<1 =>-1<x-8<1 => 7<x<9 =0 y¡7 <7x<79 => V7+1 <7^ +1<79 +1 => (77+l)‘ <(7^ +l)2<(79+l)2 => 7*49+277+4 <7x^ +4 <781+279 +4 ... (3) 78Ï +279+4 7x^ +27x +4 749+277+4 |x-8| |x-8| 2¿ (2) y (3) en (1): 2±--- L+- W ----------- =— < — + 2x+4 7xT+27x +4 7Ï4+4 749+277 +4 =£ í l - J — 1 7Ï4 +4 749 +277 +4 .. 1 1 lim . =-7= *“♦'7x+1 72 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 182. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: _ J _____ 1_ Vx +1 Í2 _J____ 1_ V ^ ï ' Æ <£ <=>|x—lj <¿>, demostramos V2-V>m y/2+ylxTï por conjugada 1 X 1 CM X 1V2Vx +1(V2 +Vx +1) V2Vx +1(V2 +Vx +1) •••O) Tomamos 6 = 1 para acotar x—1 y¡2Vx+7(y¡2 +-v/x+T) En efecto: |x—1¡<1 =>-1<x-1<1 =»1<x +l<3 =>1<Vx +1<V3 1 1 sfe Vx +1 (2) Desde 1<Vx +1<y¡3 => 1+y¡2 <Vx +1+¡2 <>¡3+y¡2 Í3 +y¡2 Vx +1+V2 1+V2 Con (2) y (3) en (1): |x-l| . . . ( 3 ) n/27ÎTT(V2 +V ÎT Ï) Luego: i - ^ , - { l , Æ ( Æ + l ) i } ® lim- ^ ^ x-+] V7^x 2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net ■wm ganKpenrcoi www.solucionarios.net CAPITULO II ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: 1 1 V7~-~x 2 1 1 slï^x 2 o |x-3|<£, demostramos 2-V7^x 2V7 -' Por conjugada 4--7+x < x-3 < x-3 2V7-X 2 +V7 -x) 2V7-X 2+V7-x) 2V 7- X 2+^7-x) Tomamos 5 = 1 para acotar . En efecto. 2V7 -x(2 +V7 -x) |x—3|<1 =>—1<x—3<1 => 2<x<4 =>-4<-x<-2 => 3<7-x<5 V3<V7^x<V5 =>2+Æ<2 +V7^x <2+V5 1 1 1< -= = — < V5+2 V7^x+2 V3+2 También -j= < — <-j= >/5 V7-x V3 De (2) y (3): — <^ = - ' ------< 1 5 +2 Æ VTÔ<(7-X +2) 3+2V3 x—3 £ (2) ...(3) . . . ( 4 ) Con (4)y (1): ¡f(x)-L| <—y= — -- r< — 2-¡= =>S= c(3 +2-j3) ' 1 2n/7^(2 +v/7-x) 3+2x/3 v ’ Luego: <y=<yMln=|l,(3 +2V2)ffJ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO www.solucionarios.net
  • 183. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II O lim i & " Vx’ TT 2 Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: <£■ <=>|x—1|<¿>; demostramos V 2 - V x Ñ Í_ J ____ £ 7x2+1 2 1 1 7 ?T 7 72 7x* +1 Por conjugada 2- x2-1 <r |x*-l| |x -1 ||x +1| 7x2+i (72+7x2+1j 7xí +l(>/2 +Vx! +lJ 7x? +1 (72+7x2+1j Tomamos ô = 1 para acotar x+'I . En efecto. 72 +l(72 +7x2+1j ¡x—1|<1 => —1<x —1<1 =>l<x +1<4 => l<x+l<3 ...(2) |x-l|<l =>-1<x-1<1 => 0<x<2 => 0<x: <4 =>1<x2+1<5 1<7x2+1<75 1+^2 <7x2+1 +7^ <75 +72 1 r 1 1 7s+72 72+7j?+i< 1+72 También 1<7x2+1 <75 => <-¿ J <1 75 Tx7^ De (3) y (4): 5+7TÔ 7x2+i |72+7x2+1j 1+72 . . . ( 3 ) . . . ( 4 ) . . . ( 5 ) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www.solucionarios.net CAPITULO II En (1): |f(x) —L| < |x—1| |x+1| ^ 3¿> Luego: d' =d'Min= U Jx2+1.(72 +7x2+l) ^1+7211 1+72 d=£ ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « lim ----= x-*° 7x +4 =1 apuraran Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: 2 :-1 7x +4 |f(x)-L|s <£ <=> |x| <<5. Demostramos 2 - 7 x +4 7x +4 -1 7x +4 Por conjugada 1 X 1 <- m 7x +4(2 +7x +4 j %/x+4(2 +-</x+4) Tomamos Ô =1 para acotar En efecto. 7x +4 (2 +7x +4) |x|< 1 => —1<x < 1 => 3<x +4<5 => 7 3 <7 x + 4 < 7 5 7 3 + 2 < 7 x +4 +2 < 7 5 + 2 1 1 1 <- = — < 75+2 7x +4 +2 2+73 (1) También: 73 <7x +4 <75 => —¡=< 1 1 1 75 7x +4 73 (2) ( 3 ) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 184. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS j CAPITULO II $ En(1): |f(x) —L|<— — y r^=- r T ' r=£ ^ ¿ =g(3+2>/3) 1 1 V ^ 4 (2 +>/^4) V§(2 +V3) Luego: ^ =íJMin={l,<c(3+2>/3)} .. x+1 _ lim—==-=2 Vx Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x+1 -2 x+1-2/x IVx-ll* — =-L- < Vx-lVx-1 Por conjugada IVHKH 7x ¡n/x +i | 1 hMTomamos ¿ =- para acotar ...0 ) En efecto. Vx |>/x+1| 1 11 1 1 , 1 1 3 1 r fix-1 <— => --< x —1<- =s> - < x <- =0 —= < vx < J- 1 12 2 2 2 2 V2 V2 +1< +1 También -7=< ■h •/3 +V2 n/x+1 1+Æ 1-V2 r , >/3-x/2 <Vx - 1 < (2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■ , www.solucionarlos,net ww.v.ed jkpáru.c • www.solucionarlos,net CAPITULO II EDUARDO ESPINOZA RAMOS « V 3 - n/2 i r j n/2 - 1 <p/x-1 < Æ 1 1 Æ ’ < ^ < j l = > / ? < ’ <^2 í, |l 72 V2 V3 Vx |x-l||Vx-l| S(S-sl2)sl2 En™ |,w- ^ a C T s JTT-- ...(3) ...(4) .. Vx-1 1 lim---- =- X-1 x-1 2 Vx|Vx V2-1 Vó-2 £ -O (')'= V 5 - 0 Vó-2 1te xvl^ "rxW Debemos hallar 6 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: Vx-1 1 x-1 2 |f(x)-L|< <£ <=> |x—1|< ; demostramos 2/x-2-x +1 2(x-1) j2+ XV;í ¡!¿+ XV¡]f— |x -2n/x +i | |Vx - 1|‘ |Vx-l||Vx-l| " 2|x -1| '2|X-1| " 2|x -1| !> X V '‘ Por conjugada JvM sJi± 2|Vx-l| 2|Vx-l| >r-c= r Tomamos Ô= 1 para acotar 2|7x-lf . En efecto. :—1|<1 =>-1 <x-1 <1 => 0<x<2 =>0<Vx<V2 (2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net
  • 185. www.solucionarios.net www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ; CAPITULOII 1<Æ +K>/2 +l => 1 < (Æ +1) <(V2 1) CAPITULO II — - < — , <l ...(3) (Æ +1)‘ (n/x +i ) En(1): |f(x)-L|s-jí—!L< ^ = £ = > ¿ =2£ Luego S= S^ {],2 c} $ .. i/x-2 1 lim-----=- x-*4 x-4 4 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista c >0, tal que se cumple: Vx-2 1 x-4 4 |f(x)-L|s <£ <=>|x—4| < , demostramos 4 y jx - 8 - X + 4 4(x-4) |x-4Vx+4| |>/x—2| |Vx —2||n/x —2| s 4 |x - 4 | ~ 4jx-4| S 4|x-4| j x - 4|Æ-2| ¡x—4| Por conjugada J ----- r-=— 4|x—4j|>/x+2| 4j>/x+2j Tomamos 8 = 1 para acotar En efecto. 4[>/x+2| |x—4| <1 =>-l<x-4<1 =>3<x<5 => Í3 <>/x <¡5 V3+2<>/x+2<V5+2 => (V3+2) <(Vx+2) <(>/5+2) 1 1 (Æ +2) (>/x +2) (73+2j ... (2) -£ => S= 4£^4¡5 +7) í EDUARDO ESPINOZA RAMOS « SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net I / x 1 lx_4l S En (1): f x -L < 1 1 < 1 ' 4|V3+2| 4|V3+2| Luego: ^ =¿>Mm={l,4^(4V5 *+*7)} >/2x-2 1 lim----- =- x-*2 x-2 2 JS JE Í1 S !¡S E Q t f Debemos hallar 6 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: >/2x-2 1 x-2 2 |f(x )—l| <, <£ <=> |x—2| <<5; demostramos 2 /x- 4-X+2 •2(x-2) Por conjugada |x-2>/2x+2| j-s/x—2| |Vx->/2||Vx->/2| ” 2|x-2| “ 2|x—2| " 2|x-2| |x-2||- l |x-2| 2|x-2||Æ +2 1 2I¡^ +Æ| Tomamos 8 =1 para acotar En efecto. 2|Æ +Æ f |x—2| <1 => - 1<X- 2 <1 =>1<X<3< y ¡ X < y Í 3 1+-72<fx +y¡2 <¡2 +y¡3 => (>/2+1j <(Vx +V2 ) <(V2 +^ ) 1 1 1<------- - < ...(2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net i
  • 186. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPÍTULO II En(l): |f(x) —L| < 2|Æ +Æ |' 2|Æ +Æ| Luego 3=6^ {1,2^(5 +276)} üm J—7— - =- ^Ér x-5x2_9 4 ■^-e => ó =2¿:(5 +2>/6j Debemos hallar 5 >0, siempre que exista £>0, tal que se cumple: I x+4 3 Vx2- 9 ~4 |f(x)-L|< <£■ o lx-5|<£; demostramos I x+4 3 |47x +4-37x2-9 Vx2-9 4 47x2-9 Por conjugada |l6x +64-9x2+81| |9x‘2—16x—145¡ 4>/x2"-^|4Vx~+4+3>/x^ 9 | 4^x2-9|4>/x +4 +37x2-9 |x-5||9x +29| 4y/x2-o|4>/x+4 +3yjx2-9| |9x+29| Tomamos Ô= 1 para acotar En efecto. 47x2- 9^4ylx +4 +3>Jx2-9 |x—5|<1 =>-l<x-5<l => 4<x<6 =>36<9x<45 => 65<9x +29<74 4<x<6 => 16<x2<36 => 7 <x2-9<27 => 77 <7x2-9 <727 (1) (2) (3) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarlos,net wvvw.edukpç'ii.cont7 www.solucionarlos,net CAPITULO II f EDUARDO ESPINOZA R AM O S« O 4<x<6 => 8<x +4<10 Vs <Vx +4 <VÏÔ En (3) y (4): 4 >/§+3>/7 <4>/x +4+ 3>/x2-9 <4>/lÓ +3>/27 _ l _____ 1 ^ 1 3V27+4VÏÔ < 3>/x 2- 9 + 4 n/x +4 3^27+872 Con estas ecuaciones en (1): |x -5||9x + 29| O' 1 (M X 4 7 x + 4 +3[x¡’ - 9 j 74|x—5| <— 1 •-< 74¿ 2>/7(3V7 +8>/2)ff 37 lim ...X— 1— =2 x“*57x2+3-2 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x—1 7x2+3-2 |f(x)-L|s -2 <f <=> |x- 1|<<£; demostramos x—1 7x2+3-2 -2 ( x - 1 ) ( 7 x 2 +3 + 2) x +3- 4 -2 7x2+3+2 ...(4) x+1 -2 Por conjugada 7x2+ 3 +2-2x-2 7x2+3 +2x x+1 x+1 Por conjugada SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I www.solucionarlos,net
  • 187. www solucionarios.net X EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II O x2+3-4x2 3(x- 1)(x +1) 3(x —l) (x +l)(>/x2+3 +2xJ (x +1)(7x2+3 +2xj (Vx2+3 +2xj ...0 ) Tomamos 6=1 para acotar n/x2+3+2x En efecto: |x-l|<1 => —l<x —1<1 => 0<x<2 => 0<2x<4 |x—1|<1 =>-l<x-l<1 =>0<x2<4 => 3<x2+3<7 => y¡3 <Vx2+3 <y/í De (1) y (2); S <Vx2+3 +2x <s f í +4 En (1): 3(x-l) (Vx2+3 +2x) V7 +4 >/x2+3+2x >/3 Í3£ .. >/2x+l- 3 1 lim—------ =— x-»*x2-3x-4 15 O T I T f i í 'l i M f Debemos hallar 6 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: >/2x+1-3 1 x - 3x- 4 15 >/2x+1-3 1 <¿: <=> x-4 <£; demostramos |f(x)-L|s x -3x-4 15 15v 2x +T- 45- x" +3x +4 15(x2-3x-4) ... (2) ... (3) ... (4) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net www solucionarios.net CAPITULO II 15(V2x +1-3)(x2-3x-4) 15(x -4)(x +1) 30-(x +1)(V2x +1+3) 15Ín/2x +1-9) ■ W - t x - ^ -(x +1) - ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS « 15(x-4)(x +1) 30- xV2x +1->/2x+1- 3x- 3 30 yj2x+] +3 15(x +1) 15(x +1)(V2x +1+3) 27- xV2x +1- >/2x+1- 3x 15(x +1)(V2x +1+3) 15(x +1)(V2x +1+3) 15-x>/2x+1->/2x+1-3(x-4) 15(x +1)(V2x +1+3 ) x>/2x+1-(V2x+1 -3)-3(x-4) 144-2x3- x2 2x+1-9 , . 12+xÆTTT V2X+-Ì+3 ** j !5(x +1)(V2x +1+3) 15(x +1)(>/2x+l +3j (x- 4)(2xg+9x+36) 2(x-4) _ 3(x_ 4) 12+Xn/2x +1 V2x +1+3 s|x-4| 15(x +1)(V2x +1+3) (2x*+9x +36) 2 12+xV2x +1 V2x +1+3 15(x +1)(V2x +1+3) Tomamos 6 = 1para acotar (2x2+9x +36) 2 12+x>/2x+1 V2)T+i +3 En efecto. 15(x +1)(72x +1+3) :—4|<I =>—1<x—4<1 => 3 <x<5 =>0<2x<4=>1< >/2x+1<>/5 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net
  • 188. www.solucionarlos,net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II 4 <V2x +1+3 <Í5 +3 1 >— 3+V5 V2x +1+3 4 (2) Ix-4|<1 =5- -1 <x- 4 <1 => 4<x +1<6 => - < —— <— ... (3) 1 1 6x+14 |x—4j<1 => -1 <x- 4 <1 => 3<x<5 =>0<2x<4=>1<V2x +1<*75 3 <V2x +1<5>/5 1 >— 12+5*75 ' xV2x +1+!2 15 ... (4) , 9 29 421 2 9x 81 841 x-4 <1 => —1<x —4<1 =>— <x+- <— => -- <x‘ +— +— <— 21 4 4 4 16 2 16 16 421 „ 2 81 841 421 207 „ » „ 81 207 841 207 ——<2x +— < 8 8 8 +--- <2x2+9x +— +--- <— +■ 8 8 8 8 8 8 — <2x2+9x +36<131 2 ... (5) Luego en (1): (2x2+9x +36) 2 12+xV2x+1 V2x+1+3 +3 15(x +1)(V2x +1+3) 131 2 _ — +- +3 4 Ò<----. . . ' =£ 15(4)(4) ¿ M , n U 7200£ 367 O lim x2-10x +9 >/4x+5 -4 =0 .«om«Kfl;i Debemos hallar 5 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: x2- lOx +9 yj4X +5-4 < e <=>|x-1|<¿>. demostramos SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I www.solucionarios.net iAV'v.'.edüKrj#fu www.solucionarios.net CAPITULO II [ EDUARDO ESPINOZA RAMOS « O |f(x)-L|á x: - 10x+9 74x+5-4 Tomamos 6 = 1 para acotar 74x +5 -4 x-9 <|x-l| x-9 n/4x +5+4 En efecto. ...O ) 74x +5 +4 |x—1|<1 => -1 <x—1<1 =>-9<x-10<-8 => 8<|x-l|<9 ...(2) |x—1|<1 =>-1<x-1<1 => 0<x<2 => 0 <4x<8 => 5<4x +5<13 <>/4x+5 .<-713 ¡5 - 4 <^4x +5 -4 => -713- 4 4 - ^ |7 4 ^ 5 - 4 |< 4 - ^ 1 => En0): Vx3-4 -2 0 lim-------- =3 x-2 x- 2 Debemos hallar 8 >0, siempre que exista e >0, tal que se cumple: >/x3-4-2 x-2 -3 <¿r <=> |x—2| <¿>; demostramos >/x? -4-2 0 x3-4-4 £ (x-2)(x2+2x +4) ^ --------- o x-2 ( x -2)(n/x3- 4 +2) (x-2)(7x3-4+2) x2+2x +4- 3*7x3-4 - 6 Vx3-4 +2 <2_4 +4+2x -4 +8- 3-7X1-4 - 6 Vx3-4 +2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I WWW.solucionarios.net
  • 189. www.solucionarios.net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITULO II (